資源簡(jiǎn)介

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：利用空間向量求點(diǎn)線距
重點(diǎn)題型二：利用空間向量求點(diǎn)面距
重點(diǎn)題型三：轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用
重點(diǎn)題型四：利用向量方法求兩異面直線所成角
重點(diǎn)題型五：利用向量方法求直線與平面所成角
重點(diǎn)題型六：利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角
第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：用向量法求空間距離
1、點(diǎn)到直線的距離
已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、點(diǎn)到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長(zhǎng)度.
知識(shí)點(diǎn)二：用向量法求空間角
1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角
已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則
①
②.
2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角
設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角
如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.
若分別為面，的法向量
①
②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；
若二面角為銳二面角（取正），則；
若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等．( )
（2）直線l與平面的法向量的夾角的余角就是直線l與平面所成的角．( )
（3）二面角的大小為，平面，的法向量分別為，，則．( )
2．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）若直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，則直線與所成的角為（ ）
A．30° B．150° C．60° D．120°
3．（2022·江蘇·馬壩高中高二期中）如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為長(zhǎng)方形，，，Q為PC上一點(diǎn)，且，則異面直線AC與BQ所成的角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高二期末（理））平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（ ）
A．，平行 B．，垂直
C．，重合 D．，相交不垂直
5．（2022·江蘇淮安·高二期中）已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
重點(diǎn)題型一：利用空間向量求點(diǎn)線距
典型例題
例題1．（2022·江蘇徐州·高二期末）已知直線過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離是______．
例題3．（2022·江西南昌·高二期中（理））如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為_______.
同類題型歸類練
1．（2022·河北滄州·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．6
2．（2022·天津·靜海一中高二期末）已知點(diǎn)P(5，3，6)，直線l過點(diǎn)A(2，3，1)，且一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)P到直線l的距離為( )
A． B． C． D．
3．（2022·福建省同安第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2022·山東濱州·高二期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線AB的距離為（ ）
A． B． C． D．
重點(diǎn)題型二：利用空間向量求點(diǎn)面距
典型例題
例題1．（2022·江蘇省揚(yáng)州市教育局高二期末）已知是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為_________.
例題2．（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，若點(diǎn)到平面的距離為，則________.
同類題型歸類練
1．（2022·河南·濮陽一高高二期中（理））如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，若E，F(xiàn)分別是上底棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為______．
2．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為棱、的中點(diǎn)，G為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)G到平面的距離為______．
3．（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為___________.
4．（2022·全國(guó)·高二期末）如圖，已知長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)到平面的距離為__________．
重點(diǎn)題型三：轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求平面與平面之間的距離．
例題2．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，棱長(zhǎng)為4，求平面與平面之間的距離．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則平面與平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國(guó)·高二）在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A． B．
C． D．
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩平行平面 ， 分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) 和點(diǎn) ，且兩平面的一個(gè)法向量 ，則兩平面間的距離是
A． B． C． D．
4．（2022·山東·濟(jì)南外國(guó)語學(xué)校高二期中）在棱長(zhǎng)為的正方體中，平面與平面間的距離是________.
重點(diǎn)題型四：利用向量方法求兩異面直線所成角
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)度為2，且．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)直線與所成角的余弦值．
例題3．（2022·江蘇鹽城·高一期末）在四棱錐中，已知底面是菱形，，，，若點(diǎn)為菱形的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是___________.
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南安陽·高二階段練習(xí)（理））在正三棱柱中，，點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，則和所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，向量分別為異面直線方向向量，則異面直線所成角的余弦值為___________.
4．（2022·湖南岳陽·高二期末）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让娣謩e為的中點(diǎn)，；
(1)求證：直線面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值．
5．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，面，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)
(1)求證：面；
(2)求異面直線與所成角的大小.
重點(diǎn)題型五：利用向量方法求直線與平面所成角
典型例題
例題1．（2022·福建龍巖·高二期中）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，，，分別為，，的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形為正方形，且，為的重心，設(shè)與平面所成角的正弦值為_______．
例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，，，，平面平面.為線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.
同類題型歸類練
1．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））平行六面體中，，則與底面所成的線面角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為(　　)
A． B．
C． D．
3．（2022·上海中學(xué)高一期末）在正方體中，棱與平面所成角的余弦值為__________．
4．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（理））一個(gè)正方體的平面展開圖如圖所示.在該正方體中，以下命題正確的是___________.（填序號(hào)）
①；
②平面；
③與是異面直線且夾角為；
④與平面所成的角為；
⑤二面角的大小為.
5．（2022·浙江·高三期末）如圖，已知菱形，，沿直線將翻折成，分別為的中點(diǎn)，與平面所成角的正弦值為，為線段上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），則與平面所成角的正弦值的最大值為___________.
重點(diǎn)題型六：利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角
典型例題
例題1．（2022·四川省綿陽普明中學(xué)高二階段練習(xí)（文））二面角的棱上有、兩點(diǎn)，直線、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，，則該二面角的大小為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
例題2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)，底面，，，，若平面平面，則二面角的正弦值是_________.
例題3．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面中，，側(cè)面平面，且，點(diǎn)在棱上，且．
則二面角的余弦值為____________
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面上，與二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為、，則這個(gè)二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．或
2．（2022·河南·華中師范大學(xué)附屬息縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知矩形ABCD，，，將沿AC折起到的位置若，則二面角平面角的余弦值的大小為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京八中高二期末）已知長(zhǎng)方體中，，，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AD，DD1的中點(diǎn)，則平面EFC1B和平面BCC1所成銳二面角的正弦值為________.
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn)，且平面ABCD，，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，則二面角的正切值為__________
1．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
2．（2022·全國(guó)·高考真題（理））如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：利用空間向量求點(diǎn)線距
重點(diǎn)題型二：利用空間向量求點(diǎn)面距
重點(diǎn)題型三：轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用
重點(diǎn)題型四：利用向量方法求兩異面直線所成角
重點(diǎn)題型五：利用向量方法求直線與平面所成角
重點(diǎn)題型六：利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角
第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：用向量法求空間距離
1、點(diǎn)到直線的距離
已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、點(diǎn)到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長(zhǎng)度.
知識(shí)點(diǎn)二：用向量法求空間角
1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角
已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則
①
②.
2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角
設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角
如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.
若分別為面，的法向量
①
②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；
若二面角為銳二面角（取正），則；
若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等．( )
（2）直線l與平面的法向量的夾角的余角就是直線l與平面所成的角．( )
（3）二面角的大小為，平面，的法向量分別為，，則．( )
【答案】 × × ×
（1）兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角或補(bǔ)角，錯(cuò)誤；
（2）直線l與平面的法向量的夾角或余角就是直線l與平面所成的角，錯(cuò)誤；
（3）或，錯(cuò)誤.
2．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）若直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，則直線與所成的角為（ ）
A．30° B．150° C．60° D．120°
【答案】C
依題意，，
設(shè)直線與所成角為，，所以.
故選：C
3．（2022·江蘇·馬壩高中高二期中）如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為長(zhǎng)方形，，，Q為PC上一點(diǎn)，且，則異面直線AC與BQ所成的角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因?yàn)槠矫?，平面，故?br/>底面ABCD為長(zhǎng)方形，故，所以DP，DC，DA兩兩互相垂直，
以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
，，，，，
所以，，
設(shè)異面直線AC與BQ所成的角為，則，
所以異面直線AC與BQ所成的角的余弦值為．
故選：A.
4．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高二期末（理））平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（ ）
A．，平行 B．，垂直
C．，重合 D．，相交不垂直
【答案】B
因?yàn)椋裕?，垂?
故選：B.
5．（2022·江蘇淮安·高二期中）已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚?br/>所以點(diǎn)到平面的距離.
故選：B
重點(diǎn)題型一：利用空間向量求點(diǎn)線距
典型例題
例題1．（2022·江蘇徐州·高二期末）已知直線過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，
，
所以直線的一個(gè)單位方向向量，
點(diǎn)到直線的距離為．
故選：．
例題2．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離是______．
【答案】
由題意，點(diǎn)和，可得，且，
所以點(diǎn)到直線的距離是.
故答案為：.
例題3．（2022·江西南昌·高二期中（理））如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為_______.
【答案】##
在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
因點(diǎn)P在線段上，則，，
，向量在向量上投影長(zhǎng)為，
而，則點(diǎn)Р到直線的距離
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
所以點(diǎn)Р到直線的距離的最小值為.
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·河北滄州·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線的距離為.
故選：C.
2．（2022·天津·靜海一中高二期末）已知點(diǎn)P(5，3，6)，直線l過點(diǎn)A(2，3，1)，且一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)P到直線l的距離為( )
A． B． C． D．
【答案】B
由題意，，，
，，
，
到直線的距離為.
故選：B.
3．（2022·福建省同安第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
因?yàn)?，，所以?br/>設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則
故選：D
4．（2022·山東濱州·高二期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線AB的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，0，，，1，，，
，，，
在上的投影為，
則點(diǎn)到直線的距離為.
故選：D．
重點(diǎn)題型二：利用空間向量求點(diǎn)面距
典型例題
例題1．（2022·江蘇省揚(yáng)州市教育局高二期末）已知是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為_________.
【答案】##
由題可得，又是平面的一個(gè)法向量，
∴則點(diǎn)P到平面的距離為.
故答案為：.
例題2．（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，若點(diǎn)到平面的距離為，則________.
【答案】-1或-11##-11或-1
由題意，由空間中點(diǎn)到面距離的向量公式，
即，解得或－11.
故答案為：-1或-11
同類題型歸類練
1．（2022·河南·濮陽一高高二期中（理））如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，若E，F(xiàn)分別是上底棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為______．
【答案】1
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)平面的法向量，
則有，令得：，
故，
其中，
則點(diǎn)A到平面的距離為
故答案為：1
2．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為棱、的中點(diǎn)，G為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)G到平面的距離為______．
【答案】
解法一：以為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
則，
取，得，
∴點(diǎn)G到平面的距離為：．
解法二：∵，∴平面，
點(diǎn)G到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
易證平面平面，
在中，設(shè)點(diǎn)到的距離為d，
則，
∴，
∴．
故答案為：
3．（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為___________.
【答案】
以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即,令，得，.所以.
所以點(diǎn)A到平面的距離為.
故答案為：.
4．（2022·全國(guó)·高二期末）如圖，已知長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)到平面的距離為__________．
【答案】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.
設(shè)，則，，
設(shè)平面的法向量為,則,
，即，所以，
可取.
又，
點(diǎn)到平面的距離為，即點(diǎn)到平面的距離為.
故答案為：.
重點(diǎn)題型三：轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求平面與平面之間的距離．
【答案】
解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、，
，，則，
因?yàn)椤⒉辉谕粭l直線上，則，
平面，平面，則平面，
同理可證平面，，故平面平面，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
又因?yàn)?，因此，平面與平面之間的距離為.
例題2．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，棱長(zhǎng)為4，求平面與平面之間的距離．
【答案】．
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
則，取得，
又，
，
所以平面MNA與平面EFBD之間的距離．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則平面與平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由正方體的性質(zhì)，∥,∥，，，
易得平面平面，
則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，．
連接，由，，且，可知平面，
得平面的一個(gè)法向量為，
則兩平面間的距離．
故選：D
2．（2022·全國(guó)·高二）在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A． B．
C． D．
【答案】B
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
即，解得，故，
顯然平面平面，
所以平面與平面之間的距離．
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩平行平面 ， 分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) 和點(diǎn) ，且兩平面的一個(gè)法向量 ，則兩平面間的距離是
A． B． C． D．
【答案】B
兩平行平面 ， 分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) 和點(diǎn) ，，且兩平面的一個(gè)法向量?jī)善矫骈g的距離，故選B.
4．（2022·山東·濟(jì)南外國(guó)語學(xué)校高二期中）在棱長(zhǎng)為的正方體中，平面與平面間的距離是________.
【答案】
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
因?yàn)?，平面與平面不重合，故平面平面，
，所以，平面與平面間的距離為.
故答案為：.
重點(diǎn)題型四：利用向量方法求兩異面直線所成角
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接FE，如圖，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴∥，,,;
在中，由余弦定理可知
∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為，
解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
易知，，，
所以，，
則，
∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為.
故選：D
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)度為2，且．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)直線與所成角的余弦值．
【答案】(1)(2)
(1)由題意，，
，
，
．
(2)，，
，
所以，
所以直線與所成角的余弦值為．
例題3．（2022·江蘇鹽城·高一期末）在四棱錐中，已知底面是菱形，，，，若點(diǎn)為菱形的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是___________.
【答案】
設(shè)，連接，
四邊形為菱形，為中點(diǎn)，
，，，，
又，平面，平面；又，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
四邊形為菱形，為四邊形各內(nèi)角的平分線，
即為四邊形的內(nèi)切圓圓心，四邊形內(nèi)切圓的半徑；
，，；
，，，
設(shè)，，，
，（其中），
，，
即異面直線與所成角的余弦值的取值范圍為.
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令，則，，，，
則，，
設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.
故選：B.
2．（2022·河南安陽·高二階段練習(xí)（理））在正三棱柱中，，點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，則和所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
取的中點(diǎn)，連接，設(shè)，
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，
因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、
軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
，，
，
因此，和所成角的余弦值為.
故選：A.
3．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，向量分別為異面直線方向向量，則異面直線所成角的余弦值為___________.
【答案】
因?yàn)椋?
因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為，所以異面直線所成角的余弦值為.
故答案為：
4．（2022·湖南岳陽·高二期末）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让娣謩e為的中點(diǎn)，；
(1)求證：直線面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析(2)
(1)證明：取的中點(diǎn)P，連
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以
且，又在直三棱柱中，
且，所以且 .
所以四邊形為平行四邊形，所以
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以直線平面；
(2)解在直三棱柱中平面，所以，又側(cè)面?zhèn)让妫矫嫫矫?，所以平面，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意可知，所以；
所以．
所以異面直線MC1與BN所成角的余弦值為．
5．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，面，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)
(1)求證：面；
(2)求異面直線與所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析(2)
(1)證明：
由面建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，垂直于AD以及為方向建立軸，如圖所示:
由底面是等腰梯形以及可知：，，
，
又由點(diǎn)為線段中點(diǎn)，可知
，，
設(shè)為平面的法向量，故可知：
，解得
令，可知平面的法向量一個(gè)法向量為：
根據(jù)線面平行的向量法判斷法則可知面
(2)解：由題意得：由（1）分析可知，
可知向量互相垂直，故異面直線與所成角的大小為
重點(diǎn)題型五：利用向量方法求直線與平面所成角
典型例題
例題1．（2022·福建龍巖·高二期中）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，，，分別為，，的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)，連接，，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，，
故為平面的一個(gè)法向量，
EF與平面所成角為，則
EF與平面所成角的正弦值為，
故選：A．
例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形為正方形，且，為的重心，設(shè)與平面所成角的正弦值為_______．
【答案】
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則 ,
故 ,
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為 ，
則 ，取 ，
可得，
故設(shè)PG與平面PAC所成角為 ，
則 ,
故答案為：
例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，，，，平面平面.為線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.
【答案】1
解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
所以，
所以．
設(shè)平面的法向量，所以
所以，
所以平面的一個(gè)法向量，
設(shè)，
所以，
所以，
解得或（舍，
所以．
因?yàn)?，所?br/>故答案為：1
同類題型歸類練
1．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））平行六面體中，，則與底面所成的線面角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：如圖所示，連接，相交于點(diǎn)，連接．
平行六面體中，且，
不妨令
，，都是等邊三角形．
是等邊三角形．
，，，平面
平面，平面，
平面平面，
是與底面所成角．
因?yàn)?，，所以?br/>如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
其中的坐標(biāo)計(jì)算如下，過 作交于點(diǎn)，
因?yàn)?，，所以?br/>所以，，
因?yàn)?br/>所以，所以，
顯然平面的法向量為，
設(shè)與底面所成的角為，則
故選：A
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)，G分別為AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
解：設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)，連接，，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，0，，，，0，，
，，，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，，
故為平面的一個(gè)法向量，
所以，
所以與平面所成角的正弦值為．
故選：A．
3．（2022·上海中學(xué)高一期末）在正方體中，棱與平面所成角的余弦值為__________．
【答案】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，
，
則，設(shè)平面，
，
則，所以，
棱與平面所成角為，
所以，
則.
故答案為：.
4．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（理））一個(gè)正方體的平面展開圖如圖所示.在該正方體中，以下命題正確的是___________.（填序號(hào)）
①；
②平面；
③與是異面直線且夾角為；
④與平面所成的角為；
⑤二面角的大小為.
【答案】①②③⑤
解：由正方體的平面展開圖可得正方體（其中與重合），
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長(zhǎng)為，
則，，，，，，，，，
所以，，所以，所以，故①正確；
，，
所以，，即，，，
平面，所以平面，即②正確；
，顯然與是異面直線，設(shè)與所成角為，
則，因?yàn)?，所以，故③正確；
，平面的法向量可以為，
設(shè)與平面所成的角為，所以，故④錯(cuò)誤；
，，設(shè)平面的法向量為，
則，令，所以，
設(shè)二面角為，顯然二面角為銳二面角，
則，所以，故⑤正確；
故答案為：①②③⑤
5．（2022·浙江·高三期末）如圖，已知菱形，，沿直線將翻折成，分別為的中點(diǎn)，與平面所成角的正弦值為，為線段上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），則與平面所成角的正弦值的最大值為___________.
【答案】
解：設(shè)頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，
因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，，所以，
因?yàn)?，所以?br/>又因?yàn)?，所以，如圖1，在平面中，為等邊三角形，≌，
所以平分，即，
所以在中，，解得，（舍），
所以點(diǎn)為的中心，故三棱錐是棱長(zhǎng)為的正四面體，
故如圖2，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)
則，
設(shè)，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，令，得，
因?yàn)?，設(shè)與平面所成角為，
所以 ，
令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，與平面所成角的正弦值最大，最大值為
故答案為：
重點(diǎn)題型六：利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角
典型例題
例題1．（2022·四川省綿陽普明中學(xué)高二階段練習(xí)（文））二面角的棱上有、兩點(diǎn)，直線、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，，則該二面角的大小為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
由條件，知．
，
，即，
所以二面角的大小為
故選：C．
例題2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)，底面，，，，若平面平面，則二面角的正弦值是_________.
【答案】##
設(shè)，則平面平面，
由重心的性質(zhì)可得，
因?yàn)榈酌?，，設(shè)，
，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，，
，
設(shè)平面，的法向量為，
則，
，
所以，由圖可知，
二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為，
正弦值為.
故答案為：
例題3．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面中，，側(cè)面平面，且，點(diǎn)在棱上，且．
則二面角的余弦值為____________
【答案】．
如圖，取的中點(diǎn)，連接，．
由條件可知， ，兩兩垂直，以， ，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則， ， ，，
因?yàn)?，所以?br/>所以， ，，
設(shè)平面的法向量為，
則即令，則．
設(shè)平面的法向量為，
則即令，則=，
，
結(jié)合圖象可知二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為．
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面上，與二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為、，則這個(gè)二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
解：在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為，，，，2，，
則這兩個(gè)向量夾角的余弦值為，
這個(gè)二面角的余弦值為或．
故選：D．
2．（2022·河南·華中師范大學(xué)附屬息縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知矩形ABCD，，，將沿AC折起到的位置若，則二面角平面角的余弦值的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：作，垂足分別為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，
所以即為二面角的平面角，
由矩形ABCD，可得，
則，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
即，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以.
所以二面角平面角的余弦值的大小為.
故選：C.
3．（2022·北京八中高二期末）已知長(zhǎng)方體中，，，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，則，
易知平面的一個(gè)法向量為，
所以，
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，
故選：A
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AD，DD1的中點(diǎn)，則平面EFC1B和平面BCC1所成銳二面角的正弦值為________.
【答案】##
以D為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB＝2，則，，，，.設(shè)平面EFC1B的一個(gè)法向量為，則 取x＝2，得.易知平面BCC1的一個(gè)法向量為.設(shè)平面EFC1B和平面BCC1所成的銳二面角為θ，則，所以.
故答案為：
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn)，且平面ABCD，，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，則二面角的正切值為__________
【答案】
如圖所示，連接BD，，連接OF，
以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．
設(shè)，則．
所以，，，．
結(jié)合圖形可知，，且為平面BOF的法向量，
由，，
可求得平面BCF的一個(gè)法向量為．
所以，，
所以．
故答案為：
1．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析(2)
(1)證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，
因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面
(2)解：過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?，所以?br/>又，所以，則，，
所以，所以，，，，
所以，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，所以；
所以.
設(shè)二面角的大小為，則，
所以，即二面角的正弦值為.
2．（2022·全國(guó)·高考真題（理））如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)與平面所成的角的正弦值為
(1)因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；
在和中，因?yàn)椋?br/>所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；
又因?yàn)槠矫?，，所以平面?br/>因?yàn)槠矫?，所以平面平?
(2)連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?br/>所以，所以，
當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.
因?yàn)?，所以?br/>又因?yàn)?，所以是等邊三角形?br/>因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)椋?
在中，，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
又因?yàn)?，所以?br/>所以，
設(shè)與平面所成的角的正弦值為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為.

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