資源簡介

1.3空間向量及其運算的坐標表示（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：空間向量的坐標表示
重點題型二：空間向量的坐標運算
重點題型三：空間向量的平行與垂直
重點題型四：空間向量夾角的計算
重點題型五：空間向量模的計算
重點題型六：空間向量的投影
重點題型七：利用向量證明垂直關系
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：空間向量的正交分解及其坐標表示
1、空間直角坐標系
空間直角坐標系及相關概念
(1)空間直角坐標系：在空間選定一點和一個單位正交基底，以為原點，分別以 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系.
(2)相關概念：叫做原點，都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個部分．
2、空間向量的坐標表示
2.1空間一點的坐標：在空間直角坐標系中，為坐標向量，對空間任意一點，對應一個向量，且點的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組，使.在單位正交基底下與向量 對應的有序實數組叫做點在此空間直角坐標系中的坐標，記作，其中叫做點的橫坐標，叫做點的縱坐標，叫做點的豎坐標．
2.2空間向量的坐標：在空間直角坐標系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組，使.有序實數組叫做在空間直角坐標系中的坐標，上式可簡記作.
知識點二：空間向量運算的坐標表示
設，空間向量的坐標運算法則如下表所示：
運算 坐標表示
加法
減法
數乘
數量積
知識點三：空間向量平行與垂直的條件，幾何計算的坐標表示
1、兩個向量的平行與垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
特別提醒：在中，應特別注意，只有在與三個坐標平面都不平行時，才能寫成.例如，若與坐標平面平行，則，這樣就沒有意義了.
2、向量長度的坐標計算公式
若，則，即
空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對角線的長度
3、兩個向量夾角的坐標計算公式
設，則
4、兩點間的距離公式
已知，則
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）空間直角坐標系中，在軸上的點的坐標一定是的形式．( )
（2）空間直角坐標系中，在平面內的點的坐標一定是的形式．( )
（3）空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為．( )
2．（2022·全國·高二課時練習）設是空間向量的一個單位正交基底，，則，的坐標分別為_________．
3．（2022·全國·高二課時練習）與向量共線的向量是( )
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高二課時練習）已知，若，則_________．
5．（2022·黑龍江·大慶外國語學校高二期末）已知向量，則下列結論正確的是( )
A． B． C． D．
重點題型一：空間向量的坐標表示
典型例題
例題1．（2022·北京房山·高二期末）如圖，長方體，若，則的坐標為___________.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）如圖，建立空間直角坐標系．正方體的棱長為1，頂點位于坐標原點．
（1）若是棱的中點，是棱的中點，是側面的中心，則分別求出向量，，的坐標；
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時練習）已知正方體的棱長為2，分別為棱，的中點，如圖所示建立空間直角坐標系．
（1）寫出各頂點的坐標；
（2）寫出向量的坐標．
2．（2022·湖南·高二課時練習）已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的三等分點,且PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,建立適當的空間直角坐標系,求的坐標.
重點題型二：空間向量的坐標運算
典型例題
例題1．（2022·湖南·高二課時練習）已知，，求，，．
例題2．（2022·浙江·平湖市當湖高級中學高一階段練習）已知向量，，，若，，共面，則___________.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇連云港·高二期末）已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，則=___________．
2．（2022·江蘇·東海縣教育局教研室高二期中）已知，，則_______.
3．（2022·全國·高二課時練習）已知點，，，，求：
(1)，，；
(2)；
重點題型三：空間向量的平行與垂直
典型例題
例題1．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高二階段練習）向量，若，則的值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
例題2．（2022·全國·高二）已知，，且與垂直，則的值為___________.
例題3．（2022·全國·高二課時練習）已知，.
(1)當時，求實數的值;
(2)當時，求實數的值.
例題4．（2022·全國·高三專題練習）若，．
（1）若，求；
（2）若，求．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇徐州·高二期中）已知向量，，若，則實數的值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，則m的值為（ ）
A．－2 B．2 C． D．
3．（2022·上海市奉賢中學高二階段練習）向量，向量，若，則實數________．
4．（2022·全國·高二課時練習）已知，，且與平行，求實數m的值.
5．（2022·全國·高二課時練習）已知向量，．
(1)若，試求實數x，y的值；
(2)若，且x，y均為正數，試求xy的最大值．
6．（2022·全國·高二課時練習）已知向量，．
(1)若，求實數x，y的值；
(2)若，且，求實數x，y的值．
重點題型四：空間向量夾角的計算
典型例題
例題1．（2022·江蘇宿遷·高二期中）若向量，，則向量與的夾角為（ ）
A．0 B． C． D．
例題2．（2022·江蘇·南京市中華中學高二開學考試）在空間直角坐標系中，若，，與的夾角為，則的值為（ ）
A．1 B． C．或 D．17或
例題3．（2022·四川·閬中中學高二階段練習（理））若向量若與的夾角為銳角，則的范圍為_________.
例題4．（2021·四川省平昌中學高一階段練習）已知，且的夾角為鈍角，則實數的范圍_______
同類題型歸類練
1．（2022·四川·成都外國語學校高二階段練習（理））已知，，且，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江麗水·高二開學考試）已知向量，，若與夾角為，則的值為（ ）
A． B． C．－1 D．1
3．（2022·四川達州·高一期末（理））若向量，且與的夾角是銳角，則實數x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全國·高二課時練習）已知、、，與的夾角為 ，則實數______．
6．（2022·湖北·高二學業(yè)考試）已知平面內兩個向量，，若與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是_________．
7．（2022·福建省長汀縣第一中學高二階段練習）設向量，，計算以及與所成角的余弦值．
8．（2022·北京市第十二中學高一階段練習）已知.
(1)求與夾角的余弦值.
(2)當與的夾角為鈍角時，求的取值范圍.
重點題型五：空間向量模的計算
典型例題
例題1．（2022·四川省蒲江縣蒲江中學高二階段練習（理））設、，向量，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高二單元測試）若向量，，且，則實數______．
例題3．（2022·全國·高二課時練習）若兩點，，當取最小值時，的值等于__________.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇徐州·高二期末）已知向量，，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2022·福建龍巖·高二期中）已知向量，，則（ ）
A． B．40 C．6 D．36
3．（2022·江蘇·南京市大廠高級中學高二期末）向量，，，且，，則______.
4．（2022·全國·高二課時練習）在棱長為1的正方體中，E為的中點，P、Q是正方體表面上相異兩點．若P、Q均在平面上，滿足，．
(1)判斷PQ與BD的位置關系；
(2)求的最小值．
重點題型六：空間向量的投影
典型例題
例題1．（2022·福建省龍巖第一中學高二階段練習）已知，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知向量，，則在的方向上的數量投影為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知，在上的投影為1，則在上的投影為（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
例題4．（2022·上海市建平中學高一期末）已知、的夾角為，設，則在上的數量投影為___．
同類題型歸類練
1．（2022·廣東惠州·高二期末）已知，，則在上的投影向量為（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022·全國·高二期末）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高二課時練習）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江西南昌·高一期末）在等腰中，若，，則向量在向量方向上的投影為（ ）
A． B． C．1 D．
重點題型七：利用向量證明垂直關系
典型例題
例題1．（2022·湖南·高二課時練習）如圖，在正方體中，，分別是，的中點，求證：平面.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點.建立適當的空間直角坐標系，解決如下問題：
(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求證：平面.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，是的中點，是的中點.
(1)試建立適當的坐標系，并確定、、三點的坐標；
(2)求證：.
2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．
（1）求 的模；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求證：A1B⊥C1M.
3．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點．
（1）求的長；
（2）求cos<>的值；
（3）求證：A1B⊥C1M．
1．《九章算術》第五卷中涉及到一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈.深三尺，末廣八尺，袤七尺.該羨除是一個多面體ABCDFE，如圖，四邊形ABCD，ABEF均為等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分別為3，7，且，，，則________.
2．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數軸構成直角坐標系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任意兩條數軸的夾角均為60°，我們將這種坐標系稱為“斜60°坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60°坐標系”下向量的斜60°坐標：分別為“斜60°坐標系”下三條數軸（x軸 y軸 z軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序實數組（x，y，z）相對應，稱向量的斜60°坐標為[x，y，z]，記作.
(1)若，，求的斜60°坐標；
(2)在平行六面體中，AB=AD=2，AA1=3，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標系”.
①若，求向量的斜坐標；
②若，且，求.
1．（2022·河南·模擬預測（理））在正方體中，為正方形ABCD的中心，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·模擬預測）在四棱臺中，側棱與底面垂直，上下底面均為矩形，，，則下列各棱中，最長的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·模擬預測（理））已知向量，，，若，則實數（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
4．（多選）（2022·江蘇蘇州·模擬預測）設，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（ ）．
A． B．
C． D．
1.3空間向量及其運算的坐標表示（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：空間向量的坐標表示
重點題型二：空間向量的坐標運算
重點題型三：空間向量的平行與垂直
重點題型四：空間向量夾角的計算
重點題型五：空間向量模的計算
重點題型六：空間向量的投影
重點題型七：利用向量證明垂直關系
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：空間向量的正交分解及其坐標表示
1、空間直角坐標系
空間直角坐標系及相關概念
(1)空間直角坐標系：在空間選定一點和一個單位正交基底，以為原點，分別以 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系.
(2)相關概念：叫做原點，都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個部分．
2、空間向量的坐標表示
2.1空間一點的坐標：在空間直角坐標系中，為坐標向量，對空間任意一點，對應一個向量，且點的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組，使.在單位正交基底下與向量 對應的有序實數組叫做點在此空間直角坐標系中的坐標，記作，其中叫做點的橫坐標，叫做點的縱坐標，叫做點的豎坐標．
2.2空間向量的坐標：在空間直角坐標系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組，使.有序實數組叫做在空間直角坐標系中的坐標，上式可簡記作.
知識點二：空間向量運算的坐標表示
設，空間向量的坐標運算法則如下表所示：
運算 坐標表示
加法
減法
數乘
數量積
知識點三：空間向量平行與垂直的條件，幾何計算的坐標表示
1、兩個向量的平行與垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
特別提醒：在中，應特別注意，只有在與三個坐標平面都不平行時，才能寫成.例如，若與坐標平面平行，則，這樣就沒有意義了.
2、向量長度的坐標計算公式
若，則，即
空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對角線的長度
3、兩個向量夾角的坐標計算公式
設，則
4、兩點間的距離公式
已知，則
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）空間直角坐標系中，在軸上的點的坐標一定是的形式．( )
（2）空間直角坐標系中，在平面內的點的坐標一定是的形式．( )
（3）空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為．( )
【答案】 √ √
（1）.空間直角坐標系中，在軸上的點的坐標一定是的形式.
（2）√.在平面內的點，坐標必為.
（3）√.空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為.
2．（2022·全國·高二課時練習）設是空間向量的一個單位正交基底，，則，的坐標分別為_________．
【答案】
由題可知：
故答案為：
3．（2022·全國·高二課時練習）與向量共線的向量是( )
A． B． C． D．
【答案】D
由題可知：
故選：D
4．（2022·全國·高二課時練習）已知，若，則_________．
【答案】1
由題可知：
故答案為：1
5．（2022·黑龍江·大慶外國語學校高二期末）已知向量，則下列結論正確的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
由題可知：，，，
故選；D
重點題型一：空間向量的坐標表示
典型例題
例題1．（2022·北京房山·高二期末）如圖，長方體，若，則的坐標為___________.
【答案】
由題設，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
由，知點，知長方體長2，寬2，高1
則，，
故答案為：
例題2．（2022·全國·高二課時練習）如圖，建立空間直角坐標系．正方體的棱長為1，頂點位于坐標原點．
（1）若是棱的中點，是棱的中點，是側面的中心，則分別求出向量，，的坐標；
【答案】（1），，；
（1）因為是棱的中點，是棱的中點，是側面的中心，
所以，，，．
所以，，，．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時練習）已知正方體的棱長為2，分別為棱，的中點，如圖所示建立空間直角坐標系．
（1）寫出各頂點的坐標；
（2）寫出向量的坐標．
【答案】（1），，，；
（2）．，.
解:（1）設軸、軸、軸的單位向量分別為．
因為正方體的棱長為2．所以，
因為，所以．
又因為，所以．
同理可得，．
（2）因為分別為棱，的中點
由中點坐標公式，得．
所以．，
2．（2022·湖南·高二課時練習）已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的三等分點,且PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,建立適當的空間直角坐標系,求的坐標.
【答案】
由題意得PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，
所以PA ⊥AD，PA ⊥AB，
所以PA，AD，AB兩兩垂直．
又PA=AB=AD=1，
所以可設，分別以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系．
因為，
所以．
因此的坐標為．
重點題型二：空間向量的坐標運算
典型例題
例題1．（2022·湖南·高二課時練習）已知，，求，，．
【答案】，，
，
，
．
例題2．（2022·浙江·平湖市當湖高級中學高一階段練習）已知向量，，，若，，共面，則___________.
【答案】2
因為，，共面，設，則，則，解得.
故答案為：2.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇連云港·高二期末）已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，則=___________．
【答案】2
因為，
故答案為：2
2．（2022·江蘇·東海縣教育局教研室高二期中）已知，，則_______.
【答案】6
由，，得
，，
.
.
故答案為：.
3．（2022·全國·高二課時練習）已知點，，，，求：
(1)，，；
(2)；
【答案】(1)，，；(2)；
(1)由題設，，，.
(2)由（1），.
重點題型三：空間向量的平行與垂直
典型例題
例題1．（2022·江蘇·漣水縣第一中學高二階段練習）向量，若，則的值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
由題意可得知，則，因此，所以，
故選：C.
例題2．（2022·全國·高二）已知，，且與垂直，則的值為___________.
【答案】
因為，，
所以，
，
因為與垂直，所以，
解得：，所以的值為，
故答案為：.
例題3．（2022·全國·高二課時練習）已知，.
(1)當時，求實數的值;
(2)當時，求實數的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：因為，，
所以，
，
解得；
(2)因為，
所以，
所以，
解得.
例題4．（2022·全國·高三專題練習）若，．
（1）若，求；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）．
，
，
（1）∵，
∴，解得；
（2）∵，
∴，解得．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇徐州·高二期中）已知向量，，若，則實數的值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
因為向量，，且，
所以，解得：.
故選：C
2．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，則m的值為（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】C
因為，所以，解得，
故選：C.
3．（2022·上海市奉賢中學高二階段練習）向量，向量，若，則實數________．
【答案】-2
因為向量，，且，
所以，解得：t=-2.
故答案為：-2
4．（2022·全國·高二課時練習）已知，，且與平行，求實數m的值.
【答案】
因為，所以，
所以，
因為與不平行，所以，
所以.
5．（2022·全國·高二課時練習）已知向量，．
(1)若，試求實數x，y的值；
(2)若，且x，y均為正數，試求xy的最大值．
【答案】(1)x=-4，y=-1；(2)1
(1)因為向量，所以.
又向量，，所以，解得：.
因此x=-4，y=-1；
(2)因為向量，所以.
又向量，，所以，.
因為x，y均為正數，所以當且僅當，即時取等號.所以所以，即xy的最大值為1.
6．（2022·全國·高二課時練習）已知向量，．
(1)若，求實數x，y的值；
(2)若，且，求實數x，y的值．
【答案】(1),(2)或
(1)由∥可得，存在實數使，
即，解得,,;
(2)若，則①，
由，則②，
兩式聯(lián)立解得或.
重點題型四：空間向量夾角的計算
典型例題
例題1．（2022·江蘇宿遷·高二期中）若向量，，則向量與的夾角為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
設向量與的夾角為，且，
所以，，
所以，
故選：D
例題2．（2022·江蘇·南京市中華中學高二開學考試）在空間直角坐標系中，若，，與的夾角為，則的值為（ ）
A．1 B． C．或 D．17或
【答案】D
由題意，向量，，
可得，，，
因為與的夾角為，可得，即，
整理得，解得或.
故選：D.
例題3．（2022·四川·閬中中學高二階段練習（理））若向量若與的夾角為銳角，則的范圍為_________.
【答案】
因為向量若與的夾角為銳角，
所以，且、不同向共線.
只需滿足，解得：或.
所以的范圍為.
故答案為：.
例題4．（2021·四川省平昌中學高一階段練習）已知，且的夾角為鈍角，則實數的范圍_______
【答案】
由于與的夾角為鈍角，則且與不共線，
，，，解得且，
因此，實數的取值范圍是且，
故答案為：且.
同類題型歸類練
1．（2022·四川·成都外國語學校高二階段練習（理））已知，，且，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
設向量與的夾角為，
因為，，且，
所以，得，
所以，
所以，
因為，所以，
故選：A
2．（2022·浙江麗水·高二開學考試）已知向量，，若與夾角為，則的值為（ ）
A． B． C．－1 D．1
【答案】A
解：因為，，且與夾角為，
則，，
所以，
可知，解得：.
故選：A.
3．（2022·四川達州·高一期末（理））若向量，且與的夾角是銳角，則實數x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：因為與的夾角是銳角，
所以且與不共線，
即：，解得且.
故選：D.
4．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由與的夾角為銳角知且與不共線，即且，即且.
故選：D.
5．（2022·全國·高二課時練習）已知、、，與的夾角為 ，則實數______．
【答案】
由題意得，，
故 ，
解得 ，
故答案為：
6．（2022·湖北·高二學業(yè)考試）已知平面內兩個向量，，若與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是_________．
【答案】
由題意， ，
當 反向時，有 ，解得 ，
∴k的取值范圍是 ；
故答案為：.
7．（2022·福建省長汀縣第一中學高二階段練習）設向量，，計算以及與所成角的余弦值．
【答案】，，，
．
.
∵，，
∴
8．（2022·北京市第十二中學高一階段練習）已知.
(1)求與夾角的余弦值.
(2)當與的夾角為鈍角時，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(1)，，，
，
解得
(2)由（1）知，
當與的夾角為鈍角時, ,
即，
解得，
當與反向共線時，有 ，
即，解得，此時不滿足題意.
綜上，實數的取值范圍.
重點題型五：空間向量模的計算
典型例題
例題1．（2022·四川省蒲江縣蒲江中學高二階段練習（理））設、，向量，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為，則，解得，則，
因為，則，解得，即，
所以，，因此，.
故選：D.
例題2．（2022·全國·高二單元測試）若向量，，且，則實數______．
【答案】
，，
解得：或，又，.
故答案為：.
例題3．（2022·全國·高二課時練習）若兩點，，當取最小值時，的值等于__________.
【答案】
由題意，
所以時，取得最大值．
故答案為：．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇徐州·高二期末）已知向量，，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
由，則，即，
有，
所以，
所以，則
故選：D
2．（2022·福建龍巖·高二期中）已知向量，，則（ ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
由題設，則.
故選：C
3．（2022·江蘇·南京市大廠高級中學高二期末）向量，，，且，，則______.
【答案】
因，，而，則有，解得，即
又，且，則有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案為：
4．（2022·全國·高二課時練習）在棱長為1的正方體中，E為的中點，P、Q是正方體表面上相異兩點．若P、Q均在平面上，滿足，．
(1)判斷PQ與BD的位置關系；
(2)求的最小值．
【答案】(1)PQ與BD的位置關系是平行(2)
(1)以D為原點，以射線DA，DC，分別為x，y，z軸的正向建立空間直角坐標系，，，．
因為P、Q均在平面上，所以設，，
則，，．
因為，，
所以
解得:
所以，，
即，，
所以PQ與BD的位置關系是平行．
(2)由（1）可知：，，
所以．
當時，有最小值，最小值為．
重點題型六：空間向量的投影
典型例題
例題1．（2022·福建省龍巖第一中學高二階段練習）已知，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為，所以，
所以，
所以在上的投影向量為
故選：B
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知向量，，則在的方向上的數量投影為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題意知：在的方向上的數量投影為.
故選：C.
例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知，在上的投影為1，則在上的投影為（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C
在上的投影為，即，
在上的投影為，
故選：C
例題4．（2022·上海市建平中學高一期末）已知、的夾角為，設，則在上的數量投影為___．
【答案】
由分別表示在、方向上的單位向量，且、的夾角為，
由知：且、的夾角為，
所以在上的數量投影為.
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·廣東惠州·高二期末）已知，，則在上的投影向量為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
解：因為，，所以，
所以，
所以在上的投影向量為
故選：C
2．（2022·全國·高二期末）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因空間向量，，，，
所以向量在向量上的投影向量是.
故選：C
3．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為，0，，，2，，
則向量在向量上的投影為，
所以向量在向量上的投影向量是．
故選：．
4．（2022·全國·高二課時練習）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：向量，
則，，，
所以向量在向量上的投影向量為．
故選：．
5．（2022·江西南昌·高一期末）在等腰中，若，，則向量在向量方向上的投影為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
易得，則向量在向量方向上的投影為.
故選：A.
重點題型七：利用向量證明垂直關系
典型例題
例題1．（2022·湖南·高二課時練習）如圖，在正方體中，，分別是，的中點，求證：平面.
【答案】證明見解析.
設，，，則.
則，
.
∴.
∴，即.
同理.∵，
∴平面.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點.建立適當的空間直角坐標系，解決如下問題：
(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求證：平面.
【答案】(1)(2)(3)證明見解析
(1)解：因為平面，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則，，所以，，則.
(2)解：依題意得、、、，
所以，，，，
又，，
所以，.
(3)證明：依題意得、、、、，
則，，，
所以，，，
則，，即，，
又因為，所以，平面
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，是的中點，是的中點.
(1)試建立適當的坐標系，并確定、、三點的坐標；
(2)求證：.
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
(1)解：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、.
(2)證明：依題意可得、，則，，
所以，，所以.
2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．
（1）求 的模；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求證：A1B⊥C1M.
【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.
（1）如圖，以點C作為坐標原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系. 由題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴＝＝.
（2）由題意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
·＝3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
（3）由題意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，
∴·＝－＋＋0＝0，
∴⊥，即A1B⊥C1M.
3．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點．
（1）求的長；
（2）求cos<>的值；
（3）求證：A1B⊥C1M．
【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．
解：以為原點，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
（1）
（2）
（3）
1．《九章算術》第五卷中涉及到一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈.深三尺，末廣八尺，袤七尺.該羨除是一個多面體ABCDFE，如圖，四邊形ABCD，ABEF均為等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分別為3，7，且，，，則________.
【答案】14
如圖示：
過分別作，的高，垂足分別為，，
平面平面，，
平面平面，故平面，
故，，又，
故，，兩兩垂直，
以為坐標原點，，，分別為，，軸的正方向，
建立空間直角坐標系，則由題意可知：
，0，，，0，，，7，，，0，，
故，7，，，0，，
故，
故答案為：14
2．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數軸構成直角坐標系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任意兩條數軸的夾角均為60°，我們將這種坐標系稱為“斜60°坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60°坐標系”下向量的斜60°坐標：分別為“斜60°坐標系”下三條數軸（x軸 y軸 z軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序實數組（x，y，z）相對應，稱向量的斜60°坐標為[x，y，z]，記作.
(1)若，，求的斜60°坐標；
(2)在平行六面體中，AB=AD=2，AA1=3，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標系”.
①若，求向量的斜坐標；
②若，且，求.
【答案】(1)
(2)①；②2
(1)解：由，，知，，
所以，
所以；
(2)解：設分別為與同方向的單位向量，
則，
①
②由題，
因為，所以，
由知
則
1．（2022·河南·模擬預測（理））在正方體中，為正方形ABCD的中心，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
如圖，以D為坐標原點，DA,DC, 分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體棱長為2，
則 ,
則 ，
故 ，
故線與直線所成角的余弦值為，
故選：B
2．（2022·浙江·模擬預測）在四棱臺中，側棱與底面垂直，上下底面均為矩形，，，則下列各棱中，最長的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由四棱臺可得，故.
因為平面，而平面，
故，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標系.
故，
故，
故選：B.
3．（2022·全國·模擬預測（理））已知向量，，，若，則實數（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
【答案】B
，因為，所以，所以，所以2.
故選：B
4．（多選）（2022·江蘇蘇州·模擬預測）設，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AD
由數量積的性質和運算律可知AD是正確的；
而運算后是實數，沒有這種運算，B不正確；
，C不正確.
故選：AD.

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