資源簡介

5.4.1正弦函數、余弦函數的圖象（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：用“五點法”作三角函數的圖象
重點題型二：利用圖象解三角不等式
重點題型三：利用圖象求方程的解或函數零點的個數問題
知識點一：正弦函數的圖象
正弦函數,的圖象叫做正弦曲線.
知識點二：正弦函數圖象的畫法
(1)幾何法:
①在單位圓上,將點繞著點旋轉弧度至點,根據正弦函數的定義,點的縱坐標.由此,以為橫坐標,為縱坐標畫點,即得到函數圖象上的點.
②將函數,的圖象不斷向左、向右平行移動(每次移動個單位長度).
(2)“五點法”:
在函數,的圖象上,以下五個點:
，，，，
在確定圖象形狀時起關鍵作用.描出這五個點,函數,的圖象形狀就基本確定了.因此,在精確度要求不高時,常先找出這五個關鍵點,再用光滑的曲線將它們連接起來,得到正弦函數的簡圖.
知識點三：余弦函數的圖象
余弦函數,的圖象叫做余弦曲線.
知識點四：余弦函數圖象的畫法
(1)要得到,的圖象,只需把,的圖象向左平移個單位長度即可,這是因為.
(2)用“五點法”:畫余弦函數在上的圖象時,所取的五個關鍵點分別為，，，，再用光滑的曲線連接起來.
1．（2022·全國·高一課時練習）函數，的圖像與直線的交點的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·陜西·寶雞市金臺區教育體育局教研室高一期末）用“五點法”畫在一個周期內的簡圖時，所描的五個點分別是，，，，_______．
3．（2022·上海市進才中學高一期中）函數的定義域為______.
4．（2022·北京房山·高一期中）若，且，則的取值范圍是_____．
5．（2022·全國·高一課時練習）函數的圖象與的圖象( )
A．關于x軸對稱 B．關于原點對稱
C．關于原點和x軸對稱 D．關于y軸對稱
重點題型一：用“五點法”作三角函數的圖象
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）設，函數的最小正周期為，且．
(1)求和的值；
(2)在給定坐標系中作出函數在上的圖像；
(3)若，求的取值范圍．
例題2．（2022·全國·高一）已知函數．
(1)用五點法畫出函數的大致圖像，并寫出的最小正周期；
例題3．（2022·安徽·碭山中學高一期中）已知函數．
(1)用“五點（畫圖）法”作出在的簡圖；
同類題型演練
1．（2022·廣東·佛山市順德區樂從中學高一期中）設函數（）的最小正周期為，且
(1)求和的值；
(2)填下表并在給定坐標系中作出函數在上的圖象；
x
2．（2022·湖南·高一課時練習）作出下列函數在一個周期圖象的簡圖：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
重點題型二：利用圖象解三角不等式
典型例題
例題1．（2022·寧夏·銀川一中高一期中）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·陜西省安康中學高一期末）函數的定義域為_______________．
例題3．（2022·上海閔行·高一期中）函數的定義域為___________.
同類題型演練
1．（2022·江西撫州·高一期末）函數的定義域為___________.
2．（2022·北京市育英中學高一期中）設，則使成立的的取值范圍是__________．
3．（2022·全國·高三專題練習）函數的定義域為___________.
4．（2022·北京外國語大學附屬上海閔行田園高級中學高一期中）函數 的定義域是 .
重點題型三：利用圖象求方程的解或函數零點的個數問題
典型例題
例題1．（2022·上海市建平中學高一期中）若存在區間使得函數在此區間上僅有兩個零點，則的取值范圍是_____________．
例題2．（2022·北京·高一期末）已知函數.
(1)請用五點法做出一個周期內的圖像；
(2)若函數在區間上有兩個零點，請寫出的取值范圍，無需說明理由.
例題3．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學高一期末）函數與函數圖像的交點個數是（ ）個
A．5 B．4 C．3 D．2
例題4．（2022·全國·高一課時練習）已知函數
（1）作出該函數的圖象；
（2）若，求的值；
（3）若，討論方程的解的個數．
例題5．（2022·江西上饒·高一階段練習）已知函數，有三個不同的零點，且，則（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·北京平谷·高一期末）已知關于的方程在內有解，那么實數的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南·雅禮中學高二期末）已知函數在區間上有零點，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西撫州·高一期中）設函數 .
(1)求函數 的定義域;
(2)求不等式 的解集.
4．（2022·海南華僑中學高一期末）已知函數.
(1)用“五點法”做出函數在上的簡圖；
(2)若方程在上有兩個實根，求a的取值范圍.
5.4.1正弦函數、余弦函數的圖象（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：用“五點法”作三角函數的圖象
重點題型二：利用圖象解三角不等式
重點題型三：利用圖象求方程的解或函數零點的個數問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：正弦函數的圖象
正弦函數,的圖象叫做正弦曲線.
知識點二：正弦函數圖象的畫法
(1)幾何法:
①在單位圓上,將點繞著點旋轉弧度至點,根據正弦函數的定義,點的縱坐標.由此,以為橫坐標,為縱坐標畫點,即得到函數圖象上的點.
②將函數,的圖象不斷向左、向右平行移動(每次移動個單位長度).
(2)“五點法”:
在函數,的圖象上,以下五個點:
，，，，
在確定圖象形狀時起關鍵作用.描出這五個點,函數,的圖象形狀就基本確定了.因此,在精確度要求不高時,常先找出這五個關鍵點,再用光滑的曲線將它們連接起來,得到正弦函數的簡圖.
知識點三：余弦函數的圖象
余弦函數,的圖象叫做余弦曲線.
知識點四：余弦函數圖象的畫法
(1)要得到,的圖象,只需把,的圖象向左平移個單位長度即可,這是因為.
(2)用“五點法”:畫余弦函數在上的圖象時,所取的五個關鍵點分別為，，，，再用光滑的曲線連接起來.
1．（2022·全國·高一課時練習）函數，的圖像與直線的交點的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【詳解】
在同一平面直角坐標系內，先畫函數，的圖像，再畫直線，可知所求交點的個數為2．
故選：C．
2．（2022·陜西·寶雞市金臺區教育體育局教研室高一期末）用“五點法”畫在一個周期內的簡圖時，所描的五個點分別是，，，，_______．
【答案】.
【詳解】用“五點法”畫在一個周期內的簡圖時，
分別令，當，可得，此時，
所以五個點分別為，，，，.
故答案為：.
3．（2022·上海市進才中學高一期中）函數的定義域為______.
【答案】，
【詳解】由題意得：，即，
所以.
故答案為：，
4．（2022·北京房山·高一期中）若，且，則的取值范圍是_____．
【答案】
【詳解】由余弦函數的性質知：，可得.
故答案為：
5．（2022·全國·高一課時練習）函數的圖象與的圖象( )
A．關于x軸對稱 B．關于原點對稱
C．關于原點和x軸對稱 D．關于y軸對稱
【答案】A
【詳解】函數的圖象與的圖象關于x軸對稱，
故B、C、D錯誤，A正確
故選;A
重點題型一：用“五點法”作三角函數的圖象
典型例題
例題1．（2022·全國·高一單元測試）設，函數的最小正周期為，且．
(1)求和的值；
(2)在給定坐標系中作出函數在上的圖像；
(3)若，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)作圖見解析
(3)
（1）∵函數的最小正周期，∴．
∵，
且，∴．
（2）由（1）知，列表如下：
0
0
1 0 －1 0

在上的圖像如圖所示：
（3）∵，即，
∴，
則，
即．
∴的取值范圍是
例題2．（2022·全國·高一）已知函數．
(1)用五點法畫出函數的大致圖像，并寫出的最小正周期；
【答案】(1)圖象見解析，；
解：因為，
列表如下：
0
0 2 0 0
函數圖象如下：
函數的最小正周期．
例題3．（2022·安徽·碭山中學高一期中）已知函數．
(1)用“五點（畫圖）法”作出在的簡圖；
【答案】(1)作圖見解析
(1)列表如下：
0
0
0 2 0
對應的圖象如圖：
同類題型演練
1．（2022·廣東·佛山市順德區樂從中學高一期中）設函數（）的最小正周期為，且
(1)求和的值；
(2)填下表并在給定坐標系中作出函數在上的圖象；
x
【答案】(1)，；
(2)見解析
(1)由題意知：，解得，又，又，解得.
(2)由（1）知：，列表如下
x
1 0 0
圖像如圖：
.
2．（2022·湖南·高一課時練習）作出下列函數在一個周期圖象的簡圖：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)函數圖象見解析
(2)函數圖象見解析
(3)函數圖象見解析
(4)函數圖象見解析
(1)解：因為，取值列表：
0
0 0 0
描點連線，可得函數圖象如圖示：
(2)解：因為，取值列表：
0
0 2 0 0
描點連線，可得函數圖象如圖示：
(3)解：因為，取值列表：
0
1 3 1 1
描點連線，可得函數圖象如圖示：
(4)解：因為，取值列表：
0
2 0 2
描點連線，可得函數圖象如圖示：
重點題型二：利用圖象解三角不等式
典型例題
例題1．（2022·寧夏·銀川一中高一期中）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由，可得，則
則函數的定義域為
故選：C
例題2．（2022·陜西省安康中學高一期末）函數的定義域為_______________．
【答案】
【詳解】對于函數，有，
即，解得，
因此，函數的定義域為.
故答案為：.
例題3．（2022·上海閔行·高一期中）函數的定義域為___________.
【答案】
【詳解】依題意，，即，解得，
所以所求定義域為.
故答案為：
同類題型演練
1．（2022·江西撫州·高一期末）函數的定義域為___________.
【答案】
【詳解】由題意，.
故答案為：.
2．（2022·北京市育英中學高一期中）設，則使成立的的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】由正弦函數的圖象與性質可知，時，當，，
故答案為：
3．（2022·全國·高三專題練習）函數的定義域為___________.
【答案】
【詳解】由題意得：，解得.
故答案為：.
4．（2022·北京外國語大學附屬上海閔行田園高級中學高一期中）函數 的定義域是 .
【答案】
【詳解】解：由函數 ，
則，即，
解得，
所以函數的定義域是，
故答案為：
重點題型三：利用圖象求方程的解或函數零點的個數問題
典型例題
例題1．（2022·上海市建平中學高一期中）若存在區間使得函數在此區間上僅有兩個零點，則的取值范圍是_____________．
【答案】
【詳解】由得，所以或，
當，；
當，
因為在區間上函數僅有兩個零點，
所以
故答案為：
例題2．（2022·北京·高一期末）已知函數.
(1)請用五點法做出一個周期內的圖像；
(2)若函數在區間上有兩個零點，請寫出的取值范圍，無需說明理由.
【答案】(1)答案見解析
(2)
（1）列表
0
0 1 0 0
（2）的取值范圍是.
例題3．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學高一期末）函數與函數圖像的交點個數是（ ）個
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【詳解】畫出和的函數圖象，因為，，結合圖象可得函數與函數圖像的交點個數是5個.
故選：A.
例題4．（2022·全國·高一課時練習）已知函數
（1）作出該函數的圖象；
（2）若，求的值；
（3）若，討論方程的解的個數．
【答案】（1）圖見解析；（2）或或；（3）當或時，解的個數為0；當或時，解的個數為1；當時，解的個數為3．
【詳解】（1）的函數圖象如下：
（2）當時，，解得，
當時，，解得或，
綜上，或或；
（3）方程的解的個數等價于與的圖象的交點個數，
則由（1）中函數圖象可得，
當或時，解的個數為0；
當或時，解的個數為1；
當時，解的個數為3．
例題5．（2022·江西上饒·高一階段練習）已知函數，有三個不同的零點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意知，令，得，
令，，則，可得或，解得或，
令，可得，解得，
畫出函數在區間內的圖像以及函數的圖像如下圖所示，
由圖可知，關于直線對稱，關于直線對稱，
所以.
故選：B.
同類題型演練
1．（2022·北京平谷·高一期末）已知關于的方程在內有解，那么實數的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】方程在內有解，即在內有解，
令，，則，
所以，解得.
故選：C.
2．（2022·湖南·雅禮中學高二期末）已知函數在區間上有零點，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：令，即，令，
因為，所以，所以，即，
依題意與在上有交點，則，所以，即；
故選：D
3．（2022·江西撫州·高一期中）設函數 .
(1)求函數 的定義域;
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)
(1)解：函數，
所以，，解得，；
故函數的定義域為．
(2)解：因為，，則，，
解得，，
故原不等式的解集為，
4．（2022·海南華僑中學高一期末）已知函數.
(1)用“五點法”做出函數在上的簡圖；
(2)若方程在上有兩個實根，求a的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(1)解：列表：
x 0
1 1 3 1
作圖：
(2)
解：若方程在上有兩個實根，
則與在上有兩個不同的交點，
因為，所以
作出函數在的圖象，如下圖所示：
又，，，，
由圖象可得，或，
故a的取值范圍是.

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