資源簡介

4.4對數函數（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：對數函數的概念
重點題型二：與對數函數有關的函數圖象
重點題型三：與對數函數有關的定義域問題
重點題型四：與對數函數有關的值域問題
重點題型五：指數函數與對數函數關系的應用
重點題型六：對數函數的單調性及應用
角度1：利用對數函數的單調性比較大小
角度2：利用對數函數的單調性解不等式
角度3：對數型復合函數的單調性的問題
重點題型七：與對數函數圖象有關的綜合問題
重點題型八：與對數函數相關的綜合問題
第五部分：新定義問題
知識點一：對數函數的概念
1、對數函數的概念
一般地，函數叫做對數函數，其中指數是自變量，定義域是.
判斷一個函數是對數函數的依據
（1）形如；（2）底數滿足；（3）真數是，而不是的函數；（4）定義域.例如：是對數函數，而、都不是對數函數，可稱為對數型函數.
2、兩種特殊的對數函數
特別地,我們稱以10為底的對數函數為常用對數函數,記作;稱以無理數為底的對數函數為自然對數函數,記作.
知識點二：對數函數的圖象及其性質
函數的圖象和性質如下表：
底數
圖象
性質 定義域
值域
單調性 增函數 減函數
1．（2022·全國·高一課時練習）下列函數是對數函數的是( )
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）函數（，且）的圖象過定點．( )
（2）函數（，且）在上是單調函數．( )
（3）由函數的圖象向左平移1個單位可得的圖象．( )
3．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）函數與互為反函數．( )
（2）與的圖象關于對稱．( )
4．（2022·全國·高一課時練習）函數的定義域是( )
A． B． C． D．
重點題型一：對數函數的概念
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數函數的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
例題2．（2021·全國·高一專題練習）給出下列函數：
①；②；③；④.
其中是對數函數的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）函數 為對數函數，則等于
A．3 B． C． D．
2．（2021·全國·高一課時練習）下列函數中，是對數函數的是（ ）
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．
D．y＝log5x
3．（2021·全國·高一專題練習）下列函數是對數函數的是（ ）
A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
重點題型二：與對數函數有關的函數圖象
典型例題
例題1．（2022·浙江浙江·高一期中）函數的圖象的大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·廣東汕尾·高一期末）當時，在同一平面直角坐標系中，與的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·浙江省富陽中學高三階段練習）設且，函數，，則函數在同一平面直角坐標系內的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
同類題型演練
1．（2022·廣東·華南師大附中高一階段練習）函數與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·高三專題練習）已知（且，且），則函數與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江嘉興·高二期中）在同一坐標系中，函數與的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
重點題型三：與對數函數有關的定義域問題
典型例題
例題1．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學高二學業考試）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期末）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·山東濟寧·高二期末）若函數的定義域為，則（ ）
A．3 B．3 C．1 D．1
2．（2022·福建·高二學業考試）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
重點題型四：與對數函數有關的值域問題
典型例題
例題1．（2022·山西運城·高二期末）已知函數，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高一專題練習）函數的值域是________.
例題3．（2022·四川雅安·高一期末）若函數，則函數的值域為___________.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函數的最大值為0，則實數a的值為___________.
3．（2022·重慶八中高二階段練習）函數的值域是_____________．
重點題型五：指數函數與對數函數關系的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）方程的解________．
例題2．（2022·陜西·長安一中高二期末（文））若關于的方程有解，則實數的取值范圍為( )
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·浙江·高三專題練習）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·遼寧·遼師大附中高二階段練習）若方程有解，則的最小值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
重點題型六：對數函數的單調性及應用
角度1：利用對數函數的單調性比較大小
典型例題
例題1．（2022·陜西西安·高二期末（文））已知，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·云南玉溪·高一期末）設，則（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·廣東珠海·高一期末）下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．且
例題4．（2022·湖北省漢川市第一高級中學高一期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
角度2：利用對數函數的單調性解不等式
典型例題
例題1．（2022·浙江省樂清中學高一開學考試）函數的定義域是___.
例題2．（2022·內蒙古·呼和浩特市教育教學研究中心高一期末）函數的定義域為___________.
例題3．（2022·貴州遵義·高一期末）不等式的解集為______.
角度3：對數型復合函數的單調性的問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習（文））函數的單調遞增區間是（　　）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·陜西·寶雞市金臺區教育體育局教研室高二期末（文））函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·寧夏·銀川二中高二期末（理））函數的單調增區間為（ ）
A． B．
C． D．
同類題型演練
1．（2022·福建·福州三中高一期末）已知，且，成立的充分而不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一專題練習）設函數，則使得成立的的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·上海市延安中學高一期末）不等式的解集為___________.
4．（2022·山東·德州市第一中學高一期末）已知實數，且滿足不等式，則不等式的解集為________．
4．（2022·陜西·榆林市第十中學高二期中（文））函數的一個單調增區間是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江蘇南通·高二期中）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·北京·高三專題練習）函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
重點題型七：與對數函數圖象有關的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·山西大同·高一期末）已知函數恒過定點，則函數的單調遞增區間為______．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖，則________．
例題3．（2022·四川成都·高一開學考試）函數（，且）恒過定點，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例題4．（2022·全國·高三專題練習）若函數在上既是奇函數，又是減函數，則的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
同類題型演練
1．（2022·山東省臨沂第一中學高一開學考試）函數的圖像恒過定點的坐標為_________.
2．（2022·海南·瓊海市嘉積第三中學高三階段練習）已知，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·遼寧·高一期末）已知函數，若，則（ ）
A． B．
C． D．以上選項均有可能
4．（2022·湖南·高一期末）已知函數（且，，為常數）的圖象如圖，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
重點題型八：與對數函數相關的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二期末）已知函數 在上單調遞減，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·福建省福州第一中學高二期末）定義在上的奇函數在上單調遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·福建福州·高二期末）若，其中，則（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·河南開封·高二期末（理））已知函數是定義在上的奇函數，當時，，若實數滿足，則的取值范圍是______．
例題5．（2022·全國·高一）函數沒有最小值， 則的取值范圍是______．
例題6．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二期末）已知函數其中是常數.
(1)當時，求的值；
(2)當時，關于的不等式恒成立，求的取值范圍.
例題7．（2022·陜西渭南·高二期末（文））已知函數．
(1)設，若對任意，函數在區間上的最大值和最小值的差不超過1，求的取值范圍；
(2)若函數有且僅有一個零點，求的取值范圍．
例題8．（2022·云南保山·高一期末）已知函數．
(1)求函數的值域；
(2)若，且，求實數的取值范圍．
1．（2022·全國·高三專題練習）瑞典著名物理化學家阿倫尼烏斯通過大量實驗獲得了化學反應速率常數隨溫度變化的實測數據，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：，其中為反應速率常數，為摩爾氣體常量，為熱力學溫度，為反應活化能，為阿倫尼烏斯常數．對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為和時，反應速率常數分別為和（此過程中與的值保持不變），經計算，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習）首位數定理：在進位制中，以數字為首位的數出現的概率為，幾乎所有日常生活中非人為規律的統計數據都滿足這個定理.已知某銀行10000名儲戶的存款金額調查結果符合上述定理，則下列結論正確的是（ ）（參考數據：，）
A．存款金額的首位數字是1的概率約為
B．存款金額的首位數字是5的概率約為9.7%
C．存款金額的首位數字是6的概率小于首位數字是7的概率
D．存款金額的首位數字是8或9的概率約為9.7%
3．（2022·河北·高三階段練習）雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現“碳達峰”，2060年實現“碳中和”．為了實現這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發展的機遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A·h），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關系的經驗公式，其中為Peukert常數．在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間，則當放電電流，放電時間為（ ）
A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h
4．（2022·湖南·株洲二中高一階段練習）區塊鏈作為一種革新技術，已經被應用于許多領域，在區塊鏈技術中，若密碼的長度設定為比特，則密碼一共有種可能，因此為了破解密碼，最壞情況需要進行次運算，現在有一臺機器，每秒能進行次運算，假設機器一直正常運轉，那么在最壞情況下這臺機器破譯密碼所需時間大約為（ ）參考數據：，
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
5．（2022·江西·高三階段練習（理））法國數學家馬林·梅森是研究素數的數學家中成就很高的一位，人們將“（為素數）”形式的素數稱為“梅森素數”，目前僅發現個“梅森素數”，可以估計，這個“梅森素數”的位數為（參考數據：）（ ）
A． B． C． D．
4.4對數函數（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：對數函數的概念
重點題型二：與對數函數有關的函數圖象
重點題型三：與對數函數有關的定義域問題
重點題型四：與對數函數有關的值域問題
重點題型五：指數函數與對數函數關系的應用
重點題型六：對數函數的單調性及應用
角度1：利用對數函數的單調性比較大小
角度2：利用對數函數的單調性解不等式
角度3：對數型復合函數的單調性的問題
重點題型七：與對數函數圖象有關的綜合問題
重點題型八：與對數函數相關的綜合問題
第五部分：新定義問題
知識點一：對數函數的概念
1、對數函數的概念
一般地，函數叫做對數函數，其中指數是自變量，定義域是.
判斷一個函數是對數函數的依據
（1）形如；（2）底數滿足；（3）真數是，而不是的函數；（4）定義域.例如：是對數函數，而、都不是對數函數，可稱為對數型函數.
2、兩種特殊的對數函數
特別地,我們稱以10為底的對數函數為常用對數函數,記作;稱以無理數為底的對數函數為自然對數函數,記作.
知識點二：對數函數的圖象及其性質
函數的圖象和性質如下表：
底數
圖象
性質 定義域
值域
單調性 增函數 減函數
1．（2022·全國·高一課時練習）下列函數是對數函數的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
對數函數（且），其中為常數，為自變量．
對于選項A，符合對數函數定義；
對于選項B，真數部分是，不是自變量，故它不是對數函數；
對于選項C，底數是變量，不是常數，故它不是對數函數；
對于選項D，底數是變量，不是常數，故它不是對數函數．
故選：A．
2．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）函數（，且）的圖象過定點．( )
（2）函數（，且）在上是單調函數．( )
（3）由函數的圖象向左平移1個單位可得的圖象．( )
【答案】 正確 正確 錯誤
（1）由對數函數圖象可知過定點，故正確；
（2）函數（，且），當時，在上是單調增函數，當時，在上是單調減函數，故正確；
（3）函數的圖象向左平移1個單位可得的圖象，故錯誤.
3．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）函數與互為反函數．( )
（2）與的圖象關于對稱．( )
【答案】 錯誤 正確
（1）函數的反函數為，故結論錯誤．
（2）因為與互為反函數，所以它們的圖象關于對稱，故結論正確．
4．（2022·全國·高一課時練習）函數的定義域是( )
A． B． C． D．
【答案】B
由得
所以的定義域為
故選：B．
重點題型一：對數函數的概念
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數函數的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
根據對數函數的定義，只有符合（且）形式的函數才是對數函數，其中x是自變量，a是常數.易知，①是指數函數；②中的自變量在對數的底數的位置，不是對數函數；③中，是對數函數；④中，是對數函數；⑤⑥中函數顯然不是對數函數，由此可知只有③④是對數函數.
故選：C.
例題2．（2021·全國·高一專題練習）給出下列函數：
①；②；③；④.
其中是對數函數的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
①②不是對數函數，因為對數的真數不是僅有自變量x；
③不是對數函數，因為對數的底數不是常數；④是對數函數．
故選:A.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）函數 為對數函數，則等于
A．3 B． C． D．
【答案】B
因為函數 為對數函數，
所以函數系數為1，即即或，
因為對數函數底數大于0，
所以，，
所以．
2．（2021·全國·高一課時練習）下列函數中，是對數函數的是（ ）
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．
D．y＝log5x
【答案】D
A、B、C都不符合對數函數的定義，只有D滿足對數函數定義．
故選：D.
3．（2021·全國·高一專題練習）下列函數是對數函數的是（ ）
A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
【答案】A
A是對數函數，B中真數是，不是，不是對數函數，C中底數不是常數，不是對數函數，D中底數不是常數，不是對數函數．
故選：A．
重點題型二：與對數函數有關的函數圖象
典型例題
例題1．（2022·浙江浙江·高一期中）函數的圖象的大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
求可得或，解得或，排除BCD；
故選：A
例題2．（2022·廣東汕尾·高一期末）當時，在同一平面直角坐標系中，與的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
的定義域為，故AD錯誤；BC中，又因為，所以，故C錯誤，B正確.
故選：B
例題3．（2022·浙江省富陽中學高三階段練習）設且，函數，，則函數在同一平面直角坐標系內的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
函數，單調性相同，同增或者同減，故A錯.
①若,，在定義域內單調遞減，，令時，
如圖C，若，則，此時的漸近線為，由圖，解得，但此時這與與軸交點矛盾，故C錯.
如圖D，解得，無意義，故D錯.
②若時，，在定義域內單調遞增，當時，，且時，，此時B符合.選項B符合
故選:B
同類題型演練
1．（2022·廣東·華南師大附中高一階段練習）函數與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函數為上的減函數，排除AB選項，
函數的定義域為，
內層函數為減函數，外層函數為增函數，
故函數為上的減函數，排除D選項.
故選：C.
2．（2022·浙江·高三專題練習）已知（且，且），則函數與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵（且，且），
∴，∴，
∴，函數與函數互為反函數，
∴函數與的圖象關于直線對稱，且具有相同的單調性.
故選：B．
3．（2022·浙江嘉興·高二期中）在同一坐標系中，函數與的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由指數函數與對數函數的單調性知： 在上單調遞增，在上單調遞增，只有B滿足.
故選：B.
重點題型三：與對數函數有關的定義域問題
典型例題
例題1．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學高二學業考試）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由題可知，即，解得或.
故函數的定義域為.
故選：D.
例題2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期末）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因為，所以的定義域為，
由題得，所以或.
所以函數的定義域為.
故選：B
同類題型演練
1．（2022·山東濟寧·高二期末）若函數的定義域為，則（ ）
A．3 B．3 C．1 D．1
【答案】A
由，得，
由題意可知上式的解集為，
所以為方程的一個根，
所以，得，
故選：A
2．（2022·福建·高二學業考試）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由解得：．
故選：B．
重點題型四：與對數函數有關的值域問題
典型例題
例題1．（2022·山西運城·高二期末）已知函數，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為，所以，所以，
故選：D
例題2．（2022·全國·高一專題練習）函數的值域是________.
【答案】
令，則，
因為，
所以的值域為，
因為在是減函數，
所以，
所以的值域為，
故答案為：
例題3．（2022·四川雅安·高一期末）若函數，則函數的值域為___________.
【答案】
由已知函數的定義域為
又，定義域需滿足，
令，因為 ，
所以，
利用二次函數的性質知，函數的值域為
故答案為：.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由對數函數的值域為，向右平移2個單位得函數的值域為，
則的值域為，
故選：A.
2．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函數的最大值為0，則實數a的值為___________.
【答案】
因為的最大值為0，所以應有最小值1，因此應有解得.
故答案為：.
3．（2022·重慶八中高二階段練習）函數的值域是_____________．
【答案】
，故
故答案為：
重點題型五：指數函數與對數函數關系的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）方程的解________．
【答案】0
由方程：化簡可得.故答案為0.
例題2．（2022·陜西·長安一中高二期末（文））若關于的方程有解，則實數的取值范圍為( )
A． B． C． D．
【答案】C
，
，
當且僅當時取等號，
故．
故選：C．
同類題型演練
1．（2022·浙江·高三專題練習）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題得.
故選：A
2．（2022·遼寧·遼師大附中高二階段練習）若方程有解，則的最小值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
若方程有解，則有解，
即有解．
∵，
當且僅當，
即時，等號成立，
∴的最小值為1，
故選：B．
重點題型六：對數函數的單調性及應用
角度1：利用對數函數的單調性比較大小
典型例題
例題1．（2022·陜西西安·高二期末（文））已知，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因為為減函數，所以，即；
因為為增函數，所以，即；
因為為增函數，所以，即；
所以.
故選：D
例題2．（2022·云南玉溪·高一期末）設，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因為，，，
又由對數函數的性質:當時，底數越大，圖像越低，可得，
所以.
故選: D.
例題3．（2022·廣東珠海·高一期末）下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】C
對于A，因為是單調遞增函數，所以，故A錯誤；
對于B，因為是單調遞減函數，所以，故B錯誤；
對于C，因為，所以，故C正確；
對于D，當時，是單調遞減函數，當時，是單調遞增函數，
所以當時，，當時，，故D錯誤.
故選：C.
例題4．（2022·湖北省漢川市第一高級中學高一期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：，
，
，
所以.
故選：D.
角度2：利用對數函數的單調性解不等式
典型例題
例題1．（2022·浙江省樂清中學高一開學考試）函數的定義域是___.
【答案】
因為函數，
所以 ，即，
解得 ，
所以函數的定義域是，
故答案為：
例題2．（2022·內蒙古·呼和浩特市教育教學研究中心高一期末）函數的定義域為___________.
【答案】
函數要滿足：，解得：，故定義域為：
故答案為：
例題3．（2022·貴州遵義·高一期末）不等式的解集為______.
【答案】
由，可得，
所以，
解得：或，
不等式的解集為.
故答案為：.
角度3：對數型復合函數的單調性的問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習（文））函數的單調遞增區間是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
由題知的定義域為，
令，則，函數單調遞增，
當時，關于單調遞減，關于單調遞減，
當時，關于單調遞增，關于單調遞增，
故的遞增區間為．
故選：D．
例題2．（2022·陜西·寶雞市金臺區教育體育局教研室高二期末（文））函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由，得，
令，則，
在上遞增，在上遞減，
因為在定義域內為增函數，
所以的單調遞減區間為，
故選：A
例題3．（2022·寧夏·銀川二中高二期末（理））函數的單調增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由，
二次函數的對稱軸為：，
所以二次函數的單調遞增區間為，遞減區間為，
而函數是正實數集上的減函數，根據復合函數的單調性質可知：
函數的單調增區間為，
故選：C
同類題型演練
1．（2022·福建·福州三中高一期末）已知，且，成立的充分而不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
當時，在為單調遞增函數，則恒成立，
當時，在為單調遞減函數，
由，可得，解得，
綜上使成立a的范圍是，
由題意： “選項”是使 “”成立的充分而不必要條件，
所以由“選項”可推出 “”成立，反之不成立，
分析選項可得，只有A符合題意，
故選：A
2．（2022·全國·高一專題練習）設函數，則使得成立的的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
方法一 :
由得，
則，解得或.
方法二 :
根據題意，函數，其定義域為，
有，即函數為偶函數，
設，則，
在區間上，為增函數且，在區間上為增函數，
則在上為增函數，
，
解得或，
故選：D．
3．（2022·上海市延安中學高一期末）不等式的解集為___________.
【答案】
由題設，可得：，則，
∴不等式解集為.
故答案為：.
4．（2022·山東·德州市第一中學高一期末）已知實數，且滿足不等式，則不等式的解集為________．
【答案】
因為，所以，而，則，于是.
故答案為：.
4．（2022·陜西·榆林市第十中學高二期中（文））函數的一個單調增區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
函數的定義域為.
要求函數的一個單調增區間，
只需求的增區間，只需.
所以.
所以函數的一個單調增區間是.
故選：C
5．（2022·江蘇南通·高二期中）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為在單調遞增，要滿足題意，只需：
，且，解得.
故函數的單調遞增區間為.
故選：.
6．（2022·北京·高三專題練習）函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題意，，，按照“同增異減”的原則可知，函數的單調遞增區間是.
故選：A.
重點題型七：與對數函數圖象有關的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·山西大同·高一期末）已知函數恒過定點，則函數的單調遞增區間為______．
【答案】##
因為函數恒過定點，所以，
所以，
所以的單調遞增區間為.
故答案為：.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖，則________．
【答案】8
由圖像可得：過點和，則有：，解得．
∴．
故答案為：８．
例題3．（2022·四川成都·高一開學考試）函數（，且）恒過定點，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
由題意，函數，
當時，即時，可得，即函數恒經過點，
又因為恒經過點，可得，解得，
所以.
故選：C.
例題4．（2022·全國·高三專題練習）若函數在上既是奇函數，又是減函數，則的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由于是上的奇函數，所以，
所以為減函數，所以，
所以，為上的減函數，，
所以BCD選項錯誤，A選項正確.
故選：A
同類題型演練
1．（2022·山東省臨沂第一中學高一開學考試）函數的圖像恒過定點的坐標為_________.
【答案】(1,2)
令得：，
此時，
所以函數的圖象恒過定點，
故答案為：．
2．（2022·海南·瓊海市嘉積第三中學高三階段練習）已知，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：圖像如圖所示:
根據圖象得：的解為，
將換成得.
故選：C.
3．（2022·遼寧·高一期末）已知函數，若，則（ ）
A． B．
C． D．以上選項均有可能
【答案】C
作出函數的圖象，如圖：
由題意可知，，且由圖象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故選：C
4．（2022·湖南·高一期末）已知函數（且，，為常數）的圖象如圖，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
因為函數為減函數，所以
又因為函數圖象與軸的交點在正半軸，所以，即
又因為函數圖象與軸有交點，所以，所以，
故選：D
重點題型八：與對數函數相關的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二期末）已知函數 在上單調遞減，則的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為函數 在上單調遞減，
所以函數在上單調遞增，且在上恒成立，
所以，解得.
故選：B
例題2．（2022·福建省福州第一中學高二期末）定義在上的奇函數在上單調遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為函數為奇函數，
所以，又，，
所以不等式，可化為，
即，
又因為在上單調遞增，
所以在R上單調遞增，
所以，
解得.
故選：D.
例題3．（2022·福建福州·高二期末）若，其中，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因，則，又，即有，
于是得，因此，
所以.
故選：A
例題4．（2022·河南開封·高二期末（理））已知函數是定義在上的奇函數，當時，，若實數滿足，則的取值范圍是______．
【答案】
根據題意，當時，根據二次函數知識，開口向下的二次函數，對稱軸，則在上為減函數，又由為奇函數，則在上為減函數，且，故在上為減函數，由，得，即，解得，即實數的取值范圍為．
故答案為：
例題5．（2022·全國·高一）函數沒有最小值， 則的取值范圍是______．
【答案】
解：令，則外函數為，
因為在定義域上單調遞增，
要使函數沒有最小值，
即的值域能夠取到，且不恒小于等于，
當時，符合題意，
當時開口向下，只需，解得，即；
當時開口向上，只需，解得，即；
綜上可得，即；
故答案為：
例題6．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二期末）已知函數其中是常數.
(1)當時，求的值；
(2)當時，關于的不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(1)解得：
(2)，恒成立，
恒成立，
不妨設，設，則在 上是增函數，
.
的取值范圍為.
例題7．（2022·陜西渭南·高二期末（文））已知函數．
(1)設，若對任意，函數在區間上的最大值和最小值的差不超過1，求的取值范圍；
(2)若函數有且僅有一個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
（1）由復合函數的單調性易知函數為減函數，由題得，即，化簡得，則，∵若對任意，函數在區間上的最大值和最小值的差不超過1，∴，令，，∴，故的取值范圍為．
（2）∵有且僅有一個零點，∴方程有且僅有一個解；由，得，即，即，①則，即，②當時，方程②的解為，代入①成立；當時，方程②的解為，代入①成立；當且時，方程②的解為或，若是方程①的解，則，即，若是方程①的解，則，即，要使方程①有且僅有一解，則，綜上所述，的取值范圍為．
例題8．（2022·云南保山·高一期末）已知函數．
(1)求函數的值域；
(2)若，且，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)因為定義域為，
則
設，
令，
所以值域為
(2)設，
因為
所以
即，
即，所以
則的兩根為
整理得
因為
解得
再由韋達定理可得:
則

解得
綜上，
1．（2022·全國·高三專題練習）瑞典著名物理化學家阿倫尼烏斯通過大量實驗獲得了化學反應速率常數隨溫度變化的實測數據，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：，其中為反應速率常數，為摩爾氣體常量，為熱力學溫度，為反應活化能，為阿倫尼烏斯常數．對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為和時，反應速率常數分別為和（此過程中與的值保持不變），經計算，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題意知：，，則.
故選：A.
2．（2022·全國·高三專題練習）首位數定理：在進位制中，以數字為首位的數出現的概率為，幾乎所有日常生活中非人為規律的統計數據都滿足這個定理.已知某銀行10000名儲戶的存款金額調查結果符合上述定理，則下列結論正確的是（ ）（參考數據：，）
A．存款金額的首位數字是1的概率約為
B．存款金額的首位數字是5的概率約為9.7%
C．存款金額的首位數字是6的概率小于首位數字是7的概率
D．存款金額的首位數字是8或9的概率約為9.7%
【答案】D
因此存款金額用十進制計算，故，
對于A，存款金額的首位數字是1的概率為，故A錯誤.
對于B，存款金額的首位數字是5的概率為
，
故不約為9.7%，故B錯誤.
對于C，存款金額的首位數字是6的概率為，
存款金額的首位數字是7的概率為，
因為，故，故C錯誤.
對于D，存款金額的首位數字是8的概率為，
存款金額的首位數字是9的概率為，
故存款金額的首位數字是8或9的概率為，
故D正確.
故選：D.
3．（2022·河北·高三階段練習）雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現“碳達峰”，2060年實現“碳中和”．為了實現這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發展的機遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A·h），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關系的經驗公式，其中為Peukert常數．在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間，則當放電電流，放電時間為（ ）
A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h
【答案】B
解：根據題意可得，
則當時，
，
所以，
即當放電電流，放電時間為28.5h.
故選：B.
4．（2022·湖南·株洲二中高一階段練習）區塊鏈作為一種革新技術，已經被應用于許多領域，在區塊鏈技術中，若密碼的長度設定為比特，則密碼一共有種可能，因此為了破解密碼，最壞情況需要進行次運算，現在有一臺機器，每秒能進行次運算，假設機器一直正常運轉，那么在最壞情況下這臺機器破譯密碼所需時間大約為（ ）參考數據：，
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】A
由題意知：所需時間，
，
.
故選：A.
5．（2022·江西·高三階段練習（理））法國數學家馬林·梅森是研究素數的數學家中成就很高的一位，人們將“（為素數）”形式的素數稱為“梅森素數”，目前僅發現個“梅森素數”，可以估計，這個“梅森素數”的位數為（參考數據：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
依題意，，故這個“梅森素數”有位，
故選：C.

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