資源簡(jiǎn)介

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：平面的法向量及其求法
重點(diǎn)題型二：利用向量方法證明線線平行
重點(diǎn)題型三：利用向量方法證明線面平行
重點(diǎn)題型四：利用向量方法證明面面平行
重點(diǎn)題型五：利用向量方法證明線線垂直
重點(diǎn)題型六：利用向量方法證明線面垂直
重點(diǎn)題型七：利用向量方法證明面面垂直
第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：用向量表示點(diǎn)、直線、平面的位置
1、用向量表示點(diǎn)的位置：
在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)就可以用向量表示.我們把向量稱為點(diǎn)的位置向量.如圖.
2、直線的方向向量
如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設(shè)是直線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使得，即
3、空間直線的向量表示式
如圖②,取定空間中的任意一點(diǎn),可以得到點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使①
或②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.
4、用向量表示空間平面的位置
根據(jù)平面向量基本定理，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，如圖；取定空間任意一點(diǎn)，空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)，，使.
知識(shí)點(diǎn)二：平面的法向量及其應(yīng)用
1、平面法向量的概念
如圖，若直線 ，取直線 的方向向量 ，我們稱為平面的法向量；過點(diǎn)且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一個(gè)平面的法向量時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:
設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為
選向量：選取兩不共線向量
列方程組：由列出方程組
解方程組：解方程組
賦非零值：取其中一個(gè)為非零值（常取)
得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量.
知識(shí)點(diǎn)三：空間中直線、平面的平行
設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則
線線平行 ()
線面平行
面面平行
知識(shí)點(diǎn)四：空間中直線、平面的垂直
設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則
線線垂直
線面垂直
面面垂直
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）直線l的方向向量是唯一的．( )
（2）若點(diǎn)A，B是平面上的任意兩點(diǎn)，是平面的法向量，則．( )
（3）若向量為平面的法向量，則以這兩個(gè)向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行．( )
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)平面法向量為，平面的法向量為，若，則k等于( )
A．2 B． C．4 D．
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別是直線的一個(gè)方向向量．若，則( )
A． B． C． D．
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若平面，且平面的一個(gè)法向量為，則平面的法向量可以是( )
A． B． C． D．
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩平面，的法向量分別為，，則平面，的位置關(guān)系為_________．
6．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面的位置關(guān)系是__________________．
重點(diǎn)題型一：平面的法向量及其求法
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列向量中，能作為平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4） B．（，1，）
C．（2，，1） D．（1，2，）
例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)、、，則平面的法向量可以是______．（寫出一個(gè)即可）
例題3．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，，，．
建立空間坐標(biāo)系，寫出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)；
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）過空間三點(diǎn)，，的平面的一個(gè)法向量是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，則平面的一個(gè)法向量為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知平面，寫出平面的一個(gè)法向量______．
4．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，，，.
(1)建立空間坐標(biāo)系，寫出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)；
重點(diǎn)題型二：利用向量方法證明線線平行
典型例題
例題1．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，、是正方體表面上相異兩點(diǎn)．若、均在平面上，滿足，．判斷與的位置關(guān)系；
例題2．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，為棱的中點(diǎn)．求證：．
例題3．在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).求證：.
重點(diǎn)題型三：利用向量方法證明線面平行
典型例題
例題1．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).若，證明：直線平面：
例題2．已知正方體中，棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn).求證：平面.
例題3．如圖，、分別是正四棱柱上、下底面的中心，是的中點(diǎn)，．求證：平面．
同類題型歸類練
1．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，．線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？
2．如圖，在四棱錐中，平面ABCD．，四邊形ABCD滿足，，，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，求證：平面PAB．
3．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，.求證：平面；
重點(diǎn)題型四：利用向量方法證明面面平行
典型例題
例題1．如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．
用向量法證明平面平面；
例題2．如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體中，，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，求證：平面∥平面.
同類題型歸類練
1．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是該正方體六個(gè)面的中心，求證：平面平面HMN．
2．如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn).求證：
（1）PB//平面EFG；
（2）平面EFG//平面PBC.
重點(diǎn)題型五：利用向量方法證明線線垂直
典型例題
例題1．在棱長(zhǎng)為1的正方體中， 分別是棱 上的動(dòng)點(diǎn)，且.
求證：；
例題2．已知空間四邊形中，，求證：.
例題3．如圖，已知長(zhǎng)方體中，，判斷滿足下列條件的點(diǎn)，是否存在：.
同類題型歸類練
1．棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．證明：.
2．如圖，在空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz中，底面ABCD為矩形，P（0，0，2），．
（1）求證：；
3．已知空間四邊形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．
4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證：無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.
5．如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點(diǎn),AC=BC=BB1.
求證:(1)BC1⊥AB1.
重點(diǎn)題型六：利用向量方法證明線面垂直
典型例題
例題1．如圖，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一點(diǎn)，，，，，.
(1)求異面直線與所成的角的余弦值；
(2)求證：平面.
例題2．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是 的中點(diǎn).
(1)判斷向量與 是否共面；
(2)求證：平面.
例題3．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，分別是棱的中點(diǎn).求證：平面；
同類題型歸類練
1．如圖，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.
2．如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．求證：平面MBD．
3．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在棱上，，D，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，EF與相交于點(diǎn)H．
(1)求證：平面ABD．
4．如圖，在多面體中，四邊形是梯形，四邊形為矩形，面，，，．
(1)求證：平面；
(2)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證面．
重點(diǎn)題型七：利用向量方法證明面面垂直
典型例題
例題1．如圖所示，在四棱錐中，平面，，在四邊形中，，，，點(diǎn)在上，，與平面成的角.
（1）平面；
（2）平面平面.
例題2．已知正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若平面平面，試確定點(diǎn)的位置．
同類題型歸類練
1．如圖，四棱錐中，底面，E為棱上的點(diǎn)，且．
（1）證明：平面平面；
2．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，是的中點(diǎn)，已知，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：平面平面．
3．如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面.證明：平面平面.
4．如圖所示，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明：平面平面.
1．（2022·全國(guó)·高考真題（文））在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
2．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線異面，直線平面
D．直線與直線相交，直線平面
3．（2022·北京昌平·二模）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
4．（多選）（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為 ，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，以下結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．正方體體積是三棱錐的體積的6倍
C．
D．異面直線，所成的角為定值
1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：平面的法向量及其求法
重點(diǎn)題型二：利用向量方法證明線線平行
重點(diǎn)題型三：利用向量方法證明線面平行
重點(diǎn)題型四：利用向量方法證明面面平行
重點(diǎn)題型五：利用向量方法證明線線垂直
重點(diǎn)題型六：利用向量方法證明線面垂直
重點(diǎn)題型七：利用向量方法證明面面垂直
第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：用向量表示點(diǎn)、直線、平面的位置
1、用向量表示點(diǎn)的位置：
在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)就可以用向量表示.我們把向量稱為點(diǎn)的位置向量.如圖.
2、直線的方向向量
如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設(shè)是直線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使得，即
3、空間直線的向量表示式
如圖②,取定空間中的任意一點(diǎn),可以得到點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使①
或②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.
4、用向量表示空間平面的位置
根據(jù)平面向量基本定理，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，如圖；取定空間任意一點(diǎn)，空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)，，使.
知識(shí)點(diǎn)二：平面的法向量及其應(yīng)用
1、平面法向量的概念
如圖，若直線 ，取直線 的方向向量 ，我們稱為平面的法向量；過點(diǎn)且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一個(gè)平面的法向量時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:
設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為
選向量：選取兩不共線向量
列方程組：由列出方程組
解方程組：解方程組
賦非零值：取其中一個(gè)為非零值（常取)
得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量.
知識(shí)點(diǎn)三：空間中直線、平面的平行
設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則
線線平行 ()
線面平行
面面平行
知識(shí)點(diǎn)四：空間中直線、平面的垂直
設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則
線線垂直
線面垂直
面面垂直
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）直線l的方向向量是唯一的．( )
（2）若點(diǎn)A，B是平面上的任意兩點(diǎn)，是平面的法向量，則．( )
（3）若向量為平面的法向量，則以這兩個(gè)向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行．( )
【答案】 × √ √
（1）由于向量的模唱沒有確定，所以直線l的方向向量有無數(shù)個(gè)；
（2）由平面法向量概念可知正確；
（3）由向量為平面的法向量，所以這兩個(gè)向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行，正確.
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)平面法向量為，平面的法向量為，若，則k等于( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
由題可知：，所以
故選：C
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別是直線的一個(gè)方向向量．若，則( )
A． B． C． D．
【答案】D
由題可知：
故選：D
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若平面，且平面的一個(gè)法向量為，則平面的法向量可以是( )
A． B． C． D．
【答案】C
對(duì)A，，不符合
對(duì)B，，不符合
對(duì)C，，符合
對(duì)D，，不符合
故選：C
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩平面，的法向量分別為，，則平面，的位置關(guān)系為_________．
【答案】垂直
由題可知：，所以
所以平面，的位置關(guān)系為垂直
故答案為：垂直
6．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面的位置關(guān)系是__________________．
【答案】平行
由題可知：，所以，所以直線l與平面的位置關(guān)系是平行
故答案為：平行
重點(diǎn)題型一：平面的法向量及其求法
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列向量中，能作為平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4） B．（，1，）
C．（2，，1） D．（1，2，）
【答案】B
解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，
∴，
設(shè)向量是平面的法向量，
則取，得，
則是平面的一個(gè)法向量，
結(jié)合其他選項(xiàng)，只需和共線即可，
檢驗(yàn)可知，ACD選項(xiàng)均不與共線.
所以能作為平面的法向量只有選項(xiàng)B
故選：B．
例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)、、，則平面的法向量可以是______．（寫出一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
解：，
設(shè)平面的法向量為，
則有，令，則，
所以，
所以平面的法向量可以是.
故答案為：（答案不唯一）.
例題3．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，，，．
建立空間坐標(biāo)系，寫出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)；
【答案】解法1：在底面ABCD內(nèi)，過D作于E，
∵ABCD為平行四邊形，∴，
又∵平面ABCD，∴，，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DE，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則平面PCD的一個(gè)法向量為；
解法2：在△ADB內(nèi)，有，，，
所以，
故，∴，
又∵平面ABCD，∴，，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DP所在的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，
，，∴，，
設(shè)平面PCD的法向量，
則，
令，得，，
所以平面PCD的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為；
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）過空間三點(diǎn)，，的平面的一個(gè)法向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，．
設(shè)平面的法向量為．
由題意知，，
所以，解得，
令，得平面的一個(gè)法向量是．
故選：A
2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，則平面的一個(gè)法向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
設(shè)平面的法向量為，
則 ，令，可得，
即平面的法向量為.
故選：D.
3．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知平面，寫出平面的一個(gè)法向量______．
【答案】（答案不唯一）
設(shè)法向量為，
則有，
令得：，所以
故答案為：
4．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，，，.
(1)建立空間坐標(biāo)系，寫出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)；
【答案】(1)空間坐標(biāo)系見解析，平面的一個(gè)法向量
證明：因?yàn)槠矫妫矫妫矫妫?br/>所以，，
又由，所以、、兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)椋裕?br/>則，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量，
則，取，可得，即，
所以平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為.
重點(diǎn)題型二：利用向量方法證明線線平行
典型例題
例題1．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，、是正方體表面上相異兩點(diǎn)．若、均在平面上，滿足，．判斷與的位置關(guān)系；
【答案】(1)PQ與BD的位置關(guān)系是平行
以D為原點(diǎn)，以射線DA，DC，分別為x，y，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，，，．
因?yàn)镻、Q均在平面上，所以設(shè)，，
則，，．
因?yàn)椋?br/>所以
解得:
所以，，
即，，
所以PQ與BD的位置關(guān)系是平行．
例題2．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，為棱的中點(diǎn)．求證：．
【答案】證明見解析
證明：．
因?yàn)椋?br/>所以，
，
．
又因?yàn)镻為中點(diǎn)，
所以，
從而與為共線向量．
因?yàn)橹本€MN與BP不重合，
所以．
例題3．在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).求證：.
【答案】證明見解析.
證明　方法一　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
根據(jù)題意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
則，分別為MN，RS的方向向量，
所以＝，＝，
所以＝，所以∥，因?yàn)镸 RS，
所以MN∥RS.
方法二　設(shè)，
則＝＋＋＝，
＝＋＋＝.
所以＝，所以∥.
又R MN，所以MN∥RS.
重點(diǎn)題型三：利用向量方法證明線面平行
典型例題
例題1．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).若，證明：直線平面：
【答案】(1)證明見解析
如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則
若，則，
因?yàn)槠矫鍭BCD，所以
又因?yàn)?br/>所以平面PAB
平面PAB的其中一個(gè)法向量為
所以，即
又因?yàn)槠矫?br/>所以平面
例題2．已知正方體中，棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn).求證：平面.
【答案】證明見解析
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以 與的方向?yàn)閤 y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則 ，M是棱的中點(diǎn)得，.設(shè)面的一個(gè)法向量為，，，則令，則.又，因?yàn)槠矫妫云矫?
例題3．如圖，、分別是正四棱柱上、下底面的中心，是的中點(diǎn)，．求證：平面．
【答案】(1)證明見解析；
因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正四棱柱，顯然兩兩垂直，
則以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA、OB、OP所在直線分別為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則得A1、E、
由上得、、．
設(shè)=x·+y·得，
解得x=，y=1，∴，
∵BC∩PB=B，A1E平面PBC，面，∴A1E∥平面PBC．
同類題型歸類練
1．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，．線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？
【答案】存在；P為的中點(diǎn)時(shí)，平面
以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)锳，C，的坐標(biāo)分別為，，，所以
，．
設(shè)是平面的法向量，則，，即
，所以，
取，則，．所以，是平面的一個(gè)法向量．
由，C，的坐標(biāo)分別為，，，得，．設(shè)點(diǎn)P滿足，則，所以．
令，得，解得，這樣的點(diǎn)P存在．
所以，當(dāng)，即P為的中點(diǎn)時(shí)，平面．
2．如圖，在四棱錐中，平面ABCD．，四邊形ABCD滿足，，，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，求證：平面PAB．
【答案】證明見解析
證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，
所以，．
又，
所以PA，AB，AD兩兩垂直．
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，．
因?yàn)辄c(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，所以，故．
又，，
所以．
所以，，為共面向量．
又平面PAB，
所以平面PAB．
3．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，.求證：平面；
【答案】(1)證明見解析
如圖，由已知得 兩兩垂直，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在的直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
∴，.
設(shè)平面的法向量為，
由，得，令，得，
又，
∴，∴，
∵平面，∴平面.
重點(diǎn)題型四：利用向量方法證明面面平行
典型例題
例題1．如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．
用向量法證明平面平面；
【答案】(1)證明見解析
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則，，，，，，
故，，，，
設(shè)平面的法向量，
則，即，令，則，
設(shè)平面的法向量，
則，即，令，則，
所以，即，
故平面平面；
例題2．如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體中，，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，求證：平面∥平面.
【答案】證明見解析
由正方體的棱長(zhǎng)為4，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，,,,,
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
即，令，解得
所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
即，令，解得
所以
所以
∴平面∥平面.
同類題型歸類練
1．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是該正方體六個(gè)面的中心，求證：平面平面HMN．
【答案】證明見解析.
由題意知，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，
得，
所以，即，
又平面HMN，平面HMN，
所以平面HMN，平面HMN，
又平面EFG，平面EFG，，
所以平面EFG平面HMN.
2．如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn).求證：
（1）PB//平面EFG；
（2）平面EFG//平面PBC.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
（1）因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，所以AB，AP，AD兩兩垂直.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0).　
法一：
設(shè)平面EFG的法向量為，
則,即,令z＝1，則為平面EFG的一個(gè)法向量，
∵，
∴，所以，
∵PB 平面EFG，
∴PB//平面EFG.
法二：，，.
設(shè)，
即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，
所以解得s＝t＝2.
∴，又與不共線，所以，與共面.
∵PB 平面EFG，
∴PB∥平面EFG.
（2）由（1）知：，
∴，所以BC//EF.
又EF 平面PBC，BC 平面PBC，所以EF//平面PBC，
同理可證GF//PC，從而得出GF//平面PBC.
又EF∩GF＝F，EF 平面EFG，GF 平面EFG，
∴平面EFG//平面PBC.
重點(diǎn)題型五：利用向量方法證明線線垂直
典型例題
例題1．在棱長(zhǎng)為1的正方體中， 分別是棱 上的動(dòng)點(diǎn)，且.
求證：；
【答案】(1)證明見解析
如圖所示，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以 與的方向?yàn)閤 y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，其中.
由已知條件 ，則，，所以，
所以，即；
例題2．已知空間四邊形中，，求證：.
【答案】證明見解析
證明：設(shè)
則
于是可得
，即
例題3．如圖，已知長(zhǎng)方體中，，判斷滿足下列條件的點(diǎn)，是否存在：.
【答案】存在點(diǎn)滿足
解：假設(shè)存在滿足條件.在長(zhǎng)方體中以D為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)則
在中，
，
又
解得：
即存在點(diǎn)滿足
同類題型歸類練
1．棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．證明：.
【答案】(1)證明見解析；
在正方體，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖所示：
依題意，，，
，則，
所以.
2．如圖，在空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz中，底面ABCD為矩形，P（0，0，2），．
（1）求證：；
【答案】（1）證明見解析；（2）3.
（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，，所以，所以，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，
所以.
3．已知空間四邊形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．
【答案】證明見解析
在空間四邊形OABC中，令，則，
令，G是MN的中點(diǎn)，如圖，
則，，
于是得
，
因此，，
所以O(shè)G⊥BC.
4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證：無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.
【答案】證明見解析.
證明：(方法1)以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，
則A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，
于是F.
∵E在BC上，∴設(shè)E(m，1，0)，∴=(m，1，-1)，.
∵=0，∴PE⊥AF.
∴無論點(diǎn)E在邊BC上何處，總有PE⊥AF.
(方法2)因?yàn)辄c(diǎn)E在邊BC上，可設(shè)=λ，
于是=()·)=+λ)·()
=+λ+λ)=(0-1+1+0+0+0)=0，
因此.
故無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.
5．如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點(diǎn),AC=BC=BB1.
求證:(1)BC1⊥AB1.
【答案】見解析
如圖,以C1點(diǎn)為原點(diǎn),C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AC=BC=BB1=2,
則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),
C1(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于=(0,-2,-2),
=(-2,2,-2),
所以·=0-4+4=0,
因此⊥,
故BC1⊥AB1.
重點(diǎn)題型六：利用向量方法證明線面垂直
典型例題
例題1．如圖，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一點(diǎn)，，，，，.
(1)求異面直線與所成的角的余弦值；
(2)求證：平面.
【答案】(1)(2)證明見解析
(1)以原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.
于是，，
設(shè)異面直線A1P與BC1所成的角為，
則，
異面直線與所成的角的余弦值大小等于.
(2)過作交于，在中，，，則，，，
，
，.又，平面.
例題2．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是 的中點(diǎn).
(1)判斷向量與 是否共面；
(2)求證：平面.
【答案】(1)向量與 共面；(2)證明見解析.
(1)因?yàn)椋韵蛄颗c 共面；
(2)，
因?yàn)椋?br/>所以，即，
，
所以，即，
又因?yàn)椋?平面，
所以平面.
例題3．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，分別是棱的中點(diǎn).求證：平面；
【答案】(1)證明見解析；
∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，
∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
∵，分別是棱的中點(diǎn)，
∴，
,
∵，，∴，，
∵,平面,平面，∴平面.
同類題型歸類練
1．如圖，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.
【答案】證明見解析
設(shè)，，，則為空間的一個(gè)基底且，，.
因?yàn)锳B＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，
所以，.
在平面BDD1B1上，取、為基向量，則對(duì)于面BDD1B1上任意一點(diǎn)P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(λ,μ)，使得.
所以，.
所以是平面BDD1B1的法向量．
所以A1C⊥平面BDD1B1.
2．如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．求證：平面MBD．
【答案】證明見解析
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，
，，
由于，所以平面.
3．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在棱上，，D，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，EF與相交于點(diǎn)H．
(1)求證：平面ABD．
【答案】(1)證明見解析
證明：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，
，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，
所以，．
又，所以平面ABD．
4．如圖，在多面體中，四邊形是梯形，四邊形為矩形，面，，，．
(1)求證：平面；
(2)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證面．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
(1)證明：如圖，建立空間坐標(biāo)系，則，，，，，
面，，且，
又，
面，為面的法向量，
，，
又平面，
平面．
(2)證明：由（1）可知，，，，
，，
，
又，
面．
重點(diǎn)題型七：利用向量方法證明面面垂直
典型例題
例題1．如圖所示，在四棱錐中，平面，，在四邊形中，，，，點(diǎn)在上，，與平面成的角.
（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
證明以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸、軸、 軸建立如
圖所示的空間直角坐標(biāo)系
∵平面
∴為與平面所成的角 .
∴， ∵ ∴，
∴
( 1 ) 設(shè) 為平面 的一個(gè)法向量 ,
由即
令 ，得
又平面 ∴平面
( 2 ) 如圖 , 取的中點(diǎn) 連接
則
∵
又
∴
又 ∴平面
又平面 ∴平面⊥平面
例題2．已知正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若平面平面，試確定點(diǎn)的位置．
【答案】（1）證明見解析；（2）E為CC1的中點(diǎn).
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
設(shè)E(0，a，e)(0≤e≤a)．
（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴，即A1E⊥BD；
（2）設(shè)平面A1BD，平面EBD的法向量分別為＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)
∴， ， ，.
∴,　
取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.
∴2－＝0，即e＝.
∴當(dāng)E為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面A1BD⊥平面EBD.
同類題型歸類練
1．如圖，四棱錐中，底面，E為棱上的點(diǎn)，且．
（1）證明：平面平面；
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】
（1）如圖，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則令，則，，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則令，則，，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以平面平面；
2．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，是的中點(diǎn)，已知，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：平面平面．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.
【詳解】
證明：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，．
（Ⅰ）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以的坐標(biāo)為，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以，即有；
（Ⅱ）因?yàn)榈酌媸钦叫危裕?br/>因?yàn)榈酌妫矫妫?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以平面，
所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
由，取，，，
所以平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)椋?br/>所以，所以平面平面.
3．如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面.證明：平面平面.
【答案】證明見解析.
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
又，所以，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：
設(shè)，，則，，，
，，
所以，，，
設(shè)是平面的法向量，是平面的法向量，
則由，，得
令，則，即，
同理，，令，可得，即.
因?yàn)椋云矫嫫矫?
4．如圖所示，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明：平面平面.
【答案】證明見解析.
由題意得兩兩垂直. 以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，
則.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為.
則，
令，得.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為.
則，
令，得，
，
，∴平面平面.
1．（2022·全國(guó)·高考真題（文））在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
解：在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
選項(xiàng)BCD解法一：
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
同理可得平面的法向量為，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，
所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，
故選：A.
選項(xiàng)BCD解法二：
解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，
在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，
則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點(diǎn)，則，
由勾股定理可得，
從而有：，
據(jù)此可得，即，
據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：A.
2．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線異面，直線平面
D．直線與直線相交，直線平面
【答案】A
連接；由正方體的性質(zhì)可知，是的中點(diǎn)，所以直線與直線垂直；
由正方體的性質(zhì)可知，所以平面平面，
又平面，所以直線平面，故A正確；
以為原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，
顯然直線與直線不平行，故B不正確；
直線與直線異面正確，，，所以直線與平面不垂直，故C不正確；
直線與直線異面，不相交，故D不正確；
故選：A.
3．（2022·北京昌平·二模）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，
則，，，
對(duì)于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；
對(duì)于B，因，則，即，B正確；
對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.
故選：B
4．（多選）（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為 ，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，以下結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．正方體體積是三棱錐的體積的6倍
C．
D．異面直線，所成的角為定值
【答案】AC
解：對(duì)于A選項(xiàng)，易知，，所以，所以A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，連接交于點(diǎn)，則，又平面，平面，
所以，，平面，所以平面，
所以三棱錐的體積，
所以正方體體積是三棱錐的體積的倍，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，而平面，所以，所以C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在處，為的中點(diǎn)時(shí)，異面直線所成的角是，
當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)在的位置，異面直線所成的角是，顯然兩個(gè)角不相等，所以D錯(cuò)誤；
故選：AC．

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