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7.1.2復數的幾何意義
本節課知識點目錄：
復平面內點與復數的關系；
復平面內向量與復數的關系。
復數的模
共軛復數
復數幾何意義應用1：復數中的簡單軌跡與圖像
復數幾何意義應用2：求復數的范圍與最值
一、復平面內點與復數的關系
復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)．
【典型例題】
【例1】已知i為虛數單位，復數，則z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2】復數對應的點在虛軸上，則
A．，或 B．，且
C．，或 D．
【例3】復數在復平面上對應的點不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【例4】當時，復數在復平面上對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例5】若（i是虛數單位，）對應的點在復平面內位于第四象限，則（ ）
A． B．
C． D．或
【例6】若m為實數，則復數在復平面內所對應的點可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例7】復數，在復平面上對應的點分別為、．
（1）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是__________；
（2）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是__________；
（3）若、關于原點對稱，則、、、應滿足的關系是__________；
（4）若、關于第一、三象限的角平分線對稱，則、、、應滿足的關系是__________．
【對點實戰】
1.在復平面內，若復數對應的點的坐標為，則實數（ ）
A．1 B． C．2 D．
2.設，復數，則在復平面內的對應點一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知復數在復平面內對應的點在第三象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4.下列說法錯誤的是（ ）
A．實軸上的點對應的復數為實數
B．虛軸上的點對應的復數為純虛數
C．表示實數的點都在實軸上
D．表示純虛數的點都在虛軸上
5.已知復數z滿足實部為，虛部為，則復數z在復平面上對應的點關于虛軸對稱的點所對應的復數是______．
6.在復平面上，復數對應的點關于直線對稱的點所對應的復數為___________.
二、復平面內向量與復數的關系
復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
【典型例題】
【例1】O是原點，向量，對應的復數分別為，那么向量對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
【例2】復數在復平面上對應的點繞原點按逆時針方向旋轉，所得點對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
【例3】在復平面內，已知平行四邊形頂點，，分別表示，，則點對應的復數為（ ）
A． B． C． D．
【例4】四邊形是復平面內的平行四邊形，已知三點對應的復數分別是，則向量所對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知復數 為虛數單位) 在復平面上對應的點分別為，若四邊形為平行四邊形(為復平面的坐標原點)，則復數的模為（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知復數所對應的向量為，把依逆時針旋轉得到一個新向量為．若對應一個純虛數，當取最小正角時，這個純虛數是________．
【例7】在復平面內，復數對應的點為，將向量繞原點按逆時針方向旋轉，所得向量對應的復數是_____.
【例8】在復平面內，已知為坐標原點，點、分別對應復數，，若，則_____________.
【對點實戰】
1.在復平面內，點，對應的復數分別為，.若為靠近點的線段的三等分點，則點對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
2.在復平面上，在正方形(為原點)中若對應的復數為，則對應的復數為（ ）
A． B． C． D．
3.已知，將按逆時針方向旋轉得到，則Z點對應的復數為________.
4.把復數在復平面內對應的點向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到點，把所得向量繞點按逆時針方向旋轉90°，得到向量，則點對應的復數為____________．
5.已知復平面內平行四邊形中，點對應的復數為，對應的復數為，對應的復數為，則點對應的復數為__________.
6.已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應的點分別是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，則x＋y的值是________．
三、復數的模
1．向量的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值．
2．復數z＝a＋bi的模記作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝.
【典型例題】
【例1】若復數為純虛數，則（ ）
A． B．13 C．10 D．
【例2】設復數滿足，則的虛部為( )
A． B． C． D．1
【例3】關于復數z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）
A．3+4i B．4+3i
C．+3i D．3+i
【例4】設復數滿足，在復平面內對應的點為，則（ ）
A． B．
C． D．
【例5】在復平面內，O為坐標原點，向量所對應的復數為，向量所對應的復數為，點C所對應的復數為，點C與點D關于虛軸對稱，若圓M經過A，B，C，D四點，則圓M的半徑為_________．
【例6】已知復數z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|【例7】若虛數z的實部不為0，且，則_______．（寫出一個即可）
【對點實戰】
1.設，其中為虛數單位，是實數，則（ ）
A．1 B． C． D．2
2.已知復數，其中為虛數單位，，若為純虛數，則下列說法正確的是（ ）
A． B．復數在復平面內對應的點在第一象限
C． D．
3.下列四個式子中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4.適合方程的復數x是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知復數的實部為1，，則______．
6.寫出一個復數滿足實部和虛部互為相反數，且，=_________．
四、共軛復數
1．兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．
2．復數z的共軛復數用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.
【典型例題】
【例1】已知復數z滿足，且z的共軛復數為，則（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【例2】已知復數（其中為虛數單位），則以下說法正確的有（ ）
A．復數的虛部為 B．
C．復數的共軛復數 D．復數在復平面內對應的點在第一象限
【例3】復數z，則z的共軛復數在復平面內對應第___________象限.
【例4】若復數z對應的點在直線y＝2x上，且|z|＝，則復數＝____________
【例5】復數在復平面內對應的點在第四象限，，且，則____________.
【例6】若復數在復平面內的對應點在第二象限， ，對應點在直線y＝x上，則________.
【對點實戰】
1.設復數z滿足,i為虛數單位,則下列命題正確的是
A． B．復數z在復平面內對應的點在第四象限
C．z的共軛復數為 D．復數z在復平面內對應的點在直線上
2.若復數，，則下列結論：①z對應的點在第一象限；②z一定不為純虛數；③對應的點在實軸的下方；④z一定為實數，其中錯誤的是______．（填序號）
3.已知復數，則在復平面內對應的點所在的象限為______象限.
4.復數（，i為虛數單位），在復平面內對應的點在直線上，則________．
5.已知復數z1＝(m2－2m＋3)－mi，z2＝2m＋(m2＋m－1)i，其中i是虛數單位，m∈R.若z1，z2互為共軛復數，則實數m的值為___________.
五、復數幾何意義應用1：復數中的軌跡和圖像
【典型例題】
【例1】已知復數 滿足的復數的對應點的軌跡是（　　）
A．1個圓 B．線段 C．2個點 D．2個圓
【例2】若復數z滿足，則在復平面內，z所對應的點組成圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【例3】復數對應點的軌跡是______.
【例4】已知復數z的虛部為1，且，則z在復平面內所對應的點z到虛軸的距離為___________.
【例5】在復平面內表示復數的點在直線上，則實數的值為___________．
【例6】已知復數z＝x－2＋yi的模是，則點(x，y)的軌跡方程是_________．
【例7】已知復數滿足，則在復平面內對應的點形成區域的面積為________．
六、復數幾何意義應用2：范圍和最值
【典型例題】
【例1】已知，復數的實部為，虛部為則的取值范圍是
A． B． C． D．
【例2】當x復數 的模長的最小值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
【例3】設，，，求的最小值．
【例4】若復數，則的最大值為______．
【例5】已知復數，，如果，那么實數a的取值范圍是________.
7.1.2復數的幾何意義
本節課知識點目錄：
復平面內點與復數的關系；
復平面內向量與復數的關系。
復數的模
共軛復數
復數幾何意義應用1：復數中的簡單軌跡與圖像
復數幾何意義應用2：求復數的范圍與最值
一、復平面內點與復數的關系
復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)．
【典型例題】
【例1】已知i為虛數單位，復數，則z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
根據三角函數的誘導公式，求得復數，結合復數的幾何意義，即可求解.
【詳解】由
即復數，
所以復數對應的點為位于第二象限.
故選：B
【例2】復數對應的點在虛軸上，則
A．，或 B．，且
C．，或 D．
【答案】C
【分析】利用復數的運算性質和幾何意義即可得出.
【詳解】解：由于復數對應的點在虛軸上,
因此, ，解得，或
故選C
【點睛】
熟練掌握復數的運算性質和幾何意義是解題的關鍵.
【例3】復數在復平面上對應的點不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據題意，表示出復數在復平面上對應的點的坐標，分別討論橫縱坐標的取值范圍，即可得到正確選項.
【詳解】根據題意可知，復數的實部，虛部.
當時，，，故點可能在一、四象限；
當時，，，故點在第三象限.
綜上，復數在復平面上對應的點不可能位于第二象限.
故選：B.
【例4】當時，復數在復平面上對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用的范圍求出、的范圍即可確定答案.
【詳解】∵，
∴，，
∴復數在復平面上對應的點位于第四象限．
故選：D.
【例5】若（i是虛數單位，）對應的點在復平面內位于第四象限，則（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】利用復數表示的點所在象限，列出關于m的不等式求解即可.
【詳解】復數表示的點為
由題設知，解得故選：C
【例6】若m為實數，則復數在復平面內所對應的點可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABD
【分析】由復數的實部、虛部之和大于0，可排除C，再應用特殊值法：令、、判斷復數對應點可能出現在哪個象限.
【詳解】若m為實數，則的實部為，虛部為．
∵實部與虛部相加為，
∴該復數在復平面內對應的點的橫、縱坐標不可能都為負，即該復數在復平面內對應的點不可能位于第三象限，排除C；
取，則，∴該復數在復平面內對應的點在第二象限，可選B；
取，則，∴該復數在復平面內對應的點在第一象限，可選A；
取，則，
∴該復數在復平面內對應的點在第四象限，可選D．
故選：ABD．
【例7】復數，在復平面上對應的點分別為、．
（1）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是__________；
（2）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是__________；
（3）若、關于原點對稱，則、、、應滿足的關系是__________；
（4）若、關于第一、三象限的角平分線對稱，則、、、應滿足的關系是__________．
【答案】 ， ， ， ，
【分析】直接利用復數的幾何意義即可得到.
【詳解】因為復數，在復平面上對應的點分別為、，
所以
（1）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是，；
（2）若、關于軸對稱，則、、、應滿足的關系是，；
（3）若、關于原點對稱，則、、、應滿足的關系是，
（4）若、關于第一、三象限的角平分線對稱，則、、、應滿足的關系是，.
故答案為：（1），；（2），；（3），；（4），.
【對點實戰】
1.在復平面內，若復數對應的點的坐標為，則實數（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據復數和坐標系中的點的對應關系得到結果即可.
【詳解】復數對應的點的坐標為
由題干得到
故選：D.
2.設，復數，則在復平面內的對應點一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】在復平面內的對應點考查點橫縱坐標的正負,分情況討論即可.
【詳解】由題得, 在復平面內的對應點為.
當,即時,二次函數取值范圍有正有負,故在復平面內的對應點可以在一二象限.
當,即時,二次函數,故在復平面內的對應點可以在第四象限.
故在復平面內的對應點一定不在第三象限.故選：C
3.已知復數在復平面內對應的點在第三象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結合復數在平面內所對應的點的特征，得到不等式組，解之即可求出結果.
【詳解】因為在復平面內對應的點在第三象限，所以
，則實數的取值范圍是，故選：B.
4.下列說法錯誤的是（ ）
A．實軸上的點對應的復數為實數
B．虛軸上的點對應的復數為純虛數
C．表示實數的點都在實軸上
D．表示純虛數的點都在虛軸上
【答案】B
【分析】由復平面和復數的概念逐項判斷.
【詳解】A.由復平面知：實軸上的點對應的復數為實數,故正確；
B.由復平面知：虛軸上的點除原點外，其余的點對應的復數為純虛數，故錯誤；
C.由復數的概念知：表示實數的點都在實軸上，故正確；
D.由復數的概念知：表示純虛數的點都在虛軸上，故正確；
故選：B
5.已知復數z滿足實部為，虛部為，則復數z在復平面上對應的點關于虛軸對稱的點所對應的復數是______．
【答案】＃＃
【分析】由題可得，結合條件即得.
【詳解】由題可得，
∴復數z在復平面上對應的點關于虛軸對稱的點所對應的復數為.
故答案為：.
6.在復平面上，復數對應的點關于直線對稱的點所對應的復數為___________.
【答案】
【分析】由復數求出在復平面內對應的點，再根據對稱關系求出所對應的點的坐標，從而得到要求的復數．
【詳解】解：復數在復平面內對應的點為，而點關于直線對稱的點為，在復平面內點對應復數為，
故答案為：．
二、復平面內向量與復數的關系
復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
【典型例題】
【例1】O是原點，向量，對應的復數分別為，那么向量對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據復數的幾何意義求解即可.
【詳解】解：根據復數的幾何意義得,,
所以，
所以向量對應的復數是.
故選：B
【例2】復數在復平面上對應的點繞原點按逆時針方向旋轉，所得點對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出復數在復平面對應的點，寫出點的坐標，求出旋轉后復數對應的點的坐標，利用復數的幾何意義即可得解.
【詳解】復數在復平面內對應的點為，因為，則，
將點繞著原點逆時針旋轉，得到的點與點關于軸對稱，即點，
因此，所求復數為.故選：C.
【例3】在復平面內，已知平行四邊形頂點，，分別表示，，則點對應的復數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意求出，，設，由平行四邊形的性質可得進而可求出點坐標，即可選出正確答案.
【詳解】由題意，，設，∵是平行四邊形，
∴中點和中點相同，∴，即，∴點對應是.故選：C.
【例4】四邊形是復平面內的平行四邊形，已知三點對應的復數分別是，則向量所對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結合中點坐標公式確定正確選項.
【詳解】依題意，所以中點為，所以，
所以，對應復數為.故選：D
【例5】已知復數 為虛數單位) 在復平面上對應的點分別為，若四邊形為平行四邊形(為復平面的坐標原點)，則復數的模為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用復數的幾何意義，向量坐標運算性質及其向量相等即可得出
【詳解】解：因為復數 為虛數單位) 在復平面上對應的點分別為，
所以，
設，因為為平行四邊形(為復平面的坐標原點)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，故選：A
【例6】已知復數所對應的向量為，把依逆時針旋轉得到一個新向量為．若對應一個純虛數，當取最小正角時，這個純虛數是________．
【答案】
【分析】確定復數對應點在第一象限，旋轉后在軸的正半軸上，計算復數模得到答案.
【詳解】，對應的點為在第一象限，
逆時針旋轉最小正角時，對應的點在軸的正半軸上，，故純虛數為.
故答案為：.
【例7】在復平面內，復數對應的點為，將向量繞原點按逆時針方向旋轉，所得向量對應的復數是_____.
【答案】
【分析】根據復數的幾何意義寫出點的坐標，求出旋轉后對應點的坐標，得其對應復數．
【詳解】復數對應的點，如圖，繞原點按逆時針方向旋轉到位置，，，∴，，即，點對應復數為．
故答案為：．
【例8】在復平面內，已知為坐標原點，點、分別對應復數，，若，則_____________.
【答案】
根據復數的幾何意義求出向量、的坐標，然后由，得出，利用平面向量數量積的坐標運算可求出實數的值.
【詳解】因為，，所以，.
因為，則，即.故答案為：.
【對點實戰】
1.在復平面內，點，對應的復數分別為，.若為靠近點的線段的三等分點，則點對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，由為靠近點的線段的三等分點得，然后列關于、的方程組，求得、可求得點對應復數．
【詳解】解：設，點，對應的復數分別為，，
，，則，，
為靠近點的線段的三等分點，
，，解得，
，對應復數為．故選：A．
2.在復平面上，在正方形(為原點)中若對應的復數為，則對應的復數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正方形的性質及題干條件，可得，所以，即可得答案.
【詳解】因為正方形，且對應的復數為，
所以，所以，則，
所以對應的復數為.故選：C
3.已知，將按逆時針方向旋轉得到，則Z點對應的復數為________.
【答案】
寫出P點對應的復數為，根據復數乘法的幾何意義可寫出Z點對應的復數.
【詳解】解：由題意得，P點對應的復數為，
由復數乘法的幾何意義得：
，故填.
故答案為：.
4.把復數在復平面內對應的點向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到點，把所得向量繞點按逆時針方向旋轉90°，得到向量，則點對應的復數為____________．
【答案】
【分析】根據條件先得出點的坐標，然后得出點的坐標即可.
【詳解】復數在復平面內對應的點為，
將其向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到點，所以
所以，即點對應的復數為
故答案為：
5.已知復平面內平行四邊形中，點對應的復數為，對應的復數為，對應的復數為，則點對應的復數為__________.
【答案】
【分析】利用復數的幾何意義 向量的坐標運算性質 平行四邊形的性質即可得出.
【詳解】因為點對應的復數為，對應的復數為，
所以點，，
設，則可得，所以點，
因為四邊形是平行四邊形，所以，
因為對應的復數為，所以，
設，則，
解得：，所以點的坐標為，
所以點對應的復數為，故答案為：.
6.已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應的點分別是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，則x＋y的值是________．
【答案】5
【分析】由復數的幾何意義得3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，再由復數相等的條件可求得x,y，從而可得答案.
【詳解】由復數的幾何意義可知，＝x＋y，即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，
由復數相等可得，
解得，∴x＋y＝5.故答案為：5.
三、復數的模
1．向量的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值．
2．復數z＝a＋bi的模記作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝.
【典型例題】
【例1】若復數為純虛數，則（ ）
A． B．13 C．10 D．
【答案】A
【分析】因為復數為純虛數故得到，再由復數模長公式計算得到結果.
【詳解】復數為純虛數，故需要
故選：A
【例2】設復數滿足，則的虛部為( )
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】設復數，結合已知條件，利用復數相等求出即可．
【詳解】設復數，，，由，得，
即，解得，，故的虛部為1故選：D．
【例3】關于復數z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）
A．3+4i B．4+3i
C．+3i D．3+i
【答案】B
【分析】根據條件可得，再利用復數相等可得，解方程組，即可得到答案；
【詳解】設,則有,
于是，解得或
因為,故,所以不符合要求,故故選：B
【例4】設復數滿足，在復平面內對應的點為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由復數的模長公式列方程，化簡整理即可求解.
【詳解】因為，則，
所以，
故選：C.
【例5】在復平面內，O為坐標原點，向量所對應的復數為，向量所對應的復數為，點C所對應的復數為，點C與點D關于虛軸對稱，若圓M經過A，B，C，D四點，則圓M的半徑為_________．
【答案】
【分析】根據題意依次求出點A，B，C，D的坐標，進而根據復數的幾何意義即可求出結果.
【詳解】因為向量所對應的復數為，所以，
又向量所對應的復數為，所以，
因為點C所對應的復數為，所以,
又因為點C與點D關于虛軸對稱，所以，
設所對應的復數為，
則，故點A，B，C，D四點在以為圓心，為半徑的圓上，即圓M，故圓M的半徑為.故答案為：.
【例6】已知復數z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|【答案】
【分析】根據|z1|【詳解】因為|z1|故b的取值范圍是(－1， 1).
故答案為：.
【例7】若虛數z的實部不為0，且，則_______．（寫出一個即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】設復數，只要滿足，且即可．
【詳解】設復數，且，
，當時，等式成立，所以.
故答案為：（答案不唯一）
【對點實戰】
1.設，其中為虛數單位，是實數，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】先利用復數相等求得x，y，再利用復數的模公式求解.
【詳解】因為，所以，解得，
所以.故選：B.
2.已知復數，其中為虛數單位，，若為純虛數，則下列說法正確的是（ ）
A． B．復數在復平面內對應的點在第一象限
C． D．
【答案】C
【分析】因為為純虛數，所以，可求出，進而可得，判斷各個選項即可．
【詳解】對于A，因為為純虛數，所以，所以，故A錯誤；
對于B，當時，，復數在復平面內對應的點在第二象限，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，，故D錯誤．
故選：C．
3.下列四個式子中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用復數的模長公式以及復數的概念可判斷各選項的正誤.
【詳解】對于A選項，是復數，是實數，二者不一定相等，A選項錯誤；
對于B選項，，，則，B選項錯誤；
對于C選項，，C選項正確；
對于D選項，，D選項錯誤.
故選：C.
4.適合方程的復數x是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設復數，則，代入條件，根據復數相等的條件，即可求得a，b的值，即可得答案.
【詳解】設復數，則，由，可得，
所以，所以解得或（舍）所以復數.故選：A
5.已知復數的實部為1，，則______．
【答案】
【分析】利用復數的模的概念即得.
【詳解】由題可設，又，∴，解得，
∴.故答案為：.
6.寫出一個復數滿足實部和虛部互為相反數，且，=_________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先設，依據題中條件判斷且，即得結果.
【詳解】設，依題意可知，，所以，
即，可取滿足該條件的復數即可，比如
故答案為：（答案不唯一）.
四、共軛復數
1．兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．
2．復數z的共軛復數用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.
【典型例題】
【例1】已知復數z滿足，且z的共軛復數為，則（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根據共軛復數的概念可求出，從而根據復數模的公式可求出答案.
【詳解】因為，所以，所以．
故選：B.
【例2】已知復數（其中為虛數單位），則以下說法正確的有（ ）
A．復數的虛部為 B．
C．復數的共軛復數 D．復數在復平面內對應的點在第一象限
【答案】BCD
【分析】根據復數的概念判定A錯，根據復數模的計算公式判斷B正確，根據共軛復數的概念判斷C正確，根據復數的幾何意義判斷D正確.
【詳解】因為復數，所以其虛部為，即A錯誤；
，故B正確；
復數的共軛復數，故C正確；
復數在復平面內對應的點為，顯然位于第一象限，故D正確.
故選：BCD.
【例3】復數z，則z的共軛復數在復平面內對應第___________象限.
【答案】二
【分析】利用“奇變偶不變，符號看象限”，由共軛復數的概念，可得z的共軛復數cosθ+isinθ，
根據，可得cosθ，sinθ>0，即可得出.
【詳解】zcosθ﹣isinθ，，
則z的共軛復數cosθ+isinθ，
∵，∴cosθ<0，sinθ>0，
在復平面內對應第二象限.故答案為：二
【例4】若復數z對應的點在直線y＝2x上，且|z|＝，則復數＝____________
【答案】1-2i或－1+2i
【分析】設復數z＝a＋2ai(a∈R)，利用|z|＝，求出，即可得出結果.
【詳解】依題意可設復數z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，
解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.故=1-2i或－1+2i
故答案為：1-2i或－1+2i
【例5】復數在復平面內對應的點在第四象限，，且，則____________.
【答案】
設出，由題列出方程即可求解.
【詳解】解析：設，依題意，，
即，解得，所以.故答案為：.
【例6】若復數在復平面內的對應點在第二象限， ，對應點在直線y＝x上，則________.
【答案】－3＋4i
【分析】根據對應點在直線y＝x上，可設＝3t＋4ti,得到z＝3t－4ti，結合,求得t值，進而得解.
【詳解】設＝3t＋4ti(t∈R)，則z＝3t－4ti，∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，
∴t2＝1，∵z的對應點在第二象限，∴t<0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.
故答案為:－3＋4i.
【對點實戰】
1.設復數z滿足,i為虛數單位,則下列命題正確的是
A． B．復數z在復平面內對應的點在第四象限
C．z的共軛復數為 D．復數z在復平面內對應的點在直線上
【答案】AC
根據復數的模、復數對應點的坐標、共軛復數等知識，選出正確選項.
【詳解】,A正確;復數z在復平面內對應的點的坐標為,在第三象限,B不正確;z的共軛復數為,C正確;復數z在復平面內對應的點不在直線上,D不正確.
故選:AC
2.若復數，，則下列結論：①z對應的點在第一象限；②z一定不為純虛數；③對應的點在實軸的下方；④z一定為實數，其中錯誤的是______．（填序號）
【答案】①②④
【分析】根據所給復數，結合實部、虛部的范圍，逐一分析①②③④，即可得答案.
【詳解】對于①：，因為，
所以的值可正，可負，可為0，所以無法確定z對應的點在第幾象限，故錯①誤；
對于②：令，解得或，
所以當或時，實部，虛部，此時為純虛數，故②錯誤；
對于③：，因為，
所以虛部恒成立，所以對應的點在實軸的下方，故③正確；
對于④：因為恒成立，所以復數一定為虛數，故④錯誤.
所以錯誤的是：①②④.
故答案為：①②④
3.已知復數，則在復平面內對應的點所在的象限為______象限.
【答案】第三
【分析】根據題意，分別判斷復數實部和虛部的正負號，即可求解.
【詳解】由，可知，，
故z在復平面內對應的點所在的象限為第二象限.由共軛復數性質知在復平面內對應的點所在的象限為第三象限.
故答案為：第三.
4.復數（，i為虛數單位），在復平面內對應的點在直線上，則________．
【答案】
【分析】求出的坐標，代入直線求得，得到復數，再由共軛復數的概念得答案．
【詳解】解：復數在復平面內對應的點在直線上，
，即．
，則．
故答案為：．
5.已知復數z1＝(m2－2m＋3)－mi，z2＝2m＋(m2＋m－1)i，其中i是虛數單位，m∈R.若z1，z2互為共軛復數，則實數m的值為___________.
【答案】1
【分析】利用共軛復數的概念可得即可求解.
【詳解】由z1，z2互為共軛復數，
可知，
解得m＝1.故答案為：1
五、復數幾何意義應用1：復數中的軌跡和圖像
【典型例題】
【例1】已知復數 滿足的復數的對應點的軌跡是（　　）
A．1個圓 B．線段 C．2個點 D．2個圓
【答案】A
【詳解】因為,所以, (負舍)
因此復數的對應點的軌跡是以原點為圓心以3為半徑的圓,選A.
【例2】若復數z滿足，則在復平面內，z所對應的點組成圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據復數的幾何意義，確定復數對應的點的軌跡，再求面積.
【詳解】利用復數模的幾何意義，復數對應的點的軌跡是如圖的圓環內，
小圓的半徑，大圓的半徑，所以圓環的面積.
故選：C
【例3】復數對應點的軌跡是______.
【答案】線段
【分析】根據題意，找出復數的對應點坐標，即可得到復數對應點的軌跡.
【詳解】根據題意可知，復數對應點為，
因此復數對應點的軌跡為，且，
即軌跡是線段.故答案為：線段.
【例4】已知復數z的虛部為1，且，則z在復平面內所對應的點z到虛軸的距離為___________.
【答案】
【分析】由題意設對應點為且，結合已知可得，即知z在復平面內所對應的點z到虛軸的距離.
【詳解】由題意，設對應點為，則，
∴，則.
∴z在復平面內所對應的點z到虛軸的距離為.
故答案為：.
【例5】在復平面內表示復數的點在直線上，則實數的值為___________．
【答案】
【分析】求出復數對應的點的坐標，代入即可求解.
【詳解】因為對應的點的坐標為，
因為復數表示的點在直線上，
所以，解之得：．
故答案為：.
【例6】已知復數z＝x－2＋yi的模是，則點(x，y)的軌跡方程是_________．
【答案】
【詳解】由模的計算公式得
∴(x－2)2＋y2＝8.
【例7】已知復數滿足，則在復平面內對應的點形成區域的面積為________．
【答案】
【分析】根據復數模的幾何意義得出區域形狀，再計算面積．
【詳解】的幾何意義為對應的的點到原點的距離，區域為以原點為圓心半徑分別為1和2的圓環，
故所求區域面積．
故答案為：．
六、復數幾何意義應用2：范圍和最值
【典型例題】
【例1】已知，復數的實部為，虛部為則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】本題考查復數的基本概念及復數模的求法，同時考查利用函數思想求范圍．
由于0＜a＜2，故，∴．
【例2】當x復數 的模長的最小值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】根據復數的幾何意義求出復數z的模，結合二次函數的性質即可求出模的最小值.
【詳解】由題意得，
所以，
令，，
當時，函數y有最小值，且，
所以.故選：B
【例3】設，，，求的最小值．
【答案】
【分析】結合已知條件表示出，利用二次函數性質求解即可.
【詳解】，
因為，所以由二次函數性質可知，當時，有最小值10，
即的最小值為.
【例4】若復數，則的最大值為______．
【答案】2
【分析】根據復數模的運算公式，結合余弦函數的性質進行求解即可.
【詳解】，當時，，
故答案為：
【例5】已知復數，，如果，那么實數a的取值范圍是________.
【答案】
根據，利用模的計算公式列不等式求解實數a的取值范圍.
【詳解】，，
又因為，所以，解得.
故答案為：

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