資源簡介

專題10 空間點、直線、平面之間的位置關系
思維導圖
核心考點聚焦
考點一：平面的概念及其表示
考點二：平面的確定
考點三：點線共面
考點四：三點共線
考點五：三線共點問題
考點六：截面問題
考點七：直線與直線的位置關系
考點八：異面直線所成的角
考點九：直線與平面的位置關系
考點十：平面與平面的位置關系
知識點一、平面的基本概念
1、平面的概念：
“平面”是一個只描述而不定義的原始概念，常見的桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們以平面的形象．幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．
知識點詮釋：
（1）“平面”是平的（這是區別“平面”與“曲面”的依據）；
（2）“平面”無厚薄之分；
（3）“平面”無邊界，它可以向四周無限延展，這是區別“平面”與“平面圖形”的依據．
2、平面的畫法：
通常畫平行四邊形表示平面．
知識點詮釋：
（1）表示平面的平行四邊形，通常把它的銳角畫成，橫邊長是其鄰邊的兩倍；
（2）兩個相交平面的畫法：當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，把被遮住的部分的線段畫為虛線或者不畫；
3、平面的表示法：
（1）用一個希臘字母表示一個平面，如平面、平面、平面等；
（2）用表示平面的平行四邊形的四個字母表示，如平面；
（3）用表示平面的平行四邊形的相對兩個頂點的兩個字母表示，如平面或者平面；
4、點、直線、平面的位置關系：
（1）點A在直線a上，記作；點A在直線a外，記作；
（2）點A在平面上，記作；點A在平面外，記作；
（3）直線在平面內，記作；直線不在平面內，記作．
知識點二、平面的基本性質
平面的基本性質即書中的三個公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎．
1、公理1：
（1）文字語言表述：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內；
（2）符號語言表述：，，，；
（3）圖形語言表述：
知識點詮釋：
公理1是判斷直線在平面內的依據．證明一條直線在某一平面內，只需證明這條直線上有兩個不同的點在該平面內．“直線在平面內”是指“直線上的所有點都在平面內”．
2、公理2：
（1）文字語言表述：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；
（2）符號語言表述：、、三點不共線有且只有一個平面，使得，，；
（3）圖形語言表述：
知識點詮釋：
公理2的作用是確定平面，是把空間問題化歸成平面問題的重要依據．它還可用來證明“兩個平面重合”．特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點”這一條件．
“有且只有一個”的含義可以分開來理解．“有”是說明“存在”，“只有一個”說明“唯一”，所以“有且只有一個”也可以說成“存在”并且“唯一”，與確定同義．
（4）公理2的推論：
①過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；
②過兩條相交直線，有且只有一個平面；
③過兩條平行直線，有且只有一個平面．
（5）作用：確定一個平面的依據．
3、公理3：
（1）文字語言表述：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；
（2）符號語言表述：且；
（3）圖形語言表述：
知識點詮釋：
公理3的作用是判定兩個平面相交及證明點在直線上的依據．
知識點三、異面直線
1、定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線．
2、畫法：
3、兩異面直線所成角的常用方法
平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．
知識點四、空間兩條直線的位置關系
位置關系 共面情況 有無公共點
相交 在同一平面內 有且只有一個公共點
平行 在同一平面內 沒有公共點
異面 不同在任何一個平面內 沒有公共點
知識點五、直線與平面的位置關系
位置關系 圖形表示 符號表示 公共點
直線a在平面α內 有無數個公共點
直線a與平面α相交 有且只有一個公共點
直線a與平面α平行 無公共點
知識點九、平面與平面的位置關系
位置關系 圖形表示 符號表示 公共點
兩平面平行 無公共點
兩平面相交 有無數個公共點，這些點在一條直線上
一、點線共面的證明
所謂點線共面問題就是指證明一些點或直線在同一個平面內的問題．
1、證明點線共面的主要依據：
（1）如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內（公理1）；②經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面（公理2及其推論）．
2、證明點線共面的常用方法：
（1）證明幾點共面的問題可先取三點（不共線的三點）確定一個平面，再證明其余各點都在這個平面內；
（2）證明空間幾條直線共面問題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個平面，再證明其余直線均在這個平面內．
二、證明三點共線問題
所謂點共線問題就是證明三個或三個以上的點在同—條直線上．
1、證明三點共線的依據是公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們還有其他的公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．也就說一個點若是兩個平面的公共點，則這個點在這兩個平面的交線上．
對于這個公理應進一步理解下面三點：①如果兩個相交平面有兩個公共點，那么過這兩點的直線就是它們的交線；②如果兩個相交平面有三個公共點，那么這三點共線；③如果兩個平面相交，那么一個平面內的直線和另一個平面的交點必在這兩個平面的交線上．
2、證明三點共線的常用方法
方法1：首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點．根據公理3知，這些點都在交線上．
方法2：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在其上．
三、證明三線共點問題
所謂線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點．
1、證明三線共點的依據是公理3．
2、證明三線共點的思路：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過這點，把問題轉化為證明點在直線上的問題．
考點剖析
考點一：平面的概念及其表示
例1．（2024·貴州黔東南·高一校考階段練習）
1．用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內”，正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例2．（2024·云南曲靖·高二宣威市第五中學校考）
2．如圖所示的點，線，面的位置關系，用符號語言表示正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2024·高二課時練習）
3．下列圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·福建寧德·高一校聯考）
4．如圖所示，點，線，面之間的數學符號語言關系為（ ）
A．， B．， C．， D．，
考點二：平面的確定
例4．（2024·山東煙臺·高一統考期末）
5．下列幾何元素可以確定唯一平面的是（ ）
A．三個點 B．圓心和圓上兩點
C．梯形的兩條邊 D．一個點和一條直線
例5．（2024·北京通州·高一統考期末）
6．下列命題正確的是（ ）
A．一條線段和不在這條線段上的一點確定一個平面
B．兩條不平行的直線確定一個平面
C．三角形上不同的三個點確定一個平面
D．圓上不同的三個點確定一個平面
例6．（2024·全國·高一假期作業）
7．下列條件一定能確定一個平面的是（ ）
A．空間三個點 B．空間一條直線和一個點
C．兩條相互垂直的直線 D．兩條相互平行的直線
變式2．（2024·北京·高一北京市第十二中學校考期末）
8．下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個平面 B．兩個平面可以只有一個公共點
C．三條平行直線一定共面 D．三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面
考點三：點線共面
例7．（2024·全國·高一課堂例題）
9．兩兩相交且不過同一個點的三條直線必在同一個平面內．
已知：如圖，直線兩兩相交，交點分別為．求證：直線共面．

例8．（2024·山西大同·高一校考階段練習）
10．已知三條直線，，相交于同一點，直線與它們分別相交于點，，，（異于點），求證：，，，四條直線在同一個平面內.
例9．（2024·全國·高一專題練習）
11．如圖，在三棱柱中，分別是的中點．求證：四點共面．

變式3．（2024·全國·高一專題練習）
12．在四面體ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點，E、F分別是AB、BC邊上的點，且.求證：E、F、G、H四點共面；
考點四：三點共線
例10．（2024·福建龍巖·高一校聯考）
13．在長方體中，是和的交點，與平面交于點.

(1)證明：三點共線.
(2)若為長方體的一條高且，，求四棱錐的體積.
例11．（2024·全國·高一專題練習）
14．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且．設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．
例12．（2024·高一課時練習）
15．如圖，在長方體中，，截面．
(1)求證：B、P、三點共線；
(2)若，，，求DP的長．
變式4．（2024·高一課時練習）
16．如圖，在三棱錐中，作截面，，的延長線交于點M，，的延長線交于點N，，的延長線交于點K．判斷M，N，K三點是否共線，并說明理由．
變式5．（2024·安徽安慶·高一安慶一中校考）
17．在正方體中，棱長，M，N，P分別是，，的中點．
(1)直線交PN于點E，直線交平面MNP于點F，求證：M，E，F三點共線．
(2)求三棱錐的體積．
考點五：三線共點問題
例13．（2024·全國·高一隨堂練習）
18．如圖，點是正方體的上底面的中心，過，，A三點作一個截面．求證：此截面與對角線的交點P一定在上．

例14．（2024·陜西西安·高一校考）
19．（1）已知直線，直線與，都相交，求證：過，，有且只有一個平面；
（2）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且.求證：直線，，相交于一點.

例15．（2024·河南商丘·高一商丘市實驗中學校聯考階段練習）
20．如圖，在正四棱臺中，．
(1)求正四棱臺的體積；
(2)若分別為棱的中點，證明：相交于一點．
變式6．（2024·高一課時練習）
21．如圖，在三棱柱中，，．求證：直線，BP，CQ相交于一點．
考點六：截面問題
例16．（2024·江蘇·高一專題練習）
22．已知一個棱柱的底面是正六邊形，側面都是正方形，用至少過該棱柱三個頂點(不在同一側面或同一底面內)的平面去截這個棱柱，所得截面的形狀不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰梯形
C．五邊形 D．正六邊形
例17．（2024·四川涼山·高一校聯考期末）
23．在棱長為2的正方體中，E，F分別為，的中點，則正方體過點E，F，的截面面積為（ ）
A． B．5 C． D．
例18．（2024·全國·高一課堂例題）
24．如圖，在長方體，P為棱的中點，畫出由，，P三點所確定的平面與長方體表面的交線．

變式7．（2024·遼寧·高一校聯考期末）
25．如圖，直四棱柱的底面為正方形，為的中點．
(1)請在直四棱柱中，畫出經過三點的截面并寫出作法（無需證明）．
(2)求截面的面積．
變式8．（2024·上海·高二專題練習）
26．如圖所示的正方體中，是棱上的一點，試說明、、三點確定的平面與平面相交，并畫出這兩個平面的交線.
變式9．（2024·新疆塔城·高一沙灣縣第一中學校考期末）
27．如圖，正方體的棱長為8，，，分別是，，的中點．
(1)畫出過點，，的平面與平面的交線；
(2)設平面，求的長．
考點七：直線與直線的位置關系
例19．（2024·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）
28．如下圖，是正方體面對角線上的動點，下列直線中，始終與直線異面的是（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
例20．（2024·上海·統考模擬預測）
29．如圖，在正方體中，點是線段上的動點，下列與始終異面的是（ ）

A． B． C． D．
例21．（2024·河北邢臺·高一統考）
30．在正方體中，為的中點，在該正方體各棱所在的12條直線中，與直線異面的共有（ ）
A．5條 B．6條 C．7條 D．8條
變式10．（2024·高一課時練習）
31．垂直于同一條直線的兩條直線的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交
C．異面 D．選項A，B，C均有可能
考點八：異面直線所成的角
例22．（2024·高一課時練習）
32．如圖，在正方體中，，分別是，的中點，則異面直線與所成角的大小為（ ）

A． B． C． D．
例23．（2024·北京房山·高二統考期末）
33．在正方體中，，，，分別為，，，的中點，則異面直線 與所成的角大小等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．90°
例24．（2024·河北邯鄲·高一統考）
34．如圖，在圓柱中，AB，分別為圓O，圓的直徑，C為上靠近A的三等分點，為上靠近的三等分點，且，則異面直線與OC夾角的正切值為（ ）

A． B． C． D．
變式11．（2024·浙江嘉興·高一校考）
35．如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
變式12．（2024·陜西西安·高一統考期末）
36．在正方體中，異面直線所成角的大小為（ ）

A． B． C． D．
考點九：直線與平面的位置關系
例25．（多選題）（2024·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區第一中學校考階段練習）
37．已知空間中的平面，直線、、以及點A、B、C、D，則以下四個命題中，不正確的命題是（ ）
A．在空間中，四邊形ABCD滿足，則四邊形ABCD是菱形
B．若，則
C．若和是異面直線，和是平行直線，則和是異面直線
D．若，則
例26．（多選題）（2024·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學校考）
38．下列說法中正確的是（ ）
A．若直線與平面不平行，則l與相交
B．直線在平面外，則直線上不可能有兩個點在平面內
C．如果直線上有兩個點到平面的距離相等，則直線與平面平行
D．如果是異面直線，，，則，是異面直線
例27．（多選題）（2024·福建廈門·高一福建省廈門第二中學校考階段練習）
39．下列選項中，正確是（ ）
A．如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內任取兩條直線，兩直線平行
B．平行于同一條直線的兩條直線必平行
C．垂直于同一條直線的兩條直線必平行
D．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
變式13．（多選題）（2024·廣西北海·高一統考期末）
40．已知點平面，點平面，則下列說法錯誤的是（ ）
A．平面內所有的直線與直線異面
B．平面內存在一條直線與直線平行
C．平面內存在無數條直線與直線垂直
D．有且只有一個過直線的平面與平面垂直
考點十：平面與平面的位置關系
例28．（2024·全國·高一隨堂練習）
41．已知平面，和直線a，b，且，，，則與的位置關系是 ；
例29．（2024·高一課前預習）
42．若點,則平面與平面α的位置關系是 ．
例30．（2024·高一課時練習）
43．兩條直線無公共點，則這兩條直線平行或異面，若兩個平面不相交，則這兩個平面的位置關系為 ．
變式14．（2024·高一課時練習）
44．如圖，在棱長為的正方體中，設過點的平面與平面的交線為，則 ．
過關檢測
一、單選題
（2023·陜西西安·高一期中）
45．分別是空間四邊形的邊的中點，則的位置關系是（ ）
A．異面 B．平行
C．相交 D．重合
（2024·上海黃浦·高二上海市大同中學校考階段練習）
46．“直線l與平面沒有公共點”是“直線l與平面平行”的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必
（2024·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）
47．下列命題正確的個數是（ ）
①三點確定一個平面；
②圓心和圓上兩個點確定一個平面；
③如果兩個平面有一個交點，則這兩個平面必有無數個公共點；
④如果兩條直線沒有交點，則這兩條直線平行．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
（2024·新疆喀什·高一校考期末）
48．如圖正方體中，異面直線與所成角為（ ）
A． B． C． D．
（2024·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學校考）
49．有下列四個判斷：①兩條相交直線確定一個平面；②兩條平行直線確定一個平面；③三個點確定一個平面；④一條直線和一點確定一個平面.正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2024·山西運城·高一統考）
50．在長方體中，直線與平面的交點為，與交于點，則下列結論正確的是（ ）
A．，，三點確定一個平面 B．，，三點共線
C．，，，四點共面 D．，，，四點共面
（2024·全國·校聯考模擬預測）
51．如圖所示，直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
（2024·陜西寶雞·高一寶雞中學校考階段練習）
52．如圖，在四面體中，、分別為、的中點，若、所成的角為，且，則的長為（ ）

A． B． C． D．或
二、多選題
（2024·陜西西安·高一期末）
53．如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中正確的序號是（ ）
A．直線與直線相交；
B．直線與直線平行；
C．直線BM與直線是異面直線；
D．直線與直線成角.
（2024·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學校考期中）
54．如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法正確的是（ ）

A．AB與CD是異面直線 B．GH與CD相交
C．EF與AB是異面直線 D．EF與CD 是異面直線
（2024·江蘇南通·高一校考階段練習）
55．一個正四棱錐的平面展開圖如圖所示，其中E，F，M，N，Q分別為，，，，的中點，關于該正四棱錐，現有下列四個結論：其中正確結論的為（ ）

A．直線與直線是異面直線；
B．直線與直線是異面直線；
C．直線與直線MN共面；
D．直線與直線是異面直線.
（2024·四川成都·高一樹德中學校考階段練習）
56．下面四個命題中，正確的為（ ）
A．相交于同一點的三條直線在同一平面內．
B．在平面外，其三邊延長線分別和交于P，Q，R，則P，Q，R一定共線
C．一個角的兩邊所在直線分別平行于另一個角的兩邊所在直線，則這兩角相等
D．在三維空間中，三個平面最多把空間分成八部分．
三、填空題
（2024·上海金山·高二校考期中）
57．在正方體中，異面直線與所成的角的大小為 ．
（2024·湖北孝感·高一統考期末）
58．若與是異面直線，且直線，則與的位置關系是 .
（2024·河北邯鄲·高一統考期中）
59．在正方體中，，E為棱上一點，且，則，E，C三點所在的平面截正方體所得截面的周長為 .
（2024·湖北黃岡·高一校考階段練習）
60．四面體ABCD中，E、F、G、H分別是各邊AB、BD、DC、CA的中點，若，則是 形填四邊形的形狀
四、解答題
（2024·新疆阿克蘇·高二校考階段練習）
61．如圖，在正方體中，求異面直線與所成的角的大小；
（2024·四川自貢·高二自貢市第一中學校考階段練習）
62．如圖，在正方體中，點E，F分別為棱，AB的中點．

(1)求證：E、F、C、四點共面：
(2)求異面直線與BC所成角的余弦值．
（2024·高一單元測試）
63．已知正四棱錐P﹣ABCD的全面積為2，記正四棱錐的高為h．

(1)試用h表示底面邊長，并求正四棱錐體積V的最大值；
(2)當V取最大值時，求異面直線AB和PD所成角的正切值．
（2024·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考期末）
64．如圖，棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，

(1)求作過，，三點的截面（寫出作圖過程）；
(2)求截面圖形的面積
（2024·全國·高一假期作業）
65．如圖，在正方體中，對角線與平面交于點，、交于點， 為的中點，為的中點．求證：
(1)三點共線；
(2)、、、四點共面；
(3)、、三線共點．
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．A
【分析】根據點、線以及線、面的符號表示，即得答案.
【詳解】由題意用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內”，
即，，
故選：A
2．A
【分析】利用符號語言表示點線面的位置關系即可得解.
【詳解】對于A，由圖知與交于在內，與交于點，
所以，故A正確；
對于BD，這一表示方法錯誤，故BD錯誤；
對于C，這一表示方法錯誤，故C錯誤.
故選：A.
3．D
【分析】按照畫法原則進行判斷即可.
【詳解】對于A，圖中沒有畫出平面與平面的交線，故A不正確；
對B，C，圖中的虛實線沒有按照畫法原則去畫，故 B，C不正確；
對D，符合畫法原則，故D正確，
故選：D
4．B
【分析】根據點與線、點與面的屬于關系，結合線面包含關系進行判斷即可.
【詳解】由圖可知：，
故選：B
5．C
【分析】根據平面的確定方法求解.
【詳解】對A，三個不共線的點才能確定唯一平面，A錯誤；
對B，當圓上的兩點和圓心共線時，三個點不能確定唯一平面，B錯誤；
對C，梯形的任意兩條邊都能確定梯形所在的平面，所以確定的平面唯一，C正確；
對D，當點在直線上時，這個點和直線不能確定唯一平面，D錯誤，
故選:C.
6．D
【分析】根據平面的確定情況即可得到答案.
【詳解】對A，若這個點位于這條線段所在的直線上，則無法確定一個平面，故A錯誤，
對B，若兩條直線異面，則無法確定一個平面，故B錯誤；
對C，若三點位于一條直線上，則無法確定一個平面，故C錯誤；
對D，圓上不同的三點一定構成一個三角形，則可確定一個平面.
故選：D.
7．D
【分析】由空間中點線面的位置關系直接判斷即可..
【詳解】由空間中不共線的三點可以確定唯一一個平面，可知A錯誤；
由空間中一條直線和直線外一點確定唯一一個平面，可知B錯誤；
兩條相互垂直的直線，可能共面垂直也可能異面垂直，可知C錯誤；
由兩條相互平行的直線能確定一個平面，可知D選項正確．
故選:D．
8．D
【分析】對于A，根據不共線的三點確定一個平面即可判斷；對于B，由平面的基本公理即可判斷；對于C，考慮三條平行線的位置關系即可判斷；對于D，根據三條直線兩兩相交可能的交點個數進行判斷即可.
【詳解】對于A，因為不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；
對于B，若兩個平面有一個公共點，那么就有一條經過該點的公共直線，即交線，該交線上有無數個公共點，故B錯誤；
對于C，三條平行直線可能共面，也可能有一條在另外兩條確定的平面外，故C錯誤；
對于D，當三條直線兩兩相交，三個交點不重合時，三條直線共面，
當三條直線兩兩相交于一個點時，這三條直線可能在同一個平面內，也可能不共面，
此時其中任意兩條直線都可確定一個平面，即可確定3個平面，故D正確，
故選：D
9．證明見解析
【分析】利用平面的公理及推論證明即可.
【詳解】因為直線和相交于點，
所以直線和可確定一個平面，記為．
因為，，所以，．所以．
因此，直線都在平面內，即它們共面．
10．證明見解析
【分析】由點及直線確定一個平面，記為，根據基本事實2可得，同理可證，，即可得證.
【詳解】依題意，設點及直線確定一個平面，記為．
，，，又，，
又，，則，
同理可證，，，所以，，，四條直線在同一個平面內.
11．證明見解析
【分析】利用三棱柱的幾何性質及三角形中位線即可證明，即可得出結論.
【詳解】由分別是的中點可知，
是中邊的中位線，所以；
在三棱柱中，，
由平行性質的傳遞性可得；
所以四點共面．
12．證明見解析
【分析】利用平行的傳遞性證明即可.
【詳解】連接，
因為H、G分別是AD、CD的中點，
所以，
又，
所以，
所以，
所以E、F、G、H四點共面.
13．(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）證明平面，又平面，平面平面，可證，，三點共線．
（2）連接，可得，可求四棱錐的體積．
【詳解】（1）因為平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，
即三點共線.

（2）連接，則與相似，
所以，
所以，
在中，作，交于點，則，
所以.
14．證明見解析
【分析】利用基本事實2和基本事實3即可求解.
【詳解】因為，
所以．
由已知可得，平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，
所以平面ABC．
同理，平面ADC，平面ADC．
所以為平面ABC與平面ADC的一個公共點．
又平面平面，
所以，
所以P，A，C三點共線．
15．(1)見解析；
(2).
【分析】（1）證明出點在平面與平面的交線上即可；
（2）由（1）推理出點為與交點，利用三角形重心的特點即可得到答案.
【詳解】（1）平面，
所以平面，又平面,
平面平面，所以,
即三點共線.
（2）連接，再連接，交于點，由（1）及，
則點為與交點，
，四邊形為平行四邊形，
是中點，又是的中點,
所以點是的重心,所以,
又因為,所以,
所以.
16．三點共線，理由見解析
【分析】由點共面、面共線可得答案.
【詳解】M，N，K三點共線．理由如下：
因為即在平面內又在平面內，所以在平面與平面的交線上，所以是平面與平面的交線，
即在平面內又在平面內，所以在平面與平面的交線上，所以是平面與平面的交線，
又平面與平面是同一平面，所以與是同一條直線，即M，N，K三點共線．
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）本意利用點線面位置關系的額相關知識，先證平面平面，再證平面PMN，平面；
（2）利用轉換頂點處理即．
【詳解】（1）證明：，
，，
則平面，平面MPN
又，
平面，
又平面PMN，
平面平面，
平面，
平面PMN，平面，
點F在直線ME上，則M，E，F三點共線．
（2）解：，
又，
18．證明見解析
【分析】由已知條件利用基本事實三得到平面平面，且平面，平面，由此利用基本事實三，即可證得對角線與平面的交點一定在上.
【詳解】證明：如圖所示，連接，
因為是正方體的上底面的中心，
所以，且，
因為平面，平面，
所以平面，平面，
又因為平面，平面，
所以平面平面，
因為對角線平面，所以平面，平面，
所以由基本事實三可得，對角線與平面的交點一定在上.

19．證明過程見解析
【分析】（1）設兩平行直線確定的平面為，從而得到，，直線，即平面，證明出結論；
（2）作出輔助線，得到，且，得到四邊形為梯形，與交于一點，再證明點在直線上，證明出結論.
【詳解】（1）證明：設直線與，分別交于點，
如圖1，

因為，所以確定一個平面，記為平面，
因為點直線，點直線，所以，，
所以直線，即平面，所以過，，有且只有一個平面；
（2）在空間四邊形中，連接，
因為分別為的中點，則，且，
又由，則，且，
故，且，故四邊形為梯形，與交于一點，
設與交于點，如圖2，

由于平面，點在平面內，同理點在平面內，
又因為平面平面，
所以點在直線上，
故直線相交于一點.
20．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據正四棱臺的幾何特征求出該正四棱臺的高和上下底面的面積即可；
（2）先證明四邊形EFHG是梯形，再證明EG與FH的交點在直線上.
【詳解】（1）
連接，取分別為和的中點，
因為為正四棱臺，所以，且為的高，
因為，所以，
所以正四棱臺的體積為；
（2）因為分別為棱的中點，所以，，
所以，所以為梯形，則與必相交，
設，因為平面，所以平面，
因為平面，所以平面，
又平面平面，所以，
所以交于一點.
21．證明見解析
【分析】根據平行關系可判斷四邊形BCQP為梯形，進而可證梯形的腰交于一點，根據兩平面相交，可判斷交點在交線上，即可說明三線共點.
【詳解】如圖，連接PQ．
由，，得，且．
又，
∴，且，
∴四邊形BCQP為梯形，∴直線BP，CQ相交．設交點為R，則，．
又平面，且平面，
∴平面，且平面，
∴R在平面與平面的交線上，即，
∴直線，BP，CQ相交于一點．
22．D
【分析】由確定平面的基本事實找截面.
【詳解】如圖①，由圖可知，截面ABC為等腰三角形，選項A可能，截面ABEF為等腰梯形，選項B可能．
如圖②，截面AMDEN為五邊形，選項C可能．因為側面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六邊形，
故過兩底的頂點不可能得到正六邊形，選項D不可能　

故選：D
23．C
【分析】連接BE，BF，可得正方體過點E，F，的截面為平行四邊形，判斷出為菱形，即可求出面積．
【詳解】連接BE，BF，取的中點G，連接GF，，
∵，∴為平行四邊形，∴，
∵，∴為平行四邊形，∴，
∴，∴為平行四邊形，即四點共面，
∴正方體過點E，F，的截面為平行四邊形，
又，則為菱形，
∵，
∴菱形的面積．
故選：C．
24．畫圖見解析
【分析】畫平面與長方體不同的表面的交線，只需找到兩平面的兩個公共點，兩點確定交線即可.
【詳解】如圖，由于P是上的點，所以平面，且平面，
所以平面平面=，
同理，平面平面=，平面平面=，
所以平面與長方體表面的交線是，，.
作法：連接，，，它們就是平面與長方體表面的交線（如圖）．

25．(1)圖形見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接、、、，則四邊形即為所求；
（2）依題意可得四邊形為菱形，連接，，求出，，即可得解.
【詳解】（1）取的中點，連接、、、，
則四邊形即為過點、和的平面截直四棱柱所得截面；
取的中點，連接、，因為為的中點，為直四棱柱，底面為正方形，
所以且，且，所以且，
所以為平行四邊形，所以，
又且，所以為平行四邊形，所以，
所以，即、、、四點共面.
（2）在直四棱柱中，，、分別為、的中點，
所以，
所以四邊形為菱形，連接，，則，
又，，
所以.
26．答案見解析
【分析】延長、交于點，連接交于點，利用平面的性質可知面與平面的交線為.
【詳解】解：延長、交于點，連接交于點，則平面與平面的交線為，證明如下：
因為，平面，則平面，
，平面，平面，
又因為為平面和平面的公共點，則平面與平面的交線為.
27．(1)作圖見解析
(2)
【分析】（1）通過平面，將延長后必與相交，設交點為，連接，即為過點，，的平面與平面的交線.
（2）由可知，進而可通過勾股定理求得的長.
【詳解】（1）如下圖所示，∵平面，與不平行，∴與必相交．設交點為，連接．
∵平面，平面，
∴過點，，的平面與平面的交線為.
（2）∵，∴，∴．
∴.
28．D
【分析】利用正方體的特征及異面直線的定義一一判定即可.
【詳解】當P位于中點時，易知，由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，此時、面，故A錯誤；
當P與重合時，此時、面，故B錯誤；
當P與重合時，由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，此時，故C錯誤；
由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，
而平面，平面，、平面，，
故與始終異面，即D正確.
故選：D
29．B
【分析】根據異面直線的定義一一判定即可.
【詳解】由正方體的性質易知當為的中點時，此時，
而，所以共面，
則、在平面上，故A不符題意；
同上，，即共面，
易知平面，而平面，故B符合題意；
當重合時，易知，則四邊形是平行四邊形，
則此時，故C不符合題意；
同上當重合時，顯然，相交，故D不符合題意.
故選：B
30．D
【分析】根據異面直線的概念可得.
【詳解】
如圖與直線異面的直線為，，，，，，，，共8條．
故選：D
31．D
【分析】根據立體幾何關系中線線關系的判定分析；
【詳解】
可以參考正方體里的線線關系，更好理解題目；
同時垂直于直線,,,直線與直線異面，
所以選項A，B，C均有可能，
故選：D.
32．C
【分析】根據題意，證得，得到為異面直線與所成角，在中，即可求解.
【詳解】連接，因為，分別是，的中點，所以，
又因為.所以為異面直線與所成角，
在中，因為，所以.
故選：C.

33．A
【分析】取的中點，連接，根據異面直線所成角的定義找到異面直線與所成角，再由正方體的結構特征及已知求大小.
【詳解】取的中點，連接，
因為分別為，，，的中點，
所以，所以，故為異面直線與所成的角，
在正方體中，由分別為，，的中點，
則，即為等邊三角形，所以，
即異面直線與所成的角大小等于.
故選：A
34．D
【分析】連接，，，AC，由，得到異面直線與OC的夾角為求解.
【詳解】解：如圖，

連接，，，AC.
因為，，為等邊三角形，
所以異面直線與OC的夾角為或其補角
因為，，，
所以異面直線與OC夾角的正切值為.
故選：D
35．B
【分析】連接，，可知異面直線與所成的角等于，再由正方體可知為正三角形，即可得角.
【詳解】如圖所示，連接，，
，分別為，的中點,
,
異面直線與所成的角的平面角即為，
再由正方體可知，
為正三角形，
，
異面直線與所成的角為，
故選：B.
36．B
【分析】由，根據異面直線所成角的定義，的大小即為所求，求解即可.
【詳解】如圖所示：

在正方體中， ，
所以是異面直線所成的角，
因為，
所以異面直線所成的角為.
故選：B.
37．ABC
【分析】列舉特殊情況，說明ABC不正確，由已知結合基本事實1，可判定D正確.
【詳解】對A：構造正四面體，則空間四邊形中，滿足，
但四邊形不是菱形，故A錯誤；
對B：因為，所以有或與相交．若，則有，故B錯誤；
對C：、異面，，則直線和的位置關系是相交或異面，故C錯誤；
對D：，同理，根據基本事實1，直線，即.故D正確.
故選：ABC
38．BD
【分析】根據線線、線面位置關系有關知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對A，若直線與平面不平行，則與相交或，故A錯誤；
對B，直線在平面外，則直線與平面平行或相交，
故直線在平面無交點或僅有個交點，故B正確；
對C，若直線與平面相交，
直線上仍存在兩個在平面不同側的點到平面的距離相等，則故C錯誤；
對D，如果是異面直線，，則異面，
則是異面直線，故D正確.
故選：BD
39．BD
【分析】根據空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系逐項判斷即可.
【詳解】對于如果兩個平面平行，那么這兩個平面內的兩條直線平行或者異面，故不正確；
對于根據平行的傳遞性，平行于同一條直線的兩條直線必平行，故正確；
對于垂直于同一條直線的兩條直線平行或相交或異面，故不正確；
對于根據平行的性質，一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補，故正確.
故選：
40．ABD
【分析】根據空間線面位置關系即可判斷.
【詳解】當平面內的直線過點時，該直線與直線相交，故A錯誤；
假設平面內存在一條直線與直線相互平行，則該直線與直線共面，顯然不成立，故B錯誤；
過點可以在平面內作與垂直的直線，所以平面內存在無數條直線與直線垂直，故C正確；
當直線與平面垂直時，有無數個過直線的平面與平面垂直，故D錯誤.
.故選：ABD.
41．或與相交
【分析】直接由題意畫出圖形得結論.
【詳解】由，，，得或與相交，如圖所示:

故答案為: 或與相交.
42．相交
【分析】根據題意，由空間中點線面的位置關系判斷即可得到結果.
【詳解】∵點，即平面與平面有公共點，且不重合，
∴平面與平面的位置關系是相交．
故答案為:相交
43．平行
【分析】根據平面與平面的位置關系判斷即可.
【詳解】解：因為兩個平面不相交，所以這兩個平面沒有公共點，
所以，這兩個平面平行．
故答案為：平行
44．
【分析】在上的取點且，連接，則過點的平面與平面的交線為，由條件即求.
【詳解】如圖，設，連接，
因為，
所以，又易知，
所以，
故．
故答案為：
45．C
【分析】根據中位線定理，結合平面的確定方法，可得答案.
【詳解】由題意可作圖如下：
因為分別為的中點，所以同理可得，則，
所以四點共面，則與相交.
故選：C.
46．C
【分析】由線面平行的定義分析可得答案.
【詳解】直線l與平面沒有公共點，則直線l與平面平行，反之，也成立，
故“直線l與平面沒有公共點”是“直線l與平面平行”的充要條件.
故選：C
47．A
【分析】直接由點、線、面、平行線的性質確定.
【詳解】不共線的三點確定一個平面，①錯誤；
當這三點在一條直徑上時，不能確定一個平面；②錯誤；
如果兩個平面有一個交點，必有一條公共直線，有無數個公共點；③正確
兩條直線沒有交點，兩條直線可能平行或者異面，不一定平行；④錯誤；
故選：A
48．C
【分析】利用異面直線所成角的定義作出異面直線與所成的角，將該角放在三角形中分析運算即可得解.
【詳解】解：
如上圖，連接、，
∵在正方體中，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，又∵，
∴（或其補角）就是異面直線與所成角，
設正方體棱長為1，則在正方形中對角線，
在正方形中對角線，在正方形中對角線，
∴是等邊三角形，
∴.
.故選：C.
49．B
【分析】根據平面的有關概念進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】兩條相交直線確定一個平面，兩條平行直線確定一個平面，①②正確.
在同一直線上的三個點不能確定一個平面，③錯誤.
直線和直線上一點不能確定一個平面，④錯誤.
所以正確的個數為個.
故選：B
50．B
【分析】根據平面的基本性質，異面直線的判定定理，逐一驗證各個選項.
【詳解】如下圖所示：

根據題意，連接，則，
所以四點共面，所以面，
又，所以面，
又面，所以點在面與面的交線上面，
同理可得點在面與面的交線上面，
所以，，三點共線，
故A選項錯誤，B選項正確；
由異面直線判定定理可知C選項中為異面直線，
故C選項錯誤；
由異面直線判定定理可知D選項中為異面直線，
故D選項錯誤.
故選：B.
51．A
【分析】分別取的中點，則，，所以與所成角的大小等于，不妨設，解三角形即可.
【詳解】如下圖所示：

分別取的中點，連接，由題意有，，
所以與所成角的大小等于，不妨設，則，所以，
又因為且，所以，；
由余弦定理可得，所以與所成角的余弦值為.
故選：A.
52．D
【分析】取線段的中點，連接、，分析可知異面直線、所成的角為或其補角，分、兩種情況討論，通過解，可得出的長.
【詳解】取線段的中點，連接、，

因為、分別為、的中點，則且，
同理可得且，
所以，異面直線、所成的角為或其補角，
①若，則是邊長為的等邊三角形，故；
②若，因為，則為等腰三角形，且，
取的中點，則，且.
綜上所述，或.
故選：D.
53．CD
【分析】將正方體的平面展開圖，復原為正方體，根據異面直線的定義，可判定A、B不正確；C正確；再結合異面直線所成的角的定義與求解，可判定D正確.
【詳解】如圖所示，將正方體的平面展開圖，復原為正方體，
對于A中，直線與不同在任何一個平面內，否則四點共面，（矛盾），
所以直線與為異面直線，所以A不正確；
對于B中，直線與不同在任何一個平面內，否則四點共面，（矛盾），
所以直線與為異面直線，所以B不正確；
對于C中，平面平面，平面，平面，
所以直線與不相交，連接，則，而與相交，
所以與不平行，否則，不合題意，
所以直線與是異面直線，所以C正確；
對于D中，連接，則為正三角形，可得，
又由，則為直線與直線所成的角，
即直線與直線所成的角為，所以D正確.
故選：CD.
54．AB
【分析】首先還原幾何體，再判斷線與線的位置關系.
【詳解】展開圖還原為幾何體后，如圖，
AB與CD是異面直線，GH與CD相交，EF與AB是相交直線，EF與CD 是平行直線，
所以AB正確，CD錯誤.

故選：AB
55．BCD
【分析】作出直觀圖，根據異面直線的定義逐項判斷即可.
【詳解】根據展開圖，復原幾何體，如下圖所示：

對于A，因為F，M，N，Q分別為，，，的中點，
所以，又，則，故F，N，A，B四點共面，
故直線與直線是共面直線，故A錯誤；
對于B，E在過F，N，A，B四點的平面外，B和MN都在過F，N，A，B四點的平面內，
故直線與直線是異面直線，故B正確；
對于C，N，Q重合，故直線與直線共面，故C正確；
對于D，E在過F，N，A，B四點的平面外，B和AF都在過F，N，A，B四點的平面內，
故直線與直線是異面直線，故D正確；
故選：BCD.
56．BD
【分析】舉例說明判斷A；利用平面基本事實判斷B；利用等角定理判斷C；求出三個平面分空間所成部分數的最大值判斷D作答.
【詳解】對于A，三棱錐的三條側棱所在直線交于同一點，而這三條直線不共面，A錯誤；
對于B， 所在平面與平面相交，由平面基本事實知，公共點都在交線上，B正確；
對于C，一個角的兩邊所在直線分別平行于另一個角的兩邊所在直線，則這兩角相等或互補，C錯誤；
對于D，當三個平面互相平行時，三個平面分空間成4部分；當兩個平面平行，與第三個都相交
或三個平面相交于一條直線時，三個平面分空間成6部分；當三個平面兩兩相交，有3條交線，且3條交線平行時，
三個平面分空間成7部分；當三個平面兩兩相交，有3條交線，且3條交線交于一點時，三個平面分空間成8部分，
所以三個平面最多把空間分成8部分，D正確.
故選：BD
57．
【分析】利用平移求異面直線所成角即可.
【詳解】
在正方體中，
可將直線平移到直線,
故異面直線與所成的角即與所成的角.
且四邊形為正方形，
所以.
故異面直線與所成的角為：
故答案為：
58．異面或相交
【分析】由異面直線定義以及平行線之間的關系分類討論即可得出結論.
【詳解】根據異面直線定義可知，
設平面，當，，且，如下圖所示：

此時與為異面直線；
當，，且時，如下圖所示：

此時與相交.
故答案為：異面或相交
59．
【分析】在上取靠近D的四等分點，連接CF易得，故，E，C三點所組成的平面截正方體的截面為，進而易求其周長.
【詳解】如圖，在上取，連接CF，，在上取，連接GF，BG.因為，，所以四邊形BCFG為平行四邊形，所以，易得，則，，E，C三點所組成的平面截正方體的截面為，由題意得，，所以周長為.

故答案為：
60．菱
【分析】根據三角形中位線和菱形的知識確定正確答案.
【詳解】依題意，E、F、G、H分別是各邊AB、BD、DC、CA的中點，

所以，
所以，所以四邊形是平行四邊形，
同理：，
又，，所以，
所以四邊形是菱形.
故答案為：菱
61．
【分析】證明，由異面直線夾角的定義可知是異面直線與所成角的平面角，又為正三角形，所以可得結果為.
【詳解】連接， ，如下圖所示：
因為，
所以四邊形是平行四邊形，則，
所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，
即是異面直線與所成角的平面角，
設正方體的棱長為，則，
所以為正三角形，因此.
即異面直線與所成的角的大小為.
62．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）證明，即可得四點共面；
（2）由平行關系將異面直線所成角轉化為相交直線所成角，在平面內解三角形即可.
【詳解】（1）連接.
在中，點E，F分別為棱，AB的中點，
則，
在正方體中，，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，則，
故、、、四點共面.

（2）由（1）知，，
則即為所求異面直線與BC所成的角，
設正方體的棱長為，
在中，，
則，
所以.
故所求異面直線與BC所成角的余弦值為．
63．(1)a，V最大值為；
(2)3
【分析】（1）根據棱錐體積公式寫出體積再應用基本不等式求出最值即可；
（2）根據異面直線定義得出異面直線所成角，再應用取最值時的邊長計算即可.
【詳解】（1）設正四棱錐的底面邊長為a，側面三角形的高為H，則
∴．
∵h2（當且僅當h，即h＝1時取等號）．
∴，即正四棱錐體積V的最大值為（當h＝1，a時取最大值）；
（2）取CD的中點Q，正方形ABCD的中心為O，連接PO，PQ，OQ．
∵AB∥CD，∴∠PDQ即為異面直線AB與PD所成角．
∵Q為CD的中點，．
即，由（1）知，．
又DQ，∴．
即異面直線AB和PD所成角的正切值為3．

64．(1)作圖見解析；
(2).
【分析】（1）畫直線，借助平面基本事實確定截面多邊形頂點位置即可.
（2）由（1）的作圖，利用割補法求出截面面積作答.
【詳解】（1）在正方體中，畫直線與的延長線分別交于點，
連接，分別與棱交于點，連接，如圖1，
抹去和得過三點的正方體的截面五邊形，如圖2.

（2）在正方體中，，，分別為棱，的中點，
由（1）及圖1知，，即，，則，
，等腰底邊上的高，
的面積，
由，得，即有，因此，
于是，同理，
所以截面五邊形的面積.
65．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）可證、、三點在平面與平面內，從而可證三點共線.
（2）可證，從而可得四點共面.
（3）設與交于一點P，可得P在上，從而可得三線共點.
【詳解】（1）∵平面，∴，平面；
又∵平面，∴平面；
∵、交于點M，∴，；
又平面，平面，
∴平面，平面；
又平面，平面；
∴、、三點在平面與平面的交線上，
∴、、三點共線；
（2）連接，
∵E為的中點，F為的中點，∴，
又∵，，∴四邊形是平行四邊形，
∴；∴，∴E、F、C、D1四點共面；
（3）∵平面平面，
設與交于一點P，則：，平面，
∴平面，同理，平面，
∴平面平面，
∴直線、、三線交于一點P，即三線共點.
答案第1頁，共2頁
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