資源簡介

7.2.2復數乘、除運算
本節課知識點目錄：
復數乘法運算的代數形式
復數除法運算的代數形式。
復數范圍內解方程。
乘法、除法與求模的運算
i的運算性質
1+i的運算
特殊復數的計算
復數乘除法運算與最值
復數乘除運算綜合應用
聯賽聯考題選
一、復數乘法運算的代數形式
1.復數的乘法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．復數乘法的運算律
對任意復數z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1z2＝z2z1
結合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法對加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
【典型例題】
【例1】是虛數單位，復數為純虛數，則實數為（ ）
A． B．2 C． D．
【例2】為虛數單位，設復數，在復平面內對應的點關于原點對稱，若，則__________．
【例3】若復數z的共軛復數是，且z+=6，z·=10，則z=（ ）
A．1±3i B．3±i
C．3+i D．3-i
【例4】已知，其中為虛數單位，若復數的實部為正數，則________．
【例5】復數在復平面內所對應的點在第二象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例6】若，其中，是虛數單位，，則___________.
【對點實戰】
1.在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知，若為純虛數（為虛數單位），則的值為（ ）
A．2 B． C． D．
3.已知復數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
4.設復數，，若為實數，則為__.
5.已知復數z1=2+i，z2=1-i，則復數z1·z2的虛部是_______________
二、復數除法運算的代數形式
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意兩個復數，
則＝＝＝＋i.
復數的除法的實質是分母實數化．若分母為a＋bi型，則分子、分母同乘a－bi；若分母為a－bi型，則分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的共軛復數．
【典型例題】
【例1】已知復數，則下列說法正確的是（　　）
A．z的虛部為4i B．z的共軛復數為1﹣4i
C．|z|＝5 D．z在復平面內對應的點在第二象限
【例2】已知為虛數單位，復數，則的共軛復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例3】若復數z滿足，則在復平面內z對應的點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】若為純虛數，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知復數與在復平面內對應的點關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知復數滿足，則（ ）
A． B．1 C．2 D．
【對點實戰】
1.已知復數，其中a，，i是虛數單位，則（ ）
A．-5 B．-1 C．1 D．5
2.已知復數滿足，則對應的點位于復平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
4.若是純虛數（其中為虛數單位），則實數等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
5.已知復數滿足 (為虛數單位），則復數
A． B． C． D．
6.若是純虛數，滿足，則復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7.已知復數 ，，復數z滿足，則_____________．
三、復數范圍內解方程
在復數范圍內，實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①當Δ≥0時，x＝.
②當Δ<0時，x＝.
(2)利用復數相等的定義求解
設方程的根為x＝m＋ni(m，n∈R)，將此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化簡后利用復數相等的定義求解．
【典型例題】
【例1】已知復數（i為虛數單位）是關于x的方程（p，q為實數）的一個根，則的值為（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【例2】若關于x的實系數一元二次方程的兩個根分別是和，則這個一元二次方程可以是（ ）.
A． B． C． D．
【例3】方程在復數集內解的個數為（ ）.
A． B． C． D．
【例4】已知方程的兩個根在復平面上對應的兩點之間的距離為，則__________．
【例5】已知復數滿足方程：，則______．
【例6】設復數滿足，且使得關于的方程有實根，則這樣的復數的和為______.
【例7】已知方程的兩個虛根為，且，則實數的值為（ ）
A． B． C．，2 D．
【例8】已知復數是關于的方程的一個根，則 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
【對點實戰】
1.已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一個根，則z等于(　　)
A．1±2i B．－1±2i C．1＋2i或－1－2i D．2＋i或－2－i
2.已知方程在復數集范圍內的一個虛根為，則實數______．
3.已知復數滿足（為虛數單位），．則一個以為根的實系數一元二次方程為__________________．
4.方程的一個根為，其中為虛數單位，則實數的值為（ ）
A．-10 B．10 C．6 D．8
5.已知復數 是方程的一個根，則（ ）
A． B． C． D．
6.若x為復數，則方程x4=1的解是（ ）
A．l或 B．i或﹣i
C．1+i或1﹣i D．1或﹣1或i或﹣i
7.已知復數，是方程的兩根，則（ ）
A．的實部都是 B．在復平面內對應的點關于虛軸對稱
C． D．
8.已知關于的實系數一元二次方程在復數集中的兩個根是和，下列結論中恒成立的是（ ）
A．和互為共軛復數 B．
C． D．
四、乘法、除法與求模的運算
復數模的運算法則
1.|z1·z2| = |z1|·|z2|
2.
3.
4.┃|z1|－|z2|┃≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|
【典型例題】
【例1】復數滿足i，則||的值是（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【例2】若復數，則（ ）
A． B． C． D．
【例3】若復數滿足（為虛數單位），則=
A．1 B．2 C． D．
【例4】在復平面內，若復數z對應的點為（1，1），則（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．
【例5】】復平面上點對應著復數以及向量，對于復數，下列命題都成立；①；②；③；④；⑤若非零復數，滿足，則.則對于非零向量仍然成立的命題的所有序號是___________.
【例6】已知，則___________.
【對點實戰】
1.若，則（ ）
A． B． C． D．
2.已知復數，滿足，且復數在復平面內位于第一象限，則（ ）
A． B． C． D．
3.若，且，則___________.
五、i的運算性質
i的周期性要記熟，
1.
2.in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)；
【典型例題】
【例1】已知復數，則z的共軛復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2】已知是虛數單位，則復數對應的點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例3】i為虛數單位，
A．0 B．2i C．-2i D．4i
【例4】設復數z滿足=i2 017,則|1+z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【例5】已知i為虛數單位，復數z滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．復數z的模為 B．復數z的共軛復數為
C．復數z的虛部為 D．復數z在復平面內對應的點在第一象限
【對點實戰】
1.已知復數滿足，則復數的共軛復數（ ）
A． B． C． D．
2.復數滿足，則的虛部是（ ）
A． B． C． D．
3.若，則（ ）
A．8 B． C．2 D．
4.已知復數（為虛數單位），，若，則（ ）
A． B． C． D．
六、1+i的運算
以下公式可以適當選擇記憶。
1.
2.。
3.＝i
4.
【典型例題】
【例1】復數(為虛數單位)，則其共軛復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知復數z滿足=1+i,則在復平面內,復數z對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【例3】設復數，其中是虛數單位，則的虛部是______．
【例4】為的共軛復數，如果，那么______．
【例5】計算：______________.
【例6】（ ）
A．0 B．2 C． D．
【對點實戰】
1.如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.
2.表示虛數單位，則______.
3.（ ）
A． B． C． D．
4.若復數則（ ）
A． B． C．1 D．
5.已知復數，則（ ）
A． B． C． D．
七、特殊數據計算
設,則
1.
2.
3.
【典型例題】
【例1】設，若，則可以取（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【例2】已知復數，是z的共軛復數，則=
A． B． C．1 D．2
【例3】若非零復數滿足，則的值是___________.
【例4】計算：___________.
【例5】設，若，則__________．
【例6】已知復數,滿足(a,b為實數),則 　 .
【例7】設復數，其中為虛數單位，則（ ）
A．0 B．1 C． D．
【例8】若關于的方程（是實數）有兩個不等復數根和，其中（是虛數單位），下面四個選項正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【對點實戰】
1.已知是一個負實數，則正整數可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.已知為虛數單位，以下關于復數的四個命題中說法正確的是（ ）
A．
B．若復數滿足，則
C．若是方程的虛數根，則
D．若，則復平面內對應的點位于第一象限
3.設，，則_________.
4.計算_______.
5.設，若，則__________．
6.已知滿足等式．
（1）計算；；；
（2）求證：對任意復數，有恒等式；
（3）計算：，．
八、復數乘、除法運算與最值
【典型例題】
【例1】設復數，滿足，，則的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【例2】已知復數，滿足，，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例3】復數（為虛數單位），若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例4】滿足+=2n的最小自然數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例5】已知復數是方程的一個解.
（1）求、的值；
（2）若復數滿足，求的最小值.
【例6】設、，若，則的最大值為______.
九、復數乘除運算綜合應用
【典型例題】
【例1】若，，則實數，應滿足的條件為________.
【例2】若復數，則復數（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知，則實數a，b的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．無法確定
【例4】復數為虛數單位在復平面內對應的點在第一象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例5】若復數是一個純虛數，則的一個可能的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【例6】設、、.下列命題中，假命題的個數為（ ）
①；
②若，則；
③
④若，則；
⑤.
A．1 B．2
C．3 D．4
【例7】已知向量，在復平面坐標系中，i為虛數單位，復數對應的點為．
（1）求﹔
（2）為曲線為的共扼復數)上的動點，求與之間的最小距離；
（3）若，求在上的投影向量．
【例8】已知復數滿足且___________
從下列三個條件中選擇其中之一填在以上橫線上，①；②；③為純虛數.并完成下列問題：
（1）求復數z；
（2）若復數z的虛部小于0，且(表示復數z的共扼復數)，求m的取值范圍.
十、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】設，其中為虛數單位，.設，則的實部為___________.
全國高中數學聯賽模擬試題（十九）
【例2】設復數 滿足，則___________.
全國高中數學聯賽模擬試題（一）
7.2.2復數乘、除運算
本節課知識點目錄：
復數乘法運算的代數形式
復數除法運算的代數形式。
復數范圍內解方程。
乘法、除法與求模的運算
i的運算性質
1+i的運算
特殊復數的計算
復數乘除法運算與最值
復數乘除運算綜合應用
聯賽聯考題選
一、復數乘法運算的代數形式
1.復數的乘法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．復數乘法的運算律
對任意復數z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1z2＝z2z1
結合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法對加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
【典型例題】
【例1】是虛數單位，復數為純虛數，則實數為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】先利用復數的乘法化簡，再利用純虛數的定義列出等式，即得解
【詳解】由題意，
若為純虛數，則
故選：B
【例2】為虛數單位，設復數，在復平面內對應的點關于原點對稱，若，則__________．
【答案】
【分析】直接利用復數對應的幾何意義，即可得到復數，然后利用復數乘法運算求解即可．
【詳解】解：設復數，在復平面內對應的點關于原點對稱，復數，的實部相反，虛部相反，
，所以．.故答案為：．
【例3】若復數z的共軛復數是，且z+=6，z·=10，則z=（ ）
A．1±3i B．3±i
C．3+i D．3-i
【答案】B
【分析】由共軛復數的概念與復數的四則運算求解即可
【詳解】設z=a+bi(a，b∈R)，則=a-bi，因為z+=6，z·=10，所以
解得即z=3±i.故選：B
【例4】已知，其中為虛數單位，若復數的實部為正數，則________．
【答案】
【分析】設，利用復數的平方及復數相等求解即可.
【詳解】設,則，
所以，解得，，
故答案為：
【例5】復數在復平面內所對應的點在第二象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據復數對應點在第二象限列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.
【詳解】，其對應的點在第二象限，
所以.
故選：B
【例6】若，其中，是虛數單位，，則___________.
【答案】10
【分析】先由求出的值，從而可得，進而可求出復數的模
【詳解】解：由，得，，所以，
所以 ，
所以，
故答案為：10
【對點實戰】
1.在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用復數的乘法、乘方運算法則，可化簡原式為，在復平面內對應的點為，即得解
【詳解】由題意，
在復平面內對應的點為，在第四象限故選：D
2.已知，若為純虛數（為虛數單位），則的值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據復數的乘法化簡計算，然后再根據純虛數的概念求解出的值.
【詳解】因為，且為純虛數，
所以，所以，
故選：B.
3.已知復數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用復數運算求得，進而求得.
【詳解】由得，
即.
故選：A
4.設復數，，若為實數，則為__.
【答案】
【分析】利用復數乘法運算求得，由實數定義構造方程可得結果.
【詳解】，，解得：.
故答案為：.
5.已知復數z1=2+i，z2=1-i，則復數z1·z2的虛部是_______________
【答案】-1
【詳解】,故虛部為－1
二、復數除法運算的代數形式
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意兩個復數，
則＝＝＝＋i.
復數的除法的實質是分母實數化．若分母為a＋bi型，則分子、分母同乘a－bi；若分母為a－bi型，則分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的共軛復數．
【典型例題】
【例1】已知復數，則下列說法正確的是（　　）
A．z的虛部為4i B．z的共軛復數為1﹣4i
C．|z|＝5 D．z在復平面內對應的點在第二象限
【答案】B
【分析】根據復數的乘法除法運算化簡，再由共軛復數的概念求解.
【詳解】∵，
∴ z的虛部為4, z的共軛復數為1﹣4i，|z|，z在復平面內對應的點在第一象限.
故選：B
【例2】已知為虛數單位，復數，則的共軛復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用復數的除法運算化簡，求出即可得在復平面內對應的點的坐標以及所在的象限.
【詳解】，
，所以在復平面內對應的點坐標為，
所以在復平面內對應的點位于第一象限，
故選：A.
【例3】若復數z滿足，則在復平面內z對應的點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據復數的除法運算求出，即可得出對應點的坐標.
【詳解】,
,
所以復平面內z對應的點的坐標為，
故選：C
【例4】若為純虛數，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
先化簡復數，再利用純虛數的定義求解.
【詳解】由題得，
因為為純虛數，則，所以.故選：C
【點睛】
結論點睛：復數則且，不要漏掉了.
【例5】已知復數與在復平面內對應的點關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用復數的除法運算法則化簡復數，求出其在復平面內對應的點，再求出該點關于直線對稱的點，得到復數，最后利用復數的乘法運算法則即可求得．
【詳解】因為，所以復數在復平面內對應的點為，
其關于直線對稱的點為，所以，
所以，
故選：C．
【例6】已知復數滿足，則（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】設，根據，求得參數，即可得出答案.
【詳解】解：設，
則，即，即，
所以，解得，所以.故選：B.
【對點實戰】
1.已知復數，其中a，，i是虛數單位，則（ ）
A．-5 B．-1 C．1 D．5
【答案】B
【分析】把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件列式求得a與b的值，則答案可求．
【詳解】由，得，
∴，即，，
∴．
故選：B
2.已知復數滿足，則對應的點位于復平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先求出，再判斷對應的點的位置.
【詳解】因為，所以，
所以對應的點位于復平面的第三象限.
故選：C
3.已知復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用復數的四則運算法則，化簡得到復數，進而求得復數的模.
【詳解】因為，
所以.故選：D.
4.若是純虛數（其中為虛數單位），則實數等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】設，化簡后利用復數相等列方程求解即可.
【詳解】設，所以，
所以，解得，故選：B．
5.已知復數滿足 (為虛數單位），則復數
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，所以 ，選B.
6.若是純虛數，滿足，則復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】化簡求出a再求解即可
【詳解】是純虛數，故 此時
，所以，即，所以復數在復平面內對應的點為位于第四象限.
故選：D
7.已知復數 ，，復數z滿足，則_____________．
【答案】
【分析】根據復數的四則運算公式，求得，再結合復數的模的計算公式，即可求解.
【詳解】由題意，復數 ，，
則，
所以，所以.
故答案為：.
三、復數范圍內解方程
在復數范圍內，實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①當Δ≥0時，x＝.
②當Δ<0時，x＝.
(2)利用復數相等的定義求解
設方程的根為x＝m＋ni(m，n∈R)，將此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化簡后利用復數相等的定義求解．
【典型例題】
【例1】已知復數（i為虛數單位）是關于x的方程（p，q為實數）的一個根，則的值為（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】根據實系數一元二次方程的根與系數的關系，求出p,q即可求解.
【詳解】因為復數（i為虛數單位）是關于x的方程（p，q為實數）的一個根，
所以也是方程的一個根，故，即，所以，故選：C
【例2】若關于x的實系數一元二次方程的兩個根分別是和，則這個一元二次方程可以是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設方程為，根據韋達定理分別將用表示，即可得出答案.
【詳解】解：設方程為，則，所以，
，所以，則方程為，
故只有B選項符合題意.故選：B.
【例3】方程在復數集內解的個數為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，再根據復數的運算及復數的模，解方程.
【詳解】令，則，
得
當時，，或；
當時，，或（舍）.
綜上共有6個解：，，，
故選；C.
【例4】已知方程的兩個根在復平面上對應的兩點之間的距離為，則__________．
【答案】或
【分析】設方程的兩根分別為，，用表示出，利用韋達定理求得或，分情況結合兩個根在復平面上對應的兩點之間的距離為，求得的值.
【詳解】解：方程的兩個根在復平面上對應的兩點之間的距離為，
設方程的兩根分別為，，則，得，，則，
則，
則或當時，，，
設在復平面上對應的點為，則，設在復平面上對應的點為，則，
則，得，則，
當時，，，，
此時，即，即，
∴，故答案為：或.
【例5】已知復數滿足方程：，則______．
【答案】3
【分析】由題知和是的一對共軛虛根，由韋達定理可得結果.
【詳解】依題意可知和是一元二次方程的一對共軛虛根，
由韋達定理和復數的性質得，所以.
故答案為：3.
【例6】設復數滿足，且使得關于的方程有實根，則這樣的復數的和為______.
【答案】
首先設 (，且)，代入方程，化簡為，再分和兩種情況求驗證是否成立.
【詳解】設，(，且)
則原方程變為.
所以，①且，②；
（1）若，則解得，當時①無實數解，舍去；
從而，此時或3，故滿足條件；
（2）若，由②知，或，顯然不滿足，故，代入①得，，
所以.
綜上滿足條件的所以復數的和為.
故答案為：
【例7】已知方程的兩個虛根為，且，則實數的值為（ ）
A． B． C．，2 D．
【答案】D
【分析】由題設知，令則，根據已知條件及根與系數關系列方程求m、n，進而求的值.
【詳解】由題設知：，若，則，
∵，
∴，即，又，
∴，故，
∵，
∴.
故選：D
【例8】已知復數是關于的方程的一個根，則 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
【答案】C
【分析】將代入原方程，然后根據復數相等求解出的值，則可求.
【詳解】因為復數是關于的方程的一個根，
所以，所以，
所以，所以，
則，
故選：C.
【對點實戰】
1.已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一個根，則z等于(　　)
A．1±2i B．－1±2i C．1＋2i或－1－2i D．2＋i或－2－i
【答案】C
【分析】由題意，根據方程，求得的值，得到復數，即可得到答案.
【詳解】由題意得，
∵，
∴，解得或，
∴z＝1＋2i或z＝－1－2i.故選C.
2.已知方程在復數集范圍內的一個虛根為，則實數______．
【答案】5
【分析】由題得方程的另外一個虛根為，再利用韋達定理得解.
【詳解】由題得方程的另外一個虛根為，
所以.
故答案為：5
3.已知復數滿足（為虛數單位），．則一個以為根的實系數一元二次方程為__________________．
【答案】
【分析】根據條件可得，然后得到．由實系數一元二次方程的兩根，，即可得結果．
【詳解】解：∵復數滿足
∴，即∴，故．
若實系數一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根，
∵，，
∴所求的一個一元二次方程可以是．
故答案為：
4.方程的一個根為，其中為虛數單位，則實數的值為（ ）
A．-10 B．10 C．6 D．8
【答案】B
【分析】結合實系數的一元二次方程在復數范圍內的兩根的關系求出另外一根，進而結合韋達定理以及復數的乘法運算即可求出結果.
【詳解】因為方程的一個根為，
故方程的一個根為，
結合韋達定理可得，即，
故選：B.
5.已知復數 是方程的一個根，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】為方程的兩個根，由韋達定理可求得，由模長運算可得結果.
【詳解】是方程的一個根，是方程的另一個根，
，.
故選：B.
6.若x為復數，則方程x4=1的解是（ ）
A．l或 B．i或﹣i
C．1+i或1﹣i D．1或﹣1或i或﹣i
【答案】D
【分析】方程x4=1可化為方程x4﹣1=0.對方程的左邊直接運用平方差公式分解即可求得此方程的解.
【詳解】因為：x4﹣1=(x2+1)(x2﹣1)
=(x+i)(x﹣i)(x﹣1)(x+1).
所以x4﹣1=0即(x+i)(x﹣i)(x﹣1)(x+1)=0.
解得x=1，﹣1，i，﹣i.
即在復數集中，方程x4=1的解為1，﹣1，i，﹣i
故選：D
7.已知復數，是方程的兩根，則（ ）
A．的實部都是 B．在復平面內對應的點關于虛軸對稱
C． D．
【答案】C
【分析】求出方程的兩根，再由復數的概念以及復數的幾何意義以及復數的模、復數的乘法運算逐一判斷即可.
【詳解】方程的兩根為：
，
所以，，
所以的實部都是，故A錯誤；
在復平面上的點為，
在復平面上的點為，
在復平面內對應的點關于實軸對稱，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：C
8.已知關于的實系數一元二次方程在復數集中的兩個根是和，下列結論中恒成立的是（ ）
A．和互為共軛復數 B．
C． D．
【答案】B
【分析】當判別式大于零時，可否定；利用根與系數的關系可判定；根據判別式小于零時，方程的兩根可以為虛數，可否定；當判別式小于零時，取的特殊情況可否定.
【詳解】當判別式大于零時，兩個根和是不等實數，由于實數也是復數，滿足條件，但此時和不是互為共軛復數，故A錯誤；
根據韋達定理在復數范圍內也成立，可得B正確；
當和為虛數時，判別式小于零，故C錯誤；
當判別式小于零時，方程的兩根為虛數，且互為共軛，設,
,
,故D不成立，故選：B.
四、乘法、除法與求模的運算
復數模的運算法則
1.|z1·z2| = |z1|·|z2|
2.
3.
4.┃|z1|－|z2|┃≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|
【典型例題】
【例1】復數滿足i，則||的值是（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【答案】C
【分析】化簡已知得z=i ,即得解.
【詳解】解：方法一：由題意可知，=i，
所以i，，故選：C．
方法二：
【例2】若復數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
先求出，再求出得解.
【詳解】由題得，
所以.
故選：C
也可以模仿例1方法二求解，更簡單。
【例3】若復數滿足（為虛數單位），則=
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【詳解】試題分析：因為，所以因此
方法二：
【例4】在復平面內，若復數z對應的點為（1，1），則（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】首先由坐標確定復數z，并化簡，最后求出模長
【詳解】由已知復數z對應的點為（1，1），則,
因此,所以故選：B.
方法二：。
【例5】】復平面上點對應著復數以及向量，對于復數，下列命題都成立；①；②；③；④；⑤若非零復數，滿足，則.則對于非零向量仍然成立的命題的所有序號是___________.
【答案】①②③
【分析】①根據平面向量加法交換律判定；
②結合平面向量加法運算法則判定；
③由判定；
④結合平面向量數量積判定；
⑤結合平面向量數量積判定.
【詳解】解：①成立，故①正確；
②由平面向量加法運算法則可得，故②正確；
③成立，故③正確；
④，故④不成立，
⑤若非零向量，滿足，
則，則，
所以不一定成立，故⑤不成立.
故答案為：①②③
【例6】已知，則___________.
【答案】
【分析】由，結合已知可得，再由即可求.
【詳解】，
∵，，∴，
而，
∴，即.故答案為：
【對點實戰】
1.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題首先根據共軛復數的性質得出，然后通過復數的運算法則得出，最后通過復數的模的求法即可得出結果.
【詳解】因為，所以，
則，
，
故選：D.
2.已知復數，滿足，且復數在復平面內位于第一象限，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，利用復數的乘方運算以及復數的幾何意義即可求解.
【詳解】設，
則，
則，所以，
，，所以，
則有，解得，
又復數在復平面內位于第一象限，所以，
代入可得．故選：C
3.若，且，則___________.
【答案】400
【分析】根據轉化，可求得，同理轉化即可求值.
【詳解】，又，
∴，而，
∴，則.
故答案為：
五、i的運算性質
i的周期性要記熟，
1.
2.in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)；
【典型例題】
【例1】已知復數，則z的共軛復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據復數的運算，求得復數，再利用復數的表示，即可得到復數對應的點，得到答案．
【詳解】復數，
則
所以復數在復平面內對應的點的坐標為，位于復平面內的第一象限.
故選：A
【例2】已知是虛數單位，則復數對應的點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先化簡，再利用復數的除法化簡得解.
【詳解】.
所以復數對應的點在第四象限，
故選：D
【例3】i為虛數單位，
A．0 B．2i C．-2i D．4i
【答案】A
【詳解】此題考查復數的運算
答案 A
點評：注意
【例4】設復數z滿足=i2 017,則|1+z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根據復數的乘方及復數的除法求得復數，即可得z+1，從而可得答案.
【詳解】解：因為=i2 017=i，所以z=，
所以z+1=，故|z+1|=.故選：C.
【例5】已知i為虛數單位，復數z滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．復數z的模為 B．復數z的共軛復數為
C．復數z的虛部為 D．復數z在復平面內對應的點在第一象限
【答案】D
【分析】利用復數的乘方和除法運算化簡得到復數z，再逐項判斷.
【詳解】因為，所以，
A.復數z的模為，故錯誤；
B.復數z的共軛復數為，故錯誤；
C.復數z的虛部為，故錯誤；
D.復數z在復平面內對應的點為，所以在第一象限，故正確；
故選：D
【對點實戰】
1.已知復數滿足，則復數的共軛復數（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的乘方運算和復數的除法運算求得，再由共軛復數的概念可得選項.
【詳解】解：因為 ，所以，
故，
故選：D
2.復數滿足，則的虛部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通過計算出，從而得到，根據虛部的概念即可得結果.
【詳解】∵，∴，
∴，即的虛部是，故選A.
3.若，則（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】首先得到，再求模長即可.
【詳解】，.
故選：B
4.已知復數（為虛數單位），，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得，由復數的模長公式可得關于的方程，解出即可.
【詳解】由，則，則，
故選：C.
六、1+i的運算
以下公式可以適當選擇記憶。
1.
2.。
3.＝i
4.
【典型例題】
【例1】復數(為虛數單位)，則其共軛復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據復數的乘法及除法運算求出，得到，即可求解.
【詳解】∵,∴∴的虛部為故選：A
【例2】已知復數z滿足=1+i,則在復平面內,復數z對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用復數的除法運算，可得z=2-i，則 z的對應點為(2,-1)，即得解
【詳解】∵=1+i,∴z-2==-i,∴z=2-i,∴z的對應點為(2,-1)故選：D.
【例3】設復數，其中是虛數單位，則的虛部是______．
【答案】
【分析】先求出，根據，最后算出答案.
【詳解】∵，∴，
∴的虛部是．故答案為：．
【例4】為的共軛復數，如果，那么______．
【答案】
【分析】化簡復數Z，并求得共軛復數，從而根據復數指數運算法則求得結果.
【詳解】由知，，
則
故答案為：
【例5】計算：______________.
【答案】
先利用復數的運算法則將和化簡，然后計算出及的值，然后得出的值．
【詳解】．
故答案為：．
【例6】（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先化簡括號中的，然后再求乘方即可
【詳解】
，故選：C
【對點實戰】
1.如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.
【答案】
【分析】先求出復數，計算出后可求的值.
【詳解】因為，故，所以，
故，故，
故答案為：.
2.表示虛數單位，則______.
【答案】1
【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再利用復數的乘法計算可得．
【詳解】解：
且，，，，……
故答案為：
3.（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化簡結合的周期性即可求解.
【詳解】,
所以，
故選：A.
4.若復數則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根據復數代數形式的乘除法運算和虛數單位的運算性質化簡可得選項.
【詳解】因為，所以，
故選：A.
5.已知復數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】計算出即可.
【詳解】
所以故選：C
七、特殊數據計算
設,則
1.
2.
3.
【典型例題】
【例1】設，若，則可以取（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】由，可得，從而可得，，再結合選項驗證即可.
【詳解】因為，所以，
，，
，不合題意；
，不合題意；
，符合題意；
，不合題意；
故選：C.
【例2】已知復數，是z的共軛復數，則=
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用復數除法化簡，再求出共軛復數，進而可得結果.
【詳解】
，
，，
故答案為：A.
方法二：構造：
【例3】若非零復數滿足，則的值是___________.
【答案】
【分析】由題設有、易得 ，同理，，而，，由此可知，即可求值.
【詳解】由題設有：，解得，且，
∴，即，同理有，，
，，又，
∴，，
∴，
故答案為：.
【例4】計算：___________.
【答案】
【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，找出周期性的規律，即可求解.
【詳解】∵，,
,,
.故答案為：.
【例5】設，若，則__________．
【答案】-2
【分析】求出，算出，再利用復數的乘法和乘方的運算律計算即可.
【詳解】，故又
故故
故答案為：-2
【例6】已知復數,滿足(a,b為實數),則 　 .
【答案】2
【分析】利用兩個復數代數形式的乘法，虛數單位i的冪運算性質，化簡等式，再利用兩個復數相等的充要條件可得，，求得a+b的值．
【詳解】解：∵復數（為虛單位），滿足az2+bz+1＝0（a，b為實數），
∴a（）+b（）+1＝0，∴，
∴，，∴a+b＝2，故答案為 2．
【例7】設復數，其中為虛數單位，則（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用復數的運算法則，直接計算即可.
【詳解】因為，
所以ω2，ω3＝（）（）＝1，
則1+ω+ω2+ω3＝11＝1.
故選：B.
【例8】若關于的方程（是實數）有兩個不等復數根和，其中（是虛數單位），下面四個選項正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】首先設，利用韋達定理，即可求得，再根據復數的運算，分別判斷選項.
【詳解】由題可知，，，令，
又條件可知，，
所以，所以，即，
，
所以，所以，所以，
所以，故A正確；
，故B正確；
，所以，故C錯誤；
，故D正確.
故選：ABD
【對點實戰】
1.已知是一個負實數，則正整數可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】計算是復數，是負實數，即可找到n可取得值.
【詳解】
是一個負實數
所以若是一個負實數，則正整數可以是3的奇數倍
故選：A
2.已知為虛數單位，以下關于復數的四個命題中說法正確的是（ ）
A．
B．若復數滿足，則
C．若是方程的虛數根，則
D．若，則復平面內對應的點位于第一象限
【答案】AC
【分析】根據復數的運算和復數的幾何意義，逐項判斷各選項的對錯.
【詳解】，A對，
取，則，B錯，
∵ 是方程的虛根，
∴ ，
當時，，
當時，，C對，
由可得，所以，
復平面內的對應點為，該點在第四象限，D錯，
故選：AC.
3.設，，則_________.
【答案】
【分析】根據，求得，，然后利用立方和公式和復數的乘方運算求解.
【詳解】因為，
所以，
，
原式.
故答案為：
4.計算_______.
【答案】-511
利用復數的運算公式，化簡求值.
【詳解】原式.
故答案為：
【點睛】
思路點睛：本題考查復數的次冪的運算，注意，，
以及，等公式化簡求值.
5.設，若，則__________．
【答案】-2
【分析】求出，算出，再利用復數的乘法和乘方的運算律計算即可.
【詳解】
，故
又
故
故
故答案為：-2
6.已知滿足等式．
（1）計算；；；
（2）求證：對任意復數，有恒等式；
（3）計算：，．
【答案】（1）；0；4；（2）證明見解析；（3）．
【分析】（1）根據，利用復數的乘方逐個求解；
（2）利用多項式公式展開，再根據求解判斷；
（3）根據，分當， ，求解.
【詳解】（1）因為，
所以；
；
；
（2），
，
，
，成立；
（3）當時，；
當時，，
當時，，
綜上：
八、復數乘、除法運算與最值
【典型例題】
【例1】設復數，滿足，，則的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】設，，其中a，b，c，d都是實數，由復數的運算建立方程組，求解得，從而可得選項.
【詳解】解：設，，其中a，b，c，d都是實數，
所以①，②.
又，所以，
所以③，④.
由①+②-③×2，得，所以，.
所以，由①知，故.
故選：B.
【例2】已知復數，滿足，，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
先求得，設出，然后根據幾何意義求得的最大值.
【詳解】由，令，，，由
，，
對應點在單位圓上，所以表示的是單位圓上的點和點的距離，
到圓心的距離為，單位圓的半徑為，
所以.故選：D
【例3】復數（為虛數單位），若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根據復數代數形式的除法化簡復數，設，根據復數模的計算公式得到，則可以看成圓上的點到原點的距離，從而求出距離最大值；
【詳解】解：，設，因為，
所以，所以，即表示上的點，可以看成圓上的點到原點的距離，因為圓心到坐標原點的距離為，所以
故選：D
【例4】滿足+=2n的最小自然數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由復數的乘方與除法則化簡后然后代入值驗證．
【詳解】因為，，
所以
，
時，原式＝，
時，原式＝，
時，原式＝，滿足題意．
故選：C．
【例5】已知復數是方程的一個解.
（1）求、的值；
（2）若復數滿足，求的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）將代入方程，利用復數的四則運算結合復數相等可得出關于、的方程，結合可求得、的值；
（2）設，根據復數的模長公式結合已知條件可得出，再利用復數的模長公式結合二次函數的基本性質可求得的最小值.
【詳解】（1）依題意得，，即，
所以，解得，；
（2）由（1）可得，設，
則，，
因為，所以，整理得.
，
故當時，取得最小值.
【例6】設、，若，則的最大值為______.
【答案】2
【分析】根據已知條件，結合不等式，即可求解．
【詳解】解：，
．
故答案為：2．
九、復數乘除運算綜合應用
【典型例題】
【例1】若，，則實數，應滿足的條件為________.
【答案】或
【分析】根據復數的運算得出，再由復數是實數的條件得出實數，應滿足的條件.
【詳解】
因為，故有,所以或，
即或是a，b應滿足的條件.
故答案為：或.
【例2】若復數，則復數（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用復數的運算法則、模的計算公式即可得出結果.
【詳解】由得，
，
，故選：A
【例3】已知，則實數a，b的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．無法確定
【答案】B
【分析】首先化簡，再根據復數相等，求實數的值.
【詳解】
，
所以，解得：，所以.
故選：B
【例4】復數為虛數單位在復平面內對應的點在第一象限，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部與虛部均大于0，列不等式組求解即可.
【詳解】
在復平面內對應的點在第一象限，
，解得.
∴實數a的取值范圍是.
故選：D
【例5】若復數是一個純虛數，則的一個可能的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】先計算得，進而可判斷，從而得解.
【詳解】因為，
，
所以
，
故選：A.
【例6】設、、.下列命題中，假命題的個數為（ ）
①；
②若，則；
③
④若，則；
⑤.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】對于①，設 ,則，根據復數模的運算即可判斷①正確;對于②，根據復數的性質：即可判斷出②正確；對于③，根據復數模的性質，復數積商的模等于復數模的積商即可判斷出③正確；對于④，舉反例令，即可判斷出④不正確；對于⑤，舉反例令，即可判斷出⑤不正確；
【詳解】對于①，設 ,則
因為 , 所以， 所以①正確;
對于②，根據復數的性質：，則，所以②正確；
對于③，根據復數模的性質，復數積商的模等于復數模的積商，，所以③正確；
對于④，令，則有，但不成立，所以④不正確；
對于⑤，令，顯然不成立，所以⑤不正確；
則假命題的個數為2個，
故選：B.
【例7】已知向量，在復平面坐標系中，i為虛數單位，復數對應的點為．
（1）求﹔
（2）為曲線為的共扼復數)上的動點，求與之間的最小距離；
（3）若，求在上的投影向量．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根據數量積公式，化簡計算，可得m，根據復數的除法運算，可得，代入求模公式，即可得答案.
（2）由（1）可得，代入可得曲線可得，根據其幾何意義，可得曲線是復平面內以圓心，半徑為的圓，根據點與圓的位置關系，即可得答案.
（3）當，可得，坐標，代入求夾角公式，可得，的夾角，又可得與方向相同的單位向量，即可得答案.
【詳解】（1）
所以．
所以．所以
（2）由（1）可得，，曲線，即，
因此曲線是復平面內以圓心，半徑為的圓，
故與之間的距離為
所以與之間的最小距離為．
（3）因為，所以
此時與的夾角余弦為
與方向相同的單位向量為
所以在上的投影向量
【例8】已知復數滿足且___________
從下列三個條件中選擇其中之一填在以上橫線上，①；②；③為純虛數.并完成下列問題：
（1）求復數z；
（2）若復數z的虛部小于0，且(表示復數z的共扼復數)，求m的取值范圍.
【答案】(1) 或；(2) 或.
【分析】(1)設出復數，根據復數的運算法則對式子進行化簡，然后利用復數相等和純虛數的概念來求的值；
(2)把由(1)得的復數代入，根據復數的運算法則及復數的模的公式進行計算.
【詳解】(1)若選①：設，則，即———①
因為，
所以————②
①②聯立解，得 或，所以或.
若選②：設，則，即———③
因為，
所以， ————④
③④聯立解，得 或，所以或.
若選②：設，則，即———⑤
因為為純虛數，
所以所以，且 ————⑥
⑤⑥聯立解，得 或，所以或.
(2) 因為復數z的虛部小于0，所有，
因為，所有，即，
所有或.
十、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】設，其中為虛數單位，.設，則的實部為___________.
全國高中數學聯賽模擬試題（十九）
【答案】
【詳解】，故，
故，故，從而實部為.
故答案為：.
【例2】設復數 滿足，則___________.
全國高中數學聯賽模擬試題（一）
【答案】2
【詳解】解析：.
故答案為：2.

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