資源簡介

6.4.3.3正余弦定理應用舉例-----專項檢測卷
(時間：120分鐘，分值：150分)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.在某測量中，設A在B的南偏東34°27′，則B在A的（ ）
A．北偏西34°27′ B．北偏東55°33′
C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′
2.如圖，要測量某湖泊兩側A，B兩點間的距離，若給出下列數據，則其中不能唯一確定A，B兩點間的距離的是（ ）
A．角A，B和邊b
B．角A，B和邊a
C．邊a，b和角C
D．邊a，b和角A
3.在高40 m的樓頂測得對面一塔頂的仰角為60°，塔基的俯角為45°，則這座塔的高度為（ ）
A．m B．m C．m D．m
4.已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km．若測得，則A，C兩地間的距離為（ ）
A．10km B．km C．km D．km
5.唐代數學家、天文學家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了從0°到80°的晷影長l與太陽天頂距θ的對應數表.已知晷影長l、表高h與太陽天頂距θ滿足l=htanθ，當晷影長為0.7時，天頂距為5°.若天頂距為1°時，則晷影長為（ ）（參考數據：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）
A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24
6.當太陽光與水平面的傾斜角為60°時，一根長為2m的竹竿如圖所示裝置，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角是（ ）
A．150° B．30° C．45° D．60°
7.如圖所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正東方向，且與A相距120km，D在A的北偏東30°方向，且與A相距60km，C在B的北偏東30°方向，且與B相距km，一架飛機從城市D出發，以360km/h的速度向城市C飛行，飛行了15min，接到命令改變航向，飛向城市B，此時飛機距離城市B有（ ）
A．120km B．km C．km D．km
8.為測量兩塔塔尖之間的距離，某同學建立了如圖所示的幾何模型.若平面，平面，，，，，，則塔尖之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．為了測量B，C之間的距離，在河的南岸A，C處測量（測量工具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學所測得的數據記錄，你認為不合理的有（ ）
A．與 B．與 C．，與 D．，與
10．根據指令，機器人在平面上能完成下列動作：先從原點沿東偏南（在上變化）方向行走一段時間后，再向正南方向行走一段時間，但何時改變方向不定.假定機器人行走速度為10米/分鐘，則機器人行走2分鐘時的落點與原點的距離可能為（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
11．人民英雄紀念碑位于北京天安門廣場中心，是中華人民共和國政府為紀念中國近現代史上的革命烈士而修建的紀念碑．正面鐫刻著毛澤東同志所題寫的“人民英雄永垂不朽”八個金箔大字．在中國共產黨百年華誕到來之際，某學校計劃組織學生去瞻仰人民英雄紀念碑，并用學到的數學知識測量其高度．現準備了三種工具：測角儀（可測量仰角與俯角）、米尺（可測量長度）、量角器（可測量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小組設計了如下不同的測量方案，其中一定能測量出紀念碑高度的方案有（ ）
A．在水平地面上任意尋找兩點，分別測量紀念碑頂端的仰角，，再測量，兩點間距離
B．在水平地面上尋找兩點，分別測量紀念碑頂端的仰角，，再測量，兩點間距離和兩點相對于紀念碑底部的張角
C．在紀念碑正東方向找到一座建筑物（低于紀念碑），測得建筑物的高度為，在該建筑物頂部和底部分別測得紀念碑頂端的仰角和
D．在紀念碑的正前方處測得紀念碑頂端的仰角，正對紀念碑前行5米到達處再次測量紀念碑頂端的仰角
12．重慶是一座網紅城市，外地游客來重慶必到洪崖洞、千廝門大橋打卡.如圖，我校測繪興趣小組為測量河對岸千廝門大橋橋墩底部到頂端的高度，選取與在同一水平面內的兩點與（，，不在同一直線上），畫一條基線，測得，測繪興趣小組利用經緯儀可測得的角有：，，，，，，則根據下列各組中的測量數據可計算出的高度的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.
13.游客從某旅游景區的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C．現有甲、乙兩位游客從A處同時出發勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經測量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于________．
14．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理條例》實施，根據該條例：小區內需設置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發，向正北方向走了80米，到達有害垃圾桶，隨后向南偏東方向走了30米，到達可回收物垃圾桶，則他回到自家樓下至少還需走___________米 .
15.為測量河的寬度，在一岸邊選定兩個觀測點和，觀測對岸標記物，測得，，，則河寬為______米．
16.臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區的叫法）、撞球（中國臺灣地區的叫法），控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術，在一次臺球技術表演節目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形，在點E，F處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F處的目標球，最后停在點C處，若，，，，則該正方形的邊長為___________.
四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（10分）
把一根長為30cm的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形ABC的兩邊AB和BC且．如何鋸斷木條，才能使第三條邊AC最短？
11.3 余弦定理、正弦定理的應用
18.（12分）
如圖，一艘船以的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船的北偏東20°方向上，30min后航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東60°方向上，求燈塔S到B處的距離（精確到，參考數據：，）．
19.（12分）
如圖，兩名搬家工人要將一個大衣柜搬出房間，已知衣柜長1.5m，寬0.8 m，高2.5 m，房門的寬為1.2 m，高為2.2 m．試問此衣柜的傾斜度要在多少度以下，才能順利通過房門？（，，）
20.（12分）
如圖，為測量河對岸A，B兩點的距離，在河的這邊取C，D兩點觀察，測得，，，，（A，B，C，D在同一平面內），求A，B兩點之間的距離．
21.（12分）
如圖，扇形OPQ的半徑為1，圓心角為，平行四邊形ABCD的頂點C在扇形弧上，D在半徑OQ上，A，B在半徑OP上，記平行四邊形ABCD的面積為S，．
(1)用表示平行四邊形ABCD的面積S；
(2)當取何值時，平行四邊形ABCD的面積S最大？并求出這個最大面積．
22.（12分）
如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為.在甲出發2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為，山路AC長為1260m，經測量，，.
(1)求索道AB的長；
(2)問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min，乙步行的速度應控制在什么范圍內？
6.4.3.3正余弦定理應用舉例-----專項檢測卷
(時間：120分鐘，分值：150分)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.在某測量中，設A在B的南偏東34°27′，則B在A的（ ）
A．北偏西34°27′ B．北偏東55°33′
C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′
【答案】A
【分析】根據方向角的概念判斷即可.
【詳解】根據方向角的概念可知A正確．
故選：A.
2.如圖，要測量某湖泊兩側A，B兩點間的距離，若給出下列數據，則其中不能唯一確定A，B兩點間的距離的是（ ）
A．角A，B和邊b
B．角A，B和邊a
C．邊a，b和角C
D．邊a，b和角A
【答案】D
【分析】根據正余弦定理，結合選項，即可判斷.
【詳解】AB選項，都是兩角和其中一角的對邊，可求第三角，再結合正弦定理，可唯一確定三角形，C選項，已知兩邊和夾角，根據余弦定理，唯一確定第三邊，只有選項D，
根據正弦定理，可知當已知兩邊和其中一邊的對角時，三角形得出的結果不一定唯一，
故選：D.
3.在高40 m的樓頂測得對面一塔頂的仰角為60°，塔基的俯角為45°，則這座塔的高度為（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】B
【分析】根據仰角與俯角概念列式求解.
【詳解】如圖,由題意得這座塔的高為
，
故選：B.
4.已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km．若測得，則A，C兩地間的距離為（ ）
A．10km B．km C．km D．km
【答案】D
【分析】利用余弦定理解三角形即可.
【詳解】由題意可知，
結合余弦定理可得，
所以，故，
所以A，C兩地間的距離為，故選；D
5.唐代數學家、天文學家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了從0°到80°的晷影長l與太陽天頂距θ的對應數表.已知晷影長l、表高h與太陽天頂距θ滿足l=htanθ，當晷影長為0.7時，天頂距為5°.若天頂距為1°時，則晷影長為（ ）（參考數據：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）
A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24
【答案】A
【分析】根據給定條件求出h值，再代值計算即可得解.
【詳解】依題意，，則有，
，
所以晷影長為0.14.故選：A
6.當太陽光與水平面的傾斜角為60°時，一根長為2m的竹竿如圖所示裝置，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角是（ ）
A．150° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】利用正弦定理分析計算即可
【詳解】設竹竿與地面所成的角是，影子長為，由正弦定理得，
所以，因為，
所以當，即時，取得最大值，
所以竹竿與地面所成的角為時，影子最長，故選：B
7.如圖所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正東方向，且與A相距120km，D在A的北偏東30°方向，且與A相距60km，C在B的北偏東30°方向，且與B相距km，一架飛機從城市D出發，以360km/h的速度向城市C飛行，飛行了15min，接到命令改變航向，飛向城市B，此時飛機距離城市B有（ ）
A．120km B．km C．km D．km
【答案】D
【分析】設15min后飛機到了處，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，這樣易得，從而得出，然后在中由余弦定理得出．
【詳解】設15min后飛機到了處，則，
由題意，，
，，
，所以，所以，
從而，于是
，，
中，，
．
故選：D．
8.為測量兩塔塔尖之間的距離，某同學建立了如圖所示的幾何模型.若平面，平面，，，，，，則塔尖之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.
【詳解】依題意，在中，，，
，可得，
則 ，
在中，，，則，
又中，，由余弦定理可得：
則.
故塔尖之間的距離為.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．為了測量B，C之間的距離，在河的南岸A，C處測量（測量工具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學所測得的數據記錄，你認為不合理的有（ ）
A．與 B．與 C．，與 D．，與
【答案】ABC
【分析】
由A，C在河的同一側，故可以測量，與，由此即可得答案
【詳解】
因為A，C在河的同一側，所以可以測量，與，
故選：ABC
10．根據指令，機器人在平面上能完成下列動作：先從原點沿東偏南（在上變化）方向行走一段時間后，再向正南方向行走一段時間，但何時改變方向不定.假定機器人行走速度為10米/分鐘，則機器人行走2分鐘時的落點與原點的距離可能為（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得所求距離的表達式，結合二次函數、三角函數的知識求得距離的取值范圍，從而確定正確選項.
【詳解】
設改變方向的地點為，終點為，
由于，所以，，
，，
由余弦定理得
.
當時，米.
當時，，
結合二次函數的性質可知當時，
取得最小值，
，，.
結合二次函數的性質可知當或時，
取得最大值.
綜上所述，，
所以BCD選項符合.，A選項不符合.
故選：BCD
11．人民英雄紀念碑位于北京天安門廣場中心，是中華人民共和國政府為紀念中國近現代史上的革命烈士而修建的紀念碑．正面鐫刻著毛澤東同志所題寫的“人民英雄永垂不朽”八個金箔大字．在中國共產黨百年華誕到來之際，某學校計劃組織學生去瞻仰人民英雄紀念碑，并用學到的數學知識測量其高度．現準備了三種工具：測角儀（可測量仰角與俯角）、米尺（可測量長度）、量角器（可測量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小組設計了如下不同的測量方案，其中一定能測量出紀念碑高度的方案有（ ）
A．在水平地面上任意尋找兩點，分別測量紀念碑頂端的仰角，，再測量，兩點間距離
B．在水平地面上尋找兩點，分別測量紀念碑頂端的仰角，，再測量，兩點間距離和兩點相對于紀念碑底部的張角
C．在紀念碑正東方向找到一座建筑物（低于紀念碑），測得建筑物的高度為，在該建筑物頂部和底部分別測得紀念碑頂端的仰角和
D．在紀念碑的正前方處測得紀念碑頂端的仰角，正對紀念碑前行5米到達處再次測量紀念碑頂端的仰角
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根據各選項的描述，結合正余定理的邊角關系判斷所測數據是否可以確定紀念碑高度即可.
【詳解】
A：如果，兩點與紀念碑底部不在一條直線上時，就不能測量出紀念碑高度，故不正確．
B：在直角三角形△和△中用來表示，，在△中用余弦定理就可以計算出紀念碑高度，故正確．
C：如下圖，△中由正弦定理求，則紀念碑高，正確；
D：如下圖，△中由正弦定理求，則紀念碑高，正確；
故選：BCD.
12．重慶是一座網紅城市，外地游客來重慶必到洪崖洞、千廝門大橋打卡.如圖，我校測繪興趣小組為測量河對岸千廝門大橋橋墩底部到頂端的高度，選取與在同一水平面內的兩點與（，，不在同一直線上），畫一條基線，測得，測繪興趣小組利用經緯儀可測得的角有：，，，，，，則根據下列各組中的測量數據可計算出的高度的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根據空間角的位置關系，以及邊角所在的三角形，應用正余弦定理及空間角的三余弦定理，判斷各選項是否可以求出的高度即可.
【詳解】
A：根據，，，由正弦定理求，再結合可求的高度，正確；
B：在△、△都只有一邊一角，不能求出其它角或邊，無法求的高度，錯誤；
C：根據，，，由正弦定理求，再結合可求的高度，正確；
D：由，可得：，結合由正弦定理求，再由可求的高度，正確；
故選：ACD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.
13.游客從某旅游景區的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C．現有甲、乙兩位游客從A處同時出發勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經測量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于________．
【答案】
【分析】
設乙的速度為x m/s，根據正弦定理列式＝，可得AC＝1 260 m，再由余弦定理求解即可.
【詳解】
依題意，設乙的速度為x m/s，
則甲的速度為x m/s，
因為AB＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，解得AC＝1 260 m．
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠BAC＝＝＝，
所以sin∠BAC＝＝＝．
故答案為：.
14．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理條例》實施，根據該條例：小區內需設置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發，向正北方向走了80米，到達有害垃圾桶，隨后向南偏東方向走了30米，到達可回收物垃圾桶，則他回到自家樓下至少還需走___________米 .
【答案】70
【分析】畫出圖形，在中，利用余弦定理，即可求解的長，得到答案.
【詳解】
由題意，設李華家為，有害垃圾點為，可回收垃圾點為，
則李華的行走路線，如圖所示，
在中，因為，
由余弦定理可得：
米，
即李華回到自家樓下至少還需走70米.
故答案為：70.
15.為測量河的寬度，在一岸邊選定兩個觀測點和，觀測對岸標記物，測得，，，則河寬為______米．
【答案】
【分析】利用正弦定理，把邊化角求出，再利用正弦定理和解直角三角形求出河寬CD．
【詳解】在中，，，∴∠ACB=，
由正弦定理得．
∵，∴，
作，則CD的長為河寬，
在中，，
∴，
故答案為：.
16.臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區的叫法）、撞球（中國臺灣地區的叫法），控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術，在一次臺球技術表演節目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形，在點E，F處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F處的目標球，最后停在點C處，若，，，，則該正方形的邊長為___________.
【答案】
【分析】在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再結合題意得，進而在中，由余弦定理得，進而得
【詳解】解：連接，，
在中，由余弦定理得：
，
∴，
又由正弦定理有，代入數據解得，
∴，
又∵，
∴
，
在中，由余弦定理得：
，
∴，
∴正方形邊長為.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（10分）
把一根長為30cm的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形ABC的兩邊AB和BC且．如何鋸斷木條，才能使第三條邊AC最短？
【解析】
【分析】
根據題意設 ，利用余弦定理列出關系式，利用二次函數性質即可得到取得最小值時的值，從而得出結論.
【詳解】
如圖所示，設，則，
由余弦定理得：，
當時，AC取得最小值為，
即當時，第三邊AC的長最短為.
18.（12分）
如圖，一艘船以的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船的北偏東20°方向上，30min后航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東60°方向上，求燈塔S到B處的距離（精確到，參考數據：，）．
【答案】
【分析】根據題意，計算得的值，根據正弦定理計算.
【詳解】在中，，，，由正弦定理得，，即，所以燈塔S到B處的距離為
19.（12分）
如圖，兩名搬家工人要將一個大衣柜搬出房間，已知衣柜長1.5m，寬0.8 m，高2.5 m，房門的寬為1.2 m，高為2.2 m．試問此衣柜的傾斜度要在多少度以下，才能順利通過房門？（，，）
【答案】.
【分析】根據題意，只需，結合已知條件，求得，以及的最大值，即可求得的最大值.
【詳解】根據題意，要順利通過房門，只需，
又，
故，則
又，則，
又，故.
故衣柜的傾斜度要在以下，才能順利通過房門.
故答案為：.
20.（12分）
如圖，為測量河對岸A，B兩點的距離，在河的這邊取C，D兩點觀察，測得，，，，（A，B，C，D在同一平面內），求A，B兩點之間的距離．
【答案】km
【分析】由題意，先計算得，，，由正弦定理計算，再由余弦定理計算
【詳解】∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠DCB﹣∠ACB＝30°，∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°
在△ADC中由正弦定理得：
∴
在△CDB中由正弦定理得：
∴
在△ADB中由余弦定理得：AB2＝DB2+AD2﹣2DB×ABcos∠ADB＝2+9﹣2××3×＝5
∴AB＝km
答：A、B兩點間的距離為km
21.（12分）
如圖，扇形OPQ的半徑為1，圓心角為，平行四邊形ABCD的頂點C在扇形弧上，D在半徑OQ上，A，B在半徑OP上，記平行四邊形ABCD的面積為S，．
(1)用表示平行四邊形ABCD的面積S；
(2)當取何值時，平行四邊形ABCD的面積S最大？并求出這個最大面積．
【答案】(1)；
(2)當時，取得最大值.
【分析】（1）過點作交于點，在中可得，在中由正弦定理可得，然后可得答案.
（2）根據正弦函數的知識可得答案.
(1)
過點作交于點，
在中，，所以
在中，，所以
由正弦定理可得，所以
所以
(2)
因為，所以
所以當即時，取得最大值
22.（12分）
如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為.在甲出發2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為，山路AC長為1260m，經測量，，.
(1)求索道AB的長；
(2)問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min，乙步行的速度應控制在什么范圍內？
【答案】(1)1040m(2)(3)
【分析】（1）先求得，然后由正弦定理求得.
（2）假設乙出發后，甲、乙兩游客距離為d，利用余弦定理列方程，結合二次函數的性質求得的最小值.
（3）根據“兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范圍.
(1)
由題意，，
在中，，
由正弦定理，得.
所以，索道AB的長為1040m.
(2)
假設乙出發后，甲、乙兩游客距離為d，
此時甲行走了，乙距離A處，
由余弦定理得
，
因為，即，
則當時，甲、乙兩游客之間距離最短.
(3)
由正弦定理，得，
乙從B出發時，甲已走了，還需要走710m才能到達C，
設乙步行的速度為，
由題意得，
所以為了使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min，
乙步行的速度應控制在（單位：）范圍之內.6.4.3.3正余弦定理應用舉例
本節課知識點目錄：
求角度；
求距離。
仰角與俯角
求高度
綜合
一、正余弦定理應用1：求角度
方向角
從指定方向線到目標方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉60°. (如圖所示)
【典型例題】
【例1】今年第6號臺風“煙花”于2021年7月25日12時30分前后登陸舟山普陀區.如圖，點，正北方向的市受到臺風侵襲，一艘船從點出發前去實施救援，以的速度向正北航行，在處看到島在船的北偏東方向，船航行后到達處，在處看到島在船的北偏東方向.此船從點到市航行過程中距離島的最近距離為（ ）
A． B．
C． D．
【例2】．“一帶一路”國際合作高峰論壇（于2017年5月14日至15日）在北京舉行，會議期間達成了多項國際臺作協議，其中有一項是在某國投資建設一個深水港碼頭，如圖所示，工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構造，在海平面內一條直線上的A，B，C三點進行測量.已知AB=60m，BC=120m，于A處測得水深AD=120m，于B處測得水深BE=200m，于C處測得水深CF=150m，則cos∠DEF=_______.
【例3】甲船在A點發現乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時a海里，問甲船應沿著什么方向前進，才能最快與乙船相遇？
【例4】如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、正余弦定理應用2：求距離
【典型例題】
【例1】如圖，一輪船從A點沿北偏東的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東的方向行駛10海里至海島，若此輪船從A點直接沿直線行駛至海島，則此船沿__________方向行駛__________海里至海島C（ ）
A．北偏東； B．北偏東；
C．北偏東； D．北偏東；
【例2】如圖所示，為了測量湖中A、B兩處亭子間的距離，湖岸邊現有相距100米的甲、乙兩位測量人員，甲測量員在D處測量發現A亭子位于西偏北，B亭子位于東北方向，乙測量員在C處測量發現B亭子位于正北方向，A亭子位于西偏北方向，則A，B兩亭子間的距離為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【例3】如圖，在河岸一側取A，B兩點，在河岸另一側取一點C，若AB=12m，借助測角儀測得∠CAB=45°，∠CBA=60°，則C處河面寬CD為（ ）
A．6（3+）m B．6（3-）m
C．6（3+2）m D．6（3-2）m
【例4】某日，我漁政船在東海某海域巡航，已知該船正以海里／時的速度向正北方向航行，該船在A點處發現北偏東30°方向的海面上有一個小島，繼續航行20分鐘到達B點，發現該小島在北偏東45°方向上，若該船向北繼續航行，船與小島的最小距離可以達到（ ）海里
A．6 B．8 C．10 D．12
【對點實戰】
1.某船從A處向北偏東方向航行千米后到達B處，然后朝南偏西的方向航行6千米到達C處，則A處與C處之間的距離為（ ）
A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米
2.2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理條例》實施，根據該條例：小區內需設置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發，向正北方向走了80米，到達有害垃圾桶，隨后向南偏東方向走了30米，到達可回收物垃圾桶，則他回到自家樓下至少還需走___________米 .
3.已知A船在燈塔北偏東85°且A到的距離為，船在燈塔西偏北55°且到的距離為，則兩船的距離為__________．
三、正余弦定理應用3：俯角與仰角
仰角和俯角
在同一鉛垂平面內的水平線和目標視線的夾角，目標視線在水平線上方時叫仰角，目標視線在水平線下方時叫俯角．(如圖所示)
【典型例題】
【例1】在一條東西走向的水平公路的北側遠處有一座高塔，塔底與這條公路在同一水平平面上，為測量該塔的高度，測量人員在公路上選擇了A，B兩個觀測點，在A處測得該塔底部C在西偏北的方向上，在B處測得該塔底部C在西偏北的方向上，并測得塔頂D的仰角為.已知AB=a，，則此塔的高CD為（ ）
A． B．
C． D．
【例2】如圖，某人在一條水平公路旁的山頂處測得小車在處的俯角為，該小車在公路上由東向西勻速行駛分鐘后，到達處，此時測得俯角為．已知此山的高，小車的速度是，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】如圖，從200m高的電視塔塔頂A測得地面上某兩點B，C的俯角分別為30°和45°，∠BAC＝45°，則B，C兩點間的距離為________m．（俯角：在垂直面內視線與水平線的夾角）
【對點實戰】
1.在某個位置測得某山峰仰角為，對著山峰在地面上前進后測得仰角為，繼續在地面上前進以后測得山峰的仰角為，則該山峰的高度為（ ）
A． B． C． D．
2.如圖所示，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°，C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，則山高MN=______m.
四、正余弦定理應用4：求高度
【典型例題】
【例1】如圖所示，為測量某不可到達的豎直建筑物的高度，在此建筑物的同一側且與此建筑物底部在同一水平面上選擇相距10米的，兩個觀測點，并在，兩點處分別測得塔頂的仰角分別為和，且，則此建筑物的高度為（ ）
A．米 B．米
C．10米 D．5米
【例2】如圖，地平面上有一根旗桿OP，為了測得它的高度h，在地面上取一基線AB，AB=20m，在A處測得點P的仰角∠OAP=30°，在B處測得點P的仰角∠OBP=45°，又測得∠AOB=60°，則旗桿的高度為（ ）
A．20（）m B．m
C．m D．10（）m
【例3】如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為，沿坡角為的斜坡向上走到達B處，在B處測得山頂P的仰角為，且A，B，P，C，Q在同一平面，則山的高度為（參考數據：取）（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為，，且A，B兩點之間的距離為，則樹的高度為（ ）
A． B． C． D．
2.如圖，在離地面高100的熱氣球M上，觀測到山頂C處的仰角為 山腳A處的俯角為，已知，則山的高度BC為___________.
五、正余弦定理應用5：綜合
【典型例題】
【例1】為響應國家“鄉村振興”號召，農民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規劃成3個功能區：區域為荔枝林和放養走地雞，區域規劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區域規劃為小型魚塘養魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護欄．已知，，，．
(1)若，求護欄的長度（的周長）；
(2)若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求；
(3)當為何值時，魚塘的面積最小，最小面積是多少？
【例2】．如圖：某公園改建一個三角形池塘，，百米，百米，現準備養一批觀賞魚供游客觀賞.
(1)若在內部取一點，建造連廊供游客觀賞，如圖①，使得點是等腰三角形的頂點，且，求連廊的長（單位為百米）；
(2)若分別在，，上取點，，，并連建造連廊，使得變成池中池，放養更名貴的魚類供游客觀賞，如圖②，使得為正三角形，或者如圖③，使得平行，且垂直，則兩種方案的的最小面積分別設為，，則和哪一個更小？
【例3】．依據《齊齊哈爾市城市總體規劃（2011﹣2020）》，擬將我市建設成生態園林城、裝備工業基地、綠色食品之都、歷史文化名城．計劃將圖中四邊形區域建成生態園林城，，，，為主要道路（不考慮寬度）．已知，，km．
（1）求道路的長度；
（2）如圖所示，要建立一個觀測站，并使得，，求兩地的最大距離．
【例4】．如圖，我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島與小島、小島相距都為，與小島相距為.為鈍角，且.
（1）求小島與小島之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積；
（2）記為，為，求的值.
【例5】．現有長度分別為1，2，3，4的線段各1條，將它們全部用上，首尾依次相連地放在桌面上，可組成周長為10的三角形或四邊形.
（1）求出所有可能的三角形的面積；
（2）如圖，已知平面凸四邊形中，，，，.
①求滿足的數量關系；
②求四邊形面積的最大值，并指出面積最大時的值.
6.4.3.3正余弦定理應用舉例
本節課知識點目錄：
求角度；
求距離。
仰角與俯角
求高度
5、綜合
一、正余弦定理應用1：求角度
方向角
從指定方向線到目標方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉60°. (如圖所示)
【典型例題】
【例1】今年第6號臺風“煙花”于2021年7月25日12時30分前后登陸舟山普陀區.如圖，點，正北方向的市受到臺風侵襲，一艘船從點出發前去實施救援，以的速度向正北航行，在處看到島在船的北偏東方向，船航行后到達處，在處看到島在船的北偏東方向.此船從點到市航行過程中距離島的最近距離為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】構造三角形運用正弦定理求解三角形即可得出結果.
【詳解】如圖，中，，，，，
由正弦定理得，
所以船與島的最近距離：
故選：C.
【例2】．“一帶一路”國際合作高峰論壇（于2017年5月14日至15日）在北京舉行，會議期間達成了多項國際臺作協議，其中有一項是在某國投資建設一個深水港碼頭，如圖所示，工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構造，在海平面內一條直線上的A，B，C三點進行測量.已知AB=60m，BC=120m，于A處測得水深AD=120m，于B處測得水深BE=200m，于C處測得水深CF=150m，則cos∠DEF=_______.
【答案】
【分析】先利用勾股定理分別求得，進而利用余弦定理求得結果
【詳解】如圖，作∥交于，交于，則
,
,
，
在中，由余弦定理得
,
故答案為：
【例3】甲船在A點發現乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時a海里，問甲船應沿著什么方向前進，才能最快與乙船相遇？
解　如圖所示．設經過t小時兩船在C點相遇，
則在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，
B＝180°－60°＝120°，
由＝，得
sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船應沿著北偏東30°的方向前進，才能最快與乙船相遇．
【例4】如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】利用余弦定理直接求解即可
【詳解】依題意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.
故選：B
二、正余弦定理應用2：求距離
【典型例題】
【例1】如圖，一輪船從A點沿北偏東的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東的方向行駛10海里至海島，若此輪船從A點直接沿直線行駛至海島，則此船沿__________方向行駛__________海里至海島C（ ）
A．北偏東； B．北偏東；
C．北偏東； D．北偏東；
【答案】C
【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解長度.
【詳解】由題意得：，，故，所以從A到C的航向為北偏東，由余弦定理得：，故.故選：C
【例2】如圖所示，為了測量湖中A、B兩處亭子間的距離，湖岸邊現有相距100米的甲、乙兩位測量人員，甲測量員在D處測量發現A亭子位于西偏北，B亭子位于東北方向，乙測量員在C處測量發現B亭子位于正北方向，A亭子位于西偏北方向，則A，B兩亭子間的距離為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】由條件解求，在中利用正弦定理解求，在中利用余弦定理求AB，由此可得A，B兩亭子間的距離.
【詳解】由題意，可得，
∴ ．在等腰直角中，
∴ ，．在中，由正弦定理得，解得．連接AB．
在中，由余弦定理可得，
解得，即A、B兩個亭子之間的距離為米．
故選：C.
【例3】如圖，在河岸一側取A，B兩點，在河岸另一側取一點C，若AB=12m，借助測角儀測得∠CAB=45°，∠CBA=60°，則C處河面寬CD為（ ）
A．6（3+）m B．6（3-）m
C．6（3+2）m D．6（3-2）m
【答案】B
【分析】在Rt△BCD中，根據∠CBA＝60°，用BD表示出CD，在Rt△ACD中，∠CAB＝45°，得到CD＝AD，根據AD+BD＝12，求出BD，計算出CD，得到答案．
【詳解】在Rt△BCD中，∠CBA＝60°，∵tan∠CBD＝，∴CD＝BD tan∠CBD＝BD，
在Rt△ACD中，∠CAB＝45°，則CD＝AD，∵AB＝AD+BD＝12，
∴BD+BD＝12，
解得BD＝6﹣6，CD＝BD＝18﹣6．故選：B
【例4】某日，我漁政船在東海某海域巡航，已知該船正以海里／時的速度向正北方向航行，該船在A點處發現北偏東30°方向的海面上有一個小島，繼續航行20分鐘到達B點，發現該小島在北偏東45°方向上，若該船向北繼續航行，船與小島的最小距離可以達到（ ）海里
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】易知，先在中，利用正弦定理求得BC，再由 求解.
【詳解】如圖所示：
由題意得：，，，
則，，
在中，由正弦定理得：，
所以，
所以，
故選：C
【對點實戰】
1.某船從A處向北偏東方向航行千米后到達B處，然后朝南偏西的方向航行6千米到達C處，則A處與C處之間的距離為（ ）
A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米
【答案】B
【分析】根據題設條件畫出圖形，結合圖形利用余弦定理計算即得.
【詳解】如圖，在中，，
由余弦定理得：，
所以A處與C處之間的距離為千米.
故選：B
2.2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理條例》實施，根據該條例：小區內需設置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發，向正北方向走了80米，到達有害垃圾桶，隨后向南偏東方向走了30米，到達可回收物垃圾桶，則他回到自家樓下至少還需走___________米 .
【答案】70
【分析】畫出圖形，在中，利用余弦定理，即可求解的長，得到答案.
【詳解】由題意，設李華家為，有害垃圾點為，可回收垃圾點為，
則李華的行走路線，如圖所示，
在中，因為，
由余弦定理可得：
米，
即李華回到自家樓下至少還需走70米.
故答案為：70.
3.已知A船在燈塔北偏東85°且A到的距離為，船在燈塔西偏北55°且到的距離為，則兩船的距離為__________．
【答案】
【分析】根據題意畫出圖像，求出，根據余弦定理可得|AB|．
【詳解】解：
依題意可得，
在三角形中，由余弦定理可得：，
．故答案為：
三、正余弦定理應用3：俯角與仰角
仰角和俯角
在同一鉛垂平面內的水平線和目標視線的夾角，目標視線在水平線上方時叫仰角，目標視線在水平線下方時叫俯角．(如圖所示)
【典型例題】
【例1】在一條東西走向的水平公路的北側遠處有一座高塔，塔底與這條公路在同一水平平面上，為測量該塔的高度，測量人員在公路上選擇了A，B兩個觀測點，在A處測得該塔底部C在西偏北的方向上，在B處測得該塔底部C在西偏北的方向上，并測得塔頂D的仰角為.已知AB=a，，則此塔的高CD為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在中用正弦定理求出線段BC長，再在直角中即可求出線段CD長.
【詳解】在中，，，如圖，
由正弦定理得：，
在中，，，如圖，
則有，
所以塔高CD為.
故選：B
【例2】如圖，某人在一條水平公路旁的山頂處測得小車在處的俯角為，該小車在公路上由東向西勻速行駛分鐘后，到達處，此時測得俯角為．已知此山的高，小車的速度是，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析出、均為直角三角形，求出、的長，計算出的長，再利用余弦定理可求得的值.
【詳解】由題意，得平面，、平面，故，，
所以，、均為直角三角形，且，，
由，可得，．
因為，所以．
故選：A．
【例3】如圖，從200m高的電視塔塔頂A測得地面上某兩點B，C的俯角分別為30°和45°，∠BAC＝45°，則B，C兩點間的距離為________m．（俯角：在垂直面內視線與水平線的夾角）
【答案】
【分析】先求出，的長，再由余弦定理得出B，C兩點間的距離.
【詳解】圖中平面，則
，
在三角形中，
故答案為：
【對點實戰】
1.在某個位置測得某山峰仰角為，對著山峰在地面上前進后測得仰角為，繼續在地面上前進以后測得山峰的仰角為，則該山峰的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出平面示意圖：且，應用余弦定理求，進而求，即可求該山峰的高度.
【詳解】由題設，若且，
∴，
∴由余弦定理知：，又，
∴，則，
∴該山峰的高度米.
故選：B
2.如圖所示，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°，C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，則山高MN=______m.
【答案】750
【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出
【詳解】在中，，所以，
在中，，則，
由正弦定理得，，
所以，
在中，，
所以，故答案為：750
四、正余弦定理應用4：求高度
【典型例題】
【例1】如圖所示，為測量某不可到達的豎直建筑物的高度，在此建筑物的同一側且與此建筑物底部在同一水平面上選擇相距10米的，兩個觀測點，并在，兩點處分別測得塔頂的仰角分別為和，且，則此建筑物的高度為（ ）
A．米 B．米
C．10米 D．5米
【答案】B
【分析】結合圖形由余弦定理可得答案.
【詳解】設，則，，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理得，解得或（舍），
故選：B.
【例2】如圖，地平面上有一根旗桿OP，為了測得它的高度h，在地面上取一基線AB，AB=20m，在A處測得點P的仰角∠OAP=30°，在B處測得點P的仰角∠OBP=45°，又測得∠AOB=60°，則旗桿的高度為（ ）
A．20（）m B．m
C．m D．10（）m
【答案】C
【分析】在直角三角形中表示出，然后由余弦定理求解．
【詳解】由已知，得，則在中，由余弦定理，得，即，得.
故選：C．
【例3】如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為，沿坡角為的斜坡向上走到達B處，在B處測得山頂P的仰角為，且A，B，P，C，Q在同一平面，則山的高度為（參考數據：取）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在中，利用正弦定理，結合題干數據，即得解
【詳解】，
，．
由正弦定理得，即，
可得．
所以山的高度為
故選：A．
【對點實戰】
1.如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為，，且A，B兩點之間的距離為，則樹的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要求樹的高度，需求的長度，要求的長度，在中利用正弦定理可得.
【詳解】解：在中，
又由正弦定理得：，
樹的高度為
故選：C.
2.如圖，在離地面高100的熱氣球M上，觀測到山頂C處的仰角為 山腳A處的俯角為，已知，則山的高度BC為___________.
【答案】
【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，由此求得.
【詳解】依題意可知三角形是等腰直角三角形，
所以，
，，
由正弦定理得，
所以.
故答案為：
五、正余弦定理應用5：綜合
【典型例題】
【例1】為響應國家“鄉村振興”號召，農民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規劃成3個功能區：區域為荔枝林和放養走地雞，區域規劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區域規劃為小型魚塘養魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護欄．已知，，，．
(1)若，求護欄的長度（的周長）；
(2)若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求；
(3)當為何值時，魚塘的面積最小，最小面積是多少？
【答案】(1)(2)(3)時，的面積取最小值為
【分析】（1）先根據題干條件得到，，利用余弦定理求出，用勾股定理逆定理得到，進而求出CN，MN，求出護欄的長度；（2）設，利用和的面積關系和正弦定理得到CN的兩種表達，列出方程，求出；（3）結合第二問的求解，利用正弦定理和面積公式得到面積關于的關系式，求出最小值.
(1)∵，，，∴，∴，∴，∴，
在中，由余弦定理可得：
，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴護欄的長度（的周長）為；
(2)
設（），因為魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，所以，即，，中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，從而，即，
由，得，所以，即；
(3)設（），由（2）知，，
中，由外角定理可得，又在中，由，得，所以
，所以當且僅當，
即時，的面積取最小值為.
【例2】．如圖：某公園改建一個三角形池塘，，百米，百米，現準備養一批觀賞魚供游客觀賞.
(1)若在內部取一點，建造連廊供游客觀賞，如圖①，使得點是等腰三角形的頂點，且，求連廊的長（單位為百米）；
(2)若分別在，，上取點，，，并連建造連廊，使得變成池中池，放養更名貴的魚類供游客觀賞，如圖②，使得為正三角形，或者如圖③，使得平行，且垂直，則兩種方案的的最小面積分別設為，，則和哪一個更小？
【答案】(1)百米(2)答案見解析.
【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出即可求得連廊的長；
（2）分別表示出方案②和方案③的面積，利用三角函數求最值以及二次函數求最值即可.
(1)解：點是等腰三角形的頂點，且，
且由余弦定理可得：
解得：又在中，，
在中，由余弦定理得解得，
連廊的長為百米.
(2)解：設圖②中的正三角形的邊長為，，（）
則，，設，可得
在中，由正弦定理得：，即
即化簡得：
（其中，為銳角，且）
圖③中，設，平行，且垂直
，，，
，
當時，取得最大值，無最小值，
即
即方案②面積的最小值大于方案③面積的最大值
方案③面積的最小值不存在，但是方案③的面積均小于方案②.
【例3】．依據《齊齊哈爾市城市總體規劃（2011﹣2020）》，擬將我市建設成生態園林城、裝備工業基地、綠色食品之都、歷史文化名城．計劃將圖中四邊形區域建成生態園林城，，，，為主要道路（不考慮寬度）．已知，，km．
（1）求道路的長度；
（2）如圖所示，要建立一個觀測站，并使得，，求兩地的最大距離．
【答案】（1）km；（2）km.
【分析】（1）先利用余弦定理，可得，再在中，由，即得解；
（2）設，在中，利用正弦定理可得，，再利用，可得，利用三角恒等變換化簡結合，即得解.
【詳解】
（1）連接，由余弦定理可得，所以，
由，，所以，因為，所以，
在中，，所以，解得，
即道路的長度為；
（2）設，在中，由正弦定理可得，
所以，因為，所以，
所以，，則，
所以，
因為，所以，
所以當，即，取最大值為，
故兩地的最大距離為．
【例4】．如圖，我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島與小島、小島相距都為，與小島相距為.為鈍角，且.
（1）求小島與小島之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積；
（2）記為，為，求的值.
【答案】（1）2，18平方（2）
【分析】（1）由同角的平方關系，求出，在中結合余弦定理即可求出結果；
（2）在中結合正弦定理求得，然后根據同角的平方關系求出，再由平面幾何圖形以及誘導公式求出和，然后利用兩角和的正弦公式即可求出結果.
【詳解】
（1）因為，且角為鈍角，所以.
在中，由余弦定理得，，
所以，即，
解得或（舍），
所以小島與小島之間的距離為.
∵，，，四點共圓，∴角與角互補，
∴，，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴.解得（舍）或.
∴
.
∴四個小島所形成的四邊形的面積為18平方.
（2）在中，由正弦定理，，即，解得
又因為，所以，且為銳角，所以為銳角，
所以，又因為，，
所以.
【例5】．現有長度分別為1，2，3，4的線段各1條，將它們全部用上，首尾依次相連地放在桌面上，可組成周長為10的三角形或四邊形.
（1）求出所有可能的三角形的面積；
（2）如圖，已知平面凸四邊形中，，，，.
①求滿足的數量關系；
②求四邊形面積的最大值，并指出面積最大時的值.
【答案】（1），；（2）①；②，.
【分析】
（1）先根據三角形兩邊之和大于第三邊可知所有可能的情況有兩種，再分別利用余弦定理求解其中一個內角的余弦，進而得出內角正弦，利用三角形面積公式求解面積即可
（2）①連接，再分別列出和中的余弦定理即可；
②根據可得，再結合①中的，結合三角恒等變換分析的最值即可
【詳解】（1）根據三角形兩邊之和大于第三邊，由題意可知，所有符合情況的可能三角形為、
當三角形三邊為時，由余弦定理知等腰三角形頂角，，
當三角形三邊為時，由余弦定理知等腰三角形頂角，，
（2）①連接，由余弦定理知
∴，∴∴
②
∴
又∵，∴，
∴
故
當且僅當，取得最大值，
此時，，∴，，

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