資源簡介

5.4.2正弦函數、余弦函數的性質（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：三角函數的周期問題及簡單應用
重點題型二：三角函數的奇偶性及其應用
重點題型三：函數奇偶性與周期性、單調性的綜合問題
重點題型四：求三角函數的單調區間
重點題型五：單調性在三角函數中的應用
角度1：利用單調性比較三角函數值的大小
角度2：已知三角函數的單調情況求參數問題
重點題型六：三角函數的對稱性
重點題型七：正弦函數、余弦函數的最大(小)值問題
角度1：利用三角函數的有界性和單調性求值域或最大(小)值
角度2：換元法求值域或最大(小)值(可化為一元二次函數型）
角度3：分式型求值域或最大(小)值
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數的周期性
1.周期函數的定義
一般地,設函數的定義域為,如果存在一個非零常數,使得對每一個,都有,且,那么函數就叫做周期函數.非零常數叫做這個函數的周期.
2.最小正周期的定義
如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫做的最小正周期.
知識點二：正弦函數、余弦函數的周期性和奇偶性
函數 奇偶性
奇函數
偶函數
當時，為奇函數； 當時，為偶函數；
當時，為奇函數； 當時，為偶函數；
知識點三：正弦、余弦型函數的常用周期
函數 最小正周期
或（）
或
或（）
無周期
知識點四：正弦函數、余弦函數的圖象和性質
函數
圖象 定義域
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數
單調性 在每一個閉區間()上都單調遞增;在每一個閉區間(上都單調遞減 在每一個閉區間 ()上都單調遞增;在每一個閉區間()上都單調遞減
最值 當()時，; 當()時，; 當()時，; 當()時，;
圖象的對稱性 對稱中心為(), 對稱軸為直線() 對稱中心為(), 對稱軸為直線()
1．（2022·全國·高一課時練習）函數的最小正周期是（ ）
A． B． C．4 D．6
2．（2022·全國·高一課時練習）函數的值域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·內蒙古·滿洲里市第一中學高一期末）函數的圖象的一個對稱軸方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·云南紅河·高二期末）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全國·高一單元測試）寫出一個同時具有性質①；②的函數______（注：不是常數函數）．
重點題型一：三角函數的周期問題及簡單應用
典型例題
例題1．（2022·北京市第三十五中學高一階段練習）下列函數中，最小正周期為的是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·天津市求真高級中學高二期末）函數的最小正周期為，則的值為（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
例題3①；②；③；④．
其中最小正周期為的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
例題4．（2022·貴州銅仁·高二期末（文））函數的最小正周期為，則______________．
同類題型演練
1．（2022·廣東珠海·高一期末）下列函數最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陜西渭南·高一期末）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
3．（多選）（2022·全國·高一課時練習）下列函數中最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南南陽·高一期末）已知函數的最小正周期16，則=___________.
5．（2022·遼寧·高一期末）的最小正周期為___________.
重點題型二：三角函數的奇偶性及其應用
典型例題
例題1．（2022·北京市海淀區教師進修學校高一階段練習）若函數是奇函數，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高一）已知函數（為常數）為奇函數，那么（ ）
A． B．0 C．1 D．
例題3．（2022·江西·高一階段練習）下列函數中，既不是奇函數也不是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·河南焦作·高一期中）已知函數（，為常實數），且，則______．
同類題型演練
1．（2022·北京市第三十五中學高一期中）為偶函數，則___________.（寫出一個值即可）
2．（2022·全國·高三專題練習）若函數為偶函數，則的一個值為________.（寫出一個即可）
3．（2022·江西上饒·高一階段練習）函數的圖象關于原點對稱，則的最大負值為______．
重點題型三：函數奇偶性與周期性、單調性的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·陜西漢中·高一期末）下列四個函數中，在區間上單調遞增，且最小正周期為的是（ ）
例題2．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）以下四個函數中，在上為減函數，且以為周期的偶函數為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（多選）（2022·廣東廣州·高二期中）下列函數中最小正周期為，且為偶函數的是（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（多選）（2022·江蘇省響水中學高二開學考試）下列四個函數以為最小正周期，且在區間上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·黑龍江·大慶中學高一期末）下列四個函數中，以為最小正周期，且在區間上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京市西城外國語學校高一期中）下列函數中，周期為π且在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山西運城·高一期末）下列函數中，同時滿足：①在上是增函數，②為奇函數，③最小正周期為的函數是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·寧夏·銀川二中高一期末）下列四個函數中，以為最小正周期，且在區間上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
5．（多選）（2022·甘肅慶陽·高一期末）下列函數中，既是奇函數又在上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
重點題型四：求三角函數的單調區間
典型例題
例題1．（2022·陜西·寶雞市渭濱區教研室高一期末）函數的單調減區間是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·全國·高一專題練習）函數的一個單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·陜西西安·高一期末）已知函數.
(1)求函數的單調遞增區間；
例題4．（2022·陜西·榆林市第十中學高一期末）已知函數.
(1)求函數的單調遞減區間；
同類題型演練
1．（2022·廣西桂林·高一期末）函數的單調增區間為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二學業考試）已知函數．
(1)求函數的最小正周期；
(2)求函數的單調遞減區間；
3．（2022·上海奉賢區致遠高級中學高一期末）已知函數，.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期；
(3)求的單調減區間.
重點題型五：單調性在三角函數中的應用
角度1：利用單調性比較三角函數值的大小
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）若，則（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，．
同類題型演練
1．（2022·北京·人大附中高一階段練習）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陜西·西安市臨潼區鐵路中學高一階段練習）下列不等式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多選）（2022·福建福州·高一期末）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
角度2：已知三角函數的單調情況求參數問題
典型例題
例題1．（2022·遼寧營口·高一期末）函數在上單調遞增，則取值范圍為_____
例題2．（2022·貴州貴陽·模擬預測（文））若在區間上單調遞增，則實數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高一專題練習）設，若在上為增函數，則的取值范圍是___．
例題4．（2022·浙江·高三開學考試）已知函數的圖象關于點對稱，且在區間上是單調函數，則的值不可能是（ ）
A． B．4 C． D．
例題5．（2022·全國·高一專題練習）已知函數在區間上單調遞減，則的取值范圍為________.
同類題型演練
1．（2022·廣東·江門市培英高級中學高一期中）若在區間上單調遞增，則實數a的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一單元測試）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為_________．
3．（2022·全國·高一專題練習）已知函數 在 上單調遞增，則的最大值是____.
4．（2022·北京·人大附中高一期末）若已知，函數在上單調遞增，則的取值范圍是______．
重點題型六：三角函數的對稱性
典型例題
例題1．（2022·重慶·三模）函數的圖象的一條對稱軸為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·陜西·長安一中高二期末（文））若是函數圖象的對稱軸，則的最小正周期的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·陜西西安·二模（文））如果函數的圖象關于點對稱，那么的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（2022·全國·高一專題練習）已知函數圖象關于直線對稱，則函數在區間上零點的個數為_______.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，則下列點的坐標為的對稱中心的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）（2022·江蘇省如皋中學高一期末）下列函數以為對稱中心的有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全國·高一課時練習）函數圖象的一條對稱軸是直線，則可以為___________.（寫出一個符合題意的值即可）
4．（2022·新疆·三模（文））已知函數的圖像關于直線對稱，則__________．
5．（2022·上海·格致中學高一階段練習）函數的圖像關于點成中心對稱，則的最小正值為___________.
重點題型七：正弦函數、余弦函數的最大(小)值問題
角度1：利用三角函數的有界性和單調性求值域或最大(小)值
典型例題
例題1．（2022·陜西省商洛中學高一期末）函數的最小正周期與最小值分別為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·北京西城·高一期末）函數，的最大值和最小值分別為（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
例題3．（2022·全國·高一課時練習）若函數在處取得最小值3，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·上海市寶山中學高一期中）函數的值域為________.
例題5．（2022·陜西·榆林市第十中學高一期中）設函數的最小正周期為，且.
(1)求的表達式；
(2)若，求的取值范圍.
同類題型演練
1．（2022·貴州·高二學業考試）函數的最大值是___．
2．（2022·天津河東·高二學業考試）函數的最大值是_________.
3．（2022·陜西·榆林市第十中學高一階段練習）函數的值域是___________.
4．（2022·廣東茂名·高一期末）已知函數，.
(1)求的最小正周期及單調增區間；
(2)求在區間的值域.
角度2：換元法求值域或最大(小)值(可化為一元二次函數型）
典型例題
例題1．（2022·安徽·高一期中）函數（）的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
例題2．（2022·陜西·西安市閻良區關山中學高一期中）函數的最大值與最小值的和是（ ）
A． B．0 C． D．
同類題型演練
1．（2022·北京平谷·高一期末）已知關于的方程在內有解，那么實數的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（2022·湖南衡陽·高一期末）若函數的最小值為，則的值可為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陜西·西北大學附中高一階段練習）函數，的最大值是_____．
4．（2022·北京市第一六一中學高一期中）函數，當x＝______時，f（x）的最大值為______．
角度3：分式型求值域或最大(小)值
典型例題
例題1．（2022·云南·昭通市第一中學高一階段練習）函數的值域是（ ）
A． B．
C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高一單元測試）函數的值域為_____________．
1．（2022·全國·高考真題）記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2021·全國·高考真題）下列區間中，函數單調遞增的區間是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題（理））記函數的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．
4．（2020·全國·高考真題（理））關于函數f（x）=有如下四個命題：
①f（x）的圖象關于y軸對稱．
②f（x）的圖象關于原點對稱．
③f（x）的圖象關于直線x=對稱．
④f（x）的最小值為2．
其中所有真命題的序號是__________．
5．（2020·山東·高考真題）小明同學用“五點法”作某個正弦型函數在一個周期內的圖象時，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根據表中數據，求：
（1）實數，，的值；
（2）該函數在區間上的最大值和最小值.
5.4.2正弦函數、余弦函數的性質（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：三角函數的周期問題及簡單應用
重點題型二：三角函數的奇偶性及其應用
重點題型三：函數奇偶性與周期性、單調性的綜合問題
重點題型四：求三角函數的單調區間
重點題型五：單調性在三角函數中的應用
角度1：利用單調性比較三角函數值的大小
角度2：已知三角函數的單調情況求參數問題
重點題型六：三角函數的對稱性
重點題型七：正弦函數、余弦函數的最大(小)值問題
角度1：利用三角函數的有界性和單調性求值域或最大(小)值
角度2：換元法求值域或最大(小)值(可化為一元二次函數型）
角度3：分式型求值域或最大(小)值
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數的周期性
1.周期函數的定義
一般地,設函數的定義域為,如果存在一個非零常數,使得對每一個,都有,且,那么函數就叫做周期函數.非零常數叫做這個函數的周期.
2.最小正周期的定義
如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫做的最小正周期.
知識點二：正弦函數、余弦函數的周期性和奇偶性
函數 奇偶性
奇函數
偶函數
當時，為奇函數； 當時，為偶函數；
當時，為奇函數； 當時，為偶函數；
知識點三：正弦、余弦型函數的常用周期
函數 最小正周期
或（）
或
或（）
無周期
知識點四：正弦函數、余弦函數的圖象和性質
函數
圖象 定義域
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數
單調性 在每一個閉區間()上都單調遞增;在每一個閉區間(上都單調遞減 在每一個閉區間 ()上都單調遞增;在每一個閉區間()上都單調遞減
最值 當()時，; 當()時，; 當()時，; 當()時，;
圖象的對稱性 對稱中心為(), 對稱軸為直線() 對稱中心為(), 對稱軸為直線()
1．（2022·全國·高一課時練習）函數的最小正周期是（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【詳解】因為，
所以函數的最小正周期．
故選：C
2．（2022·全國·高一課時練習）函數的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以,
所以的值域為.
故選：B.
3．（2022·內蒙古·滿洲里市第一中學高一期末）函數的圖象的一個對稱軸方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：對于函數，令，
解得，故函數的對稱軸方程為，
令，可知函數的一條對稱軸為.
故選：C
4．（2022·云南紅河·高二期末）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因為，定義域為R
所以
所以為奇函數，且，排除CD
當時，，即，排除A
故選：B.
5．（2022·全國·高一單元測試）寫出一個同時具有性質①；②的函數______（注：不是常數函數）．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】由知函數以為周期，又，
所以滿足條件．
（其他符合題意的答案均可，如，等．）
故答案為：（答案不唯一）
重點題型一：三角函數的周期問題及簡單應用
典型例題
例題1．（2022·北京市第三十五中學高一階段練習）下列函數中，最小正周期為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】對于A，函數的最小正周期為，
對于B，函數的最小正周期為，
對于C，函數的最小正周期為，，
對于D，函數，由正弦函數對稱性與圖象變換可知其最小正周期為
故選：D
例題2．（2022·天津市求真高級中學高二期末）函數的最小正周期為，則的值為（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】A
【詳解】由，
∴.
故選：A.
例題3①；②；③；④．
其中最小正周期為的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【答案】A
【詳解】對于①，，其最小正周期為;
對于②，結合圖象，知的最小正周期為．
對于③，的最小正周期．
對于④，的最小正周期．
故選：A．
例題4．（2022·貴州銅仁·高二期末（文））函數的最小正周期為，則______________．
【答案】
【詳解】因為函數的最小正周期為，所以，解得：.
所以，
所以.
故答案為：-2
同類題型演練
1．（2022·廣東珠海·高一期末）下列函數最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：對于A，的最小正周期，故A錯誤；
對于B：的最小正周期，故B正確；
對于C：的最小正周期，故C錯誤；
對于D：的最小正周期，故D錯誤；
故選：B
2．（2022·陜西渭南·高一期末）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據解析式可知：最小正周期.
故選：A.
3．（多選）（2022·全國·高一課時練習）下列函數中最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【詳解】對于A選項，，其最小正周期為.故A正確.
對于B選項，的最小正周期為.故B正確.
對于C選項，的最小正周期.故C正確.
對于D選項，的最小正周期．故D錯誤.
故選: ABC.
4．（2022·河南南陽·高一期末）已知函數的最小正周期16，則=___________.
【答案】
【詳解】由周期公式可得，所以，
所以，所以，
故答案為：
5．（2022·遼寧·高一期末）的最小正周期為___________.
【答案】
【詳解】由題意可知，函數的最小正周期為.
故答案為：.
重點題型二：三角函數的奇偶性及其應用
典型例題
例題1．（2022·北京市海淀區教師進修學校高一階段練習）若函數是奇函數，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】若函數是奇函數，
則，得
故選：C
例題2．（2022·全國·高一）已知函數（為常數）為奇函數，那么（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【詳解】解：因為函數（為常數）為奇函數，
所以，
所以，，
當為偶數，則，
當為奇數，則，
即；
故選：D
例題3．（2022·江西·高一階段練習）下列函數中，既不是奇函數也不是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】選項A: ，則為奇函數.排除；
選項B: ，則為偶函數.排除；
選項C: ，則為偶函數.排除；
選項D: 令，，
則，，則既不是奇函數也不是偶函數．可選.
故選：D
例題4．（2022·河南焦作·高一期中）已知函數（，為常實數），且，則______．
【答案】
【詳解】因為，定義域關于原點對稱，
設，
，
則是奇函數，
因為，所以，所以．
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·北京市第三十五中學高一期中）為偶函數，則___________.（寫出一個值即可）
【答案】符合，的都對，寫出一個值即可，比如：.
【詳解】要為偶函數，必須能化成的形式，根據誘導公式，，，寫出符合條件的一個值即可.
故答案為：符合，的都對，寫出一個值即可，比如：.
2．（2022·全國·高三專題練習）若函數為偶函數，則的一個值為________.（寫出一個即可）
【答案】（答案不唯一）
【詳解】依據題意：函數為偶函數，則的奇數倍都可以.
故答案為：（答案不唯一）
3．（2022·江西上饒·高一階段練習）函數的圖象關于原點對稱，則的最大負值為______．
【答案】
【詳解】函數的圖象關于原點對稱，
，，
令，可得的最大負值為，
故答案為：．
重點題型三：函數奇偶性與周期性、單調性的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·陜西漢中·高一期末）下列四個函數中，在區間上單調遞增，且最小正周期為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】的最小正周期是，的最小正周期是，排除，
BC兩個函數的最小正周期是，
時，單調遞增，單調遞減．
故選：B．
例題2．（2022·江西·景德鎮一中高一期末）以下四個函數中，在上為減函數，且以為周期的偶函數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】對A，最小正周期為，且在上為增函數，并為奇函數，不滿足要求；
對B，在上為減函數，且以為周期的偶函數，符合要求；
對C，在上為增函數，且為偶函數，不符合要求;
對D,在上為減函數，但是以為周期的偶函數，不符合要求；
故選：B
例題3．（多選）（2022·廣東廣州·高二期中）下列函數中最小正周期為，且為偶函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】解：對于A，定義域為，因為，所以函數為偶函數，因為的圖像是由的圖像在軸下方的關于軸對稱后與軸上方的圖像共同組成，所以的最小正周期為，所以A正確，
對于B，定義域為，因為，所以函數為奇函數，所以B錯誤，
對于C，定義域為，，最小正周期為，因為，所以函數為偶函數，所以C正確，
對于D，定義域為，最小正周期為，所以D錯誤，
故選：AC
例題4．（多選）（2022·江蘇省響水中學高二開學考試）下列四個函數以為最小正周期，且在區間上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】的最小正周期為，當時，單調遞減，故A滿足題意；
的最小正周期為，故B不滿足題意；
的最小正周期為，且在區間上單調遞減，故C滿足題意；
的最小正周期為，故D不滿足題意；
故選：AC
同類題型演練
1．（2022·黑龍江·大慶中學高一期末）下列四個函數中，以為最小正周期，且在區間上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】選項A：最小正周期為.判斷錯誤；
選項B：最小正周期為，且在區間上單調遞減.判斷正確；
選項C：最小正周期為.判斷錯誤；
選項D：在區間上單調遞增. 判斷錯誤.
故選：B
2．（2022·北京市西城外國語學校高一期中）下列函數中，周期為π且在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】A，，，
由余弦函數的單調遞增區間可得，
解得，當時，，故A正確；
B，，，
由余弦函數的單調遞增區間可得，
解得，顯然在區間上不單調，故B錯誤；
C，，，故C錯誤；
D，，，故D錯誤；
故選：A
3．（2022·山西運城·高一期末）下列函數中，同時滿足：①在上是增函數，②為奇函數，③最小正周期為的函數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】A中的最小正周期為，不滿足；
B中是偶函數，不滿足；
C中的最小正周期為，不滿足；
D中是奇函數﹐且周期，令，∴，∴函數的遞增區間為，，∴函數在上是增函數，故D正確.
故選：D.
4．（2022·寧夏·銀川二中高一期末）下列四個函數中，以為最小正周期，且在區間上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】對于選項A：由于的周期為，故選項A不正確；
對于選項B：由于以為最小正周期，且在區間上為減函數，故選項B正確；
對于選項C：故由于的周期為，故選項C不正確；
對于選項D：由于在區間上為增函數，故選項D不正確.
故選：B.
5．（多選）（2022·甘肅慶陽·高一期末）下列函數中，既是奇函數又在上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【詳解】解：對于A，函數在上單調遞減，故A不符題意；
對于B，函數是偶函數，故B不符題意；
對于C，函數是奇函數且在上單調遞增，故C符合題意；
對于D，函數是奇函數且在上單調遞增，故D符合題意；
故選：CD．
重點題型四：求三角函數的單調區間
典型例題
例題1．（2022·陜西·寶雞市渭濱區教研室高一期末）函數的單調減區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】，要求函數的單調減區間，即求函數的單調增區間.
令，
所以.
故選：A.
例題2．（2022·全國·高一專題練習）函數的一個單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解得，，
時，；時，；時，，
是的一個單調遞減區間．
故選：B．
例題3．（2022·陜西西安·高一期末）已知函數.
(1)求函數的單調遞增區間；
【答案】(1)
（1）解：由，解得.函數的單調遞增區間為.
故選：B
例題4．（2022·陜西·榆林市第十中學高一期末）已知函數.
(1)求函數的單調遞減區間；
【答案】(1)
∵，
令，，得，，
故函數的單調遞減區間為
同類題型演練
1．（2022·廣西桂林·高一期末）函數的單調增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由，解得，
所以所求函數的增區間為.
故選：C
2．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二學業考試）已知函數．
(1)求函數的最小正周期；
(2)求函數的單調遞減區間；
【答案】(1)；(2).
(1)
；
(2)∵函數的單調遞減區間為，
令，，
解得：，，
∴函數的單調遞減區間為．
3．（2022·上海奉賢區致遠高級中學高一期末）已知函數，.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期；
(3)求的單調減區間.
【答案】(1)(2)(3)（）
(1)；
(2)；
(3)，解得，，
所以減區間是（）．
重點題型五：單調性在三角函數中的應用
角度1：利用單調性比較三角函數值的大小
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】令，解得，
故在上遞增，
由函數的周期性與對稱性易得函數在上遞減，關于對稱，
，，，在減區間，3在增區間，并且比離對稱軸更近些，所以，所以．
故選：A
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(1)在區間上遞增，所以.
(2)在區間上遞增，所以.
(3)，，
在區間上遞增，所以.
(4)在區間上遞減，所以.
同類題型演練
1．（2022·北京·人大附中高一階段練習）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意得： ，，
因為在上單調遞減，
所以，即．
故選：B
2．（2022·陜西·西安市臨潼區鐵路中學高一階段練習）下列不等式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】，A錯誤；
，B正確；
，故，C錯誤；
，D錯誤；
故選：B.
3．（多選）（2022·福建福州·高一期末）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】對A,因為，在單調遞增，所以,故A正確；
對B，因為，在單調遞減，所以,故B錯誤；
對于C,，故C正確；
對于D，，故D錯誤；
故選：AC
角度2：已知三角函數的單調情況求參數問題
典型例題
例題1．（2022·遼寧營口·高一期末）函數在上單調遞增，則取值范圍為_____
【答案】
【詳解】令，
可得，
因為函數在上單調遞增，
故，解得，
結合，故當時，取值范圍為，時不符合題意，
故取值范圍為，
故答案為：
例題2．（2022·貴州貴陽·模擬預測（文））若在區間上單調遞增，則實數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由得，即函數在區間上遞增，可見的其它增區間不含有實數0，
又在上遞增，即，
故的最大值是，
故選：B．
例題3．（2022·全國·高一專題練習）設，若在上為增函數，則的取值范圍是___．
【答案】
【詳解】，當時，,
由于為增函數，∴，即 ，
又，所以，
故答案為：
例題4．（2022·浙江·高三開學考試）已知函數的圖象關于點對稱，且在區間上是單調函數，則的值不可能是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【詳解】解：由已知，，則，，即，，
又函數在區間上是單調函數，可知，即，解得，所以當時，，當時，，當時，，滿足題意，
即或4或.
故選：D.
例題5．（2022·全國·高一專題練習）已知函數在區間上單調遞減，則的取值范圍為________.
【答案】
【詳解】由題意可知的單調遞減區間為，
由，得，，
即函數的單調遞減區間為，
因為在區間上單調遞減，
所以，解得，，
只能取；
當時，，即，
所以的取值范圍是．
故答案為:.
同類題型演練
1．（2022·廣東·江門市培英高級中學高一期中）若在區間上單調遞增，則實數a的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：因為，令，
解得，
所以函數的單調遞增區間為，
因為在區間上單調遞增，
所以，即實數a的最大值為；
故選：A
2．（2022·全國·高一單元測試）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為_________．
【答案】
【詳解】當時，．
因為，所以，．
因為函數在上單調遞增，
所以，解得．
故答案為：
3．（2022·全國·高一專題練習）已知函數 在 上單調遞增，則的最大值是____.
【答案】4
【詳解】由函數在區間上單調遞增，
可得 ，求得，故的最大值為，
故答案為：4
4．（2022·北京·人大附中高一期末）若已知，函數在上單調遞增，則的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】函數的單調遞增區間為，，
則，，
解得，，又由，且，，得，所以．
故答案為：．
重點題型六：三角函數的對稱性
典型例題
例題1．（2022·重慶·三模）函數的圖象的一條對稱軸為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：令，則，
即函數的圖象的對稱軸為，
當時，.
故選：B.
例題2．（2022·陜西·長安一中高二期末（文））若是函數圖象的對稱軸，則的最小正周期的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：依題意，解得，因為，所以且，
所以的最小正周期，所以當時；
故選：A
例題3．（2022·陜西西安·二模（文））如果函數的圖象關于點對稱，那么的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因函數y=3cos(2x+φ)的圖象關于點對稱，則有，
于是得，顯然對于是遞增的，
而時，，，當時，，，
所以|φ|的最小值為.
故選：A
例題4．（2022·全國·高一專題練習）已知函數圖象關于直線對稱，則函數在區間上零點的個數為_______.
【答案】3
【詳解】函數圖象關于直線對稱，
，(的對稱軸是)
，，
由知，時，，
故，
令得，．
因為，所以時，滿足條件，
故零點有三個．
故答案為：3
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，則下列點的坐標為的對稱中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】兩條相鄰對稱軸之間的距離為，最小正周期，
解得：，，
令，解得：，此時，
的對稱中心為，
當時，的一個對稱中心為.
故選：C.
2．（多選）（2022·江蘇省如皋中學高一期末）下列函數以為對稱中心的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】對于A，中心為， 沒有整數解, 所以不是對稱中心.
對于B, 中心為,得 ，所以為對稱中心
對于C, 所以不是對稱中心.
對于D, ,所以為對稱中心.
故選：BD
3．（2022·全國·高一課時練習）函數圖象的一條對稱軸是直線，則可以為___________.（寫出一個符合題意的值即可）
【答案】（答案不唯一）
【詳解】因為函數圖象的一條對稱軸是直線，
所以，，
所以，，
所以當時，可以為.
故答案為：
4．（2022·新疆·三模（文））已知函數的圖像關于直線對稱，則__________．
【答案】
【詳解】的圖像關于直線對稱，
，解得：
當時，.
故答案為：.
5．（2022·上海·格致中學高一階段練習）函數的圖像關于點成中心對稱，則的最小正值為___________.
【答案】
【詳解】因為函數的圖像關于點成中心對稱，
所以，解得：.
所以的最小正值為：當k=0時，.
故答案為：
重點題型七：正弦函數、余弦函數的最大(小)值問題
角度1：利用三角函數的有界性和單調性求值域或最大(小)值
典型例題
例題1．（2022·陜西省商洛中學高一期末）函數的最小正周期與最小值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
故選：C．
例題2．（2022·北京西城·高一期末）函數，的最大值和最小值分別為（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
【答案】D
【詳解】由題設，，故，
所以最大值和最小值分別為1，.
故選：D
例題3．（2022·全國·高一課時練習）若函數在處取得最小值3，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】當時，，不合題意，
若，由已知得，解得，與矛盾，舍去；
若，由已知得，解得，，解得，又，所以，
故選：C.
例題4．（2022·上海市寶山中學高一期中）函數的值域為________.
【答案】．
【詳解】由余弦函數性質知：
在上遞增，在上遞減，
，，，
所以值域為．
故答案為：．
例題5．（2022·陜西·榆林市第十中學高一期中）設函數的最小正周期為，且.
(1)求的表達式；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(1)由最小正周期，得，
∵，
∴.
∴.
(2)由（1）知，，
∵，∵，
∴，
∴的取值范圍為.
同類題型演練
1．（2022·貴州·高二學業考試）函數的最大值是___．
【答案】.
【詳解】由正弦函數的圖象與性質，可得，
所以函數的最大值為.
故答案為：.
2．（2022·天津河東·高二學業考試）函數的最大值是_________.
【答案】2
【詳解】當時，函數取得最大值，
故答案為：
3．（2022·陜西·榆林市第十中學高一階段練習）函數的值域是___________.
【答案】##
【詳解】因為，所以，
所以，即，故函數的值域為，
故答案為：
4．（2022·廣東茂名·高一期末）已知函數，.
(1)求的最小正周期及單調增區間；
(2)求在區間的值域.
【答案】(1)最小正周期為，增區間為，
(2)
(1)∵，
∴，即最小正周期.
由，解得，
∴增區間為，
(2)∵，∴，
∴，
∴，
∴值域為.
角度2：換元法求值域或最大(小)值(可化為一元二次函數型）
典型例題
例題1．（2022·安徽·高一期中）函數（）的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【詳解】．
令，則．而在上單增，
所以當時，．
故選：A．
例題2．（2022·陜西·西安市閻良區關山中學高一期中）函數的最大值與最小值的和是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【詳解】令，則，，
，
所以當時，有最大值，
當時，有最小值，
所以最大值與最小值的和是，
故選：C
同類題型演練
1．（2022·北京平谷·高一期末）已知關于的方程在內有解，那么實數的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】方程在內有解，即在內有解，
令，，則，
所以，解得.
故選：C.
2．（多選）（2022·湖南衡陽·高一期末）若函數的最小值為，則的值可為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】由題設，，
令，則，其開口向上且對稱軸為，
當時，，則；
當時，，則或(舍)；
當時，，則不合前提；
綜上，或.
故選：BC
3．（2022·陜西·西北大學附中高一階段練習）函數，的最大值是_____．
【答案】
【詳解】
.
，
所以當時，函數取得最大值為.
故答案為：
4．（2022·北京市第一六一中學高一期中）函數，當x＝______時，f（x）的最大值為______．
【答案】 ； ##0.5
所以時，，此時．
故答案為：；．
角度3：分式型求值域或最大(小)值
典型例題
例題1．（2022·云南·昭通市第一中學高一階段練習）函數的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】令，，
可得，，
，故.
故選：B.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一單元測試）函數的值域為_____________．
【答案】
【詳解】令，，
則，即，
所以，
又因為，所以，
即函數的值域為．
故答案為：.
1．（2022·全國·高考真題）記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【詳解】由函數的最小正周期T滿足，得，解得，
又因為函數圖象關于點對稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故選：A
2．（2021·全國·高考真題）下列區間中，函數單調遞增的區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數的單調遞增區間為，
對于函數，由，
解得，
取，可得函數的一個單調遞增區間為，
則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；
取，可得函數的一個單調遞增區間為，
且，，CD選項均不滿足條件.
故選：A.
3．（2022·全國·高考真題（理））記函數的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．
【答案】
【詳解】解： 因為，（，）
所以最小正周期，因為，
又，所以，即，
又為的零點，所以，解得，
因為，所以當時；
故答案為：
4．（2020·全國·高考真題（理））關于函數f（x）=有如下四個命題：
①f（x）的圖象關于y軸對稱．
②f（x）的圖象關于原點對稱．
③f（x）的圖象關于直線x=對稱．
④f（x）的最小值為2．
其中所有真命題的序號是__________．
【答案】②③
【詳解】對于命題①，，，則，
所以，函數的圖象不關于軸對稱，命題①錯誤；
對于命題②，函數的定義域為，定義域關于原點對稱，
，
所以，函數的圖象關于原點對稱，命題②正確；
對于命題③，，
，則，
所以，函數的圖象關于直線對稱，命題③正確；
對于命題④，當時，，則，
命題④錯誤.
故答案為：②③.
5．（2020·山東·高考真題）小明同學用“五點法”作某個正弦型函數在一個周期內的圖象時，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根據表中數據，求：
（1）實數，，的值；
（2）該函數在區間上的最大值和最小值.
【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【詳解】（1）由表可知，則，
因為，，所以，解得，即，
因為函數圖象過點，則，即，
所以，，解得，，
又因為，所以.
（2）由（1）可知.
因為，所以，
因此，當時，即時，，
當時，即時，.
所以該函數在區間上的最大值是3，最小值是.

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