資源簡介

4.5.1函數的零點與方程的解（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求函數的零點
重點題型二：函數零點個數的判斷
重點題型三：判斷函數零點所在的區間
重點題型四：已知零點個數求參數的取值范圍
重點題型五：已知零點所在區間求參數的取值范圍
重點題型六：二次函數的零點問題
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數零點的概念
1、函數零點的概念
對于一般函數，我們把使的實數叫做函數的零點.
幾何定義:函數的零點就是方程的實數解,也就是函數的圖象與軸的公共點的橫坐標.
這樣：方程有實數解函數有零點函數的圖象與軸有公共點
2、已學基本初等函數的零點
①一次函數只有一個零點；
②反比例函數沒有零點；
③指數函數（且）沒有零點；
④對數函數（且）只有一個零點1；
⑤冪函數當時，有一個零點0；當時，無零點。
知識點二：函數零點存在定理及其應用
1、函數零點存在定理
如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么函數在區間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.
說明：定理要求具備兩個條件:①函數在區間上的圖象是連續不斷的;②.兩個條件缺一不可.
2、函數零點的求法
①代數法：根據零點定義，求出方程的實數解;
②數形結合法：作出函數圖象，利用函數性質求解
3、函數零點個數的判斷
①利用代數法，求出所有零點；
②數形結合，通過作圖，找出圖象與軸交點的個數；
③數形結合，通過分離，將原函數拆分成兩個函數，找到兩個函數圖象交點的個數；
④函數零點唯一：函數存在零點+函數單調.
知識點三：二次函數的零點問題
一元二次方程的實數根也稱為函數的零點.
當時，一元二次方程的實數根、二次函數的零點之間的關系如下表所示：
的實數根 （其中） 方程無實數根
的圖象
的零點 函數無零點
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）函數的零點是一個點．( )
（2）任何函數都有零點．( )
（3）函數的零點是．( )
（4）若函數滿足，則函數在區間上至少有一個零點．( )
（5）函數的零點不是點，它是函數的圖象與x軸交點的橫坐標，是方程的根．( )
2．（2022·全國·高一課時練習）函數的零點是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·河南·模擬預測）關于x的一元二次方程有實數根，則m的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二學業考試）在下列區間中，函數的一個零點所在的區間為（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））函數的零點的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
重點題型一：求函數的零點
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習（文））函數的零點是（ ）
A．，1 B． C．，-1 D．
例題2．（2022·安徽·合肥一中模擬預測（文））已知函數，則函數的零點為（ ）
A． B．，0 C． D．0
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習（理））函數的零點是（ ）
A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1
2．（2022·全國·高一期末）函數的零點是（ ）
A．（，0） B．（4，0） C．（，0）或（4，0） D．或4
重點題型二：函數零點個數的判斷
典型例題
例題1．（2022·四川綿陽·高一期末）設函數則函數的零點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，則函數零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
同類題型演練
1．（2022·江蘇常州·高一期末）函數的零點個數是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高三專題練習）函數的零點個數為（ ）個
A．2 B．1 C．0 D．3
3．（2022·廣東惠州·高一期末）已知函數，則函數零點的個數為_________．
重點題型三：判斷函數零點所在的區間
典型例題
例題1．（2022·貴州遵義·高一期末）方程的解所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·福建·高二）函數的零點所在的區間是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）函數的零點所在區間為（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·河南開封·高二階段練習（文））函數的一個零點所在的區間是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·陜西·寶雞市金臺區教育體育局教研室高二期末（文））函數的零點所在的大致區間是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南濮陽·高一期末（文））函數的零點所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
重點題型四：已知零點個數求參數的取值范圍
典型例題
例題1．（2022·天津和平·高一期末）已知函數有零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·四川雅安·高一期末）已知函數，若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·河南洛陽·高一期末）已知函數，，若恰有2個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·湖北恩施·高一期中）已知函數，若方程有四個不同的實根，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是
A． B．
C． D．
重點題型五：已知零點所在區間求參數的取值范圍
典型例題
例題1．（2022·河南焦作·高一期末）若函數在區間上存在零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·內蒙古·阿拉善盟第一中學高二期末（文））若的零點所在的區間為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高一課時練習）已知函數有唯一零點，如果它的零點在區間內，則實數的取值范圍是_______．
同類題型演練
1．（2022·海南·海口一中高一期中）函數的一個零點在區間內，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高一專題練習）若函數在區間上有一個零點，則實數的取值范圍是__．
3．（2022·山東菏澤·高一期末）函數的零點在區間內，則整數的值為______（其中為自然對數的底數，）
重點題型六：二次函數的零點問題
典型例題
例題1．（2022·遼寧·高二期末）關于的方程有兩個正根，下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．
C．的取值范圍是
D．的取值范圍是
例題2．（2022·浙江·杭十四中高二期末）關于的方程至少有一個正的實根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
例題3．（2022·全國·高一專題練習）關于的方程在區間內有兩個不等實根，則實數的取值范圍是_____．
例題4．（2022·四川成都·高一開學考試）若關于的方程有兩個不相等的實根、，且滿足，則實數的取值范圍是（ ）
A．（2，5） B．
C． D．
同類題型演練
1．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（理））已知有兩個零點，，有兩個零點，若區間，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建龍巖·模擬預測）函數的兩個不同的零點均大于的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重慶·模擬預測）已知二次函數的兩個零點都在區間內，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高一專題練習）已知關于的方程的兩個實根一個小于，另一個大于，則實數的取值范圍是_____．
1．（2022·全國·高三專題練習）拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微積分學中的基本定理之一，它反映了函數在閉區間上的整體平均變化率與區間某點的局部變化率的關系，其具體內容如下：若在上滿足以下條件：①在上圖象連續，②在內導數存在，則在內至少存在一點，使得（為的導函數）．則函數在上這樣的點的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，為了紀念數學家高斯，人們把函數稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數.設，則函數的所有零點之和為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，設，用表示不超過的最大整數，也被稱為“高斯函數”，例如，，，設為函數的零點，則（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·浙江·高三專題練習）對實數a和b，定義運算“”：設函數．若函數恰有兩個零點，則實數c的取值范圍是___________．
1．（2022·天津·高考真題）已知函數，若至少有個零點，則的取值范圍是______.
2．（2021·北京·高考真題）已知函數，給出下列四個結論：
①若，恰 有2個零點；
②存在負數，使得恰有1個零點；
③存在負數，使得恰有3個零點；
④存在正數，使得恰有3個零點．
其中所有正確結論的序號是_______．
4.5.1函數的零點與方程的解（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求函數的零點
重點題型二：函數零點個數的判斷
重點題型三：判斷函數零點所在的區間
重點題型四：已知零點個數求參數的取值范圍
重點題型五：已知零點所在區間求參數的取值范圍
重點題型六：二次函數的零點問題
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：函數零點的概念
1、函數零點的概念
對于一般函數，我們把使的實數叫做函數的零點.
幾何定義:函數的零點就是方程的實數解,也就是函數的圖象與軸的公共點的橫坐標.
這樣：方程有實數解函數有零點函數的圖象與軸有公共點
2、已學基本初等函數的零點
①一次函數只有一個零點；
②反比例函數沒有零點；
③指數函數（且）沒有零點；
④對數函數（且）只有一個零點1；
⑤冪函數當時，有一個零點0；當時，無零點。
知識點二：函數零點存在定理及其應用
1、函數零點存在定理
如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么函數在區間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.
說明：定理要求具備兩個條件:①函數在區間上的圖象是連續不斷的;②.兩個條件缺一不可.
2、函數零點的求法
①代數法：根據零點定義，求出方程的實數解;
②數形結合法：作出函數圖象，利用函數性質求解
3、函數零點個數的判斷
①利用代數法，求出所有零點；
②數形結合，通過作圖，找出圖象與軸交點的個數；
③數形結合，通過分離，將原函數拆分成兩個函數，找到兩個函數圖象交點的個數；
④函數零點唯一：函數存在零點+函數單調.
知識點三：二次函數的零點問題
一元二次方程的實數根也稱為函數的零點.
當時，一元二次方程的實數根、二次函數的零點之間的關系如下表所示：
的實數根 （其中） 方程無實數根
的圖象
的零點 函數無零點
1．（2022·全國·高一課時練習）判斷正誤．
（1）函數的零點是一個點．( )
（2）任何函數都有零點．( )
（3）函數的零點是．( )
（4）若函數滿足，則函數在區間上至少有一個零點．( )
（5）函數的零點不是點，它是函數的圖象與x軸交點的橫坐標，是方程的根．( )
【答案】 錯誤 錯誤 錯誤 錯誤 正確
零點是函數時對應的自變量的取值，是一個數值，而不是一個點，所以（1）（3）錯誤，（5）正確；不是任何函數都有零點，比如沒有零點，所以（2）錯誤，根據函數零點存在定理，首先函數圖象是連續不斷的，所以（4）錯誤.
2．（2022·全國·高一課時練習）函數的零點是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
令，得到，
故答案為：A
3．（2022·河南·模擬預測）關于x的一元二次方程有實數根，則m的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
要使關于x的一元二次方程有實數根，
只需，解得：.
對照四個選項，只有A符合題意.
故選：A
4．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二學業考試）在下列區間中，函數的一個零點所在的區間為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
由題意，函數，
可得，所以，
結合零點的存在定理，可得函數的一個零點所在的區間為.
故選：B.
5．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））函數的零點的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
由于函數在上是增函數，且，
故函數在上有唯一零點，也即在上有唯一零點.
故選：B.
重點題型一：求函數的零點
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習（文））函數的零點是（ ）
A．，1 B． C．，-1 D．
【答案】A
令，解得或
函數的零點為
故選：．
例題2．（2022·安徽·合肥一中模擬預測（文））已知函數，則函數的零點為（ ）
A． B．，0 C． D．0
【答案】D
函數
當時，
令，解得
當時，
令，解得（舍去）
綜上函數的零點為0
故選：D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習（理））函數的零點是（ ）
A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1
【答案】C
由題意，函數，令，即，解得，
即函數的零點為.
故選：C.
2．（2022·全國·高一期末）函數的零點是（ ）
A．（，0） B．（4，0） C．（，0）或（4，0） D．或4
【答案】D
函數的零點就是方程的根，
由可得，
解得或，
故選：D.
重點題型二：函數零點個數的判斷
典型例題
例題1．（2022·四川綿陽·高一期末）設函數則函數的零點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
由函數解析式，令，則：
當時，，解得或（舍）；
當時，，解得.
所以函數有2個零點.
故選：B
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，則函數零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
當時，，所以不存在零點；
當時，，也不存在零點，所以函數的零點個數為0.
故選：A.
同類題型演練
1．（2022·江蘇常州·高一期末）函數的零點個數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
當時，令，解得，
當時，令，解得，
所以此函數有2個零點.
故選：B
2．（2022·北京·高三專題練習）函數的零點個數為（ ）個
A．2 B．1 C．0 D．3
【答案】A
由，
由，
所以函數的零點個數為2，
故選：A.
3．（2022·廣東惠州·高一期末）已知函數，則函數零點的個數為_________．
【答案】
當時，由，可得（舍）或；
當時，由，可得.
綜上所述，函數零點的個數為.
故答案為：.
重點題型三：判斷函數零點所在的區間
典型例題
例題1．（2022·貴州遵義·高一期末）方程的解所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
都是上的增函數，
故是上的增函數，
又由，，
，
因為，
所以，，
所以，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤；
故選：C.
例題2．（2022·福建·高二）函數的零點所在的區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因為為上的增函數，又，，
所以函數的零點所在的區間是，
故選：B.
例題3．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）函數的零點所在區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因為與在定義域上單調遞增，
所以在定義域上單調遞增，
又，，，
即，所以的零點位于內；
故選：C
例題4．（2022·河南開封·高二階段練習（文））函數的一個零點所在的區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為，的定義域為，
，所以在上單調遞增，
所以，，
由零點存在性定理知：，函數的一個零點所在的區間是.故選：D.
同類題型演練
1．（2022·陜西·寶雞市金臺區教育體育局教研室高二期末（文））函數的零點所在的大致區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：的定義域為，又與在上單調遞增，
所以在上單調遞增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零點.
故選：C
2．（2022·河南濮陽·高一期末（文））函數的零點所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：∵
∴ ，，，
，
∴
根據零點存在性定理：的零點所在的區間是：.
故選：C.
重點題型四：已知零點個數求參數的取值范圍
典型例題
例題1．（2022·天津和平·高一期末）已知函數有零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
，
函數有零點，
與有交點，
，
即，
故選：C
例題2．（2022·四川雅安·高一期末）已知函數，若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函數有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的根，從而函數的圖象和函數的圖象有兩個不同的交點，
由可知，當時，函數是周期為1的函數，
如圖，在同一直角坐標系中作出函數的圖象和函數的圖象，
數形結合可得，當即時，兩函數圖象有兩個不同的交點，
故函數有兩個不同的零點.
故選：A.
例題3．（2022·河南洛陽·高一期末）已知函數，，若恰有2個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依題意，函數的圖象與直線有兩個交點，
作出函數圖象如下圖所示，
由圖可知，要使函數的圖象與直線有兩個交點，則，即.
故選：B.
同類題型演練
1．（2022·湖北恩施·高一期中）已知函數，若方程有四個不同的實根，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
作出函數的圖象，如圖所示：
方程有四個不同的實根，，，，滿足，
則，
即：，所以，
，所以，根據二次函數的對稱性可得：，
，
考慮函數單調遞增，
，
所以時的取值范圍為.
故選：A
2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】C
恰有兩個零點，等價于與有兩個交點，同一坐標系，畫出與的圖象，直線過時，，直線與，相切時，由圖知，時，兩圖象有兩交點，即
的取值范圍是，故選C.
重點題型五：已知零點所在區間求參數的取值范圍
典型例題
例題1．（2022·河南焦作·高一期末）若函數在區間上存在零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，故在區間上恒成立
在上單調遞增.又函數在區間上存在零點，故，即，解得
故選：C
例題2．（2022·內蒙古·阿拉善盟第一中學高二期末（文））若的零點所在的區間為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為的零點所在的區間為，
所以只需，
即，解得.
故選：B.
例題3．（2022·全國·高一課時練習）已知函數有唯一零點，如果它的零點在區間內，則實數的取值范圍是_______．
【答案】
因為在上單調遞增，因為函數的零點在區間內，
所以，即，
解得，所以實數的取值范圍是．
同類題型演練
1．（2022·海南·海口一中高一期中）函數的一個零點在區間內，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題可知：函數單調遞增，若 一個零點在區間內，則需：，
即，解得，
故選：C.
2．（2022·全國·高一專題練習）若函數在區間上有一個零點，則實數的取值范圍是__．
【答案】
解：由題意得：
函數在區間上有一個零點
若方程的判別式為，可得或
當時，，有零點，不滿足題意；
當時，，有零點，不滿足題意；
若，可得，可得或
可得，解得
綜上所述可得：
故答案為：
3．（2022·山東菏澤·高一期末）函數的零點在區間內，則整數的值為______（其中為自然對數的底數，）
【答案】0
因為均為增函數，所以為增函數；
又，所以的零點在區間內，所以.
故答案為：0
重點題型六：二次函數的零點問題
典型例題
例題1．（2022·遼寧·高二期末）關于的方程有兩個正根，下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．
C．的取值范圍是
D．的取值范圍是
【答案】D
由有兩不相等實數根，
得，解得,
令，
對于A選項，由，，所以，故A正確；
對于B選項，由，，所以，故B正確；
對于C選項，因為，所以的取值范圍是，故C正確；
對于D選項，由
所以取值范圍是，故D錯誤.
故選：D.
例題2．（2022·浙江·杭十四中高二期末）關于的方程至少有一個正的實根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
首先分析方程沒有正實數根時a的取值范圍：
當a=0時，方程為2x=1，方程有正實數根；
當時，
若方程有一個正，一非正的實根，則，解得
若方程兩個實數根均為正，則，解得
綜上，滿足題意的a的取值范圍是： .
故選：C
例題3．（2022·全國·高一專題練習）關于的方程在區間內有兩個不等實根，則實數的取值范圍是_____．
【答案】
關于的方程在區間內有兩個不等實根，令，
則有，解得，
所以實數的取值范圍是.
故答案為：
例題4．（2022·四川成都·高一開學考試）若關于的方程有兩個不相等的實根、，且滿足，則實數的取值范圍是（ ）
A．（2，5） B．
C． D．
【答案】B
令，且，
所以只需滿足且即可，
即且，解得，
故選:B.
同類題型演練
1．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（理））已知有兩個零點，，有兩個零點，若區間，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題知，得
解得
解得
因為
所以
即
取時，，，不滿足，故BC錯誤；
取時，
，即，不滿足題意，故D錯誤.
故選：A
2．（2022·福建龍巖·模擬預測）函數的兩個不同的零點均大于的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因為函數的兩個不同的零點均大于，
所以，解得.
所以選項A是函數的兩個不同的零點均大于的既不充分也不必要條件；選項B是函數的兩個不同的零點均大于的充分不必要條件；
選項C是函數的兩個不同的零點均大于的充要條件；選項D是函數的兩個不同的零點均大于的必要不充分條件.
故選：B.
3．（2022·重慶·模擬預測）已知二次函數的兩個零點都在區間內，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
二次函數，對稱軸為，開口向上，
在上單調遞減，在上單調遞增，
要使二次函數的兩個零點都在區間內，
需，解得
故實數a的取值范圍是
故選：C
4．（2022·全國·高一專題練習）已知關于的方程的兩個實根一個小于，另一個大于，則實數的取值范圍是_____．
【答案】
顯然，關于的方程對應的二次函數
當時，二次函數的圖象開口向上，
因為的兩個實根一個小于，另一個大于等價于二次函的圖象與軸的兩個零點一個小于0，另一個大于，
所以，即，解得；
②當時，二次函數的圖象開口向下，
因為的兩個實根一個小于，另一個大于等價于二次函的圖象與軸的兩個零點一個小于0，另一個大于，
所以，即，解得；
綜上所述，實數的范圍是．
故答案為：．
1．（2022·全國·高三專題練習）拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微積分學中的基本定理之一，它反映了函數在閉區間上的整體平均變化率與區間某點的局部變化率的關系，其具體內容如下：若在上滿足以下條件：①在上圖象連續，②在內導數存在，則在內至少存在一點，使得（為的導函數）．則函數在上這樣的點的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
函數，則，
由題意可知，存在點，，使得，即，
所以，，，
作出函數和的圖象，如圖所示，
由圖象可知，函數和的圖象只有一個交點，
所以，，只有一個解，即函數在，上點的個數為1個．
故選：A
2．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，為了紀念數學家高斯，人們把函數稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數.設，則函數的所有零點之和為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
由題意知，當時，，所以不是函數的零點，
當時，可得，，
令，
作出函數的圖象如圖所示：
由圖象可知，除點外，函數圖象其余交點關于（0，1）中心對稱，∴橫坐標互為相反數，即，
由函數零點的定義知，函數的所有零點之和為
.
故選：A
3．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，設，用表示不超過的最大整數，也被稱為“高斯函數”，例如，，，設為函數的零點，則（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
，函數在上單調遞增，
，
，
若，則，
所以.
故選：B
4．（2022·浙江·高三專題練習）對實數a和b，定義運算“”：設函數．若函數恰有兩個零點，則實數c的取值范圍是___________．
【答案】
因為，
所以
由圖可知，當或時，函數與的圖象有兩個公共點，
的取值范圍是.
故答案為：
1．（2022·天津·高考真題）已知函數，若至少有個零點，則的取值范圍是______.
【答案】
設，，由可得.
要使得函數至少有個零點，則函數至少有一個零點，則，
解得或.
①當時，，作出函數、的圖象如下圖所示：
此時函數只有兩個零點，不合乎題意；
②當時，設函數的兩個零點分別為、，
要使得函數至少有個零點，則，
所以，，解得；
③當時，，作出函數、的圖象如下圖所示：
由圖可知，函數的零點個數為，合乎題意；
④當時，設函數的兩個零點分別為、，
要使得函數至少有個零點，則，
可得，解得，此時.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故答案為：.
2．（2021·北京·高考真題）已知函數，給出下列四個結論：
①若，恰 有2個零點；
②存在負數，使得恰有1個零點；
③存在負數，使得恰有3個零點；
④存在正數，使得恰有3個零點．
其中所有正確結論的序號是_______．
【答案】①②④
對于①，當時，由，可得或，①正確；
對于②，考查直線與曲線相切于點，
對函數求導得，由題意可得，解得，
所以，存在，使得只有一個零點，②正確；
對于③，當直線過點時，，解得，
所以，當時，直線與曲線有兩個交點，
若函數有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，
直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，
因此，不存在，使得函數有三個零點，③錯誤；
對于④，考查直線與曲線相切于點，
對函數求導得，由題意可得，解得，
所以，當時，函數有三個零點，④正確.
故答案為：①②④.

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