資源簡介

專題06 復數的四則運算（六大考點）
思維導圖
核心考點聚焦
考點一：復數代數形式的加、減運算
考點二：復數加減法的幾何意義
考點三：復數模的綜合問題
考點四：復數代數形式的乘法運算
考點五：復數代數形式的除法運算
考點六：在復數范圍內解方程
知識點一、復數的加減運算
1、復數的加法、減法運算法則：
設，（），我們規定：
知識點詮釋：
（1）復數加法中的規定是實部與實部相加，虛部與虛部相加，減法同樣．很明顯，
兩個復數的和（差）仍然是一個復數，復數的加（減）法可以推廣到多個復數相加（減）的情形．
（2）復數的加減法，可模仿多項式的加減法法則計算，不必死記公式．
2、復數的加法運算律：
交換律：
結合律：
知識點二、復數的加減運算的幾何意義
1、復數的表示形式：
代數形式：（）
幾何表示：
①坐標表示：在復平面內以點表示復數（）；
②向量表示：以原點為起點，點為終點的向量表示復數．
知識點詮釋：
復數復平面內的點平面向量
知識點三、復數的乘除運算
1、乘法運算法則：
設，（），我們規定：
知識點詮釋：
（1）兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把換成，并且把實部與虛部分別合并．兩個復數的積仍然是一個復數．
（2）在進行復數除法運算時，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復數（分母實數化），化簡后寫成代數形式．
2、乘法運算律：
（1）交換律：
（2）結合律：
（3）分配律：
1、復數加、減法的幾何意義：
如果復數、分別對應于向量、，那么以、為兩邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是的和所對應的向量．對角線表示的向量就是兩個復數的差所對應的向量．
設復數，，在復平面上所對應的向量為、，即、的坐標形式為，以、為鄰邊作平行四邊形，則對角線對應的向量是，
由于，所以和的和就是與復數對應的向量．
知識點詮釋：
要會運用復數運算的幾何意義去解題，利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數運算去處理
考點剖析
考點一：復數代數形式的加、減運算
例1．
（2024·全國·高一隨堂練習）
1．計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例2．
（2024·全國·高一隨堂練習）
2．計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例3．
（2024·全國·高一隨堂練習）
3．計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
變式1．
（2024·安徽蚌埠·高二校考階段練習）
4．已知，，為實數，若，求
變式2．
（2024·高一課時練習）
5．復數滿足，求.
考點二：復數加減法的幾何意義
例4．
（2024·高一課時練習）
6．復平面上有A、B、C三點，點對應的復數為，對應的復數為，對應的復數為，則點的坐標為 ．
例5．
（2024·高一課時練習）
7．在平行四邊形ABCD中，若點A，C分別對應于復數，，則A，C兩點間的距離為 ．
例6．
（2024·上海寶山·高一上海交大附中校考）
8．已知復數，滿足，，，則在復平面所對應的點組成的圖形的面積為 ．
變式3．
（2024·湖南衡陽·高二衡陽市田家炳實驗中學校考）
9．已知，則 的最小值是 ．
變式4．
（2024·山東日照·高一校聯考期末）
10．若復數，（其中為虛數單位）所對應的向量分別為與，則的周長為 .
變式5．
（2024·高二課時練習）
11．復平面上，，對應的點分別為，，已知，且，是坐標原點，則在復平面內是 （銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）.
考點三：復數模的綜合問題
例7．
（2024·新疆伊犁·高一校聯考期末）
12．設是虛數單位，若復數滿足，則 ．
例8．
（2024·河北唐山·高一統考期末）
13．若復數，，則 .
例9．
（2024·廣東佛山·高一統考期末）
14．設復數、，滿足，，則 ．
變式6．
（2024·上海楊浦·高一校考期末）
15．若復數和復數滿足，，，則 .
變式7．
（2024·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考）
16．已知復數滿足，則 .
變式8．
（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習）
17．設復數、滿足，，，則 ．
考點四：復數代數形式的乘法運算
例10．
（2024·上海青浦·高三校考）
18．已知為虛數單位，若復數滿足，則 .
例11．
（2024·湖南湘西·高一統考期末）
19． .（為虛數單位）
例12．
（2024·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期末）
20．設復數滿足，則的實部為 ．
變式9．
（2024·湖北·高一校聯考）
21．若復數z的虛部小于0，且，則 ．
考點五：復數代數形式的除法運算
例13．
（2024·天津·高三天津市咸水沽第一中學校考）
22．已知為實數，若復數為純虛數，則的值為 .
例14．
（2024·陜西榆林·高一校考）
23．已知復數，，則在復平面內對應的點位于第 象限.
例15．
（2024·江蘇揚州·高一統考）
24．實數滿足，則 ．
變式10．
（2024·上海·高三專題練習）
25．若，，則實數，應滿足的條件為 .
變式11．
（2024·全國·高一隨堂練習）
26．計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考點六：在復數范圍內解方程
例16．
（2024·江蘇徐州·高三校考階段練習）
27．已知復數，為z的共軛復數，且．
(1)求m的值；
(2)若是關于x的實系數一元二次方程的一個根，求該一元二次方程的另一復數根．
例17．
（2024·全國·高一課堂例題）
28．在復數集C內解下列方程：
(1)；
(2)．
例18．
（2024·高一單元測試）
29．根據要求完成下列問題：
(1)關于的方程有實根，求實數的值；
(2)若復數的共軛復數對應的點在第一象限，求實數的集合.
變式12．
（2024·甘肅武威·高一天祝藏族自治縣第一中學校考階段練習）
30．已知復數，，.
(1)若復數在復平面內的對應點落在第二象限，求實數的取值范圍；
(2)若虛數是方程的一個根，求實數的值.
變式13．
（2024·青海海東·高一統考階段練習）
31．已知復數，在復平面內對應的點分別為，，其中．
(1)若m＝1，求；
(2)若是關于x的方程的一個復數根，求m的值及．
變式14．
（2024·上海嘉定·高一校考期末）
32．已知關于的實系數一元二次方程有兩個虛根和，且，求的值.
變式15．
（2024·高一單元測試）
33．已知i是虛數單位，，.
(1)求的值；
(2)若復數是關于的方程的一個根，求實數的值．
過關檢測
一、單選題
（2024·陜西西安·高三統考階段練習）
34．已知，，且，則（ ）
A． B．2 C． D．10
（2024·江蘇常州·高三校聯考階段練習）
35．已知復數在復平面內對應點的坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·廣東廣州·高三廣州市從化區從化中學校考階段練習）
36．復平面內，復數(為虛數單位)，則復數對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2024·湖南長沙·高二雅禮中學校考階段練習）
37．已知復數滿足：，則（ ）
A．1 B．2 C． D．3
（2024·江蘇蘇州·高一校考階段練習）
38．已知i為虛數單位，復數z滿足，則的虛部是（ ）
A． B． C． D．
（2024·云南保山·高一校考）
39．下列命題中，正確的個數為（ ）
①設是坐標原點，向量、對應的復數分別為、，那么向量對應的復數是；
②復數是的根，則；
③若復數是關于的方程的一個根，則；
④已知復數滿足，則復數對應的點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.
A． B． C． D．
（2024·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考）
40．復數滿足（為虛數單位），則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2024·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學校考）
41．設復數，則的的虛部是（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
二、多選題
（2024·遼寧·高三校聯考）
42．若復數，則（ ）
A．的共軛復數
B．
C．復數的實部與虛部相等
D．復數在復平面內對應的點在第四象限
（2024·江西宜春·高一江西省豐城中學校考階段練習）
43．已知復數（為虛數單位），復數的共軛復數為，則下列結論正確的是（ ）
A．在復平面內復數所對應的點位于第一象限 B．
C． D．
（2024·重慶·高三西南大學附中校考）
44．復數，其共軛復數為，則下列敘述正確的是（ ）
A．對應的點在復平面的第四象限 B．是一個純虛數
C． D．
（2024·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考）
45．已知復數，下列結論正確的有（ ）
A． B．若，則
C． D．
三、填空題
（2024·廣東佛山·高一統考競賽）
46．設復數滿足，則 .
（2024·上海寶山·高三上海交大附中校考）
47．復數，（a、），若它們的和為實數，差為純虛數，則 ．
（2024·上海奉賢·高二校聯考）
48．如果都是實數，關于的方程有一個根，則
（2024·廣東東莞·高一東莞實驗中學校考）
49．復平面上兩個點分別對應兩個復數，它們滿足下列兩個條件：①；②兩點連線的中點對應的復數為，若為坐標原點，則的面積為
四、解答題
（2024·新疆喀什·高一統考期末）
50．計算：
(1)；
(2).
（2024·山東日照·高二校考階段練習）
51．已知.
(1)求的值；
(2)設,求的值.
（2024·陜西西安·高一期末）
52．已知z為復數，和均為實數，其中是虛數單位.
(1)求復數z和|z|；
(2)若在第四象限，求m的取值范圍.
（2024·江蘇蘇州·高一校考階段練習）
53．（1）在復數范圍內因式分解：；
（2）計算：是虛數單位．
（2024·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學校考階段練習）
54．（1）已知復數，．i是虛數單位，若是純虛數，求m的值；
（2）i是虛數單位，，，若，求復數z．
（2024·山東日照·高二統考）
55．已知是虛數單位，復數z的共軛復數是，且滿足．
(1)求復數z的模；
(2)若復數在復平面內對應的點在第二象限，求實數m的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數加減運算即可.
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
2．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數的加減運算逐一計算即可得出（1）~（4）的答案；
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
3．(1)
(2)2
(3)0
(4)
(5)
(6)
【分析】根據復數的加減運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：.
（2）由題意可得：.
（3）由題意可得：.
（4）由題意可得：.
（5）由題意可得：.
（6）由題意可得：.
4．.
【分析】先化簡，再利用復數相等可求出，從而得到，再用復數的模長公式求解即可
【詳解】
，
所以，
解得， ，
所以，，
則，所以．
5．
【分析】設，，求出，再根據復數相等得到方程組，解得即可；
【詳解】解：設，，所以，因為
所以，即，所以，解得
所以
6．
【分析】根據即，求得點對應的復數，進而即得.
【詳解】因為對應的復數是，對應的復數為，又，
所以對應的復數為，又，
所以點對應的復數為，
所以點的坐標為．
故答案為：．
7．5
【分析】根據復數減法的幾何意義求出向量對應的復數，再根據復數的模的計算公式即可求解．
【詳解】依題意得對應的復數為，
所以A，C兩點間的距離為．
故答案為：5．
8．
【分析】根據復數的幾何意義以及復數加減法的幾何意義進行求解.
【詳解】，是以復平面內點為圓心，以為半徑的圓，
， ，
，即，
復數以復平面內點為圓心，半徑為1和的兩圓構成的圓弧，
則在復平面所對應的點組成的圖形的面積為：
故答案為：.
9．1
【解析】由，得z在復平面內所對應的點Z在以原點O為圓心，半徑為的圓上．
，表示Z到點所對應的點的距離，求出后減去半徑可得最小值．
【詳解】解：因為，所以z在復平面內所對應的點Z在以原點O為圓心，半徑為的圓上．
，表示Z到點所對應的點的距離，
，
所以．
故答案為1．
【點睛】方法點睛：本題考查復數模的幾何意義，表示復平面上對應的點到原點的距離，表示在復平面上對應的點與對應的點間的距離．因此有表示對應的點為圓心，為半徑的圓．
10．16
【分析】由已知可得，，，再求出復數的模，從而可得的周長
【詳解】因為，，，
所以，，.
所以的周長為.
故答案為：16
【點睛】此題考查復數的模的運算，屬于基礎題
11．直角三角形
【解析】設復數對應的點為，由得四邊形為矩形，即可得出結論.
【詳解】設復數對應的點為，則四邊形為平行四邊形，
又，即四邊形為矩形，
，則在復平面內是直角三角形.
故答案為：直角三角形.
【點睛】本題考查復數加法和減法以及模的幾何意義，考查數形結合思想，屬于基礎題.
12．
【分析】根據題意可得，進而結合模長公式運算求解.
【詳解】因為，則，
所以.
故答案為：.
13．
【分析】先根據復數減法法則計算，再根據復數模的計算公式，即可得出結果.
【詳解】∵，，
∴．
故答案為：．
14．
【分析】設，，利用復數的模長公式、復數的運算以及復數相等可得出、以及的值，再利用復數的加法以及復數的模長公式可求得的值.
【詳解】設，，
因為，則，
又因為，
所以，，即，
由，可得，故，解得，
由，可得，
所以，，所以，.
故答案為：.
15．##
【分析】設，根據復數的運算及模的公式即可求解.
【詳解】設，且，
則，
又，所以，
即，則，
因為，
所以，
所以.
故答案為：.
16．
【分析】根據已知條件，結合復數模公式，復數的四則運算，共軛復數的定義，即可求解
【詳解】設，
∵，
，即，解得，
則有，.
故答案為：.
17．
【分析】設，，根據復數的模長公式以及復數相等可得出，通過計算可得出，即可得解.
【詳解】設，，
則，即，
所以，，
，
因此，.
故答案為：.
18．##
【分析】設，根據復數的加減法及乘法運算求出，再根據復數的乘法運算即可得解.
【詳解】設，則，
所以，
因為，
所以，所以，
所以，
則.
故答案為：.
19．
【分析】利用的周期性及復數的加減運算法則即可求解.
【詳解】由題意，的周期為4，
所以原式.
故答案為：.
20．5
【分析】利用復數的乘法運算法則展開化簡后即得答案.
【詳解】,
故答案為：5.
21．-4
【分析】設且，根據，求出，再根據復數的乘方運算即可得解.
【詳解】設且，
則，
所以，則或（舍去），
所以（舍去）或，
所以，
故答案為：
22．
【分析】l利用純虛數的概念可求的值，再結合復數除法運算可求復數的值.
【詳解】因為復數為純虛數，可得，所以.
故答案為: .
23．一
【分析】先利用復數的除法運算求解復數，再利用復數的幾何意義即可判斷點所在的象限.
【詳解】因為復數，，
所以，在復平面內對應的點為，
則點位于第一象限.
故答案為：一.
24．1
【分析】根據復數的除法運算化簡，結合復數相等，求得答案.
【詳解】由得：，
即 ，故，
故答案為：1
25．或
【分析】根據復數的運算得出，再由復數是實數的條件得出實數，應滿足的條件.
【詳解】
因為，故有,所以或，
即或是a，b應滿足的條件.
故答案為：或.
【點睛】本題考查復數的運算和復數的概念，屬于中檔題.
26．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據復數除法的運算法則運算求解即可.
【詳解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
27．(1)
(2)
【分析】（1）根據共軛復數的概念，結合復數的加法運算即可求解參數的值；
（2）首先將代入一元二次方程中求出參數，的值，然后再根據求根公式求解另外一個復數根即可.
【詳解】（1）已知，則，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，將代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
帶入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一個復數根為
28．(1)或．
(2)或．
【分析】（1）移項開根號即可得到答案；
（2）配方即可計算得到答案.
【詳解】（1），則，則.
（2）配方，得．
或，
所以或．
29．(1)
(2)
【分析】（1）設方程的根為，并代入方程中，根據復數相等得到方程組，可得答案；
（2）寫出的共軛復數，根據對應的點在第一象限，列出不等式組，可得答案.
【詳解】（1）設是其實根，代入原方程變形為，
由復數相等的定義，得，
解得；
（2）由題意得，且對應的點在第一象限，
∴，即，解得，
故實數的集合為.
30．(1)
(2)17
【分析】（1）計算出，根據對應點所在象限列出不等式組，求出實數的取值范圍；
（2）根據題意得也是方程的一個根，由兩根之和求出，進而得到，計算出的值.
【詳解】（1）.
因為在復平面內的對應點落在第二象限，所以，
解得.因此，實數的取值范圍是.
（2）因為虛數是方程的一個根，
所以也是方程的一個根，
于是，解得.
所以，，
因此.
31．(1)
(2)m＝－1，
【分析】（1）根據題意得到，求解；
（2）（方法一）由題意，將代入方程，利用復數相等求解；（方法二）由題意得到方程的兩根為，求解；（方法三）先求得方程的根再對應求解.
【詳解】（1）解：由題意得，
因為m＝1，所以，
則，
所以．
（2）（方法一）由題設得，
即，則
解得m＝－1．故．
（方法二）由題設得方程的兩根為，，
則，得m＝－1，故．
（方法三）由，
得，即，所以m＝－1，
故．
32．
【分析】由題意可得，求出的取值范圍，求出實系數方程的兩個虛根，結合可得出關于的等式，解之即可.
【詳解】因為關于的實系數一元二次方程有兩個虛根和，
則，解得，
由可得，可得，解得，
不妨取，，
所以，，解得，合乎題意.
因此，.
33．(1).
(2).
【分析】（1）根據復數相等的條件列式可求出結果；
（2）將代入方程，再根據復數相等的條件列式可求出結果.
【詳解】（1）因為，，即，
所以，解得.
（2）由（1）可知，
是方程的一個根，
，
整理得，
由復數相等得，
解得:.
34．A
【分析】根據復數代數形式的乘法運算及復數相等得到方程組，求出、的值，從而求模.
【詳解】因為，即，即，
因為，，所以，解得，
所以.
故選：A
35．A
【分析】由已知得到，利用復數的除法求出即可.
【詳解】由已知復數在復平面內對應點的坐標為，
則，
所以.
故選：A.
36．C
【分析】利用復數的除法運算求出復數及即可判斷得解.
【詳解】依題意，，
所以在復平面內對應的點位于第三象限.
故選：C
37．C
【分析】先由條件解出復數并運算化簡，然后求出.
【詳解】由，得，
則.
故選：C
38．D
【分析】通過復數的模及除法運算化簡復數，再利用共軛復數的定義及虛部的定義求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，所以的虛部是.
故選：D
39．B
【分析】利用復數的幾何意義可判斷①④；求出方程的虛根，利用復數的模長公式可判斷②；利用韋達定理可判斷③.
【詳解】對于①，因為，則向量對應的復數是，①錯；
對于②，由可得，解得，故，②對；
對于③，由題意可知，關于的方程的兩個虛根分別為、，
所以，，解得，故，③對；
對于④，因為，
所以，復數對應的點的軌跡是以為圓心半徑為的圓，④錯.
故選：B.
40．B
【分析】根據復數模的幾何意義求解．
【詳解】，∴，對應的點在以原點為圓心1為半徑的圓上，
表示復數對應點和對應的點間距離，
又，
所以的最小值是，
故選：B．
41．C
【分析】首先化簡復數，再求復數的虛部.
【詳解】，所以的虛部為.
故選：C
42．BD
【分析】對復數進行化簡后，逐項判斷即可.
【詳解】，
則，故錯誤；
，故正確；
復數的實部為，虛部為，不相等，故錯誤；
復數在復平面內對應的點為，在第四象限，故正確，
故選：
43．ABCD
【分析】A選項，利用復數四則運算法則得到，得到所在象限，A正確；B選項，由共軛復數的概念進行求解；C選項，利用復數乘法法則計算；D選項，利用復數除法法則計算.
【詳解】A選項，，
故在復平面內復數所對應的點位于第一象限，A正確；
B選項，，B正確；
C選項，，C正確；
D選項，，D正確.
故選：ABCD
44．BCD
【分析】先由復數的運算求出，共軛復數的概念求出，即可判斷各選項的正誤．
【詳解】由題意得：，
對于A項：，對應的點在復平面的第一象限，故A項錯誤；
對于B項：為純虛數，故B項正確；
對于C項：，故C項正確；
對于D項：，故D項正確；
故選：BCD.
45．AC
【分析】設，根據復數的運算與模的定義計算后判斷AC，根據復數乘法判斷B，由復數的模的定義和復數相等的定義判斷D．
【詳解】設，
則，，A正確；
當時，，因此B錯誤；
，
，C正確；
時，，，D錯．
故選：AC．
46．5
【分析】設，根據復數的共軛復數、復數相等列方程組解得，再根據模長公式求解即可得答案.
【詳解】設，則，于是，
解得，則.
故答案為：.
47．
【分析】應用復數的加減運算求、，根據實數、純虛數定義求參數，進而求目標復數的模即可.
【詳解】由題設為實數，故，
，故，
所以.
故答案為：
48．
【分析】根據實系數方程根的特征可知為方程另一根，利用韋達定理可構造方程組求得，進而求解.
【詳解】因為為關于的方程的一個根，
所以為關于的方程的一個根，
所以，解得，，
所以.
故答案為：.
49．20
【分析】設，根據復數的運算及集合意義可得點的坐標，再根據中點坐標公式列方程求得的值，從而可得向量的坐標，根據向量的坐標運算確定模長與角度，從而得的面積.
【詳解】設，
則.
所以點的坐標分別為
又兩點連線的中點對應的復數為，
解得
.
又
的面積為.
故答案為：.
50．(1)
(2)
【分析】（1）利用復數乘法與加減法運算即可；
（2）利用復數乘方、除法加減運算即可
【詳解】（1）
.
（2）
.
51．(1)
(2)
【分析】（1）根據復數的代數乘法運算即可；
（2）根據復數的乘除法運算即可.
【詳解】（1）.
（2），
.
52．(1)；
(2)
【分析】（1）設，依據題設，建立方程求出，即可求得z，再求其模；
（2）先求出，再根據題意建立不等式組求解即可.
【詳解】（1）設，則，
由為實數，得，則，
由為實數，得，則，
∴，則；
（2），
由在第四象限，得，解得或，
故m的取值范圍為．
53．（1）；（2）
【分析】（1）將寫成利用平方差公式即可分解為；
（2）利用復數除法運算法則即可得，再由乘方公式即可計算得出結果.
【詳解】（1）易知，
即可分解為；
（2）由，可得，
又，所以，
即.
54．（1）；（2）
【分析】（1）利用復數的概念，待定系數計算即可；
（2）根據復數的四則運算法則計算即可.
【詳解】（1）由，
是純虛數，所以；
（2）由.
55．(1)
(2)
【分析】（1）利用復數及其共軛復數、復數的相等、復數的模運算即可得解.
（2）利用復數的運算、復數的相等、復數的幾何意義運算即可得解.
【詳解】（1）解：設，則，
∴，
∴，，
∴，則；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由題意，復數在復平面內對應的點在第二象限，
∴，解得：，
即實數m的取值范圍為．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑