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專題07 基本立體圖形 （四大考點）
思維導圖
核心考點聚焦
考點一：簡單幾何體的結構特征
考點二：幾何體中的基本計算
考點三：簡單幾何體的組合體
考點四：簡單幾何體的表面展開與折疊問題
知識點一：棱柱的結構特征
1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．在棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱．側面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點．棱柱中不在同一平面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線．過不相鄰的兩條側棱所形成的面叫做棱柱的對角面．
2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；
②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性質：棱柱的側棱相互平行．
知識點詮釋：
有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．
判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．
知識點二：棱錐的結構特征
1、定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．這個多邊形面叫做棱錐的底面．有公共頂點的各個三角形叫做棱錐的側面．各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點．相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱；
2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；
3、棱錐的表示方法：用表示頂點和底面的字母表示，如四棱錐．
知識點詮釋：
棱錐有兩個本質特征：
（1）有一個面是多邊形；
（2）其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可．
知識點三：圓柱的結構特征
1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．旋轉軸叫做圓柱的軸．垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的底面．平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面．無論旋轉到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線．
2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱
知識點詮釋：
（1）用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與底面全等的圓面．
（2）經過圓柱的軸的截面是一個矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．
（3）圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸．
知識點四：圓錐的結構特征
1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．旋轉軸叫做圓錐的軸．
垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的底面．不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面．無論旋轉到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線．
2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐．
知識點詮釋：
（1）用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個比底面小的圓面．
（2）經過圓錐的軸的截面是一個等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側面的兩條母線．
（3）圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側面的母線．
知識點五：棱臺和圓臺的結構特征
１、定義：用一個平行于棱錐（圓錐）底面的平面去截棱錐（圓錐），底面和截面之間的部分叫做棱臺（圓臺）；原棱錐（圓錐）的底面和截面分別叫做棱臺（圓臺）的下底面和上底面；原棱錐（圓錐）的側面被截去后剩余的曲面叫做棱臺（圓臺）的側面；原棱錐的側棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺的側棱；原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點；圓臺可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉而成，因此旋轉的軸叫做圓臺的軸．
2、棱臺的表示方法：用各頂點表示，如四棱臺；
3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺；
知識點詮釋：
（1）棱臺必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體．所以，棱臺可還原為棱錐，即延長棱臺的所有側棱，它們必相交于同一點．
（2）棱臺的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方．
（3）圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉而成．
（4）圓臺的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方．
知識點六：球的結構特征
1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球．半圓的半徑叫做球的半徑．半圓的圓心叫做球心．半圓的直徑叫做球的直徑．
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．
知識點詮釋：
（1）用一個平面去截一個球，截面是一個圓面．如果截面經過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑．
（2）若半徑為的球的一個截面圓半徑為，球心與截面圓的圓心的距離為，則有．
知識點七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺
特殊的棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；
特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體；
特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；
知識點八：簡單組合體的結構特征
1、組合體的基本形式：①由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；
2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉體的組合；③旋轉體與旋轉體的組合．
①多面體與多面體的組合體
由兩個或兩個以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體．如下圖（1）是一個四棱柱與一個三棱柱的組合體；如圖（2）是一個四棱柱與一個四棱錐的組合體；如圖（3）是一個三棱柱與一個三棱臺的組合體．
②多面體與旋轉體的組合體
由一個多面體與一個旋轉體組合而成的幾何體稱為多面體與旋轉體的組合體如圖（1）是一個三棱柱與一個圓柱組合而成的；如圖（2）是一個圓錐與一個四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個球與一個三棱錐組合而成的．
③旋轉體與旋轉體的組合體
由兩個或兩個以上的旋轉體組合而成的幾何體稱為旋轉體與旋轉體的組合體．如圖（1）是由一個球體和一個圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個圓臺和兩個圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個圓臺、一個圓柱和一個圓錐組合而成的．
幾何體中的計算問題
幾何體的有關計算中要注意下列方法與技巧：
（1）在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側面、等腰三角形中的斜高及高與側棱所構成的兩個直角三角形，有關證明及運算往往與兩者相關．
（2）正四棱臺中要掌握其對角面與側面兩個等腰梯形中關于上、下底及梯形高的計算，有關問題往往要轉化到這兩個等腰梯形中．另外要能夠將正四棱臺、正三棱臺中的高與其斜高、側棱在合適的平面圖形中聯系起來．
（3）研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中，易找到所需有關元素之間的位置、數量關系．
（4）圓柱、圓錐、圓臺的側面展開是把立體幾何問題轉化為平面幾何問題處理的重要手段之一．
（5）圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決．
（6）關于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化“球”為“圓”，應用平面幾何的有關知識解決；關于球與多面體的切接問題，要恰當地選取截面，化“空間”為平面．
考點剖析
考點一：簡單幾何體的結構特征
例1．
（2024·甘肅酒泉·高二校考期末）
1．下列描述中，不是棱錐幾何結構特征的是（ ）
A．三棱錐有4個面是三角形 B．棱錐的側面都是三角形
C．棱錐都有兩個互相平行的多邊形面 D．棱錐的側棱交于一點.
例2．
（2024·寧夏吳忠·高一統考期末）
2．下列關于幾何體特征的判斷正確的是（ ）
A．一個斜棱柱的側面不可能是矩形
B．底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐
C．有一個面是邊形的棱錐一定是棱錐
D．平行六面體的三組對面中，必有一組是全等的矩形
例3．
（2024·全國·高一隨堂練習）
3．下列命題正確的是（ ）
A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱
B．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐
C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱
D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺
變式1．
（2024·山西太原·高一校考階段練習）
4．下列命題中正確的是（ ）
A．兩個底面平行且相似，其余各面是梯形的多面體是棱臺
B．三棱柱的側面為三角形
C．棱臺的各側棱延長后不一定交于一點
D．棱錐的側面和底面可以都是三角形
變式2．
（2024·山西朔州·高一校聯考階段練習）
5．下列幾何體中，棱數最多的是（ ）
A．五棱錐 B．三棱臺
C．三棱柱 D．四棱錐
考點二：幾何體中的基本計算
例4．
（2024·高一課時練習）
6．長方體的同一頂點處的相鄰三個面的面積分別為12，6，8，則長方體的體對角線長為 ．
例5．
（2024·高一課時練習）
7．圓柱的母線長為5，底面半徑為2，稱過圓柱的軸的任意平面與圓柱形成的平面為軸截面，則該圓柱軸截面面積為 .
例6．
（2024·高一課時練習）
8．用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的兩個幾何體分別為一個小圓錐和一個圓臺，若小圓錐的底面面積與原圓錐的底面面積之比為1：4，圓臺的母線長為9 cm，則原來的圓錐的母線長為 .
變式3．
（2024·高一課時練習）
9．長、寬、高分別為3、4，5的兩個相同的長方體，把它們某兩個全等的面重合在一起，組成大長方體，則大長方體對角線最長為 .
考點三：簡單幾何體的組合體
例7．
（2024·高一課時練習）
10．已知，ABCD為等腰梯形，兩底邊為AB，CD且，梯形ABCD繞AB所在的直線旋轉一周所得的幾何體是由 、 、 的幾何體構成的組合體.
例8．
（2024·全國·高一專題練習）
11．如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是 ．
例9．
（2024·高一課時練習）
12．如圖所示的幾何體，關于其結構特征，下列說法不正確的是 .
①該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體；
②該幾何體有12條棱、6個頂點；
③該幾何體有8個面，并且各面均為三角形；
④該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形．
考點四：簡單幾何體的表面展開與折疊問題
例10．
（2024·山東聊城·高一山東聊城一中校考）
13．如圖，直三棱柱中，，，為線段上的一個動點，則的最小值是 .

例11．
（2024·吉林四平·高一校考階段練習）
14．如圖正三棱柱的底面邊長為，高為2，一只螞蟻要從頂點沿三棱柱的表面爬到頂點，若側面緊貼墻面（不能通行），則爬行的最短路程是 ．

例12．
（2024·浙江寧波·高一校聯考）
15．已知正方體的棱長為，一螞蟻沿著正方體的表面從點爬到點的最短距離是 ．
變式4．
（2024·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學校考階段練習）
16．正三棱錐中，，過點A作一截面與側棱分別交于點，，則截面周長的最小值為 ．
變式5．
（2024·高一單元測試）
17．如圖，已知圓柱的高為h，底面半徑為，軸截面為矩形，在母線上有一點，且，在母線上取一點，使，則圓柱側面上P、Q兩點的最短距離為 ．

變式6．
（2024·福建三明·高一校聯考）
18．圓錐的母線，高為，點是的中點，一質點自點出發，沿側面繞行一周到達點的最短路程為 ．
過關檢測
一、單選題
（2024·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考）
19．下列說法正確的有（ ）
A．有兩個面互相平行，其余各面均是平行四邊形的多面體是棱柱
B．用任意一個平面去截球得到的截面一定是一個圓面
C．側面是全等的矩形的五棱柱一定是正五棱柱
D．過圓錐頂點的所有截面中，軸截面面積最大
（2024·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學校考階段練習）
20．一個正棱錐被平行于底面的平面所截，若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，則此正棱錐的高被分成的兩段之比為（　　）
A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1）
（2024·河北邢臺·高一河北南宮中學校考階段練習）
21．下列說法正確的是（ ）
A．多面體至少有5個面
B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
C．各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體
D．六棱柱有6條側棱，6個側面，側面均為平行四邊形
（2024·廣東東莞·高一東莞市東莞中學松山湖學校校考階段練習）
22．下列命題正確的是（　　）
A．用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺
B．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
C．圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角形
D．一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺
（2024·河南鄭州·高一校聯考）
23．如圖，正三棱錐中，，側棱長為，一只蟲子從A點出發，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（ ）

A． B． C． D．
（2024·遼寧錦州·高一渤海大學附屬高級中學校考階段練習）
24．某同學為表達對“新冠疫情”抗疫一線醫護人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個面上分別寫了“致敬最美逆行”六個字，該正方體紙盒水平放置的六個面分別用“前面 后面 上面 下面 左面 右面”表示.如圖是該正方體的展開圖.若圖中“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是（ ）

A．最 B．美 C．逆 D．敬
（2024·陜西寶雞·高一寶雞中學校考階段練習）
25．已知圓錐的底面半徑為2，側面展開圖為圓心角為的扇形，則該圓錐的高為（ ）
A．6 B． C．4 D．3
（2024·山東泰安·高一泰安一中校考）
26．某景區為提升游客觀賞體驗，搭建一批圓錐形屋頂的小屋（如圖1）．現測量其中一個屋頂，得到圓錐的底面直徑長為，母線長為（如圖2）．若是母線的一個三等分點（靠近點S），從點A到點繞屋頂側面一周安裝燈光帶，則燈光帶的最小長度為（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
（2024·吉林長春·高一長春外國語學校校考）
27．下列說法正確的是（ ）
A．棱臺的側面都是等腰梯形
B．棱柱的側棱長都相等，但側棱不一定都垂直于底面
C．底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形
D．以三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐
（2024·新疆·高一兵團第三師第一中學校考階段練習）
28．長方體的棱長，則從點沿長方體表面到達點的距離可以為（ ）

A． B． C． D．
（2024·山西大同·高一校考階段練習）
29．下列命題中不正確的是（ ）
A．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面
B．正四棱錐的側面都是正三角形
C．用一個平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺
D．平行六面體的每個面都是平行四邊形
（2024·北京·高三校考強基計劃）
30．在直三棱柱中，，點P在線段上，則的（ ）
A．最小值為 B．最小值為
C．最大值為 D．最大值為
三、填空題
（2024·云南紅河·高一校考開學考試）
31．若一個圓錐的底面圓半徑為2，其側面展開圖的圓心角為，則圓錐的母線長是 .
（2024·全國·高一隨堂練習）
32．一個幾何體由7個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的五邊形，其他各面都是全等的矩形，則這個幾何體是 .
（2024·重慶萬州·高一校考階段練習）
33．已知圓臺的上底半徑為2cm，下底半徑為4cm，圓臺的高為cm，則側面展開圖所在扇形的圓心角為 ．
（2024·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習）
34．建筑學上，建筑師利用各種彎曲空間可以建造出很多外型美觀的建筑物。刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容.在幾何學中可用曲率刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，大小用弧度制表示），多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為.則正方體的總曲率為 ；正四棱錐的總曲率為 .
四、解答題
（2024·江蘇·高一專題練習）
35．如圖所示，長方體.

(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？
(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.
（2024·高一課時練習）
36．如圖是一個圓錐形物體，其母線長為3cm，一只小蟲子從圓錐的底面圓上的點P出發，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處，若該小蟲子爬行的最短路程為，求圓錐底面圓的半徑.

（2024·高一課時練習）
37．將常見的幾個棱柱、棱錐、棱臺的頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）作如下統計：
空間圖形 頂點數 面數 棱數
三棱錐 4
三棱柱 5
三棱臺 9
四棱錐 5
四棱柱 21
四棱臺 8
五棱錐 10
五棱柱 10
五棱臺 7
……
(1)把上表中空缺的數據補上；
(2)由此表可猜得棱柱、棱錐、棱臺的頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）滿足一個關系式：_____________，并用石膏晶體和明礬晶體的空間圖形中頂點數、面數、棱數驗證你猜測的關系式的正確性．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據棱錐的定義和幾何結構，逐項判定，即可求解.
【詳解】A中，根據棱錐的幾何結構，可得三棱錐有4個面是三角形 ，所以A正確；
B中，根據棱錐的定義，可得棱錐的側面都是三角形，所以B正確；
C中，根據棱錐的定義，可得棱錐都沒有兩個互相平行的多邊形面，所以C錯誤；
D中，根據棱錐的定義，可得棱錐的側棱交于一點，所以D正確.
故選：C.
2．C
【分析】根據直棱柱、正棱錐、棱錐的分類，以及平行六面體的幾何結構特征，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，斜棱柱的側面中，可以有的側面是矩形，所以A不正確；
對于B中，根據正棱錐的定義，底面是正多邊形且頂點在底面的射影為底面多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以B不正確；
對于C中，根據棱錐的分類，可得有一個面是邊形的棱錐一定是棱錐，所以C正確；
對于D中，平行六面體的三組對面中，必有一組是全等的平行四邊形，所以D錯誤.
故選：C.
3．C
【分析】根據常見幾何體的基本特征判斷各選項即可.
【詳解】對于A，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱，可能是棱臺或組合圖形，故A錯誤；
對于B，有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體才是棱錐，故B錯誤；
對于C，根據棱柱的定義，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，故C正確；
對于D，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺，故D錯誤.
故選：C.
4．D
【分析】利用棱臺的結構特征判斷AC；利用棱柱的結構特征判斷B；利用棱錐的結構特征判斷D作答.
【詳解】棱臺的側面梯形的腰（即棱臺的側棱）的延長線都相交于一點，C錯誤；
而選項A中側面梯形的腰不一定交于一點，A錯誤；
棱柱的各側面都是平行四邊形，B錯誤；
棱錐的側面都是三角形，底面可以是三角形，如三棱錐，D正確.
故選：D
5．A
【分析】根據棱錐和棱柱的特征逐個求解其棱數進行判斷
【詳解】因為五棱錐有10條棱，三棱臺有9條棱，三棱柱有9條棱，四棱錐有8條棱，
所以這些幾何體中棱數最多的是五棱錐，
故選：A
6．
【分析】由長方體的三個面的面積求出同一點出發的三條棱長，根據長方體的結構特征即可求出結果.
【詳解】
設長方體從頂點B出發的三條棱長分別為，且，，，則，，，
所以長方體中線段的長等于.
故答案為：
7．20
【分析】軸截面為矩形，根據矩形的長和寬求出面積.
【詳解】軸截面為矩形，兩邊長分別為5和4，故軸截面的面積為.
故答案為：20
8．18 cm
【分析】根據比例即可求解.
【詳解】設軸截面如圖所示，由已知得圓 與圓的面積比為 ，所以半徑比 ，進而得，所以是的中點，且，故 ,
故答案為：18 cm
9．
【分析】分類討論求解大長方體的體對角線即可.
【詳解】當大長方體的長、寬、高分別為、、時，
體對角線為.
當大長方體的長、寬、高分別為、、時，
體對角線為.
當大長方體的長、寬、高分別為、、時，
體對角線為.
因為，所以大長方體對角線最長為.
故答案為：
10． 圓錐 圓柱 圓錐
【分析】作于，于，根據旋轉體的定義和性質得到答案.
【詳解】如圖所示：作于，于，
繞所在的直線旋轉一周得到圓錐；
矩形繞所在的直線旋轉一周得到圓柱；
繞所在的直線旋轉一周得到圓錐；
故答案為：圓錐；圓柱；圓錐；
11．①⑤
【分析】由組合體結構特征，用一個平面截幾何體，根據平面不同截法判斷截面輪廓，即可得答案.
【詳解】一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的幾何體被一個豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形去掉上側一條邊，而圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線的一部分，且三角形頂點必在矩形下側底邊中點上、拋物線頂點不可能在矩形下側底邊上．
故答案為：①⑤
12．④
【分析】由圖可知，平面ABCD可將該幾何體分割成兩個四棱錐，因此該幾何體是這兩個四棱錐的組合體，則四邊形ABCD是它的一個截面，可得答案.
【詳解】平面ABCD可將該幾何體分割成兩個四棱錐，因此該幾何體是這兩個四棱錐的組合體，因而四邊形ABCD是它的一個截面，而不是一個面.
故答案為：④.
13．
【分析】根據已知條件及直棱柱的性質，結合直角三角形的性質及勾股定理即可求解.
【詳解】將圖中的和放置于同一平面內，如圖所示，

則.
因為直三棱柱中，，，
所以中，.
同理，在中，,所以
所以在圖中，,
所以,即.
所以的最小值是.
故答案為：.
14．
【分析】利用正三棱柱側面展開圖，結合兩點間的最短距離是線段來求解即可．
【詳解】正三棱柱的側面部分展開圖如圖所示，

圖1，連接與交于點，則爬行的最短路程時沿著爬行，
此時，
圖2，連接，過作AB的垂線交于點，則，
則，所以，
∵，∴爬行的最短路程是.
故答案為：.
15．
【分析】做出正方體的側面展開圖，在平面圖形內計算最短距離.
【詳解】
如圖所示，將正方體的側面與展開，
則最短距離為，
故答案為：.
16．
【分析】將三棱錐的側面沿,,剪開，得到如圖所示的五邊形，連接，分別交,于,，可得截面周長的最小值為線段的長.
【詳解】將三棱錐的側面沿,,剪開，得到如圖所示的五邊形，
連接，分別交,于,，再將展開圖圍成三棱錐的側面，得到，
即為周長最小的截面三角形，由此可得截面周長的最小值等于線段的長.
正三棱錐中，，所以，
又，所以等腰中，，即截面周長的最小值為.
故答案為：.

17．
【分析】根據兩點之間，線段最短，把圓柱的半個側面展開，是一個下長為，寬為的矩形，然后展開圖形根據勾股定理即可得解.
【詳解】如圖，把圓柱的半個側面展開，是一個下長為，寬為的矩形，

，，過作，為垂足，所以，
即可把放在一個直角邊為和的直角三角形中，
根據勾股定理可得：.
故答案為：.
18．
【分析】作出圓錐側面展開圖，可知所求最短路程為，結合扇形弧長公式、余弦定理可求得結果.
【詳解】將圓錐的側面展開，連接，

則的長即為質點繞行的最短路程，由題設易知：圓錐底面半徑為2；
在中，，，弧長，；
利用余弦定理得：，；
質點自點出發，沿側面繞行一周到達點的最短路程為.
故答案為：.
19．B
【分析】根據棱柱的定義判斷A，由球的性質判斷B，由正五棱柱定義判斷C，根據圓錐過頂點的截面的性質判斷D．
【詳解】如下圖的多面體，有兩個面互相平行，其余各面均是平行四邊形的，但它不是棱柱，A錯；

用任意一個平面去截球得到的截面一定是一個圓面，B正確；
側面是全等的矩形的五棱柱的底面不一定是正五邊形，C錯；
過圓錐頂點的所有截面中，設兩條母線的平角為，母線長為，則截面面積為，
當軸截面等腰三角形的頂角大于，截面中兩條母線夾角為的截面面積最大，D錯．
故選：B．
20．D
【分析】根據相似比求得正確答案.
【詳解】設截后棱錐的高為h，原棱錐的高為H，
由于截面與底面相似，一個正棱錐被平行于底面的平面所截，
若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，，
則此正棱錐的高被分成的兩段之比：.
故選：D
21．D
【分析】根據多面體、棱柱、棱臺的定義及性質，逐項判斷，即可得到本題答案.
【詳解】對于A，一個多面體至少有4個面，如三棱錐有4個面，故A錯誤；
對于B，因為不能保證各側棱的延長線交于一點，故B錯誤；
對于C，反例如下圖，上、下底面是全等的菱形，各側面是全等的正方形，它不是正方體；故C錯誤；
對于D，根據棱柱的定義，知選項D正確.
故選：D

22．C
【分析】選項A，平面不一定平行于圓錐底面；選項B，棱柱底面多邊形各邊不一定相等，則側面不一定全等；選項D，空間直觀想象由直角梯形繞下底所在直線旋轉一周可得組合體.
【詳解】只有在平面平行于圓錐底面時，才能將圓錐截為一個圓錐和一個圓臺，
當平面不平行于圓錐底面時，得到的幾何體并非圓錐和圓臺，所以A錯；
棱柱的側棱都相等且平行，且側面是平行四邊形，
但其底面多邊形各邊不一定相等，則側面并不一定全等，所以B錯；
圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角形，所以C對；
直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，
如圖所示，所以D錯.
故選：C.

23．B
【分析】將正三棱錐的側面展開，結合側面展開圖，得到要使的周長的最小，則共線，再由正三棱錐的結構特征和數量關系，即可求解.
【詳解】將正三棱錐沿剪開，得到側面展開圖，如圖所示，
因為，即，
由的周長為，
要使的周長的最小，則共線，即，
又由正三棱錐側棱長為，是等邊三角形，
所以，即蟲子爬行的最短距離是.
故選：B.

24．A
【分析】利用正方體及其表面展開圖的特點以及題意，把“行”放到正方體的左面，然后把平面展開圖折成正方體，看“行”的相對面，即可判斷.
【詳解】把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是“最”．

故選：A．
25．B
【分析】由扇形弧長公式求圓錐的母線長，再根據圓錐的母線、高和底面半徑的關系求高．
【詳解】設圓錐的母線長為，
圓錐的底面半徑，側面展開圖的圓心角為，
，可得母線長，
圓錐的高．
故選：B
26．C
【分析】將圓錐側面沿著母線展開，計算出展開圖扇形的圓心角，結合余弦定理可求得燈光帶的最小長度.
【詳解】將圓錐側面沿母線展開，其側面展開圖為如圖所示的扇形，則的長度即為燈光帶的最小長度，

，，
在中，，，
，
解得：，即燈光帶的最小長度為.
故選：C.
27．BC
【分析】A.利用棱臺的結構特征判斷；B.利用棱柱的結構特征判斷；C.利用圓錐的結構特征判斷；D.利用圓錐的結構特征判斷.
【詳解】A. 棱臺的側棱延長后交于一點，但側面不一定是等腰梯形，如一條側棱垂直于底面，那么會有兩個側面為直角梯形，故錯誤；
B.棱柱的側棱長都相等，但側棱不一定都垂直于底面，故正確；
C.底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形，故正確；
D.當以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是兩個同底的圓錐，故錯誤；
故選：BC
28．ABC
【分析】從點沿長方體表面到達有三種展開方式，以，、為軸展開，分別求出，可得答案．
【詳解】從點沿長方體表面到達有三種展開方式，
若以為軸展開，

則；
以為軸展開，

則，
以為軸展開，

．
故選：ABC．
29．BC
【分析】由正四棱錐的概念判斷選項B；由旋轉體的結構特征判斷選項A,C；由平行六面體的特征判斷選項D.
【詳解】對于A，圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，故選項A正確；
對于B，正四棱錐的側面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故選項B錯誤；
對于C，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，而不是用一個平面去截圓錐，故選項C錯誤，
對于D，平行六面體的每個面都是平行四邊形，故選項D正確，
故選：BC.
30．BD
【分析】將平面與平面展平在一個平面上后可求的最值.
【詳解】如圖展開，其中是斜邊為的等腰直角三角形，
是斜邊為6的等腰直角三角形．
當三點共線時，取得最小值．
當P位于C點位置時，取得最大值．
故選：BD.
31．6
【分析】設圓錐的母線長為l，由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據弧長公式得到
然后解方程求出l即可.
【詳解】設圓錐的母線長為l，根據題意得，解得，
即圓錐的母線長為6.
故答案為：6.
32．正五棱柱
【分析】根據空間幾何體的主要特征即可求解.
【詳解】如圖所示：

由題意一個幾何體由7個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的五邊形，
故此幾何體是五棱柱，又其他各面都是全等的矩形，
故五棱柱的上下底面邊長相等且側棱與底面垂直，
根據正棱柱的定義可知該幾何體是正五棱柱.
故答案為：正五棱柱.
33．
【分析】把圓臺補成圓錐，利用圓錐的軸截面進行求解即可.
【詳解】把該圓臺補成圓錐，圓錐的軸截面如下圖所示：

過作，為垂足，
所以圓臺的母線，
因為上底半徑長為下底半徑的一半，
所以圓錐的母線長為，
所以側面展開圖所在扇形的圓心角為，
故答案為：
34．
【分析】根據題中給出的定義，由多面體的總曲率計算求解即可．
【詳解】正方體在每個頂點處有3個面角，每個面角的大小是，
所以在各頂點處的曲率為，故其總曲率為；
正四棱錐有5個頂點，5個面，其中4個三角形，1個四邊形，

所以四棱錐的表面內角和由4個為三角形，1個為四邊形組成，
所以面角和為，
故總曲率為．
故答案為：；.
35．(1)是棱柱，并且是四棱柱，理由見解析；
(2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱.
【分析】（1）根據棱柱的定義判斷即可；
（2）根據棱柱的定義以及棱柱的表示方法求解即可.
【詳解】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因為長方體相對的兩個面是互相平行的四邊形(作底面)，其余各面都是矩形(作側面)，且相鄰側面的公共邊互相平行，符合棱柱的定義．因為底面是四邊形，所以長方體是四棱柱；
（2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面.
截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱，
其中四邊形和是底面.
36．1cm.
【分析】由圓錐側面展開圖已知最短距離與兩條母線組成等腰三角形，通過余弦定理可得解三角形頂角，再由扇形弧長公式得解.
【詳解】作出該圓錐的側面展開圖，如圖所示，易知該小蟲子爬行的最短路程為，，，在中，由余弦定理得，
因為為三角形的內角，
所以，設圓錐底面圓的半徑為，則，解得.
故圓錐底面圓的半徑為1cm.

37．(1)填表見解析
(2)，驗證見解析
【分析】（1）根據幾何體的結構特征依次填空即可；
（2）由題歸納猜想得，再結合石膏晶體與明礬晶體驗證即可.
【詳解】（1）解：
空間圖形 頂點數 面數 棱數
三棱錐 4 4 6
三棱柱 6 5 9
三棱臺 6 5 9
四棱錐 5 5 8
四棱柱 8 6 12
四棱臺 8 6 12
五棱錐 6 6 10
五棱柱 10 7 15
五棱臺 10 7 15
……
（2）解：由于，，，，，，……，
所以，猜想棱柱、棱錐、棱臺的頂點數（）、面數（）、棱數（）滿足.
驗證如下：
空間圖形 頂點數 面數 棱數
石膏晶體 20 12 30
明礬晶體 12 8 18
顯然，頂點數（）、面數（）、棱數（）滿足.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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