資源簡(jiǎn)介

5.1任意角和弧度制（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：任意角的概念
重點(diǎn)題型二：坐標(biāo)系中角的概念及其表示
角度1：終邊相同的角
角度2：終邊在某條直線上的角的集合
角度3：區(qū)域角
重點(diǎn)題型三：確定及的終邊所在的象限
重點(diǎn)題型四：弧度制的概念
重點(diǎn)題型五：角度與弧度的互化
重點(diǎn)題型六：用弧度表示角或范圍
重點(diǎn)題型七：弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)一：任意角
1、角的概念
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形
2、角的分類
①正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.
②負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.
③零角:如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角.
3、角的運(yùn)算
設(shè)，是任意兩個(gè)角，為角的相反角．
(1)：把角的終邊旋轉(zhuǎn)角.（時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn);時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）
(2)：
知識(shí)點(diǎn)二：象限角
1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.
如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.
2、象限角的常用表示：
第一象限角
第二象限角
第三象限角 或
第四象限角 或
知識(shí)點(diǎn)三：軸線角
1、定義：軸線角是指以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.
2、軸線角的表示：
① 終邊落在軸非負(fù)半軸
② 終邊落在軸非負(fù)半軸
③ 終邊落在軸非正半軸 或
④ 終邊落在軸非正半軸 或
⑤ 終邊落在軸
⑥ 終邊落在軸 或
⑦ 終邊落在坐標(biāo)軸
知識(shí)點(diǎn)四：終邊相同的角的集合
所有與角終邊相同的角為
知識(shí)點(diǎn)五：角度制與弧度制的概念
1、弧度制
長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě)).
2、角度與弧度的換算
弧度與角度互換公式：
，
3、常用的角度與弧度對(duì)應(yīng)表
角度制
弧制度
知識(shí)點(diǎn)六：扇形中的弧長(zhǎng)公式和面積公式
弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，
扇形面積公式：.
1．（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）如圖所示的時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為：，此時(shí)時(shí)針與分針的夾角為則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)高一期中）若角，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則角的終邊落在的陰影部分是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·西藏·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高一期末）的角化為角度制的結(jié)果為_(kāi)______．
5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求與角終邊相同的最小正角和最大負(fù)角，并指出角是第幾象限角.
重點(diǎn)題型一：任意角的概念
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．終邊相同的角相等 B．相等的角終邊相同
C．小于的角是銳角 D．第一象限的角是正角
例題2．（多選）（2022·江西省臨川第二中學(xué)高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．如果是第一象限的角，則是第四象限的角.
B．如果，是第一象限的角，且，則.
C．若角為銳角，則角為鈍角.
D．若角，則角為第二象限角.
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）將時(shí)鐘撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·杭州市富陽(yáng)區(qū)江南中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）親愛(ài)的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時(shí)間是2小時(shí)，則從考試開(kāi)始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為_(kāi)__________.
重點(diǎn)題型二：坐標(biāo)系中角的概念及其表示
角度1：終邊相同的角
典型例題
例題1．（2022·陜西渭南·高一期末）與終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）將化成的形式是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的集合為，回答下列問(wèn)題：
(1)集合中有幾類終邊不相同的角？
(2)集合中大于－360°且小于的角是哪幾個(gè)？
(3)求集合中的第二象限角．
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高一）在0°到范圍內(nèi)，與終邊相同的角為（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）與終邊相同的最小正角是____.
3．（2022·北京八中高一期中）將化為的形式是________.
角度2：終邊在某條直線上的角的集合
典型例題
例題1．（2022·安徽·涇縣中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）終邊落在直線上的角的集合為
A． B．
C． D．
例題2．（2022·上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）用弧度制寫(xiě)出終邊落在直線上的角是__．
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）終邊與直線重合的角可表示為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陜西·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則的終邊在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．（2022·上海·南洋中學(xué)高一階段練習(xí)）終邊在第一、第三象限平分線上的角的集合可表示為_(kāi)___________.
角度3：區(qū)域角
典型例題
例題1．（2022·福建·泉州鯉城北大培文學(xué)校高二期末）集合中角所表示的范圍(陰影部分)是(　 　)
A． B． C．D．
例題2．（2022·上海·華師大二附中高一期中）用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)（含邊界）的角的集合是__________．
例題3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).
（1）；（2）
例題4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，寫(xiě)出終邊落在陰影部分的角的集合.
(1)(2)
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用弧度制表示終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合：______.
2．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是________．
3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，分別寫(xiě)出適合下列條件的角的集合．
（1）終邊落在射線上；
（2）終邊落在直線上；
（3）終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）．
4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出終邊在圖中陰影區(qū)域(包括邊界)內(nèi)的角的集合.
重點(diǎn)題型三：確定及的終邊所在的象限
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是銳角，那么是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
例題2．（2022·北京·北師大二附中高一期中）若為第一象限角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
例題3．（多選）（2022·全國(guó)·高一）已知角是第一象限角，則角可能在以下哪個(gè)象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若是鈍角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．（2022·寧夏吳忠區(qū)青銅峽市教育局高一開(kāi)學(xué)考試）已知是第二象限的角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
3．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)是第二象限角時(shí)，試討論是哪個(gè)象限的角．
4．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)是銳角時(shí)，試判斷是哪個(gè)象限的角．
重點(diǎn)題型四：弧度制的概念
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一）若，則角的終邊在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例題2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的復(fù)古時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為，將時(shí)針與分針視為兩條線段，則該時(shí)刻的時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（多選）（2022·全國(guó)·高一學(xué)業(yè)考試）已知扇形的周長(zhǎng)是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
同類題型演練
1．（2022·四川·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一開(kāi)學(xué)考試）一場(chǎng)考試需要2小時(shí)，在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·北師大二附中高一期中）時(shí)鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為(　　)
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南湘西·高一期末）高考數(shù)學(xué)考試時(shí)間是2小時(shí)，那么在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為_(kāi)__________.
重點(diǎn)題型五：角度與弧度的互化
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
例題2．（2022·陜西·寶雞市渭濱中學(xué)高一階段練習(xí)）300°化為弧度制是（ ）．
A． B． C． D．
例題3．（2022·上海·華東政法大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）將75°角化為弧度制為_(kāi)_____弧度．
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列角中與終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．化成弧度是
B．化成角度是
C．若角，則角為第二象限角
D．若一扇形的圓心角為，半徑為，則扇形面積為
3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若兩個(gè)角的差為1弧度，和為1°，則這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別為_(kāi)_____．
重點(diǎn)題型六：用弧度表示角或范圍
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若角的終邊與函數(shù)的圖象相交，則角的集合為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(包括邊界，如圖所示).
同類題型演練
1．（2021·山西·太原五中高一階段練習(xí)）用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)的角的集合是_________．
2．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）分別用角度和弧度寫(xiě)出第一、二、三、四象限角的集合.
重點(diǎn)題型七：弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·山東濱州·高二期末）若扇形的周長(zhǎng)為，面積為，則其圓心角的弧度數(shù)是（ ）
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
例題2．（2022·四川巴中·高一期末（理））半徑為2cm，中心角為的扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．
例題3．（2022·河南安陽(yáng)·高一期末）如圖，扇環(huán)ABCD中，弧，弧，，則扇環(huán)的面積__________．
例題4．（2022·上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）圓心角為，弧長(zhǎng)為，扇形的面積為_(kāi)_．
例題5．（2022·全國(guó)·高一）某地政府部門(mén)欲做一個(gè)“踐行核心價(jià)值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長(zhǎng)度之和為米，圓心角為弧度．
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)記該宣傳牌的面積為，試問(wèn)取何值時(shí)，的值最大 并求出最大值．
同類題型演練
1．（2022·江西·南昌十五中高一階段練習(xí)）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在軍事上角的度量還有密位制（Densepositionsystem），密位制的單位是密位.1密位等于圓周角的，即密位.在密位制中，采用四個(gè)數(shù)字來(lái)記一個(gè)角的密位數(shù)，且在百位數(shù)字與十位數(shù)字之間畫(huà)一條短線，例如密位寫(xiě)成，密位寫(xiě)成，設(shè)圓的半徑為，那么密位的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一期末）已知一個(gè)扇形的弧所對(duì)的圓心角為40°，半徑，則該扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．
3．（2022·江西萍鄉(xiāng)·高一期中）東方設(shè)計(jì)中的“白銀比例”是，它的重要程度不亞于西方文化中的“黃金比例”，傳達(dá)出一種獨(dú)特的東方審美觀．折扇的紙面可看作是從一個(gè)大扇形紙面中剪掉一個(gè)小扇形紙面后剩下的圖形（如圖）．設(shè)制作折扇時(shí)剪下的小扇形紙面面積為，折扇紙面面積為，當(dāng)時(shí)，扇面看上去較為美觀，那么剪下的小扇形半徑與原大扇形半徑之比的平方為_(kāi)_______．
4．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；
(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角；
(3)若扇形周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？
5．（2022·甘肅·蘭州一中高一期末）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為.
（1）若，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；
（2）若扇形的周長(zhǎng)是一定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積
1．（2022·北京·人大附中三模）半徑為的圓的邊沿有一點(diǎn)，半徑為的圓的邊沿有一點(diǎn)，、兩點(diǎn)重合后，小圓沿著大圓的邊沿滾動(dòng)，、兩點(diǎn)再次重合小圓滾動(dòng)的圈數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·靈寶市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫(xiě)，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫(huà)一條短線，如7密位寫(xiě)成“0－07”，478密位寫(xiě)成“4－78”．如果一個(gè)半徑為4的扇形，其圓心角用密位制表示為12－50，則該扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·廣東·一模）為解決皮尺長(zhǎng)度不夠的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車來(lái)測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點(diǎn)A，前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C，然后推著自行車沿AB直線前進(jìn)（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點(diǎn)B接觸.經(jīng)觀測(cè)，在前進(jìn)過(guò)程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前輪與點(diǎn)B接觸時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離約為（ ）（參考數(shù)值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
5.1任意角和弧度制（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：任意角的概念
重點(diǎn)題型二：坐標(biāo)系中角的概念及其表示
角度1：終邊相同的角
角度2：終邊在某條直線上的角的集合
角度3：區(qū)域角
重點(diǎn)題型三：確定及的終邊所在的象限
重點(diǎn)題型四：弧度制的概念
重點(diǎn)題型五：角度與弧度的互化
重點(diǎn)題型六：用弧度表示角或范圍
重點(diǎn)題型七：弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)一：任意角
1、角的概念
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形
2、角的分類
①正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.
②負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.
③零角:如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角.
3、角的運(yùn)算
設(shè)，是任意兩個(gè)角，為角的相反角．
(1)：把角的終邊旋轉(zhuǎn)角.（時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn);時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）
(2)：
知識(shí)點(diǎn)二：象限角
1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.
如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.
2、象限角的常用表示：
第一象限角
第二象限角
第三象限角 或
第四象限角 或
知識(shí)點(diǎn)三：軸線角
1、定義：軸線角是指以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.
2、軸線角的表示：
① 終邊落在軸非負(fù)半軸
② 終邊落在軸非負(fù)半軸
③ 終邊落在軸非正半軸 或
④ 終邊落在軸非正半軸 或
⑤ 終邊落在軸
⑥ 終邊落在軸 或
⑦ 終邊落在坐標(biāo)軸
知識(shí)點(diǎn)四：終邊相同的角的集合
所有與角終邊相同的角為
知識(shí)點(diǎn)五：角度制與弧度制的概念
1、弧度制
長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě)).
2、角度與弧度的換算
弧度與角度互換公式：
，
3、常用的角度與弧度對(duì)應(yīng)表
角度制
弧制度
知識(shí)點(diǎn)六：扇形中的弧長(zhǎng)公式和面積公式
弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，
扇形面積公式：.
1．（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）如圖所示的時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為：，此時(shí)時(shí)針與分針的夾角為則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由圖可知，．
故選：B．
2．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)高一期中）若角，則角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋允堑诙笙藿牵?br/>故選：B．
3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則角的終邊落在的陰影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】令，得，則B選項(xiàng)中的陰影部分區(qū)域符合題意.
故選：B．
4．（2022·西藏·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高一期末）的角化為角度制的結(jié)果為_(kāi)______．
【答案】
【詳解】
故答案為：
5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求與角終邊相同的最小正角和最大負(fù)角，并指出角是第幾象限角.
【答案】最小正角為，最大負(fù)角為，角是第四象限角
【詳解】，
角是第四象限角，與角終邊相同的角可以表示為，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
與角終邊相同的最小正角為，最大負(fù)角為.
重點(diǎn)題型一：任意角的概念
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．終邊相同的角相等 B．相等的角終邊相同
C．小于的角是銳角 D．第一象限的角是正角
【答案】B
【詳解】終邊相同的角相差周角的整數(shù)倍，A不正確；相等的角終邊一定相同；所以B正確；小于的角是銳角可以是負(fù)角，C錯(cuò)；第一象限的角是正角，也可以是負(fù)角，D錯(cuò)誤．故選：B.
例題2．（多選）（2022·江西省臨川第二中學(xué)高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．如果是第一象限的角，則是第四象限的角.
B．如果，是第一象限的角，且，則.
C．若角為銳角，則角為鈍角.
D．若角，則角為第二象限角.
【答案】AD
【詳解】與一個(gè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，一個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度都為，故如果是第一象限的角，則是第四象限的角，故A正確；取，易知B錯(cuò)誤；取，為銳角，故C錯(cuò)誤；，故為第二象限角，D正確.
故選：AD
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）將時(shí)鐘撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】將分針撥快10分鐘，即分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圓周的，
分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為．
故選：B
2．（2022·浙江·杭州市富陽(yáng)區(qū)江南中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）親愛(ài)的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時(shí)間是2小時(shí)，則從考試開(kāi)始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為_(kāi)__________.
【答案】
【詳解】因?yàn)殓姳淼姆轴樲D(zhuǎn)了兩圈，且是按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所以鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.
故答案為：.
重點(diǎn)題型二：坐標(biāo)系中角的概念及其表示
角度1：終邊相同的角
典型例題
例題1．（2022·陜西渭南·高一期末）與終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】∵，
∴與終邊相同的角是.
故選：D
例題2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）將化成的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋裕?485°可化成．
故選：D．
例題3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的集合為，回答下列問(wèn)題：
(1)集合中有幾類終邊不相同的角？
(2)集合中大于－360°且小于的角是哪幾個(gè)？
(3)求集合中的第二象限角．
【答案】(1)四類
(2)－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°
(3)，
（1）集合M中的角可以分成四類，即終邊分別與－150°，－60°，30°，120°的終邊相同的角．
（2）令，得，
又，所以終邊不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8個(gè)，
分別是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）集合M中的第二象限角與120°角的終邊相同，
所以，.
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高一）在0°到范圍內(nèi)，與終邊相同的角為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)椋栽?°到范圍內(nèi)與終邊相同的角為；
故選：B
2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）與終邊相同的最小正角是____.
【答案】°
【詳解】，
與終邊相同，又終邊相同的兩個(gè)角相差的整數(shù)倍，
在上，只有與終邊相同，
與終邊相同的最小正角是，
故答案為：.
3．（2022·北京八中高一期中）將化為的形式是________.
【答案】4π+π4##π4+4π
【詳解】.
故答案為：
角度2：終邊在某條直線上的角的集合
典型例題
例題1．（2022·安徽·涇縣中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）終邊落在直線上的角的集合為
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由于角的終邊是一條射線，所以當(dāng)角的終邊落在直線，且在 內(nèi)的角為， ，則終邊落在直線上的角為 ,
即終邊落在直線上的角的集合為．
例題2．（2022·上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）用弧度制寫(xiě)出終邊落在直線上的角是__．
【答案】
【詳解】解：由終邊相同的角的定義，終邊落在射線的角的集合為 ，
終邊落在射線 的角的集合為 ，
所以終邊落在直線的角的集合為 ，
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）終邊與直線重合的角可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】終邊與直線重合的角可表示為．
故選：A.
2．（2022·陜西·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則的終邊在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，其終邊在第三象限；
當(dāng)時(shí)，，其終邊在第一象限.
綜上，的終邊在第一、三象限.
故選：A.
3．（2022·上海·南洋中學(xué)高一階段練習(xí)）終邊在第一、第三象限平分線上的角的集合可表示為_(kāi)___________.
【答案】
【詳解】當(dāng)角為銳角時(shí)，易得，又第一、第三象限平分線上的角終邊以為周期，故角的集合可表示為.
故答案為：
角度3：區(qū)域角
典型例題
例題1．（2022·福建·泉州鯉城北大培文學(xué)校高二期末）集合中角所表示的范圍(陰影部分)是(　 　)
A． B． C．D．
【答案】C
詳解：由集合，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，集合與表示相同的角，位于第一象限；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，集合與表示相同的角，位于第三象限；
所以集合中表示的角的范圍為選項(xiàng)C，故選C.
例題2．（2022·上海·華師大二附中高一期中）用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)（含邊界）的角的集合是__________．
【答案】
【詳解】由題圖，終邊對(duì)應(yīng)角為且，終邊對(duì)應(yīng)角為且，
所以陰影部分角的集合是.
故答案為：
例題3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).
（1）；（2）
【答案】（1）；
（2）或.
【詳解】如題圖①，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z)，
所以陰影部分內(nèi)的角的集合為
；
如題圖②，以O(shè)A為終邊的角為+2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為+2kπ(k∈Z).
不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，
則M1=，M2=.
所以陰影部分內(nèi)的角的集合為
或.
例題4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，寫(xiě)出終邊落在陰影部分的角的集合.
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
（1）由題圖可知，終邊落在陰影部分的角的集合為.
（2）由題圖可知，終邊落在陰影部分的角的集合為.
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用弧度制表示終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合：______.
【答案】
【詳解】因?yàn)椋?br/>結(jié)合圖像可看作范圍內(nèi)的角，結(jié)合任意角的概念可表示為
.
故答案為:.
2．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是________．
【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
【詳解】觀察圖形可知，終邊落在邊界上的角分別是,
所以角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．
故答案為：{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，分別寫(xiě)出適合下列條件的角的集合．
（1）終邊落在射線上；
（2）終邊落在直線上；
（3）終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）終邊落在射線上的角的集合為；
（2）終邊落在直線上的角的集合為；
（3）終邊落在第一象限中的陰影部分區(qū)域的角的集合為，
終邊落在第三象限中的陰影部分區(qū)域的角的集合為，
因此，終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為
.
4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出終邊在圖中陰影區(qū)域(包括邊界)內(nèi)的角的集合.
【答案】(1);
(2);
(3).
【詳解】（1）終邊在邊界上的角為，，
終邊在陰影部分的角滿足：，
所求角的集合為
（2）終邊落在邊界上的角為，，終邊落在坐標(biāo)軸上的角，，
終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)的角為，
故所求角的集合為，
（3）終邊落在邊界上的角為，，，
終邊在陰影部分的角滿足：，
故所求角的集合為
重點(diǎn)題型三：確定及的終邊所在的象限
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是銳角，那么是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
【答案】C
【詳解】因?yàn)槭卿J角,所以,所以,滿足小于180°的正角.
其中D選項(xiàng)不包括，故錯(cuò)誤.
故選：C
例題2．（2022·北京·北師大二附中高一期中）若為第一象限角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
【答案】D
【詳解】因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵?br/>所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，，屬于第一象限角，排除B；
當(dāng)時(shí)，，屬于第三象限角,排除AC；
所以是第一或第三象限角
故選：D
例題3．（多選）（2022·全國(guó)·高一）已知角是第一象限角，則角可能在以下哪個(gè)象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABC
【詳解】解：因?yàn)榻鞘堑谝幌笙藿牵裕裕?當(dāng)，時(shí)，，，位于第一象限，當(dāng)，時(shí)，，，位于第二象限，當(dāng)，時(shí)，，，位于第三象限，綜上可得位于第一、二、三象限；
故選：ABC
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若是鈍角，則是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【詳解】，，,在第四象限.
故選：D
2．（2022·寧夏吳忠區(qū)青銅峽市教育局高一開(kāi)學(xué)考試）已知是第二象限的角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
【答案】D
【詳解】是第二象限的角，
則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，屬于第一象限角，
當(dāng)時(shí)，，屬于第三象限角，
當(dāng)時(shí)，，屬于第一象限角，
所以是第一或第三象限角，
故選：D
3．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)是第二象限角時(shí)，試討論是哪個(gè)象限的角．
【答案】答案見(jiàn)解析.
【詳解】由題設(shè)，，則，
所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)是第一象限角；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)是第三象限角；
4．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)是銳角時(shí)，試判斷是哪個(gè)象限的角．
【答案】第一象限角或第二象限角或終邊在軸正半軸上的角.
【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以，
，
為第一象限角或第二象限角或終邊在軸正半軸上的角.
重點(diǎn)題型四：弧度制的概念
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一）若，則角的終邊在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【詳解】由于，
故角的終邊在第一象限，
故選：A
例題2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的復(fù)古時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為，將時(shí)針與分針視為兩條線段，則該時(shí)刻的時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】表有個(gè)刻度，相鄰兩個(gè)刻度所對(duì)的圓心角為；
當(dāng)時(shí)針指向，分針指向時(shí)，時(shí)針與分針夾角為；
但當(dāng)分針指向時(shí)，時(shí)針由向移動(dòng)了；
該時(shí)刻的時(shí)針與分針?biāo)鶌A鈍角為.
故選：B.
例題3．（多選）（2022·全國(guó)·高一學(xué)業(yè)考試）已知扇形的周長(zhǎng)是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
【答案】AB
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，面積為S，圓心角為，則，，解得，或，，則或1．故C，D錯(cuò)誤.
故選：AB．
同類題型演練
1．（2022·四川·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一開(kāi)學(xué)考試）一場(chǎng)考試需要2小時(shí)，在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一周為12小時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，所以經(jīng)過(guò)2小時(shí)，時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.
故選：B
2．（2022·北京·北師大二附中高一期中）時(shí)鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】顯然分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里，順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了周，轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為×2π＝.
本題選擇B選項(xiàng).
3．（2022·湖南湘西·高一期末）高考數(shù)學(xué)考試時(shí)間是2小時(shí)，那么在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為_(kāi)__________.
【答案】
【詳解】時(shí)間經(jīng)過(guò)2小時(shí)，鐘表的時(shí)針順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò) ，
故時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為，
故答案為：.
重點(diǎn)題型五：角度與弧度的互化
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
【答案】A
【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，B正確；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，，D正確．
故選：A
例題2．（2022·陜西·寶雞市渭濱中學(xué)高一階段練習(xí)）300°化為弧度制是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)，得.
故選：B.
例題3．（2022·上海·華東政法大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）將75°角化為弧度制為_(kāi)_____弧度．
【答案】##
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列角中與終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由角度制與弧度制的互化公式，可得，
與角終邊相同的角的集合為，
令，可得，
所以與角終邊相同的角是.
故選：D.
2．（多選）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．化成弧度是
B．化成角度是
C．若角，則角為第二象限角
D．若一扇形的圓心角為，半徑為，則扇形面積為
【答案】BC
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，故角為第二象限角，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，故扇形的面積為，D錯(cuò).
故選：BC.
3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若兩個(gè)角的差為1弧度，和為1°，則這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別為_(kāi)_____．
【答案】；
【詳解】設(shè)這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別為，，，因?yàn)椋?br/>所以，則，即這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別為，．
故答案為：，
重點(diǎn)題型六：用弧度表示角或范圍
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若角的終邊與函數(shù)的圖象相交，則角的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】當(dāng)角的終邊與直線重合時(shí)，角的終邊與函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn).又因?yàn)榻堑慕K邊為射線，
所以，.
故選：C
例題2．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(包括邊界，如圖所示).
【答案】，
【詳解】因?yàn)椋蓤D（1）知：以射線為終邊的角的集合為，
角的終邊與即的角的終邊相同，
以為終邊的角為，
所以終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為：.
因?yàn)椋?br/>由圖（2）知：以射線為終邊的角為，
以射線為終邊的角為，
所以終邊在直線上的角為：
，
同理終邊在軸上的角為，
所以終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合.
同類題型演練
1．（2021·山西·太原五中高一階段練習(xí)）用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)的角的集合是_________．
【答案】
【詳解】解：由題意，得與OA終邊相同的角可表示為，
與OB終邊相同的角可表示為，
故角的集合是，
故答案為：．
2．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）分別用角度和弧度寫(xiě)出第一、二、三、四象限角的集合.
【答案】第一象限角：，；
第二象限角：，；
第三象限角：，；
第四象限角：，.
【詳解】解：用角度制寫(xiě)出象限角的集合是：
第一象限角：；
第二象限角：；
第三象限角：；
第四象限角：.
用弧度制寫(xiě)出象限角的集合是：
第一象限角：；
第二象限角：；
第三象限角：；
第四象限角：.
重點(diǎn)題型七：弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·山東濱州·高二期末）若扇形的周長(zhǎng)為，面積為，則其圓心角的弧度數(shù)是（ ）
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
【答案】A
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，由題意得，解得或，
故扇形的圓心角的弧度數(shù)或 ．
故選：A.
例題2．（2022·四川巴中·高一期末（理））半徑為2cm，中心角為的扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．
【答案】
【詳解】解：圓弧所對(duì)的中心角為即為弧度，半徑為
弧長(zhǎng)為．
故答案為：．
例題3．（2022·河南安陽(yáng)·高一期末）如圖，扇環(huán)ABCD中，弧，弧，，則扇環(huán)的面積__________．
【答案】3
【詳解】設(shè),
因?yàn)榛。。?br/>所以，，
所以，，
又扇形的面積為，扇形的面積為，
所以扇環(huán)ABCD的面積．
故答案為：3
例題4．（2022·上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）圓心角為，弧長(zhǎng)為，扇形的面積為_(kāi)_．
【答案】##
【詳解】解：圓心角為，即，弧長(zhǎng)，所以半徑，
所以扇形的面積；
故答案為：
例題5．（2022·全國(guó)·高一）某地政府部門(mén)欲做一個(gè)“踐行核心價(jià)值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長(zhǎng)度之和為米，圓心角為弧度．
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)記該宣傳牌的面積為，試問(wèn)取何值時(shí)，的值最大 并求出最大值．
【答案】(1)；
(2)當(dāng)時(shí)，y的值最大，最大值為．
(1)根據(jù)題意，弧的長(zhǎng)度為米，弧的長(zhǎng)度米，
，
．
(2)依據(jù)題意，可知，
化簡(jiǎn)得：，，
當(dāng)，．
∴當(dāng)時(shí)，y的值最大，且最大值為．
同類題型演練
1．（2022·江西·南昌十五中高一階段練習(xí)）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在軍事上角的度量還有密位制（Densepositionsystem），密位制的單位是密位.1密位等于圓周角的，即密位.在密位制中，采用四個(gè)數(shù)字來(lái)記一個(gè)角的密位數(shù)，且在百位數(shù)字與十位數(shù)字之間畫(huà)一條短線，例如密位寫(xiě)成，密位寫(xiě)成，設(shè)圓的半徑為，那么密位的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)?密位等于圓周角的
所以密位的圓心角為
又圓的半徑為
所以弧長(zhǎng)
故選：A
2．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一期末）已知一個(gè)扇形的弧所對(duì)的圓心角為40°，半徑，則該扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．
【答案】
【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)扇形的弧所對(duì)的圓心角為40°，所以圓心角的弧度數(shù)為，
所以該扇形的弧長(zhǎng)為.
故答案為：
3．（2022·江西萍鄉(xiāng)·高一期中）東方設(shè)計(jì)中的“白銀比例”是，它的重要程度不亞于西方文化中的“黃金比例”，傳達(dá)出一種獨(dú)特的東方審美觀．折扇的紙面可看作是從一個(gè)大扇形紙面中剪掉一個(gè)小扇形紙面后剩下的圖形（如圖）．設(shè)制作折扇時(shí)剪下的小扇形紙面面積為，折扇紙面面積為，當(dāng)時(shí)，扇面看上去較為美觀，那么剪下的小扇形半徑與原大扇形半徑之比的平方為_(kāi)_______．
【答案】##
【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，小扇形半徑為，大扇形半徑為，
則，即，
，即.
故答案為：.
4．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；
(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角；
(3)若扇形周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】(1)α＝60°＝rad，∴l(xiāng)＝α·R＝×10＝ (cm).
(2)由題意得解得 (舍去)，
故扇形圓心角為.
(3)由已知得，l＋2R＝20.
所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當(dāng)R＝5時(shí)，S取得最大值25，
此時(shí)l＝10，α＝2.
5．（2022·甘肅·蘭州一中高一期末）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為.
（1）若，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；
（2）若扇形的周長(zhǎng)是一定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析
【詳解】(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，則
α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).
(2)扇形周長(zhǎng)C＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝，
∴S扇＝α·R2＝α·
＝·＝·≤.
當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時(shí)，扇形面積有最大值.
1．（2022·北京·人大附中三模）半徑為的圓的邊沿有一點(diǎn)，半徑為的圓的邊沿有一點(diǎn)，、兩點(diǎn)重合后，小圓沿著大圓的邊沿滾動(dòng)，、兩點(diǎn)再次重合小圓滾動(dòng)的圈數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)、兩點(diǎn)再次重合小圓滾動(dòng)的圈數(shù)為，則，其中、，
所以，，則當(dāng)時(shí)，.
故、兩點(diǎn)再次重合小圓滾動(dòng)的圈數(shù)為.
故選：D.
2．（2022·河南·靈寶市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，是奇數(shù)，是整數(shù)，所以．
故選：．
3．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，單位可省去不寫(xiě)，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫(huà)一條短線，如7密位寫(xiě)成“0－07”，478密位寫(xiě)成“4－78”．如果一個(gè)半徑為4的扇形，其圓心角用密位制表示為12－50，則該扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】依題意，該扇形的圓心角為．
又，故所求扇形的面積為
．
故選：A.
4．（2022·廣東·一模）為解決皮尺長(zhǎng)度不夠的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車來(lái)測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點(diǎn)A，前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C，然后推著自行車沿AB直線前進(jìn)（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點(diǎn)B接觸.經(jīng)觀測(cè)，在前進(jìn)過(guò)程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前輪與點(diǎn)B接觸時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離約為（ ）（參考數(shù)值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
【答案】D
【詳解】解：由題意，前輪轉(zhuǎn)動(dòng)了圈，
所以A，B兩點(diǎn)之間的距離約為，
故選：D.

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