資源簡介

5.2.1三角函數的概念（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：利用三角函數的定義求三角函數值
重點題型二：三角函數值符號的運用
重點題型三：已知三角函數值或符號求參數
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：任意角的三角函數定義
1、單位圓定義法：
如圖,設是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點
①正弦函數：把點的縱坐標叫做的正弦函數,記作,即
②余弦函數：把點的橫坐標叫做的余弦函數,記作,即　　　　
③正切函數：把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切,記作,即()
我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數
2、終邊上任意一點定義法：
在角終邊上任取一點，設原點到點的距離為
①正弦函數：
②余弦函數：　　　　
③正切函數：()
知識點二：三角函數值在各象限的符號
,,在各象限的符號如下:（口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”
）
知識點三：特殊的三角函數值
角度
弧度
正弦值
余弦值
正切值
知識點四：誘導公式一
(1)語言表示:終邊相同的角的同一三角函數的值相等.
(2)式子表示:
①
②
③其中.
知識點五：三角函數線
設角的終邊與單位圓相交點；④由點向軸做垂線，垂足為點；⑤由點作單位圓的切線與終邊相交于點。如下圖所示：
在中：
為正弦線，長度為正弦值。
為余弦線，長度為余弦值。
在中：。
為正切線，長度為正切值。
1．（2022·全國·高一課時練習）數學家高斯在19歲時，解決了困擾數學界達千年之久的圓內接正十七邊形的尺規作圖問題，并認為這是他最得意的作品之一.設是圓內接正十七邊形的一個內角，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一課時練習）已知點是角終邊上一點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的終邊經過點，且，則（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．（2022·陜西·寶雞市渭濱中學高一階段練習）已知角的終邊在函數的圖像上，求，的值．
重點題型一：利用三角函數的定義求三角函數值
典型例題
例題1．（2022·黑龍江·大慶市東風中學高一期末）已知角的終邊與單位圓交于點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·甘肅酒泉·高二期末（文））已知角的終邊經過點，則的值等于______．
例題3．（2022·全國·高一課時練習）若角的終邊落在直線上，求和的值.
同類題型演練
1．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．－2
2．（2022·湖南·高一課時練習）已知角的終邊經過點，求的正弦、余弦和正切值．
重點題型二：三角函數值符號的運用
典型例題
例題1．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業考試）若滿足，則的終邊在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例題2．（2022·北京·北師大實驗中學高一期中）若為第四象限角，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例題3．（多選）（2022·全國·高一課時練習）（多選）下列三角函數值中符號為負的是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）已知且，則是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
2．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）已知，則角位于第________象限．
3．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）確定下列各式的符號：______（填“”、“”或“”）.
重點題型三：已知三角函數值或符號求參數
典型例題
例題1．（2022·陜西渭南·高一期末）已知是角終邊上一點，且，則的值是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·遼寧丹東·高一期末）平面直角坐標系中，角的頂點在坐標原點，始邊是軸的非負半軸，終邊經過點，若，則（ ）
A．-2 B． C． D．2
例題3．（2022·全國·高一課時練習）已知角的終邊上有一點，且，則的值為______．
例題4．（2022·湖南·高一課時練習）已知角的終邊上一點的坐標為（其中），求角的正弦、余弦和正切值．
同類題型演練
1．（2022·云南·彌勒市一中高二階段練習）已知角的終邊經過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西萍鄉·高一期末）已知角的終邊過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知角的終邊上有一點，且，則實數m取值為______．
4．（2022·全國·高一課時
練習）已知角的終邊經過點，且，則實數______．
1．（2022·寧夏·銀川一中模擬預測（文））已知點在角的終邊上，且，則角的大小為（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇·常州高級中學模擬預測）已知角的終邊在直線上，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．
3．（2022·河南·模擬預測（文））若角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海青浦·二模）已知角的終邊過點，則的值為_________．
5.2.1三角函數的概念（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：利用三角函數的定義求三角函數值
重點題型二：三角函數值符號的運用
重點題型三：已知三角函數值或符號求參數
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：任意角的三角函數定義
1、單位圓定義法：
如圖,設是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點
①正弦函數：把點的縱坐標叫做的正弦函數,記作,即
②余弦函數：把點的橫坐標叫做的余弦函數,記作,即　　　　
③正切函數：把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切,記作,即()
我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數
2、終邊上任意一點定義法：
在角終邊上任取一點，設原點到點的距離為
①正弦函數：
②余弦函數：　　　　
③正切函數：()
知識點二：三角函數值在各象限的符號
,,在各象限的符號如下:（口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”
）
知識點三：特殊的三角函數值
角度
弧度
正弦值
余弦值
正切值
知識點四：誘導公式一
(1)語言表示:終邊相同的角的同一三角函數的值相等.
(2)式子表示:
①
②
③其中.
知識點五：三角函數線
設角的終邊與單位圓相交點；④由點向軸做垂線，垂足為點；⑤由點作單位圓的切線與終邊相交于點。如下圖所示：
在中：
為正弦線，長度為正弦值。
為余弦線，長度為余弦值。
在中：。
為正切線，長度為正切值。
1．（2022·全國·高一課時練習）數學家高斯在19歲時，解決了困擾數學界達千年之久的圓內接正十七邊形的尺規作圖問題，并認為這是他最得意的作品之一.設是圓內接正十七邊形的一個內角，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】正十七邊形內角和為，故.
因為，所以，故A錯誤.
因為，所以，故，，，故C正確，B，D均錯誤.
故選：C.
2．（2022·全國·高一課時練習）已知點是角終邊上一點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為點是角終邊上一點，所以．
故選: D.
3．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的終邊經過點，且，則（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【詳解】由題意，解得．
故選：C．
4．（2022·陜西·寶雞市渭濱中學高一階段練習）已知角的終邊在函數的圖像上，求，的值．
【答案】，．
【詳解】在函數的圖像上取一點，則，，即，．
重點題型一：利用三角函數的定義求三角函數值
典型例題
例題1．（2022·黑龍江·大慶市東風中學高一期末）已知角的終邊與單位圓交于點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為角的終邊與單位圓交于點，
所以根據三角函數的定義可知，．
故選：C．
例題2．（2022·甘肅酒泉·高二期末（文））已知角的終邊經過點，則的值等于______．
【答案】##
【詳解】因為角的終邊經過點，
所以
，
故答案為：
例題3．（2022·全國·高一課時練習）若角的終邊落在直線上，求和的值.
【答案】若，則；若，則
【詳解】解：角的終邊落在直線上，設終邊上任一點.
若，則；
若，則.
同類題型演練
1．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．－2
【答案】A
【詳解】解：因為角的終邊經過點，
所以.
故選：A.
2．（2022·湖南·高一課時練習）已知角的終邊經過點，求的正弦、余弦和正切值．
【答案】，，
【詳解】解：因為角的終邊經過點，
所以，
，
.
重點題型二：三角函數值符號的運用
典型例題
例題1．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業考試）若滿足，則的終邊在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【詳解】由可知的終邊在第三象限或第四象限，又，則的終邊在第三象限.
故選：C.
例題2．（2022·北京·北師大實驗中學高一期中）若為第四象限角，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【詳解】為第四象限角，依據三角函數定義，則有，
故選：B
例題3．（多選）（2022·全國·高一課時練習）（多選）下列三角函數值中符號為負的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】因為，所以角是第二象限角，所以；因為，角是第二象限角，所以；因為，所以角是第二象限角，所以；；
故選：BCD．
同類題型演練
1．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）已知且，則是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】D
【詳解】，則是第三、四象限的角
，則是第二、四象限的角
∴是第四象限的角
故選：D．
2．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）已知，則角位于第________象限．
【答案】二或三
【詳解】當為第一象限角時，，，；
當為第二象限角時，，，
當為第三象限角時，，，
當為第四象限角時，，，
綜上，若，則位于第二或第三象限
故答案為：二或三
3．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）確定下列各式的符號：______（填“”、“”或“”）.
【答案】
【詳解】因為為第二象限角，為第三象限角，則，，
因此，.
故答案為：.
重點題型三：已知三角函數值或符號求參數
典型例題
例題1．（2022·陜西渭南·高一期末）已知是角終邊上一點，且，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：因為是角終邊上一點，，故點位于第二象限，
所以，，
整理得：，因為，所以.
故選：D.
例題2．（2022·遼寧丹東·高一期末）平面直角坐標系中，角的頂點在坐標原點，始邊是軸的非負半軸，終邊經過點，若，則（ ）
A．-2 B． C． D．2
【答案】B
【詳解】由題意，，解得，
故選：B．
例題3．（2022·全國·高一課時練習）已知角的終邊上有一點，且，則的值為______．
【答案】或0
【詳解】由題意可知，解得或0．
故答案為：或0
例題4．（2022·湖南·高一課時練習）已知角的終邊上一點的坐標為（其中），求角的正弦、余弦和正切值．
【答案】，，
【詳解】角的終邊上一點，則
則，，
同類題型演練
1．（2022·云南·彌勒市一中高二階段練習）已知角的終邊經過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：角的終邊經過點，由，
可得，所以，
所以，，
所以.
故選：A．
2．（2022·江西萍鄉·高一期末）已知角的終邊過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題設，，可得.
故選：B
3．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知角的終邊上有一點，且，則實數m取值為______．
【答案】0或
【詳解】因為角的終邊上有一點，
所以，解得或.
故答案為：0或.
4．（2022·全國·高一課時練習）已知角的終邊經過點，且，則實數______．
【答案】
【詳解】由三角函數的定義可知，解得．
故答案為：
1．（2022·寧夏·銀川一中模擬預測（文））已知點在角的終邊上，且，則角的大小為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】依題意，點在第二象限，又，則，而，
所以.
故選：B
2．（2022·江蘇·常州高級中學模擬預測）已知角的終邊在直線上，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【詳解】由題知：
設角的終邊上一點，則.
當時，，，，
.
當時，，，，
.
故選：C
3．（2022·河南·模擬預測（文））若角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】角的終邊經過點，.
故選：B.
4．（2022·上海青浦·二模）已知角的終邊過點，則的值為_________．
【答案】
【詳解】解：因為角的終邊過點，
所以.
故答案為：-2.

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