資源簡介

1.2空間向量基本定理（精講）
目錄
第一部分：知識點精準記憶
第二部分：課前自我評估測試
第三部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：基底的判斷
重點題型二：用基底表示空間向量
重點題型三：應用空間向量基本定理證明線線位置關系
重點題型四：應用空間向量基本定理求距離、夾角
第四部分：新定義問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：空間向量基本定理
1、空間向量基本定理
如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序實數組使得
2、基底與基向量
如果向量三個向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個基底都叫做基向量．
對基底正確理解，有以下三個方面：
（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；
（2）因為可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是；
（3）一個基底是由三個不共面的向量構成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是不同的概念．
知識點二：空間向量的正交分解
1、單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底 ，常用表示．
2、正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得. 像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標．記作此時向量的坐標恰是點在空間直角坐標系中的坐標其中分別叫做點的橫坐標、縱坐標、豎坐標．
3、特殊向量的坐標表示
（1）當向量平行于軸時，縱坐標、豎坐標都為，即
（2）當向量平行于軸時，縱坐標、橫坐標都為，即
（3）當向量平行于軸時，橫坐標坐標、縱坐標都為，即
（4）當向量平行于平面時，豎坐標為，即
（5）當向量平行于平面時，橫坐標為，即
（6）當向量平行于平面時，縱坐標為，即
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）只有兩兩垂直的三個向量才能作為空間向量的一組基底．( )
（2）若為空間一個基底，則也可構成空間一個基底．( )
（3）若三個非零向量，，不能構成空間的一個基底，則，，共面．( )
（4）對于三個不共面向量，，，不存在實數組使．( )
2．（2022·全國·高二課時練習）在長方體中，可以作為空間向量一個基底的是( )
A． B． C． D．
3．（2022·河南鄭州·高二期末（理））已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·高二期末）空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學校高二期末）已知空間向量，，，下列命題中正確的個數是（ ）
①若與共線，與共線，則與共線；
②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；
⑧若，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序實數組，使得；
④若，不共線，向量，則可以構成空間的一個基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
重點題型一：基底的判斷
典型例題
例題1．（2022·全國·高二期末）若構成空間的一個基底，則下列向量可以構成空間的另一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知是空間的一個基底，若，則下列可以為空間一個基底的是（ ）
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·重慶八中模擬預測）若構成空間的一個基底，則下列向量也可以構成空間中的一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高二課時練習）設，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
重點題型二：用基底表示空間向量
典型例題
例題1．（2022·福建·三明一中高二階段練習）如圖所示，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，，設，，則________（用來表示）
例題2．（2022·江蘇常州·高二期中）已知是所在平面外一點，，且，則實數的值為____________.
例題3．（2022·江蘇南通·高二期末）在四面體中，，，，點滿足，為的中點，且，則（ ）
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高二階段練習）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（ ）
A． B．=
C．= D．=
2．（2022·江蘇南通·高二期中）如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且，M為OA中點，N為BC中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川·成都外國語學校高二階段練習（理））如圖，在三棱錐中，設，若，則=（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江蘇宿遷·高二期中）已知是所在平面外一點，是中點，且，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
重點題型三：應用空間向量基本定理證明線線位置關系
典型例題
例題1．如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，．
求證：；
例題2．已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.證明：；
同類題型歸類練
1．如圖，在直三棱柱中，，， D，E分別為，的中點．
求證；
2．在正四面體中，，，，分別是，，，的中點．設，，．
(1)用，，表示，；
(2)求證：；
重點題型四：應用空間向量基本定理求距離、夾角
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱的長為3，且，是的中點，設，，，用、、表示向量，并求的長．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，點是的中點，，，，，設，，.
（1）用，，表示，；
（2）求異面直線與所成角的余弦值.
例題3．（2021·天津市西青區楊柳青第一中學高二期中）如圖，三棱柱中，分別是上的點，且．設，，．
(1)試用，，表示向量；
(2)若，求的長．
(3)在（2）的條件下，求與所成角的余弦值．
同類題型歸類練
1．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，M為與的交點，設，，．
(1)用，，表示并求BM的長；
(2)求點A到直線BM的距離．
2．（2022·浙江·於潛中學高二期中）如圖所示，在四棱錐中，，且，底面為正方形.
(1)設試用表示向量；
(2)求的長.
3．（2022·全國·高二）已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設，，.
(1)試用、、表示；
(2)求的長度.
4．（2022·全國·高二課時練習）如圖，空間四邊形的各邊及對角線長都為2，E是的中點，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量與向量所成角的余弦值.
5．（2021·山東濰坊·高二期中）如圖， 三棱柱 ，為 的中點， ， 設
(1)試用 表示向量 ；
(2)若 ，異面直線 與 所成角的余弦值．
1．自然界中，構成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀大小由它的三組棱長a、b、c及棱間交角、、（合稱為“晶胞參數”）來表征.如圖是某種晶體的晶胞，其中，，，，，則該晶胞的對角線的長為__________.
2．定義：設是空間向量的一個基底，若向量，則稱實數組為向量在基底下的坐標，已知是空間向量的單位正交基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標為，求向量在基底下的坐標，并求向量的模．
1．（2022·重慶八中模擬預測）若構成空間的一個基底，則下列向量也可以構成空間中的一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·廣西·模擬預測（理））如圖，在三棱錐中，點，，分別是，，的中點，設，， ，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·陜西省商丹高新學校模擬預測（理））如圖在平行六面體中，底面 是邊長為1的正方形，側棱且，則 （ ）
A． B． C． D．
4．（2020·浙江·模擬預測）如圖，在菱形中，，分別是的中點，若線段有一點滿足，則__________，______．
1.2空間向量基本定理（精講）
目錄
第一部分：知識點精準記憶
第二部分：課前自我評估測試
第三部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：基底的判斷
重點題型二：用基底表示空間向量
重點題型三：應用空間向量基本定理證明線線位置關系
重點題型四：應用空間向量基本定理求距離、夾角
第四部分：新定義問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：空間向量基本定理
1、空間向量基本定理
如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序實數組使得
2、基底與基向量
如果向量三個向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個基底都叫做基向量．
對基底正確理解，有以下三個方面：
（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；
（2）因為可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是；
（3）一個基底是由三個不共面的向量構成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是不同的概念．
知識點二：空間向量的正交分解
1、單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底 ，常用表示．
2、正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得. 像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標．記作此時向量的坐標恰是點在空間直角坐標系中的坐標其中分別叫做點的橫坐標、縱坐標、豎坐標．
3、特殊向量的坐標表示
（1）當向量平行于軸時，縱坐標、豎坐標都為，即
（2）當向量平行于軸時，縱坐標、橫坐標都為，即
（3）當向量平行于軸時，橫坐標坐標、縱坐標都為，即
（4）當向量平行于平面時，豎坐標為，即
（5）當向量平行于平面時，橫坐標為，即
（6）當向量平行于平面時，縱坐標為，即
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）只有兩兩垂直的三個向量才能作為空間向量的一組基底．( )
（2）若為空間一個基底，則也可構成空間一個基底．( )
（3）若三個非零向量，，不能構成空間的一個基底，則，，共面．( )
（4）對于三個不共面向量，，，不存在實數組使．( )
【答案】 × √ √ ×
（1）不共面的三個向量均可以作為空間向量的一組基底，錯誤；
（2）由為空間一個基底，所以不共面，故可以作為基底，正確；
（3）三個非零向量，，不能構成空間的一個基底，則，，共面，正確；
（4）存在，比如，錯誤.
2．（2022·全國·高二課時練習）在長方體中，可以作為空間向量一個基底的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
根據空間基底的概念可知：不共面，符合要求
故選：C
3．（2022·河南鄭州·高二期末（理））已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
.
故選：A
4．（2022·湖北·高二期末）空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
空間四點共面，但任意三點不共線，，解得：.
故選：A.
5．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學校高二期末）已知空間向量，，，下列命題中正確的個數是（ ）
①若與共線，與共線，則與共線；
②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；
⑧若，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序實數組，使得；
④若，不共線，向量，則可以構成空間的一個基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
若 與 ， 與共線， ，則不能判定 ，
故①錯誤；
若非零向量共面，則向量 可以在一個與 組成的平面平行的平面上，
故②錯誤；
不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，
故③正確；
，∴ 與 共面，故 不能組成一個基底，
故④錯誤；
故選：C.
重點題型一：基底的判斷
典型例題
例題1．（2022·全國·高二期末）若構成空間的一個基底，則下列向量可以構成空間的另一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：對于選項A：因為，所以，，共面，不能構成基底，故選項A錯誤，
對于選項B：因為，所以，，共面，不能構成基底，故選項B錯誤，
對于選項C：因為，，，共面，不能構成基底，故選項C錯誤，
對于選項D：若，，共面，則，即，則，無解，所以，，不共面，可以構成空間的另一個基底，故選項D正確.
故選：D．
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知是空間的一個基底，若，則下列可以為空間一個基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由于，可知共面，所以選項A不能作為空間的一個基底；
由于，可知共面，所以選項B不能作為空間的一個基底；
由于，可知共面，所以選項C不能作為空間的一個基底；
假設不是空間的一組基底，即向量共面，則存在實數使得，即，
所以,
因為是空間的一組基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空間的一組基底，所以選項D正確；
故選:D.
同類題型歸類練
1．（2022·重慶八中模擬預測）若構成空間的一個基底，則下列向量也可以構成空間中的一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
選項A：令，則，，A正確；
選項B：因為，所以不能構成基底；
選項C：因為，所以不能構成基底；
選項D：因為，所以不能構成基底．
故選：A.
2．（2022·全國·高二課時練習）設，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
如圖，作平行六面體，，，，
則，，，，
由平行六面體知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作為空間的基底的有3組．
故選：C．
重點題型二：用基底表示空間向量
典型例題
例題1．（2022·福建·三明一中高二階段練習）如圖所示，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，，設，，則________（用來表示）
【答案】
，而M是四面體OABC的棱BC的中點，則，
因AP＝3PN，，則，
所以.
故答案為：
例題2．（2022·江蘇常州·高二期中）已知是所在平面外一點，，且，則實數的值為____________.
【答案】
因為，則，
所以，，
所以，，，，因此，.
故答案為：.
例題3．（2022·江蘇南通·高二期末）在四面體中，，，，點滿足，為的中點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
其中 為中點，有 ，故可知 ，
則知 為 的中點，故點 滿足 ， ．
故選：A
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高二階段練習）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（ ）
A． B．=
C．= D．=
【答案】B
連接AG并延長交BC于N，連接ON，
由G是的重心，可得，
則
則
故選：B
2．（2022·江蘇南通·高二期中）如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且，M為OA中點，N為BC中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題意得：，
故選：A
3．（2022·四川·成都外國語學校高二階段練習（理））如圖，在三棱錐中，設，若，則=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
連接
.
故選：A
4．（2022·江蘇宿遷·高二期中）已知是所在平面外一點，是中點，且，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
因為M是PC中點，
，又，
，
∴.
故選：A.
重點題型三：應用空間向量基本定理證明線線位置關系
典型例題
例題1．如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，．
求證：；
證明：在矩形中，，
因為平面平面，且平面平面，
平面，
所以平面，
又因平面，所以，
，
所以，
所以；
例題2．已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.證明：；
設，，
由題可知：兩兩之間的夾角均為，且，
（1）由
所以即證.
同類題型歸類練
1．如圖，在直三棱柱中，，， D，E分別為，的中點．
求證；
設 ，， ，
根據題意得， ，易知 ， ，
，
，即．
2．在正四面體中，，，，分別是，，，的中點．設，，．
(1)用，，表示，；
(2)求證：；
【答案】(1)，(2)證明見解析
(1)，分別是，的中點，則且
所以，
，分別是，的中點，則且
(2)證明：設四面體的棱長為，則向量兩兩之間的夾角均為
則，
∴，
故；
重點題型四：應用空間向量基本定理求距離、夾角
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱的長為3，且，是的中點，設，，，用、、表示向量，并求的長．
【答案】，
解：因為是的中點，底面是正方形，
所以
，
又由題意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的長為.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，點是的中點，，，，，設，，.
（1）用，，表示，；
（2）求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】（1），；（2）．
（1）三棱柱中，點是的中點，
，
，
（2），，，，，
，
，
，
．
所以異面直線與所成角的余弦值是．
例題3．（2021·天津市西青區楊柳青第一中學高二期中）如圖，三棱柱中，分別是上的點，且．設，，．
(1)試用，，表示向量；
(2)若，求的長．
(3)在（2）的條件下，求與所成角的余弦值．
【答案】(1)(2)(3)
(1)解：（1）=＋＋
=＋＋
，
又，，，
∴．
(2)解：∵，∴．
∵，∴．∵，
∴，
∴，
∴．
(3)解：∵
∴
又
∴.
同類題型歸類練
1．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，M為與的交點，設，，．
(1)用，，表示并求BM的長；
(2)求點A到直線BM的距離．
【答案】(1)，BM的長為．(2)2
(1)
又，，，
故BM的長為．
(2)由（1）知，，
∴，
所以，則為點A到直線BM的距離，
又，故點A到直線BM的距離為2．
2．（2022·浙江·於潛中學高二期中）如圖所示，在四棱錐中，，且，底面為正方形.
(1)設試用表示向量；
(2)求的長.
【答案】(1)(2)
(1)∵M是PC的中點，
∴.
∵，∴，
結合，，，
得.
(2)∵，
∴，∵，
∴，，
∴
.
∴，即BM的長等于.
3．（2022·全國·高二）已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設，，.
(1)試用、、表示；
(2)求的長度.
【答案】(1)；(2).
(1)平行六面體中，，，，因，于是得：
，
所以.
(2)平行六面體中，，，
，
因，且底面是正方形，，，
則有，，同理，，
因此，，
所以的長度是.
4．（2022·全國·高二課時練習）如圖，空間四邊形的各邊及對角線長都為2，E是的中點，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量與向量所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
（1）因為E是的中點，F在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因為，
所以向量與向量所成角的余弦值為.
5．（2021·山東濰坊·高二期中）如圖， 三棱柱 ，為 的中點， ， 設
(1)試用 表示向量 ；
(2)若 ，異面直線 與 所成角的余弦值．
【答案】(1)(2)
(1)因為D為中點，
所以，
由．所以，
所以．
(2)由題意知，
，
所以，
，
，
所以，
所以異面直線AE與所成角的余弦值為．
1．自然界中，構成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀大小由它的三組棱長a、b、c及棱間交角、、（合稱為“晶胞參數”）來表征.如圖是某種晶體的晶胞，其中，，，，，則該晶胞的對角線的長為__________.
【答案】
如圖所示：
所以
依題可知：，
所以
所以
則，故
故答案為：
2．定義：設是空間向量的一個基底，若向量，則稱實數組為向量在基底下的坐標，已知是空間向量的單位正交基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標為，求向量在基底下的坐標，并求向量的模．
【答案】向量在基底下的坐標是，向量的模是
解：∵向量在基底下的坐標為，
∴，
∴向量在基下的坐標是，
又∵是空間向量的單位正交基底，∴，且
∴
∴向量在基底下的坐標是，向量的模是．
1．（2022·重慶八中模擬預測）若構成空間的一個基底，則下列向量也可以構成空間中的一個基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
選項A：令，則，，A正確；
選項B：因為，所以不能構成基底；
選項C：因為，所以不能構成基底；
選項D：因為，所以不能構成基底．
故選：A.
2．（2020·廣西·模擬預測（理））如圖，在三棱錐中，點，，分別是，，的中點，設，， ，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
如圖，連接，
因為點，分別是，的中點，
所以.
因為點是的中點，
所以
.
因為點是的中點，
所以，
則.
故選：D.
3．（2020·陜西省商丹高新學校模擬預測（理））如圖在平行六面體中，底面 是邊長為1的正方形，側棱且，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因為底面是邊長為1的正方形，側棱且，
則 ，，，，，，
則
故選：B.
4．（2020·浙江·模擬預測）如圖，在菱形中，，分別是的中點，若線段有一點滿足，則__________，______．
【答案】
設，
在菱形中，分別是的中點，所以
，
又，所以，解得，
所以，
所以，
因為在菱形中，，
所以.
故答案為：；.

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