資源簡介

4.2指數函數（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：指數函數的概念
重點題型二：指數函數的圖象及應用
角度1：指數型函數圖象過定點問題
角度2：指數函數圖象的識別
角度3：畫指數函數的圖象
重點題型三：指數函數的單調性
角度1：利用指數函數的單調性比較大小
角度2：利用指數函數的單調性解不等式
角度3：指數型復合函數的單調性
重點題型四：與指數函數（指數型復合函數）有關的定義域
重點題型五：與指數函數（指數型復合函數）有關的值域
重點題型六：可化為一元二次函數型
重點題型七：與指數函數的相關的綜合問題
第五部分：新定義問題
知識點一：指數函數的概念
1、一般地，函數叫做指數函數，其中指數是自變量，底數是一個大于0且不等于1的常量，定義域是.
2、學習指數函數的定義，注意一下幾點
（1）定義域為：
（2）規定是因為：
①若，則（恒等于1）沒有研究價值；
②若，則時，（恒等于0），而當時，無意義；
③若，則中為偶數，為奇數時，無意義.
④只有當或時，即，可以是任意實數.
（3）函數解析式形式要求：
指數函數只是一個新式定義，判斷一個函數是指數函數的關鍵有三點：①的系數必須為1；②底數為大于0且不等于1的常數，不能是自變量；③指數處只有一個自變量，而不是含自變量的多項式.
知識點二：指數函數的圖象與性質
1、函數的圖象和性質如下表：
底數
圖象
性 質 定義域
值域
定點 圖象過定點
單調性 增函數 減函數
函數值的變化情況 當時， 當時， 當時， 當時， 當時， 當時，
對稱性 函數與的圖象關于軸對稱
2、指數函數的底數對圖象的影響
函數的圖象如圖所示：
觀察圖象，我們有如下結論：
2.1.底數與1的大小關系決定了指數函數圖象的“升”與“降”.
（1）當時，指數函數的圖象是“上升”的，且當時，底數的值越大，函數的圖象越“陡”，說明其函數值增長的越快.
（2）當時，指數函數的圖象是“下降”的，且當時，底數的值越小，函數的圖象越“陡”，說明其函數值減小的越快.
2.2.底數的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是還是，底數越大，在第一象限內的函數圖象越“靠上”.
在同一平面直角坐標系中，底數的大小決定了圖象相對位置的高低；
在軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小，即“底數大圖象高”；
在軸左側，圖象從上到下相應的底數由小變大，即“底數大圖象低”；
知識點三：指數函數的定義域與值域
1、定義域：
（1）指數函數的定義域為
（2）的定義域與函數的定義域相同
（3）的定義域與函數的定義域不一定相同.
2、值域
（1）指數函數的值域為
（2）求形如的函數的值域，先求的值域，然后結合得性質確定的值域
（3）求形如的值域，轉化為先求的值域，再將的取值范圍代入函數中.
知識點四：指數函數的圖象變換
已知函數
1、平移變換
①
②
③
④
2、對稱變換
①
②
③
3、翻折變換
①（去掉軸左側圖象，保留軸右側圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側）
②（保留軸上方的圖象，將軸下方的圖象翻折到軸上方）
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）是指數函數．( )
（2）指數函數中，a可以為負數．( )
（3）是指數函數．( )
2．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）函數的值域是．( )
（2）已知函數，若實數m，n滿足，則．( )
（3）指數函數的圖象過點．( )
（4）函數的定義域是R．( )
3．（2022·全國·高一課時練習）已知函數若，則( )
A． B． C．1 D．2
重點題型一：指數函數的概念
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）在①；②；③；④；⑤中，是關于的指數函數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例題2．（2022·全國·高一課時練習）下列函數中是指數函數的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）下列函數中是指數函數的是__________(填序號)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
2．（2022·全國·高三專題練習）下列函數中指數函數的個數是_____________．
①；②；③；④（為常數，，）；⑤； ⑥；⑦
重點題型二：指數函數的圖象及應用
角度1：指數型函數圖象過定點問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）若函數（且）的圖像經過定點，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高一）指數函數恒過的定點為_______．
角度2：指數函數圖象的識別
典型例題
例題1．（2022·湖北武漢·高一期末）函數與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·江西·高一階段練習）函數的圖像如圖所示，其中為常數，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
角度3：畫指數函數的圖象
典型例題
例題1．（2021·全國·高一課時練習）根據函數的圖像，畫出下列函數的圖像．
（1）； （2）； （3）．
同類題型演練
1．（2022·四川省內江市第六中學高一開學考試）函數（且）的圖象恒過定點（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·長春外國語學校高一開學考試）函數，且)恒過定點（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·內蒙古·呼和浩特市第十四中學高一期末）二次函數的圖象頂點橫坐標的取值范圍為（，），則的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·陜西·武功縣教育局教育教學研究室高一期中）如圖是指數函數①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的圖象，則，b，c，d與1的大小關系是（ ）
A．a5．（2022·湖南·高一課時練習）在同一直角坐標系內作出函數與的圖象.
6．（2022·遼寧·高一階段練習）函數
(1)請在下面坐標系中畫出函數的圖像．
7．（2021·全國·高一課時練習）完成下列填空，并按要求畫出函數的簡圖，不寫畫法，請保留畫圖過程中的痕跡，痕跡用虛線表示，最后成圖部分用實線表示.
（1）函數的零點是 .，利用函數的圖象，在直角坐標系（1）中畫出函數的圖象.
（2）函數的定義域是 ，值域是 ，是 函數（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.利用的圖象，通過適當的變換，在直角坐標系（2）中畫出函數的圖象.
重點題型三：指數函數的單調性
角度1：利用指數函數的單調性比較大小
典型例題
例題1．（2022·云南麗江·高一期末）若，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）比較下列各組中兩個數的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)和．
角度2：利用指數函數的單調性解不等式
典型例題
例題1．（2022·上海楊浦·高一期末）不等式的解集是_____________.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）解關于的不等式.
角度3：指數型復合函數的單調性
典型例題
例題1．（2022·安徽省蚌埠第三中學高一開學考試）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·四川·寧南中學高一開學考試）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
同類題型演練
1．（2022·河北衡水·高三階段練習）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一）已知，，，則a，b，c的大小關系為____.(用“” 連接)
3．（2022·北京海淀·二模）不等式的解集為_________．
4．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學高一期末）不等式的解集是_____________________
5．（2022·上海虹口·高一期末）不等式的解集為______．
6．（2022·全國·高三專題練習（文））不等式的解集為___________．
7．（2022·寧夏·吳忠中學高一期末）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是______．
8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數 (為常數)，若在區間上是增函數，則的取值范圍是________．
9．（2022·全國·高三專題練習（文））函數的單調減區間是_______．
重點題型四：與指數函數（指數型復合函數）有關的定義域
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·海南·模擬預測）已知函數的定義域為，則_________．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·內蒙古·阿拉善盟第一中學高一期中）函數的定義域為______．
3．（2022·浙江·高三專題練習）函數的定義域為________．
重點題型五：與指數函數（指數型復合函數）有關的值域
典型例題
例題1．（2022·寧夏·銀川二中高二期末（理））函數的值域是__________.
例題2．（2022·廣東中山·高一期末）已知函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高一專題練習）函數且的值域是，則實數 ____.
同類題型演練
1．（2022·陜西·寶雞市渭濱區教研室高二期末（文））函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山西·臨汾第一中學校高一期末）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·遼寧鞍山·高一期末）若函數的值域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南安陽·高一期末（理））函數的值域為___________.
重點題型六：可化為一元二次函數型
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·北京·高三專題練習）已知函數，，則函數的值域為（ ）．
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高三專題練習）若函數的值域為[0，+∞），則實數的取值范圍是_____．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，則函數的最小值為（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
2．（2022·全國·高一專題練習）函數的值域為____.
3．（2022·全國·高三專題練習）函數的值域是___________.
重點題型七：與指數函數的相關的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高一期末）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·北京·人大附中高二階段練習）已知是定義域為上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·遼寧·遼陽市第一高級中學高二期末）若函數的最大值是2，則（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（文））已知函數滿足對任意的實數，且，都有成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
例題5．（2022·陜西陜西·一模（理））已知，若函數有最小值，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題6．（2022·遼寧·遼陽市第一高級中學高二期末）已知定義在上的函數是偶函數．
(1)求的值；
(2)判斷函數在上的單調性并證明；
(3)解不等式：．
例題7．（2022·福建福州·高二期末）已知是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求函數在上的解析式；
(2)若，恒成立，求實數的取值范圍．
例題8．（2022·重慶九龍坡·高二期末）已知函數為奇函數．
(1)求實數的值；
(2)判斷并證明在上的單調性；
(3)若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
1．（2022·廣東·金山中學高三期末）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應小于等于0.1%.經測定，剛下課時，空氣中含有0.2%的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為%，且隨時間（單位：分鐘）的變化規律可以用函數描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（ ）
（參考數據）
A．11分鐘 B．14分鐘
C．15分鐘 D．20分鐘
2．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，.已知函數，則關于函數的敘述中正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．在上是增函數 D．的值域是
4.2指數函數（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：指數函數的概念
重點題型二：指數函數的圖象及應用
角度1：指數型函數圖象過定點問題
角度2：指數函數圖象的識別
角度3：畫指數函數的圖象
重點題型三：指數函數的單調性
角度1：利用指數函數的單調性比較大小
角度2：利用指數函數的單調性解不等式
角度3：指數型復合函數的單調性
重點題型四：與指數函數（指數型復合函數）有關的定義域
重點題型五：與指數函數（指數型復合函數）有關的值域
重點題型六：可化為一元二次函數型
重點題型七：與指數函數的相關的綜合問題
第五部分：新定義問題
知識點一：指數函數的概念
1、一般地，函數叫做指數函數，其中指數是自變量，底數是一個大于0且不等于1的常量，定義域是.
2、學習指數函數的定義，注意一下幾點
（1）定義域為：
（2）規定是因為：
①若，則（恒等于1）沒有研究價值；
②若，則時，（恒等于0），而當時，無意義；
③若，則中為偶數，為奇數時，無意義.
④只有當或時，即，可以是任意實數.
（3）函數解析式形式要求：
指數函數只是一個新式定義，判斷一個函數是指數函數的關鍵有三點：①的系數必須為1；②底數為大于0且不等于1的常數，不能是自變量；③指數處只有一個自變量，而不是含自變量的多項式.
知識點二：指數函數的圖象與性質
1、函數的圖象和性質如下表：
底數
圖象
性 質 定義域
值域
定點 圖象過定點
單調性 增函數 減函數
函數值的變化情況 當時， 當時， 當時， 當時， 當時， 當時，
對稱性 函數與的圖象關于軸對稱
2、指數函數的底數對圖象的影響
函數的圖象如圖所示：
觀察圖象，我們有如下結論：
2.1.底數與1的大小關系決定了指數函數圖象的“升”與“降”.
（1）當時，指數函數的圖象是“上升”的，且當時，底數的值越大，函數的圖象越“陡”，說明其函數值增長的越快.
（2）當時，指數函數的圖象是“下降”的，且當時，底數的值越小，函數的圖象越“陡”，說明其函數值減小的越快.
2.2.底數的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是還是，底數越大，在第一象限內的函數圖象越“靠上”.
在同一平面直角坐標系中，底數的大小決定了圖象相對位置的高低；
在軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小，即“底數大圖象高”；
在軸左側，圖象從上到下相應的底數由小變大，即“底數大圖象低”；
知識點三：指數函數的定義域與值域
1、定義域：
（1）指數函數的定義域為
（2）的定義域與函數的定義域相同
（3）的定義域與函數的定義域不一定相同.
2、值域
（1）指數函數的值域為
（2）求形如的函數的值域，先求的值域，然后結合得性質確定的值域
（3）求形如的值域，轉化為先求的值域，再將的取值范圍代入函數中.
知識點四：指數函數的圖象變換
已知函數
1、平移變換
①
②
③
④
2、對稱變換
①
②
③
3、翻折變換
①（去掉軸左側圖象，保留軸右側圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側）
②（保留軸上方的圖象，將軸下方的圖象翻折到軸上方）
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）是指數函數．( )
（2）指數函數中，a可以為負數．( )
（3）是指數函數．( )
【答案】 錯誤 錯誤 錯誤
（1）的指數位置是常數，不是變量，不符合指數函數的定義，故錯誤．
（2）指數函數的定義中規定：且，故錯誤．
（3）指數函數（且）中，不帶有常數項，故錯誤．
2．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）函數的值域是．( )
（2）已知函數，若實數m，n滿足，則．( )
（3）指數函數的圖象過點．( )
（4）函數的定義域是R．( )
【答案】 × √ √ ×
（1）由，所以，所以函數的值域是，故錯誤；
（2）由函數為遞增的函數，所以當時，，故正確；
（3）指數函數的圖象過定點，故正確；
（4）令，所以函數的定義域是，故錯誤.
3．（2022·全國·高一課時練習）已知函數若，則( )
A． B． C．1 D．2
【答案】D
∵
∴，又
∴
故選：D
重點題型一：指數函數的概念
典型例題
例題1．（2022·全國·高一課時練習）在①；②；③；④；⑤中，是關于的指數函數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
根據指數函數的定義，知①⑤中的函數是指數函數，
②中底數不是常數，指數不是自變量，所以不是指數函數；
③中的系數是，所以不是指數函數；
④中底數，所以不是指數函數．
故選：B．
例題2．（2022·全國·高一課時練習）下列函數中是指數函數的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
【答案】①④
因為形如的函數為指數函數，
所以函數符合指數函數的定義，是指數函數；
符合指數函數的定義，是指數函數；
其它函數不符合指數函數的定義，不是指數函數，
故答案為：①④.
同類題型演練
1．（2022·全國·高一專題練習）下列函數中是指數函數的是__________(填序號)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
【答案】③
① 的系數不是，不是指數函數；
② 的指數不是自變量，不是指數函數；
③ 是指數函數；
④ 的底數是不是常數，不是指數函數；
⑤ 的指數不是自變量，不是指數函數；
⑥ 是冪函數．
故答案為：③
2．（2022·全國·高三專題練習）下列函數中指數函數的個數是_____________．
①；②；③；④（為常數，，）；⑤； ⑥；⑦
【答案】③④
根據指數函數的定義直接判斷：形如（且）的函數是指數函數.
可知只有③，④（為常數，，）符合指數函數的定義.
故答案為：③④.
重點題型二：指數函數的圖象及應用
角度1：指數型函數圖象過定點問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）若函數（且）的圖像經過定點，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為，所以當，即時，函數值為定值0，所以點P坐標為.
另解：因為可以由向右平移一個單位長度后，再向下平移1個單位長度得到，由過定點，所以過定點.
故選：B
例題2．（2022·全國·高一）指數函數恒過的定點為_______．
【答案】
由函數恒過（0，1）點，
令 解得，此時，
則函數恒過點.
故答案為：．
角度2：指數函數圖象的識別
典型例題
例題1．（2022·湖北武漢·高一期末）函數與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
，則單調遞增，故排除AC；
對于BD，單調遞減，則，與y軸交于0和1之間，故排除B.
故選：D.
例題2．（2022·江西·高一階段練習）函數的圖像如圖所示，其中為常數，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
由函數的圖像可知，函數在定義域上單調遞減，，排除AB選項；
分析可知
角度3：畫指數函數的圖象
典型例題
例題1．（2021·全國·高一課時練習）根據函數的圖像，畫出下列函數的圖像．
（1）； （2）； （3）．
【答案】見解析
（1）函數的圖像與的圖像關于軸對稱
（2）函數的圖像與的圖像關于直線對稱
（3）將的圖像位于軸左側的圖像去掉，
再將軸右側的圖像對稱過來，
同類題型演練
1．（2022·四川省內江市第六中學高一開學考試）函數（且）的圖象恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為在函數中，
當時，恒有 ,
函數的圖象恒過定點.
故選：B.
2．（2022·吉林·長春外國語學校高一開學考試）函數，且)恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
當時， ，
所以函數恒過定點.
故選：C
3．（2022·內蒙古·呼和浩特市第十四中學高一期末）二次函數的圖象頂點橫坐標的取值范圍為（，），則的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因為二次函數的圖象頂點橫坐標的取值范圍為，
所以，即，所以：，
則函數是減函數，
又函數的圖像是由函數的圖像向下平移一個單位得到的，
故函數是減函數且過原點.
故選：.
4．（2021·陜西·武功縣教育局教育教學研究室高一期中）如圖是指數函數①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的圖象，則，b，c，d與1的大小關系是（ ）
A．a【答案】B
根據函數圖象可知函數①y=；②y=為減函數，且時，，
所以，
根據函數圖象可知函數③y=cx；④y=dx為增函數，且時，c1d1，
所以.
故選：B.
函數圖像是由向左平移所得，，.故D選項正確.
故選：D
5．（2022·湖南·高一課時練習）在同一直角坐標系內作出函數與的圖象.
【答案】作圖見解析
解：作出函數與的圖象如下圖所示：
6．（2022·遼寧·高一階段練習）函數
(1)請在下面坐標系中畫出函數的圖像．
【答案】(1)作圖見解析；
(1)
-2 -1 0 1 2
0 1 3
函數的圖像如下：
7．（2021·全國·高一課時練習）完成下列填空，并按要求畫出函數的簡圖，不寫畫法，請保留畫圖過程中的痕跡，痕跡用虛線表示，最后成圖部分用實線表示.
（1）函數的零點是 .，利用函數的圖象，在直角坐標系（1）中畫出函數的圖象.
（2）函數的定義域是 ，值域是 ，是 函數（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.利用的圖象，通過適當的變換，在直角坐標系（2）中畫出函數的圖象.
【答案】（1）－1和3，圖象見解析；（2）定義域是，值域是，是偶函數，圖象見解析．
（1），或，即零點為－1和3，
作出的圖象，然后把它在軸正方的部分關于軸作對稱圖形，可得，如圖．
（2）函數的定義域是，
因為，所以，即值域是，，函數是偶函數，
①作的圖象，②擦去的圖象在左側的部分，同時把在軸右側的部分關于作對稱圖形，組合成的圖象，③把的圖象向上平移1個單位即得．
重點題型三：指數函數的單調性
角度1：利用指數函數的單調性比較大小
典型例題
例題1．（2022·云南麗江·高一期末）若，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因為在上單調遞增，且，
所以，即，
因為在上單調遞減，且，
所以，即，
所以，即
故選：A
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）比較下列各組中兩個數的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)和．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(1)因為指數函數是減函數，且，所以
(2)因為指數函數是增函數，且，所以
(3)因為指數函數是減函數，且，所以
(4)因為指數函數是增函數，且，所以
角度2：利用指數函數的單調性解不等式
典型例題
例題1．（2022·上海楊浦·高一期末）不等式的解集是_____________.
【答案】
由，得，
所以，解得，
所以不等式的解集為，
故答案為：
例題2．（2022·全國·高三專題練習）解關于的不等式.
【答案】.
，即，
因為，所以，即，解得，
故不等式的解集為.
角度3：指數型復合函數的單調性
典型例題
例題1．（2022·安徽省蚌埠第三中學高一開學考試）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因為函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，
函數在定義域內是單調遞減函數，
所以，根據復合函數單調性法則“同增異減”得的單調遞減區間為.
故選：D
例題2．（2022·四川·寧南中學高一開學考試）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
設，函數的單調減區間是
由于在上單調遞減，
所以函數的單調遞增區間為
故選：A
同類題型演練
1．（2022·河北衡水·高三階段練習）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題得，，．又，所以，且，則，所以，
故選：D．
2．（2022·全國·高一）已知，，，則a，b，c的大小關系為____.(用“” 連接)
【答案】
由于函數在R上是減函數，且，
，
由于函數在上是增函數，且，
∴，
故，，的大小關系是.
故答案為：.
3．（2022·北京海淀·二模）不等式的解集為_________．
【答案】
由，可得，故解集為.
故答案為：.
4．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學高一期末）不等式的解集是_____________________
【答案】
，即 ，
故答案為： .
5．（2022·上海虹口·高一期末）不等式的解集為______．
【答案】
依題意，不等式化為：，而函數在R上單調遞增，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：
6．（2022·全國·高三專題練習（文））不等式的解集為___________．
【答案】
依題意
7．（2022·寧夏·吳忠中學高一期末）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是______．
【答案】
令，可得拋物線的開口向上，且對稱軸為，
所以函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，
又由函數，
根據復合函數的單調性的判定方法，
可得函數在上單調遞增，在區間上單調遞減，
因為函數在上單調遞減，則，
可得實數的取值范圍是.
故答案為：.
8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數 (為常數)，若在區間上是增函數，則的取值范圍是________．
【答案】
因為函數，
當時，函數為增函數，
而已知函數在區間上是增函數，所以，即的取值范圍為．
故答案為：
9．（2022·全國·高三專題練習（文））函數的單調減區間是_______．
【答案】
令，則
∵，∴在上單調遞減
作出的圖象
由圖象可以在上單調遞減，在上單調遞增
∴在上單調遞增，在上單調遞減
故答案為：.
重點題型四：與指數函數（指數型復合函數）有關的定義域
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由題意得：，
故，故，
解得：，
故函數的定義域是，
故選：B．
例題2．（2022·海南·模擬預測）已知函數的定義域為，則_________．
【答案】
由題意可知，不等式的解集為，則，解得，
當時，由，可得，解得，合乎題意.
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由得，即.
故選：D.
2．（2022·內蒙古·阿拉善盟第一中學高一期中）函數的定義域為______．
【答案】
，
即定義域為.
故答案為：
3．（2022·浙江·高三專題練習）函數的定義域為________．
【答案】
對于函數，有，解得且.
因此，函數的定義域為.
故答案為：.
重點題型五：與指數函數（指數型復合函數）有關的值域
典型例題
例題1．（2022·寧夏·銀川二中高二期末（理））函數的值域是__________.
【答案】
因為指數函數在上為單調遞減函數，
所以當x=-3時，函數有最大值為，
當x=1時，函數有最小值為.
所以值域為.
故答案為：
例題2．（2022·廣東中山·高一期末）已知函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因為,
所以
所以函數的值域是
故選：B
例題3．（2022·全國·高一專題練習）函數且的值域是，則實數 ____.
【答案】或
當時，函數且是增函數，
值域是， ；
當時，函數且是減函數，
值域是， .
綜上所述，可得實數或.
故答案為：或
同類題型演練
1．（2022·陜西·寶雞市渭濱區教研室高二期末（文））函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函數定義域為R，，又函數在R上單調遞減，則，
所以函數的值域為.
故選：A
2．（2022·山西·臨汾第一中學校高一期末）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
令，則，
∵，
∴，
∴函數的值域為，
故選：D
3．（2022·遼寧鞍山·高一期末）若函數的值域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為，
且的值域為，
所以，解得.
故選：C.
4．（2022·河南安陽·高一期末（理））函數的值域為___________.
【答案】
函數的定義域為R，而，當且僅當x=0時取“=”，又在R上單調遞減，
于是有，
所以函數的值域為.
故答案為：
重點題型六：可化為一元二次函數型
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：令，可得，
可得函數的對稱軸為：，故函數在上單調遞增，
當時，，故函數的值域為，
故選：B.
例題2．（2022·北京·高三專題練習）已知函數，，則函數的值域為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
依題意，函數，，令，則在上單調遞增，即，
于是有，當時，，此時，，
當時，，此時，，
所以函數的值域為.
故選：B
例題3．（2022·全國·高三專題練習）若函數的值域為[0，+∞），則實數的取值范圍是_____．
【答案】（﹣∞，﹣2]
設，
若函數的值域為，，
則等價于，是值域的子集，
，
設，則，
則，
，
當對稱軸，即時，不滿足條件．
當，即時，則判別式△，
即，則，
即實數的取值范圍是，.
故答案為：，
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，則函數的最小值為（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】D
因為集合，所以，設，則，所以，且對稱軸為，所以最小值為，
故選D．
2．（2022·全國·高一專題練習）函數的值域為____.
【答案】
解：令，
函數化為
，即函數的值域為．
故答案為：
3．（2022·全國·高三專題練習）函數的值域是___________.
【答案】
因為，設,
,
在上單調遞增,
所以
故答案為：.
重點題型七：與指數函數的相關的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高一期末）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：當時，，因為，所以，
故當時，不等式無解，
當時，，
令，得，解得.
故選：D.
例題2．（2022·北京·人大附中高二階段練習）已知是定義域為上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由題意，，故，解得
故選：B
例題3．（2022·遼寧·遼陽市第一高級中學高二期末）若函數的最大值是2，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由在定義域上遞減，
要使有最大值，則在定義域上先減后增，
當，則的最小值為，
所以，可得.
故選：A
例題4．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（文））已知函數滿足對任意的實數，且，都有成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：因為對任意的實數，且，都有成立，
所以，對任意的實數，且，，即函數是上的減函數．
因為，
令，，要使在上單調遞減，
所以，在上單調遞增．
另一方面，函數為減函數，
所以，，解得，
所以實數a的取值范圍是．
故選：D．
例題5．（2022·陜西陜西·一模（理））已知，若函數有最小值，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
①當時，二次函數的對稱軸為直線，
此時函數在區間上單調遞減，，
函數在區間上單調遞減，，
欲使函數有最小值，需，解得：與矛盾.
②當時，函數的對稱軸為直線，所以在上單調遞減，在上單調遞增，此時函數在區間上的最小值為，
函數在區間上單調遞減，此時，，
欲使函數有最小值，需，解得與矛盾；
③當時，二次函數的對稱軸為直線，
在區間上的最小值為，
在區間上單調遞增，，
欲使函數有最小值，需，即，∴.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故選：D.
例題6．（2022·遼寧·遼陽市第一高級中學高二期末）已知定義在上的函數是偶函數．
(1)求a的值；
(2)判斷函數在上的單調性并證明；
(3)解不等式：．
【答案】(1)1；
(2)單調遞減，理由見解析；
(3).
(1)依題意，函數，因是R上的偶函數，即，，
因此，，，
而當時，，于是得，
所以a的值是1.
(2)由（1）知，，函數在上單調遞減，
，，，
因，則，，，因此，，即，
所以函數在上單調遞減.
(3)依題意，，
而，，
由（2）知，，解得，
所以原不等式的解集是.
例題7．（2022·福建福州·高二期末）已知是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求函數在上的解析式；
(2)若，恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)解：由題意知，解得，所以當時，，
當，則，所以．
又為奇函數，所以，
故當時，．
綜上：．
(2)解：由，得，
因為是奇函數，所以．
當時，所以函數在上單調遞增，又是定義在上的奇函數，
所以在上單調遞增．
可得，恒成立，
故，解得．
所以．
例題8．（2022·重慶九龍坡·高二期末）已知函數為奇函數．
(1)求實數的值；
(2)判斷并證明在上的單調性；
(3)若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)增函數，證明見解析
(3)
(1)解：因為函數為奇函數，且，
則，由，則，
所以，對任意的恒成立，所以，，可得.
(2)證明：由（1）可知，函數在上為增函數，證明如下：
任取、且，則，
所以，
，
所以，，故函數在上為增函數.
(3)解：由可得，
所以，，即對任意的恒成立.
當時，則有，合乎題意；
當時，則有，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
1．（2022·廣東·金山中學高三期末）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應小于等于0.1%.經測定，剛下課時，空氣中含有0.2%的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為%，且隨時間（單位：分鐘）的變化規律可以用函數描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（ ）
（參考數據）
A．11分鐘 B．14分鐘
C．15分鐘 D．20分鐘
【答案】A
依題意可知時，，即，
所以，
由，得，兩邊取以為底的對數得
，，
所以至少需要分鐘.
故選：A
2．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，.已知函數，則關于函數的敘述中正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．在上是增函數 D．的值域是
【答案】BC
，，
，則不是偶函數，故A錯誤；
的定義域為，
，
為奇函數，故B正確；
，
又在上單調遞增，在上是增函數，故C正確；
，，則，可得，
即．
，故D錯誤．
故選：BC．

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