資源簡介

4.5.2用二分法求方程的近似解（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：二分法概念的理解
重點題型二：確定零點（根）所在區間
重點題型三：用二分法求函數的零點的近似值
重點題型四：二分法的過程
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：區間中點
對于區間，其中點
知識點二：二分法
1、二分法的概念
對于在區間上圖象連續不斷且的函數，通過不斷的把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection )
2、用二分法求零點的近似值
給定精確度，用二分法求函數零點的近似值的一般步驟如下：
（1）確定零點的初始區間，驗證；
（2）求區間的中點
（3）計算;
①若（此時)，則就是函數的零點；
②若（此時)，則令；
③若（此時)，則令；
（4）判斷是否達到精確度，若，則得到零點近似值(或)，否則重復2--4
1．（2022·湖南·高一課時練習）觀察下列函數的圖象，判斷能用二分法求其零點的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南師大附中高一期末）用二分法求函數的一個正零點的近似值（精確度為0.1）時，依次計算得到如下數據：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f（1.375）≈–0.260，關于下一步的說法正確的是
A．已經達到精確度的要求，可以取1.4作為近似值
B．已經達到精確度的要求，可以取1.375作為近似值
C．沒有達到精確度的要求，應該接著計算f（1.4375）
D．沒有達到精確度的要求，應該接著計算f（1.3125）
3．（2022·湖北省武昌實驗中學高一期末）已知函數的部分函數值如下表所示
那么函數的一個零點的近似值（精確度為）為（ ）
A． B． C． D．
重點題型一：二分法概念的理解
典型例題
例題1．（2022·新疆吐魯番·高一期末）下列函數圖象中，不能用二分法求零點的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）下列各圖象表示的函數中沒有零點的是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·天津河北·高一期末）用二分法求如圖所示函數的零點時，不可能求出的零點是(　　)
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·河南信陽·高一期末）下列函數圖象與x軸都有交點，其中不能用二分法求其零點的是___________.（寫出所有符合條件的序號）
重點題型二：確定零點（根）所在區間
典型例題
例題1．（2022·內蒙古·呼和浩特市教育教學研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函數的部分函數值數據如下：，，，，則方程的一個近似根x所在區間為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·浙江·太湖高級中學高二）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區間是（ ）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）用二分法求方程的近似解時，可以取的一個區間是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇·揚中市第二高級中學高一開學考試）在用二分法求方程的一個近似解時，現在已經將根鎖定在區間(1,2)內，則下一步可以斷定該根所在區間為___________.
3．（2022·寧夏·平羅中學高一期末）在下列區間中，函數的零點所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
重點題型三：用二分法求函數的零點的近似值
典型例題
例題1．（2022·江西新余·高一期末）若函數在區間[1，1.5]內的一個零點附近函數值用二分法逐次計算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程的一個近似根（精確度為0.1）可以為（　　）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
例題2．（2022·全國·高三專題練習）用二分法求函數的一個零點，根據參考數據，可得函數的一個零點的近似解（精確到0.1）為（ ）（參考數據：，，，，）
A． B． C． D．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數()的一個零點附近的函數值的參考數據如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
2．（2022·廣東·韶關市田家炳中學高一期末）用二分法求函數f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數據如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
據此數據，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解為________(精確到0.01)
重點題型四：二分法的過程
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為時，所需二分區間的次數最少為______．
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）借助計算器或計算機，用二分法求方程在區間上的根的近似值（誤差不超過）．
同類題型演練
1．（2022·黑龍江·大慶中學高一期末）若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：
那么方程的一個近似根（精確度）可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·高一課時練習）用二分法求方程的根的近似值（誤差不超過0.001）．
1．（2022·浙江·高三專題練習）為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮；星等的數值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量的應用，英國天文學家普森又提出了亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，則“心宿二”的亮度大約是“天津四”的（ ）倍.（當較小時，）
A．1.27 B．1.26 C．1.23 D．1.22
2．（2022·全國·高三專題練習（文））基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
3．（2022·全國·高三專題練習（文））Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
4.5.2用二分法求方程的近似解（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：二分法概念的理解
重點題型二：確定零點（根）所在區間
重點題型三：用二分法求函數的零點的近似值
重點題型四：二分法的過程
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：區間中點
對于區間，其中點
知識點二：二分法
1、二分法的概念
對于在區間上圖象連續不斷且的函數，通過不斷的把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection )
2、用二分法求零點的近似值
給定精確度，用二分法求函數零點的近似值的一般步驟如下：
（1）確定零點的初始區間，驗證；
（2）求區間的中點
（3）計算;
①若（此時)，則就是函數的零點；
②若（此時)，則令；
③若（此時)，則令；
（4）判斷是否達到精確度，若，則得到零點近似值(或)，否則重復2--4
1．（2022·湖南·高一課時練習）觀察下列函數的圖象，判斷能用二分法求其零點的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由圖象可知，BD選項中函數無零點，AC選項中函數有零點，C選項中函數零點兩側函數值符號相同，A選項中函數零點兩側函數值符號相反，故A選項中函數零點可以用二分法求近似值，C選項不能用二分法求零點.故選：A
2．（2022·湖南師大附中高一期末）用二分法求函數的一個正零點的近似值（精確度為0.1）時，依次計算得到如下數據：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f（1.375）≈–0.260，關于下一步的說法正確的是
A．已經達到精確度的要求，可以取1.4作為近似值
B．已經達到精確度的要求，可以取1.375作為近似值
C．沒有達到精確度的要求，應該接著計算f（1.4375）
D．沒有達到精確度的要求，應該接著計算f（1.3125）
【答案】C
由由二分法知，方程的根在區間區間（1.375，1.5），沒有達到精確度的要求，應該接著計算f（1.4375）．故選C．
3．（2022·湖北省武昌實驗中學高一期末）已知函數的部分函數值如下表所示
那么函數的一個零點的近似值（精確度為）為（ ）A． B． C． D．
【答案】B
函數在R上單調遞增，
由數表知：，
由零點存在性定義知，函數的零點在區間內，
所以函數的一個零點的近似值為.
故選：B
重點題型一：二分法概念的理解
典型例題
例題1．（2022·新疆吐魯番·高一期末）下列函數圖象中，不能用二分法求零點的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
觀察圖象與軸的交點，若交點附近的函數圖象連續，且在交點兩側的函數值符號相異，則可用二分法求零點，故B不能用二分法求零點．
故選：B.
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）下列各圖象表示的函數中沒有零點的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
函數沒有零點等價于函數圖像與軸無交點，選項只有選項的圖像與軸無交點.
故選：.
例題3．（2022·天津河北·高一期末）用二分法求如圖所示函數的零點時，不可能求出的零點是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
觀察圖象可知：點x3的附近兩旁的函數值都為負值，∴點x3不能用二分法求，故選C.
同類題型演練
1．（2022·河南信陽·高一期末）下列函數圖象與x軸都有交點，其中不能用二分法求其零點的是___________.（寫出所有符合條件的序號）
【答案】（1）（3）
用二分法只能求“變號零點”， （1），（3）中的函數零點不是“變號零點”，故不能用二分法求
故答案為：（1）（3）
重點題型二：確定零點（根）所在區間
典型例題
例題1．（2022·內蒙古·呼和浩特市教育教學研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函數的部分函數值數據如下：，，，，則方程的一個近似根x所在區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由題意，知，
所以函數的零點在區間內，即方程的一個近似根x所在區間為.
故選：B.
例題2．（2022·浙江·太湖高級中學高二）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：設，
當連續函數滿足（a）（b）時，在區間上有零點，
即方程在區間上有解，
又（2），（3），
故（2）（3），
故方程在區間上有解，
即利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區間是.
故選：C．
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）用二分法求方程的近似解時，可以取的一個區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
設，在上單調遞增.
∵，.
∴根據函數的零點存在性定理得出：的零點在區間內；
方程的解所在的區間為，
故選：B.
2．（2022·江蘇·揚中市第二高級中學高一開學考試）在用二分法求方程的一個近似解時，現在已經將根鎖定在區間(1,2)內，則下一步可以斷定該根所在區間為___________.
【答案】
根據二分法，取區間中點值，而，，所以，故判定根在區間
3．（2022·寧夏·平羅中學高一期末）在下列區間中，函數的零點所在的區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為函數在上連續單調遞增，
且,
所以函數的零點在區間內，故選C.
重點題型三：用二分法求函數的零點的近似值
典型例題
例題1．（2022·江西新余·高一期末）若函數在區間[1，1.5]內的一個零點附近函數值用二分法逐次計算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程的一個近似根（精確度為0.1）可以為（　　）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
【答案】B
由，，且為連續函數，由零點存在性定理知：區間內存在零點，故方程的一個近似根可以為1.32，B選項正確，其他選項均不可.
故選：B
例題2．（2022·全國·高三專題練習）用二分法求函數的一個零點，根據參考數據，可得函數的一個零點的近似解（精確到0.1）為（ ）（參考數據：，，，，）
A． B． C． D．
【答案】C
由題意可知：
，
，
又因為函數在上連續，所以函數在區間上有零點，
約為
故選：C.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數()的一個零點附近的函數值的參考數據如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
【答案】C
在上單調遞增.
設近似值為，
由表格有，
所以
故選：C
2．（2022·廣東·韶關市田家炳中學高一期末）用二分法求函數f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數據如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
據此數據，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解為________(精確到0.01)
【答案】1.56
注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，顯然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故區間的端點四舍五入可得1.56.
重點題型四：二分法的過程
典型例題
例題1．（2022·全國·高一專題練習）用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為時，所需二分區間的次數最少為______．
【答案】7
根據題意，原來區間的長度等于，
每經過二分法的一次操作，區間長度變為原來的一半，
則經過次操作后，區間的長度為，若，
即；故最少為次.
故答案為：7.
例題2．（2022·湖南·高一課時練習）借助計算器或計算機，用二分法求方程在區間上的根的近似值（誤差不超過）．
【答案】
令，可得，
當時，，所以在區間上單調遞增，
因為，所以在區間內只有一個零點，
即為方程在的根，
由，所以零點在區間內；
由，，所以零點在區間內；
由，，所以零點在區間內；
由，，所以零點在區間內；
由，，
所以零點在區間內；
由，，
所以零點在區間內；
由，，
所以零點在區間內；
由，，
所以零點在區間內；
由，，
因為，
所以函數在區間上的零點的近似值為，
所以方程在區間上的根的近似值.
同類題型演練
1．（2022·黑龍江·大慶中學高一期末）若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：
那么方程的一個近似根（精確度）可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；
因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；
因為，，所以函數在內有零點，
因為，所以滿足精確度，
所以方程的一個近似根（精確度）是區間內的任意一個值（包括端點值），根據四個選項可知選C.
故選：C
2．（2022·湖南·高一課時練習）用二分法求方程的根的近似值（誤差不超過0.001）．
【答案】，.
【詳解】
設，因為，，可知方程在上有一解，又，，可知方程在上有一解，
以區間為例，用二分法求根的近似值，記為，
取區間的中點，，，
取區間的中點，， ，
取區間的中點，， ，
取區間的中點，， ，
取區間的中點，， ，
取區間的中點，， ，
取區間的中點，， ，
取區間的中點，， ，
取區間的中點，， ，
取區間的中點，， ，
因為，
故區間內任意實數可以是方程的根的近似值，同理，方程的另一根的近似值落在區間內，
所以方程的根的近似值為，.
1．（2022·浙江·高三專題練習）為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮；星等的數值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量的應用，英國天文學家普森又提出了亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，則“心宿二”的亮度大約是“天津四”的（ ）倍.（當較小時，）
A．1.27 B．1.26 C．1.23 D．1.22
【答案】B
由題意，,
∴．
故選：B．
2．（2022·全國·高三專題練習（文））基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
因為，，，所以，所以，
設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為天，
則，所以，所以，
所以天.
故選：B.
3．（2022·全國·高三專題練習（文））Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
，所以，則，
所以，，解得.
故選：C.

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