資源簡介

2.1.1傾斜角與斜率（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求直線的傾斜角
重點題型二：求直線的斜率
重點題型三：直線的傾斜角和斜率的綜合應(yīng)用
重點題型四：利用直線斜率處理共線問題
重點題型五：求斜率或傾斜角的取值范圍
重點題型六：斜率公式的幾何意義的應(yīng)用
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：直線傾斜角的定義
以軸為基準，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.
（1）當直線與軸平行或者重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；
特別地，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角為.
（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.
知識點二：直線的斜率
我們把一條直線的傾斜角（） 的正切值叫做這條直線的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；
（2）傾斜角時，直線的斜率不存在。
知識點三：斜率與傾斜角的聯(lián)系
傾斜角 （范圍）
斜率 （范圍） 不存在
知識點四：直線斜率的坐標公式
如果直線經(jīng)過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）當 時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式與兩點坐標的順序無關(guān)，橫縱坐標的次序可以同時調(diào)換；
（3）當 時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。
1．判斷正誤
（1）傾斜角為的直線的斜率為1．( )
（2）直線斜率的取值范圍是．( )
2．若直線l經(jīng)過原點和，則它的傾斜角是( )
A． B． C．或 D．
3．如圖所示，直線l的傾斜角為( )
A． B． C． D．不存在
4．已知直線l的傾斜角為，則直線l的斜率為( )
A． B． C．1 D．
5．已知經(jīng)過兩點和的直線的斜率等于1，則m的值是( )
A．5 B．8 C． D．7
重點題型一：求直線的傾斜角
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）下列命題中正確的是（ ）．
A．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為
B．若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
C．平行于軸的直線的傾斜角為
D．若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為
例題2．（2022·全國·高二課時練習）如圖，已知直線的傾斜角為，，垂足為．，與軸分別相交于點，，平分，則的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課前預(yù)習）如圖所示，直線l的傾斜角為（ ）
A．45° B．135° C．0° D．不存在
2．（2021·全國·高二課時練習）若A，B兩點的橫坐標相等，則直線AB的傾斜角和斜率分別是（ ）
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
3．（2021·河北·邢臺市南和區(qū)實驗中學(xué)高二階段練習）直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
重點題型二：求直線的斜率
典型例題
例題1．（2022·全國·高二）如圖所示，直線的頻斜角，直線，則直線的斜率為________．
例題2．（2022·全國·高二課時練習）（1）若直線的傾斜角，求直線斜率的范圍；
（2）若直線的斜率，求直線傾斜角的范圍.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）若直線l的傾斜角為，則直線l的斜率為________.
2．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心高一期末）已知直線l經(jīng)過，兩點，則l的斜率為___________.
3．（2022·全國·高二課時練習）若直線的一個法向量為，則若直線的斜率_____.
4．（2022·江蘇·高二）已知直線的斜率為，直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的斜率.
5．（2022·全國·高二課時練習）已知直線的斜率為，直線的傾斜角比直線的傾斜角小，求直線的斜率．
重點題型三：直線的傾斜角和斜率的綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是_________.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知點，，，.
（1）若直線與直線平行，求實數(shù)的值；
（2）當時，求直線傾斜角的取值范圍.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）直線過點，且不經(jīng)過第四象限，那么直線的斜率的取值范圍是______
2．（2022·全國·高二課時練習）已知直線l經(jīng)過、（）兩點，求直線l的傾斜角的取值范圍.
3．（2022·全國·高二課時練習）已知直線l的一個方向向量為，求直線l的斜率和傾斜角．
4．（2022·江蘇·高二）已知直線l1經(jīng)過點A（3，a）、B（a－2，3），直線l2經(jīng)過點C（2，3）、D（－1，a－2），
(1)若l1⊥l2，求a的值；
(2)若l1的傾斜角為銳角，求a的取值范圍．
重點題型四：利用直線斜率處理共線問題
典型例題
例題1．已知點，判斷三點是否共線．
例題2．在平面直角坐標系中，已知點，，.若三點共線，求實數(shù)的值；
同類題型歸類練
1．已知三點共線，求實數(shù)a的值．
2．已知平面內(nèi)有兩兩不重合的三點，，.若A，B，C三點共線，求實數(shù)a的值.
3．已知平面直角坐標系中，點為原點，，，．
若，，三點共線，求實數(shù)的值．
4．在平面直角坐標系中，設(shè)、、.
（1）若、、三點共線，求的值；
重點題型五：求斜率或傾斜角的取值范圍
典型例題
例題1．（2022·四川達州·高一期末（理））已知，，過點且斜率為的直線與線段有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·江蘇·高二）過點的直線與以、為端點的線段有交點，求直線的傾斜角的取值范圍．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）設(shè)點 ，若直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．（2022·全國·高二課時練習）已知點，，若直線l過點，且與線段相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（ ）
A．或 B．
C． D．
3．（2022·江蘇·高二）已知點、、， 過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．以上都不對
4．（2022·江蘇·高二）已知過點的直線l與以點，為端點的線段AB相交，則直線l的斜率的取值范圍為___________.
5．（2022·全國·高三專題練習）已知A（1，0），B（﹣1，2），直線l：2x﹣ay﹣a＝0上存在點P，滿足|PA|+|PB|＝，則實數(shù)a的取值范圍是 ___________．
重點題型六：斜率公式的幾何意義的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）點在函數(shù)的圖象上，當時，的取值
范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市第十四中學(xué)高一期末）已知正的頂點，，頂點在第一象限，若點是內(nèi)部及其邊界上一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·河南·二模（文））2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，，，，分別是大星中心點與四顆小星中心點的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇·高二課時練習）如圖，“坡度”常用來刻畫道路的傾斜程度，這個詞與直線的斜率有何關(guān)系？坡度為4％的道路很陡嗎？調(diào)查一些山路或橋面的坡度，并與同學(xué)交流．
1．（2022·新疆烏魯木齊·二模（文））已知正方形的一條對角線所在直線的斜率為，則其一條邊所在直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陜西渭南·一模（理））已知，，點是線段（包括端點）上的動點，則的取值范圍是 ________．
2.1.1傾斜角與斜率（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求直線的傾斜角
重點題型二：求直線的斜率
重點題型三：直線的傾斜角和斜率的綜合應(yīng)用
重點題型四：利用直線斜率處理共線問題
重點題型五：求斜率或傾斜角的取值范圍
重點題型六：斜率公式的幾何意義的應(yīng)用
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：直線傾斜角的定義
以軸為基準，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.
（1）當直線與軸平行或者重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；
特別地，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角為.
（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.
知識點二：直線的斜率
我們把一條直線的傾斜角（） 的正切值叫做這條直線的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；
（2）傾斜角時，直線的斜率不存在。
知識點三：斜率與傾斜角的聯(lián)系
傾斜角 （范圍）
斜率 （范圍） 不存在
知識點四：直線斜率的坐標公式
如果直線經(jīng)過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）當 時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式與兩點坐標的順序無關(guān)，橫縱坐標的次序可以同時調(diào)換；
（3）當 時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。
1．判斷正誤
（1）傾斜角為的直線的斜率為1．( )
（2）直線斜率的取值范圍是．( )
【答案】 × √
（1）傾斜角為的直線的斜率為-1
（2）直線斜率的取值范圍是
2．若直線l經(jīng)過原點和，則它的傾斜角是( )
A． B． C．或 D．
【答案】B
設(shè)傾斜角為
所以
故選：B
3．如圖所示，直線l的傾斜角為( )
A． B． C． D．不存在
【答案】B
由圖可知：該直線的傾斜角為150°
故選：B
4．已知直線l的傾斜角為，則直線l的斜率為( )
A． B． C．1 D．
【答案】A
由題可知：斜率為
故選：A
5．已知經(jīng)過兩點和的直線的斜率等于1，則m的值是( )
A．5 B．8 C． D．7
【答案】C
由題可知：
故選：C
重點題型一：求直線的傾斜角
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）下列命題中正確的是（ ）．
A．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為
B．若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
C．平行于軸的直線的傾斜角為
D．若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為
【答案】D
對于A，當時，直線的斜率不存在，故A不正確；
對于B，當時，斜率為，傾斜角為，故B不正確；
對于C，平行于x軸的直線的傾斜角為，故C不正確；
對于D，若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為是正確的.
故選：D
例題2．（2022·全國·高二課時練習）如圖，已知直線的傾斜角為，，垂足為．，與軸分別相交于點，，平分，則的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因為直線的傾斜角為150°，所以，所以的傾斜角為．
故選：A.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課前預(yù)習）如圖所示，直線l的傾斜角為（ ）
A．45° B．135° C．0° D．不存在
【答案】B
直線向上方向與軸正半軸的夾角為傾斜角，所以為135°
故選：B
2．（2021·全國·高二課時練習）若A，B兩點的橫坐標相等，則直線AB的傾斜角和斜率分別是（ ）
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
【答案】C
由傾斜角和斜率的定義可知，直線AB的傾斜角為90°，而當傾斜角為90°時，斜率不存在．
故選：C.
3．（2021·河北·邢臺市南和區(qū)實驗中學(xué)高二階段練習）直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由傾斜角的定義可知，直線l的傾斜角的取值范圍是，
故選：D
重點題型二：求直線的斜率
典型例題
例題1．（2022·全國·高二）如圖所示，直線的頻斜角，直線，則直線的斜率為________．
【答案】
由題意知，直線的斜率，
因為，所以，所以的斜率．
故答案為：.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）（1）若直線的傾斜角，求直線斜率的范圍；
（2）若直線的斜率，求直線傾斜角的范圍.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）因為，，，，
結(jié)合正切函數(shù)在的單調(diào)性得，
（2）直線l的斜率，，，
結(jié)合正切函數(shù)在的單調(diào)性得.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）若直線l的傾斜角為，則直線l的斜率為________.
【答案】
因為直線l的傾斜角為，則.
故答案為：.
2．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心高一期末）已知直線l經(jīng)過，兩點，則l的斜率為___________.
【答案】
利用斜率公式：
故答案為：
3．（2022·全國·高二課時練習）若直線的一個法向量為，則若直線的斜率_____.
【答案】
根據(jù)題意，設(shè)直線l的斜率為k，則其方向向量為（1，k），
若直線l的一個法向量為（2，1），則有 2+k＝0，解可得k＝﹣2；
故答案為：﹣2．
4．（2022·江蘇·高二）已知直線的斜率為，直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的斜率.
【答案】
解：由題意，設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，
由已知得，
所以直線的斜率為.
5．（2022·全國·高二課時練習）已知直線的斜率為，直線的傾斜角比直線的傾斜角小，求直線的斜率．
【答案】
解：因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，又直線的傾斜角比直線的傾斜角小，所以直線的傾斜角為，所以，
所以直線的斜率為；
重點題型三：直線的傾斜角和斜率的綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是_________.
【答案】
由圖得當時，
故答案為：
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知點，，，.
（1）若直線與直線平行，求實數(shù)的值；
（2）當時，求直線傾斜角的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
（1），，
，
解得或，
當時，與重合，舍去.
當時，，與不共線，
所以符合題意.
（2）由于，所以，所以直線的斜率存在，
且，
所以直線傾斜角的取值范圍是.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）直線過點，且不經(jīng)過第四象限，那么直線的斜率的取值范圍是______
【答案】
當直線過點A且平行于軸時，直線斜率取得最小值；當直線過點與原點時，直線斜率取得最大值，所以直線的斜率的取值范圍是.
2．（2022·全國·高二課時練習）已知直線l經(jīng)過、（）兩點，求直線l的傾斜角的取值范圍.
【答案】
∵直線l過，兩點，
∴直線l的斜率為，
設(shè)直線l的傾斜角為，則，且，
解得或
∴直線l的傾斜角的取值范圍是.
3．（2022·全國·高二課時練習）已知直線l的一個方向向量為，求直線l的斜率和傾斜角．
【答案】直線l的斜率為，傾斜角為.
因為直線l的一個方向向量為，所以直線的斜率為
設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.
4．（2022·江蘇·高二）已知直線l1經(jīng)過點A（3，a）、B（a－2，3），直線l2經(jīng)過點C（2，3）、D（－1，a－2），
(1)若l1⊥l2，求a的值；
(2)若l1的傾斜角為銳角，求a的取值范圍．
【答案】(1)0或5(2)（3，5）
(1)當a＝5時，直線l1的斜率不存在，此時直線l2的斜率為0，滿足l1⊥l2；
當a≠5時，由l1⊥l2，可得k1×k2＝－1，即×＝－1，解得a＝0，
所以當l1⊥l2時，a的值是0或5；
(2)因為直線l1經(jīng)過點A（3，a）、B（a－2，3），
所以直線l1的斜率k＝，
又因為直線l1的傾斜角為銳角，所以k＞0，即＞0，
即
解得3＜a＜5，
故a的取值范圍是（3，5）．
重點題型四：利用直線斜率處理共線問題
典型例題
例題1．已知點，判斷三點是否共線．
【答案】三點不共線.
因為，
又，所以與不共線，
所以三點不共線.
例題2．在平面直角坐標系中，已知點，，.若三點共線，求實數(shù)的值；
【答案】（1）或或；（2）或.
（1）由題意得：，，
三點共線，，
即，
解得：或或；
同類題型歸類練
1．已知三點共線，求實數(shù)a的值．
【答案】
由題意，三點共線
故
即
解得：
2．已知平面內(nèi)有兩兩不重合的三點，，.若A，B，C三點共線，求實數(shù)a的值.
【答案】
，
由于三點共線，所以，
所以，
解得或.
當時，兩點重合，不符合題意.
經(jīng)驗證可知符合題意.
所以.
3．已知平面直角坐標系中，點為原點，，，．
若，，三點共線，求實數(shù)的值．
【答案】.
由題知，，.
若，，三點共線，則向量與共線，
有，解得.
4．在平面直角坐標系中，設(shè)、、.
（1）若、、三點共線，求的值；
【答案】（1）
（1）由題意：，，
由得：，解得；
重點題型五：求斜率或傾斜角的取值范圍
典型例題
例題1．（2022·四川達州·高一期末（理））已知，，過點且斜率為的直線與線段有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因為過點且斜率為的直線l與線段AB有公共點，
所以由圖可知，或，
因為或，
所以或，
故選：D
例題2．（2022·江蘇·高二）過點的直線與以、為端點的線段有交點，求直線的傾斜角的取值范圍．
【答案】
如圖所示，因為，，，
可得，，
要使得直線與以、為端點的線段有交點，
設(shè)直線的傾斜角為，其中，則滿足或，
解得或，即直線的傾斜角的取值范圍.
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）設(shè)點 ，若直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
如圖所示：
，要想直線l過點且與線段AB相交，
則或，
故選：A
2．（2022·全國·高二課時練習）已知點，，若直線l過點，且與線段相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
解：直線的斜率，直線的斜率，
因為直線l過點，且與線段相交，
結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是或．
故選：A．
3．（2022·江蘇·高二）已知點、、， 過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．以上都不對
【答案】C
如圖所示：∵過點C的直線l與線段AB有公共點，∴直線l的斜率k≥kBC或，
∴直線l的斜率 或，
∴直線l斜率k的取值范圍：，
故選：C．
4．（2022·江蘇·高二）已知過點的直線l與以點，為端點的線段AB相交，則直線l的斜率的取值范圍為___________.
【答案】
解：設(shè)點，依題意，．
因為直線與線段有交點，
由圖可知直線的斜率的取值范圍是．
故答案為：．
5．（2022·全國·高三專題練習）已知A（1，0），B（﹣1，2），直線l：2x﹣ay﹣a＝0上存在點P，滿足|PA|+|PB|＝，則實數(shù)a的取值范圍是 ___________．
【答案】
因為，且，
由圖可知，點P的軌跡為線段AB，
將點A，B的坐標分別代入直線l的方程，可得a＝2，a＝，
由直線l的方程可化為：2x﹣a（y+1）＝0，所以直線l過定點C（0，﹣1），
畫出圖形，如圖所示：
因為直線AC的斜率為kAC＝1，直線BC的斜率為kBC＝＝﹣3，
所以直線l的斜率為k＝，令，解得≤a≤2，
所以a的取值范圍是[，2]．
故答案為：[，2]．
重點題型六：斜率公式的幾何意義的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）點在函數(shù)的圖象上，當時，的取值
范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因為點在函數(shù)的圖象上，
所以時， ；當時，；
故設(shè)
而可看作函數(shù)的圖象上的點與點 （-1，-2）連線的斜率，
故時，,
而 ,所以
故選：B.
例題2．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市第十四中學(xué)高一期末）已知正的頂點，，頂點在第一象限，若點是內(nèi)部及其邊界上一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
正的頂點，且頂點在第一象限，故頂點的坐標為，，
可看作內(nèi)部及其邊界上一點與點的連線斜率，
當運動到點時，直線的斜率最大，故的最大值為
故選：B.
1．（2022·河南·二模（文））2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，，，，分別是大星中心點與四顆小星中心點的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
都為五角星的中心點，平分第三顆小星的一個角，
又五角星的內(nèi)角為，可知，
過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，
故選：C
2．（2022·江蘇·高二課時練習）如圖，“坡度”常用來刻畫道路的傾斜程度，這個詞與直線的斜率有何關(guān)系？坡度為4％的道路很陡嗎？調(diào)查一些山路或橋面的坡度，并與同學(xué)交流．
【答案】答案見解析.
“坡度”常用來刻畫道路的傾斜程度，它與直線的斜率在時是相同的；
坡度為4%的道路是指100米的水平路程上升(或下降)4米，
是高速路規(guī)定的最大坡率，是很陡；
1．（2022·新疆烏魯木齊·二模（文））已知正方形的一條對角線所在直線的斜率為，則其一條邊所在直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
以正方形的頂點為坐標原點，建立如圖坐標系，
根據(jù)題意，對角線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，
則正方形的傾斜角分別為，
又，
所以兩直角邊的斜率分別為或.
故選: B.
2．（2022·陜西渭南·一模（理））已知，，點是線段（包括端點）上的動點，則的取值范圍是 ________．
【答案】[1，2]
設(shè)，則可以看成過點與坐標原點的直線的斜率.
當點在線段上由點運動到點時，直線的斜率由增大到，如圖所示.
又，，所以，即的取值范圍是[1，2].
故答案為：[1，2]

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