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8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
本節課知識點目錄：
棱柱的表面積；
棱錐的表面積。
棱臺的表面積
棱柱的體積；
棱錐的體積。
棱臺的體積
簡單組合體的表面積和體積
等體積變換與割補法
面積最值
體積最值
聯考、?？碱}選
一、棱柱的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和，也就是展開圖的面積
【典型例題】
【例1】已知一個底面是菱形的直棱柱的側棱長為5，菱形的對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側面積是（ ）
A． B． C． D．135
【例2】已知如左圖棱長為的正方體，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如右圖所示的幾何體，那么拼成的幾何體的全面積為（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】已知三棱柱的側面均為矩形，求證：該三棱柱的任意兩個側面的面積之和大于第三個側面的面積．
【例4】用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，求所需紙的最小面積．
【例5】三棱柱中，若存在點，使得點到三棱柱所有面所在平面的距離相等，則該三棱柱的側面積與表面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知正四棱柱中，，，為上底面中心.設正四棱柱與正四棱錐的側面積分別為，，則__________.
【對點實戰】
1.已知長方體全部棱長的和為，表面積為，則其體對角線的長為（ ）
A． B． C． D．
2.如圖，正方體 1 1 1 1的棱長為a，將該正方體沿對角面 1 1 切成兩塊，再將這兩塊拼接成一個不是正方體的四棱柱，那么所得的四棱柱的全面積為_________________.
3.若一個正六棱柱的底面邊長為a，側面對角線的長為2a，則它的表面積為______.
4.正四棱柱的一條對角線長為9，表面積為144，適合這些條件的正四棱柱有___個.
5.已知一個正四棱柱的對角線的長是9 cm，表面積等于144 cm2，則這個棱柱的側面積為________ cm2.
二、棱錐的表面積
【典型例題】
【例1】正三棱錐中，若三條側棱兩兩垂直，且頂點到底面的距離為，則這個正三棱錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【例2】正三棱錐底面邊長為，高為，則此正三棱錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知三棱錐的三條側棱長均為2，側面有兩個是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個三棱錐的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【例4】在《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.已知四棱錐為陽馬，底面ABCD是邊長為2的正方形，有兩條側棱長為3，則該陽馬的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【例5】正六棱錐底面周長為6，高為，則此錐體的側面積等于（ ）
A． B． C． D．
【例6】如圖，已知正三棱錐的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高，則此正三棱錐的表面積為___________．
【例7】若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其表面積的值可能是________(只需寫出一個可能的值)
【例8】如圖，一個正四棱錐（底面為正方形且側棱均相等的四棱錐）的底面的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則正四棱錐的側面積為___________.
【對點實戰】
1.已知正三棱錐的底面邊長為6，點到底面的距離為3，則三棱錐的表面積是（ ）
A． B． C． D．
2.已知正四棱錐的側棱長為2，高為.則該正四棱錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
3.已知一個正四棱錐的底面邊長為4，以該正四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則該正四棱錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
4.已知正四棱錐底面正方形的邊長為，高與斜高夾角為，其側面積為______，全面積為_____．
5.若在三棱錐中，，，則該三棱錐的表面積為______.
6.已知正四棱柱中，，，為上底面中心.設正四棱柱與正四棱錐的側面積分別為，，則__________.
三、棱臺的表面積
【典型例題】
【例1】若正三棱臺上、下底面邊長分別是和，棱臺的高為，則此正三棱臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【例2】正四棱臺上、下底面邊長分別為，，側棱長，則棱臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【例3】《九章算術·商功》：“今有塹堵，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五盡……”，所謂“塹堵”，就是兩底面為直角三角形的棱柱，如圖所示的幾何體是一個“塹堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中點，過點B，C，M的平面把該“塹堵”分為兩個幾何體，其中一個為三棱臺，則該三棱臺的表面積為（ ）
A．40 B．50
C．25＋15＋3 D．30＋20
【例4】已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側面是腰長為8的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為________．
【例5】一個幾何體共有六個側面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底長為10cm，下底長為15cm，腰為9cm，上、下底面都是正六邊形，求該幾何體的全面積．
【例6】正四棱臺兩底面邊長分別為a和b(a（1）若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺的側面積；
（2）若棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求它的高.
【對點實戰】
1.正四棱臺的上、下底面邊長分別是和，側棱長是，則它側面積為（ ）
A． B． C． D．
2.若正四棱臺的上底邊長為2，下底邊長為8，高為4，則它的側面積為___________.
3.已知正四棱臺兩底面邊長分別為，側棱長為，則它的側面積為_______．
4.如圖所示，正四棱臺的高是，兩底面的邊長分別是和.
（1）求這個棱臺的側棱長和斜高.
（2）求該棱臺的側面積與表面積.
5.正四棱臺兩底面邊長分別為和.
（1）若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為，求棱臺的側面積；
（2）若棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求它的高.
四、棱柱的體積
棱柱體積：V棱柱＝Sh
【典型例題】
【例1】若正三棱柱一個側面的一條對角線長為2，且與該側面內的底邊所成角為45°，則此三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知三棱錐的體積為，且，，，則三棱錐 的表面積為
A． B． C． D．
【例3】已知三棱錐O-ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=OB=OC=2,點D是的重心，則以OD為體對角線的正方體體積為___________
【例4】一個封閉的正三棱柱容器的高為2a，內裝水若干(如圖(1)，底面處于水平狀態)．將容器放倒(如圖(2)，—個側面處于水平狀態)，若此時水面與各棱的交點E，F，，分別為所在棱的中點，則圖(1)中水面的高度為________．
【例5】．斜三棱柱中，側面的面積為S，且它與側棱的距離為h，求此三棱柱的體積.
【對點實戰】
1.若正三棱柱一個側面的一條對角線長為2，且與該側面內的底邊所成角為45°，則此三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
2.如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，點是棱的中點，點是棱靠近的三等分點，且三棱錐的體積為2，則四棱柱的體積為______．
3.如圖，三棱柱的所有棱長都是，，．
（1）求三棱柱的全面積；
（2）若該三棱柱的體積為，且在下底面的正投影為下底面的中心，求的值．
五、棱錐的體積
棱錐的體積：V棱錐＝Sh
【典型例題】
【例1】已知三棱錐的體積為，且，，，則三棱錐的表面積為（ ）
A． B． C．或 D．或
【例2】六氟化硫，化學式為，在常壓下是十種無色、無臭、無毒、不燃的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結構為正八面體結構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點．若相鄰兩個氟原子間的距離為2a，則六氟化硫分子中6個氟原子構成的正八面體的體積是（不計氟原子的大?。? ）
A． B． C． D．
【例3】將邊長為的正方形沿對角線折起，使為正三角形，則三棱錐的體積為
A． B． C． D．
【例4】已知三棱柱的體積為，點分別在側棱上，且，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例5】如圖，在棱長為a的正方體中，P在線段上，且，M為線段上的動點，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．與點M的位置有關
【例6】在如圖所示的三棱錐容器中，，，分別為三條側棱上的小洞，，，若用該容器盛水，則最多可盛水的體積是原三棱錐容器體積的（ ）
A． B． C． D．
【例7】如圖，正方體，動點、在棱上，動點、分別在棱、上，若，，，（、、、大于零），則四面體的體積（ ）
A．與有關 B．與有關 C．與有關 D．與有關
【例8】
【對點實戰】
1.在棱長為的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為
A． B． C． D．
2.將一個長方體沿從同一個頂點出發的三條棱截去一個棱錐，棱錐的體積與剩下的幾何體的體積之比為（ ）.
A． B． C． D．
3.已知正四棱錐的底面邊長和側棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
4.已知平行六面體的體積為24，任取其中四個不共面的頂點構成四面體，則該四面體的體積可能取值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
5.若四面體各棱的長是1或2，且該四面體的棱長不全相等，則其體積的值可能為（ ）
A． B． C． D．
6.如圖，在正三棱柱中，，則四棱錐的體積是________
六、棱臺的體積
棱臺的體積：V棱臺＝(S′＋＋S)h
【典型例題】
【例1】在《九章算術·商功》中將正四面形棱臺體（棱臺的上 下底面均為正方形）稱為方亭.在方亭中，，四個側面均為全等的等腰梯形且面積之和為，則該方亭的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例2】若正四棱臺的斜高與上、下底面邊長之比為5∶2∶8，體積為14，則棱臺的高度為（ ）
A．8 B．4
C．2 D．2
【例3】正四棱臺的底面邊長分別是和，側面面積為，則這個正四棱臺的體積為________.
【例4】已知一個三棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正三角形，側面是全等的等腰梯形，且側面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺的高和體積.
七、簡單組合體的表面積與體積
求組合體的表面積和體積，首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應該怎樣求，然后再根據公式求出各面的面積，最后再相加或相減．求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減．
【典型例題】
【例1】鉞（yuè）的本字其實是“戊（yuè）”，是一種斧頭．在中國古代，長江流域以南的少數民族都被稱為越人，由于民族很雜部落眾多，也稱“百越”，有學者指出，“越人”的“越”，其含義可能由“戊”而來，意指這些都是一幫拿著斧頭的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一樣，也是指斧頭．如圖是一把斧子，它的斧頭由鐵質鍛造，它的形狀可以近似看做由上下兩個多面體組合而成，上部是一個長方體，下部是一個“楔（xie）形”，其尺寸如圖標注（單位：cm），已知鐵的比重為，斧頭上用作安裝斧柄的洞眼仍看作實心，這只斧頭的質量（單位：g）所在的區間為（ ）

A． B． C． D．
【例2】某公園設置了一些石凳供大家休息，每張石凳是由正方體石料截去八個一樣的四面體得到的，如圖所示.如果一張石凳的體積是，那么原正方體石料的體積是（ ）
A． B． C． D．
【例3】如圖所示，在多面體中，已知四邊形是邊長為的正方形，且、均為正三角形，，，則該多面體的體積為（ ）
A． B．
C． D．
【例4】如圖所示的鉛筆模型是由正三棱柱和正三棱錐構成的，正三棱錐的底面邊長和高都是1，正三棱柱的高是正三棱錐的高的20倍，則這只鉛筆模型的體積是（ ）
A． B． C． D．
【例5】鎮海中學大成殿具有悠久的歷史，始建于北宋年間，大成殿建筑美觀大氣，如圖：上建筑屋脊狀楔體，下建筑是長方體．假設屋脊沒有歪斜，即的中點在底面上的投影為矩形的中心點，，，，，，（長度單位：米）．則大成殿的體積為______（體積單位：立方米）．
【對點實戰】
1.如圖，在三棱錐D-AEF中，分別是DA，DE，DF的中點，B，C分別是AE，AF的中點，設三棱柱的體積為，三棱錐D-AEF的體積為，則___________.
2.如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且，則___________.
3.已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長寬高分別為4，3，3，三棱柱底面是直角邊分別為4，3的直角三角形，側棱長為3，則此幾何體的體積是_____，表面積是_____.
4.如下圖是一個獎杯底座（四棱臺）的三視圖和直觀圖， 為上下底面的中心， 為各棱的中點.
（1）求它的體積；
（2）求它的表面積.
八、等體積變換與割補法
1.轉換頂點和底面是求三棱錐體積的一種常用的方法．
2.對于給出的一個不規則的幾何體不能直接套用公式，常常需要運用分割法．
【典型例題】
【例1】如圖，一個直三棱柱形狀的容器中盛有水，側棱，若側面水平放置時，水面恰好過，，，的中點，當底面水平放置時，則水面的高為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【例2】已知三棱錐中，，分別是，的中點，在線段上，且，平面將該三棱錐截成一個四面體和一個五面體，分別記該四面體和五面體的體積為，，則______；若分別記該四面體和五面體的表面積為，，則______（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【例3】如圖，四邊形是正方形，四邊形是矩形，平面平面，，，則多面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【例4】在棱長為的正方體中，為的中點， 則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【例5】在三棱柱中，E，F分別是AB，AC的中點，平面把該三棱柱分成體積為，的兩部分，則等于
A． B． C． D．
【例6】如圖，已知直三棱柱（側棱與底面垂直的棱柱），點分別在側棱和上，，平面把三棱柱分成上、下兩部分，則上、下兩個幾何體的體積比為
A． B． C． D．
【例7】已知正三棱錐的底面邊長為1，點到底面的距離為，則（ ）
A．該三棱錐的內切球半徑為 B．該三棱錐外接球半徑為
C．該三棱錐體積為 D．該三棱錐體積為
【例8】在棱長為1的正方體中，直線與平面之間的距離為________．
【對點實戰】
1.學生到工廠勞動實踐，利用打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E、F、G、H分別為所在棱的中點，，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為（ ）g
A． B． C． D．
2.．三棱臺中，，則三棱錐的體積之比是________．
江蘇省宿遷市四校2019-2020學年高一下學期期末聯考數學試題
3.中國古代數學名著《九章算術》中記載：“今有羨除”．劉徽注：“羨除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”現有一個羨除如圖所示，四邊形ABCD，ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個羨除的體積是________．
4.在棱長為的正方體中，為的中點，則點到平面的距離為______.
5.如圖，在四面體中作截面，其中，，，則______．
面積最值
【典型例題】
【例1】用長度分別是2，3，5，6，9（單位：）的五根木棒連接（只允許連接，不允許折斷），組成共頂點的長方體的三條棱，則能夠得到的長方體的最大表面積為（ ）
A． B． C． D．
【例2】我國古代數學名著《九章算術》中有這樣一些數學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐.現有一如圖所示的“塹堵”，，若，當“陽馬”體積最大時，則“塹堵”的表面積為
A． B． C． D．
【例3】兩個相同的正四棱錐底面重合組成一個八面體，可放入棱長為2的正方體中，重合的底面與正方體的某一個面平行，且八面體的各頂點均在正方體的表面上，將滿足上述條件的八面體稱為正方體的“正子體”.則此正子體的表面積S的取值范圍是______________
【例4】有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為（）．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是_______．
【例5】如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的表面積為__________．
【例6】如圖所示，在三棱錐中，和都是邊長為2的等邊三角形，則當此三棱錐的表面積最大時______．
【例7】一個正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h.一個正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的頂點A1，B1，C1分別在三條棱上，A0，B0，C0分別在底面△ABC上，何時此三棱柱的側面積取到最大值
十、體積最值
棱臺的體積：V棱臺＝(S′＋＋S)h
【典型例題】
【例1】如圖，在直三棱柱中，，.
（1）求該直三棱柱的表面積；
（2）若把兩個這樣的直三棱柱拼成一個大棱柱，當該大棱柱表面積最大時，求該大棱柱的外接球的體積.
【例2】已知正方形的邊長為，、分別為、的中點，沿將三角形折起到的位置，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例3】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將三角形ABC折起，得到的四面體A﹣BCD的體積的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【例4】如圖，在正方體中，點P是上的任意一點，點M，N分別是AB和BC上的點，且，若，則三棱錐體積的最大值是_______．
【例5】如圖，在直三棱柱中，，，，，點為側棱上的動點，當最小時，三棱錐的體積為______．
【例6】某人買了一罐容積為V L，高為a m的直三棱柱形罐裝進口液體車油，由于不小心摔落地上，結果有兩處破損并發生滲漏，它們的位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b m，c m的地方（如圖）．為了減少罐內液體車油的損失，該人采用破口朝上，傾斜罐口的方式拿回家．試問罐內液體車油最多還能剩多少？
十一、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為2，如果任意轉動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體的體積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【例2】命題“在中,若,、、所對應的邊長分別為,則”,類比此性質,若在立體幾何中,請給出對應四面體性質的猜想,并證明之.
【例3】已知正方體ABCD－A1B1C1D1棱長為1，點P在線段BD1上，當∠APC最大時，三棱錐P－ABC的體積為
A． B． C． D．
結束
8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
本節課知識點目錄：
棱柱的表面積；
棱錐的表面積。
棱臺的表面積
棱柱的體積；
棱錐的體積。
棱臺的體積
簡單組合體的表面積和體積
等體積變換與割補法
面積最值
體積最值
聯考、模考題選
一、棱柱的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和，也就是展開圖的面積
【典型例題】
【例1】已知一個底面是菱形的直棱柱的側棱長為5，菱形的對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側面積是（ ）
A． B． C． D．135
【答案】A
【分析】利用菱形對角線垂直先計算菱形的邊長，再計算菱形周長，代入直棱柱側面積公式即可.
由菱形的對角線長分別是9和15，得菱形的邊長為，則這個直棱柱的側面積為.
【例2】已知如左圖棱長為的正方體，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如右圖所示的幾何體，那么拼成的幾何體的全面積為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根據新幾何體與原正方體的對比，觀察新增哪些部分，減少哪些部分，然后在進行計算.
拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個截面，減少了原來兩個正方形面，
∵截面為矩形，長為，寬為，∴面積為，
∴拼成的幾何體表面積為，
故選：B.
【例3】已知三棱柱的側面均為矩形，求證：該三棱柱的任意兩個側面的面積之和大于第三個側面的面積．
【答案】詳見解析
【分析】根據三棱柱的側面均為矩形，得到三棱柱是直三棱柱，表示出個側面的面積，由三角形的兩邊之和大于第三邊證明.
如圖所示：
因為三棱柱的側面均為矩形，所以三棱柱是直三棱柱，
則，
因為，且，所以，
故該三棱柱的任意兩個側面的面積之和大于第三個側面的面積．
【例4】用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，求所需紙的最小面積．
【答案】8
【分析】把正方體的表面展開，得到5個邊長為1的正方形組成十字形，并在四端加上四個斜邊為1的等腰直角三角形，就可以包住棱長為1的正方體，直接求面積即可.
如圖①為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②所示，由圖知正方形的邊長為，其面積為8．

圖① 圖②
【例5】三棱柱中，若存在點，使得點到三棱柱所有面所在平面的距離相等，則該三棱柱的側面積與表面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設三棱柱的表面積為，的面積為，可知點為該三棱柱的內切球球心，設內切球的半徑為，則三棱柱的高為，利用等體積法可得出的值，進而可得出該三棱柱的側面積與表面積之比.
設三棱柱的表面積為，的面積為，
由題意可知點為該三棱柱的內切球球心，設內切球的半徑為，則三棱柱的高為，
該三棱柱的體積為，所以，.
因此，該三棱柱的側面積與表面積之比為.
故選：A.
【例6】已知正四棱柱中，，，為上底面中心.設正四棱柱與正四棱錐的側面積分別為，，則__________.
【答案】
【分析】根據幾何體的結構特征，由棱柱和棱錐的側面積公式，分別求得正四棱柱和正四棱錐的側面積，即可求解.
如圖所示，正四棱柱中，，，
則正四棱柱的側面積分別為，
正四棱錐的斜高為，
所以正四棱錐的側面積，
所以.
故答案為：.
【對點實戰】
1.已知長方體全部棱長的和為，表面積為，則其體對角線的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用，可得對角線的長.
設長方體的三條棱的長分別為：，則，
可得對角線的長為．故選：A．
2.如圖，正方體 1 1 1 1的棱長為a，將該正方體沿對角面 1 1 切成兩塊，再將這兩塊拼接成一個不是正方體的四棱柱，那么所得的四棱柱的全面積為_________________.
【答案】
拼成的四棱柱的底面為一平行四邊形，兩鄰邊長分別為a、，高為 a，利用面積公式可求得結果.
拼成的四棱柱的底面為一平行四邊形，兩鄰邊長分別為a、，高為 a，
全面積，側面積，底面積分別為，
.
故答案為：
3.若一個正六棱柱的底面邊長為a，側面對角線的長為2a，則它的表面積為______.
【答案】
【分析】首先求出正六棱柱的高，再由表面積求法即可求解.
因為側面對角線的長為，
所以高為，
因此表面積為：
故答案為：
4.正四棱柱的一條對角線長為9，表面積為144，適合這些條件的正四棱柱有___個.
【答案】2
【分析】首先設底面邊長為a，高為h，結合已知條件和正四棱柱的幾何結構列出方程組并求解，根據解的個數即可求解.
設底面邊長為a，高為h，由題意得解得，或，
從而方程組有兩個解，所以適合條件的正四棱柱有2個.
故答案為：2.
5.已知一個正四棱柱的對角線的長是9 cm，表面積等于144 cm2，則這個棱柱的側面積為________ cm2.
【答案】72或112
【分析】設正四棱柱的底面邊長為，高為，則，，從而解出或，或，從而求出其側面積．
解：設正四棱柱的底面邊長為，高為，則，
，聯立消可得，，即，
解得，或，即或，當，時，側面積，
當，時，側面積，故答案為：72或112
二、棱錐的表面積
【典型例題】
【例1】正三棱錐中，若三條側棱兩兩垂直，且頂點到底面的距離為，則這個正三棱錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設正三棱錐的側棱長為，根據已知條件列等式求出的值，進而可求得正三棱錐的表面積.
設正三棱錐的側棱長為，設點在底面的射影為點，則為等邊的中心，
因為、、兩兩垂直，且，所以，，
等邊的外接圓半徑為，
由勾股定理可得，即，解得，
所以，正三棱錐的表面積為.故選：D.
【例2】正三棱錐底面邊長為，高為，則此正三棱錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據條件，可計算正三棱錐的斜高，利用側面積公式計算即可求出.
因為底面正三角形中高為，其重心到頂點距離為，且棱錐高，所以利用直角三角形勾股定理可得側棱長為，斜高為，所以側面積為.選A.
【例3】已知三棱錐的三條側棱長均為2，側面有兩個是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個三棱錐的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依次計算4個三角形的面積，相加即可.
結合題目邊長關系，三棱錐如圖所示，，由題意是等腰直角三角形,則,，則表面積為.故選：C.
【例4】在《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.已知四棱錐為陽馬，底面ABCD是邊長為2的正方形，有兩條側棱長為3，則該陽馬的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據四棱錐的性質，分別求側面與底面面積，即可得解.
如圖，
由題意知,,平面,
因為，
所以,故選：B
【例5】正六棱錐底面周長為6，高為，則此錐體的側面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
通過底面周長求出底面邊長，底面中心到邊的距離，求出棱錐的斜高，然后求出側面積．
正六棱錐底面周長為6，則底面邊長為1，底面中心到邊的距離d，棱錐的斜高h′
錐體的側面積等于故選：C．
【例6】如圖，已知正三棱錐的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高，則此正三棱錐的表面積為___________．
【答案】
【分析】過點O作，與交于點E，連接，根據三棱錐側面積、底面積的求法及已知條件，列方程求底面邊長、斜高，進而求三棱錐的表面積.
如圖，設正三棱錐的底面邊長為a，斜高為，側面積、底面積分別為，
過點O作，與交于點E，連接，則．
由，即，可得.
由，則，即．
．則．，則．
∴表面積．故答案為：
【例7】若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其表面積的值可能是________(只需寫出一個可能的值)
【答案】或或
【分析】由題意畫出一種滿足條件的圖形,求解表面積即可
由四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體如圖,
①四面體各棱中有一條為1，另五條為2，
不妨取三條側棱長均為2,底面邊長BC=BD=2，CD=1.
其表面積為.故其表面積為.
②四面體各棱中有兩條為1，四條為2，
由三角形兩邊之和大于第三邊，可知邊長為1的必為對棱.如圖示，
四個面全等，所以表面積為.
③四面體各棱中有三條為1，三條為2，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知邊長為1的必在同一個面內.
如圖示：
所以表面積為.故答案為: 或或
【例8】如圖，一個正四棱錐（底面為正方形且側棱均相等的四棱錐）的底面的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則正四棱錐的側面積為___________.
黑龍江省雞西市2020-2021學年高一下學期期末數學試題
【答案】32
【分析】根據正棱錐中高與斜高的夾角求出斜高的長，即可求出側面積.
在正四面體中易知，是正棱錐的高，是正棱錐的斜高，
, ,,，故答案為：32
【對點實戰】
1.已知正三棱錐的底面邊長為6，點到底面的距離為3，則三棱錐的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知條件求解斜高，然后求解正三棱錐的表面積．
解：由題意可知底面三角形的中心到底面三角形的邊的距離為：，
所以正三棱錐的斜高為：，
所以這個正三棱錐的側面積為：，正三棱錐的底面積為：．
所以正三棱錐的表面積為
故選：．
2.已知正四棱錐的側棱長為2，高為.則該正四棱錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由題意求出底面邊長，然后利用面積公式計算即可
由題意可知，則，
，
所以該正四棱錐的表面積為，
故選：C
3.已知一個正四棱錐的底面邊長為4，以該正四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則該正四棱錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用四棱錐斜高與高的關系列方程并求解，再利用側面積公式直接求解.
正四棱錐如圖，設四棱錐的高，由底面邊長為4，可知，斜高，
故，解得，故側面積為，故選：D.
4.已知正四棱錐底面正方形的邊長為，高與斜高夾角為，其側面積為______，全面積為_____．
【答案】 32 48
【分析】正四棱錐的高，斜高，底面邊心距組成．求出斜高，分別求出底面積和側面積即可求解.
如圖所示，
正四棱錐的高，斜高，底面邊心距組成．
因為，
所以斜高．所以，
．答案：32 48
5.若在三棱錐中，，，則該三棱錐的表面積為______.
【答案】
【分析】作出圖形，分析各面的形狀，可知三棱錐的各側面全等，計算，乘以即可得出該三棱錐的表面積.
如下圖所示，取的中點，連接，
，，，
同理可知，、、、全等，
，，為的中點，則，且，
所以，，
因此，三棱錐的表面積.
故答案為：.
6.已知正四棱柱中，，，為上底面中心.設正四棱柱與正四棱錐的側面積分別為，，則__________.
【答案】
【分析】根據幾何體的結構特征，由棱柱和棱錐的側面積公式，分別求得正四棱柱和正四棱錐的側面積，即可求解.
如圖所示，正四棱柱中，，，
則正四棱柱的側面積分別為，
正四棱錐的斜高為，
所以正四棱錐的側面積，
所以.故答案為：.
三、棱臺的表面積
【典型例題】
【例1】若正三棱臺上、下底面邊長分別是和，棱臺的高為，則此正三棱臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
作出輔助線構造出直角三角形,進而求得側面的高與側面積即可.
如圖，分別為上、下底面的中心，分別是，的中點，過作于點E.在直角梯形中，，，.
在中，，
則..
故選：C
【例2】正四棱臺上、下底面邊長分別為，，側棱長，則棱臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由棱臺的性質和勾股定理求得棱臺的斜高，再由棱臺的側面積公式，計算可得所求值．
解：設，，，可得正四棱臺的斜高為，
所以棱臺的側面積為．
故選：．
【例3】《九章算術·商功》：“今有塹堵，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五盡……”，所謂“塹堵”，就是兩底面為直角三角形的棱柱，如圖所示的幾何體是一個“塹堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中點，過點B，C，M的平面把該“塹堵”分為兩個幾何體，其中一個為三棱臺，則該三棱臺的表面積為（ ）
A．40 B．50
C．25＋15＋3 D．30＋20
【答案】C
【分析】根據平面性質做出平面在幾何體中的截面，找到三棱臺，由面積公式計算表面積.
如圖所示，記A1B1的中點為N，連接MN，則MN∥BC，
所以過點B，C，M的平面為平面BNMC，三棱臺為A1MN -ACB，
其中，，，
所以其表面積S＝×4×4＋×2×2＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×＝25＋15＋3.故選：C
【例4】已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側面是腰長為8的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為________．
【答案】
【分析】分別算側面等腰梯形的面積及上下兩底面面積，然后再求和.
如圖，在四棱臺中，過點作，垂足為點，在中，，故，
所以，
故四棱臺的側面積，
所以．
故答案為：
【例5】一個幾何體共有六個側面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底長為10cm，下底長為15cm，腰為9cm，上、下底面都是正六邊形，求該幾何體的全面積．
【答案】
【分析】分別過A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分別為垂足，先求出斜高AE，分別求出側面積和底面積，即可求出表面積.
如圖所示其中一個等腰梯形,
分別過A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分別為垂足，則四邊形AEFB為矩形.其中EF=AB=9,，所以.
所以該幾何體的側面積,上下底面積的和，
所以該幾何體的全面積.
【例6】正四棱臺兩底面邊長分別為a和b(a（1）若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺的側面積；
（2）若棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求它的高.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）如圖所示，由于平面，側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為，可得，，．分別取，的中點，，連接，．利用勾股定理可得：，．可得斜高．即可得出棱臺的側面積．
（2）由棱臺的側面積等于兩底面面積之和，可得，利用即可得出．
解：（1）如圖所示:
平面，側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為，
，，．分別取，的中點，，連接，．
則，．斜高．
棱臺的側面積；
（2）棱臺的側面積等于兩底面面積之和，，．
．
【對點實戰】
1.正四棱臺的上、下底面邊長分別是和，側棱長是，則它側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意得正四棱臺的側面為四個等腰梯形，先計算側面的高，然后利用梯形的面積公式代入計算即可.
由題意可知，正四棱臺的側面為四個等腰梯形，已知上、下底面邊長分別是和，側棱長是，由勾股定理可得側面的高為，所以側面積為.
故選：B
2.若正四棱臺的上底邊長為2，下底邊長為8，高為4，則它的側面積為___________.
【答案】100
【分析】根據正四棱臺的結構特征，借助其高、斜高、兩底面對應邊心距構成的直角梯形求出斜高即可計算得解.
因正四棱臺的上底邊長為2，下底邊長為8，高為4，則該正四棱臺上底、下底面邊心距分別為1，4，
而正四棱臺的高、斜高、兩底面對應邊心距構成直角梯形，于是得斜高，
因此，側面積，
所以所求的側面積為100.
故答案為：100
3.已知正四棱臺兩底面邊長分別為，側棱長為，則它的側面積為_______．
【答案】
【分析】作出正四棱臺的一個側面ABCD，設分別為的中點，過作于點．利用勾股定理計算出斜高為，即可求出側面積.
作出正四棱臺的一個側面如圖，
設分別為的中點，
過作于點．
由題知，得，解得，
在中，，即斜高為，
所以所求側面積為．答案：
4.如圖所示，正四棱臺的高是，兩底面的邊長分別是和.
（1）求這個棱臺的側棱長和斜高.
（2）求該棱臺的側面積與表面積.
【答案】（1）側棱長為，斜高為；（2），.
(1)設棱臺兩底面的中心分別是和，、的中點分別是、，連接、、、、、，則四邊形、都是直角梯形，由此計算可得側棱長和斜高；
（2）由梯形面積公式計算出側面積，側面各與兩個底面面積和為全面積．
(1)設棱臺兩底面的中心分別是和，
、的中點分別是、，
連接、、、、、，
則四邊形、都是直角梯形，且，
在正方形中，，則，，
在正方形中，，則，，
在直角梯形中，，
在直角梯形中，，
即這個棱臺的側棱長為，斜高為；
(2) 側，
表面積＝側＋上底面＋下底面.
5.正四棱臺兩底面邊長分別為和.
（1）若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為，求棱臺的側面積；
（2）若棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求它的高.
【答案】（1）；（2）.
（1）設、分別為上、下底面的中心，過作于，過作于，連接，則為正四棱臺的斜高，求出斜高即可求出側面積；
（2）求出側面積，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.
（1）如圖，設、分別為上、下底面的中心，過作于，過作于，連接，則為正四棱臺的斜高，
由題意知，，
又，
∴斜高，
∴；
（2）由題意知，，∴，
∴，又，.
四、棱柱的體積
棱柱體積：V棱柱＝Sh
【典型例題】
【例1】若正三棱柱一個側面的一條對角線長為2，且與該側面內的底邊所成角為45°，則此三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意得該三棱柱底面棱長為，高為，再結合體積公式計算即可.
解：因為正三棱柱一個側面的一條對角線長為2，且與該側面內的底邊所成角為45°,
所以該三棱柱底面棱長為，高為，
所以該正三棱柱的體積為：
故選：C
【例2】已知三棱錐的體積為，且，，，則三棱錐 的表面積為
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】三棱錐以△ABC為底面，則高，即可得到，再結合基本不等式即可得到AD,BC的長，且AD為三棱錐的高，利用線面垂直的判定定理可得平面，即可得三棱錐的四個面均為直角三角形，即可計算其表面積.
因為，，即．因為，當且僅當時，等號成立，此時，，且平面，，易得平面，所以三棱錐的表面積為．
【例3】已知三棱錐O-ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=OB=OC=2,點D是的重心，則以OD為體對角線的正方體體積為___________
【答案】
【詳解】OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=OB=OC=2,點D是的重心，
由△ABC為邊長是的等邊三角形，所以點D是的中心，所以面ABC，
所以.解得.
設以OD為體對角線的正方體棱長為，則，解得.
正方體體積為.故答案為.
【例4】一個封閉的正三棱柱容器的高為2a，內裝水若干(如圖(1)，底面處于水平狀態)．將容器放倒(如圖(2)，—個側面處于水平狀態)，若此時水面與各棱的交點E，F，，分別為所在棱的中點，則圖(1)中水面的高度為________．
【答案】
【分析】設出正三棱柱的底面積，再利用等體積法表示出圖(1)中水面的高度即可.
【詳解】設正三棱柱的底面積為，圖(1)中水面的高度為，則水的體積.因為E，F，，分別為所在棱的中點，所以，，所以圖(2)中水的體積.又，所以.故答案為：
【例5】．斜三棱柱中，側面的面積為S，且它與側棱的距離為h，求此三棱柱的體積.
【答案】
【分析】解法一：以側面為公共面補上一個三棱柱，使兩個三棱柱拼成一個平行六面體，然后以為底面求解；
解法二：連接、，則截面將此三棱柱分割成一個三棱錐和一個四棱錐求解.
【詳解】解法一：如圖所示：
以側面為公共面補上一個三棱柱，使兩個三棱柱拼成一個平行六面體，
以為底面，則到平面的距離即為平行六面體的高.，故.
解法二：如圖所示：
連接、，則截面將此三棱柱分割成一個三棱錐和一個四棱錐.
，又平面，
.故.
【對點實戰】
1.若正三棱柱一個側面的一條對角線長為2，且與該側面內的底邊所成角為45°，則此三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意得該三棱柱底面棱長為，高為，再結合體積公式計算即可.
【詳解】解：因為正三棱柱一個側面的一條對角線長為2，且與該側面內的底邊所成角為45°,
所以該三棱柱底面棱長為，高為，
所以該正三棱柱的體積為：
故選：C
2.如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，點是棱的中點，點是棱靠近的三等分點，且三棱錐的體積為2，則四棱柱的體積為______．
【答案】12
【分析】由題意，設底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積，即可求解．
【詳解】由題意，設底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，
則直四棱柱的體積為，
又由三棱錐的體積為，
解得，即直四棱柱的體積為．
3.如圖，三棱柱的所有棱長都是，，．
（1）求三棱柱的全面積；
（2）若該三棱柱的體積為，且在下底面的正投影為下底面的中心，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）連接，，利用已知條件，分別求解側面積、底面積，然后求得全面積即可；
（2）連接，求解底面面積以及高，然后利用體積公式列式計算即可求得a的值.
【詳解】（1）連接，，
由題設得，為正三角形， ，，，；
（2）連接，在正三棱柱中，所有棱長都為，，，
又在下底面的正投影為下底面的中心，，，
而，.
五、棱錐的體積
棱錐的體積：V棱錐＝Sh
【典型例題】
【例1】已知三棱錐的體積為，且，，，則三棱錐的表面積為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】設為底面上的高，，根據體積可得，結合及基本不等式等號成立條件，可得，進而可得面，再通過計算求出每個面的面積即可.
解：如圖：為底面上的高，
　　　　　
設，則，得，
，又，得，所以，故，
面，在中，則，
在中，在中，
所以在中，，則為直角三角形，三棱錐的表面積
.故選：B.
【例2】六氟化硫，化學式為，在常壓下是十種無色、無臭、無毒、不燃的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結構為正八面體結構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點．若相鄰兩個氟原子間的距離為2a，則六氟化硫分子中6個氟原子構成的正八面體的體積是（不計氟原子的大?。? ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知證得平面，再根據棱錐的體積公式計算可求得答案.
【詳解】解：如圖，連接，，，連接．因為，，所以，，所以平面．因為，所以．因為四邊形是正方形，所以，則，故該正八面體的體積為．
故選：B.
【例3】將邊長為的正方形沿對角線折起，使為正三角形，則三棱錐的體積為
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如圖，取的中點，連接，，進而得，進一步得，再結合等體積法求解.
【詳解】取的中點，連接，，
由題意，，因為為正三角形，∴ ，，
．故選：D．
【例4】已知三棱柱的體積為，點分別在側棱上，且，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用與，與，與棱柱的體積的關系求解，得到答案.
【詳解】設三棱柱的體積為，則，如圖所示，
由四邊形的面積為面積的，則
又，又，得
得，同理，，故三棱錐的體積為
即三棱錐的體積為.故選：C.
【例5】如圖，在棱長為a的正方體中，P在線段上，且，M為線段上的動點，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．與點M的位置有關
【答案】A
【分析】根據題意可得點到平面MBC的距離為，，利用等體積法和三棱錐的體積公式即可求出.
【詳解】由題意知，點到平面MBC的距離為a，又，
所以點到平面MBC的距離為，又點M在上運動，所以，
所以，故選：A.
【例6】在如圖所示的三棱錐容器中，，，分別為三條側棱上的小洞，，，若用該容器盛水，則最多可盛水的體積是原三棱錐容器體積的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考慮三棱錐和三棱錐的體積之比后可得正確的選項.
【詳解】若該容器盛水最多，則水面恰好過三點，
此時，
設到平面的距離為，到平面的距離為，則，
故，故最多可盛水的體積是原三棱錐容器體積的，故選：A.
【例7】如圖，正方體，動點、在棱上，動點、分別在棱、上，若，，，（、、、大于零），則四面體的體積（ ）
A．與有關 B．與有關 C．與有關 D．與有關
【答案】AD
【分析】求出四面體的體積的表達式，即可得出結論.
【詳解】設正方體的棱長為，連接，
因為平面，平面，故，且，
因為，，故，因為，故點到直線的距離為，
，
過點在平面作，垂足為點，
因為平面，平面，則，
因為，，平面，且，
因此，.故選：AD.
【例8】
【對點實戰】
1.在棱長為的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將八面體分割成兩個正四棱錐，利用棱錐的體積公式求出兩個正四棱錐的體積即可求解.
【詳解】此八面體可以分割成兩個正四棱錐，且正四棱錐的底面是一個邊長為的正方形，則該八面體的體積為:
【點睛】
本題主要考查了棱錐的體積公式，求八面體的體積時將其分成兩個正四棱錐，求出兩個正四棱錐的體積即為八面體的體積，屬于基礎題.
2.將一個長方體沿從同一個頂點出發的三條棱截去一個棱錐，棱錐的體積與剩下的幾何體的體積之比為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據棱柱和棱錐的體積公式計算
【詳解】設長方體同一頂點引出的三條棱長分別是、、，
則截去的棱錐的體積，
原長方體的體積，剩下的幾何體的體積為，
∴故選：D
3.已知正四棱錐的底面邊長和側棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計算出正四棱錐的底面積，然后利用錐體的體積公式可求出該正四棱錐的體積．
【詳解】正四棱錐的底面積為，正四棱錐的高為
因此，該正四棱錐的體積為．故選：A．
4.已知平行六面體的體積為24，任取其中四個不共面的頂點構成四面體，則該四面體的體積可能取值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】AC
【分析】結合圖形分兩種情況可解得結果.
【詳解】
設平行六面體的體積為
如左圖，當取頂點時，則該四面體體積；
如右圖，當取頂點時，則該四面體體積.
故選：AC.
5.若四面體各棱的長是1或2，且該四面體的棱長不全相等，則其體積的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根據棱長為1的棱的條數分類討論計算四面體的體積，然后判斷可得．
【詳解】根據三角形的兩邊之和大于第三邊性質，知四面體中棱長為1的棱最多有3條，
（1）若只有一條棱長度為1，如圖，其余棱長都為2，
取中點，中點，連接，則，又是平面內兩相交直線，則平面，
由已知，則，，
，；
（2）若有兩條棱長度為1，還是如（1）中的圖形，，
解法如（1），只是有，，
；
（3）若有兩條棱長度為1，如圖，，四面體為正三棱錐，設是正三棱錐的高，是的外心，，，
，．
故選：ABC．
6.如圖，在正三棱柱中，，則四棱錐的體積是________
【答案】
【分析】利用柱體和椎體的的體積公式，分別求得正三棱柱和三棱錐的體積，進而求得四棱錐的體積.
【詳解】在正三棱柱中，，
則正三棱柱的體積為，
三棱錐的體積為，
所以四棱錐的體積是.故答案為：.
六、棱臺的體積
棱臺的體積：V棱臺＝(S′＋＋S)h
【典型例題】
【例1】在《九章算術·商功》中將正四面形棱臺體（棱臺的上 下底面均為正方形）稱為方亭.在方亭中，，四個側面均為全等的等腰梯形且面積之和為，則該方亭的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據方亭四個側面的面積之和得到的長度，然后作輔助線找到并求方亭的高，最后利用棱臺的體積計算公式求解即可.
【詳解】如圖，過作，垂足為，
由四個側面的面積之和為知，側面的面積為，
∴（梯形的面積公式），則.
由題意得：，在中，.
連接，，過作，垂足為，易知四邊形為等腰梯形且，，則，
∴，
∴該方亭的體積，（棱臺的體積公式）.
故選：B.

【例2】若正四棱臺的斜高與上、下底面邊長之比為5∶2∶8，體積為14，則棱臺的高度為（ ）
A．8 B．4
C．2 D．2
【答案】C
【分析】根據給定條件結合正四棱臺的結構特征列出棱臺的相關量的表達式，再借助棱臺體積公式列式計算即得.
【詳解】如圖，設棱臺的上、下底面邊長分別為2x，8x，斜高為5x，則棱臺的高h==4x，
由棱臺的體積公式得：，解得，
棱臺的高為h=4x=2.故選：C
【例3】正四棱臺的底面邊長分別是和，側面面積為，則這個正四棱臺的體積為________.
【答案】
【分析】首先根據側面積求出正四棱臺的斜高，再由勾股定理求出正四棱臺的高，由臺體的體積公式即可求體積.
【詳解】正四棱臺如圖所示：
由題意可知：，，取的中點分別為，連接，
則為斜高，設分別為上下底面的中心，則垂直于上下底面，則四邊形為直角梯形，
因為側面面積為，解得：，在直角梯形中，，，
所以，所以正四棱臺的體積為：
，故答案為：.
【例4】已知一個三棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正三角形，側面是全等的等腰梯形，且側面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺的高和體積.
【答案】棱臺的高為，體積為.
【分析】根據題意分析該三棱錐為正三棱錐，作出該棱錐的高和斜高，先利用側面面積等于上、下底面面積之和求出斜高，再利用直角梯形求出高，進而利用體積公式求其體積.
【詳解】如圖所示，在三棱錐中，
、分別是上、下底面的中心，、分別是、的中點，連接、、、，
則、分別在、上，則是三棱錐的高，記為，
是等腰梯形的高，也是三棱錐的斜高，記為，所以；
上、下底面面積之和為，由得：，即，
又，，在直角梯形中，
，
則三棱錐的體積.
七、簡單組合體的表面積與體積
求組合體的表面積和體積，首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應該怎樣求，然后再根據公式求出各面的面積，最后再相加或相減．求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減．
【典型例題】
【例1】鉞（yuè）的本字其實是“戊（yuè）”，是一種斧頭．在中國古代，長江流域以南的少數民族都被稱為越人，由于民族很雜部落眾多，也稱“百越”，有學者指出，“越人”的“越”，其含義可能由“戊”而來，意指這些都是一幫拿著斧頭的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一樣，也是指斧頭．如圖是一把斧子，它的斧頭由鐵質鍛造，它的形狀可以近似看做由上下兩個多面體組合而成，上部是一個長方體，下部是一個“楔（xie）形”，其尺寸如圖標注（單位：cm），已知鐵的比重為，斧頭上用作安裝斧柄的洞眼仍看作實心，這只斧頭的質量（單位：g）所在的區間為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題得幾何體有一個長方體、一個三棱柱和兩個三棱錐組成，分別求出各個部分的體積即得解.
【詳解】
由題得幾何體有一個長方體、一個三棱柱和兩個三棱錐組成，長方體的體積：；
三棱柱的體積：；兩個三棱錐的體積：；
所以幾何體的體積為，所以這只斧頭的質量為.故選：A
【例2】某公園設置了一些石凳供大家休息，每張石凳是由正方體石料截去八個一樣的四面體得到的，如圖所示.如果一張石凳的體積是，那么原正方體石料的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據正方體、正四棱錐的體積公式，結合已知進行求解即可.
【詳解】設正方體的棱長為，則正方體的體積為，
每一個正四面體的體積為：，
由題意可知：，故選：B
【例3】如圖所示，在多面體中，已知四邊形是邊長為的正方形，且、均為正三角形，，，則該多面體的體積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
將物體切割成一個三棱柱，兩個三棱錐分別計算體積.
【詳解】在上取點使，連接，
是邊長為1的正方形，且、均為正三角形，，
所以四邊形為等腰梯形，，，根據等腰梯形性質，，
是平面內兩條相交直線，是平面內兩條相交直線，
所以平面，平面，，
幾何體體積為，
故選：A
【例4】如圖所示的鉛筆模型是由正三棱柱和正三棱錐構成的，正三棱錐的底面邊長和高都是1，正三棱柱的高是正三棱錐的高的20倍，則這只鉛筆模型的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用柱體與錐體的體積公式求解即可.
【詳解】，
，
所以該幾何體的體積：.故選：D
【例5】鎮海中學大成殿具有悠久的歷史，始建于北宋年間，大成殿建筑美觀大氣，如圖：上建筑屋脊狀楔體，下建筑是長方體．假設屋脊沒有歪斜，即的中點在底面上的投影為矩形的中心點，，，，，，（長度單位：米）．則大成殿的體積為______（體積單位：立方米）．
【答案】6800
【分析】首先將幾何體進行分割，然后分別求得各部分的體積即可確定大成殿的體積．
【詳解】大成殿下面的部分是一個長方體，上面的部分可以分割為一個三棱柱和兩個四棱錐，
其中長方體的體積，
三棱柱的體積：，
四棱錐的體積：，
故大成殿的體積：．故答案為：6800．
【對點實戰】
1.如圖，在三棱錐D-AEF中，分別是DA，DE，DF的中點，B，C分別是AE，AF的中點，設三棱柱的體積為，三棱錐D-AEF的體積為，則___________.
【答案】
【分析】設三棱柱的高為，則三棱錐的高為，則，，由此即可求出.
【詳解】設三棱柱的高為，則三棱錐的高為，
由題意知：
，
，
故答案為：.
2.如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應頂點的連線AA′，BB′，CC′交于同一點O，且，則___________.
【答案】
【分析】根據題意可得平面平面，且三棱錐和三棱錐高之比也為，又，利用體積公式即可得解.
【詳解】如題干圖，，可證ABA′B′，ACA′C′，BCB′C′.
所以平面平面
三棱錐和三棱錐高之比也為，由等角定理得∠CAB=∠C′A′B′，∠ACB=∠A′C′B′，
所以△ABC∽△A′B′C′，由，可得，
所以=.故答案為：
3.已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長寬高分別為4，3，3，三棱柱底面是直角邊分別為4，3的直角三角形，側棱長為3，則此幾何體的體積是_____，表面積是_____.
【答案】 90 138
【分析】分別計算長方體和三棱柱的體積即可求得該幾何體的體積；計算兩個長方體的表面積和三棱柱的表面積之和，然后再減去覆蓋部分的面積即可.
【詳解】三棱柱的體積為，長方體的體積為，
故該幾何體的體積，
三棱柱的表面積，
長方體的表面積，
被三棱柱與長方體和長方體與長方體覆蓋的面積為，
所以幾何體的表面積為.
故答案為：90；138.
4.如下圖是一個獎杯底座（四棱臺）的三視圖和直觀圖， 為上下底面的中心， 為各棱的中點.
（1）求它的體積；
（2）求它的表面積.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據三視圖可求出該四棱臺的上下底面積，得出其高，由棱臺的體積公式可得答案.
（2）如圖依次連結，，則在直角梯形，直角梯形，分別求出的長，則可求出側面的面積，從而可得表面積.
【詳解】解：（1）由三視圖可知，，
故.
（2）如圖依次連結，，則直角梯形，直角梯形，
∴∴
∴
八、等體積變換與割補法
1.轉換頂點和底面是求三棱錐體積的一種常用的方法．
2.對于給出的一個不規則的幾何體不能直接套用公式，常常需要運用分割法．
【典型例題】
【例1】如圖，一個直三棱柱形狀的容器中盛有水，側棱，若側面水平放置時，水面恰好過，，，的中點，當底面水平放置時，則水面的高為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根據題意，當側面水平放置時，水的形狀為四棱柱形，由已知條件求出水的體積；當底面水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設水面高為，利用等體積法可得解.
【詳解】當側面水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形面積為，此時水的體積
當底面水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設水面高為，此時水的體積
又，
故選：C
【例2】已知三棱錐中，，分別是，的中點，在線段上，且，平面將該三棱錐截成一個四面體和一個五面體，分別記該四面體和五面體的體積為，，則______；若分別記該四面體和五面體的表面積為，，則______（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】
分別求出，從而得到的值；根據分點的性質，可得到兩個面積等式和兩個面積不等式，再進行相加，從而得到與的大小.
設三棱錐的體積為，
因為，，分別是，的中點，在線段上，且，
所以，設到面的距離為，所以到面的距離為，
所以，，所以.
因為，所以，
同理，，，
所以.
故答案為：；.
【例3】如圖，四邊形是正方形，四邊形是矩形，平面平面，，，則多面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據面面垂直性質可證得平面，平面，設，可表示出，根據可構造方程求得，即，利用，根據四棱錐體積公式可求得結果.
【詳解】連接，，
四邊形為矩形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
設，則，
又，為等邊三角形，，
即，解得：；
四邊形為正方形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
多面體體積.故選：D.
【例4】在棱長為的正方體中，為的中點， 則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據等體積法有得解.
【詳解】畫出圖形如下圖所示，設到平面的距離為，在△中
到的距離為則根據等體積法有，即，解得，
故選:A.
【例5】在三棱柱中，E，F分別是AB，AC的中點，平面把該三棱柱分成體積為，的兩部分，則等于
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設棱柱的底面積為S,高為,根據截面將三棱柱分成兩部分,一部分是三棱臺,求得三棱臺的體積,再用間接法求得另一部分的體積,計算兩部分的體積比值.
【詳解】解:如下圖所示，截面將三棱柱分成兩部分,一部分是三棱臺,另一部分是一個不規則幾何體,故可以利用棱柱的體積減去棱臺的體積求得.
設棱柱的底面積為S,高為,則的面積為,,
剩余的不規則幾何體的體積為,兩部分的體積之比為故答案選A
【例6】如圖，已知直三棱柱（側棱與底面垂直的棱柱），點分別在側棱和上，，平面把三棱柱分成上、下兩部分，則上、下兩個幾何體的體積比為
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，三棱柱可分割為：，，，三部分，分析可得三部分體積相等，整理即可求解．
【詳解】
設直三棱柱的體積為，
連接，點、分別在棱和上，，
四棱錐的，的底面積相等，
把直三棱柱分割為：，，，
三棱錐的為，
四棱錐，的體積之和為：，
四棱錐的，的底面積，高相等．
四棱錐的，的體積相等，即為，
棱錐，，的體積相等，為，
平面把三棱柱分成兩部分的體積比為．
【例7】已知正三棱錐的底面邊長為1，點到底面的距離為，則（ ）
A．該三棱錐的內切球半徑為 B．該三棱錐外接球半徑為
C．該三棱錐體積為 D．該三棱錐體積為
【答案】ABD
【分析】設是棱錐的高，則是的中心，是中點，易得幾何體的體積，進而結合等體積法求得內切球的半徑，利用直角三角形求解外接球的半徑.
【詳解】如圖，是棱錐的高，則是的中心，是中點，
，，故C錯D正確；
，，．
，
所以，
設內切球半徑為，則，，A正確；
易知外接球球心在高上，球心為，設外接球半徑為，
則，解得，B正確；
故選：ABD．
　　
【例8】在棱長為1的正方體中，直線與平面之間的距離為________．
【答案】
【分析】把直線與平面之間的距離轉化為三棱錐的高，結合，即可求解.
【詳解】如圖所示，連接，
則直線與平面之間的距離等于點到平面的距離，即為三棱錐的高，設三棱錐的高，因為正方體的棱長為，可得，所以，
由三棱錐的體積為，
又由，因為，可得，解得，
即直線與平面之間的距離為.故答案為：.
【對點實戰】
1.學生到工廠勞動實踐，利用打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E、F、G、H分別為所在棱的中點，，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為（ ）g
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意可知模型的體積為長方體體積與四棱錐體積之差，再由體積求出模型的質量.
【詳解】由題意得， ，
四棱錐O EFGH的高3cm，
∴．
又長方體的體積為，
所以該模型體積為，
其質量為．故選：A
2.．三棱臺中，，則三棱錐的體積之比是________．
江蘇省宿遷市四校2019-2020學年高一下學期期末聯考數學試題
【答案】
【分析】根據題意設三棱臺高為，，根據三棱錐體積公式求出和，根據棱臺體積公式算出三棱臺體積，再算出，計算體積比值即可.
【詳解】設三棱臺高為，,則.
所以，
，
由于三棱臺體積為，所以.
所以三棱錐的體積之比為.
故答案為:
3.中國古代數學名著《九章算術》中記載：“今有羨除”．劉徽注：“羨除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”現有一個羨除如圖所示，四邊形ABCD，ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個羨除的體積是________．
【答案】120
【分析】如圖，過點作，過點作，垂足分別為，連接，將一側的幾何體補到另一側，組成一個直三棱柱，從而可求得體積
【詳解】解：如圖，過點作，過點作，垂足分別為，連接，將一側的幾何體補到另一側，組成一個直三棱柱，則由題意可得底面積為，棱柱的高為8，
所以體積為，故答案為：120
4.在棱長為的正方體中，為的中點，則點到平面的距離為______.
【答案】
【分析】由正方體的幾何特征結合平面幾何的知識可得，設點到平面的距離為，由結合錐體的體積公式即可得解.
【詳解】連接，，如圖，
在棱長為的正方體中，為的中點，
所以，，
所以為等腰三角形且底邊上的高為，
所以，
設點到平面的距離為，則，
又，所以.故答案為：.
5.如圖，在四面體中作截面，其中，，，則______．
【答案】
【分析】由題意得到高得比值以及底面積的比值，代入體積公式即可得解.
【詳解】
作平面，作平面，則共線，由，則，
由，，則，所以，
所以，故答案為：
面積最值
【典型例題】
【例1】用長度分別是2，3，5，6，9（單位：）的五根木棒連接（只允許連接，不允許折斷），組成共頂點的長方體的三條棱，則能夠得到的長方體的最大表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設出長方體的三條棱的長度為，根據表面積公式求解出在何種條件下取得最大值，由此考慮長方體棱的長度，并計算出對應的長方體的最大表面積.
設長方體的三條棱的長度為，
所以長方體表面積，
取等號時有，又由題意可知不可能成立，
所以考慮當的長度最接近時，此時對應的表面積最大，此時三邊長：，
用和連接在一起形成，用和連接在一起形成，剩余一條棱長為，
所以最大表面積為：.
故選C.
【例2】我國古代數學名著《九章算術》中有這樣一些數學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐.現有一如圖所示的“塹堵”，，若，當“陽馬”體積最大時，則“塹堵”的表面積為
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件可得，，由，勾股定理結合基本不等式求出面積最大時的值，即可求出表面積.
解，，平面，
，
，，
當且僅當時等號成立，此時的表面積為
。故選:C
【例3】兩個相同的正四棱錐底面重合組成一個八面體，可放入棱長為2的正方體中，重合的底面與正方體的某一個面平行，且八面體的各頂點均在正方體的表面上，將滿足上述條件的八面體稱為正方體的“正子體”.則此正子體的表面積S的取值范圍是______________
【答案】
【分析】如圖正子體，設AB=a，由正四棱錐的性質可求，再結合條件及二次函數的性質可求，進而即得.
如圖正子體，由題可知PQ=2，取PQ,BC的中點分別為O，E，連接OE，PE，設AB=a，
由正四棱錐的性質可知，，PO=1，
∴，
∴，
∴此正子體的表面積，
如圖設平面ABCD截正方體所得截面為，設，則，
由，可得，
由可知，
∴.
故答案為：
【例4】有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為（）．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是_______．
【答案】
【分析】由題意拼成一個三棱柱,分3種情況求出表面積；拼成一個四棱柱,3種情況分別求出表面積,然后求出a的范圍.
①拼成一個三棱柱時,有三種情況：
將上下底面對接,其全面積為：；
3a邊可以合在一起時, ；
4a邊合在一起時， .
②拼成一個四棱柱,有三種情況：就是分別讓邊長為3a,4a,5a所在的側面重合,其上下底面積之和都是，但側面積分別為:, ,，
顯然，三個是四棱柱中全面積最小的值為： .
由題意得：，解得：.
故答案為 ：
【例5】如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的表面積為__________．
【答案】
設，求得利用可求得x的值，再分別求三棱錐的各個面面積，相加可得答案.
設，則，
，，
，當且僅當，即時，等號成立，
所以，，，，
所以是等腰三角形，又，所以底邊上的高為，
所以，
，，
，
三棱錐的表面積為： ，
故答案為：.
【例6】如圖所示，在三棱錐中，和都是邊長為2的等邊三角形，則當此三棱錐的表面積最大時______．
【答案】
根據和都是邊長為2的正三角形，由三棱錐的表面積，當，即時，表面積最大，從而得解.
三棱錐的表面積為，，，
，
當，即時，表面積最大為，
此時.
故答案為：
【例7】一個正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h.一個正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的頂點A1，B1，C1分別在三條棱上，A0，B0，C0分別在底面△ABC上，何時此三棱柱的側面積取到最大值
【答案】，，為所在棱上的中點時此三棱柱的側面積取到最大值
【分析】首先設三棱錐的底面中心為，連接，，，所在的底面與交于點，，從而得到三棱柱的側面積為，再利用二次函數的性質即可得到答案.
設三棱錐的底面中心為，連接，則為三棱錐的高，如圖所示：
設，，所在的底面與交于點，則，
令，而，則，
于是.
所以所求三棱柱的側面積為.
所以當時，取得最大值，
此時，，為所在棱上的中點.
十、體積最值
棱臺的體積：V棱臺＝(S′＋＋S)h
【典型例題】
【例1】如圖，在直三棱柱中，，.
（1）求該直三棱柱的表面積；
（2）若把兩個這樣的直三棱柱拼成一個大棱柱，當該大棱柱表面積最大時，求該大棱柱的外接球的體積.
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）結合直三棱柱的表面積公式直接求解即可；
（2）首先確定把兩個這樣的直三棱柱拼成一個大棱柱的拼法，分別求出其表面積，選出表面積最大的拼法，然后找到外接球的半徑即可求得球的體積.
解：（1）；
（2）由題得：最小，如下圖所示
組合1： 組合2： 組合3：
四棱柱還可以有另外兩種情況，但組合1大柱體的表面積最大，
所以此時外接球直徑，，.
【例2】已知正方形的邊長為，、分別為、的中點，沿將三角形折起到的位置，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】計算出的面積以及點到平面的距離的最大值，由此可求得三棱錐體積的最大值.
【詳解】因為三棱錐體積，且的面積為定值，
過點在平面內作，垂足為點，則，
設直線與平面所成的角為，
設點到平面的距離為，則，當時，等號成立，
所以，.故選：D.
【例3】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將三角形ABC折起，得到的四面體A﹣BCD的體積的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】當平面ABC⊥平面ACD時，得到的四面體的體積取最大值，由此能求出四面體A﹣BCD的體積的最大值．
【詳解】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將三角形ABC折起，
當平面ABC⊥平面ACD時，
得到的四面體的體積取最大值，
此時點B到平面ACD的距離，所以，
∴四面體A﹣BCD的體積的最大值為：,故選C.
【例4】如圖，在正方體中，點P是上的任意一點，點M，N分別是AB和BC上的點，且，若，則三棱錐體積的最大值是_______．
【答案】
【分析】設，則，從而表示出的面積，再根據點P是上的任意一點，則點P到平面DMN的距離是4，然后利用三棱錐的體積公式建立模型，利用二次函數的性質求解.
【詳解】設，則，
故的面積．
因為點P是上的任意一點，
所以點P到平面DMN的距離是4，
所以三棱錐的體積．
因為，所以．故答案為：
【例5】如圖，在直三棱柱中，，，，，點為側棱上的動點，當最小時，三棱錐的體積為______．
【答案】
【分析】將直三棱柱展開成矩形，連結，交于，此時最小，此時，由，可求出答案.
【詳解】將直三棱柱展開成矩形，如圖，
連結，交于，此時最小．∵，，，，
,則, 所以∴當最小時，，
由，則，即又在直三棱柱中，側棱底面，所以
,所以面。此時三棱錐的體積：
．故答案為：
【例6】某人買了一罐容積為V L，高為a m的直三棱柱形罐裝進口液體車油，由于不小心摔落地上，結果有兩處破損并發生滲漏，它們的位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b m，c m的地方（如圖）．為了減少罐內液體車油的損失，該人采用破口朝上，傾斜罐口的方式拿回家．試問罐內液體車油最多還能剩多少？
【答案】 L.
【分析】由題可知當平面與水平面平行時，容器內的油是最理想的剩余量，然后利用椎體體積公式及條件即求.
【詳解】如圖所示，設直三棱柱的底面面積為S，則V=aS,
當平面與水平面平行時，容器內的油是最理想的剩余量，連接，則，
∵，又，∴，
∴，∴罐內液體車油最多還能剩 L.
十一、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為2，如果任意轉動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體的體積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題意可知，若要使液面的形狀都不可能為三角形，則液體的體積應大于三棱錐的體積，小于多面體的體積.求解即可.
【詳解】如圖正方體，連接.
若要使液面的形狀都不可能為三角形
則液體的體積應大于三棱錐的體積，小于多面體的體積.
設液體的體積為，則.
因為，.
所以液體的體積的取值范圍為.
故選：D
【例2】命題“在中,若,、、所對應的邊長分別為,則”,類比此性質,若在立體幾何中,請給出對應四面體性質的猜想,并證明之.
【答案】答案見解析
【分析】在三條棱兩兩垂直的三棱錐中,相互垂直的棱構成的三角形的面積分別為,底面的面積為,則有.然后證明之,即可求得答案.
猜想:在三條棱兩兩垂直的三棱錐中,相互垂直的棱構成的三角形的面積分別為,底面的面積為,則有 .證明:設過作,垂足為,聯結,
過作,垂足為,畫出圖象:三條棱兩兩垂直
故:面面又面
面易證平面
在中,
.
【例3】已知正方體ABCD－A1B1C1D1棱長為1，點P在線段BD1上，當∠APC最大時，三棱錐P－ABC的體積為
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
連接AC交BD于O，連接PO，則∠APC=2∠APO∵tan∠APO=
∴當PO最小時，∠APO最大，即PO⊥BD1時，∠APO最大，如圖，作PE⊥BD于E，
∵正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，∴BD=，BD1=，∵OP⊥BD1，PE⊥BD，
∴△BDD1∽△BPO∽△PEO，∴，∴OP=，PE=，∴三棱錐P-ABC的體積V=，,故選項為：B
結束

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