資源簡介

5.2.2同角三角函數的基本關系（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：利用同角三角函數的基本關系求值
角度1：已知某個三角函數值,求其余三角函數值
角度2：已知,求關于和的齊次式的值
角度3：利用,與之間的關系求值
重點題型二：應用同角三角函數的基本關系式化簡
重點題型三：與參數有關的三角函數問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：同角三角函數的基本關系
1、平方關系：
2、商數關系:（，）
知識點二：關系式的常用等價變形
1、
2、
1．（2022·福建南平·高二期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建·高二學業考試）已知，且為第一象限角，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陜西漢中·高一期末）若為第二象限角，且，則tan＝___．
4．（2022·全國·高一專題練習）已知角的始邊為軸非負半軸，終邊經過點，則 _____.
5．（2022·上海市新場中學高一期末）已知，則___________.
重點題型一：利用同角三角函數的基本關系求值
角度1：已知某個三角函數值,求其余三角函數值
典型例題
例題1．（2022·遼寧大連·高一期末）若，且為第四象限角，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·浙江·玉環市玉城中學高一階段練習）已知是第二象限角，且，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·江西·貴溪市實驗中學高二期末）已知，且為第一象限角，則_________.
例題4．（2022·廣東韶關·高一期末）已知，，則__________．
同類題型演練
1．（2022·海南·高一期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業考試）已知為第三象限角，且，則__________.
3．（2022·全國·高一課時練習）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
角度2：已知,求關于和的齊次式的值
典型例題
例題1．（2022·浙江·高一階段練習）已知，則___________.
例題2．（2022·福建·莆田第二十五中學高一期末）已知為第二象限角，且．
(1)求與的值；
(2)的值．
例題3．（2022·廣東·高二階段練習）已知，則的值為（ ）
A． B．1 C．0 D．
例題4．（2022·全國·高一課時練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
例題5．（2022·江西·南昌二中高一階段練習）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
同類題型演練
1．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）若，則____
2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二期末（文））已知，則_____________
3．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一階段練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·青海·海南藏族自治州高級中學高一期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
5．（2022·全國·高三專題練習（文））若，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高一課時練習）若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
角度3：利用,與之間的關系求值
典型例題
例題1．（2022·黑龍江·哈九中高一期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·浙江溫州·高二期末）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高一課時練習）已知，則______．
例題4．（2022·山東聊城·高三期末）已知，且，則的值為________.
例題5．（2022·全國·高一課時練習）《周髀算經》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，直角三角形中最小的一個角為，且小正方形與大正方形的面積之比為，則（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·河北省三河市第二中學高一期末）已知，且，則______.
2．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學高一階段練習）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高一）已知，求tanθ的值.
5．（2022·全國·高一課時練習）已知，.求：
(1)；
(2).
6．（2022·陜西·西安市鄠邑區第二中學高一階段練習）已知且（）求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
重點題型二：應用同角三角函數的基本關系式化簡
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知，為第二象限角.
(1)若，求的值；
例題2．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學高一階段練習）（1）已知，其中是第三象限角，化簡
同類題型演練
1．（2022·遼寧·大連二十四中高一期中）已知，.
(1)求的值.
(2)求的值.
(3)求的值.
2．（2022·甘肅·蘭州市第二中學高一期末）已知
（1）求的值；
（2）若是第三象限的角，化簡三角式，并求值.
重點題型三：與參數有關的三角函數問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）若，是關于的方程的兩個根，則的值是（ ）
A． B． C． D．不存在
例題2．（2022·全國·高一）已知，是關于x的一元二次方程的兩根，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
例題3．（多選）（2022·新疆·烏市一中高一期末）若函數在上有零點，則整數的值可以是（　　）
A． B． C．0 D．
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）已知，是關于的方程的兩根，求實數的值．
2．（2022·上海市徐匯中學高一階段練習）若及是關于的方程的兩個實根，求實數的值.
1．（2022·江西萍鄉·三模（文））已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·遼寧實驗中學模擬預測）已知，則_________．
3．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））若，則=______．
4．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））若，則_________．
5．（2022·河北唐山·三模）若，則___________．
5.2.2同角三角函數的基本關系（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：利用同角三角函數的基本關系求值
角度1：已知某個三角函數值,求其余三角函數值
角度2：已知,求關于和的齊次式的值
角度3：利用,與之間的關系求值
重點題型二：應用同角三角函數的基本關系式化簡
重點題型三：與參數有關的三角函數問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：同角三角函數的基本關系
1、平方關系：
2、商數關系:（，）
知識點二：關系式的常用等價變形
1、
2、
1．（2022·福建南平·高二期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
故選：A．
2．（2022·福建·高二學業考試）已知，且為第一象限角，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為為第一象限角，，所以．
故選：A．
3．（2022·陜西漢中·高一期末）若為第二象限角，且，則tan＝___．
【答案】－
【詳解】因為為第二象限角，且，所以，
所以．
故答案為：．
4．（2022·全國·高一專題練習）已知角的始邊為軸非負半軸，終邊經過點，則 _____.
【答案】
【詳解】角的始邊為軸非負半軸，終邊經過點，
則，
故答案為：
5．（2022·上海市新場中學高一期末）已知，則___________.
【答案】##
【詳解】解：因為，所以，解得；
故答案為：
重點題型一：利用同角三角函數的基本關系求值
角度1：已知某個三角函數值,求其余三角函數值
典型例題
例題1．（2022·遼寧大連·高一期末）若，且為第四象限角，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由于，且為第四象限角，
所以，
.
故選：D
例題2．（2022·浙江·玉環市玉城中學高一階段練習）已知是第二象限角，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為是第二象限角，所以，所以.
故選：A.
例題3．（2022·江西·貴溪市實驗中學高二期末）已知，且為第一象限角，則_________.
【答案】##0.8
【詳解】，且為第一象限角,故，由同角平方和為1的關系可得：；
故答案為：
例題4．（2022·廣東韶關·高一期末）已知，，則__________．
【答案】##
【詳解】因為，，
所以．
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·海南·高一期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，則
又，所以．
故選：C
2．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業考試）已知為第三象限角，且，則__________.
【答案】
【詳解】由條件可知，且為第三象限角，
解得：，.
故答案為：
3．（2022·全國·高一課時練習）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，得．又，所以，．結合得，，所以．
故選：B．
角度2：已知,求關于和的齊次式的值
典型例題
例題1．（2022·浙江·高一階段練習）已知，則___________.
【答案】
【詳解】，
將原式分子與分母同除以，則
故答案為：．
例題2．（2022·福建·莆田第二十五中學高一期末）已知為第二象限角，且．
(1)求與的值；
(2)的值．
【答案】(1)，；(2).
(1)∵
∴，
∴，
∵為第二象限角，
故，
故；
(2).
例題3．（2022·廣東·高二階段練習）已知，則的值為（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】C
【詳解】由題：.
故選：C
例題4．（2022·全國·高一課時練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由可得，
解得：，
故選：C.
例題5．（2022·江西·南昌二中高一階段練習）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：
，
解得：
(2)解：
同類題型演練
1．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）若，則____
【答案】##0.25
【詳解】，
故答案為：.
2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二期末（文））已知，則_____________
【答案】
【詳解】
故答案為：
3．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一階段練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題得，
所以.
故選：C
4．（2022·青海·海南藏族自治州高級中學高一期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：.
(2)解：
5．（2022·全國·高三專題練習（文））若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：
＝＝＝1.
故選：D
6．（2022·全國·高一課時練習）若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，
由同角三角函數基本關系可得，
解得：，
所以，
故選：B．
角度3：利用,與之間的關系求值
典型例題
例題1．（2022·黑龍江·哈九中高一期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
解得：.
故選：A
例題2．（2022·浙江溫州·高二期末）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，，，，，
，所以.
故選：C
例題3．（2022·全國·高一課時練習）已知，則______．
【答案】
【詳解】因為，平方得，所以，
所以．
故答案為：
例題4．（2022·山東聊城·高三期末）已知，且，則的值為________.
【答案】
【詳解】
，，
又，所以，所以，
，
故答案為：
例題5．（2022·全國·高一課時練習）《周髀算經》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，直角三角形中最小的一個角為，且小正方形與大正方形的面積之比為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設大正方形的邊長為a，則小正方形的邊長為，
故，故，即，解得或.
因為，則，故.
故選：A
同類題型演練
1．（2022·河北省三河市第二中學高一期末）已知，且，則______.
【答案】
【詳解】由題意，，
因為，所以，則，所以.
故答案為：.
2．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，則，
故
又，故
故選：A
3．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學高一階段練習）已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，則，
因為，所以，，
因此，.
故選：C.
4．（2022·全國·高一）已知，求tanθ的值.
【答案】
【詳解】將已知等式兩邊平方，得
解方程組 得
5．（2022·全國·高一課時練習）已知，.求：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2).
（1）∵，
∴，即，則，
∴，
而，故，，
∴，則.
（2）.
6．（2022·陜西·西安市鄠邑區第二中學高一階段練習）已知且（）求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【詳解】（Ⅰ）因為，，
所以，
即
所以
（Ⅱ）由上知，為第二象限的角，
所以，
所以，
所以
重點題型二：應用同角三角函數的基本關系式化簡
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）已知，為第二象限角.
(1)若，求的值；
【答案】(1)
（1）為第二象限角，則.
.
∵，∴.
∴.
例題2．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學高一階段練習）（1）已知，其中是第三象限角，化簡
【答案】（1）；
【詳解】（1）是第三象限角，
，，，
∴
同類題型演練
1．（2022·遼寧·大連二十四中高一期中）已知，.
(1)求的值.
(2)求的值.
(3)求的值.
【答案】(1)(2)(3)
(1)解：因為，
所以，
所以；
(2)解：因為，，
所以，
所以；
(3)解：由（2）得，
則
2．（2022·甘肅·蘭州市第二中學高一期末）已知
（1）求的值；
（2）若是第三象限的角，化簡三角式，并求值.
【答案】（1）；（2）.
試題解析：（1）∵　　　∴ 2分
解之得 4分
（2）∵是第三象限的角
∴= 6分
=
== 10分
由第（1）問可知：原式＝＝ 12分
重點題型三：與參數有關的三角函數問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）若，是關于的方程的兩個根，則的值是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【詳解】若方程有實根，
則
或，
若、是關于的方程的兩個實根，
則，
則
即，（舍去）
故選：．
例題2．（2022·全國·高一）已知，是關于x的一元二次方程的兩根，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)(2)(3)
(1)因為，是關于x的一元二次方程的兩根，
所以
(2)因為，是關于x的一元二次方程的兩根，
所以，，且，
所以，
所以，得，滿足，
所以
(3)由（2）可得，，
因為，所以，所以，
所以
例題3．（多選）（2022·新疆·烏市一中高一期末）若函數在上有零點，則整數的值可以是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】BCD
【詳解】在上有零點，即在上有解，
設，，
，則，，，
所以，即，BCD均可以．
故選：BCD．
同類題型演練
1．（2022·湖南·高一課時練習）已知，是關于的方程的兩根，求實數的值．
【答案】
【詳解】，是關于的方程的兩根
則，且
由，可得，則
經檢驗符合題意，則所求實數的值為
.
2．（2022·上海市徐匯中學高一階段練習）若及是關于的方程的兩個實根，求實數的值.
【答案】
【詳解】解：，是關于的方程的兩個實根，
，，
，
，即，
整理得：，
解得或，
方程有實數根，
，即或，
則的值為．
1．（2022·江西萍鄉·三模（文））已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，
又，所以，
故選：A.
2．（2022·遼寧實驗中學模擬預測）已知，則_________．
【答案】##
【詳解】
．
故答案為：．
3．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））若，則=______．
【答案】#
【詳解】因為，可得.
故答案為：#.
4．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））若，則_________．
【答案】##0.75
【詳解】因為，
則．
故答案為：．
5．（2022·河北唐山·三模）若，則___________．
【答案】4
【詳解】因為，兩邊同時平方得，即，所以，
因此，
故答案為：4.

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