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專題05復數的概念（五大考點）
思維導圖
核心考點聚焦
考點一：復數的基本概念
考點二：復數相等
考點三：復數的幾何意義
考點四：復數的模
考點五：復數的軌跡與最值問題
知識點一：復數的基本概念
1、虛數單位
數叫做虛數單位，它的平方等于，即．
知識點詮釋：
①是－1的一個平方根，即方程的一個根，方程的另一個根是；
②可與實數進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立．
2、復數的概念
形如（）的數叫復數，記作：（）；
其中：叫復數的實部，叫復數的虛部，是虛數單位．全體復數所成的集合叫做復數集，用字母表示．
知識點詮釋：
復數定義中，容易忽視，但卻是列方程求復數的重要依據．
3、復數的分類
對于復數（）
若b=0，則a+bi為實數，若b≠0，則a+bi為虛數，若a=0且b≠0，則a+bi為純虛數．
分類如下：
（）
用集合表示如下圖：
4、復數集與其它數集之間的關系
（其中為自然數集，為整數集，為有理數集，為實數集，為復數集．）
5、共軛復數：
當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．
通常記復數的共軛復數為．
知識點二：復數相等的充要條件
兩個復數相等的定義：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等．即：
如果，那么
特別地：．
知識點詮釋：
（1）一個復數一旦實部、虛部確定，那么這個復數就唯一確定；反之一樣．
根據復數a+bi與c+di相等的定義，可知在a=c，b=d兩式中，只要有一個不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．
（2）一般地，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較大?。绻麅蓚€復數都是實數，就可以比較大?。灰仓挥挟攦蓚€復數全是實數時才能比較大?。?br/>一、復數的幾何意義
1、復平面、實軸、虛軸：
如圖所示，復數（）可用點表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，也叫高斯平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸．
知識點詮釋：
實軸上的點都表示實數．除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．
2、復數集與復平面內點的對應關系
按照復數的幾何表示法，每一個復數有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應．
復數集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應關系，即
復數復平面內的點
這是復數的一種幾何意義．
3、復數集與復平面中的向量的對應關系
在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的，所以，我們還可以用向量來表示復數．
設復平面內的點表示復數（），向量由點唯一確定；反過來，點也可以由向量唯一確定．
復數集C和復平面內的向量所成的集合是一一對應的，即
復數平面向量
這是復數的另一種幾何意義．
4、復數的模
設（），則向量的長度叫做復數的模，記作．即．
知識點詮釋：
①兩個復數不全是實數時不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小．
②復平面內，表示兩個共軛復數的點關于x軸對稱，并且他們的模相等．
考點剖析
考點一：復數的基本概念
例1．
（2024·全國·高一課堂例題）
1．當為何實數時，復數分別是：
(1)實數；
(2)虛數；
(3)純虛數：
(4)0？
例2．
（2024·河北邢臺·高一統考）
2．復數，則（ ）
A．的實部為 B．的虛部為
C．的實部為 D．的虛部為
例3．
（2024·云南·高二校聯考）
3．已知，，若，則z的虛部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
變式1．
（2024·浙江紹興·高一紹興市稽山中學?？迹?br/>4．設，則復數的虛部為（ ）
A． B．2 C． D．
變式2．
（2024·江蘇徐州·高一統考）
5．已知為虛數單位，則（ ）
A． B． C．1 D．
變式3．
（2024·浙江·高一）
6．設是虛數單位，若復數，則的共軛復數為（ ）
A． B． C． D．
考點二：復數相等
例4．
（2024·河南商丘·高一校考階段練習）
7．已知x、，若，則 ．
例5．
（2024·上海奉賢·統考一模）
8．已知，，則a＝ ；
例6．
（2024·新疆喀什·高一校考）
9．已知，則
變式4．
（2024·西藏拉薩·高一統考期末）
10．已知，i為虛數單位，且，則 .
考點三：復數的幾何意義
例7．
（2024·新疆哈密·高一校考期末）
11．四邊形ABCD是復平面內的平行四邊形，三點對應的復數分別是，，，則點D對應的復數為 ．
例8．
（2024·福建寧德·高一統考）
12．已知復數，則在復平面內復數z對應的點在第 象限．
例9．
（2024·高一單元測試）
13．若復數所對應的點在第二象限，則的取值范圍為 .
變式5．
（2024·高一單元測試）
14．若復數在復平面內對應的點位于虛軸上，則實數的取值集合為 .
變式6．
（2024·高二課時練習）
15．已知復數所對應的向量為，把依逆時針旋轉得到一個新向量為．若對應一個純虛數，當取最小正角時，這個純虛數是 ．
變式7．
（2024·全國·高一隨堂練習）
16．當時，復數在復平面內的對應點位于第 象限．
變式8．
（2024·廣西玉林·高一校聯考期末）
17．若復數（其中為虛數單位）在復平面內所對應的向量分別為和，則的面積為 .
考點四：復數的模
例10．
（2024·廣東深圳·高一?？迹?br/>18．復數的模 ．
例11．
（2024·北京石景山·高一北京市第九中學?？计谀?br/>19．已知純虛數滿足，則 ．
例12．
（2024·福建福州·高一校考期末）
20．已知復數，其中i為虛數單位，若z，在夏平面上對應的點分別為M，N，則線段MN長度為 ．
變式9．
（2024·內蒙古包頭·高一統考期末）
21．已知復平面內復數對應的點在射線上，且，則 ．
變式10．
（2024·遼寧撫順·高一校聯考期末）
22．是虛數單位，已知．寫出一個滿足條件的復數 ．
變式11．
（2024·廣東廣州·高一統考期末）
23．若復數z在復平面內對應的點位于第二象限，且，則z等于 ．（寫出一個即可）
變式12．
（2024·高一單元測試）
24．若復數滿足，則 ．
考點五：復數的軌跡與最值問題
例13．
（2024·廣東汕頭·高一校考）
25．復數滿足，且在復平面內對應的點為Z，則復平面內點Z的軌跡是（ ）.
A．點 B．圓 C．線段 D．圓環
例14．
（2024·高一課時練習）
26．復數滿足關系式：，則復數在復平面內對應點的軌跡是（ ）
A．兩條直線 B．一條直線和一個圓
C．兩個圓 D．一個圓
例15．
（2024·遼寧·高一校聯考期末）
27．已知復數z滿足，則的最大值為 ．
變式13．
（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谀?br/>28．若，且滿足，則的最大值為 .
變式14．
（2024·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀?br/>29．已知，則的最大值是 .
過關檢測
一、單選題
（2024·河北滄州·高三校聯考階段練習）
30．若復數，其中，則復數在復平面內對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2024·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）
31．復平面上，以原點為起點，平行于虛軸的非零向量所對應的復數一定是（ ）
A．正數 B．負數 C．實部不為零的虛數 D．純虛數
（2024·安徽·高二淮南第三中學校聯考階段練習）
32．已知是虛數單位，，則（ ）
A． B． C．2 D．
（2024·江蘇鎮江·高一校聯考階段練習）
33．設m為實數，已知復數為純虛數，則m的值為（ ）
A．0或1 B．1或-2 C．0 D．-2
（2024·遼寧大連·高一大連八中?？迹?br/>34．復數對應的點在第四象限，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
（2024·河南開封·高一校考階段練習）
35．若復數在復平面內對應的點關于軸對稱，且，則復數（　?。?br/>A． B． C． D．
（2024·河南洛陽·高二?？茧A段練習）
36．已知，．若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
（2024·廣東佛山·高一統考）
37．復數滿足，則（為虛數單位）的最小值為（ ）
A．3 B．4 C． D．5
二、多選題
（2024·陜西西安·高一階段練習）
38．對于復數，下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則為純虛數
B．若，則
C．若，則為實數
D．
（2024·重慶萬州·高一校考階段練習）
39．在復平面內，復數對應的點位于第四象限，則實數的可能取值為（ ）
A．2 B．0 C． D．1
（2024·內蒙古呼和浩特·高一內蒙古師大附中?？计谀?br/>40．已知為虛數單位，以下四個說法中正確的是（ ）
A．
B．復數的模長為
C．若，則復平面內對應的點位于第二象限
D．已知復數滿足，則在復平面內對應的點的軌跡為直線
（2024·高一單元測試）
41．設，復數，則在復平面內對應的點可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三、填空題
（2024·新疆喀什·高一統考期末）
42．已知i為虛數單位，復數，，若為純虛數，則 .
（2024·貴州黔西·高一校考階段練習）
43．在復平面內，復數與所對應的向量分別為和，其中為坐標原點，則對應的復數為 ．
（2024·江蘇無錫·高一統考期末）
44．已知復數在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是 .
（2024·貴州遵義·高一統考期末）
45．已知復數滿足，其中為虛數單位，則的共軛復數在復平面內對應的點在第 象限．
四、解答題
（2024·陜西西安·高一階段練習）
46．（1）若，則實數的值為多少？
（2）若，且，則實數的值分別為多少？
（2024·河南省直轄縣級單位·高二河南省濟源第一中學?？茧A段練習）
47．設復數，其中.
(1)若是純虛數，求的值；
(2)所對應的點在復平面的第四象限內，求的取值范圍.
（2024·新疆省直轄縣級單位·高一校考期末）
48．實數取什么數值時，復數分別是：
(1)實數？
(2)純虛數？
（2024·高一單元測試）
49．已知復平面內的對應的復數分別是，，其中，設對應的復數是.
(1)求復數；
(2)若復數對應的點在直線上，求的值.
（2024·福建福州·高一校聯考）
50．平行四邊形的頂點、、對應的復數分別為、、．
(1)求點對應的復數：
(2)在中，求邊上的高．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據虛部為0可得答案；
（2）根據虛部不為0可得答案；
（3）根據實部為0 虛部不為0可得答案；
（4）根據實部虛部都為0可得答案．
【詳解】（1）當，即時，復數是實數；
（2）當，即時，復數是虛數；
（3）當且，即時，復數是純虛數；
（4）當且，即時，復數．
2．B
【分析】根據復數的概念求解.
【詳解】因為，所以，所以與的實部均為1，A，C錯誤；
的虛部為，B正確，D錯誤.
故選：B.
3．A
【分析】根據復數相等求得，然后利用共軛復數的概念求虛部，即可求解．
【詳解】由，可得，所以，所以的虛部是．
故選：A．
4．A
【分析】直接根據復數虛部的定義進行求解即可.
【詳解】復數的虛部為，
故選：A
5．A
【分析】根據的次方運算的周期性可得答案.
【詳解】，
故選：A
6．A
【分析】由復數的乘法運算以及共軛復數的定義即可求解.
【詳解】由得，所以的共軛復數為，
故選：A
7．2
【分析】根據相等復數的概念列出方程組，解之即可求解.
【詳解】由題意，得，
所以.
故答案為：2.
8．
【分析】利用復數相等即可求出結果.
【詳解】因為，
則由復數相等可得：，
即.
故答案為：.
9．3
【分析】由復數分類的定義可知，實部和虛部都為0，則復數為0，聯立方程求解即可
【詳解】因為，，
所以 解得.
所以.
故答案為：3.
10．0
【分析】利用復數相等列方程組求解.
【詳解】因為，則，
故答案為：0.
11．##
【分析】利用復數的幾何意義，結合平面向量相等的性質即可得解.
【詳解】依題意，因為三點對應的復數分別是，，，
所以，
因為是平行四邊形，所以，設，
則，故，解得，
所以，則點D對應的復數為.
故答案為: .
12．二
【分析】根據復數的幾何意義分析即可.
【詳解】復數在復平面內復數z對應的點為，位于第二象限.
故答案為：二
13．，或.
【分析】根據復數所對應的點在第二象限，則得到實部小于零，虛部大于零，解不等式得出結果.
【詳解】因為復數所對應的點在第二象限，
，且，
解得：或.
故答案為：或.
14．
【分析】根據復平面的概念以及復數的坐標表示列式可求出結果.
【詳解】因為為實數，且復數在復平面內對應的點位于虛軸上，
所以，解得或.
故答案為：.
15．
【分析】確定復數對應點在第一象限，旋轉后在軸的正半軸上，計算復數模得到答案.
【詳解】，對應的點為在第一象限，
逆時針旋轉最小正角時，對應的點在軸的正半軸上，，故純虛數為.
故答案為：.
【點睛】本題考查了復數對應的點，復數的旋轉，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.
16．四
【分析】根據復數對應的點的坐標的符號，即可求解.
【詳解】由復數在復平面內對應的點，
因為，可得，
所以點位于第四象限.
故答案為：四.
17．##6.5
【分析】根據向量的坐標運算可得垂直關系，即可由模長求解得面積.
【詳解】由題意，得，則，，
的面積為，
故答案為：.
18．
【分析】利用復數的模公式求解.
【詳解】復數的模，
故答案為：．
19．2
【分析】設，根據復數模的定義得，解出值即可得到答案.
【詳解】設，則，則，
即舍去或，所以．
故答案為：．
20．
【分析】根據復數的幾何意義，寫出點，再根據兩點間距離公式，即可求解.
【詳解】，則，，則，
所以線段的長度.
故答案為：
21．
【分析】根據題意 得到復數，其中，結合，列出方程求得的值，即可求解.
【詳解】由復平面內復數對應的點在射線上，所以，，其中，
因為，可得，
又因為，解得，所以.
故答案為：.
22．（答案不唯一，滿足均可）
【分析】設，根據已知得a，b關系，然后可得答案.
【詳解】設，因為，
所以，即，
整理得，取得.
故答案為：（答案不唯一，滿足均可）
23．（答案不唯一）
【分析】根據復數模的運算公式，結合復數在復平面內對應的點的特征進行求解即可.
【詳解】設，，
因為復數在復平面內對應的點在第二象限，所以，，
又因為，所以，顯然當時，符合題意，
故答案為：（答案不唯一）
24．
【分析】設，根據模長公式求出，從而可求得結果.
【詳解】設，則，
所以，
解得，
所以，
故答案為：
25．B
【分析】根據復數模的知識求得正確答案.
【詳解】由于，故對應點到原點的距離為，
所以復平面內點Z的軌跡是單位圓.
故選：B
26．C
【分析】解方程得出或，再由復數的模得出表示的軌跡.
【詳解】由，解得或.
當時，復數在復平面內對應點的軌跡表示以原點為圓心，半徑為的圓.
當時，復數在復平面內對應點的軌跡表示以原點為圓心，半徑為的圓.
故選：C
27．##
【分析】根據復數的幾何意義，結合圓的性質運算求解.
【詳解】設復數z在復平面中對應的點為，
因為，則點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，
且表示點到定點的距離，
所以的最大值為.
故答案為：.
28．3
【分析】根據復數模的幾何意義，結合圖形，即可求解.
【詳解】，復數的軌跡表示以點為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點到點的距離，
如圖，當過點和圓的圓心，即為最大值.

故答案為：
29．6
【分析】根據給定條件，利用復數模的幾何意義求解作答.
【詳解】在復平面內，由，知復數對應點的軌跡是原點為圓心的單位圓，
表示點與復數對應點的距離，
所以的最大值為.
故答案為：6
30．D
【分析】寫出復數的實部與虛部，再判斷其正負，再結合復數的幾何意義判斷即可.
【詳解】因為，實部為，虛部為，
因為，所以，，
所以復數在復平面內對應的點為位于第四象限.
故選：D
31．D
【分析】根據向量的坐標寫出對應復數，然后判斷即可.
【詳解】由題意可設，
所以對應復數為，此復數為純虛數，
故選：D.
32．D
【分析】根據題意，利用復數相等列出方程組，求得的值，結合復數模的計算公式，即可求解.
【詳解】由，可得，解得，則.
故選：D.
33．C
【分析】根據復數為純虛數列方程計算求解即可.
【詳解】復數為純虛數,
,
故選:C.
34．B
【分析】利用復數的幾何意義可得出，利用象限角與三角函數值符號的基本關系判斷可得出結論.
【詳解】因為復數對應的點在第四象限，則，
因此，角是第二象限角.
故選：B.
35．B
【分析】根據復數的幾何意義進行求解.
【詳解】根據復數的幾何意義，對應復平面的點是，
關于軸對稱得到的點是，對應的復數是.
故選：B
36．C
【分析】根據兩個實數才能比較大小進行求解即可.
【詳解】因為，
所以，解得或．
故選：C
37．B
【分析】首先根據復數的幾何意義求復數對應的點的軌跡，再利用數形結合求模的最小值.
【詳解】設復數在復平面內對應的點為，由知，點的軌跡為以原點為圓心，
半徑為1的圓，表示圓上的點到點的距離，如下圖，

如圖，最小值為.
故選：B
38．AB
【分析】根據復數的概念判斷AC，根據復數相等判斷B，根據虛數單位的定義判斷D.
【詳解】對于A：當，，當時為實數，A錯誤；
對于B：若，則，B錯誤；
對于C：若，則為實數，C正確；
對于D：，D正確.
故選：AB.
39．AD
【分析】根據復數的幾何意義求出的取值范圍，即可判斷.
【詳解】復數在復平面內對應的點的坐標為位于第四象限，
則，所以符合題意的只有A、D.
故選：AD
40．ABD
【分析】根據復數的運算可直接判斷A；計算復數的?？膳袛郆；先化簡復數，求出共軛復數，利用復數的幾何意義可判斷C；根據復數模的幾何意義可判斷D.
【詳解】對于A：，故選項A正確；
對于B：復數的模為，故選項B正確；
對于C：，所以，對應的點位于第三象限，故選項C不正確；
對于D：復數滿足，表示復數對應的點到點和點兩點的距離相等，所以在復平面內對應的點的軌跡為線段的垂直平分線，故選項D正確；
故選：ABD.
41．ABD
【分析】根據復數幾何意義可得其對應的點的坐標，結合二次函數性質，分別討論和情況下橫坐標的正負，由此可得點所在的象限.
【詳解】由題意得：復數在復平面內對應的點為；
令，
①當，即時，
若，則，位于第一象限；
若，則，在第二象限；
②當，即時，，位于第四象限；
綜上所述：在復平面內對應的點可能在第一、第二和第四象限.
故選：ABD.
42．
【分析】根據復數為純虛數，列式求解.
【詳解】由復數為純虛數，可知，
，得.
故答案為：
43．
【分析】首先求出和的坐標，從而求出的坐標，即可得解.
【詳解】因為復數與所對應的向量分別為和，
所以，，
所以，即對應的復數為.
故答案為：
44．
【分析】首先將復數化簡，再根據復數的幾何意義，列不等式求實數的取值范圍.
【詳解】復數，因為復數對于的點在第四象限，
所以，解得：.
故答案為：
45．一
【分析】設復數，其中，根據，列出方程組求得，得到，結合復數的幾何意義，即可求解.
【詳解】設復數，其中，
因為，可得，
可得，解得，所以，
可得，所以在復平面內對應的點為，位于第一象限.
故答案為：一.
46．（1）；（2）或
【分析】直接利用復數相等列方程組求解即可.
【詳解】（1）由已知得，
解得；
（2）由已知得，
解得或.
47．(1)
(2)
【分析】（1）根據純虛數的定義可得到解方程即可；
（2）根據復數對應的點在復平面的第四象限內可以得到，解不等式即可.
【詳解】（1）是純虛數，只需，解得.
（2）由題意知，
解得，
故當時，所對應的點在復平面的第四象限內.
48．(1)或
(2)
【分析】（1）令虛部等于，即可求出值；
（2）令實部為，虛部不為，即可求出值.
【詳解】（1）由已知得,
其中復數的實部為，虛部為，
當時，即或時復數為實數.
（2）當，即，
即時，復數為純虛數.
49．(1).
(2)或.
【分析】（1）根據復數的坐標表示可求出結果；
（2）將點的坐標，代入，解方程可得結果.
【詳解】（1）∵點對應的復數分別是 ，，
∴點的坐標分別是，
∴
，
∴對應的復數.
（2）由（1）知點的坐標是，代入，
得，即，∴.
又∵，∴，
∴或.
50．(1)
(2)
【分析】（1）寫出頂點、、的坐標，利用平面向量加法的平行四邊形法則求出點的坐標，即可得出點所對應的復數；
（2）利用平面向量數量積的坐標運算可求出的值，利用同角三角函數的基本關系求出，進而可得出.
【詳解】（1）解：因為平行四邊形的頂點、、對應的復數分別為、、，
由復數的幾何意義可得、、，
由平面向量加法的平行四邊形法則可得，
故點對應的復數為.
（2）解：因為，，所以，，
所以，，
因此，的邊上的高為.
答案第1頁，共2頁
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