資源簡(jiǎn)介

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：直線與圓的位置關(guān)系
重點(diǎn)題型二：圓的切線問(wèn)題
重點(diǎn)題型三：直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題
重點(diǎn)題型四：過(guò)定點(diǎn)的直線和圓相交的判定與最短弦長(zhǎng)問(wèn)題
第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓的三種位置關(guān)系
直線與圓 的位置關(guān) 系的圖象
直線與圓的 位置關(guān)系 相交 相切 相離
2、判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法
2.1幾何法（優(yōu)先推薦）
圖象
位置關(guān)系 相交 相切 相離
判定方法 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相交。 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相切。 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相離。
2.2代數(shù)法
直線：；圓
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)
①直線與圓相交
②直線與圓相切
③直線與圓相離
知識(shí)點(diǎn)二：直線與圓相交
記直線被圓截得的弦長(zhǎng)為的常用方法
1、幾何法（優(yōu)先推薦）
①弦心距（圓心到直線的距離）
②弦長(zhǎng)公式：
2、代數(shù)法
直線：；圓
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)
弦長(zhǎng)公式：
知識(shí)點(diǎn)三：直線與圓相切
1、圓的切線條數(shù)
①過(guò)圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線
②過(guò)圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線
③過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線
2、過(guò)一點(diǎn)的圓的切線方程（）
①點(diǎn)在圓上
步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則
步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線（步驟一中的斜率+切點(diǎn)）
②點(diǎn)在圓外
記切線斜率為，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出
（注意若此時(shí)求出的只有一個(gè)答案；那么需要另外同理切線為）
3、切線長(zhǎng)公式
記圓:；過(guò)圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為,利用勾股定理求；
知識(shí)點(diǎn)四：圓上點(diǎn)到直線的最大（小）距離
設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
②當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
③當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）若直線與圓有公共點(diǎn)，則直線與圓相交．( )
（2）若直線與圓組成的方程組有解，則直線和圓相交或相切．( )
（3）若圓心到直線的距離大于半徑，則直線與圓的方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程無(wú)解．( )
2．（2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）若直線與圓相切，則.( )
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與圓相切，則m的值為( )
A．0或2 B．2 C． D．無(wú)解
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交
重點(diǎn)題型一：直線與圓的位置關(guān)系
角度1：判定直線與圓的位置關(guān)系
典型例題
例題1．（2022·江西·南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切
例題2．（2022·全國(guó)·高二期末）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定
例題3．（2022·湖北省武漢市漢鐵高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切
例題4．（2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
角度2：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
例題1．（2022·四川樂(lè)山·高一期末）直線與圓相切，則（ ）
A．3 B． C．或1 D．3或
例題2．（2022·北京四中高三開(kāi)學(xué)考試）若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·四川·寧南中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（文））已知圓與直線至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．
例題5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線：與圓：相交于兩點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)_______．
角度3：由直線與圓的位置關(guān)系求距離最值
例題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓上僅有一點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為（ ）．
A．11 B． C．1 D．4
例題2．（2022·江蘇·高二）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是（ ）
A．36 B．18 C． D．
例題3．（2022·上海·高三開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則的最小值是___________.
例題4．（2022·天津三中三模）設(shè)是圓上的點(diǎn)，則到直線的最長(zhǎng)距離是_____．
同類(lèi)題型歸類(lèi)練
1．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知直線與圓相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海徐匯·高二期末）直線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后所得的直線l與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．直線l過(guò)圓心 B．直線l與圓相交，但不過(guò)圓心
C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無(wú)公共點(diǎn)
3．（2022·浙江·溫州中學(xué)高二期末）已知直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））不論k為何值，直線都與圓相交，則該圓的方程可以是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則，兩點(diǎn)到直線的距離之和的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·重慶復(fù)旦中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知圓經(jīng)過(guò)，，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線：與圓無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
7．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，圓.當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與圓O：
(1)相離？
(2)相切？
(3)相交？
重點(diǎn)題型二：圓的切線問(wèn)題
角度1：過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程
典型例題
例題1．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（ ）
A． B． C． D．或
例題2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二期末（文））過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則的方程為（ ）
A． B．或
C． D．或
例題4．（2022·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室高二期末）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
角度2：過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程
典型例題
例題1．（2022·天津河北·高二期末）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
例題2．（2022·浙江·金華市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試）已知圓和點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為（ ）
A．
B．或
C．
D．或
例題3．（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二期中）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
例題4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
角度3：切線長(zhǎng)
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）已知直線是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·重慶·高二期末）直線平分圓的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（ ）
A．5 B． C．3 D．
例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：，過(guò)直線：上的一點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
角度4：已知切線求參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）直線與圓相切，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．
例題2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與圓相切，則的值為（ ）
A．3或 B．1或
C．0或4 D．或0
例題3．（2022·重慶八中高二期末）已知直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
例題4．（2022·陜西省丹鳳中學(xué)高一階段練習(xí)）若直線與圓相切，則
A． B． C． D．或
例題5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））“”是“直線與圓相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
同類(lèi)題型歸類(lèi)練
1．（2022·云南玉溪·高二期末）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肅·臨澤縣第一中學(xué)高二期中（文））直線平分圓的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為Q，則（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2022·遼寧撫順·一模）經(jīng)過(guò)直線上的點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（2022·湖南湘潭·高二期末）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射后與圓相切于點(diǎn)Q，則光線從P點(diǎn)到Q點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．3
5．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）由直線上的點(diǎn)向圓引切線（為切點(diǎn)），則線段的最小長(zhǎng)度為_(kāi)_______．
6．（2022·廣東·潮州市綿德中學(xué)高二階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程是______．
7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x＋2)與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T(mén)，若|PA|＝|PT|，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________．
8．（2022·天津·高三期末）已知直線和圓相切，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________.
重點(diǎn)題型三：直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題
角度1：圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦
例題1．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）直線截圓截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A． B．2 C． D．4
例題2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））直線與圓交于，兩點(diǎn)，則（ ）
A． B． C．2 D．4
例題3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三期末（理））已知直角的兩直角邊長(zhǎng)為，，斜邊長(zhǎng)為，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A． B．4 C． D．2
例題4．（2022·廣東·三模）已知直線與圓：相交于、兩點(diǎn)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
角度2：已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·江西南昌·三模（文））若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（ ）
A．1 B． C．2 D．
例題2．（2022·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知圓截直線所得弦的長(zhǎng)度為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．
C． D．不存在
例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，則（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·河南·開(kāi)封高中模擬預(yù)測(cè)（理））若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，則（ ）
A． B． C． D．
同類(lèi)題型歸類(lèi)練
1．（2022·云南昆明·高二期末）已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則______.
2．（2022·河南焦作·高二期末（文））若直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)在x軸上，則l被C截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____．
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））圓心為，且截直線所得弦長(zhǎng)為的圓的方程為_(kāi)__________.
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)_______．
5．（2022·湖北·襄陽(yáng)五中模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓交軸于，交軸于，四邊形的面積為18，則___________.
6．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）過(guò)點(diǎn)作一條直線截圓所得弦長(zhǎng)為，則直線的方程是___________.
重點(diǎn)題型四：過(guò)定點(diǎn)的直線和圓相交的判定與最短弦長(zhǎng)問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022·寧夏·銀川二中一模（理））若直線與圓交于、兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________.
例題2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線：被圓：截得的最短弦長(zhǎng)為（ ）
A．1 B． C．2 D．
例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線l：與圓交于，兩點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
同類(lèi)題型歸類(lèi)練
1．（2022·山西·運(yùn)城市景勝中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線：恒過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））圓被直線截得的最短弦長(zhǎng)為（ ）
A．2 B．2 C． D．
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：，直線：，則當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時(shí)，直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為，則的取值為（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·北京·高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則
A． B． C． D．
2．（多選）（2021·全國(guó)·高考真題）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切
3．（2021·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（ ）
A．點(diǎn)到直線的距離小于
B．點(diǎn)到直線的距離大于
C．當(dāng)最小時(shí)，
D．當(dāng)最大時(shí)，
4．（2021·天津·高考真題）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．
2.5.1直線與圓的位置關(guān)系（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：直線與圓的位置關(guān)系
重點(diǎn)題型二：圓的切線問(wèn)題
重點(diǎn)題型三：直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題
重點(diǎn)題型四：過(guò)定點(diǎn)的直線和圓相交的判定與最短弦長(zhǎng)問(wèn)題
第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓的三種位置關(guān)系
直線與圓 的位置關(guān) 系的圖象
直線與圓的 位置關(guān)系 相交 相切 相離
2、判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法
2.1幾何法（優(yōu)先推薦）
圖象
位置關(guān)系 相交 相切 相離
判定方法 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相交。 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相切。 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相離。
2.2代數(shù)法
直線：；圓
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)
①直線與圓相交
②直線與圓相切
③直線與圓相離
知識(shí)點(diǎn)二：直線與圓相交
記直線被圓截得的弦長(zhǎng)為的常用方法
1、幾何法（優(yōu)先推薦）
①弦心距（圓心到直線的距離）
②弦長(zhǎng)公式：
2、代數(shù)法
直線：；圓
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)
弦長(zhǎng)公式：
知識(shí)點(diǎn)三：直線與圓相切
1、圓的切線條數(shù)
①過(guò)圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線
②過(guò)圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線
③過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線
2、過(guò)一點(diǎn)的圓的切線方程（）
①點(diǎn)在圓上
步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則
步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線（步驟一中的斜率+切點(diǎn)）
②點(diǎn)在圓外
記切線斜率為，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出
（注意若此時(shí)求出的只有一個(gè)答案；那么需要另外同理切線為）
3、切線長(zhǎng)公式
記圓:；過(guò)圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為,利用勾股定理求；
知識(shí)點(diǎn)四：圓上點(diǎn)到直線的最大（小）距離
設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
②當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
③當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）若直線與圓有公共點(diǎn)，則直線與圓相交．( )
（2）若直線與圓組成的方程組有解，則直線和圓相交或相切．( )
（3）若圓心到直線的距離大于半徑，則直線與圓的方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程無(wú)解．( )
【答案】 × √ √
（1）直線與圓有公共點(diǎn)，則直線和圓相交或相切，錯(cuò)誤；
（2）直線與圓組成的方程組有解，則直線和圓相交或相切，正確；
（3）圓心到直線的距離大于半徑，則直線與圓相離，則直線與圓的方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程無(wú)解.
2．（2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）若直線與圓相切，則.( )
【答案】錯(cuò)誤
圓的圓心為 ，直線為
由題意可得圓心到直線的距離 ，
解得，即m可以2，也可以為-2，不一定為2，
故答案為：錯(cuò)誤.
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與圓相切，則m的值為( )
A．0或2 B．2 C． D．無(wú)解
【答案】B
由題可知：
故選：B
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交
【答案】A
圓的圓心為，半徑為4
圓心到直線的距離為
所以直線與圓的位置關(guān)系是相交
故選：A
重點(diǎn)題型一：直線與圓的位置關(guān)系
角度1：判定直線與圓的位置關(guān)系
典型例題
例題1．（2022·江西·南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】A
因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，半徑為；
所以圓心到直線的距離為，
所以直線與圓的位置關(guān)系是相離.
故選：A.
例題2．（2022·全國(guó)·高二期末）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定
【答案】B
圓的圓心坐標(biāo)為 半徑為4，圓心到直線的距離，所以相交.
故選：B.
例題3．（2022·湖北省武漢市漢鐵高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】C
直線即，過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)閳A的方程為，
則，
所以點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交.
故選：C
例題4．（2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
【答案】B
直線恒過(guò)定點(diǎn)，
而，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，
故直線與圓的位置關(guān)系為相交，
故選：B.
角度2：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)
例題1．（2022·四川樂(lè)山·高一期末）直線與圓相切，則（ ）
A．3 B． C．或1 D．3或
【答案】D
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為
又直線與圓相切，
則，解之得或，
故選：D．
例題2．（2022·北京四中高三開(kāi)學(xué)考試）若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
圓心為，半徑為，由題意得：，解得：.
故選：C
例題3．（2022·四川·寧南中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（文））已知圓與直線至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
圓心到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故只需即可.
故選：C
例題4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【答案】
解：關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：
例題5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線：與圓：相交于兩點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)_______．
【答案】
由題意，，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，知，又因?yàn)椋鶕?jù)垂徑定理，到直線的距離，解得.
故答案為：.
角度3：由直線與圓的位置關(guān)系求距離最值
例題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓上僅有一點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為（ ）．
A．11 B． C．1 D．4
【答案】C
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離．
因?yàn)閳A上僅有一點(diǎn)到直線的距離為1，
所以圓的半徑，解得．
故選：C．
例題2．（2022·江蘇·高二）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是（ ）
A．36 B．18 C． D．
【答案】D
解：因?yàn)閳A，即，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑，
因?yàn)閳A心到直線的距離，
所以直線與圓相離，
所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差為，
故選：D.
例題3．（2022·上海·高三開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則的最小值是___________.
【答案】##
圓的圓心為，半徑為1，
則圓心到直線的距離為
，
所以的最小值為，
故答案為：
例題4．（2022·天津三中三模）設(shè)是圓上的點(diǎn)，則到直線的最長(zhǎng)距離是_____．
【答案】8
依題意可知，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，故圓上點(diǎn)到直線的最大距離為.
同類(lèi)題型歸類(lèi)練
1．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知直線與圓相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由題意，圓心到直線的距離，即，解得
故選：D
2．（2022·上海徐匯·高二期末）直線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后所得的直線l與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．直線l過(guò)圓心 B．直線l與圓相交，但不過(guò)圓心
C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無(wú)公共點(diǎn)
【答案】C
直線過(guò)原點(diǎn)，斜率為，傾斜角為，依題意，直線l的傾斜角為，斜率為，而l過(guò)原點(diǎn)，
因此，直線l的方程為：，又圓的圓心為，半徑為，
于是得點(diǎn)到直線l的距離為，所以直線l與圓相切.
故選：C
3．（2022·浙江·溫州中學(xué)高二期末）已知直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以圓心到直線的距離，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B.
4．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））不論k為何值，直線都與圓相交，則該圓的方程可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
， ，∴直線恒過(guò)點(diǎn)P（—4，1） ，
對(duì)于A，圓心為（2，-1），半徑為5，P到圓心的距離為： ，
即P點(diǎn)不在該圓內(nèi)；
對(duì)于B，圓心為（-1，-2），半徑為5，P到圓心的距離為 ，
故點(diǎn)P在該圓內(nèi)；
對(duì)于C，圓心為（3，-4），半徑為5，P點(diǎn)到圓心的距離為 ，
故點(diǎn)P不在該圓內(nèi)；
對(duì)于D，圓心為（-1，-3），半徑為5，點(diǎn)P到圓心的距離為 ，
點(diǎn)P該在圓上，可能相切也可能相交；
故選：B.
5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則，兩點(diǎn)到直線的距離之和的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因?yàn)椋詾橹苯侨切危瑸樾边叄?br/>設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，從而在圓上，
設(shè)，兩點(diǎn)到直線的距離之和為，到直線的距離為，由題意得，
圓的圓心到直線的距離為，
所以，即，所以．
故選：D．
6．（2022·重慶復(fù)旦中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知圓經(jīng)過(guò)，，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線：與圓無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(1)∵圓心C在直線，
∴可設(shè)圓心坐標(biāo)為，
∵圓C經(jīng)過(guò)，，
∴即，解得
∴圓心坐標(biāo)為，半徑
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)∵圓心C到直線l的距離且直線l圓C無(wú)公共點(diǎn)，
∴即，解得，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為；
綜上，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，.
7．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，圓.當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與圓O：
(1)相離？
(2)相切？
(3)相交？
【答案】(1)(2)或0(3)
(1)解：因?yàn)椋瑘A，則，消去得整理得，因?yàn)椋瑒t；
若直線與圓相離，則，解得，即；
(2)解：若直線與圓相離切，則，解得或；
(3)解：若直線與圓相交，則，解得或，即；
重點(diǎn)題型二：圓的切線問(wèn)題
角度1：過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程
典型例題
例題1．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
由圓心為，半徑為，
斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，則，可得，
所以，即，
斜率不存在時(shí)，顯然不與圓相切；
綜上，切線方程為.
故選：C
例題2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二期末（文））過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓，又，所以切線的斜率為，所以切線方程為，整理得；
故選：C
例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則的方程為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
解：根據(jù)題意，設(shè)圓x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圓心為C，
圓x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圓心為（1，3），
又由點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，1），有，即點(diǎn)M在圓上，
則，則切線的斜率k＝1，
則切線的方程為y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；
故選：C．
例題4．（2022·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室高二期末）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
由光的反射原理知，反射光線的反向延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.
又因?yàn)楣饩€與圓相切，所以，,
整理：，解得：，或,故選D．
角度2：過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程
典型例題
例題1．（2022·天津河北·高二期末）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，不與圓相切，
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即
所以，解得或
所以切線的方程為或
故選：C
例題2．（2022·浙江·金華市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試）已知圓和點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】D
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，
則，解得，
所以切線方程為，即.
當(dāng)斜率不存在時(shí)，切線方程為.
綜上，過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或，
故選：D
例題3．（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二期中）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
由圓的方程可得圓心坐標(biāo)為，半徑為1，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得，
所以切線方程為，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，
所以過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或，
故選：C．
例題4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵圓的方程為，
過(guò)點(diǎn)作圓的切線方程，設(shè)切線方程為，即.
則，解得：.
則的取值范圍為.
故選：C.
角度3：切線長(zhǎng)
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）已知直線是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由圓，可知該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)橹本€是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，
所以圓心在直線上，
所以有，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，
所以
所以，
故選：C
例題2．（2022·重慶·高二期末）直線平分圓的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】B
由，
所以該圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)橹本€平分圓的周長(zhǎng)，
所以圓心在直線上，故，
因此，，所以有，
所以，
故選：B
例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：，過(guò)直線：上的一點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
圓：中，圓心，半徑
設(shè)，則，即
則
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）
故選：A
角度4：已知切線求參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）直線與圓相切，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以由圓心到直線的距離等于半徑得：，即，解得：.
故選：C
例題2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與圓相切，則的值為（ ）
A．3或 B．1或
C．0或4 D．或0
【答案】A
圓的圓心為，半徑為，因直線與圓相切，
則點(diǎn)到直線的距離為，整理得，解得或，
所以m的值為3或.
故選：A
例題3．（2022·重慶八中高二期末）已知直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
圓即，圓心為，半徑為r=3，
由題意可知過(guò)圓的圓心，
則，解得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
，切點(diǎn)為B則，
.
故選:C
例題4．（2022·陜西省丹鳳中學(xué)高一階段練習(xí)）若直線與圓相切，則
A． B． C． D．或
【答案】D
由題意可知，圓方程為，
所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以圓心到直線距離等于半徑，即
解得或，故選D．
例題5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））“”是“直線與圓相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
解：直線與圓相切圓心到直線的距離等于半徑，
即，∴，∴，
∴是直線與圓相切的充要條件.
故選：C.
同類(lèi)題型歸類(lèi)練
1．（2022·云南玉溪·高二期末）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則,
故直線的方程為，即.
故選：A.
2．（2022·甘肅·臨澤縣第一中學(xué)高二期中（文））直線平分圓的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為Q，則（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)橹本€平分圓的周長(zhǎng)，
所以直線經(jīng)過(guò)，所以，故，
由已知，，，圓的半徑為3，
所以，
故選：B.
3．（2022·遼寧撫順·一模）經(jīng)過(guò)直線上的點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
直線上任取一點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為
圓，即圓心，
切線長(zhǎng)為
所以切線長(zhǎng)的最小值為
故選：A
4．（2022·湖南湘潭·高二期末）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射后與圓相切于點(diǎn)Q，則光線從P點(diǎn)到Q點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
∵圓，
∴圓心，半徑為1，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，
∴，
所以光線從P點(diǎn)到Q點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程的長(zhǎng)度為.
故選：B.
5．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）由直線上的點(diǎn)向圓引切線（為切點(diǎn)），則線段的最小長(zhǎng)度為_(kāi)_______．
【答案】
圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，
于是得，當(dāng)且僅當(dāng)垂直于直線時(shí)取“=“，
所以線段的最小長(zhǎng)度為.
故答案為：
6．（2022·廣東·潮州市綿德中學(xué)高二階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程是______．
【答案】或
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，
所以直線，
此時(shí)圓心到直線的距離為1=r，
此時(shí)直線與圓相切，滿足題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，
所以，即，
因?yàn)橹本€l與圓相切，
所以圓心到直線的距離，解得，
所以直線l的方程為.
綜上：直線的方程為或
故答案為：或
7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x＋2)與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T(mén)，若|PA|＝|PT|，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________．
【答案】
由題意，A(－2,0)，C(2,0)，設(shè)P(x,y)，由|PA|＝|PT|，
所以|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，化簡(jiǎn)得(x－6)2＋y2＝36，
所以點(diǎn)P在以(6,0)為圓心，6為半徑的圓上，
由題意知，直線y＝k(x＋2)與圓(x－6)2＋y2＝36有公共點(diǎn)，
所以，解得．
故答案為：
8．（2022·天津·高三期末）已知直線和圓相切，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________.
【答案】##
由，得，則圓心為，半徑為1，
因?yàn)橹本€和圓相切，
所以，得，解得，
故答案為：
重點(diǎn)題型三：直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題
角度1：圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦
例題1．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）直線截圓截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
解：圓的圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
所以弦長(zhǎng)為.
故選：D.
例題2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））直線與圓交于，兩點(diǎn)，則（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
解：因?yàn)椋?br/>所以圓心到直線的距離，
故.
故選：B
例題3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三期末（理））已知直角的兩直角邊長(zhǎng)為，，斜邊長(zhǎng)為，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
由題意得：，其中圓心為，半徑為，則圓心到直線距離為，由垂徑定理得： ，所以截得的弦長(zhǎng)為4.
故選：B
例題4．（2022·廣東·三模）已知直線與圓：相交于、兩點(diǎn)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
充分性：若，則，此時(shí)，，；
必要性：若，因?yàn)椋瑒t圓心到直線的距離，
即，解得.
故選：C
角度2：已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·江西南昌·三模（文））若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
圓的圓心為，半徑為2，
則在中，由余弦定理可得，即，
所以圓心到直線的距離為，則，即.
故選：B.
例題2．（2022·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知圓截直線所得弦的長(zhǎng)度為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．
C． D．不存在
【答案】B
由可知：圓心為，半徑為，
所以有，
故選：B
例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：圓的圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓相交于、兩點(diǎn)，且，
所以圓心到直線的距離，即，解得（舍去）或；
故選：B
例題4．（2022·河南·開(kāi)封高中模擬預(yù)測(cè)（理））若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
設(shè)圓心O到直線l的距離為d，
∵，則以為鄰邊的平行四邊為菱形，即
由，即，則
又由垂徑定理可知，即
解得
則，解得．
故選：A．
同類(lèi)題型歸類(lèi)練
1．（2022·云南昆明·高二期末）已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則______.
【答案】
已知圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以.
故答案為：
2．（2022·河南焦作·高二期末（文））若直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)在x軸上，則l被C截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】##
由題意得，直線與軸的交點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，即，解得，則，
圓心到的距離為，則l被C截得的弦長(zhǎng)為.
故答案為：.
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））圓心為，且截直線所得弦長(zhǎng)為的圓的方程為_(kāi)__________.
【答案】
解：由題知，圓心為，到直線的距離為，
因?yàn)閳A心為，且截直線所得弦長(zhǎng)為，
所以，圓的半徑為，
所以，所求圓的方程為.
故答案為：
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)_______．
【答案】或5##5或
，則圓心，半徑，
設(shè)AB中點(diǎn)為D，則CD⊥AB，且DB=DA，
則
，
即，
∴或5．
故答案為：或5．
5．（2022·湖北·襄陽(yáng)五中模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓交軸于，交軸于，四邊形的面積為18，則___________.
【答案】
由題意，故，
而圓心在的垂直平分線上，所以
由垂徑定理知半徑,解得
所以或，故，
故答案為：
6．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）過(guò)點(diǎn)作一條直線截圓所得弦長(zhǎng)為，則直線的方程是___________.
【答案】或
可化為
故圓心到直線距離
若直線斜率不存在，方程為，則，滿足題意
若直線斜率存在，設(shè)其方程為，
，解得，此時(shí)直線方程為
故答案為：或
重點(diǎn)題型四：過(guò)定點(diǎn)的直線和圓相交的判定與最短弦長(zhǎng)問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022·寧夏·銀川二中一模（理））若直線與圓交于、兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________.
【答案】
直線的方程可化為，由，得，
所以，直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)椋袋c(diǎn)在圓內(nèi)，
圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，
當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取得最大值，
此時(shí)取最小值，故.
故答案為：.
例題2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線：被圓：截得的最短弦長(zhǎng)為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
直線：即為 ，
當(dāng)時(shí)， ，故直線線過(guò)定點(diǎn) ，設(shè)該點(diǎn)為P,
又，故點(diǎn)在圓內(nèi)，
當(dāng)圓心和P點(diǎn)連線垂直于直線l時(shí)，l被圓解得的弦長(zhǎng)最短，
而即 ，半徑 ，圓心為 ,
故 ,
故弦長(zhǎng)為 ，
故答案為：2.
例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線l：與圓交于，兩點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由題知：圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)橹本€l與圓相交形成的弦長(zhǎng)為，
所以圓心到直線l的距離為，
所以，解得.
故選：C
同類(lèi)題型歸類(lèi)練
1．（2022·山西·運(yùn)城市景勝中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線：恒過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
由恒過(guò)，
又，即在圓C內(nèi)，
要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長(zhǎng)最短，
由，圓的半徑為5，
所以.
故選：A
2．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））圓被直線截得的最短弦長(zhǎng)為（ ）
A．2 B．2 C． D．
【答案】B
由題設(shè)，直線過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑，
而，即A在圓內(nèi)，
所以要使被直線截得的弦長(zhǎng)最短，只需題設(shè)直線與線段垂直，又，
所以最短弦長(zhǎng)為.
故選：B
3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：，直線：，則當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時(shí)，直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為，則的取值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
直線：恒過(guò)點(diǎn)，由于直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為，即當(dāng)直線與直線垂直時(shí)（為原點(diǎn)），弦長(zhǎng)取得最小值，于是，解得.
故選：C
1．（2021·北京·高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則
A． B． C． D．
【答案】C
由題可得圓心為，半徑為2，
則圓心到直線的距離，
則弦長(zhǎng)為，
則當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)取得最小值為，解得.
故選：C.
2．（多選）（2021·全國(guó)·高考真題）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切
【答案】ABD
圓心到直線l的距離，
若點(diǎn)在圓C上，則，所以，
則直線l與圓C相切，故A正確；
若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，
則直線l與圓C相離，故B正確；
若點(diǎn)在圓C外，則，所以，
則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；
若點(diǎn)在直線l上，則即，
所以，直線l與圓C相切，故D正確.
故選：ABD.
3．（2021·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（ ）
A．點(diǎn)到直線的距離小于
B．點(diǎn)到直線的距離大于
C．當(dāng)最小時(shí)，
D．當(dāng)最大時(shí)，
【答案】ACD
圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
如下圖所示：
當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
4．（2021·天津·高考真題）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．
【答案】
設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，
由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，
則，解得或，所以，
因?yàn)椋?
故答案為：.

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