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7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
本節(jié)課知識點(diǎn)目錄：
復(fù)數(shù)的概念；
復(fù)數(shù)的分類。
相等復(fù)數(shù)
復(fù)數(shù)概念綜合
一、復(fù)數(shù)的概念
復(fù)數(shù)
1.定義：我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝－1.
2.表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部．
復(fù)數(shù)集
1.定義：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集．
2.表示：通常用大寫字母C表示．
【典型例題】
【例1】下列命題正確的是（ ）
A．實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是空集
B．任何兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小
C．任何復(fù)數(shù)的平方均非負(fù)
D．虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的并集為復(fù)數(shù)集
【例2】若復(fù)數(shù)2-bi(b∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則b的值為（ ）
A．2 B． C．- D．-2
【例3】已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．4 B．-1
C．-1或4 D．-1或6
【例4】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．5或3 B．5 C．3 D．10
【例5】的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則的取值不可能（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2 B． C．或2 D．
【例7】設(shè)兩個復(fù)數(shù)集N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集為非空集合，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（ ）
A．[0，7] B．[1，7] C．[，0] D．[，7]
【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
2.設(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab=0”是“復(fù)數(shù)a-bi為純虛數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
3.若復(fù)數(shù)()是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．3 C． D．
4.已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)的實(shí)部是虛部的倍，則實(shí)數(shù)的值是______.
二、復(fù)數(shù)的分類
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系
【典型例題】
【例1】下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】復(fù)數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中四個方格中的內(nèi)容分別為（ ）
A．實(shí)數(shù).純虛數(shù) 無理數(shù) 有理數(shù)
B．實(shí)數(shù) 虛數(shù) 負(fù)實(shí)數(shù) 正實(shí)數(shù)
C．實(shí)數(shù) 虛數(shù) 無理數(shù) 有理數(shù)
D．實(shí)數(shù) 虛數(shù) 有理數(shù) 無理數(shù)
【例3】自然數(shù)是有理數(shù)，但不是復(fù)數(shù)( )
【例4】判斷正誤．
（1）若a，b為實(shí)數(shù)，則為虛數(shù)．( )
（2）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)．( )
（3）若a為實(shí)數(shù)，則一定不是虛數(shù)．( )
【例5】判斷下列說法是否正確．
(1)大于；
(2)若復(fù)數(shù)，則，一定都是實(shí)數(shù)．
【例6】多項式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式，但數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)以后有，則在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)多項式分解成一次因式乘積的結(jié)果為________．
【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.設(shè)全集，實(shí)數(shù)集為，純虛數(shù)集為，那么（ ）
A． B． C． D．
2.若復(fù)數(shù)（a，b為實(shí)數(shù)）則“”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
3.若復(fù)數(shù)z=m+(m2-1)i是負(fù)實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_____.
4.如果則實(shí)數(shù)m的值為________．
5.下列命題中，正確的是（ ）
A．任意兩個復(fù)數(shù)都能比較大小 B．任意兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小
C．設(shè)，如果，那么 D．設(shè)，如果，那么
6.復(fù)數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖如圖所示，則圖中（1） （2） （3）處應(yīng)分別填入的是（ ）
A．正整數(shù)假分?jǐn)?shù)純虛數(shù) B．自然數(shù)假分?jǐn)?shù)純虛數(shù)
C．正整數(shù)小數(shù)純虛數(shù) D．自然數(shù)小數(shù)實(shí)數(shù)
三、相等復(fù)數(shù)
設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0.
【典型例題】
【例1】已知，其中為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，則= （ ）
A． B． C．0 D．2
【例2】若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．8 B． C．0 D．8或0
【例3】已知復(fù)數(shù)，，并且，則的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
【例4】已知z1，z2為復(fù)數(shù)．若命題p：z1-z2＞0，命題q：z1＞z2，則p是q成立的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例5】下列命題中，正確命題的個數(shù)是
①若，，則的充要條件是；
②若，且，則；
③若，則．A． B．
C． D．
【例6】若復(fù)數(shù)，（），，則等于（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2 B． C．4 D．
2.已知是虛數(shù)單位，，且，則__________.
3.若是純虛數(shù)，則的值為
A． B． C． D．
4.給出下列說法：
①復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成；
②滿足x2=-1的數(shù)x只有i；
③形如bi(b∈R)的數(shù)不一定是純虛數(shù)；
④復(fù)數(shù)m+ni的實(shí)部一定是m.
其中正確說法的個數(shù)為_________.
四、復(fù)數(shù)概念綜合
【典型例題】
【例1】已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，則a的值為（ ）
A．0 B．－1
C． D．
【例2】設(shè)全集，實(shí)數(shù)集為，純虛數(shù)集為，那么（ ）
A． B． C． D．
【例3】若復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為________.
【例4】從集合中任取兩個互不相等的數(shù)，，組成復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)有______個.
【例5】設(shè)，，，若對所有，，都有，則的取值范圍為_____．
【例6】已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，則a的取值集合為________.
【例7】有下列四個命題：①若z∈C，則z2≥0；②若a>b，則a＋i>b＋i；③若x，y∈R，則x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1；④若實(shí)數(shù)a與復(fù)數(shù)ai對應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)．其中正確命題的序號是______.
7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
本節(jié)課知識點(diǎn)目錄：
復(fù)數(shù)的概念；
復(fù)數(shù)的分類。
相等復(fù)數(shù)
復(fù)數(shù)概念綜合
一、復(fù)數(shù)的概念
復(fù)數(shù)
1.定義：我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝－1.
2.表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部．
復(fù)數(shù)集
1.定義：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集．
2.表示：通常用大寫字母C表示．
【典型例題】
【例1】下列命題正確的是（ ）
A．實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是空集
B．任何兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小
C．任何復(fù)數(shù)的平方均非負(fù)
D．虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的并集為復(fù)數(shù)集
【答案】D
【分析】
利用復(fù)數(shù)的基本概念與性質(zhì)，結(jié)合反例判斷選項的正誤即可．
解：實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實(shí)數(shù)集，所以A不正確；
任何兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小，不正確，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)時，可以比較大小，所以B不正確；
任何復(fù)數(shù)的平方均非負(fù)，反例，所以C不正確；
虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的并集為復(fù)數(shù)集，所以D正確
故選：D．
【例2】若復(fù)數(shù)2-bi(b∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則b的值為（ ）
A．2 B． C．- D．-2
【答案】A
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)概念可得，即可得到答案；
復(fù)數(shù)的實(shí)部為2，虛部為,由題意知,所以.
故選：A
【例3】已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．4 B．-1
C．-1或4 D．-1或6
【答案】B
【分析】
根據(jù)已知得，從而有，再利用復(fù)數(shù)相等可得方程組，即可得到答案；
由于,故,必有,所以即得.
故選：B
【例4】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．5或3 B．5 C．3 D．10
【答案】B
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到，解之即可.
因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得，
故選：B.
【例5】的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則的取值不可能（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意列出方程，利用倍角公式轉(zhuǎn)化，求解即可.
由題意得：,
，
解得：或,
,
或或.
故選：B.
【例6】已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2 B． C．或2 D．
【答案】A
【分析】
由于復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，從而可求出的值
解：因?yàn)閺?fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，
所以，
由，得或，
由，得且，
所以，
故選：A
【例7】設(shè)兩個復(fù)數(shù)集N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集為非空集合，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（ ）
A．[0，7] B．[1，7] C．[，0] D．[，7]
【答案】D
【分析】
由題設(shè)得有解，所以λ=4﹣3sinθ﹣4cos2θ=4(sinθ)2，由此能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
解：∵N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，
M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集為非空集合，
∴有解，∴λ=4﹣3sinθ﹣4cos2θ=﹣3sinθ+4sin2θ=4(sin2θsinθ)=4(sinθ)2，
∴當(dāng)sinθ時，λ取最小值，當(dāng)sinθ=﹣1時，λ取最大值7.故選：D.
【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由可解得結(jié)果.
依題意可得，解得.
故選：A.
2.設(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab=0”是“復(fù)數(shù)a-bi為純虛數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】
將和復(fù)數(shù)為純虛數(shù)進(jìn)行化簡，再根據(jù)必要不充分條件的定義，即可得到答案；
“，則或”，
“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”則且,
""是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的必要不充分條件.
故選：B
3.若復(fù)數(shù)()是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)列式求解即可.
因?yàn)閺?fù)數(shù)()是正實(shí)數(shù)，
所以，解得.
故選：B
4.已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)的實(shí)部是虛部的倍，則實(shí)數(shù)的值是______.
【答案】
【分析】
將z化簡成，利用解方程即可.
【詳解】
由已知，，因復(fù)數(shù)的實(shí)部是虛部的倍，
所以，解得.故答案為：.
二、復(fù)數(shù)的分類
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系
【典型例題】
【例1】下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
直接根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到答案.
根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到：.
故選：C.
【例2】復(fù)數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中四個方格中的內(nèi)容分別為（ ）
A．實(shí)數(shù).純虛數(shù) 無理數(shù) 有理數(shù)
B．實(shí)數(shù) 虛數(shù) 負(fù)實(shí)數(shù) 正實(shí)數(shù)
C．實(shí)數(shù) 虛數(shù) 無理數(shù) 有理數(shù)
D．實(shí)數(shù) 虛數(shù) 有理數(shù) 無理數(shù)
【答案】C
【分析】
由復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù) 有理數(shù) 無理數(shù)的包含關(guān)系即可求解.
由復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù) 有理數(shù) 無理數(shù)的包含關(guān)系知正確.
故選：.
【例3】自然數(shù)是有理數(shù)，但不是復(fù)數(shù)( )
【答案】錯誤
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)包含自然數(shù)，即可判斷
自然數(shù)是復(fù)數(shù)，
故答案為：錯誤.
【例4】判斷正誤．
（1）若a，b為實(shí)數(shù)，則為虛數(shù)．( )
（2）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)．( )
（3）若a為實(shí)數(shù)，則一定不是虛數(shù)．( )
【答案】 × × √
（1）當(dāng)時，不是虛數(shù)，故錯誤
（2）當(dāng)時，不是純虛數(shù)，故錯誤
（3）若a為實(shí)數(shù)，則是實(shí)數(shù)，故正確
【例5】判斷下列說法是否正確．
(1)大于；
(2)若復(fù)數(shù)，則，一定都是實(shí)數(shù)．
【答案】(1)×；
(2)√.
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的定義即可判斷.
(1)
和無法比較，故說法錯誤；
(2)
因?yàn)閺?fù)數(shù)無法比較，所以當(dāng)時，必然都為實(shí)數(shù)，故說法正確.
【例6】多項式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式，但數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)以后有，則在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)多項式分解成一次因式乘積的結(jié)果為________．
【答案】
【分析】
本題可通過將變形為得出結(jié)果.
，
故答案為：.
【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.設(shè)全集，實(shí)數(shù)集為，純虛數(shù)集為，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合補(bǔ)集的運(yùn)算，得到，再利用交集的概念，即可求解.
由題意，全集，實(shí)數(shù)集為，純虛數(shù)集為，
可得，所以.
故選：D.
2.若復(fù)數(shù)（a，b為實(shí)數(shù)）則“”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】
根據(jù)當(dāng)且時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)判斷即可.
解：根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，當(dāng)且時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，
反之，當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時，且
所以“”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的必要不充分條件
故選：B
3.若復(fù)數(shù)z=m+(m2-1)i是負(fù)實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_____.
【答案】
【分析】
由復(fù)數(shù)的概念可得虛部為0，實(shí)部小于0，即可得到答案；
依題意可知且，
，故答案為：
4.如果則實(shí)數(shù)m的值為________．
【答案】2
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)，列出方程，即可得答案.
由題意得，解得．故答案為：2
5.下列命題中，正確的是（ ）
A．任意兩個復(fù)數(shù)都能比較大小 B．任意兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小
C．設(shè)，如果，那么 D．設(shè)，如果，那么
【答案】C
【分析】
利用復(fù)數(shù)的概念與性質(zhì)判斷選項的正誤，即可得到結(jié)果．
【詳解】
當(dāng)兩個復(fù)數(shù)有虛數(shù)時，不可以比較大小，所以A錯誤；
當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時，可以比較大小，所以B錯誤；
因?yàn)椋遥允菍?shí)數(shù)，故，所以C正確；
因?yàn)椋簦瑒t，但是此時與不能比較大小，所以D錯誤.
故選:C.
6.復(fù)數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖如圖所示，則圖中（1） （2） （3）處應(yīng)分別填入的是（ ）
A．正整數(shù)假分?jǐn)?shù)純虛數(shù) B．自然數(shù)假分?jǐn)?shù)純虛數(shù)
C．正整數(shù)小數(shù)純虛數(shù) D．自然數(shù)小數(shù)實(shí)數(shù)
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)的知識結(jié)構(gòu)得解.
【詳解】
整數(shù)包括正整數(shù) 零 負(fù)整數(shù)，其中正整數(shù)與零合稱為自然數(shù)，
所以（1）處應(yīng)填自然數(shù).分?jǐn)?shù)包括真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，虛數(shù)包括純虛數(shù)與非純虛數(shù).
故選：B
三、相等復(fù)數(shù)
設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0.
【典型例題】
【例1】已知，其中為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，則= （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出即可得出.
，，，.
故選：A.
【例2】若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．8 B． C．0 D．8或0
【答案】D
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求解．
，又，
所以，解得或，
所以或8．
故選：D．
【例3】已知復(fù)數(shù)，，并且，則的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件消去可將用表示，根據(jù)三角函數(shù)的有界性結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.
∵，∴，化為，∴，∵，
∴當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值7，
∴，∴的取值范圍是，故選：A.
【例4】已知z1，z2為復(fù)數(shù)．若命題p：z1-z2＞0，命題q：z1＞z2，則p是q成立的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)，，利用復(fù)數(shù)概念進(jìn)行推導(dǎo).
【詳解】
設(shè)，，若，則，，若，則，，滿足，若，則不能比較大小；
若，則，，故，綜上：p是q成立的必要不充分條件.
故選：B
【例5】下列命題中，正確命題的個數(shù)是
①若，，則的充要條件是；
②若，且，則；
③若，則．A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
對①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的實(shí)部和虛部，故①是假命題；
對②，由于兩個虛數(shù)不能比較大小，故②是假命題；
③是假命題，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.
【例6】若復(fù)數(shù)，（），，則等于（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】D
【分析】兩復(fù)數(shù)相等，則實(shí)部與虛部分別對應(yīng)相等.
【詳解】由復(fù)數(shù)相等的定義可知，∴，.
∴，k∈Z故選：D.
【對點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求解．
由題意，解得．
故選：D．
2.已知是虛數(shù)單位，，且，則__________.
【答案】3
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等得出，解方程組即可求解.
由題意可得解得，
所以.故答案為：3
3.若是純虛數(shù)，則的值為
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
試題分析：若是純虛數(shù)，則，所以
，，故
考點(diǎn)：復(fù)數(shù)
4.給出下列說法：
①復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成；
②滿足x2=-1的數(shù)x只有i；
③形如bi(b∈R)的數(shù)不一定是純虛數(shù)；
④復(fù)數(shù)m+ni的實(shí)部一定是m.
其中正確說法的個數(shù)為_________.
【答案】1
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解
【詳解】
③中b=0時bi=0，不是純虛數(shù).故③正確.①中復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)與虛數(shù)兩大類；②中平方為-1的數(shù)為±i；④中m，n不一定為實(shí)數(shù)，故①②④錯誤.
故答案為：1
四、復(fù)數(shù)概念綜合
【典型例題】
【例1】已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，則a的值為（ ）
A．0 B．－1
C． D．
【答案】A
【分析】先判斷兩個復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，再根據(jù)虛部為零和不等關(guān)系列式計算參數(shù)即可.
【詳解】
由，可知兩個復(fù)數(shù)均為實(shí)數(shù)，即其虛部為零，故，即，解得a＝0.
故選：A.
【例2】設(shè)全集，實(shí)數(shù)集為，純虛數(shù)集為，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合補(bǔ)集的運(yùn)算，得到，再利用交集的概念，即可求解.
【詳解】
由題意，全集，實(shí)數(shù)集為，純虛數(shù)集為，
可得，所以.故選：D.
【例3】若復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為________.
【答案】3
【分析】由題意知為實(shí)數(shù)，實(shí)部大于或等于，虛部等于，即可求解.
【詳解】
因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小，所以為實(shí)數(shù)，
可得解得
所以實(shí)數(shù)的值為，故答案為：
【例4】從集合中任取兩個互不相等的數(shù)，，組成復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)有______個.
【答案】36
若復(fù)數(shù)為虛數(shù)，則，分兩種情況討論即得解.
【詳解】
從集合中任取兩個互不相等的數(shù)，，組成復(fù)數(shù)，當(dāng)時，對應(yīng)的有6個值；當(dāng)取1,2,3,4,5,6時，對應(yīng)的只有5個值.所以虛數(shù)有（個）.故答案為:36.
【點(diǎn)睛】
本題考查了虛數(shù)的定義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算，分類討論的能力，屬于基礎(chǔ)題.
【例5】設(shè)，，，若對所有，，都有，則的取值范圍為_____．
【答案】
【分析】
若存在，，使得，求得的取值范圍，取補(bǔ)集即可.
【詳解】
解：若存在，，使得，則，
故，
解得，
故若對所有，，都有，則的取值范圍為．
故答案為：．
【例6】已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，則a的取值集合為________.
【答案】{0}
【分析】
由條件可知兩個數(shù)為實(shí)數(shù)，根據(jù)大小關(guān)系，列式求.
【詳解】
由z1＞z2，得解得a＝0，
故a的取值集合為{0}.
故答案為：
【例7】有下列四個命題：①若z∈C，則z2≥0；②若a>b，則a＋i>b＋i；③若x，y∈R，則x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1；④若實(shí)數(shù)a與復(fù)數(shù)ai對應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)．其中正確命題的序號是______.
【答案】③.
【詳解】
分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的概念解答即可.
詳解：①若，則，①錯誤；②兩個復(fù)數(shù)一般不能比較大小，②錯誤；③根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，③正確；④根據(jù)這個對應(yīng)，沒有純虛數(shù)與實(shí)數(shù)集中的0對應(yīng)，④錯誤.
故答案為③.
點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)概念與解題關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.

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