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7.2.1復數的加減運算及其幾何意義
本節課知識點目錄：
復數加減法運算；
復數加減法幾何意義。
復數加減法求模
復數模的最值
實系數一元二次方程的復數解
復數模與軌跡方程
綜合
一、復數加法與減法運算法則
1．設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．對任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【典型例題】
【例1】______.
【例2】已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【例3】計算∶___________.
【例4】設復數，，且，則________.
【例5】設，，，，求復數.
【例6】已知i為虛數單位,復數,,若它們的和為實數,差為純虛數,則a,b的值分別為
A．, B．,4 C．3, D．3,4
【例7】已知i為虛數單位，x，，，.設，且，則______，_____.
【對點實戰】
1.已知（為虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
2.設z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，則z1－z2＝__________
3.已知復數，，若所對應的點在實軸上，則__________．
4.已知復數，且為純虛數，則_________．
5.計算：
（1）；
（2）已知，，求，．
6.已知z1＝1＋i，z2＝cos θ＋(sin θ－1)i，且z1＋z20，則θ＝________.
7.計算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2020＋2021i)＋(2021－2022i)．
二、復數加法減法幾何意義
如圖，設復數z1，z2對應的向量分別為，，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則向量與復數z1＋z2對應，向量與復數z1－z2對應．
【典型例題】
【例1】設復數，，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2】設及分別與復數及復數對應，計算，并在復平面內作出．
【例3】如圖，在復平面內，復數對應的向量分別是，則復數
A． B． C． D．
【例4】已知分別是復數在復平面內對應的點，為坐標原點，若，則是___________三角形（填“銳角”“直角”或“鈍角”）.
【例5】設復數，滿足，，，求.
【對點實戰】
1.如圖，在復平面內，復數，對應的向量分別是，，則（ ）
A．1 B． C．2 D．3
2.已知是虛數單位，復數，則復數在復平面內表示的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.如圖所示，在復平面內的四個點O，A，B，C恰好構成平行四邊形，其中O為原點，A，B，C所對應的復數分別是，，，則_______.
4.設向量及在復平面內分別與復數z1＝5＋3i及復數z2＝4＋i對應，試計算z1－z2，并在復平面內表示出來
5.如圖，向量對應的復數是z，分別作出下列運算的結果對應的向量：
（1）；
（2）；
（3）.
三、復數加減法求模
類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義：
【典型例題】
【例1】已知，，，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【例2】若z為純虛數，且，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知，，為實數，若，則_____．
【例4】已知復數，滿足，，求，值．
【例5】若z為純虛數，且，則（ ）
A． B． C． D．
【例6】設復數滿足，且的實部大于虛部，則（ ）
A． B． C． D．
【例7】是復平面內的平行四邊形，A、B、C三點對應的復數分別是、、，其中，i是虛數單位.
（1）求點D對應的復數；
（2）試判斷A、B、C、D四點是否在同一圓上，若是，求出該圓的方程；否則，請說明理由.
【對點實戰】
1.設（i為虛數單位），則（ ）
A．25 B．5 C．13 D．
2.若復數滿足，則的模是（ ）
A． B．2 C． D．10
3.設，則復數在復平面上的對應點在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.若復數（，，i為虛數單位）滿足，寫出一個滿足條件的復數__________．
5.已知，，為實數，若，求
四、模的最值
【典型例題】
【例1】已知復數z滿足，復數z的共軛復數為，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】已知復數z滿足，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．3
【例3】若復數滿足，則復數的最大值為______.
【例4】復數，，則復數的模的最大值為________.
【例5】復數滿足，則的最小值為___________.
【例6】若復數z滿足|z﹣2i|＝1（i為虛數單位），則|z|的最小值為__.
【例7】已知z1 z2為復數，且|z1|=2，若z1+z2=2i，則|z1﹣z2|的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【對點實戰】
1.若，且，則的最小值為___________
2.已知復數滿足，求的最大值與最小值．
3.若，i為虛數單位，且，求的最小值.
4.設，若，，求的最小值.
5.已知，且，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6.．若，，為實數，i為虛數單位．
（1）求復數z；
（2）求的取值范圍．
五、實系數一元二次方程
實系數一元二次方程，有兩虛根為，
1.，
2.兩根是共軛復數。
3.韋達定理依然成立.
【典型例題】
【例1】若實系數一元二次方程有兩虛數根，且，那么實數的值是（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知是關于的一元次方程(其中)的一個根，則__________.
【例3】已知方程的兩個根分別為.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值.
六、復數模與軌跡方程
【典型例題】
【例1】若，則復數對應的點在（ ）
A．實軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限
【例2】已知復數滿足，則的軌跡為（ ）
A．線段 B．直線
C．橢圓 D．橢圓的一部分
【例3】若復數z滿足，則z在復平面內對應點Z的軌跡為（ ）
A．兩個點 B．兩條直線 C．一個圓 D．兩個圓
【例4】若，則復數________.
【例5】如果復數滿足，那么的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【例6】設復數滿足，求滿足條件的復數在復平面上對應點所構成的圖形面積.
【例7】已知關于的一元二次方程有實根，求點的軌跡方程.
七、綜合
【典型例題】
【例1】（多選）已知復數(i為虛數單位)在復平面內對應的點為，復數滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．點在復平面上的坐標為 B．
C．的最大值為 D．的最小值為
【例2】（多選）表示
A．點與點之間的距離 B．點與點之間的距離
C．點到原點的距離 D．坐標為的向量的模
【例3】（多選）在復平面內有一個平行四邊形，點為坐標原點，點對應的復數為，點對應的復數為，點對應的復數為，則下列結論正確的是（ ）
A．點位于第二象限 B． C． D．
【例4】證明：．
【例5】已知是復數，，，求.
7.2.1復數的加減運算及其幾何意義
本節課知識點目錄：
復數加減法運算；
復數加減法幾何意義。
復數加減法求模
復數模的最值
實系數一元二次方程的復數解
復數模與軌跡方程
綜合
一、復數加法與減法運算法則
1．設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．對任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【典型例題】
【例1】______.
【答案】
【分析】直接根據復數的加減法運算計算即可得出答案.
【詳解】解：.
故答案為：.
【例2】已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】結合共軛復數的概念以及復數的運算和復數相等得到，進而可以求出結果.
【詳解】設，則．由得，則，所以，，所以．
故選：B.
【例3】計算∶___________.
【答案】
【分析】根據復數的基本運算法則和復數模的定義進行化簡即可.
【詳解】解：原式
.故答案為：.
【例4】設復數，，且，則________.
【答案】
【分析】利用復數加法的代數運算，求出，結合題意，求出和的值，進而求出.
【詳解】，，，
又，所以，，解得，，
，.故答案為：.
【例5】設，，，，求復數.
【答案】
設，求出，代入中，利用復數相等的充要條件，建立方程，求解即可.
【詳解】設，，
，
∴.∴.
【例6】已知i為虛數單位,復數,,若它們的和為實數,差為純虛數,則a,b的值分別為
A．, B．,4 C．3, D．3,4
【答案】A
根據復數的加減運算法計算可得.
【詳解】解：,
為實數,所以,解得.
因為為純虛數,所以且,解得且.故,.
故選：
【例7】已知i為虛數單位，x，，，.設，且，則______，_____.
【答案】
利用和，列方程組，解方程組求得的值，進而求得.
【詳解】，解得，∴，.
故答案為：；
【對點實戰】
1.已知（為虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，則，進而，利用復數相等的概念即可求解
【詳解】令，則，
，
，即，。故選：A
2.設z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，則z1－z2＝__________
【答案】－1＋10i
【分析】先利用復數加法運算計算z1＋z2，根據題意利用復數相等的定義列方程即得參數，再寫出z1，z2，計算z1－z2即可.
【詳解】∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，即，
∴即，
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
故答案為：－1＋10i.
3.已知復數，，若所對應的點在實軸上，則__________．
【答案】
【分析】算出，然后可得答案.
【詳解】因為，，
所以
因為所對應的點在實軸上，所以，即
故答案為：
4.已知復數，且為純虛數，則_________．
【答案】-1
【分析】首先化簡，再根據復數為純虛數，得到實部為零且虛部不為零，即可得到方程、不等式組，解得即可；
【詳解】解：因為，
所以，
因為為純虛數，
所以，解得且；解得或，綜上可得
故答案為：
5.計算：
（1）；
（2）已知，，求，．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根據復數的加減法法則，實部與實部對應加減，虛部與虛部對應加減，即可運算得到結果；
（2）根據復數的加法、減法法則運算即可.
【詳解】（1）；
（2），，
，
6.已知z1＝1＋i，z2＝cos θ＋(sin θ－1)i，且z1＋z20，則θ＝________.
【答案】2kπ，k∈Z.
【分析】根據z1＋z2＝1＋cos θ＋isin θ，由z1＋z20求解.
【詳解】∵z1＋z2＝1＋cos θ＋isin θ0，
∴
∴，k∈Z.
故答案為：2kπ，k∈Z.
7.計算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2020＋2021i)＋(2021－2022i)．
【答案】1011－1012i
【分析】根據復數的加減法運算法則化簡計算即可.
【詳解】原式＝(1－2＋3－4＋…－2020＋2021)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2021－2022)i
＝(2021－1010)＋(1010－2022)i
＝1011－1012i.
二、復數加法減法幾何意義
如圖，設復數z1，z2對應的向量分別為，，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則向量與復數z1＋z2對應，向量與復數z1－z2對應．
【典型例題】
【例1】設復數，，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】首先根據復數代數形式的減法運算化簡，再根據復數的幾何意義判斷即可；
【詳解】解：因為，，所以，所以在復平面內對應的點的坐標為，位于第四象限，
故選：D
【例2】設及分別與復數及復數對應，計算，并在復平面內作出．
【答案】，作圖見解析.
根據復數幾何意義以及復數加法直接計算，并作圖.
【詳解】．
如圖所示：
【例3】如圖，在復平面內，復數對應的向量分別是，則復數
A． B． C． D．
【答案】B
由圖可得,,進而求解即可
【詳解】由圖,,,
所以,,則,,
所以,故選:B
【例4】已知分別是復數在復平面內對應的點，為坐標原點，若，則是___________三角形（填“銳角”“直角”或“鈍角”）.
【答案】直角
由題可知,則以為鄰邊的平行四邊形的對角線的長度相等,即可求解
【詳解】因為,
所以,
故以為鄰邊的平行四邊形的對角線的長度相等,即該平行四邊形為矩形,
所以是直角三角形
故答案為:直角
【例5】設復數，滿足，，，求.
【答案】
設復數,在復平面內所對應的點分別是，向量，的夾角為
向量的夾角為，利用余弦定理在中求出，進而得到，再利用余弦定理在求出即可.
【詳解】設復數,在復平面內所對應的點分別是，
向量，的夾角為,則向量的夾角為，
在中，，即.
在中，，∴.
【對點實戰】
1.如圖，在復平面內，復數，對應的向量分別是，，則（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
根據向量的坐標，寫出復數，再求加法及模.
【詳解】由題圖可知，，
所以，.故選：B.
2.已知是虛數單位，復數，則復數在復平面內表示的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據復數的加法運算，表示出復數，進而得到其在復平面內表示的點坐標，即可得到所在象限．
【詳解】由復數加法運算可知
在復平面內表示的點坐標為，所以所在象限為第三象限
所以選C
3.如圖所示，在復平面內的四個點O，A，B，C恰好構成平行四邊形，其中O為原點，A，B，C所對應的復數分別是，，，則_______.
【答案】
由平行四邊形法則可知，將、、代入列出方程組，求出，即可求得，相減即得答案.
【詳解】∵，∴.
∵，∴∴∴，∴.
故答案為：
4.設向量及在復平面內分別與復數z1＝5＋3i及復數z2＝4＋i對應，試計算z1－z2，并在復平面內表示出來
【答案】z1－z2＝1＋2i，作圖見解析.
【分析】先計算z1－z2，表示點和向量，再描點作圖即可.
【詳解】解: z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i， ，則即為z1－z2所對應的向量，如圖所示，
根據復數減法的幾何意義：復數z1－z2是連接向量,的終點，并指向被減數的向量所對應的復數.
5.如圖，向量對應的復數是z，分別作出下列運算的結果對應的向量：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）作圖見解析（2）作圖見解析（3）作圖見解析
復數與以原點為起點的向量是一一對應的，根據平行四邊形法則作出相應向量即可.
【詳解】（1）復數1與復平面內點一一對應，利用平行四邊形法則作出所求向量，如圖所示：
（2）復數與復平面內點一一對應，利用平行四邊形法則作出所求向量，如圖所示：
（3）復數與復平面內點一一對應，利用平行四邊形法則作出所求向量如圖所示：
三、復數加減法求模
類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義：
【典型例題】
【例1】已知，，，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】利用復數加法、減法和模的運算化簡已知條件，由此求得.
【詳解】設，則，.
依題意得：，
.
所以.
故選：B
【例2】若z為純虛數，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結合復數的概念設且，進而根據復數的加減法運算以及復數的模長公式即可得到，解方程即可求出結果.
【詳解】因為z為純虛數，所以設且，又因為，則，即，所以，解得或（舍），故，
故選：D.
【例3】已知，，為實數，若，則_____．
【答案】
【分析】根據復數的加減運算結合可得和的值，再計算，由模長公式即可求解.
【詳解】因為，，
所以
，所以，解得，
所以，，所以，
所以．故答案為：.
【例4】已知復數，滿足，，求，值．
【答案】，；或，．
先設，再根據求，最后根據列方程組，解得結果.
【詳解】設，則．∵，∴．
∵，∴．解得：，或，．
∴，；或，．
【例5】若z為純虛數，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結合復數的概念設且，進而根據復數的加減法運算以及復數的模長公式即可得到，解方程即可求出結果.
【詳解】因為z為純虛數，所以設且，又因為，則，即，所以，解得或（舍），故，
故選：D.
【例6】設復數滿足，且的實部大于虛部，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用復數的差的模的幾何意義，求出復數對應點所在象限，再排除不合題意的選項.
【詳解】設，復數對應復平面內點，
的實部大于虛部，即， 排除選項C、D.
且，則P在以原點為圓心的單位圓上運動，且P在以為圓心的單位圓上運動. 如圖.
法一：點P在兩圓交點A或B處，即第一或第二象限，排除選項A.
法二：當點P在A處時，，不合題意，即點P在第一象限，
故選：B.
【例7】是復平面內的平行四邊形，A、B、C三點對應的復數分別是、、，其中，i是虛數單位.
（1）求點D對應的復數；
（2）試判斷A、B、C、D四點是否在同一圓上，若是，求出該圓的方程；否則，請說明理由.
【答案】（1）；（2）A、B、C、D四點都在以原點為圓心，半徑為2的圓上，該圓的方程為.
【分析】（1）先寫出三點的坐標，再利用，即可得出結果；（2）求出四點對應的長度，即可得出結論.
【詳解】（1）由題知，，，，
因為.
所以，
所以點D所對應的復數為.
（2），，
，，
所以A、B、C、D四點都在以原點為圓心，半徑為2的圓上，
該圓的方程為.
【對點實戰】
1.設（i為虛數單位），則（ ）
A．25 B．5 C．13 D．
【答案】B
【分析】先寫共軛復數，進行加法運算，再計算復數的模長即可.
【詳解】，則，∴，
所以.
故選：B．
2.若復數滿足，則的模是（ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】A
【分析】先求出復數，再由模長公式求模長即可求解.
【詳解】由得，
則，
故選：A.
3.設，則復數在復平面上的對應點在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【詳解】,點在第二象限，所以復數在復平面上對應點在第二象限.選B.
4.若復數（，，i為虛數單位）滿足，寫出一個滿足條件的復數__________．
【答案】(答案不唯一)
【分析】先寫，再利用列式化簡，即得（可為任意實數）均滿足題意，寫出其中一個即可.
【詳解】，故.
由知，，化簡得，
故只要，即（可為任意實數）均滿足題意，可取.
故答案為：(答案不唯一).
5.已知，，為實數，若，求
【答案】.
【分析】先化簡，再利用復數相等可求出，從而得到，再用復數的模長公式求解即可
【詳解】
，
所以，
解得， ，
所以，，
則，所以．
四、模的最值
【典型例題】
【例1】已知復數z滿足，復數z的共軛復數為，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據表示圓心為，半徑為1的圓上點，再表示圓上點到原點距離，即可確定最大值.
【詳解】令，，則表示與距離為1的點集，即，
此時，表示圓上點到原點距離，
所以的最大值，即為圓上點到原點的最大距離，而圓心到原點距離為1，且半徑為1，
所以圓上點到原點的最大為2.
故選：B.
【例2】已知復數z滿足，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】設，由可得，，由幾何意義可得的最小值.
【詳解】設，由可得，
，其表示圓上的動點到定點的距離，顯然最小值為.
故選：B.
【例3】若復數滿足，則復數的最大值為______.
【答案】
【分析】設，（），結合條件得在復平面內對應點的軌跡，再由的幾何意義求解即可．
【詳解】解：設，（）則由,
得，即．
復數在復平面內對應點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖：
表示復數在復平面內對應點到點的距離
所以最大值為．
故答案為：．
【例4】復數，，則復數的模的最大值為________.
【答案】
先求，再求模，將其轉化為角度的函數，從而求最大值.
【詳解】由題意可得，
，
因為，
故的最大值為.
故答案為：.
【例5】復數滿足，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】設復數，代入題干條件后求出與的關系，再代入到的關系式中，求出最小值.
【詳解】設復數，則，，，因為，所以，解得：，
則，
①，
把代入①式中，得：
當時，取得最小值為，所以的最小值為
故答案為：
【例6】若復數z滿足|z﹣2i|＝1（i為虛數單位），則|z|的最小值為__.
【答案】1
【分析】設，由復數的模的計算公式得到的方程，將化為關于y的函數表達式，根據y的取值范圍求得的范圍.
【詳解】設，∵，∴，∴，
∴.則.
當時取等號.故答案為：1.
【例7】已知z1 z2為復數，且|z1|=2，若z1+z2=2i，則|z1﹣z2|的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】z1+z2=2i，可得z2=2i﹣z1，|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，然后根據復數的幾何意義和復數的差的模的幾何意義即可得出.
【詳解】解：z1+z2=2i，∴z2=2i﹣z1，
則|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，
|z1|=2，∴z1在復平面內所對應的點P的軌跡是以原點為圓心，以2為半徑的圓，
所對應的點坐標為A(0,1),
|z1﹣i|表示P,A的距離，
∴|z1﹣i|≤3,
2|z1﹣i|≤2×3=6,z1=﹣2i時取等號.
|z1﹣z2|的最大值為6，
故選：B.
【對點實戰】
1.若，且，則的最小值為___________
【答案】4
【分析】利用復數的幾何意義，可知則表示z點對應的復數與點(3,4)之間的距離，再求出其最小值.
【詳解】復數z滿足，點z表示以原點為圓心、1為半徑的圓，則表示z點對應的復數與點(3,4)之間的距離.
原點O到點(3,4)之間的距離d=5，
∴的最小值為5-1=4.
故答案為：4.
2.已知復數滿足，求的最大值與最小值．
【答案】最大值，最小值
【分析】設，由題意得到且，然后將轉化為，進而求出值域即可.
【詳解】設，因為，所以，
而，
因為，所以，故，
所以的最大值，最小值.
3.若，i為虛數單位，且，求的最小值.
【答案】3
根據，結合復數減法的模的幾何意義，判斷出對應點的軌跡，再根據復數減法的模的幾何意義，結合圓的幾何性質，求得的最小值.
【詳解】由得，因此復數z對應的點Z在以對應的點為圓心，1為半徑的圓上，如圖所示.
設，則y是Z點到對應的點A的距離.又，∴由圖知.
4.設，若，，求的最小值.
【答案】6
由已知可得復數對應的點分別在兩個圓上，的最小值即求兩圓上距離的最小值，根據兩圓的位置關系即可求解.
【詳解】在復平面上對應的點表示以原點為圓心，3為半徑的圓，
在復平面上對應的點表示以為圓心，
4為半徑的圓.由于兩圓外離，故.
故答案為：6
5.已知，且，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用復數的差的模的幾何意義，結合圓的性質求解.
【詳解】解：設，
滿足的點均在以為圓心，以為半徑的圓上，
所以可以看成到定點的距離，
如圖所示，可知最小值為4-1=3．
故選：D.
6.．若，，為實數，i為虛數單位．
（1）求復數z；
（2）求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根據復數寫出它的共軛復數，結合相等復數的性質即可得出結果.
(2)根據求模公式求出，結合三角函數的值域即可得出結果.
【詳解】（1）設，則.
因為，所以，
即，因此，解得，所以．
（2）由（1）知：，而（為實數）
因此
．
，，
，故的取值范圍是．
五、實系數一元二次方程
實系數一元二次方程，有兩虛根為，
1.，
2.兩根是共軛復數。
3.韋達定理依然成立.
【典型例題】
【例1】若實系數一元二次方程有兩虛數根，且，那么實數的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據實系數方程有兩虛數根，利用求根公式解得：，由此可得的表示形式，根據即可求得的值.
【詳解】因為，所以，
又因為，所以，所以，解得：.
故選A.
【例2】已知是關于的一元次方程(其中)的一個根，則__________.
【答案】
根據一元二次方程的根的特點得出方程的另一根，再由根與系數的關系求得答案.
【詳解】是關于的一元次方程(其中)的一個根，另外一個根是，
根據根與系數關系可得，，解得.
故答案為：.
【例3】已知方程的兩個根分別為.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由實系數一元二次方程兩虛數根互為共軛虛數,結合根與系數關系即可求出的值;
（2）對方程是否為實數根進行分類討論,然后再利用韋達定理和模長公式即可得出結果.
【詳解】（1）方程的兩個根分別為,
，則,由根與系數關系可得,
,
；
（2）
當為實數根,
,解得;
當為虛數根為,
,解得.
或
六、復數模與軌跡方程
【典型例題】
【例1】若，則復數對應的點在（ ）
A．實軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限
【答案】B
【分析】首先分析題目，設，將其代入進行化簡可得，從而可得結論.
【詳解】設，則，
即，
解得，
所以，它對應的點在虛軸上.
故選B.
【例2】已知復數滿足，則的軌跡為（ ）
A．線段 B．直線
C．橢圓 D．橢圓的一部分
【答案】A
【分析】設，由復數的幾何意義可知，表示點到定點與的距離之和為2，進而可得結果.
【詳解】，根據復數的幾何意義知表示點到定點與的距離之和為2，而，故點的軌跡為線段.
故選：A
【例3】若復數z滿足，則z在復平面內對應點Z的軌跡為（ ）
A．兩個點 B．兩條直線 C．一個圓 D．兩個圓
【答案】C
【分析】設復數，則，根據復數的幾何意義可解決此題．
【詳解】解：設復數，則，所以，即，所以在復平面內對應點的軌跡為以為圓心，以1為半徑的圓．
故選：C．
【例4】若，則復數________.
【答案】0
設，由已知可得復數對應的點為線段垂直平分線和線段垂直平分線的交點，聯立兩垂直平分線方程，求解即可.
【詳解】設，
，復數對應的點在線段的垂直平分線上，
其方程為，，
復數對應的點在線段的垂直平分線上，其方程為，
所以復數對應的點為，即.
故答案為：.
【例5】如果復數滿足，那么的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【詳解】試題分析：
∵，
∴點Z到點A（0，-3）與到點B（0，3）的距離之和為6，
∴由復數模的幾何意義知表示復平面上以點A（0,3）、B（0,-3）為端點的線段AB上的點，點Z的軌跡為線段AB；從而|z+i+1|=|z-（-1-i）|表示線段AB上的點Ｚ到點C（-1,-1）的距離；
數形結合，得|z+i+1|的最小值為|BC|=1，所以最小距離為1.
故選A．
【例6】設復數滿足，求滿足條件的復數在復平面上對應點所構成的圖形面積.
【答案】
【分析】設，則復數在復平面上對應點的坐標為，由條件可得，表示一個圓面，可求得面積
【詳解】設，則復數在復平面上對應點的坐標為
由，可得
所以，即
所以復數在復平面上對應的點構成的圖形為以為圓心，半徑為3的圓面，
故其面積
【例7】已知關于的一元二次方程有實根，求點的軌跡方程.
【答案】
【分析】化簡原式可得，則，消去即可得結果.
【詳解】設實根為，則，
即，
根據復數相等的充要條件，得，
由②得，代入①得，
即，③
所求點的軌跡方程為，
七、綜合
【典型例題】
【例1】（多選）已知復數(i為虛數單位)在復平面內對應的點為，復數滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．點在復平面上的坐標為 B．
C．的最大值為 D．的最小值為
【答案】ABC
【分析】A：根據復數的表達式直接寫出點的坐標進行判斷即可；
B：根據復數的共軛復數的定義進行判斷即可；
C，D：根據復數模的幾何意義，結合圓的性質進行判斷即可.
【詳解】復數在復平面內對應的點為，故A正確；
復數，所以復數，故B正確；
設，則，即，所以，復數在復平面內對應的點在圓上，其圓心為，半徑，
表示的是復數和在復平面內對應的兩點之間的距離，即.
而的最大值是；的最小值是.所以的最大值為，最小值為，故C正確，D錯誤．
故選：ABC
【例2】（多選）表示
A．點與點之間的距離 B．點與點之間的距離
C．點到原點的距離 D．坐標為的向量的模
【答案】ACD
由復數的模的意義可判斷選項A,B；整理原式等于,也等于,即可判斷選項C,D
【詳解】由復數的幾何意義,知復數,分別對應復平面內的點與點,所以表示點與點之間的距離,故A說法正確,B說法錯誤；,可表示點到原點的距離,故C說法正確；,可表示表示點到原點的距離,即坐標為的向量的模,故D說法正確,
故選:ACD
【例3】（多選）在復平面內有一個平行四邊形，點為坐標原點，點對應的復數為，點對應的復數為，點對應的復數為，則下列結論正確的是（ ）
A．點位于第二象限 B． C． D．
【答案】BC
【分析】由題意畫出圖形，求出的坐標，得到，然后逐一分析四個選項得答案．
【詳解】解：如圖，
由題意，，，，
為平行四邊形，則，
，點位于虛軸上，故錯誤；
，故正確；
，故正確；
，故錯誤．
故選：．
【例4】證明：．
【答案】證明見解析
【分析】設，，按照復數代數形式的加減運算及共軛復數的概念計算即可；
【詳解】證明：設，，則，，所以， 則，，所以，
， 則，，所以，
綜上可得：
【例5】已知是復數，，，求.
【答案】
【分析】畫出對應的圖象，根據復數加法的幾何意義確定的夾角，由此確定的大小.
【詳解】由于，故對應的點在單位圓上，根據可知以為鄰邊的平行四邊形為菱形，對角線相互垂直平分，且一條對角線長，而,所以，根據菱形的性質可知是等邊三角形，故.

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