資源簡介

專題09 簡單幾何體的表面積與體積（七大考點）
思維導圖
核心考點聚焦
考點一：棱柱、棱錐、棱臺的表面積
考點二：棱柱、棱錐、棱臺的體積
考點三：圓柱、圓錐、圓臺的表面積
考點四：圓柱、圓錐、圓臺的體積
考點五：球的表面積與體積（外接球）
考點六：球的表面積與體積（內切球）
考點七：球的表面積與體積（棱切球）
知識點一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積
棱柱、棱錐、棱臺是多面體，它們的各個面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個面的面積之和．計算時要分清面的形狀，準確算出每個面的面積再求和．棱柱、棱錐、棱臺底面與側面的形狀如下表：
項目 名稱 底面 側面
棱柱 平面多邊形 平行四邊形 面積=底·高
棱錐 平面多邊形 三角形 面積=·底·高
棱臺 平面多邊形 梯形 面積=·（上底+下底）·高
知識點詮釋：
求多面體的表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．
知識點二、圓柱、圓錐、圓臺的表面積
圓柱、圓錐、圓臺是旋轉體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側面是曲面，應把它們的側面展開為平面圖形，再去求其面積．
1、圓柱的表面積
（1）圓柱的側面積：圓柱的側面展開圖是一個矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長，那么這個矩形的長等于圓柱底面周長C=2πr，寬等于圓柱側面的母線長（也是高），由此可得S圓柱側=C=2πr．
（2）圓柱的表面積：．
2、圓錐的表面積
（1）圓錐的側面積：如下圖（1）所示，圓錐的側面展開圖是一個扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為，那么這個扇形的弧長等于圓錐底面周長C=πr，半徑等于圓錐側面的母線長為，由此可得它的側面積是．
（2）圓錐的表面積：S圓錐表．
3、圓臺的表面積
（1）圓臺的側面積：如上圖（2）所示，圓臺的側面展開圖是一個扇環．如果圓臺的上、下底面半徑分別為r＇、r，母線長為，那么這個扇形的面積為，即圓臺的側面積為S圓臺側=．
（2）圓臺的表面積：．
知識點詮釋：
求旋轉體的表面積時，可從旋轉體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應的側面展開圖中的邊長之間的關系．
知識點三、柱體、錐體、臺體的體積
1、柱體的體積公式
棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h的乘積，即V棱柱=Sh．
圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=πr2h．
綜上，柱體的體積公式為V=Sh．
2、錐體的體積公式
棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積．
圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用πr2表示S，則．
綜上，錐體的體積公式為．
3、臺體的體積公式
棱臺的體積：如果棱臺的上、下底面的面積分別為S＇、S，高是h，那么它的體積是．
圓臺的體積：如果圓臺的上、下底面半徑分別是r＇、r，高是h，那么它的體積是
．
綜上，臺體的體積公式為．
知識點四、球的表面積和體積
1、球的表面積
（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積．
（2）球的表面積
設球的半徑為R，則球的表面積公式S球=4πR2．
即球面面積等于它的大圓面積的四倍．
2、球的體積
設球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關，是以R為自變量的函數．
球的體積公式為．
1、正方體的內切球
球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內切球，此時球的半徑為r1＝，過在一個平面上的四個切點作截面如圖（1）．
2、球與正方體的各條棱相切
球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有r2＝，如圖（2）．
3、長方體的外接球
長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3＝，如圖（3）．
4、正方體的外接球
正方體棱長a與外接球半徑R的關系為2R＝a．
5、正四面體的外接球
正四面體的棱長a與外接球半徑R的關系為：2R＝a．
6、有關球的截面問題
常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的有關問題解決．
考點剖析
考點一：棱柱、棱錐、棱臺的表面積
例1．（2024·高一課時練習）
1．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點，AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長；
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.
例2．（2024·全國·高一課堂例題）
2．如圖，正四棱錐的底面邊長為4，頂點S到底面中心O的距離為4，求它的表面積．

例3．（2024·全國·高一隨堂練習）
3．正六棱錐被過棱錐高的中點且平行于底的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐．
(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側面積之比；
(2)若大棱錐的側棱長為，小棱錐的底面邊長為，求截得的棱臺的側面積與全面積．
變式1．（2024·高一課時練習）
4．如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐.
(1)求大棱錐，小棱錐，棱臺的側面面積之比；
(2)若大棱錐PO的側棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺的側面面積和表面積.
考點二：棱柱、棱錐、棱臺的體積
例4．（2024·高一課時練習）
5．已知正六棱柱最長的對角線長為13cm，其一個側面的面積為，求棱柱的體積.
例5．（2024·上海虹口·高二校考）
6．已知長方體中，，求：

(1)長方體表面積；
(2)三棱錐的體積．
例6．（2024·福建廈門·高一福建省廈門第二中學校考階段練習）
7．如圖所示，正六棱錐的底面邊長為4，H是的中點，O為底面中心，．

(1)求出正六棱錐的高，斜高，側棱長；
(2)求六棱錐的表面積和體積．
變式2．（2024·陜西榆林·高一校考）
8．已知正四棱臺，上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為1．求
(1)該四棱臺的側棱長
(2)該四棱臺的體積
變式3．（2024·江西·高二江西師大附中校考階段練習）
9．如圖，在正四棱臺中，上底面邊長為1，下底面邊長為3，側棱長為2.
（1）求此正四棱臺的側面積；
（2）求此正四棱臺的體積.
考點三：圓柱、圓錐、圓臺的表面積
例7．（2024·西藏拉薩·統考一模）
10．若一個圓錐的軸截面是一個腰長為，底邊上的高為1的等腰三角形，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2024·福建漳州·高一校聯考）
11．已知圓臺的上、下底面面積分別為和，高為，則圓臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·廣東佛山·高一羅定邦中學校聯考階段練習）
12．如圖，已知圓錐的底面半徑，高，過上一點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱.

(1)若圓柱的底面半徑，求剩余部分體積；
(2)試求圓柱側面積的最大值.
變式4．（2024·安徽·高一安徽師范大學附屬中學校考階段練習）
13．已知一個圓錐的底面半徑為2，母線長為4.
(1)求圓錐的側面展開圖的扇形的圓心角；
(2)如圖，若圓錐中內接一個高為的圓柱，求該圓柱的側面積.
變式5．（2024·高一課時練習）
14．如下圖，一個圓臺形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm， 底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長為15 cm．為了美化花盆的外觀，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，結果精確到1毫升）
考點四：圓柱、圓錐、圓臺的體積
例10．（2024·上海長寧·高二上海市復旦中學校考）
15．如圖，高與底面直徑相等的圓錐內有一個內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，圓錐與圓柱的體積之比為 ．
例11．（2024·廣東廣州·高一廣州市第六十五中學校考階段練習）
16．圓臺的上、下底面半徑分別是，，且圓臺的母線長為5，則該圓臺的體積是 .
【答案】
例12．（2024·高一課時練習）
17．圓錐的高擴大到原來的倍,底面半徑縮短到原來的，則圓錐變化后的體積與原體積的比值為 .
變式6．（2024·上海浦東新·高二校考期末）
18．圓臺的軸截面上、下底邊長分別為和，母線長為，則圓臺的體積是 .
考點五：球的表面積與體積（外接球）
例13．（2024·陜西榆林·高二統考期末）
19．如圖，在長方體中，四邊形是邊長為1的正方形，，則該長方體的外接球表面積是（ ）

A． B． C． D．
例14．（2024·江蘇南京·統考二模）
20．直角三角形中，斜邊長為2，繞直角邊所在直線旋轉一周形成一個幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長為（ ）
A． B．1 C． D．
例15．（2024·廣東·統考一模）
21．如圖，在直三棱柱的側面展開圖中，，是線段的三等分點，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（ ）
A． B． C． D．
變式7．（2024·江蘇南京·高三校聯考階段練習）
22．已知直三棱柱的頂點都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
變式8．（2024·安徽阜陽·高二校考階段練習）
23．某正方體的外接球體積，則此正方體的棱長為（ ）
A．6 B．3 C． D．
考點六：球的表面積與體積（內切球）
例16．（2024·湖南·高一校聯考期末）
24．已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的內切球（球與圓錐的底面和側面均相切）的表面積為 .
例17．（2024·高一單元測試）
25．一個正四面體表面積為，其內切球表面積為S2.則= .
例18．（2024·四川南充·高二四川省閬中東風中學校校考階段練習）
26．如圖所示是古希臘數學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發現．我們來重溫這個偉大發現，圓柱的表面積與球的表面積之比為（ ）
A． B． C． D．
變式9．（2024·廣東肇慶·高一校考階段練習）
27．棱長為2的正方體的內切球的球心為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
變式10．（2024·山西太原·高一校考階段練習）
28．已知正方體的內切球(球與正方體的六個面都相切)的體積是，則該正方體的體積為（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
考點七：球的表面積與體積（棱切球）
例19．（2024·江西宜春·高三奉新縣第一中學校考階段練習）
29．已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是 ．
例20．（2024·山西朔州·高一校考階段練習）
30．正四面體的內切球、棱切球(與各條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為 ．
例21．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習）
31．在棱長為的正方體中，與其各棱都相切的球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
過關檢測
一、單選題
（2024·四川南充·統考模擬預測）
32．已知一個圓錐的表面積為，其側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
（2024·陜西咸陽·高三陜西咸陽中學校考階段練習）
33．如圖是一個實心金屬幾何體的直觀圖，它的中間部分是高為的圓柱，上、下兩端均是半徑為2的半球，若將該實心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不考慮過程中的原料損失)，熔成一個實心球，則該球的直徑為（ ）
A． B． C． D．
（2024·全國·模擬預測）
34．已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為4和6，斜高為1，則該正三棱臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
（2024·安徽·高三校聯考階段練習）
35．已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
（2024·黑龍江·校聯考模擬預測）
36．若正四棱柱與以正方形的外接圓為底面的圓柱的體積相同，則正四棱柱與該圓柱的側面積之比為（ ）
A． B． C． D．
（2024·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）
37．已知棱長為2的正方體的體積與球的體積相等，則球的半徑為（ ）
A． B． C． D．
（2024·全國·模擬預測）
38．某幾何體為棱柱或棱錐，且每個面均為邊長是2的正三角形或正方形，給出下面4個值：①；②24；③；④．則該幾何體的表面積可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
（2024·全國·高一隨堂練習）
39．如圖，已知正六棱柱的最大對角面的面積為，互相平行的兩個側面的距離為2m，則這個六棱柱的體積為（ ）

A． B． C． D．以上都不對
二、多選題
（2024·全國·模擬預測）
40．已知圓錐的底面圓的半徑與球的半徑相等，且圓錐，與球的表面積相等，則（ ）
A．圓錐的母線與底面所成角的余弦值為
B．圓錐的高與母線長之比為
C．圓錐的側面積與底面積之比為3
D．球的體積與圓錐的體積之比為
（2024·廣東惠州·高三統考階段練習）
41．某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（ ）

A．該圓臺的高為1cm B．該圓臺軸截面面積為
C．該圓臺的側面積為 D．該圓臺的體積為
（2024·遼寧大連·高一遼師大附中校考階段練習）
42．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結論正確的是（　　）

A．圓柱的側面積與球的表面積相等
B．圓錐的側面展開圖的圓心角為
C．圓柱的表面積為
D．圓柱的體積等于球與圓錐的體積之和
（2024·湖南·高三雅禮中學校聯考階段練習）
43．若某正方體的棱長為，則（ ）
A．該正方體的體積為5 B．該正方體的內切球的體積為
C．該正方體的表面積為30 D．該正方體的外接球的表面積為
三、填空題
（2024·江西·高一統考）
44．已知正三棱錐的內切球半徑為l，若底面邊長為，則該棱錐體積為 .
（2024·廣東·高三執信中學校聯考）
45．“升”是我國古代測量糧食的一種容器，在“升”裝滿后用手指成筷子沿升口刮平，這叫“平升”，如圖所示的“升”，從內部測量，其上、下底面均為正方形，邊長分別為和，側面是全等的等腰梯形，梯形的高為，那么這個“升”的“平升”可以裝 mL的糧食．（結果保留整數）
（2024·河南鄭州·高一鄭州中學校考期末）
46．已知圓錐的表面積為，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為 ．
（2024·江西南昌·高三江西師大附中校考）
47．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，，，則球的表面積是 ．
四、解答題
（2024·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）
48．正四棱錐的底面邊長為4，高為1，求：
(1)求棱錐的體積和側棱長；
(2)求棱錐的表面積．
（2024·上海浦東新·高二上海市洋涇中學校考）
49．某種“籠具”由內、外兩層組成，無下底面，內層和外層分別是一個圓錐和一個圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為．

(1)求這種“籠具”的體積（結果精確到）；
(2)現要使用一種紗網材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？（結果精確到1元）
（2024·河北石家莊·高一校考）
50．如圖，在棱長為1的正方體中，、分別是棱、的中點．
(1)求四邊形的周長；
(2)求多面體的體積．
（2024·內蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考）
51．如圖，一個幾何體是由一個正三棱柱內挖去一個倒圓錐組成，該三棱柱的底面正三角形的邊長為2，高為4．圓錐的底面內切于該三棱柱的上底面，頂點在三棱柱下底面的中心處．
(1)求該幾何體的體積；
(2)求該幾何體的表面積．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)2
(2)
【分析】（1）由正三棱柱、線面垂直性質可得CC1⊥BC，求出CD，即可得側棱長；
（2）利用棱柱表面積的求法求正三棱柱的表面積.
【詳解】（1）由題意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，
根據正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC 面ABC，所以CC1⊥BC，
在Rt△ECD中，CD=，
又D是CC1的中點，故側棱長為2.
（2）底面積為S1=2S△ABC=2×2×=2，側面積為S2=3=3×2×2=12.
所以棱柱表面積為S=S1 +S2=12+2.
2．
【分析】根據正棱錐的性質求得正棱錐的斜高后可得表面積．
【詳解】作，垂足為點E，連接OE．
因為，所以．
因為，，,平面SOE，
所以平面SOE，而平面SOE，
所以，故．又，所以．
又底面周長，所以正棱錐側．
又底，因此，該正四棱錐的表面積為表．
3．(1)
(2)側面積為，全面積為
【分析】（1）根據棱錐和棱臺的側面積公式，結合平行線的性質進行求解即可；
（2）根據棱臺的側面積和全面積公式，結合三角形面積公式、平行線的性質進行求解即可.
【詳解】（1）設正六棱錐的高，底面邊長，
因為正六棱錐被過棱錐高的中點且平行于底的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐，
所以小棱錐的高為，底面邊長，
在中，因為，所以，
于是有：，
因此大棱錐、小棱錐、棱臺的側面積之比為；

（2）由（1）可知：，
已知大棱錐的側棱，
顯然在中，上的高長為，
所以，
所以，
由（1）可知：截得的棱臺的側面積為，
截得的棱臺的全面積為.
4．(1)；
(2)側面積；表面積.
【分析】（1）設小棱錐的底面邊長為，斜高為，從而可得出大棱錐的底面邊長和斜高，然后可分別求出大棱錐，小棱錐，棱臺的側面積，從而可求出大棱錐，小棱錐，棱臺的側面積之比；
（2）根據條件可求出大棱錐的底面邊長和斜高，從而可求出大棱錐的側面積；根據（1）的結論可求出棱臺的側面積；再求出棱臺的上下底面的面積，從而可求出棱臺的表面積.
【詳解】（1）設小棱錐的底面邊長為，斜高為，則大棱錐的底面邊長為，斜高為，
所以大棱錐的側面積為，小棱錐的側面積為，
棱臺的側面積為，
所以大棱錐，小棱錐，棱臺的側面積之比.
（2）因為小棱錐的底面邊長為4cm，所以大棱錐的底面邊長為8cm，
因為大棱錐的側棱長為12cm，所以大棱錐的斜高為cm，
所以大棱錐的側面積為，
所以棱臺的側面積為，
棱臺的上，下底面的面積和為，
所以棱臺的表面積為.
5．或
【分析】設底面邊長為，高為，根據題意列出方程，再由棱柱的體積公式，即可得到結果.
【詳解】解：因為正六棱柱最長的一條對角線長為13 cm，一個側面的面積為，
設底面邊長為cm，高為cm，
則，解得或，（負值舍去），
則這個棱柱的體積
或，
故棱柱的體積為或.
6．(1)10；
(2).
【分析】（1）利用長方體的表面積公式計算即得.
（2）利用錐體體積公式計算即得.
【詳解】（1）長方體中，，，
因此長方體的側面積，
所以長方體的表面積.
（2）的面積，
顯然三棱錐的高為，
所以三棱錐的體積.

7．(1)高為6，斜高為，側棱長為
(2)表面積為，體積為
【分析】（1）依據圖象，根據底邊是正六邊及邊長可求出，進而在中，可求出,即正六棱錐的高及斜高，繼而在等腰中可求得側棱長；
（2）求出底面積，利用棱錐體積計算公式求解即可.
【詳解】（1）如圖：

在正六棱錐中，，
H為中點，所以．
因為是正六邊形的中心，
所以為正六棱錐的高．
，
在中，，
所以．
在中，．
在中，，，
所以．
故該正六棱錐的高為6，斜高為，側棱長為．
（2）的面積為，
的面積為，
所以正六棱錐的表面積為，
體積為
8．(1)
(2)
【分析】（1）作出四棱臺的直觀圖，解直角三角形即可求得答案；
（2）利用棱臺的體積公式即可求得答案.
【詳解】（1）如圖，設為正棱臺上下底面的中心，連接，作，垂足為E，

則四邊形為矩形，
則，則，
故，即正棱臺側棱長為，
（2）根據棱臺體積公式可得該四棱臺體積為.
9．（1）；（2）.
【分析】（1）由題意解直角三角形可得側面的高，再由等腰三角形的面積公式求解側面積；
（2）求出四棱臺的高，代入體積公式求體積．
【詳解】（1）解：因為正四棱臺的上底面是邊長為1的正方形，下底面是邊長為3的正方形，
側棱長為2，側面是全等的等腰梯形，
所以側面的高為，
所以此正四棱臺的側面積為；
（2）四棱臺的高，
所以此正四棱臺的體積為.
10．B
【分析】求得圓錐的母線長和底面半徑，從而求得圓錐的側面積.
【詳解】由題意可得該圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形，腰長為，底邊長為2，
所以圓錐的母線長，底面圓半徑，
所以該圓錐的側面積為.
故選：B
11．B
【分析】作出圓臺的軸截面，利用勾股定理求出圓臺的母線，再根據圓臺的側面積公式計算即可．
【詳解】由題意圓臺的上、下底面面積分別為和，高為，
可得，，
所以，
故圓臺的母線長為，
所以圓臺的側面積為．
故選：B．

12．(1)
(2)
【分析】（1）利用相似比可求出圓柱的高，則剩余部分體積等于圓錐的體積減去圓柱的體積即可，
（2）方法一：作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，設，利用相似比可表示出圓柱的底面半徑，從而可表示出圓柱的側面積，從而可求出其最大值，方法二：設圓柱底面半徑為，然后利用相似表示出圓柱的高，從而可表示出圓柱的側面積，從而可求出其最大值.
【詳解】（1）因為圓錐的底面半徑，高.
所以圓錐的母線長、
圓錐體積.
設圓柱的高，則，所以，
圓柱體積，
剩余部分體積為，
（2）方法一：作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，

其中，設，
設圓柱底面半徑為，則，即
設圓柱的側面積為
當時，有最大值為，
方法二：作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，
其中，
設圓柱底面半徑為，則，即
設圓柱的側面積為
當時，有最大值為.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根據弧長公式計算可得；
（2）設圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為，根據三角形相似求出，即可得解.
【詳解】（1）因為圓錐的底面半徑，母線長，
設圓錐的側面展開圖的扇形的圓心角為，則.
（2）設圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為，
則，，
易知
，即，，圓柱的側面積.
14．1 000毫升
【分析】利用圓臺側面積公式，求出花盆外壁的表面積（側面積+底面積-滲水圓孔面積），即可算100個花盆的油漆用量
【詳解】由圓臺的表面積公式得一個花盆外壁的表面積：
涂100個這樣的花盆需油漆：毫升
15．
【分析】設圓錐的底面半徑為，則高為，確定，，得到半徑關系，計算體積即可.
【詳解】設圓錐的底面半徑為，則高為，設圓柱的底面半徑為，高為，
則，故，
圓柱的側面積為，
當時側面積最大，此時體積之比為：.
故答案為：
16．
【分析】先根據勾股定理求解圓臺的高，再根據臺體的體積公式求解即可.
【詳解】由圖可得，圓臺的高為，
故圓臺的體積為.

故答案為：
17．##
【分析】設圓錐原高和底面半徑分別為和，求出變化前后的體積比即可.
【詳解】設圓錐原高為，原底面半徑為，
則原體積，
由題意，圓錐變化后高為，底面半徑為，
則圓錐變化后的體積為，
∴.
∴圓錐變化后的體積與原體積的比值為.
故答案為：
18．
【分析】由題可得圓臺上下底面的半徑分別為和，結合母線長可得圓臺的高，后由圓臺體積公式可得答案.
【詳解】由題可得圓臺上底面半徑，下底面半徑.又母線l長為，
則圓臺的高，
故圓臺的體積.
故答案為：
19．D
【分析】求出長方體的體對角線，即可求得外接球半徑，即可求得答案.
【詳解】由題意可知長方體的體對角線長為,
故該長方體的外接球的半徑為，
該長方體的外接球表面積為，
故選：D
20．D
【分析】設，則，依題意可得旋轉后得到的幾何體為圓錐，根據外接球的表面積求出球的半徑，設外接球的球心為，則球心在直線上，利用勾股定理得到方程，即可求出.
【詳解】設，因為，所以，
繞直角邊所在直線旋轉一周形成一個幾何體為圓錐，設圓錐外接球的半徑為，
所以，解得，
設外接球的球心為，則球心在直線上，所以，解得.
故選：D
21．D
【分析】根據展開圖，得到直觀圖為直三棱柱，求得底面的外接圓半徑，由外接球體積求得外接球的半徑，進而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距離，乘以2即得三棱柱的高，即為的長.
【詳解】由展開圖可知，直三棱柱的底面是邊長為的等邊三角形，
其外接圓的半徑滿足，所以．
由得．
由球的性質可知，球心到底面的距離為，
結合球和直三棱柱的對稱性可知，，
故選D．
【點睛】本題考查直正三棱柱的判定與性質，球面的性質，球的表面積，屬基礎題，關鍵是由側面展開圖得到幾何體的形狀，并注意球心到球的截面圓心距離與球的半徑，截面圓半徑之間的關系.
22．C
【解析】設點為外接圓的圓心，根據，得到是等邊三角形，求得外接圓的半徑r，再根據直三棱柱的頂點都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半徑即可.
【詳解】如圖所示：
設點為外接圓的圓心，
因為，
所以，又，
所以是等邊三角形，
所以，
又直三棱柱的頂點都在球上，
所以外接球的半徑為，
所以直三棱柱的外接球的表面積是，
故選：C
23．D
【分析】正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，因而可求得結果．
【詳解】解：設正方體的棱長為x，
因為正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，
所以 ，解得．
故選：D．
【點睛】本題考查球的體積的問題，屬于基礎題．
24．
【分析】根據已知先求母線長，再結合軸截面可得半徑，然后可得.
【詳解】有題意可知，，所以
所以，圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，圓錐的內切球的半徑等于該正三角形的內切圓的半徑，
所以，
所以該圓錐的內切球的表面積為.
故答案為：
25．
【分析】設正四面體的棱長為a，用a表示正四面體表面積為，求得正四面體的高，再利用等體積法求得其內切球的半徑為r即可.
【詳解】如圖所示：
設正四面體的棱長為a，
因為正四面體表面積為，
所以，正四面體的高為，
設正四面體的內切球的半徑為r，
則正四面體的體積為，
解得，
所以，
所以
故答案為：
26．C
【分析】根據圓柱的表面積公式和球的表面積公式求解．
【詳解】設球半徑為，則圓柱底面半徑為，高為，
所以圓柱的表面積與球的表面積之比為，
故選：C．
27．B
【分析】根據正方體的對稱性得到內切球的球心為正方體的中心，然后求體積即可.
【詳解】正方體的內切球的球心為，由對稱性可知為正方體的中心，球半徑為1，
即球的體積為.
故選：B.
28．D
【分析】根據正方體的內切球直徑等于正方體的棱長即可求解.
【詳解】根據球的體積公式，，解得.
因為正方體的內切球直徑等于正方體的棱長，所以正方體的棱長為，故正方體的體積為.
故選：D.
29．
【分析】由球與正方體的各棱相切可得球的半徑，從而可求其表面積.
【詳解】過正方體的對角面作截面如圖，故球的半徑，
其表面積．
故答案為：.

30．
【分析】作出正四面體的圖形，結合正四面體的性質分別求得其內切球、棱切球及外接球的半徑，從而得解.
【詳解】設正四面體的棱長為1，外接球和內切球半徑分別為，
如圖所示，為的中點，，

由正四面體的性質可知線段為正四面體的高，
在正中，，
同理，在正中，，
則，，
所以，
則，
由正四面體的性質知，三個球的球心重合，且球心在線段上，
則，
，
所以，故，
而棱切球與棱相切，故其半徑為，
則正四面體的內切球、棱切球及外接球的半徑之比為.
故答案為：.
31．C
【分析】由球與正方體的各棱相切可得球的半徑，從而可求其表面積.
【詳解】棱長為的正方體的棱切球，其半徑為面對角線的一半，即：，
所以該球的表面積.
故選：.
32．D
【分析】根據圓錐表面積公式和扇形的弧長公式求得母線和半徑長，進而求得圓錐的高，根據圓錐體積公式即可求得答案．
【詳解】設該圓錐的底面半徑為，母線為，則，，
解得，
則圓錐的高為，
因此該圓錐的體積，
故選：D
33．C
【分析】設實心球的半徑為 ，根據球的體積公式及圓柱的體積公式計算可得.
【詳解】設實心球的半徑為 ，實心金屬幾何體的體積.
因為 ，所以，所以該球的直徑為.
故選：C
34．D
【分析】利用已知條件算出上下底面的面積和棱臺的高，再由體積公式計算.
【詳解】由正三棱臺的結構特征知，其上、下底面分別是邊長為4和6的等邊三角形，如圖所示，
為兩底面的中心，則為的中點，過作下底面垂線，垂足為，

，，，
棱臺的高，
該正三棱臺的上底面的面積為，下底面的面積為，
所以正三棱臺的體積．
故選：D
35．D
【分析】利用圓臺的表面積公式求得母線長，進而求得圓臺的高，從而利用圓臺的體積公式即可得解.
【詳解】設圓臺的母線長為．高為．
所以，解得，
所以．
所以該圓臺的體積．
故選：D．
36．B
【分析】正四棱柱底面邊長與圓柱底面半徑之比已知，由正四棱柱與圓柱的體積相同，求出正四棱柱與圓柱的高之比，代入側面積公式計算即可.
【詳解】依題意，設正四棱柱的底面邊長為，高為，
圓柱的高為，則圓柱的底面半徑為，
則有，整理得，
正四棱柱與圓柱的側面積之比.
故選：B．
37．D
【分析】根據題意，結合正方體和球的體積公式，列出方程，即可求解.
【詳解】由棱長為2的正方體的體積為，
設球的半徑為，可得，解得.
故選：D.
38．D
【分析】根據題意，由多面體的表面積公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】當該幾何體為正四面體時，其表面積為．
當該幾何體為正四棱錐時，其表面積為．
當該幾何體為正三棱柱時，其表面積為．
當該幾何體為正方體時，其表面積為．
故選：D．
39．B
【分析】設六棱柱的底面邊長為，高為，根據面積公式得到，，計算體積即可.
【詳解】設六棱柱的底面邊長為，高為.
則，，，故，
.
故選：B.
40．ACD
【分析】設出圓錐的底面圓半徑、母線長及高，利用圓錐與球的表面積求母線與半徑的關系，再逐項計算判斷即得.
【詳解】設圓錐的底面圓的半徑為，高為，母線長為，
由圓錐與球的表面積相等，得，解得，
因此圓錐的母線與底面所成角的余弦值為，A正確；
，因此圓錐的高與母線長之比為，B錯誤；
圓錐的側面積與底面積之比，C正確；
球的體積與圓錐的體積之比為，D正確.
故選：ACD
41．BCD
【分析】由勾股定理即可求得圓臺的高，即可判斷A選項；由梯形面積公式即可判斷B選項；由臺體的側面積公式可判斷C選項；由圓臺的體積公式即可判斷D選項.
【詳解】
如圖，作交于，易得，則，則圓臺的高為，A錯誤；
圓臺的軸截面面積為，B正確；
圓臺的側面積為，故C正確；
圓臺的體積為，D正確.
故選：BCD
42．AD
【分析】利用圓柱、圓錐、球的表面積、體積公式計算判斷ACD；利用圓錐側面展開圖計算判斷B.
【詳解】對于A，圓柱的側面積，球的表面積，A正確；
對于B，圓錐底面周長為，則圓錐的側面展開圖扇形弧長為，
而圓錐母線長，因此圓錐的側面展開圖的圓心角為，B錯誤；
對于C，圓柱的表面積，C錯誤；
對于D，圓柱的體積，圓錐的體積，
球的體積，因此，D正確.
故選：AD
43．BCD
【分析】根據正方體的體積表面積公式即可求解AC，根據內切球和外接球的直徑即可得半徑，由球的體積公式以及表面積公式求解BD.
【詳解】因為該正方體的棱長為，所以其體積為，表面積為，A錯誤，C正確．
該正方體的內切球的直徑為，所以內切球的體積為，B正確．
該正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，所以外接球的表面積為，D正確．
故選：BCD

44．
【分析】設正三棱錐的高為，內切圓的圓心為，根據，求得，結合直角中，利用勾股點列出方程，求得，進而求得三棱錐的體積.
【詳解】設正三棱錐的高為，內切圓的圓心為，
則，
由，所以，即，
在直角中，，，
解得，，所以體積.
故答案為：
45．1167
【分析】根據題意求出側棱長，即可得出棱臺的高，再代入棱臺的體積計算公式得出答案.
【詳解】根據題意畫出正四棱臺的直觀圖，其中底面是邊長為20cm的正方形，底面是邊長為10cm的正方形，側面等腰梯形的高cm，記底面ABCD和底面的中心分別為與，則是正四棱臺的高，

過作平面的垂線，垂足為，則，且,,
則,,
則,
側面是等腰梯形，
,則,
則棱臺的高,
則由棱臺的體積公式得mL,
故答案為：1167.
46．
【分析】利用已知條件，求出圓錐的底面半徑和圓錐的母線長與高，再計算圓錐的體積．
【詳解】設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，
由，得，
又表面積，
所以，解得，則；
所以圓錐的高為，
所以圓錐的體積為．
故答案為：．
47．
【分析】將三棱錐放入長方體中，設長方體的長寬高分別為，確定，進而得到球的半徑，進而根據球體的表面積公式計算即可.
【詳解】將三棱錐放入長方體中，設長方體的長寬高分別為，如圖所示：
則，則，
因為球的直徑即為長方體的體對角線，
則球的半徑為，
所以球的表面積是.
故答案為：.
48．(1)，
(2)
【分析】（1）根據棱錐的體積公式及勾股定理計算即可.
（2）利用三角形及正方形面積公式計算即可.
【詳解】（1）
由題意可知底面四邊形是正方形，設其對角線交于O點，則，
所以四棱錐的體積為：，
側棱長；
（2）取的中點E，連接，易知，
由上可知，
所以棱錐的表面積為.
49．(1)
(2)元
【分析】（1）由題意求出圓柱的底面半徑和圓錐的高，再根據圓柱和圓錐的體積公式，即可計算“籠具”的體積；
（2）根據圓柱的側面積，底面積和圓錐的側面積公式直接計算即可．
【詳解】（1）設圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長為，高為，
則，解得，
則，
所以“籠具”的體積．
（2）圓柱的側面積，
圓柱的底面積，
圓錐的側面積為，
所以“籠具”的表面積為，
所以制造50個這樣的“籠具”總造價為：元．
50．(1)
(2)
【分析】（1）連接，即可得到且，再求出四邊形的周長；
（2）確定多面體為三棱臺，再利用棱臺的體積公式計算即可.
【詳解】（1）連接，因為、分別是棱、的中點，故且，
又，，，
所以四邊形的周長.
（2）多面體為三棱臺，
又，，高，
所以.
51．(1)
(2)
【分析】（1）先求解出正三棱柱的體積，然后再減去倒圓錐的體積，由此可得該幾何體的體積；
（2）先計算正三棱柱的表面積，然后減去倒圓錐的底面圓的面積，再加上倒圓錐的側面積即為該幾何體的表面積.
【詳解】（1）正三棱柱的底面積為，
所以正三棱柱的體積為，
設正三角形的內切圓半徑為，
所以，所以，
所以圓錐的體積為，
所以該幾何體的體積為.
（2）因為正三棱柱的表面積為，
倒圓錐的底面圓面積為，
倒圓錐的母線長為，
所以倒圓錐的側面積為，
所以該幾何體的表面積為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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