資源簡介

5.3誘導公式（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：給角求值問題
重點題型二：給值(式)求值問題
重點題型三：三角函數的化簡求值問題
重點題型四：利用誘導公式證明三角恒等式
重點題型五：誘導公式在三角形中的應用
重點題型六：誘導公式與同角函數基本關系的應用
知識點一：公式二
知識點二：公式三
知識點三：公式四
知識點四：公式五
知識點五：公式六
知識點六：公式七
知識點七：
1．（2022·貴州黔東南·高一期末）的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南駐馬店·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京師大附中高一期中）化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陜西·咸陽市教育局高二期末（文））已知對任意，都有，則的一個取值為：______．
5．（2022·全國·高一課時練習）已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點，則的值為______．
重點題型一：給角求值問題
典型例題
例題1．（2022·廣西桂林·高一期末）（ ）
A．1 B． C． D．
例題2．（2022·四川巴中·高一期末（理））的值為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·廣東韶關·高一期末）已知角的終邊過點，則（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·江西·南昌二中高一階段練習）的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京市第一六一中學高一期中） 的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津南開·高二學業考試）的值為（ ）．
A． B．0 C．1 D．不存在
重點題型二：給值(式)求值問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·模擬預測（理））已知 ，，則cos()=（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·北京市第九中學高一期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學二模）已知，則的值為______．
同類題型演練
1．（2022·遼寧實驗中學高一期中）若，則=（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·內蒙古·開魯縣第一中學高一期中）已知，（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川省南充市白塔中學高一階段練習（文））若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海市青浦高級中學高一期末）已知，則的值是___________.
重點題型三：三角函數的化簡求值問題
典型例題
例題1．（2022·遼寧·大連市第一中學高一期中）化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·江蘇省如皋中學高一期末）的值為__________．
例題3．（2022·江蘇·高一課時練習）化簡：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）化簡．
2．（2022·全國·高一課時練習）化簡下列各式：
(1)；
(2)（其中是第二象限角）.
3．（2022·上?！じ咭徽n時練習）已知為第二象限角，化簡.
重點題型四：利用誘導公式證明三角恒等式
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）求證：＝．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）（1）求證：；
（2）設，求證.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）證明：，．
重點題型五：誘導公式在三角形中的應用
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）在中，試判斷下列關系式是否恒成立，并說明理由．
(1)；
(2)；
(3)．
例題2．（2022·云南省楚雄天人中學高一階段練習）已知角為的一個內角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）已知A，B，C為的三個內角，求證：
(1)；
(2)．
2．（2022·全國·高一課時練習）在銳角三角形ABC中,已知,求的值.
重點題型六：誘導公式與同角函數基本關系的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一學業考試）已知，則______．
例題2．（2022·天津市武清區楊村第一中學高一階段練習）已知是第四象限角，且，則___________.
例題3．（2022·湖南·長沙麓山國際實驗學校高一開學考試）已知，且.
(1)求的值；
(2)求'的值.
例題4．（2022·四川·成都外國語學校高一開學考試）已知，求下列各式的值．
(1)
(2)
同類題型演練
1．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點.
(1)求的值；
(2)求的值.
2．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的終邊經過點.
(1)求的值；
(2)求的值.
3．（2022·廣西·桂林市奎光學校高一期末）已知點是角終邊上的一點，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
4．（2022·廣西梧州·高一期末）已知，且為第二象限角．
(1)求 的值；
(2)求的值．
5．（2022·北京·北理工附中高一階段練習）在平面直角坐標系中，角的始邊為x軸的非負半軸，終邊經過點，求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
5.3誘導公式（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：給角求值問題
重點題型二：給值(式)求值問題
重點題型三：三角函數的化簡求值問題
重點題型四：利用誘導公式證明三角恒等式
重點題型五：誘導公式在三角形中的應用
重點題型六：誘導公式與同角函數基本關系的應用
知識點一：公式二
知識點二：公式三
知識點三：公式四
知識點四：公式五
知識點五：公式六
知識點六：公式七
知識點七：
1．（2022·貴州黔東南·高一期末）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】.
故選:C.
2．（2022·河南駐馬店·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】.
故選：B.
3．（2022·北京師大附中高一期中）化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】.
故選：D
4．（2022·陜西·咸陽市教育局高二期末（文））已知對任意，都有，則的一個取值為：______．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】由誘導公式知，，故的一個取值為.
故答案為：（答案不唯一）.
5．（2022·全國·高一課時練習）已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點，則的值為______．
【答案】8
【詳解】由題意，知，
則原式．
故答案為:.
重點題型一：給角求值問題
典型例題
例題1．（2022·廣西桂林·高一期末）（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【詳解】，
故選：D
例題2．（2022·四川巴中·高一期末（理））的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：.
故選：C.
例題3．（2022·廣東韶關·高一期末）已知角的終邊過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題可知，
故選:B．
同類題型演練
1．（2022·江西·南昌二中高一階段練習）的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】.
故選：B
2．（2022·北京市第一六一中學高一期中） 的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
故選：B
3．（2022·天津南開·高二學業考試）的值為（ ）．
A． B．0 C．1 D．不存在
【答案】B
【詳解】解：
故選：B
重點題型二：給值(式)求值問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】∵，
∴，
∴.
故選：A.
例題2．（2022·全國·模擬預測（理））已知 ，，則cos()=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，，
，
故選：A
例題3．（2022·北京市第九中學高一期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】.
故選：C.
例題4．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學二模）已知，則的值為______．
【答案】
【詳解】解：因為，
所以，
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·遼寧實驗中學高一期中）若，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】.
故選：C.
2．（2022·內蒙古·開魯縣第一中學高一期中）已知，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，．
故選：C.
3．（2022·四川省南充市白塔中學高一階段練習（文））若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：因為，
所以；
故選：A
4．（2022·上海市青浦高級中學高一期末）已知，則的值是___________.
【答案】##0.6
【詳解】因為，
故，
故答案為：
重點題型三：三角函數的化簡求值問題
典型例題
例題1．（2022·遼寧·大連市第一中學高一期中）化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：，
，
，
，
故選：C
例題2．（2022·江蘇省如皋中學高一期末）的值為__________．
【答案】1
【詳解】原式＝．
故答案為：1．
例題3．（2022·江蘇·高一課時練習）化簡：.
【答案】1
【詳解】，
，
.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）化簡．
【答案】
【詳解】原式
．
2．（2022·全國·高一課時練習）化簡下列各式：
(1)；
(2)（其中是第二象限角）.
【答案】(1)；(2).
(1)解：.
(2)解：為第二象限角，則，，
則.
3．（2022·上?！じ咭徽n時練習）已知為第二象限角，化簡.
【答案】
【詳解】解：因為為第二象限角，所以，.
.
故答案為：.
重點題型四：利用誘導公式證明三角恒等式
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）求證：＝．
【答案】證明見解析
【詳解】左邊
.
右邊.
∴左邊＝右邊，故原等式成立．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）（1）求證：；
（2）設，求證.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【詳解】（1）左邊= =右邊，所以原等式成立.
（2）方法1：左邊= ===右邊，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左邊= ===右邊，等式成立.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）證明：，．
【答案】證明見解析
【詳解】證明：當n為偶數時，令，，
左邊．
右邊，∴左邊=右邊．
當n為奇數時，令，，
左邊
．
右邊，∴左邊=右邊．
綜上所述，，成立．
重點題型五：誘導公式在三角形中的應用
典型例題
例題1．（2022·湖南·高一課時練習）在中，試判斷下列關系式是否恒成立，并說明理由．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)不成立(2)成立(3)成立
(1)解：在中，，所以，所以，故不成立；
(2)解：在中，，所以，所以，故成立；
(3)解：在中，，所以，所以，故成立；
例題2．（2022·云南省楚雄天人中學高一階段練習）已知角為的一個內角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）-.
【詳解】（1）取角A終邊上一點，
,
為鈍角,令，
則，
所以；
（2），
=，
=-
同類題型演練
1．（2022·全國·高一課時練習）已知A，B，C為的三個內角，求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
（1）在中，，則.
又∵
∴
（2）在中，，則.
∴，
∴．
2．（2022·全國·高一課時練習）在銳角三角形ABC中,已知,求的值.
【答案】
【詳解】
.
在銳角三角形中,∵,∴.
又,∴.
∴原式.
重點題型六：誘導公式與同角函數基本關系的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一學業考試）已知，則______．
【答案】##0.75
【詳解】解：由題意得：
∵，
∴．
故答案為：
例題2．（2022·天津市武清區楊村第一中學高一階段練習）已知是第四象限角，且，則___________.
【答案】
【詳解】由題設，，
.
故答案為：
例題3．（2022·湖南·長沙麓山國際實驗學校高一開學考試）已知，且.
(1)求的值；
(2)求'的值.
【答案】(1)(2)
(1)因為，故，即，且，則為第三象限角，故，因此，.
(2)原式.
例題4．（2022·四川·成都外國語學校高一開學考試）已知，求下列各式的值．
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
(1)，則，得
而
(2)由誘導公式化簡得：
同類題型演練
1．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：∵角的終邊經過點，
∴，，
∴.
(2)解：由（1）知：，，
∴，
∴
.
2．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的終邊經過點.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：由三角函數的定義可得.
(2)解：.
3．（2022·廣西·桂林市奎光學校高一期末）已知點是角終邊上的一點，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因為點是角終邊上的一點，且，
所以且，解得，
即，所以；
(2)解：
4．（2022·廣西梧州·高一期末）已知，且為第二象限角．
(1)求 的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：由，得．
因為為第二象限角，
所以，
故．
(2)解：
5．（2022·北京·北理工附中高一階段練習）在平面直角坐標系中，角的始邊為x軸的非負半軸，終邊經過點，求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)(2)(3)
(1)由任意角三角函數的定義可得：，
(2)
(3)

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