資源簡介

4.5.3函數模型的應用（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：指數函數模型
重點題型二：對數函數模型
重點題型三：擬合函數模型的應用題
知識點一：常見函數模型
1、一次函數模型（，為常數）
2、反比例函數模型（）
3、二次函數模型（）
4、指數函數模型（且，）
5、對數函數模型（且，）
6、冪函數模型（，）
7、分段函數模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合
8、對勾函數模型：
1．（2022·全國·高一課時練習）我國2010年底的人口總數為M，人口的年平均自然增長率為p，到2020年底我國人口總數是( )
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）增長速度不變的函數模型是一次函數模型．( )
（2）對任意的．( )
（3）對任意的．( )
（4）在指數函數模型、對數函數模型、一次函數模型中增長速度較慢的函數模型是對數函數模型．( )
3．（2022·全國·高一課時練習）某工廠2018年生產某產品2萬件，計劃從2019年開始每年比上一年增產20%，則這家工廠生產這種產品的年產量超過6萬件的起始年份是（參考數據：，）( )
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
4．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）在一次函數模型中，系數k的取值會影響函數的性質．( )
（2）在冪函數模型的解析式中，a的正負會影響函數的單調性．( )
重點題型一：指數函數模型
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習（文））民以食為天，科學研究表明：溫度太高的食物能對消化道黏膜造成傷害，溫度太低的食物容易引起消化道不適．因此，適宜的進食溫度在10℃到40℃左右．大量實驗數據表明：把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么tmin后物體的溫度（單位：℃）滿足公式（其中k為常數）．現有60℃的物體放在20℃的空氣中冷卻，2min后物體的溫度是40℃．現將一盤出鍋溫度是100℃的美食放在20℃的空氣中冷卻，為達到適宜的進食溫度，至少應冷卻（ ）
A．2 min B．3 min C．4 min D．5 min
例題2．（2022·吉林·長春十一高高一階段練習）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經過分鐘后物體的溫度可由公式求得.其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于的常數.現有的物體，放在的空氣中冷卻，分鐘以后物體的溫度是，則約等于（參考數據：）（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高三專題練習）“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉深化河道生態環境治理，科學治污．某鄉村一條污染河道的蓄水量為立方米，每天的進出水量為立方米．已知污染源以每天個單位污染河水，某一時段（單位：天）河水污染質量指數為（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質量指數），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的80倍．若從現在開始關閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%，需要的時間大約是（參考數據：）（ ）
A．1個月 B．3個月 C．半年 D．1年
例題4．（2022·湖南·高一課時練習）小張新購買某型號轎車的價格為16萬元，使用年后的轎車參照來衡量價值．
(1)試解釋上述函數表達式中0.9的含義；
(2)使用3年后的轎車價值多少？9年后呢？
例題5．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學高二階段練習（文））研究發現，放射性元素在一定時間內會通過核衰變過程轉換成其他元素，放射性水平隨著時間的推移而呈指數級下降，已知放射性元素在時刻的放射性水平滿足關系式，其中是初始水平，為常數．
(1)若放射性元素X在時的放射性水平是時的，求的值；
(2)設表示放射性元素的放射速率，當放射速率低于時，該元素的放射性水平趨于“絕零”，求使得（1）中放射性元素的放射性水平趨于“絕零”的最小整數．（參考數據：）
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）果農采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度．已知某種水果失去新鮮度h與其采摘后時間t（天）滿足的函數關系式為．若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%，采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%．那么采摘下來的這種水果在多長時間后失去50%新鮮度（已知，結果取整數）（ ）
A．23天 B．33天 C．43天 D．50天
2．（2022·新疆喀什·高一期末）某流行病調查中心的疾控人員針對該地區某類只在人與人之間相互傳染的疾病，通過現場調查與傳染源傳播途徑有關的蛛絲馬跡，根據傳播鏈及相關數據，建立了與傳染源相關確診病例人數與傳染源感染后至隔離前時長t（單位：天）的模型：.已知甲傳染源感染后至隔離前時長為5天，與之相關確診病例人數為8；乙傳染源感染后至隔離前時長為8天，與之相關確診病例人數為20.若某傳染源感染后至隔離前時長為兩周，則與之相關確診病例人數約為（ ）
A．44 B．48 C．80 D．125
3．（2022·廣東深圳·高二期末）光線通過一塊玻璃，強度損失10%，那么至少遇過___________塊這樣的玻璃，光線強度能減弱到原來以下.
4．（2022·全國·高一）自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點對中國游客（含港、澳、臺同胞、海外僑胞）施行門票免費，去三峽大壩旅游的游客人數增長越來越快，經統計發現2017年三峽大壩游客總量約為200萬人，2018年約為240萬人，2019年約為288萬人，三峽大壩的年游客人數y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為，2018年年份代碼為，依此類推）有兩個函數模型與可供選擇．
(1)試判斷哪個函數模型更合適（不需計算，簡述理由即可），并求出該模型的函數解析式；
(2)問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數約是2018年的2倍．（參考數據：，，，）
重點題型二：對數函數模型
典型例題
例題1．（2022·四川涼山·高二期末（理））中國的5G技術領先世界，5G技術極大地提高了數據傳輸速率，最大數據傳輸速率取決于信道帶寬，經科學研究表明：與滿足，其中為信噪比．若不改變帶寬，而將信噪比從9提升到39，則大約增加了（ ）．（附：）
A．20％ B．40％ C．60％ D．80％
例題2．（2022·全國·高二課時練習）2021年10月16日，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號遙十三運載火箭，在酒泉衛星發射中心成功發射升空，載人飛船精準進入預定軌道，順利將3名宇航員送入太空，發射取得圓滿成功．已知在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態下，可以用公式計算火箭的最大速度，其中是噴流相對速度，是火箭（除推進劑外）的質量，是推進劑與火箭質量的總和，稱為“總質比”．若某型火箭的噴流相對速度為，當總質比為625時，該型火箭的最大速度約為（ ）（附：）
A． B． C． D．
例題3．（2022·廣東·高三階段練習）聲強級（單位：）與聲強的函數關系式為：，若女高音的聲強級是，普通女性的聲強級為，則女高音聲強是普通女性聲強的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
例題4．（2022·全國·高二課時練習）每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數千公里來到美麗的昆明過冬，科學家經過測量發現候鳥的飛行速度可以表示為函數，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數，常數表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.（結果保留到整數位.參考數據：lg5≈0.70，31.4≈4.66）
(1)若，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位.
(2)若雄鳥的飛行速度為1.3，雌鳥的飛行速度為0.8，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍.
例題5．（2022·北京市第五中學高一期末）進入六月，青海湖特有物種湟魚自湖中逆流而上，進行產卵.經研究發現湟魚的游速可以表示為函數，單位是，是表示魚的耗氧量的單位數．
(1)當一條湟魚的耗氧量是500個單位時，求它的游速是多少？
(2)某條湟魚想把游速提高，求它的耗氧量的單位數是原來的多少倍？
同類題型演練
1．（2022·全國·高一期末）天文學中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮；星等的數值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應用，英國天文學家普森又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星星的亮度為.已知“角宿一”的星等是0.97，“水委一”的星等是0.47.“水委一”的亮度是“角宿一”亮度的倍，則與最接近的是（當較小時，）（ ）
A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59
2．（2022·全國·高三專題練習）天文學上用絕對星等衡量天體的發光強度，用目視星等衡量觀測者看到的天體亮度，可用近似表示絕對星等、目視星等和觀測距離d（單位：光年）之間的關系．已知織女星的絕對星等為0.58，目視星等為0.04，大角星的絕對星等為，目視星等為，則觀測者與織女星和大角星間的距離的比值約為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習）2022年4月16日，神舟十二號3名航天員告別了工作生活183天的中國空間站，安全返回地球中國征服太空的關鍵是火箭技術，在理想情況下，火箭在發動機工作期間獲得速度增量的公式，其中△v為火箭的速度增量，為噴流相對于火箭的速度，和分別代表發動機開啟和關閉時火箭的質量，在未來，假設人類設計的某火箭達到5公里/秒，從100提高到600，則速度增量增加的百分比約為（ ）（參考數據：，，
A．15% B．30% C．35% D．39%
4．（2022·全國·高三專題練習）某高中綜合實踐興趣小組做一項關于某水果釀制成醋的課題研究．經大量實驗和反復論證得出，某水果可以釀成醋的成功指數M與該品種水果中氫離子的濃度N有關，釀醋成功指數M與濃度N滿足．已知該興趣小組同學通過數據分析估計出某水果釀醋成功指數為2.9，則該水果中氫離子的濃度約為（）（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
5．（多選）（2022·福建省德化第一中學高二期末）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家經過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為lgE=4.8+1.5M，則下列說法正確的是（ ）
A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時，地震里氏震級約為七級
B．八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍
C．八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍
D．記地震里氏震級為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數列{an}是等比數列
重點題型三：擬合函數模型的應用題
典型例題
例題1．（2022·福建·南靖縣第一中學高二期中）年，全世界范圍內都受到“新冠”疫情的影響，了解某些細菌 病毒的生存條件、繁殖習性等對于預防疾病的傳播 保護環境有極其重要的意義.某科研團隊在培養基中放入一定量某種細菌進行研究．經過分鐘菌落的覆蓋面積為，經過分鐘覆蓋面積為，后期其蔓延速度越來越快；現菌落的覆蓋面積（單位：）與經過時間（單位：）的關系有兩個函數模型與可供選擇.
（參考數據：，，，，，，）
(1)試判斷哪個函數模型更合適，說明理由，并求出該模型的解析式；
(2)在理想狀態下，至少經過多久培養基中菌落面積能超過？（結果保留到整數）
例題2．（2022·吉林·長春市第二中學高一期末）某新型企業為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業就考慮轉型，下表顯示的是某企業幾年來利潤（百萬元）與年投資成本（百萬元）變化的一組數據：
年份 2015 2016 2017 2018
投資成本 3 5 9 17 …
年利潤 1 2 3 4 …
給出以下3個函數模型：①；②（，且）；③（，且）.
(1)選擇一個恰當的函數模型來描述，之間的關系，并求出其解析式；
(2)試判斷該企業年利潤不低于6百萬元時，該企業是否要考慮轉型.
同類題型演練
1．（2022·全國·高二課時練習）在密閉培養環境中，某類細菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內細菌數量的增加，繁殖速度又會減慢．在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養皿中的數量（單位：百萬個）與培養時間（單位：小時）的關系為：
根據表格中的數據畫出散點圖如下：
為了描述從第小時開始細菌數量隨時間變化的關系，現有以下三種模型供選擇：
①，②，③．
(1)選出你認為最符合實際的函數模型，并說明理由；
(2)利用和這兩組數據求出你選擇的函數模型的解析式，并預測從第小時開始，至少再經過多少個小時，細菌數量達到百萬個．
2．（2022·福建南平·高一期末）在國家大力發展新能源汽車產業政策下，我國新能源汽車的產銷量高速增長．某地區年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛．
(1)根據以上數據，試從（，且），，（，且），三種函數模型中選擇一個最恰當的模型來刻畫新能源汽車保有量的增長趨勢（不必說明理由），設從年底起經過年后新能源汽車保有量為輛，求出新能源汽車保有量關于的函數關系式；
(2)假設每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數模型增長，且傳統能源汽車保有量每年下降的百分比相同，年底該地區傳統能源汽車保有量為輛，預計到年底傳統能源汽車保有量將下降．試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統能源汽車保有量．（參考數據：，）
3．（2022·山東濟寧·高一期末）某校數學興趣小組，在過去一年一直在研究學校附近池塘里某種水生植物的面積變化情況，自2021年元旦開始測量該水生植物的面積，此后每隔一個月（每月月底）測量一次，通過一年的觀察發現，自2021年元旦起，該水生植物在池塘里面積增加的速度是越來越快的．最初測得該水生植物面積為，二月底測得該水生植物的面積為，三月底測得該水生植物的面積為，該水生植物的面積y（單位：）與時間x（單位：月）的關系有兩個函數模型可供選擇，一個是同學甲提出的；另一個是同學乙提出的，記2021年元旦最初測量時間x的值為0．
(1)根據本學期所學，請你判斷哪個同學提出的函數模型更適合？并求出該函數模型的解析式；
(2)池塘中該水生植物面積應該在幾月份起是元旦開始研究時該水生植物面積的10倍以上？（參考數據：，）
4.5.3函數模型的應用（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：指數函數模型
重點題型二：對數函數模型
重點題型三：擬合函數模型的應用題
知識點一：常見函數模型
1、一次函數模型（，為常數）
2、反比例函數模型（）
3、二次函數模型（）
4、指數函數模型（且，）
5、對數函數模型（且，）
6、冪函數模型（，）
7、分段函數模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合
8、對勾函數模型：
1．（2022·全國·高一課時練習）我國2010年底的人口總數為M，人口的年平均自然增長率為p，到2020年底我國人口總數是( )
A． B． C． D．
【答案】C
因為2010年底的人口總數為M，人口的年平均自然增長率為p，則：
2011年底的人口總數為M；
2012年底的人口總數為M；
2013年底的人口總數為M；
2014年底的人口總數為M；
……
以此類推，2020年底的人口總數為M；
故選：C．
2．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）增長速度不變的函數模型是一次函數模型．( )
（2）對任意的．( )
（3）對任意的．( )
（4）在指數函數模型、對數函數模型、一次函數模型中增長速度較慢的函數模型是對數函數模型．( )
【答案】 正確 錯誤 錯誤 正確
（1）增長速度不變的函數模型是一次函數模型，故正確；
（2）對任意的，當時，不恒成立，故錯誤；
（3）對任意的，當時，不恒成立，故錯誤；
（4）在指數函數模型、對數函數模型、一次函數模型中增長速度較慢的函數模型是對數函數模型，故正確.
3．（2022·全國·高一課時練習）某工廠2018年生產某產品2萬件，計劃從2019年開始每年比上一年增產20%，則這家工廠生產這種產品的年產量超過6萬件的起始年份是（參考數據：，）( )
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
【答案】D
設從2018年起，再過n年這家工廠生產這種產品的年產量超過6萬件
根據題意，得
即，
兩邊取對數，可得，
所以6.03，
又n為整數，則n的最小值為7
又2018+7=2025
所以從2025年開始這家工廠生產這種產品的年產量超過6萬件
故選：D
4．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）在一次函數模型中，系數k的取值會影響函數的性質．( )
（2）在冪函數模型的解析式中，a的正負會影響函數的單調性．( )
【答案】 正確 正確
（1）在一次函數模型中，當時函數單調遞增，當時函數單調遞減，故正確；
（2）冪函數時函數單調遞增，時函數單調遞減，故正確.
重點題型一：指數函數模型
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習（文））民以食為天，科學研究表明：溫度太高的食物能對消化道黏膜造成傷害，溫度太低的食物容易引起消化道不適．因此，適宜的進食溫度在10℃到40℃左右．大量實驗數據表明：把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么tmin后物體的溫度（單位：℃）滿足公式（其中k為常數）．現有60℃的物體放在20℃的空氣中冷卻，2min后物體的溫度是40℃．現將一盤出鍋溫度是100℃的美食放在20℃的空氣中冷卻，為達到適宜的進食溫度，至少應冷卻（ ）
A．2 min B．3 min C．4 min D．5 min
【答案】C
∵現有60℃的物體放在20℃的空氣中冷卻，2min后物體的溫度是40℃．
∴，解得①，
∵適宜的進食溫度在10℃到40℃左右，一盤出鍋溫度是100℃的美食放在20℃的空氣中冷卻，
∴，解得②，
兩式聯立得，即至少要冷卻.
故選：．
例題2．（2022·吉林·長春十一高高一階段練習）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經過分鐘后物體的溫度可由公式求得.其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于的常數.現有的物體，放在的空氣中冷卻，分鐘以后物體的溫度是，則約等于（參考數據：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：由題意得，，
，
兩邊取自然對數得，，
所以，
故選：A
例題3．（2022·全國·高三專題練習）“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉深化河道生態環境治理，科學治污．某鄉村一條污染河道的蓄水量為立方米，每天的進出水量為立方米．已知污染源以每天個單位污染河水，某一時段（單位：天）河水污染質量指數為（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質量指數），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的80倍．若從現在開始關閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%，需要的時間大約是（參考數據：）（ ）
A．1個月 B．3個月 C．半年 D．1年
【答案】C
∴
∴
∴（天）
∴要使河水的污染水平下降到初始時的10%，需要的時間大約是半年.
故選：C.
例題4．（2022·湖南·高一課時練習）小張新購買某型號轎車的價格為16萬元，使用年后的轎車參照來衡量價值．
(1)試解釋上述函數表達式中0.9的含義；
(2)使用3年后的轎車價值多少？9年后呢？
【答案】(1)每多經過一年，轎車的價值減少為上一年的90%；
(2)11.664萬元；6.2萬元.
(1)，
16為轎車的購買價格，故0.9表示的含義是每多經過一年，轎車的價值比上一年減少10%，或表示每多經過一年，轎車的價值減少為上一年的90%.
(2)經過3年后，轎車價值為（萬元）；
經過9年后，轎車價值為（萬元）.
例題5．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學高二階段練習（文））研究發現，放射性元素在一定時間內會通過核衰變過程轉換成其他元素，放射性水平隨著時間的推移而呈指數級下降，已知放射性元素在時刻的放射性水平滿足關系式，其中是初始水平，為常數．
(1)若放射性元素X在時的放射性水平是時的，求的值；
(2)設表示放射性元素的放射速率，當放射速率低于時，該元素的放射性水平趨于“絕零”，求使得（1）中放射性元素的放射性水平趨于“絕零”的最小整數．（參考數據：）
【答案】(1)；(2).
(1)由題可知，，．
因為，所以，
所以即．
(2)由（1）可知，，
由，得，
即．
因為，
所以，
所以所求的最小整數．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）果農采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度．已知某種水果失去新鮮度h與其采摘后時間t（天）滿足的函數關系式為．若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%，采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%．那么采摘下來的這種水果在多長時間后失去50%新鮮度（已知，結果取整數）（ ）
A．23天 B．33天 C．43天 D．50天
【答案】B
，故，故，
令，∴，故，
故選：B.
2．（2022·新疆喀什·高一期末）某流行病調查中心的疾控人員針對該地區某類只在人與人之間相互傳染的疾病，通過現場調查與傳染源傳播途徑有關的蛛絲馬跡，根據傳播鏈及相關數據，建立了與傳染源相關確診病例人數與傳染源感染后至隔離前時長t（單位：天）的模型：.已知甲傳染源感染后至隔離前時長為5天，與之相關確診病例人數為8；乙傳染源感染后至隔離前時長為8天，與之相關確診病例人數為20.若某傳染源感染后至隔離前時長為兩周，則與之相關確診病例人數約為（ ）
A．44 B．48 C．80 D．125
【答案】D
依題意得，，，所以.故若某傳染源感染后至隔離前時長為兩周，則相關確診病例人數約為125.
故選：D
3．（2022·廣東深圳·高二期末）光線通過一塊玻璃，強度損失10%，那么至少遇過___________塊這樣的玻璃，光線強度能減弱到原來以下.
【答案】16
由題得經過第塊玻璃板后，其光線的強度變為原來的，
由.，可得.所以取16.
故答案為：16
4．（2022·全國·高一）自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點對中國游客（含港、澳、臺同胞、海外僑胞）施行門票免費，去三峽大壩旅游的游客人數增長越來越快，經統計發現2017年三峽大壩游客總量約為200萬人，2018年約為240萬人，2019年約為288萬人，三峽大壩的年游客人數y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為，2018年年份代碼為，依此類推）有兩個函數模型與可供選擇．
(1)試判斷哪個函數模型更合適（不需計算，簡述理由即可），并求出該模型的函數解析式；
(2)問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數約是2018年的2倍．（參考數據：，，，）
【答案】(1)；；(2)2022.
(1)因為函數中，隨的增長而增長的速度越來越快，
而函數，隨的增長而增長的速度越來越慢，
故由題意應選；
則有，解得，
∴；
(2)設經過年，三峽大壩旅客年游覽人數約是2018年的2倍，
則，即，
∴，
∴，
故大約在2022年三峽大壩旅客年游覽人數約是2018年的2倍．
重點題型二：對數函數模型
典型例題
例題1．（2022·四川涼山·高二期末（理））中國的5G技術領先世界，5G技術極大地提高了數據傳輸速率，最大數據傳輸速率取決于信道帶寬，經科學研究表明：與滿足，其中為信噪比．若不改變帶寬，而將信噪比從9提升到39，則大約增加了（ ）．（附：）
A．20％ B．40％ C．60％ D．80％
【答案】C
當時，，
當時，，
則，所以C大約增加了，
即C大約增加了60％
故選：C
例題2．（2022·全國·高二課時練習）2021年10月16日，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號遙十三運載火箭，在酒泉衛星發射中心成功發射升空，載人飛船精準進入預定軌道，順利將3名宇航員送入太空，發射取得圓滿成功．已知在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態下，可以用公式計算火箭的最大速度，其中是噴流相對速度，是火箭（除推進劑外）的質量，是推進劑與火箭質量的總和，稱為“總質比”．若某型火箭的噴流相對速度為，當總質比為625時，該型火箭的最大速度約為（ ）（附：）
A． B． C． D．
【答案】C
.
故選：C．
例題3．（2022·廣東·高三階段練習）聲強級（單位：）與聲強的函數關系式為：，若女高音的聲強級是，普通女性的聲強級為，則女高音聲強是普通女性聲強的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
【答案】C
設女高音聲強為，普通女性聲強為，則，所以①，，所以②，則①÷②得：，故女高音聲強是普通女性聲強的1000倍.
故選：C
例題4．（2022·全國·高二課時練習）每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數千公里來到美麗的昆明過冬，科學家經過測量發現候鳥的飛行速度可以表示為函數，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數，常數表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.（結果保留到整數位.參考數據：lg5≈0.70，31.4≈4.66）
(1)若，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位.
(2)若雄鳥的飛行速度為1.3，雌鳥的飛行速度為0.8，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍.
【答案】(1)466個單位(2)3倍
（1）將，代入函數，得：，因為，所以，所以，所以.答：候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量約為466個單位.
（2）設雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘耗氧量為，由題意可得：兩式相減可得：，所以，即，答：此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍.
例題5．（2022·北京市第五中學高一期末）進入六月，青海湖特有物種湟魚自湖中逆流而上，進行產卵.經研究發現湟魚的游速可以表示為函數，單位是，是表示魚的耗氧量的單位數．
(1)當一條湟魚的耗氧量是500個單位時，求它的游速是多少？
(2)某條湟魚想把游速提高，求它的耗氧量的單位數是原來的多少倍？
【答案】(1)約為1.17m/s；(2)4.
(1)由題意，游速為.
(2)設原來和現在耗氧量的單位數分別為，所以，所以耗氧量的單位數是原來的4倍.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一期末）天文學中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮；星等的數值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應用，英國天文學家普森又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星星的亮度為.已知“角宿一”的星等是0.97，“水委一”的星等是0.47.“水委一”的亮度是“角宿一”亮度的倍，則與最接近的是（當較小時，）（ ）
A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59
【答案】B
設“角宿一”的星等是，“水委一”的星等是，“角宿一”的亮度是，“水委一”的亮度是，則，，
∵兩顆星的星等與亮度滿足，
∴，即，
∴，
∴與最接近的是1.57.
故選：B
2．（2022·全國·高三專題練習）天文學上用絕對星等衡量天體的發光強度，用目視星等衡量觀測者看到的天體亮度，可用近似表示絕對星等、目視星等和觀測距離d（單位：光年）之間的關系．已知織女星的絕對星等為0.58，目視星等為0.04，大角星的絕對星等為，目視星等為，則觀測者與織女星和大角星間的距離的比值約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
設觀測者與織女星和大角星間的距離分別為，，則有，
兩式相減得，所以，，
故選:D．
3．（2022·全國·高三專題練習）2022年4月16日，神舟十二號3名航天員告別了工作生活183天的中國空間站，安全返回地球中國征服太空的關鍵是火箭技術，在理想情況下，火箭在發動機工作期間獲得速度增量的公式，其中△v為火箭的速度增量，為噴流相對于火箭的速度，和分別代表發動機開啟和關閉時火箭的質量，在未來，假設人類設計的某火箭達到5公里/秒，從100提高到600，則速度增量增加的百分比約為（ ）（參考數據：，，
A．15% B．30% C．35% D．39%
【答案】D
由題意，當時，速度的增量為；
當時，速度的增量為，
所以.
故選：D.
4．（2022·全國·高三專題練習）某高中綜合實踐興趣小組做一項關于某水果釀制成醋的課題研究．經大量實驗和反復論證得出，某水果可以釀成醋的成功指數M與該品種水果中氫離子的濃度N有關，釀醋成功指數M與濃度N滿足．已知該興趣小組同學通過數據分析估計出某水果釀醋成功指數為2.9，則該水果中氫離子的濃度約為（）（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】D
由題意知：，整理得，解得，又，故.
故選：D.
5．（多選）（2022·福建省德化第一中學高二期末）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家經過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為lgE=4.8+1.5M，則下列說法正確的是（ ）
A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時，地震里氏震級約為七級
B．八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍
C．八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍
D．記地震里氏震級為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數列{an}是等比數列
【答案】ACD
對于A：當時，由題意得，
解得，即地震里氏震級約為七級，故A正確；
對于B：八級地震即時，，解得，
所以，
所以八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的倍，故B錯誤；
對于C：六級地震即時，，解得，
所以，
即八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍，故C正確；
對于D：由題意得（n=1，2，···，9，10），
所以，所以
所以，即數列{an}是等比數列，故D正確；
故選：ACD
重點題型三：擬合函數模型的應用題
典型例題
例題1．（2022·福建·南靖縣第一中學高二期中）年，全世界范圍內都受到“新冠”疫情的影響，了解某些細菌 病毒的生存條件、繁殖習性等對于預防疾病的傳播 保護環境有極其重要的意義.某科研團隊在培養基中放入一定量某種細菌進行研究．經過分鐘菌落的覆蓋面積為，經過分鐘覆蓋面積為，后期其蔓延速度越來越快；現菌落的覆蓋面積（單位：）與經過時間（單位：）的關系有兩個函數模型與可供選擇.
（參考數據：，，，，，，）
(1)試判斷哪個函數模型更合適，說明理由，并求出該模型的解析式；
(2)在理想狀態下，至少經過多久培養基中菌落面積能超過？（結果保留到整數）
【答案】(1)應選模型為，理由見解析；(2)
(1)的增長速度越來越快，的增長速度越來越慢，
應選模型為；
則，解得：，，又，
函數模型為；
(2)由題意得：，即，，
，，
至少經過培養基中菌落面積能超過.
例題2．（2022·吉林·長春市第二中學高一期末）某新型企業為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業就考慮轉型，下表顯示的是某企業幾年來利潤（百萬元）與年投資成本（百萬元）變化的一組數據：
年份 2015 2016 2017 2018
投資成本 3 5 9 17 …
年利潤 1 2 3 4 …
給出以下3個函數模型：①；②（，且）；③（，且）.
(1)選擇一個恰當的函數模型來描述，之間的關系，并求出其解析式；
(2)試判斷該企業年利潤不低于6百萬元時，該企業是否要考慮轉型.
【答案】(1)可用③來描述x，y之間的關系，
(2)該企業要考慮轉型.
(1)由表格中的數據可知，年利潤是隨著投資成本的遞增而遞增，而①是單調遞減，所以不符合題意；
將，代入（，且），
得，解得，∴.
當時，，不符合題意；
將，代入（，且），
得，解得，∴.
當時，；當時，.
故可用③來描述x，y之間的關系.
(2)由題知，解得.
∵年利潤，∴該企業要考慮轉型.
同類題型演練
1．（2022·全國·高二課時練習）在密閉培養環境中，某類細菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內細菌數量的增加，繁殖速度又會減慢．在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養皿中的數量（單位：百萬個）與培養時間（單位：小時）的關系為：
根據表格中的數據畫出散點圖如下：
為了描述從第小時開始細菌數量隨時間變化的關系，現有以下三種模型供選擇：
①，②，③．
(1)選出你認為最符合實際的函數模型，并說明理由；
(2)利用和這兩組數據求出你選擇的函數模型的解析式，并預測從第小時開始，至少再經過多少個小時，細菌數量達到百萬個．
【答案】(1)，理由見解析；
(2)，至少再經過小時，細菌數量達到百萬個．
（1）解：依題意，所選函數必須滿足三個條件：（ⅰ）定義域包含；（ⅱ）增函數；（ⅲ）隨著自變量的增加，函數值的增長速度變小．因為函數的定義域為，時無意義；函數隨著自變量的增加，函數值的增長速度變大．函數可以同時符合上述條件，所以應該選擇函數．
（2）解：依題意知，解得，所以．令，解得．所以，至少再經過小時，細菌數量達到百萬個．
2．（2022·福建南平·高一期末）在國家大力發展新能源汽車產業政策下，我國新能源汽車的產銷量高速增長．某地區年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛．
(1)根據以上數據，試從（，且），，（，且），三種函數模型中選擇一個最恰當的模型來刻畫新能源汽車保有量的增長趨勢（不必說明理由），設從年底起經過年后新能源汽車保有量為輛，求出新能源汽車保有量關于的函數關系式；
(2)假設每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數模型增長，且傳統能源汽車保有量每年下降的百分比相同，年底該地區傳統能源汽車保有量為輛，預計到年底傳統能源汽車保有量將下降．試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統能源汽車保有量．（參考數據：，）
【答案】(1)應選擇的函數模型是（，且），函數關系式為；
(2)年底.
(1)解：根據該地區新能源汽車保有量的增長趨勢知，應選擇的函數模型是
（，且），
由題意得，解得，所以.
(2)解：設傳統能源汽車保有量每年下降的百分比為，
依題意得，，解得，
設從年底起經過年后的傳統能源汽車保有量為輛，
則有，
設從年底起經過年后新能源汽車的數量將超過傳統能源汽車，則有
化簡得，所以，
解得，
故從年底起經過年后，即年底新能源汽車的數量將超過傳統能源汽車.
3．（2022·山東濟寧·高一期末）某校數學興趣小組，在過去一年一直在研究學校附近池塘里某種水生植物的面積變化情況，自2021年元旦開始測量該水生植物的面積，此后每隔一個月（每月月底）測量一次，通過一年的觀察發現，自2021年元旦起，該水生植物在池塘里面積增加的速度是越來越快的．最初測得該水生植物面積為，二月底測得該水生植物的面積為，三月底測得該水生植物的面積為，該水生植物的面積y（單位：）與時間x（單位：月）的關系有兩個函數模型可供選擇，一個是同學甲提出的；另一個是同學乙提出的，記2021年元旦最初測量時間x的值為0．
(1)根據本學期所學，請你判斷哪個同學提出的函數模型更適合？并求出該函數模型的解析式；
(2)池塘中該水生植物面積應該在幾月份起是元旦開始研究時該水生植物面積的10倍以上？（參考數據：，）
【答案】(1)甲同學提出的函數模型滿足要求，
(2)池塘中該水生植物面積應該在6月起是去年元旦開始研究時該水生植物面積的10倍以上
(1)因為兩個函數模型，在上都是增函數．
隨著x的增大，的函數值增加的越來越快，而的函數值增加的越來越慢．
因為在池塘里該水生植物蔓延的速度是越來越快，即隨著時間增加，該水生植物的面積增加的越來越快，
所以，甲同學提出的函數模型滿足要求．
由題意知，解得，，
所以，
(2)一月底水深植物面積為
由，解得
又
故．
所以，池塘中該水生植物面積應該在6月起是去年元旦開始研究時該水生植物面積的10倍以上．

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