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8.1基本立體圖形
本節課知識點目錄：
棱柱的概念和結構特征；
棱錐的概念和結構特征。
棱臺的概念和結構特征
圓柱的概念和結構特征
圓錐的概念和結構特征
圓臺的概念和結構特征
球的概念和結構特征
簡單組合體的結構特征
空間幾何體的面展開
表面最短距離
一、棱柱的結構特征
定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱
【典型例題】
【例1】下列命題正確的是（ ）
A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱
D．棱柱的側面都是全等的平行四邊形
【例2】下列關于棱柱的說法中不正確的是（ ）
A．棱柱的側面是平行四邊形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一條側棱的長叫作棱柱的高
C．棱柱的兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有兩個面互相平行
【例3】看圖閱讀：
底面是平行四邊形的四棱柱叫作平行六面體（parallelopiped），側棱與底面垂直的平行六面體叫作直平行六面體（rightparallelopiped），底面是矩形的直平行六面體叫作長方體（cuboid），棱長相等的長方體叫作正方體（cube）．
根據上述定義，試說明四棱柱集合、平行六面體集合、直平行六面體集合、長方體集合、正方體集合之間有怎樣的包含關系，并用Venn圖直觀地表示這種關系．
【例4】如圖所示的幾何體中棱柱的個數為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【例5】如圖是一個正方體的表面展開圖，則圖中“0”在正方體中所在的面的對面上的是（ ）
A．2 B．1 C．高 D．考
【例6】下列關于棱柱的說法正確的個數是（ ）
①四棱柱是平行六面體；
②有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；
③有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱；
④底面是正多邊形的棱柱是正棱柱.
A． B． C． D．
【例7】如圖，三棱柱被平面截成兩個幾何體Ⅰ、Ⅱ，且平面平面，則（ ）
A．Ⅰ是棱柱，Ⅱ不是棱柱 B．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ是棱柱
C．Ⅰ是棱柱，Ⅱ是棱柱 D．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ不是棱柱
【例8】用平行于棱柱側棱的一個平面去截棱柱，所得的截面是_______.
【對點實戰】
1.下列說法中正確的是（ ）
A．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面體中，任意兩個相對的面均互相平行，但平行六面體的任意兩個相對的面不一定可當作它的底面
C．棱柱的側面都是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形
D．在棱柱的面中，至少有兩個面互相平行
2.下列幾何體中，頂點總數最多的是（ ）
A．三棱柱 B．四面體
C．六棱錐 D．四棱柱
3.側面都是矩形的棱柱一定是（ ）
A．長方體 B．三棱柱 C．直平行六面體 D．直棱柱
4.以下各種情況中，是長方體的是（ ）
A．直平行六面體 B．側面是矩形的四棱柱
C．底面是矩形的平行六面體 D．底面是矩形的直棱柱
5.下列命題正確的是（ ）
A．棱柱的側面都是矩形
B．棱柱的側棱都相等
C．由六個大小一樣的正方形組成的圖形是正方體的展開圖
D．棱柱的側棱總與底面垂直
6.下面的幾何體中棱柱有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
7.下列關于棱柱的命題中，真命題的個數是（ ）
①同一棱柱的側棱平行且相等；
②一個棱柱至少有5個面；
③當棱柱的底面是正多邊形時，該棱柱一定是正棱柱；
④當棱柱的底面是等腰梯形時，該棱柱一定是平行六面體.
A．1 B．2 C．3 D．4
8.如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中①、④處于正方體的兩個相對面的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
二、棱錐的結構特征
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐
【典型例題】
【例1】棱錐的側面和底面可以都是
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【例2】對于棱錐，下列敘述正確的是
A．四棱錐共有四條棱 B．五棱錐共有五個面
C．六棱錐共有六個頂點 D．任何棱錐都只有一個底面
【例3】在四棱錐的4個側面中，直角三角形最多可有________個；在四面體的4個面中，直角三角形最多可有________個．
【例4】．如圖，有三個三棱錐，，，你能將它們組合成一個三棱柱嗎？試一試．
【例5】如圖所示的平面圖形可以折疊成的立體圖形為（ ）
A．三棱錐 B．四棱錐
C．四棱柱 D．平行六面體
【例6】一個三棱錐是正三棱錐的充要條件是（ ）
A．底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形
B．各個面都是正三角形
C．三個側面是全等的等腰三角形
D．頂點在底面上的射影為重心
【例7】下列結論正確的是（ ）
A．存在這樣的四面體，四個面都是直角三角形
B．存在這樣的四面體，
C．存在不共面的四點 ，使
D．存在不共面的四點 ，使
【例8】《九章算術》中，稱底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，若陽馬以該正八棱柱的頂點為頂點、以正八棱柱的側棱為垂直于四棱錐底面的側棱，則這樣的陽馬的個數是（ ）
A．48 B．32 C．24 D．8
【對點實戰】
1.下面圖形中，為棱錐的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②
2.三棱錐的四個面中可以作為底面的有 （ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3.在如圖所示的長方體中，以為頂點所構成的幾何體是
A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．四棱柱
4.請從正方體的個頂點中，找出個點構成一個三棱錐，使得這個三棱錐的個面都是正三角形，則這個點可以是___________.（只需寫出一組）
5.底面是正三角形，且每個側面是等腰三角形的三棱錐
A．一定是正三棱錐 B．一定是正四面體 C．不是斜三棱錐 D．可能是斜三棱錐
6.棱錐側面是有公共頂點的三角形，能圍成一個棱錐側面的正三角形的個數的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7.在下面四個平面圖形中，各側棱都相等的四面體的展開圖是_____(把你認為正確的序號都填上).
8.用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀可能是________．（填序號）
①三角形；②四邊形；③五邊形．
北師大版（2019） 必修第二冊 金榜題名 第六章 立體幾何初步 1 基本立體圖形 1.1 構成空間
三、棱臺的結構特征
定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺
【典型例題】
【例1】棱臺不具備的特點是（ ）
A．兩底面相似 B．側面都是梯形
C．側棱長都相等 D．側棱延長后都交于一點
【例2】某簡單多面體共有12條棱，則該多面體可以是（ ）
A．四棱臺 B．五棱錐 C．三棱柱 D．五棱臺
【例3】下列關于棱臺的說法，不正確的是（ ）
A．所有的側棱交于一點 B．只有兩個面互相平行
C．上下兩個底面全等 D．所有的側面不存在兩個面互相平行
【例4】如圖所示的是一個三棱臺ABC－A1B1C1，
（1）如果把這個三棱臺截成三個三棱錐，則這三個三棱錐分別是________________．
（2）如果把這個三棱臺截成兩個多面體，則這兩個多面體可以是__________．
【例5】下面有關棱臺說法中，正確的是（ ）
A．上下兩個底面平行且是相似四邊形的幾何體是四棱臺 B．棱臺的所有側面都是梯形
C．棱臺的側棱長必相等 D．樓臺的上下底面可能不是相似圖形
【例6】一個幾何體的表面展開圖如圖，該幾何體中與“祝”字和“你”字相對的分別是（ ）
A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，錦
【例7】下列關于棱錐、棱臺的說法：
①棱臺的側面一定不會是平行四邊形；
②棱錐的側面只能是三角形；
③由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.
其中正確說法的序號是________.
【對點實戰】
1.下面四個幾何體中，是棱臺的是（ ）
A． B． C． D．
2.某幾何體有6個頂點，則該幾何體不可能是（ ）
A．五棱錐 B．三棱柱 C．三棱臺 D．四棱臺
3.關于棱臺，下列說法正確的是（ ）
A．兩底面可以不相似 B．側面都是全等的梯形
C．側棱長一定相等 D．側棱延長后交于一點
4.有下列三個說法：①兩個互相平行的面是正方形，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱臺；②有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺.其中正確的有
A．0 B．1 C．2個 D．3個
5.下列空間圖形中是棱臺的為_____.(填序號)
6.下列關于棱錐、棱臺的說法中，正確說法的序號是________
①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；
②棱臺的側面一定不會是平行四邊形；
③棱錐的側面只能是三角形；
④棱臺的各側棱延長后必交于一點；
⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.
7.下列幾何體中是棱臺的有________（填序號）.
8.寫出棱臺中任意兩條側棱的位置關系.
四、圓柱的結構特征
定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱
【典型例題】
【例1】下列關于圓柱的說法中，不正確的是（ ）
A．分別以矩形（非正方形）的長和寬所在的直線為旋轉軸旋轉一周而得到的兩個圓柱是兩個不同的圓柱
B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面
C．用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個圓面
D．以一個矩形對邊中點的連線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體是圓柱
【例2】給出下列命題：①圓柱的底面是圓；②經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形；③連接圓柱上、下底面圓周上兩點的線段是圓柱的母線；④圓柱的任意兩條母線互相平行．其中真命題的個數是
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】．用一個平面去截如圖所示的圓柱體，則所得的截面不可能是（ ）
A． B． C． D．
【例4】用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是三角形面，這個幾何體不可能是（ ）
A．棱錐 B．圓錐 C．圓柱 D．正方體
【例5】用長為3、寬為2的矩形做側面，圍成一個高為2的圓柱，此圓柱的軸截面面積為______.
【例6】下列命題中是假命題的是（ ）
A．圓柱的任意兩條母線平行 B．棱臺各側棱的延長線交于一點
C．經過圓錐側面上一點，有無數條母線 D．底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱
【對點實戰】
1.圓柱的母線長為10，則其高等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．不確定
2.給出下列命題：
①圓柱的母線與它的軸可以不平行；
②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構成直角三角形；
③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；
④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
3.以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的軸截面（過圓柱的軸作截面）的面積為（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
4.下列幾何體中為圓柱的是（ ）
A． B． C． D．
5.一個圓柱的母線長為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積是______.
第2課時 課中 基本立體圖形-圓柱、圓錐、圓臺、球
五、圓錐的結構特征
定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體
【典型例題】
【例1】用一個平面去截圓錐，則截面不可能是（ ）
A．橢圓 B．圓 C．三角形 D．矩形
【例2】下列說法中正確的是
A．圓錐的軸截面是等邊三角形
B．用一個平面去截棱錐,一定會得到一個棱錐和一個棱臺
C．有兩個面平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱
D．有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐
【例3】如圖所示的簡單組合體的組成是（ ）
A．棱柱、棱臺 B．棱柱、棱錐
C．棱錐、棱臺 D．棱柱、棱柱
【例4】底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的中點平行于底面的平面所截，則截得的截面圓的面積為（ ）
A． B．
C． D．
【對點實戰】
1.圓錐的高與底面半徑相等，母線等于，則底面半徑等于________.
2.圓錐的母線有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．無數條
3.一個等腰三角形繞著底邊上的高所在的直線旋轉180度所形成的幾何體的名稱是
A．圓柱 B．圓錐 C．圓臺 D．圓柱的一部分
4.如果圓錐的底面積為，母線長為2，那么該圓錐的高為___________.
六、圓臺的結構特征
定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺
【典型例題】
【例1】有下列命題：
①圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；
②在圓臺上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；
③圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的．
其中正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【例2】有以下命題：
①以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的幾何體是圓臺
②棱臺的兩個底面一定是相似多邊形
③連接圓柱的上、下底面圓周上任意兩點的線段是圓柱的母線
④用平行于底面的平面截去一個小圓錐后剩余的部分是圓臺
其中的正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】已知一個圓臺的上下底半徑分別為，截得圓臺的圓錐母線長為，則這個圓臺的母線長為_______．
【例4】如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A．①是棱臺 B．②是圓臺
C．③是棱錐 D．④是棱柱
【例5】關于下列幾何體，說法正確的是（ ）
A．圖①是圓柱 B．圖②和圖③是圓錐 C．圖④和圖⑤是圓臺 D．圖⑤是圓臺
【例6】若圓臺的母線與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺的高為__________.
【對點實戰】
1.下列說法正確的是（ ）
①棱柱的側棱都相等；
②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得到旋轉體是圓臺；
③圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺；
④通過圓臺側面上一點有無數條母線．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
2.．以下命題中真命題的序號是（ ）
①若棱柱被一平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱；②有兩個面平行，其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺；③用一個平面去截圓錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫圓臺
A．③ B．①② C．① D．①
3.以下空間幾何體是旋轉體的是（ ）
A．圓臺 B．棱臺 C．正方體 D．三棱錐
七、球的結構特征
1．概念：由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡單組合體．
2．基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成．
【典型例題】
【例1】有下列說法：
①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線；
②球的直徑是球面上任意兩點間的連線；
③半圓繞直徑所在直線旋轉后形成的幾何體是球．
其中正確說法的序號是_____________．
【例2】用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓，則這個幾何體一定是（ ）
A．圓柱 B．圓錐
C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體
【例3】給出下列說法：①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段；②球的直徑是球面上任意兩點的連線段；③用一個平面截一個球面，得到的是一個圓；④球常用表示球心的字母表示．其中說法正確的是_____．
【例4】若球的半徑為，一個截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知球的半徑為1，、為球上的任意兩點，則、兩點的球面距離的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【例6】一平面截球O得到半徑為的圓面，球心到這個平面的距離是，則球的半徑是(　　)
A． B． C． D．
【例7】已知棱長為2的正方體內含有一個可以旋轉的小正方體，則所含的小正方體的體積的最大值為___________.
【對點實戰】
1.下列命題正確的是( )
①過球面上任意兩點只能作一個經過球心的圓；②球的任意兩個經過球心的圓的交點的連線是球的直徑；③用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；④球面上任意三點可能在一條直線上；⑤球的半徑是球面上任意一點和球心的連線段.
A．①②③ B．②③④
C．②③⑤ D．①④⑤
2.在半徑為1的球面上，若A，B兩點的球面距離為，則線段AB的長|AB|＝_____．
3.若球的表面積為16π，則與球心距離為的平面截球所得的圓的面積為（ ）
A．4π B．π C．2π D．π
八、簡單組合體的結構特征
【典型例題】
【例1】如圖所示的組合體，其結構特征是
A．由兩個圓錐組合成的 B．由兩個圓柱組合成的
C．由一個棱錐和一個棱柱組合成的 D．由一個圓錐和一個圓柱組合成的
【例2】在一個密閉透明的圓柱筒內裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內的水平面可以呈現出的幾何形狀不可能是
A．圓面 B．矩形面
C．梯形面 D．橢圓面或部分橢圓面
【例3】如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【例4】如圖所示的幾何體的結構特征是____________.
【例5】如圖所示的陰影部分繞中間軸旋轉一周，形成的幾何體形狀為（ ）
A．一個球體 B．一個球體中間挖去一個圓柱
C．一個圓柱 D．一個球體中間挖去一個棱柱
【例6】如圖所示的螺母可以看成一個組合體，其結構特征是
A．一個棱柱中挖去一個棱柱 B．一個棱柱中挖去一個圓柱
C．一個圓柱中挖去一個棱錐 D．一個棱臺中挖去一個圓柱
【例7】一個三棱錐的各棱長均相等，其內部有一個內切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內部，且球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是（ ）
A． B． C． D．
【例8】按下列條件分割三棱臺ABC-A1B1C1(不需要畫圖，各寫出一種分割方法即可).
（1）一個三棱柱和一個多面體;
（2）三個三棱錐.
【對點實戰】
1.已知等腰梯形ABCD，現繞著它的較長底CD所在的直線旋轉一周，所得的幾何體包括（ ）
A．一個圓臺、兩個圓錐 B．一個圓柱、兩個圓錐
C．兩個圓臺、一個圓柱 D．兩個圓柱、一個圓臺
2.如圖是由哪個平面圖形旋轉得到的（ ）
A． B．
C． D．
3.如圖所示的螺母可以看成一個組合體，對其結構特征最接近的表述是（ ）
A．一個六棱柱中挖去一個棱柱 B．一個六棱柱中挖去一個棱錐
C．一個六棱柱中挖去一個圓柱 D．一個六棱柱中挖去一個圓臺
4.如圖的組合體是由（ ）組合而成.
A．兩個棱柱 B．棱柱和圓柱
C．圓柱和棱臺 D．圓錐和棱柱
5.指出下圖中的幾何體分別由哪些簡單幾何體組成．
6.從一個底面半徑和高都是R的圓柱中，挖去一個以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點的圓錐，得到如圖所示的幾何體.如果用一個與圓柱下底面距離等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面積.
九、空間幾何體的側面展開圖
【典型例題】
【例1】圓柱體被平面截成如圖所示的幾何體，則它的側面展開圖是（ ）
A． B． C． D．
【例2】某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當燈旋轉時，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處應依次寫上（ ）
A．樂、新、快 B．快、新、樂
C．新、快、樂 D．樂、快、新
【例3】下列幾何體的側面展開圖如圖所示，其中是棱錐的為（ ）
A． B． C． D．
十、表面最短距離
【典型例題】
【例1】小螞蟻的家住在長方體的A處，小螞蟻的奶奶家住在處，三條棱長分別是，，，小螞蟻從A點出發，沿長方體的表面到小螞蟻奶奶家的最短距離是（ ）
A．5 B．7 C． D．
【例2】如圖為一個組合體，底座為一個長方體，凸起部分由一小長方體和一個半圓柱組成，一只小螞蟻從點出發，沿幾何體表面爬行，首先到達點，然后沿凸起部分的表面到達點，則小螞蟻走過的最短距離為（ ）
A． B．
C． D．
【例3】第24屆冬奧會將于2022年在中國北京舉辦，單板滑雪的U型場地近似為圓柱體的一部分（如圖），現一名運動員從頂端A點滑行到另一頂端B點，則滑行的最短距離約為（ ）
（注：，）
A． B．
C． D．
【例4】如圖，在正三棱錐P-ABC中，，PA=PB=PC=4，一只蟲子從A點出發，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（ ）
A． B． C． D．
【例5】如圖，底面為正方形的四棱錐中，四條側棱相等，且，，分別為棱和上的兩點，，，處有只螞蟻欲沿該正四棱錐的側面爬行到處，則螞蟻爬行的最短距離為（ ）
A． B． C． D．9
【例6】．設球的半徑為1，，，是球面上三點，已知到，兩點的球面距離都是，且平面平面，則從點沿球面經，兩點再回到點的最短距離是（ ）
A． B． C． D．
【例7】如圖長方體中，過同一個頂點的三條棱的長分別為2、4、6，點為長方體的一個頂點，點為其所在棱的中點，則沿著長方體的表面從點到點的最短距離為（ ）
A． B． C． D．
8.1基本立體圖形
本節課知識點目錄：
棱柱的概念和結構特征；
棱錐的概念和結構特征。
棱臺的概念和結構特征
圓柱的概念和結構特征
圓錐的概念和結構特征
圓臺的概念和結構特征
球的概念和結構特征
簡單組合體的結構特征
空間幾何體的面展開
表面最短距離
一、棱柱的結構特征
定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱
【典型例題】
【例1】下列命題正確的是（ ）
A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱
D．棱柱的側面都是全等的平行四邊形
【答案】C
【分析】根據棱柱的特點進行辨析.
【詳解】有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體，A錯；
有兩個面平行, 其余各面都是平行四邊形的幾何體如圖所示，B錯；
棱柱的側面不一定是全等的平行四邊形，D錯；
由棱柱的定義，C正確.
故選：C.
【例2】下列關于棱柱的說法中不正確的是（ ）
A．棱柱的側面是平行四邊形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一條側棱的長叫作棱柱的高
C．棱柱的兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有兩個面互相平行
【答案】ABC
【分析】根據棱柱的結構特征判斷.
【詳解】A.棱柱的側面是平行四邊形，所以可以是矩形，例如直棱柱，故不正確；
B.在直棱柱中，側棱的長叫做棱柱的高，不是直棱柱，側棱的長不叫做棱柱的高，故錯誤；
C.棱柱中，也有可能存在兩個側面互相平行，故錯誤；
D.棱柱中，上下底面一定平行，所以至少有兩個面互相平行，故正確.
故選：ABC
【例3】看圖閱讀：
底面是平行四邊形的四棱柱叫作平行六面體（parallelopiped），側棱與底面垂直的平行六面體叫作直平行六面體（rightparallelopiped），底面是矩形的直平行六面體叫作長方體（cuboid），棱長相等的長方體叫作正方體（cube）．
根據上述定義，試說明四棱柱集合、平行六面體集合、直平行六面體集合、長方體集合、正方體集合之間有怎樣的包含關系，并用Venn圖直觀地表示這種關系．
【答案】答案見解析
【分析】根據題意可得各類棱柱之間的包含關系，進而可畫出Venn圖
【詳解】{正方體}{長方體}{直平行六面體}{平行六面體}{四棱柱}
Venn圖表示如圖
【例4】如圖所示的幾何體中棱柱的個數為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據棱柱的三個特征：①有兩個面互相平行；②其余各面都是四邊形；③側棱互相平行，判斷即可．
解：棱柱有三個特征：①有兩個面互相平行；②其余各面都是四邊形；③側棱互相平行，
本題所給幾何體中②⑤不符合棱柱的三個特征，而①③④符合，所以幾何體中棱柱的個數為3個．
故選：C．
【例5】如圖是一個正方體的表面展開圖，則圖中“0”在正方體中所在的面的對面上的是（ ）
A．2 B．1 C．高 D．考
【答案】C
將展開圖還原為正方體，結合圖形即可得解；
解：將展開圖還原成正方體可知，“0”在正方體中所在的面的對面上的是“高”，
故選:C.
【例6】下列關于棱柱的說法正確的個數是（ ）
①四棱柱是平行六面體；
②有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；
③有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱；
④底面是正多邊形的棱柱是正棱柱.
A． B． C． D．
【答案】A
由棱柱的幾何特征逐個判斷即可得解.
四棱柱的底面可以是任意四邊形，而平行六面體的底面必須是平行四邊形，故①不正確；
有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體可能側棱不平行，故②不正確；
由棱柱的定義可得③正確；
底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，故④不正確.
故選：A.
【例7】如圖，三棱柱被平面截成兩個幾何體Ⅰ、Ⅱ，且平面平面，則（ ）
A．Ⅰ是棱柱，Ⅱ不是棱柱 B．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ是棱柱
C．Ⅰ是棱柱，Ⅱ是棱柱 D．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ不是棱柱
【答案】C
【分析】根據平面平行的性質和棱柱的性質，結合棱柱的定義進行判斷即可.
由平面平面可知：平面與三棱柱的各個側面都平行，而三棱柱上下底面平行且是全等形，因此三角形與三角形是全等三角形，四邊形和四邊形是全等的四邊形，根據棱柱的定義可知：Ⅰ，Ⅱ都是棱柱.
故選：C
【例8】用平行于棱柱側棱的一個平面去截棱柱，所得的截面是_______.
【答案】平行四邊形
【分析】由棱柱的概念可得.
用平行于棱柱側棱的一個平面去截棱柱，截得截面的對邊平行且相等，所得的截面是平行四邊形.
故答案為：平行四邊形.
【對點實戰】
1.下列說法中正確的是（ ）
A．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面體中，任意兩個相對的面均互相平行，但平行六面體的任意兩個相對的面不一定可當作它的底面
C．棱柱的側面都是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形
D．在棱柱的面中，至少有兩個面互相平行
【答案】D
【分析】根據棱柱的結構特征依次分析各選項即可得答案.
【詳解】解：對于A，正六棱柱的兩個相對的側面互相平行，但不是棱柱的底面，故錯誤；
對于B，平行六面體中任意兩個相對的面一定可以當作它的底面，故錯誤；
對于C，平行六面體的側面都是平行四邊形，底面也是平行四邊形，故錯誤；
對于D，棱柱中至少有兩個底面互相平行，故正確.
故選：D
2.下列幾何體中，頂點總數最多的是（ ）
A．三棱柱 B．四面體
C．六棱錐 D．四棱柱
【答案】D
【分析】根據簡單多面體的結構特征得出各選項中幾何體的頂點個數，可得出合適的選項.
【詳解】三棱柱、四面體、六棱錐、四棱柱的頂點總數分別為、、、，
因此，上述幾種幾何體中，頂點總數最多的是四棱柱.
故選：D.
3.側面都是矩形的棱柱一定是（ ）
A．長方體 B．三棱柱 C．直平行六面體 D．直棱柱
【答案】D
【分析】根據棱柱的特征，即可判斷選項.
側面都是矩形的棱柱，只需側棱和底面垂直，即側面都是矩形的棱柱一定是直棱柱.
故選：D
4.以下各種情況中，是長方體的是（ ）
A．直平行六面體 B．側面是矩形的四棱柱
C．底面是矩形的平行六面體 D．底面是矩形的直棱柱
【答案】D
【分析】由長方體的概念及棱柱的結構特征即得.
由長方體的底面是矩形且側棱與底面垂直可知，
長方體是底面是矩形的直棱柱.
故選：D.
5.下列命題正確的是（ ）
A．棱柱的側面都是矩形
B．棱柱的側棱都相等
C．由六個大小一樣的正方形組成的圖形是正方體的展開圖
D．棱柱的側棱總與底面垂直
【答案】B
【分析】根據棱柱的結構特征確定正確選項.
A選項，棱柱的側面不一定是矩形，A錯誤.
B選項，棱柱的側棱都相等，B正確.
C選項，六個大小一樣的正方形必須以一定順序排列，才能形成正方體的展開圖，C錯誤.
D選項，棱柱的側棱不一定與底面垂直，D錯誤.
故選：B
6.下面的幾何體中棱柱有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【分析】根據棱柱的結構特征，即可判斷幾何體是否為棱柱.
由棱柱的三個特征：①有兩個面相互平行；②其余各面是四邊形；③側棱相互平行.
題設各幾何體中⑥⑦不完全符合棱柱的三個特征，而①②③④⑤符合.
故選：B.
7.下列關于棱柱的命題中，真命題的個數是（ ）
①同一棱柱的側棱平行且相等；
②一個棱柱至少有5個面；
③當棱柱的底面是正多邊形時，該棱柱一定是正棱柱；
④當棱柱的底面是等腰梯形時，該棱柱一定是平行六面體.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據棱柱的定義和特征，逐項分析即可求出結果.
根據棱柱的特征，可知同一棱柱的側棱平行且相等，故①正確；
三棱柱有5個面，故②正確；
根據正棱柱的定義，底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，所以③錯誤；
根據平行六面體的定義可知，每個面都是平行四邊形，所以④錯誤；
故選：B.
8.如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中①、④處于正方體的兩個相對面的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
【答案】B
【分析】分別判斷出每個展開圖的相對面即可.
（1）①⑤相對，②④相對，③⑥相對，故（1）錯誤；
（2）①④相對，②⑤相對，③⑥相對，故（2）正確；
（3）①④相對，②⑤相對，③⑥相對，故（3）正確；
（4）①⑥相對，②⑤相對，③④相對，故（4）錯誤.
故選：B.
二、棱錐的結構特征
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐
【典型例題】
【例1】棱錐的側面和底面可以都是
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】A
根據棱錐的定義可知，棱錐的側面一定是三角形，即可得出．
【詳解】根據棱錐的定義可知，棱錐的側面一定是三角形，所以三棱錐的側面和底面可以都是三角形.
故選：A.
【例2】對于棱錐，下列敘述正確的是
A．四棱錐共有四條棱 B．五棱錐共有五個面
C．六棱錐共有六個頂點 D．任何棱錐都只有一個底面
【答案】D
根據棱錐的定義即可判斷各選項的真假．
【詳解】對于A，四棱錐共有八條棱，故A錯誤；
對于B，五棱錐共有六個面，故B錯誤；
對于C，六棱錐共有七個頂點，故C錯誤；
對于D，根據棱錐的定義知，D正確.
故選：D.
【例3】在四棱錐的4個側面中，直角三角形最多可有________個；在四面體的4個面中，直角三角形最多可有________個．
【答案】 4 4
【分析】在正方體中，選取四棱錐、四面體，判斷直角三角形的個數，由此得出結論.
【詳解】畫出正方體如下圖所示，根據正方體的幾何性質可知，在四棱錐中，都是直角三角形，共個.在四面體中，都是直角三角形，共個.
故填：（1）；（2）.
【例4】．如圖，有三個三棱錐，，，你能將它們組合成一個三棱柱嗎？試一試．
【答案】詳見解析.
【分析】利用三棱柱和三棱錐的結構特征求解.
【詳解】能夠組成三棱柱，如下圖所示：
【例5】如圖所示的平面圖形可以折疊成的立體圖形為（ ）
A．三棱錐 B．四棱錐
C．四棱柱 D．平行六面體
【答案】B
【分析】根據棱錐的定義判斷即可；
解：由展開圖可知，該幾何體有四個三角形面與一個四邊形面，故該幾何體為四棱錐；
故選：B
【例6】一個三棱錐是正三棱錐的充要條件是（ ）
A．底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形
B．各個面都是正三角形
C．三個側面是全等的等腰三角形
D．頂點在底面上的射影為重心
【答案】A
利用正三棱錐和充要條件的定義逐一分析判斷每一個選項得解.
A．根據正三棱錐的定義可知，滿足側面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱錐是正三棱錐．正三棱錐的底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形，所以一個三棱錐是正三棱錐的充要條件是底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形，所以該選項符合題意；
B. 各個面都是正三角形，則三棱錐是正三棱錐，所以各個面都是正三角形是三棱錐為正三棱錐的充分條件；如果三棱錐是正三棱錐，則各個面不一定都是正三角形，所以各個面都是正三角形是三棱錐為正三棱錐的非必要條件，故該選項錯誤.
C. 三個側面是全等的等腰三角形不一定是正三棱錐，如圖所示，VA=VC=BC=AB，AC=VB時，不一定是正三棱錐，故該選項錯誤；
D. 頂點在底面上的射影為重心，設底面為直角三角形,其重心為,過點作平面ABC的垂線，連接VA,VB,VC得到三棱錐V-ABC,顯然三棱錐V-ABC不是正三棱錐，所以該選項錯誤.
故選：A
【例7】下列結論正確的是（ ）
A．存在這樣的四面體，四個面都是直角三角形
B．存在這樣的四面體，
C．存在不共面的四點 ，使
D．存在不共面的四點 ，使
【答案】AC
【分析】借助長方體模型，在長方體內取四面體，根據四面體的結構特征對每一選項進行逐一分析判斷可得答案.
選項A. 在長方體中，如圖四面體的四個面都是直角三角形，故A正確.
選項B，三個直角以為頂點，設
則，
由余弦定理可得，所以為銳角
同理為銳角，所以為銳角三角形，故B錯誤；
選項C. 如圖在長方體中，滿足，故C正確.
選項D. 如圖在長方體中， ，為直角三角形.
,則在過點且與垂直的平面內，
,則在過點且與垂直的平面內，
如圖，當點與不重合時，
所以此時為銳角.
當點與重合時，為直角.
即時，此時，，，四點共面，故D錯誤
故選：AC.
【例8】《九章算術》中，稱底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，若陽馬以該正八棱柱的頂點為頂點、以正八棱柱的側棱為垂直于四棱錐底面的側棱，則這樣的陽馬的個數是（ ）
A．48 B．32 C．24 D．8
【答案】A
【分析】根據陽馬的定義，分別找出以上底面的頂點為四棱錐底面的個數和以下底面的頂點為四棱錐底面的個數，即可求得.
在正八棱柱的下底面中，根據正八邊形的性質，其內接矩形共有6個，
分別為矩形.
而每個矩形可以形成4個不同的陽馬，所以這樣的陽馬個數是24，同理，以上底面中的矩形為底面的也有24個陽馬，因此共48個不同的陽馬．
故選：A
【對點實戰】
1.下面圖形中，為棱錐的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【分析】利用棱錐的定義對所給4個圖形逐一分析判斷作答.
【詳解】一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，
顯然①②④滿足棱錐定義，③不滿足棱錐定義，
所以①②④是棱錐，③不是棱錐.
故選：C
2.三棱錐的四個面中可以作為底面的有 （ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】根據三棱錐的幾何結構特征進行判定，即可求解.
【詳解】根據三棱錐的幾何結構特征，可得三棱錐的每一個面均可作為底面.
故選：D.
3.在如圖所示的長方體中，以為頂點所構成的幾何體是
A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．四棱柱
【答案】B
根據棱錐或棱柱的定義即可判斷．
【詳解】此幾何體有一個面為四邊形，其余各面，，，為有一個公共頂點的三角形，所以此幾何體是四棱錐.
故選：B．
4.請從正方體的個頂點中，找出個點構成一個三棱錐，使得這個三棱錐的個面都是正三角形，則這個點可以是___________.（只需寫出一組）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據題意寫出一組符合題意的點即可.
【詳解】如圖三棱錐各棱長都是正方體的面對角線，因此三棱錐的個面都是正三角形，即這個點可以是，
故答案為：（答案不唯一）.
5.底面是正三角形，且每個側面是等腰三角形的三棱錐
A．一定是正三棱錐 B．一定是正四面體 C．不是斜三棱錐 D．可能是斜三棱錐
【答案】D
【分析】側面是等腰三角形，可能是底面邊長和一條側棱相等，分析選項，即可得結果．
底面是正三角形，且每個側面都是等腰三角形的三棱錐中，有可能是底面邊長和一條側棱相等，所以該棱錐可能是斜三棱錐，故選D．
6.棱錐側面是有公共頂點的三角形，能圍成一個棱錐側面的正三角形的個數的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
結合棱錐結構特點，根據正三角形的頂角之和小于確定出正三角形個數的最大值.
由于正三角形的頂角之和小于，所以正三角形的個數小于，
所以最大個數為 ，
故選：C.
7.在下面四個平面圖形中，各側棱都相等的四面體的展開圖是_____(把你認為正確的序號都填上).
【答案】①②
【分析】根據給定的平面圖象，利用折疊前后的特征，結合正四面體的特征，即可求解.
由題意，可得折疊后，①②均可圍成三棱錐，即為四面體，且各側棱都相等，所以①②符合題意；
而③④折疊后，只能圍成無底的四棱錐，不是四面體，所以③④不符合題意.
故答案為：①②
8.用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀可能是________．（填序號）
①三角形；②四邊形；③五邊形．
北師大版（2019） 必修第二冊 金榜題名 第六章 立體幾何初步 1 基本立體圖形 1.1 構成空間【答案】①②
【分析】用平面截一個三棱錐，找到所有截面的種類即可求解.
如圖：按圖所示用一個平面去截三棱錐，截面形狀為三角形；
按圖所示用一個平面去截三棱錐，截面形狀為四邊形；
截面形狀不可能為五邊形，
所以①②正確，
故答案為：①②
三、棱臺的結構特征
定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺
【典型例題】
【例1】棱臺不具備的特點是（ ）
A．兩底面相似 B．側面都是梯形
C．側棱長都相等 D．側棱延長后都交于一點
【答案】C
【分析】根據棱臺的定義結構特征求解.
【詳解】根據棱臺的定義知，棱臺底面相似，側面都是梯形，側棱延長后都交于一點，
但是側棱長不一定相等，
故選：C
【例2】某簡單多面體共有12條棱，則該多面體可以是（ ）
A．四棱臺 B．五棱錐 C．三棱柱 D．五棱臺
【答案】A
【分析】依次畫出各選項對應的幾何體，即可得出結果.
【詳解】依次畫出四棱臺、五棱錐、三棱柱、五棱臺，如圖所示:
由圖可知四棱臺共有12條棱.
故選：A
【例3】下列關于棱臺的說法，不正確的是（ ）
A．所有的側棱交于一點 B．只有兩個面互相平行
C．上下兩個底面全等 D．所有的側面不存在兩個面互相平行
【答案】C
根據棱臺的定義可判斷各選項的正誤.
【詳解】由棱臺的定義可知：
A.所有的側棱交于一點，正確；
B.只有兩個面互相平行，就是上、下底面平行，正確；
C.棱臺的上下兩個底面不全等，故C不正確；
D.所有的側面不存在兩個面互相平行，正確.
故選：C.
【例4】如圖所示的是一個三棱臺ABC－A1B1C1，
（1）如果把這個三棱臺截成三個三棱錐，則這三個三棱錐分別是________________．
（2）如果把這個三棱臺截成兩個多面體，則這兩個多面體可以是__________．
【答案】 A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1 兩個三棱臺(或一個三棱柱和一個五面體或一個三棱錐和一個五面體)
【分析】（1）連接，可得出所截成的三個三棱錐；
（2）用平行于三棱臺的底面的平面去截，或者如圖②和圖③去截，可得兩個多面體．
【詳解】（1）如圖①所示，所截成的三個三棱錐分別是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1．
（2）用平行于三棱臺的底面的平面去截，可以得到兩個三棱臺，也可以截成一個三棱柱和一個五面體，如圖②所示，也可以截成一個三棱錐和一個五面體，如圖③所示．
【例5】下面有關棱臺說法中，正確的是（ ）
A．上下兩個底面平行且是相似四邊形的幾何體是四棱臺 B．棱臺的所有側面都是梯形
C．棱臺的側棱長必相等 D．樓臺的上下底面可能不是相似圖形
【答案】B
【分析】利用棱臺的概念和結構特征逐一判斷.
A. 四棱臺要求側棱延長后交與一點，上下兩個底面平行且是相似四邊形的幾何體不一定符合，故A錯誤；
B. 棱臺的所有側面都是梯形，正確；
C. 棱臺的側棱長不一定相等，故C錯誤；
D. 樓臺的上下底面一定是相似圖形，故D錯誤.
故選：B.
【例6】一個幾何體的表面展開圖如圖，該幾何體中與“祝”字和“你”字相對的分別是（ ）
A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，錦
【答案】A
可把展開圖折疊起來變成一個四棱臺，可知結論，也可從兩個面中間是否隔一個面來確定．
因為“祝”字面和“前”字面中間隔著“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相對，同理“你”字面和“程”字面中間隔著“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相對，
故選：A.
【例7】下列關于棱錐、棱臺的說法：
①棱臺的側面一定不會是平行四邊形；
②棱錐的側面只能是三角形；
③由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.
其中正確說法的序號是________.
【答案】①②③
【分析】根據棱錐、棱臺的概念即可判斷.
①正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形；
②正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形；
③正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
④錯誤，如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.
故答案為：①②③.
【對點實戰】
1.下面四個幾何體中，是棱臺的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據臺體、錐體概念逐一分析，即可得結果.
A是圓臺，D是棱錐，C側棱延長沒有交于一點，故不是四棱臺，B是三棱臺．
故選：B
2.某幾何體有6個頂點，則該幾何體不可能是（ ）
A．五棱錐 B．三棱柱 C．三棱臺 D．四棱臺
【答案】D
根據幾何體的結構判斷．
四棱臺有8個頂點，不符合題意.，其他都是6個頂點．
故選：D．
3.關于棱臺，下列說法正確的是（ ）
A．兩底面可以不相似 B．側面都是全等的梯形
C．側棱長一定相等 D．側棱延長后交于一點
【答案】D
由棱臺的特征判斷．
棱臺的三個特征：①兩底面相互平行且相似，②各側棱延長后交于一點，③側面都是梯形，
故選：D.
4.有下列三個說法：①兩個互相平行的面是正方形，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱臺；②有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺.其中正確的有
A．0 B．1 C．2個 D．3個
【答案】A
利用模型和反例進行判斷.
當兩個互相平行的正方形全等時，不是棱臺，故①中說法錯誤；②③可用反例去檢驗，如圖（1）（2）所示，故②③中說法錯誤.
故選：A.
5.下列空間圖形中是棱臺的為_____.(填序號)
【答案】③
【分析】根據棱臺的定義和性質判定.
由棱臺的定義知，棱臺的上底面必須與下底面平行，且側棱延長后交于同一點.圖①中側棱延長后不能交于同一點，圖②中上底面不平行于下底面，故圖①和圖②都不是棱臺.圖③符合棱臺的定義與結構特征.
故答案為：③
6.下列關于棱錐、棱臺的說法中，正確說法的序號是________
①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；
②棱臺的側面一定不會是平行四邊形；
③棱錐的側面只能是三角形；
④棱臺的各側棱延長后必交于一點；
⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.
【答案】②③④
直接根據棱臺、棱錐的定義以及結構特征逐一判斷即可，判斷過程注意特例法的應用.
①錯，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，則棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺；
②對，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形；
③對，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形；
④對，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺的各側棱延長后必交于一點；
⑤錯，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.
故答案為：②③④
7.下列幾何體中是棱臺的有________（填序號）.
【答案】④
根據棱臺的定義判斷．
用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分稱為棱臺．因此棱臺一定是兩個面互相平行，其他各個面都是等腰梯形，且所有側棱延長后交于同一點，
①②③都不符合棱臺的定義；故①②③不滿足題意.只有④符合棱臺的定義.
故答案為：④
8.寫出棱臺中任意兩條側棱的位置關系.
【答案】相交.
由棱臺的定義或棱臺形成的過程說明．
棱臺是由棱錐用平行于底面的平面去截，截面與底面之間的部分叫棱臺，棱錐的側棱交于同一點，因此棱臺的側棱也交于同一點，任意兩條側棱相交．
四、圓柱的結構特征
定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱
【典型例題】
【例1】下列關于圓柱的說法中，不正確的是（ ）
A．分別以矩形（非正方形）的長和寬所在的直線為旋轉軸旋轉一周而得到的兩個圓柱是兩個不同的圓柱
B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面
C．用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個圓面
D．以一個矩形對邊中點的連線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體是圓柱
【答案】C
【分析】根據圓柱的結構特征，逐項分析判斷即可得解.
【詳解】用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面不是圓面，
如用垂直于圓柱底面的平面截圓柱，截面是矩形，
故C選項錯誤，其他選項均正確，
故選：C
【例2】給出下列命題：①圓柱的底面是圓；②經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形；③連接圓柱上、下底面圓周上兩點的線段是圓柱的母線；④圓柱的任意兩條母線互相平行．其中真命題的個數是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據圓柱的幾何性質，對個命題逐一分析，由此得出真命題的個數.
【詳解】圓柱的底面是圓，故①正確；圓柱任意兩條母線的截面是矩形，故②正確；連接圓柱上、下底面圓周上兩點的線段，必須是平行圓柱軸的，才是母線，故③錯誤.圓柱的母線是相互平行的，故④正確.綜上所述，正確的命題個數是個，故選C.
【例3】．用一個平面去截如圖所示的圓柱體，則所得的截面不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對四個選項進行分析可初步判定，矩形，圓，橢圓很容易得出，只有三角形得不出，具體包括三種切割方式：橫切，豎切，斜切
【詳解】當截面與軸截面平行時，所截截面為矩形；當截面與上下底面平行時，所截截面為圓；當截面不經過上下底面斜切時，截面為橢圓；當截面經過上下底面時（交線不是圓面的切線時），截面為上下兩條邊平行，中間兩條腰是曲線的圖形，故截面的形狀不可能是三角形
故選D
【例4】用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是三角形面，這個幾何體不可能是（ ）
A．棱錐 B．圓錐 C．圓柱 D．正方體
【答案】C
判斷出圓柱的截面圖形即可求解.
【詳解】圓柱的截面的圖形只有矩形或圓形，
如果截面是三角形，那么這個幾何體不可能是圓柱.
故選：C
【例5】用長為3、寬為2的矩形做側面，圍成一個高為2的圓柱，此圓柱的軸截面面積為______.
【答案】
由圓柱的幾何特征可得該圓柱的底面直徑，即可得解.
【詳解】由題意，該圓柱的底面半徑滿足，高，則，
所以該圓柱軸截面面積.
故答案為：.
【例6】下列命題中是假命題的是（ ）
A．圓柱的任意兩條母線平行 B．棱臺各側棱的延長線交于一點
C．經過圓錐側面上一點，有無數條母線 D．底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱
【答案】C
【分析】分別根據圓柱、棱臺、圓錐、正棱柱的定義即可判定.
【詳解】根據圓柱的定義，圓柱的任意一條母線都與圓柱的軸平行，故任意兩條母線都平行，故A正確；
棱臺是由平行于棱錐的底面平面所截得，故其側棱延長后必交于原來棱錐的頂點，故B正確；
根據圓錐的定義，不可能有兩條母線經過圓錐面上同一點，所以經過圓錐側面上一點，有且僅有一條母線，故錯誤；
根據正棱柱的定義可知正確；
故選：.
【對點實戰】
1.圓柱的母線長為10，則其高等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．不確定
【答案】B
【分析】由圓柱高和母線相等可得解.
【詳解】圓柱的母線長與高相等，母線長為10，則其高等于10.
故選：B.
2.給出下列命題：
①圓柱的母線與它的軸可以不平行；
②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構成直角三角形；
③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；
④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.
其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】由圓柱、圓錐、圓臺的定義及母線的性質即可判斷.
【詳解】由圓柱的母線無論旋轉到什么位置都與軸平行，故①錯誤；
圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的，
故②正確；
③中連接的線可能存在與軸異面的情況，而圓臺的母線與軸共面，故③錯誤；
④由于圓柱中任意母線均與軸平行，故其中任意兩條母線相互平行，故④正確；
綜上可知②④正確，①③錯誤.
故選：D.
3.以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的軸截面（過圓柱的軸作截面）的面積為（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據圓柱的軸截面的性質進行求解即可.
【詳解】因為該正方形旋轉一周所得圓柱的高為1，底面的半徑為1，
所以圓柱的軸截面的面積為：，
故選：C
4.下列幾何體中為圓柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據圓柱的特征直接判定即可.
【詳解】易得A為圓錐,B為圓柱,C為棱臺,D為球.
故選：B
5.一個圓柱的母線長為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積是______.
第2課時 課中 基本立體圖形-圓柱、圓錐、圓臺、球
【答案】20
【分析】因為圓柱軸截面為矩形，根據題中數據，即可求得答案,
【詳解】解：由題意得，圓柱的軸截面為矩形，長為5，寬為，
所以面積為，
故答案為：20.
五、圓錐的結構特征
定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體
【典型例題】
【例1】用一個平面去截圓錐，則截面不可能是（ ）
A．橢圓 B．圓 C．三角形 D．矩形
【答案】D
根據圓錐的形狀特征，對截面的位置進行分類討論，結合排除法可得出合適的選項.
【詳解】用一個不平行于圓錐的底面的平面去截圓錐，截面為橢圓；
用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面為圓；
用一個過圓錐的軸的平面截圓錐，截面為等腰三角形.
由排除法可知，截面不可能是矩形.
故選：D.
【例2】下列說法中正確的是
A．圓錐的軸截面是等邊三角形
B．用一個平面去截棱錐,一定會得到一個棱錐和一個棱臺
C．有兩個面平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱
D．有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐
【答案】C
根據圓錐的幾何特征判斷A選項的正確性；根據臺體的定義判斷B選項的正確性.根據棱柱的定義判斷C選項的正確性.根據棱錐的定義判斷D選項的正確性.
【詳解】對于A選項，圓錐的軸截面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，所以A選項錯誤.
對于B選項，這個平面要平行于底面，才能得到棱臺，所以B選項錯誤.
對于C選項，根據棱柱的定義可知，C選項正確.
對于D選項，棱錐的底面是多邊形，其余各面的三角形要有一個公共的頂點，所以D選項錯誤.
故選：C
【例3】如圖所示的簡單組合體的組成是（ ）
A．棱柱、棱臺 B．棱柱、棱錐
C．棱錐、棱臺 D．棱柱、棱柱
【答案】B
【分析】直接觀察,即可出答案.
【詳解】由圖知，簡單組合體是由棱錐、棱柱組合而成.
故選：B.
【例4】底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的中點平行于底面的平面所截，則截得的截面圓的面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，結合相似三角形的性質，得到截面的圓的半徑為，進而求得截面圓的面積，得到答案.
【詳解】由題意，底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的中點平行于底面的平面所截，
設截面圓的半徑為，由，可得，可得，
所以截得的截面圓的面積為.
故選：A.
【對點實戰】
1.圓錐的高與底面半徑相等，母線等于，則底面半徑等于________.
【答案】5
【分析】作出圓錐的軸截面，由勾股定理列方程即可得解.
【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，
由圖可知，底面半徑，∴.
故答案為：5.
2.圓錐的母線有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．無數條
【答案】D
【分析】理解圓錐母線的概念即可.
【詳解】圓錐的頂點與其底面圓上任意一點的連線都是圓錐的母線．
故選：D.
3.一個等腰三角形繞著底邊上的高所在的直線旋轉180度所形成的幾何體的名稱是
A．圓柱 B．圓錐 C．圓臺 D．圓柱的一部分
【答案】B
【分析】利用等腰三角形性質結合圓錐的定義直接判斷作答.
【詳解】等腰三角形底邊上的高所在的直線將這個等腰三角形分成兩個全等的直角三角形，
則一個等腰三角形繞著底邊上的高所在的直線旋轉180度所形成的幾何體，相當于這個等腰三角形底邊上的高
所在的直線分它而成的一個直角三角形繞這個直角三角形一條直角邊(等腰三角形的高為直角邊)所在直線旋轉
360度所形成的幾何體，由圓錐的定義知，這個幾何體是圓錐，所以幾何體的名稱是圓錐.
故選：B
4.如果圓錐的底面積為，母線長為2，那么該圓錐的高為___________.
【答案】
【分析】由底面積求出底面半徑，利用勾股定理可得結果.
【詳解】設圓錐底面半徑為,
因為圓錐的底面積為，
所以
又因為母線長為2，所以該圓錐的高為，
故答案為.
六、圓臺的結構特征
定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺
【典型例題】
【例1】有下列命題：
①圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；
②在圓臺上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；
③圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的．
其中正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】直接利用圓錐、圓臺母線的定義及性質判斷①②③的結果．
【詳解】①圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線，正確；
②在圓臺上、下底面圓周上各取一點，兩點的連線不一定是圓臺的母線，錯誤；
③圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的，正確．
故選：C．
【例2】有以下命題：
①以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的幾何體是圓臺
②棱臺的兩個底面一定是相似多邊形
③連接圓柱的上、下底面圓周上任意兩點的線段是圓柱的母線
④用平行于底面的平面截去一個小圓錐后剩余的部分是圓臺
其中的正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據圓臺、棱臺、圓柱的性質，逐一分析①②③④即可得答案.
【詳解】對于①：以直角梯形較長的腰為軸旋轉所得的幾何體不是圓臺，所以①錯誤；
對于②：棱臺的兩個底面一定是相似多邊形，所以②正確；
對于③：圓柱的軸截面與其側面的交線才是圓柱的母線，所以③錯誤；
對于④：根據圓臺的定義，可得④是正確的．
故選：B
【例3】已知一個圓臺的上下底半徑分別為，截得圓臺的圓錐母線長為，則這個圓臺的母線長為_______．
【答案】6
【分析】根據圓錐的截面的性質計算．
【詳解】設圓臺的母線長為，則，解得：．
故答案為：6．
【例4】如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A．①是棱臺 B．②是圓臺
C．③是棱錐 D．④是棱柱
【答案】D
【分析】利用空間幾何體的概念特征直接判斷即可.
【詳解】根據棱臺的概念，①中上下底面不相似，不是棱臺；根據圓臺的概念，②中上下底面不平行，不是圓臺；根據棱錐的概念，③中下底面不是多邊形，即不是棱錐；故A，B，C都是錯誤的，根據棱柱的概念，④是上下底面為五邊形的五棱柱的，故D正確的.
故選：D．
【例5】關于下列幾何體，說法正確的是（ ）
A．圖①是圓柱 B．圖②和圖③是圓錐 C．圖④和圖⑤是圓臺 D．圖⑤是圓臺
【答案】D
利用圓柱、圓錐、圓臺的定義直接求解.
【詳解】圖①的上下底面既不平行又不全等，圖①不是圓柱，故A錯誤；
圖②和圖③的母線長不相等,故圖②和圖③不是圓錐，故B錯誤；
圖④的上下底面不平行,圖④不是圓臺,故C錯誤;
圖⑤的上下底面平行,且母線延長后交于一點,故圖⑤是圓臺,故D正確.
故選：D.
【例6】若圓臺的母線與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺的高為__________.
【答案】
【分析】若設圓臺的上、下底面半徑分別為，，圓臺高為，則由題意可得，，從而可求出圓臺的高.
【詳解】設上、下底面半徑分別為，，圓臺高為，
根據軸截面可知，即，
所以.
故答案為：
【對點實戰】
1.下列說法正確的是（ ）
①棱柱的側棱都相等；
②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得到旋轉體是圓臺；
③圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺；
④通過圓臺側面上一點有無數條母線．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】結合棱柱與圓臺的定義與幾何特征即可判斷.
【詳解】由棱柱定義可知，棱柱的側面是平行四邊形，所有側棱都相等，①正確；以直角梯形垂直于底邊的一腰為軸旋轉才可以得到圓臺，故②錯誤；用平行于底面的截面截圓錐，上部分為小圓錐，下部分為圓臺，故③正確；通過圓臺側面上一點，只有一條母線，故④錯誤.
故選：B.
2.．以下命題中真命題的序號是（ ）
①若棱柱被一平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱；②有兩個面平行，其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺；③用一個平面去截圓錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫圓臺
A．③ B．①② C．① D．①
【答案】D
【分析】根據棱柱、棱臺和圓臺的定義及性質，即可判斷.
【詳解】解：對①，若棱柱被與底面不平行的平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱，可能出現棱錐，故①正確；
對于②，有兩個面平行,其余各面都是梯形，并且側棱的延長線交于同一點的的幾何體叫棱臺，故②錯誤；
對于③，當截面與底面不平行時，截得的底面和截面之間的幾何體不是圓臺，故③錯誤.
故選：D.
3.以下空間幾何體是旋轉體的是（ ）
A．圓臺 B．棱臺 C．正方體 D．三棱錐
【答案】A
由旋轉體的定義得出答案.
【詳解】由封閉的旋轉面圍成的幾何體叫作旋轉體可知，只有A項滿足題意
故選：A
七、球的結構特征
1．概念：由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡單組合體．
2．基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成．
【典型例題】
【例1】有下列說法：
①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線；
②球的直徑是球面上任意兩點間的連線；
③半圓繞直徑所在直線旋轉后形成的幾何體是球．
其中正確說法的序號是_____________．
【答案】①③
【分析】根據球的知識確定正確的說法.
【詳解】①，球的半徑是球面上任意一點與球心的連線，正確；
②，球的直徑是球面上任意兩點間的連線，錯誤，因為球的直徑是最長的弦；
③，半圓繞直徑所在直線旋轉后形成的幾何體是球，正確.
故答案為：①③
【例2】用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓，則這個幾何體一定是（ ）
A．圓柱 B．圓錐
C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體
【答案】C
【分析】由球體截面的性質，即可確定正確選項.
【詳解】各個截面都是圓，幾何體中只有球體的任意截面都是圓，
這個幾何體一定是球體，
故選：C．
【例3】給出下列說法：①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段；②球的直徑是球面上任意兩點的連線段；③用一個平面截一個球面，得到的是一個圓；④球常用表示球心的字母表示．其中說法正確的是_____．
【答案】①③④
【分析】①②③根據球的定義判斷，④根據球的表示方法判斷
【詳解】根據球的定義直接判斷①正確；②錯誤；
③用一個平面截一個球面，得到的是一個圓；可以是小圓，也可能是大圓，正確；
④球常用表示球心的字母表示，滿足球的定義正確.
故答案為：①③④.
【例4】若球的半徑為，一個截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離．
【詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為．
故選：C．
【例5】已知球的半徑為1，、為球上的任意兩點，則、兩點的球面距離的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據球面距離定義可得選項.
【詳解】球的半徑為1，、兩點的球面距離的最大值是大圓周長的一半，
所以．
故選：B．
【例6】一平面截球O得到半徑為的圓面，球心到這個平面的距離是，則球的半徑是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據條件求出截面圓的半徑，根據直角三角形建立條件，即可求出球的半徑．
【詳解】作出對應的截面圖，
∵截面圓的半徑為即BC，
∵球心O到平面α的距離為2，
∴OC＝2，
設球的半徑為R，在直角三角形OCB中，OB2＝OC2+BC2＝4+（）2＝9．
即R2＝9，解得R＝3．
故選B．
【例7】已知棱長為2的正方體內含有一個可以旋轉的小正方體，則所含的小正方體的體積的最大值為___________.
【答案】##
【分析】根據題意可轉化為正方體內切球的內接正方體，利用直徑與體對角線的關系求解即可.
【詳解】設棱長為2的正方體的內切球的半徑為r，
則，解得.
設所求的小正方體的棱長為a，
則，
所以，
所以小正方體體積的最大值為.
故答案為:
【對點實戰】
1.下列命題正確的是( )
①過球面上任意兩點只能作一個經過球心的圓；②球的任意兩個經過球心的圓的交點的連線是球的直徑；③用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；④球面上任意三點可能在一條直線上；⑤球的半徑是球面上任意一點和球心的連線段.
A．①②③ B．②③④
C．②③⑤ D．①④⑤
【答案】C
【分析】根據球體概念和性質即可求解.
【詳解】由球的概念與性質，當任意兩點與球心在一條直線上時，可作無數個圓，故①錯；②正確；③正確；球面上任意三點一定不共線，故④錯誤；根據球的半徑的定義可知⑤正確.
故選：C.
2.在半徑為1的球面上，若A，B兩點的球面距離為，則線段AB的長|AB|＝_____．
【答案】
【分析】根據球面距離的概念得弦所對的球心角，再根據余弦定理可求得結果.
【詳解】設球心為，根據球面距離的概念可得，
在三角形中，由余弦定理可得
，
所以.
故答案為：.
3.若球的表面積為16π，則與球心距離為的平面截球所得的圓的面積為（ ）
A．4π B．π C．2π D．π
【答案】D
【分析】設球的半徑為，求出的值，再求出截面圓的半徑即得解.
【詳解】設球的半徑為，
因為球的表面積為，所以，解之得；
因為截面與球心距離為；
所以截面圓的半徑；
可得截面圓面積為.
故選：D
八、簡單組合體的結構特征
【典型例題】
【例1】如圖所示的組合體，其結構特征是
A．由兩個圓錐組合成的 B．由兩個圓柱組合成的
C．由一個棱錐和一個棱柱組合成的 D．由一個圓錐和一個圓柱組合成的
【答案】D
【分析】根據圓柱與圓錐的結構特征，即可判定，得到答案.
【詳解】根據空間幾何體的結構特征，可得該組合體上面是圓錐，下接一個同底的圓柱，故選D.
【例2】在一個密閉透明的圓柱筒內裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內的水平面可以呈現出的幾何形狀不可能是
A．圓面 B．矩形面
C．梯形面 D．橢圓面或部分橢圓面
【答案】C
【詳解】分析：分別將圓桶柱豎放、斜放、平放觀察(想象)圓柱桶內的水平面的幾何形狀，即可得結果.
詳解：將圓柱桶豎放，水面為圓面；將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水面為矩形面，所以圓柱桶內的水平面可以呈現出的幾何形狀不可能是梯形面，故選C.
【例3】如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【答案】D
【分析】根據截面的位置，可判斷截面圖形的形狀.
【詳解】一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的幾何體被一個豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，
當截面經過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為三角形除去一條邊，所以①正確；
當截面不經過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為拋物線的一部分，所以⑤正確；
故選:D
【例4】如圖所示的幾何體的結構特征是____________.
【答案】由一個四棱錐和一個同底的四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一個圓柱而形成的.
【分析】結合圖形，根據空間幾何體的結構特征，即可求解.
【詳解】由圖形可得，該組合體是由一個四棱錐和一個同底的四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一個圓柱而形成的.
【例5】如圖所示的陰影部分繞中間軸旋轉一周，形成的幾何體形狀為（ ）
A．一個球體 B．一個球體中間挖去一個圓柱
C．一個圓柱 D．一個球體中間挖去一個棱柱
【答案】B
【分析】根據球的定義，可得外面的圓旋轉形成一個球，根據圓柱的概念，可得里面的長方形旋轉形成一個圓柱，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，根據球的定義，可得圓面旋轉形成一個球，
根據圓柱的概念，可得里面的長方形旋轉形成一個圓柱，
所以繞中間軸旋轉一周，形成的幾何體為一個球中間挖去一個圓柱，
故選：B.
【例6】如圖所示的螺母可以看成一個組合體，其結構特征是
A．一個棱柱中挖去一個棱柱 B．一個棱柱中挖去一個圓柱
C．一個圓柱中挖去一個棱錐 D．一個棱臺中挖去一個圓柱
【答案】B
【詳解】螺栓是圓柱，螺母的橫截面是六邊形內有一個圓，所以螺母可以看成一個棱柱中挖去一個圓柱.故選B.
考點：簡單組合體的結構特征.
【例7】一個三棱錐的各棱長均相等，其內部有一個內切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內部，且球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可知，該三棱錐為正四面體，內切球與各面相切于各個面的中心，即可判斷出選項B正確．
【詳解】如圖所示：
因為三棱錐的各棱長均相等，所以該三棱錐為正四面體，內切球與各面相切于各個面的中心，
即可知過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是．
故選：B．
【例8】按下列條件分割三棱臺ABC-A1B1C1(不需要畫圖，各寫出一種分割方法即可).
（1）一個三棱柱和一個多面體;
（2）三個三棱錐.
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.
【分析】（1）根據三棱柱的結構特征將三棱臺分割即可；
（2）根據三棱錐的結構特征將三棱臺分割即可.
【詳解】（1）在AC上取點D，使DC=A1C1，在BC上取點E，使EC=B1C1，連接A1D，B1E，DE，則得三棱柱A1B1C1-DEC與一個多面體A1B1BEDA.(答案不唯一)
【對點實戰】
1.已知等腰梯形ABCD，現繞著它的較長底CD所在的直線旋轉一周，所得的幾何體包括（ ）
A．一個圓臺、兩個圓錐 B．一個圓柱、兩個圓錐
C．兩個圓臺、一個圓柱 D．兩個圓柱、一個圓臺
【答案】B
【分析】畫出簡圖，將等腰梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形，進而進行旋轉，然后根據多面體的定義得到答案.
【詳解】將等腰梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形，如圖所示：
矩形繞其一邊旋轉一周得到圓柱，直角三角形繞其一條直角邊旋轉一周得到圓錐；
因此，將該等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉一周，可得幾何體為：一個圓柱、兩個圓錐.
故選：B.
2.如圖是由哪個平面圖形旋轉得到的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據圓柱、圓錐與圓臺的定義，判斷選項中的圖形旋轉一周后所得到的幾何體的形狀，進而可得結果.
【詳解】A中圖形旋轉得到兩個圓錐與一個圓柱，不合題意；
B中圖形旋轉得到兩個相同底面的圓錐，不合題意；
C中圖形旋轉得到相同底面的圓柱與圓錐，不合題意；
D中圖形旋轉得到一個圓臺與一個圓錐，合題意.
故選：D.
3.如圖所示的螺母可以看成一個組合體，對其結構特征最接近的表述是（ ）
A．一個六棱柱中挖去一個棱柱 B．一個六棱柱中挖去一個棱錐
C．一個六棱柱中挖去一個圓柱 D．一個六棱柱中挖去一個圓臺
【答案】C
【分析】根據組合體外部輪廓圖的結構特征和挖掉的幾何體的結構特征即可得解.
【詳解】螺母這個組合體的外部輪廓圖是六棱柱，由于螺母是旋擰在螺桿上的，則挖去的部分是圓柱，選項C表述準確.
故選：C
4.如圖的組合體是由（ ）組合而成.
A．兩個棱柱 B．棱柱和圓柱
C．圓柱和棱臺 D．圓錐和棱柱
【答案】B
根據組合體的結構特征即可求解.
【詳解】由圖可知該組合體由圓柱和六棱柱組合而成，
故選：B
5.指出下圖中的幾何體分別由哪些簡單幾何體組成．
【答案】答案見解析.
【分析】結合常見空間幾何體的結構特征依次說明組合體即可.
【詳解】第一個幾何體是由一個長方體割去一個四棱臺而成；
第二個幾何體是由一個長方體挖去一個小的長方體而成的；
第三個幾何體是由一個小圓柱穿過一個圓錐而成的；
第四個幾何體是由一個三棱柱和2個不同的長方體拼接而成的.
6.從一個底面半徑和高都是R的圓柱中，挖去一個以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點的圓錐，得到如圖所示的幾何體.如果用一個與圓柱下底面距離等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面積.
【答案】
【分析】作出如圖所示的軸截面，根據平面幾何關系即可得解.
【詳解】如圖所示作出軸截面，
圓柱被平行于下底面的平面所截得的截面圓的半徑，
設圓錐的截面圓的半徑為x.
因為，所以是等腰直角三角形.
又，所以，故.
所以截面積.
九、空間幾何體的側面展開圖
【典型例題】
【例1】圓柱體被平面截成如圖所示的幾何體，則它的側面展開圖是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結合立體圖形，進行空間想象，然后進行判斷.
【詳解】結合幾何體的實物圖，從截面最低點開始高度增加緩慢，然后逐漸變快，最后增加逐漸變慢，不是均衡增加的，所以A，B，C錯誤.
故選D.
【例2】某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當燈旋轉時，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處應依次寫上（ ）
A．樂、新、快 B．快、新、樂
C．新、快、樂 D．樂、快、新
【答案】BC
【分析】由四棱錐的結構特征進行判斷即可
【詳解】解：由題意，圖中四個三角形為四棱錐的側面，由四棱錐的結構特征，正好看到“新年快樂”的字樣的順序可以是①年②③，②年①③，
即①②③處可依次寫上：新、快、樂，或快、新、樂，
故選：BC
【例3】下列幾何體的側面展開圖如圖所示，其中是棱錐的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據選項中的展開圖，依次分析沿著折線折起來的幾何體的機構特征，判斷是否為棱錐即可.
【詳解】對于A選項，圖形沿著折線翻折起來是一個五棱柱，故A選項不正確；
對于B選項，圖形沿著折線翻折起來是一個五棱錐，故B選項正確；
對于C選項，圖形沿著折線翻折起來是一個三棱臺，故C選項不正確；
對于D選項，圖形沿著折線翻折起來是一個四棱柱，故D選項不正確；
故選：B.
十、表面最短距離
【典型例題】
【例1】小螞蟻的家住在長方體的A處，小螞蟻的奶奶家住在處，三條棱長分別是，，，小螞蟻從A點出發，沿長方體的表面到小螞蟻奶奶家的最短距離是（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】根據題意知：螞蟻所走的路線有三種情況，利用勾股定理分別求出三種情況對應的的長，由此能求出小螞蟻從A點出發，沿長方體的表面到小螞蟻奶奶家的最短矩離.
【詳解】根據題意知：
螞蟻所走的路線有三種情況（如圖①②③），
由勾股定理得：
圖①中，，
圖②中，，
圖③中，，
所以小螞蟻從A點出發，
沿長方體的表面到小螞蟻奶奶家的最短矩離是5.
故選：A
【例2】如圖為一個組合體，底座為一個長方體，凸起部分由一小長方體和一個半圓柱組成，一只小螞蟻從點出發，沿幾何體表面爬行，首先到達點，然后沿凸起部分的表面到達點，則小螞蟻走過的最短距離為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】將點所在的側面沿交線展開，分別求得點到點的最短距離和點到點的最短距離，進而求得小螞蟻走過的最短距離．
【詳解】將點所在的側面沿交線展開，如圖所示，
則到的最短距離為，
故從點到點的最短距離為，
點到點的最短距離為，
故小螞蟻走過的最短距離為．
故選：A.
【例3】第24屆冬奧會將于2022年在中國北京舉辦，單板滑雪的U型場地近似為圓柱體的一部分（如圖），現一名運動員從頂端A點滑行到另一頂端B點，則滑行的最短距離約為（ ）
（注：，）
A． B．
C． D．
【答案】A
先畫出如圖1所示的截面，求出的大小，從而可求出弧的長，然后在U型場地側面展開圖中計算即可
【詳解】解：設圓柱的底面半徑為，則在中，
，解得，
設，則，
所以，所以，
所以弧的長為，
U型場地側面展開圖如圖2所示，
則從頂端A點滑行到另一頂端B點，則滑行的最短距離約為
故選：A
【例4】如圖，在正三棱錐P-ABC中，，PA=PB=PC=4，一只蟲子從A點出發，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
將三棱錐的側面展開，則所求最短距離可轉化為求AA1的長度，利用勾股定理即可得到答案．
【詳解】
將三棱錐由PA展開，則∠APA1=90°，所求最短距離為求AA1的長度
∵PA=4，
∴由勾股定理可得AA1=．
蟲子爬行的最短距離．
故選：A．
【例5】如圖，底面為正方形的四棱錐中，四條側棱相等，且，，分別為棱和上的兩點，，，處有只螞蟻欲沿該正四棱錐的側面爬行到處，則螞蟻爬行的最短距離為（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【分析】根據四棱錐的結構特征， 沿PA，PC剪開展成平面時EF最短，然后在
中，利用余弦定理求解.
【詳解】如圖所示：
因為底面為正方形的四棱錐中，四條側棱相等，且，
所以四棱錐是正四棱錐且所有的棱都相等，
當沿PA，PC剪開展成平面，EF最短，
在中，，，，
由余弦定理得
，
解得 ，
所以螞蟻爬行的最短距離為
故選：C
【例6】．設球的半徑為1，，，是球面上三點，已知到，兩點的球面距離都是，且平面平面，則從點沿球面經，兩點再回到點的最短距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設所在小圓面與垂直，延長與這個小圓面相交，交點為小圓圓心，由已知可得，然后計算出弦長，得球心角，可得間的球面距離，從而得出結論．
【詳解】如圖，設所在小圓面與垂直，延長與這個小圓面相交，交點為小圓圓心，連接，
∵到，兩點的球面距離都是，球半徑為1，∴，∴，
因為平面，平面，平面，∴，所以為二面角的平面角，
而平面平面，∴，又，∴，
∴，∴間的球面距離為，
∴所求最短距離是．
故選：B．
【例7】如圖長方體中，過同一個頂點的三條棱的長分別為2、4、6，點為長方體的一個頂點，點為其所在棱的中點，則沿著長方體的表面從點到點的最短距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由長方體的側面展開圖可得有3種情況如下：①當點所在的棱長為2；②當點所在的棱長為4；③當點所在的棱長為6，分別再求出展開圖AB的距離即可得最短距離.
【詳解】由長方體的側面展開圖可得：
（1）當點所在的棱長為2，則沿著長方體的表面從到的距離可能為；；.
（2）當點所在的棱長為4，則沿著長方體的表面從到的距離可能為；；.
（3）當點所在的棱長為6，則沿著長方體的表面從到的距離可能為；；.
綜上所述，沿著長方體的表面從點到點的最短距離為.
故選：C.
結束

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