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7.3 復(fù)數(shù)的三角表示式及運(yùn)算
本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)目錄：
復(fù)數(shù)的代數(shù)式化三角表示式；
復(fù)數(shù)的三角表示式化代數(shù)形式。
復(fù)數(shù)乘法的三角形式運(yùn)算
復(fù)數(shù)除法的三角形式
復(fù)數(shù)的輻角
復(fù)數(shù)的輻角主值
探究與發(fā)現(xiàn)：地墨菲定理
復(fù)數(shù)三角形式的綜合應(yīng)用
聯(lián)考與聯(lián)賽題選
一、復(fù)數(shù)的代數(shù)式化三角表示式
復(fù)數(shù)的三角式：z=r（cosθ+isinθ）
特征：
(1).r≥0；
(2).相同角θ，θ為輻角但不一定是輻角主值；
(3).cosθ與isinθ之間用“＋”號(hào)連接．
【典型例題】
【例1】將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【例2】把下列復(fù)數(shù)化為三角形式：-3，．
【例3】把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式，并畫出與它們對(duì)應(yīng)的向量．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)2
(6)
(7)2i
(8)
【例4】利用，，把復(fù)數(shù)表示成三角形式．
【例5】下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【例6】下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.
（1）；
（2）.
【例7】復(fù)數(shù)的三角形式為（ ）
A． B．
C． D．
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式；
(1)
(2)
(3)
(4)13
2.把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式：
（1）﹣2(cosπ+isin)；
（2）sinicos；
（3）(sin5) (cosisin).
3.將下列復(fù)數(shù)代數(shù)式化為三角式：
（1）；
（2）.
4.復(fù)數(shù)的三角形式為（ ）
A． B．
C． D．
二、復(fù)數(shù)的三角形式化代數(shù)形式
【典型例題】
【例1】分別指出下列復(fù)數(shù)的模和輻角的主值，并將復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式．
（1）4；
（2）2
【例2】把下列復(fù)數(shù)的三角形式化成代數(shù)形式.
（1）；
（2）.
【例3】將復(fù)數(shù)化成代數(shù)形式，正確的是（ ）
A．4 B．-4 C． D．
【例4】．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是_____________.
【例5】將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式為_(kāi)__________
【例6】將復(fù)數(shù)z=3化成代數(shù)形式為_(kāi)____;|z|=_____.
三、復(fù)數(shù)乘法的三角形式
復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的幾何意義:
復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量為，，把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ2(如果θ2<0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的r2倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.
【典型例題】
【例1】______________.
【例2】如圖，向量與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)，把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，得到．求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）．
【例3】將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，求所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．
【例4】求證：
(1)
(2)
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，求與所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）．
2.計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3.已知z1=，z2=6cos+isin，計(jì)算z1z2，并說(shuō)明其幾何意義.
四、復(fù)數(shù)除法的三角形式
復(fù)數(shù)除法運(yùn)算三角表示的幾何意義:
復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量為，，把向量繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ2，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是商.
【典型例題】
【例1】______.
【例2】_______________.
【例3】_______________.
【例4】復(fù)數(shù)z的輻角，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．
【例5】若，且為負(fù)實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)__________．
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.化簡(jiǎn)：
(1)
(2)
2.計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)
3.求證:.
五、復(fù)數(shù)的輻角
輻角θ是指以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，顯然輻角有無(wú)數(shù)個(gè)．而輻角主值是指在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角，因而一個(gè)復(fù)數(shù)的輻角主值只有一個(gè)．θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
【典型例題】
【例1】求復(fù)數(shù)的模與輻角．
【例2】復(fù)數(shù)的一個(gè)幅角為（ ）
A． B． C． D．
【例3】“復(fù)數(shù)的模與輻角分別相等”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例4】若復(fù)數(shù)的輻角為，的輻角為，則______．
【例5】把復(fù)數(shù)3－i對(duì)應(yīng)向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π，所得向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為（ ）
A．2 B．－2i
C．－3－i D．3－i
【例6】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量為，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)角后得到向量，向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若，則自然數(shù)的最小數(shù)值為_(kāi)__________
【例7】已知復(fù)數(shù)的輻角為，的輻角為，則復(fù)數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
六、輻角的主值
規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作arg z，即0≤arg z<2π.
【典型例題】
【例1】任意復(fù)數(shù)（、，為虛數(shù)單位）都可以寫成的形式，其中該形式為復(fù)數(shù)的三角形式，其中稱為復(fù)數(shù)的輻角主值.若復(fù)數(shù)，則的輻角主值為（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知復(fù)數(shù)則（ ）
A． B． C． D．
【例3】．求下列復(fù)數(shù)的模與輻角主值：
(1)
(2)
(3)
(4)
【例4】已知
（1）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求此最大值；
（2）若，求（用表示）.注：是輻角主值.
【例5】求復(fù)數(shù)的模與輻角主值.
【例6】已知復(fù)數(shù)和的輻角主值分別為、，則等于（ ）
A． B． C． D．1
【例7】設(shè)復(fù)數(shù)z的輻角是，實(shí)部是－2，則z＝________．
【例8】設(shè)z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i則argz1＋argz2＋argz3＝（ ）
A． B．
C． D．
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.畫出下列復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量，并用三角形式表示(輻角取主值)：
（1）4；
（2）﹣2i；
（3）﹣2+2i；
（4）.
2.已知復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的輻角主值.
3.復(fù)數(shù)的輻角主值為
A． B． C． D．
4.當(dāng)實(shí)數(shù)m＝________時(shí)，復(fù)數(shù)(m2－m－2)＋(2m2－3m－2)i的輻角主值是π．
5.已知復(fù)數(shù)滿足，且，則的三角形式為_(kāi)_________．
6.復(fù)數(shù)的輻角主值為_(kāi)_________．
7.如果非零復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為，那么該復(fù)數(shù)的（ ）
A．輻角唯一 B．輻角主值唯一
C．輻角主值為 D．輻角主值為
七、探究與發(fā)現(xiàn)：棣莫弗定理
棣莫佛定理：復(fù)數(shù)的n(n∈N*)次冪的模等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的n次冪，它的輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的n倍．即[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)
【典型例題】
【例1】棣莫弗定理：若兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則，已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知：棣莫弗公式（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【例3】已知復(fù)數(shù)滿足且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【例4】，則__________.
【例5】已知復(fù)數(shù)，若（，且），則的最小值為_(kāi)_________．
【例6】復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，那么的值等于________.
【例7】設(shè)是正整數(shù)，分別記方程、的非零復(fù)數(shù)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的集合為與．若存在，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，則的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
÷()=_____.
2.復(fù)數(shù)經(jīng)過(guò)次乘方后，所得的冪等于它的共軛復(fù)數(shù)，求的值．
在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，驗(yàn)證，，1，2，…，為方程的n個(gè)根，并給出幾何解釋．
八、復(fù)數(shù)三角形式的綜合應(yīng)用
【典型例題】
【例1】利用復(fù)數(shù)證明余弦定理．
【例2】在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，且的輻角主值分別為，模長(zhǎng)均為1.若的重心對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，求.
【例3】已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是__________.
【例5】設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則__________．
【例6】已知，，其中，且，，求的值．
【例7】已知，且，若．
（1）求復(fù)數(shù)的三角形式，并且復(fù)數(shù)的輻角主值；
（2）求．
【例8】如圖，若與分別表示復(fù)數(shù)Z1=1+2i，Z2=7+i，求，并判斷的形狀.
【例9】已知是實(shí)數(shù)，是非零復(fù)數(shù)，且滿足，.
（1）求；
（2）設(shè)，若，求的值.
九、聯(lián)賽、聯(lián)考與自主招生題選
【例1】對(duì)任意三個(gè)模長(zhǎng)小于1的復(fù)數(shù)，，，均有恒成立，則實(shí)數(shù)的最小可能值是______．
上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題
【例2】已知復(fù)數(shù)列，，…，，…滿足，，，，n=1,2,...則在圓的內(nèi)部所含有的的個(gè)數(shù)是______________．
全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)初賽試題
【例3】復(fù)數(shù)，滿足，，則______.
2021年浙江省數(shù)學(xué)夏令營(yíng)測(cè)試題
7.3 復(fù)數(shù)的三角表示式及運(yùn)算
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復(fù)數(shù)的代數(shù)式化三角表示式；
復(fù)數(shù)的三角表示式化代數(shù)形式。
復(fù)數(shù)乘法的三角形式運(yùn)算
復(fù)數(shù)除法的三角形式
復(fù)數(shù)的輻角
復(fù)數(shù)的輻角主值
探究與發(fā)現(xiàn)：地墨菲定理
復(fù)數(shù)三角形式的綜合應(yīng)用
聯(lián)考與聯(lián)賽題選
一、復(fù)數(shù)的代數(shù)式化三角表示式
復(fù)數(shù)的三角式：z=r（cosθ+isinθ）
特征：
(1).r≥0；
(2).相同角θ，θ為輻角但不一定是輻角主值；
(3).cosθ與isinθ之間用“＋”號(hào)連接．
【典型例題】
【例1】將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】求出各復(fù)數(shù)的模和輻角，化簡(jiǎn)成的形式即可得解.
(1)
(2)
(3)
(4).
【例2】把下列復(fù)數(shù)化為三角形式：-3，．
【答案】；.
【分析】求出給定復(fù)數(shù)的模和幅角，再寫出其三角形式作答.
【詳解】
復(fù)數(shù)-3的模，又與-3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的負(fù)半軸上，則，
所以；
復(fù)數(shù)的模，又與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則，
所以.
【例3】把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式，并畫出與它們對(duì)應(yīng)的向量．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)2
(6)
(7)2i
(8)
【答案】答案見(jiàn)解析
【分析】將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的三角形式，再找到對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)，畫出向量得到答案.
(1)
，對(duì)應(yīng)向量為.
(2)
，對(duì)應(yīng)的向量為.
(3)
，對(duì)應(yīng)的向量為.
(4)
，其中，，對(duì)應(yīng)的向量為.
(5)
，對(duì)應(yīng)的向量為.
(6)
，對(duì)應(yīng)向量為.
(7)
，對(duì)應(yīng)向量為.
(8)
，對(duì)應(yīng)向量為.
【例4】利用，，把復(fù)數(shù)表示成三角形式．
【答案】，其中，幅角為
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，其中，為復(fù)數(shù)的模，為幅角，分析即得解
【詳解】
復(fù)數(shù)的三角形式為：
其中，為復(fù)數(shù)的模，為幅角
由于，
故
其中，幅角為
【例5】下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)不是三角形式，化為三角形式為；
(2)不是三角形式，化為三角形式為；
(3)不是三角形式，化為三角形式為；
(4)是三角形式.
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的三角形式求解即可.
(1)
不是三角形式，
，
其中，故三角形式為；
(2)
不是三角形式，
，
其中，故三角形式為；
(3)
不是三角形式，
，
，故三角形式為；
(4)
是三角形式.
【例6】下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）不是，（2）不是，.
（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義，結(jié)合題意，本題中模是負(fù)數(shù)，顯然不是三角形式，需要借助誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義，顯然不是復(fù)數(shù)，借助誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.
【詳解】
（1）不是.
（2）不是.
.
【例7】復(fù)數(shù)的三角形式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的三角形式的概念可以直接求解.
【詳解】
因?yàn)椋椊侵髦禐椋?br/>故選：C.
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式；
(1)
(2)
(3)
(4)13
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由公式求模長(zhǎng)，由角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)求輻角的主值即可求解；
（2）由公式求模長(zhǎng)，由角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)求輻角的主值即可求解；
（3）由公式求模長(zhǎng)，由角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)求輻角的主值即可求解；
（4）求模長(zhǎng)，輻角的主值即可求解；
(1)
因?yàn)椋允堑诙笙藿牵?br/>所以，所以
(2)
因?yàn)椋沂堑谒南笙藿牵?br/>所以，所以
(3)
且，所以.
(4)
，且，所以.
2.把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式：
（1）﹣2(cosπ+isin)；
（2）sinicos；
（3）(sin5) (cosisin).
【答案】（1）2(cosisin)；（2）cos()+isin()；（3）﹣sin5(cosisin).
【分析】求出所給復(fù)數(shù)的模及輻角主值，即可求得結(jié)果.
【詳解】
求出所給復(fù)數(shù)的模及輻角主值，即可求得結(jié)果.
解：（1）原式=2(﹣cosisin)=2(cosisin)；
（2）原式=cos()+isin()=cos()+isin()；
（3）原式=﹣sin5(﹣cosisin)=﹣sin5(cosisin).
3.將下列復(fù)數(shù)代數(shù)式化為三角式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）首先計(jì)算，再化簡(jiǎn)為，利用三角函數(shù)表示；（2）分和兩種情況表示復(fù)數(shù)的三角形式.
【詳解】
（1）
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
4.復(fù)數(shù)的三角形式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.
【詳解】
由誘導(dǎo)公式可知，
，
因此，.
故選：B.
二、復(fù)數(shù)的三角形式化代數(shù)形式
【典型例題】
【例1】分別指出下列復(fù)數(shù)的模和輻角的主值，并將復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式．
（1）4；
（2）2
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.
（1）復(fù)數(shù)4為復(fù)數(shù)的三角形式，再寫出其模和輻角的主值，然后再轉(zhuǎn)化為的形式；
（2）先把復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角形式，再寫出其模和輻角的主值，然后再轉(zhuǎn)化為的形式；
【詳解】
（1）復(fù)數(shù)4模r＝4，輻角的主值為θ＝.
.
（2），
復(fù)數(shù)的模為2，輻角的主值為θ＝，
.
【例2】把下列復(fù)數(shù)的三角形式化成代數(shù)形式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
（1）分別求出 再整理為 的形式.
（2）分別求出 再整理為 的形式.
【詳解】
（1）.
（2）.
【例3】將復(fù)數(shù)化成代數(shù)形式，正確的是（ ）
A．4 B．-4 C． D．
【答案】D
根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)即可.
【詳解】
故選：D.
【例4】．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是_____________.
【答案】
【詳解】
.故答案為：.
【例5】將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式為_(kāi)__________
【答案】
【分析】直接寫出三角函數(shù)值再化簡(jiǎn)即得解.
【詳解】
由題得.
故答案為：
【例6】將復(fù)數(shù)z=3化成代數(shù)形式為_(kāi)____;|z|=_____.
【答案】 3
【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值，即可得到答案；
【詳解】，
故答案為：
【例7】計(jì)算：．
【答案】##
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算性質(zhì)求解即可
【詳解】原式
故答案為：
三、復(fù)數(shù)乘法的三角形式
復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的幾何意義:
復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量為，，把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ2(如果θ2<0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的r2倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.
【典型例題】
【例1】______________.
【答案】
先將不是標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后再用乘法法則計(jì)算，即可求得.
【詳解】
.
故答案為：.
【例2】如圖，向量與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)，把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，得到．求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）．
【答案】
【分析】復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)用相應(yīng)的三角函數(shù)公式即可.
【詳解】
如上圖，將Z逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，即是向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)：
，
故答案為：.
【例3】將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，求所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．
【答案】
【分析】將復(fù)數(shù)乘以即可得出答案.
【詳解】解：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
將向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
所得復(fù)數(shù)為
.
【例4】求證：
(1)
(2)
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】將各因式化為三角形式，按照復(fù)數(shù)三角形的乘法法則，即可得證.
(1)
左邊
，
∴.
(2)
左邊
，
∴.
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，求與所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）．
【答案】
【分析】，根據(jù)向量旋轉(zhuǎn)結(jié)合復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算得到答案.
【詳解】，
對(duì)應(yīng)向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
2.計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的三角表示的運(yùn)算法則結(jié)合三角恒等變換計(jì)算得到答案.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
3.已知z1=，z2=6cos+isin，計(jì)算z1z2，并說(shuō)明其幾何意義.
【答案】3i，幾何意義見(jiàn)解析.
【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算，即可得到答案；
【詳解】解：.
首先作復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的向量，然后將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來(lái)的6倍，得到的向量即為z1z2所對(duì)應(yīng)向量.
四、復(fù)數(shù)除法的三角形式
復(fù)數(shù)除法運(yùn)算三角表示的幾何意義:
復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量為，，把向量繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ2，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是商.
【典型例題】
【例1】______.
【答案】
先將6轉(zhuǎn)化三角形式，再用復(fù)數(shù)的除法求解.
【詳解】
.
故答案為：.
【例2】_______________.
【答案】
將化為復(fù)數(shù)的三角形式，再利用除法法則，進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】
故答案為：.
【例3】_______________.
【答案】
先將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)，以及非標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)，都化為標(biāo)準(zhǔn)三角形式，再用除法法則計(jì)算.
【詳解】
=
故答案為： .
【例4】復(fù)數(shù)z的輻角，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．
【答案】一
【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算及除法運(yùn)算，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】解：設(shè)，，
則
，因?yàn)椋裕裕瑒t，
所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故答案為：一.
【例5】若，且為負(fù)實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)__________．
【答案】或或
【分析】根據(jù)，設(shè)，然后化簡(jiǎn)整理，得到，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求出，進(jìn)而可以求出復(fù)數(shù).
【詳解】因?yàn)椋栽O(shè)，
所以
又因?yàn)闉樨?fù)實(shí)數(shù)，所以，
當(dāng)時(shí)，或，
因?yàn)榉项}意，
不符合題意，舍去，
所以，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，則，或，
因?yàn)榉项}意，
符合題意，
所以時(shí)，；
時(shí)，，
綜上：或或，
故答案為：或或.
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.化簡(jiǎn)：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】按照復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，即可求解.
(1)
原式
(2)
原式
2.計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式的乘除法法則運(yùn)算即可.
(1)
原式
(2)
原式
(3)
原式
(4)
原式
3.求證:.
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式的乘方和乘法運(yùn)算，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可得到答案；
【詳解】左邊=
=
=右邊.
五、復(fù)數(shù)的輻角
輻角θ是指以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，顯然輻角有無(wú)數(shù)個(gè)．而輻角主值是指在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角，因而一個(gè)復(fù)數(shù)的輻角主值只有一個(gè)．θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
【典型例題】
【例1】求復(fù)數(shù)的模與輻角．
【答案】答案見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式得到，得到答案.
【詳解】
，，
故．
由此可知，這個(gè)復(fù)數(shù)的模為2，輻角為．
【例2】復(fù)數(shù)的一個(gè)幅角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式求解.
【詳解】
，
，
故選：B
【例3】“復(fù)數(shù)的模與輻角分別相等”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
要對(duì)充分性和必要性進(jìn)行判斷，注意輻角可以相差的整數(shù)倍即可.
【詳解】
當(dāng)復(fù)數(shù)的模與輻角分別相等時(shí)，一定有，充分性成立；
但當(dāng)時(shí)，與的輻角可以相等，也可以相差的整數(shù)倍，必要性不成立.
綜上，“復(fù)數(shù)的模與輻角分別相等”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
【例4】若復(fù)數(shù)的輻角為，的輻角為，則______．
【答案】
【分析】設(shè)，可得，，由已知條件可得，，解得和的值即可求解.
【詳解】
設(shè)，，則，，
因?yàn)閺?fù)數(shù)的輻角為，所以，①
因?yàn)閺?fù)數(shù)的輻角為，所以，②
由①②可得：，，
所以，
故答案為：.
【例5】把復(fù)數(shù)3－i對(duì)應(yīng)向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π，所得向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為（ ）
A．2 B．－2i
C．－3－i D．3－i
【答案】C
【分析】將復(fù)數(shù)化成三角形式為，從而得到其對(duì)應(yīng)向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．
【詳解】
因?yàn)椋?br/>其對(duì)應(yīng)向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：
.
故選：C．
【例6】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量為，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)角后得到向量，向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若，則自然數(shù)的最小數(shù)值為_(kāi)__________
【答案】
【分析】將復(fù)數(shù)表示為三角的形式，可得出的三角表示，根據(jù)可得出關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而可求得自然數(shù)的最小值.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)角后得到向量，向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，
則，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以，，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
【例7】已知復(fù)數(shù)的輻角為，的輻角為，則復(fù)數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，根據(jù)輻角的定義得到方程組，解得即可；
【詳解】
解：設(shè)，
因?yàn)榈妮椊菫椋?br/>因?yàn)榈妮椊菫椋?br/>解得，所以
故選：B
六、輻角的主值
規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作arg z，即0≤arg z<2π.
【典型例題】
【例1】任意復(fù)數(shù)（、，為虛數(shù)單位）都可以寫成的形式，其中該形式為復(fù)數(shù)的三角形式，其中稱為復(fù)數(shù)的輻角主值.若復(fù)數(shù)，則的輻角主值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將復(fù)數(shù)寫成三角形式，可得結(jié)果.
【詳解】
復(fù)數(shù)，因此，復(fù)數(shù)的輻角主值為.
故選：A.
【例2】已知復(fù)數(shù)則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的輻角為即可求解.
【詳解】
由設(shè)復(fù)數(shù)的輻角為，則，又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，
所以，即.故選：D
【例3】．求下列復(fù)數(shù)的模與輻角主值：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)模為，輻角主值為
(2)模為，輻角主值為
(3)模為，輻角主值為
(4)模為，輻角主值為
【分析】（1）直接求出模，根據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可得輻角主值；
（2）直接求出模，根據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可得輻角主值；
（3）直接求出模，根據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可得輻角主值；
（4）直接求出模，根據(jù)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可得輻角主值.
(1)
，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，輻角主值為
(2)
，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，輻角主值為
(3)
，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，輻角主值為
(4)
，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，其輻角主值為
【例4】已知
（1）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求此最大值；
（2）若，求（用表示）.注：是輻角主值.
【答案】（1）時(shí)，取最大值；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
【分析】（1）求出，即得解；
（2）設(shè)，，再對(duì)分 和兩種情況討論得解.
【詳解】
（1）
所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值.
（2）要求，可以把寫成三角形式，但較為困難，故可先求出的正切值.
設(shè)，則由于
所以.
因?yàn)椋缘膶?shí)部，的虛部.
當(dāng)時(shí)，，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.
由于，所以.
當(dāng)時(shí)，，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限（或軸正半軸）.
由于，所以.
【例5】求復(fù)數(shù)的模與輻角主值.
【答案】，
【分析】把復(fù)數(shù)化為三角形式后可得結(jié)論．
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以
，
此時(shí)，．
所以，．
【例6】已知復(fù)數(shù)和的輻角主值分別為、，則等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合兩角和的正切公式，即可求解.
【詳解】
由題意，復(fù)數(shù)和的輻角主值分別為，
則，所以 .
故選：D.
【例7】設(shè)復(fù)數(shù)z的輻角是，實(shí)部是－2，則z＝________．
【答案】
【分析】由復(fù)數(shù)三角形式的定義結(jié)合輻角的正切值可得結(jié)果.
【詳解】
由復(fù)數(shù)，則
所以
故答案為:
【例8】設(shè)z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i則argz1＋argz2＋argz3＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)輻角主值的范圍，結(jié)合復(fù)數(shù)的性質(zhì)，先求z1·z2·z3，從而求得其輻角主值，進(jìn)而求得結(jié)果.
【詳解】∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)
＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，
∴argz1＋argz2＋argz3＝＋2kπ，k∈Z.
∵argz1∈，argz2∈，argz3∈，
∴argz1＋argz2＋argz3∈.
∴argz1＋argz2＋argz3＝.
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.畫出下列復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量，并用三角形式表示(輻角取主值)：
（1）4；
（2）﹣2i；
（3）﹣2+2i；
（4）.
【答案】（1）作圖答案見(jiàn)解析，4(cos0+isin0)；（2）作圖答案見(jiàn)解析，2(cosisin)；（3）作圖答案見(jiàn)解析，；（4）作圖答案見(jiàn)解析，cosisin.
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義 輔助角公式即可得出.
【詳解】
（1）4=4(cos0+isin0)；
（2）﹣2i=2(cosisin)；
（3）﹣2+2i=2(cosisin)；
（4）isin.作圖如下，
2.已知復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的輻角主值.
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得答案.
【詳解】
解：＝＝＝－＋，
所以，
所以復(fù)數(shù)輻角的主值為π．
3.復(fù)數(shù)的輻角主值為
A． B． C． D．
【答案】D
化簡(jiǎn)利用誘導(dǎo)公式化成標(biāo)準(zhǔn)形式再判斷即可.
【詳解】
,故復(fù)數(shù)z的輻角主值為.
故選：D
4.當(dāng)實(shí)數(shù)m＝________時(shí)，復(fù)數(shù)(m2－m－2)＋(2m2－3m－2)i的輻角主值是π．
【答案】0
【分析】根據(jù)輻角主值概念建立方程，求解可得答案．
【詳解】
解：因?yàn)閺?fù)數(shù)(m2－m－2)＋(2m2－3m－2)i的輻角主值是π，所以輻角的正切值為1，
所以，解得m的值為0．
故答案為：0．
5.已知復(fù)數(shù)滿足，且，則的三角形式為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】由可得，根據(jù)的范圍限制舍去一根，借助公式即可表示出的三角形式．
【詳解】
由可得，，所以，
又，所以．
因?yàn)椋?br/>所以．
故答案為：．
6.復(fù)數(shù)的輻角主值為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形形式的概念即可求解.
【詳解】
因?yàn)椋詳?shù)的輻角主值為，
故答案為：.
7.如果非零復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為，那么該復(fù)數(shù)的（ ）
A．輻角唯一 B．輻角主值唯一
C．輻角主值為 D．輻角主值為
【答案】B
【分析】由給出的非0復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為，結(jié)合輻角主值的概念得答案．
【詳解】解：輻角主值的范圍是，，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都有唯一的輻角主值，
非0復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為，則該復(fù)數(shù)有唯一的一個(gè)輻角主值．
故選：B．
七、探究與發(fā)現(xiàn)：棣莫弗定理
棣莫佛定理：復(fù)數(shù)的n(n∈N*)次冪的模等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的n次冪，它的輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的n倍．即[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)
【典型例題】
【例1】棣莫弗定理：若兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則，已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推導(dǎo)出，求出的值，即可得出的值.
【詳解】由已知條件可得，
，，
以此類推可知，對(duì)任意的，，
，
所以，
，因此，.故選：B.
【例2】已知：棣莫弗公式（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由已知求得復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)的象限符號(hào)得答案．
【詳解】解：由，
所以，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
，所以，，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：．
【例3】已知復(fù)數(shù)滿足且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)條件求得復(fù)數(shù)，再利用三角函數(shù)表示復(fù)數(shù)，以及結(jié)合歐拉公式，計(jì)算復(fù)數(shù)的值.
【詳解】設(shè)，
，即，
，解得：
，
當(dāng)時(shí)，
，
則 ，
當(dāng)時(shí)，
則
，故選：D
【例4】，則__________.
【答案】400
【分析】將分子、分母化為復(fù)數(shù)的三角形式，根據(jù)復(fù)數(shù)乘除的幾何含義，求的三角形式，即可求.
【詳解】，
若，則，∴.
故答案為：.
【例5】已知復(fù)數(shù)，若（，且），則的最小值為_(kāi)_________．
【答案】7
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示及三角形式下的乘方求得，然后根據(jù)的范圍求得最小值.
【詳解】復(fù)數(shù)，若
則，
則，，且
故的最小值為7，
故答案為：7.
【例6】復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，那么的值等于________.
【答案】
【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件得，再由復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則即可得解.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，
所以.
故答案為：.
【例7】設(shè)是正整數(shù)，分別記方程、的非零復(fù)數(shù)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的集合為與．若存在，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，則的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方，表示出集合，再把選項(xiàng)中的值分別代入計(jì)算得到集合，一一判斷即可求解.
【詳解】由，得，
即，故，0，1，2，4，5，
因此集合.
當(dāng)時(shí)，同理得，
此時(shí)不存在，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，
同理可知，時(shí)，也不滿足題意，故ACD錯(cuò)；
當(dāng)時(shí)，得：
，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)取遍集合中的元素時(shí)，所得的不同取值個(gè)數(shù)有5個(gè)，故B正確.
故選B.
【對(duì)點(diǎn)實(shí)戰(zhàn)】
1.．÷()=_____.
【答案】
【分析】先復(fù)數(shù)化成三角形式，再利用乘方和除法運(yùn)算，即可得到答案；
【詳解】解：原式
，
故答案為：
2.復(fù)數(shù)經(jīng)過(guò)次乘方后，所得的冪等于它的共軛復(fù)數(shù)，求的值．
【答案】.
【分析】用共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的三角表示即可.
【詳解】由題意：，
可得，
∴，.
3.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，驗(yàn)證，，1，2，…，為方程的n個(gè)根，并給出幾何解釋．
【答案】證明見(jiàn)解析；幾何解釋： 的個(gè)根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，將單位圓等分.
【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的三角形式以及三角函數(shù)值即可驗(yàn)證；然后結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出幾何解釋.
【詳解】
，，1，2，…，，
所以（，1，2，…，）是方程的n個(gè)根，
設(shè),，……，（，1，2，…，），
則是由逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到（模不變，），
故是以原點(diǎn)為圓心的單位圓的個(gè)等分點(diǎn)，即的個(gè)根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，將單位圓等分.
八、復(fù)數(shù)三角形式的綜合應(yīng)用
【典型例題】
【例1】利用復(fù)數(shù)證明余弦定理．
【答案】證明見(jiàn)詳解
【分析】畫出三角形，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角形式分別表示出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)三角形式，結(jié)合向量運(yùn)算原理和復(fù)數(shù)的幾何意義即可求證.
【詳解】
如圖：對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以，
所以，得證，
同理可證.
【例2】在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，且的輻角主值分別為，模長(zhǎng)均為1.若的重心對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，求.
【答案】
根據(jù)題意，寫出復(fù)數(shù)的三角形式，由重心坐標(biāo)的計(jì)算公式，可得重心對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的形式，結(jié)合題目已知條件，即可求解.
【詳解】
由題意，可知.∵的重心對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，
∴，即，∴，
∴，∴.
【例3】已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)運(yùn)算和三角恒等變換的知識(shí)可得到，由此確定最大值.
【詳解】
由可設(shè)：，，
（其中），
當(dāng)時(shí)，.
故選：.
【例4】已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是__________.
【答案】
【分析】設(shè)，則化簡(jiǎn)可得；然后分類討論去絕對(duì)值，在根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果．
【詳解】
設(shè) ．
則
．
，．
當(dāng)時(shí)，，
所以，的最大值是；
當(dāng)時(shí)，，
所以，的最大值是 ；
當(dāng)時(shí)，，所以，
，．
綜上，的最大值是． 故答案為：．
【例5】設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則__________．
【答案】
【分析】由題意設(shè)，，利用已知復(fù)數(shù)相等的條件列方程組求，進(jìn)而可求.
【詳解】
∵，設(shè)，，
∴，
∴，兩式平方相加得：，化簡(jiǎn)得：，
∴.
故答案為：.
【例6】已知，，其中，且，，求的值．
【答案】
【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的三角形式以及輻角與模的概念，結(jié)合三角恒等變換即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋郑瑒t，，得，所以，．由，，得，．又，所以．又由，得，所以．所以
【例7】已知，且，若．
（1）求復(fù)數(shù)的三角形式，并且復(fù)數(shù)的輻角主值；
（2）求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的概念即可直接求出結(jié)果；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求出，然后結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求出，進(jìn)而利用模長(zhǎng)公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以；
（2）設(shè)，又因?yàn)椋?br/>則，即，所以，
故，
則.
【例8】如圖，若與分別表示復(fù)數(shù)Z1=1+2i，Z2=7+i，求，并判斷的形狀.
【答案】∠Z2OZ1=，為直角三角形.
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的三角表示可得∠Z2OZ1=，由可得為直角三角形.
【詳解】=(1+i)
=，∴∠Z2OZ1=，且.
∴為直角三角形.
【例9】已知是實(shí)數(shù)，是非零復(fù)數(shù)，且滿足，.
（1）求；
（2）設(shè)，若，求的值.
【答案】（1）（2）
（1）根據(jù)輻角，設(shè)出復(fù)數(shù)，再根據(jù)等量關(guān)系待定系數(shù)即可；
（2）由（1）中所求復(fù)數(shù)代入（2）中的模長(zhǎng)計(jì)算公式，即可化簡(jiǎn)求得.
【詳解】（1），可設(shè)，
將其代入，
化簡(jiǎn)可得，
∴，解得，
∴.
（2）
.
∵，∴，
化簡(jiǎn)得.∵，
∴，即.
九、聯(lián)賽、聯(lián)考與自主招生題選
【例1】對(duì)任意三個(gè)模長(zhǎng)小于1的復(fù)數(shù)，，，均有恒成立，則實(shí)數(shù)的最小可能值是______．
上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題
【答案】10
【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍，從而得到實(shí)數(shù)的最小可能值.
【詳解】設(shè)，，，
由題設(shè)有.
又
，
，
而，
所以，
而，當(dāng)且僅當(dāng)終邊相同時(shí)等號(hào)成立，
故，所以，
故實(shí)數(shù)的最小可能值為10，
故答案為：10.
【例2】已知復(fù)數(shù)列，，…，，…滿足，，，，n=1,2,...則在圓的內(nèi)部所含有的的個(gè)數(shù)是______________．
全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)初賽試題
【答案】5
【詳解】因，
所以.
將以上n個(gè)式子相加得.
因，所以，由得，
即.于是，.
注意，可知，，
即在圓的內(nèi)部共含有的個(gè)數(shù)為5，亦即只含.
【例3】復(fù)數(shù)，滿足，，則______.
2021年浙江省數(shù)學(xué)夏令營(yíng)測(cè)試題
【答案】
【分析】【詳解】如圖所示，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為,
由已知得,
由余弦定理得向量所成的角為,
不妨設(shè),
,
,,
,,
,
.
故答案為：.

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