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2.5.2圓與圓的位置關(guān)系（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：兩圓的位置關(guān)系
重點題型二：兩圓相切問題
重點題型三：兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長
重點題型四：圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：圓與圓的位置關(guān)系
1、圓與圓的位置關(guān)系
(1)圓與圓相交，有兩個公共點；
(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個公共點；
(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點.
圖象 位置關(guān)系 圖象 位置關(guān)系
外 離 外 切
相 交 內(nèi) 切
內(nèi) 含
2、圓與圓的位置關(guān)系的判定
2.1幾何法
設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.
①當(dāng)時，兩圓相交；
②當(dāng)時，兩圓外切；
③當(dāng)時，兩圓外離；
④當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；
⑤當(dāng)時，兩圓內(nèi)含.
2.2代數(shù)法
設(shè):
:
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次方程，求出其
①與設(shè)設(shè)相交
②與設(shè)設(shè)相切（內(nèi)切或外切）
③與設(shè)設(shè)相離（內(nèi)含或外離）
知識點二：圓與圓的公共弦
1、圓與圓的公共弦
圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.
2、公共弦所在直線的方程
設(shè):
:
聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程
3、公共弦長的求法
代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求其長．
幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．
知識點三：圓與圓的公切線
1、公切線的條數(shù)
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．
（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；
（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；
（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；
（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；
（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．
2、公切線的方程
核心技巧：利用圓心到切線的距離求解
知識點四：圓系方程
以為圓心的同心圓圓系方程：；
與圓同心圓的圓系方程為；
過直線與圓交點的圓系方程為
過兩圓，圓：交點的圓系方程為
（，此時圓系不含圓：）特別地，當(dāng)時，上述方程為一次方程.
兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.
1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）判斷正誤
（1）若兩圓沒有公共點，則兩圓一定外離．( )
（2）若兩圓外切，則兩圓有且只有一個公共點，反之也成立．( )
（3）若兩圓有公共點，則．( )
2．（2022·江西·貴溪市實驗中學(xué)高二期末）圓：與圓：的位置關(guān)系是內(nèi)切 ( )
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）圓與圓的內(nèi)公切線有且僅有( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若兩圓的半徑R，r分別為5和2，圓心距d為3，則兩圓的位置關(guān)系是_________．
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．外離 C．外切 D．內(nèi)切
重點題型一：兩圓的位置關(guān)系
角度1：判斷兩圓位置關(guān)系
典型例題
例題1．（2022·天津河北·高二期末）已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．相離
例題2．（2022·福建福州·高二期末）圓與圓的公切線的條數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例題3．（2022·江蘇·高二）兩圓與的公切線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
角度2：由圓的位置關(guān)系求參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“”是“與相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分且必要條件 D．既不充分又不必要條件
例題3．（2022·江蘇·高二）若圓與圓相外切，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
例題4．（2022·江蘇鹽城·高二期末）若圓和圓有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是___________.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二期中）若圓x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外離，則a，b滿足的條件是________________．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圓與圓內(nèi)切，則_________.
3．（2022·安徽·合肥市第七中學(xué)高二期末）已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)是___________.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩圓與相交，則的取值范圍是______.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知圓與圓外切,則的值為______.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，則4a2＋b2＝________．
重點題型二：兩圓相切問題
例題1．（2022·上海徐匯·高二期末）已知圓和圓內(nèi)切，則的值為___________．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓與圓，若圓與圓相外切，則實數(shù)＝________.
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓:與圓：
相內(nèi)切， 則 的最小值為__________．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）半徑為6的圓與x軸相切，且與圓內(nèi)切，則此圓的方程為______
2．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓與圓外切，則實數(shù)a的值為___________.
3．（2022·江蘇鹽城·高二期末）已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，則ab的最大值為_____________．
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求以為圓心，且與圓相外切的圓C的方程．
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓與圓外切，求實數(shù)a的值．
重點題型三：兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長
角度1：求公共弦方程
典型例題
例題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在直線方程______．
例題2．（2022·全國·高二）已知圓，圓的圓心在軸上，且與的公共弦所在直線的方程為，則圓的方程為___________.
角度2：兩圓公共弦長
典型例題
例題1．（2022·天津河北·二模）圓和圓的公共弦的長為___________．
例題2．（2022·天津市第四十七中學(xué)高三開學(xué)考試）若圓與圓()的公共弦長為，則＝________.
同類題型歸類練
1．（2022·河北·張家口市宣化第一中學(xué)高二期末）若圓和圓的公共弦所在的直線方程為，則______．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則兩圓公共弦所在的直線方程是____________．
3．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學(xué)高二開學(xué)考試）已知圓與相交，它們公共弦所在直線的方程是________．
4．（2022·廣東汕頭·高二階段練習(xí)）圓與的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山東威海·三模）圓與圓的公共弦長為______．
6．（2022·四川省廣安代市中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2x＋2ay－6＝0( )的公共弦長為，則a＝________.
7．（2022·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測（理））已知圓與圓（t，m，）相交于P，Q兩點（點M與點N在直線PQ兩側(cè)），且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
重點題型四：圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
角度1：圓的公切線條數(shù)
典型例題
例題1．（2022·陜西·西安中學(xué)一模（理））在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與圓：，則兩圓的公切線的條數(shù)是（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
例題2．（2022·四川宜賓·高二期末（理））若圓與圓有且僅有一條公切線，則（ ）
A．－23 B．－3 C．－12 D．－13
角度2：圓的公切線方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．
角度3：圓的公切線長
典型例題
例題1．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，：，及點和.
(1)求圓和圓公切線段的長度；
角度4：與圓有關(guān)的最值問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓和圓，分別是圓上的動點，為軸上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點是圓上的任一點，圓是過點且半徑為1的動圓，點是圓上的任一點，則長度的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
同類題型歸類練
1．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測（理））圓與圓的公切線條數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圓與圓恰有2條公切線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·廣東廣州·高二期末）寫出與圓和圓都相切的一條切線方程___________.
4．（2021·安徽·池州市第一中學(xué)高二期中）已知圓，
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系，并求它們的公切線之長；
5．（2022·陜西·無高一階段練習(xí)）若，分別為圓：與圓：上的動點，為直線上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．6 C．9 D．12
6．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））過圓上的點P作圓的切線，切點為Q，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）若圓與單位圓恰有三條公切線，則實數(shù)a的值為（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知直線，過直線l上的動點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則點到直線的距離最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（多選）（2022·全國·模擬預(yù)測）已知點在圓上，點，，則（ ）
A．點到直線的距離最大值為
B．滿足的點有3個
C．過點作圓的兩切線，切點分別為 ，則直線的方程為
D．的最小值是
4．（2022·天津二中模擬預(yù)測）已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長_________．
5．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（理））已知在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在直線上．
(1)若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；
(2)若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．
2.5.2圓與圓的位置關(guān)系（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：兩圓的位置關(guān)系
重點題型二：兩圓相切問題
重點題型三：兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長
重點題型四：圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：圓與圓的位置關(guān)系
1、圓與圓的位置關(guān)系
(1)圓與圓相交，有兩個公共點；
(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個公共點；
(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點.
圖象 位置關(guān)系 圖象 位置關(guān)系
外 離 外 切
相 交 內(nèi) 切
內(nèi) 含
2、圓與圓的位置關(guān)系的判定
2.1幾何法
設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.
①當(dāng)時，兩圓相交；
②當(dāng)時，兩圓外切；
③當(dāng)時，兩圓外離；
④當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；
⑤當(dāng)時，兩圓內(nèi)含.
2.2代數(shù)法
設(shè):
:
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次方程，求出其
①與設(shè)設(shè)相交
②與設(shè)設(shè)相切（內(nèi)切或外切）
③與設(shè)設(shè)相離（內(nèi)含或外離）
知識點二：圓與圓的公共弦
1、圓與圓的公共弦
圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.
2、公共弦所在直線的方程
設(shè):
:
聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程
3、公共弦長的求法
代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求其長．
幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．
知識點三：圓與圓的公切線
1、公切線的條數(shù)
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．
（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；
（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；
（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；
（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；
（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．
2、公切線的方程
核心技巧：利用圓心到切線的距離求解
知識點四：圓系方程
以為圓心的同心圓圓系方程：；
與圓同心圓的圓系方程為；
過直線與圓交點的圓系方程為
過兩圓，圓：交點的圓系方程為
（，此時圓系不含圓：）特別地，當(dāng)時，上述方程為一次方程.
兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.
1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）判斷正誤
（1）若兩圓沒有公共點，則兩圓一定外離．( )
（2）若兩圓外切，則兩圓有且只有一個公共點，反之也成立．( )
（3）若兩圓有公共點，則．( )
【答案】 × × √
（1）兩圓沒有公共點，可以是外離，也可以是內(nèi)含，錯誤；
（2）兩圓有一個公共點，可以是內(nèi)切，也可以是外切，錯誤；
（3）兩圓有公共點，則|r1 r2|≤d≤r1+r2
2．（2022·江西·貴溪市實驗中學(xué)高二期末）圓：與圓：的位置關(guān)系是內(nèi)切 ( )
【答案】錯誤
解：圓.圓心，半徑；
圓.即.圓心.半徑.
兩圓的圓心距，∴兩圓外切，
故答案為：錯誤..
3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）圓與圓的內(nèi)公切線有且僅有( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】B
由題可知：兩圓圓心距為3>2，所以兩圓外離，所以內(nèi)功切線有2條
故選：B
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若兩圓的半徑R，r分別為5和2，圓心距d為3，則兩圓的位置關(guān)系是_________．
【答案】內(nèi)切
由題可知：R-r=d，所以兩圓內(nèi)切
故答案為：內(nèi)切
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．外離 C．外切 D．內(nèi)切
【答案】C
由題可知：圓，圓心，半徑
圓，圓心，半徑
所以兩圓外切
故選：C
重點題型一：兩圓的位置關(guān)系
角度1：判斷兩圓位置關(guān)系
典型例題
例題1．（2022·天津河北·高二期末）已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．相離
【答案】A
對圓，其圓心，半徑；
對圓，其圓心，半徑；
又，故兩圓外切.
故選：A.
例題2．（2022·福建福州·高二期末）圓與圓的公切線的條數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，所以兩圓的心心距為，所以兩圓相離，公切線有4條.
故選：D.
例題3．（2022·江蘇·高二）兩圓與的公切線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】D
由題意，圓與圓，
可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，
則，
所以，可得圓外離，
所以兩圓共有4條切線.
故選：D.
角度2：由圓的位置關(guān)系求參數(shù)
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑
根據(jù)題意可得，圓、相離，則，即
∴
故選：A．
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“”是“與相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分且必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
易得，．當(dāng)圓外切時：得：，
當(dāng)圓內(nèi)切時：得：．
所以是兩圓相切的充分不必要條件．
故選：A．
例題3．（2022·江蘇·高二）若圓與圓相外切，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
由可得，所以圓的圓心為，半徑為，
由可得，所以圓的圓心為，半徑為，
因為兩圓相外切，所以，解得，
故選：D
例題4．（2022·江蘇鹽城·高二期末）若圓和圓有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
圓的圓心為，半徑，
由，得，所以圓心為，半徑，
因為圓和圓有兩個不同的公共點，
所以兩圓相交，
因為圓恒過原點，
所以圓的直徑大于2，
所以，解得或，
所以實數(shù)m的取值范圍是，
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二期中）若圓x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外離，則a，b滿足的條件是________________．
【答案】a2＋b2>3＋2
即，即．兩圓外離，則兩圓圓心距大于兩圓半徑之和，所以，即
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圓與圓內(nèi)切，則_________.
【答案】1或121
圓的半徑，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.
因為兩圓內(nèi)切，且圓心距離，
所以或，解得或.
故答案為：1或121
3．（2022·安徽·合肥市第七中學(xué)高二期末）已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)是___________.
【答案】
解：由圓，可得：，
可得其圓心為，半徑為；
由，可得，
可得其圓心為，半徑為2；
所以可得其圓心距為：，
可得：，
故兩圓相交，其公切線條數(shù)為,
故答案為：2.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩圓與相交，則的取值范圍是______.
【答案】
圓的圓心為，半徑為3,圓的圓心為,半徑為r.因為兩圓與相交，所以,解得.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知圓與圓外切,則的值為______.
【答案】0或6
圓的圓心為,半徑為1,
圓的圓心為,半徑為2,
兩圓外切,所以,∴、6,故的值為0或6.
故答案為0或6
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，則4a2＋b2＝________．
【答案】1
圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圓C2：x2＋(y－b)2＝1，
|C1C2|＝.
因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，
所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.
故答案為：1．
重點題型二：兩圓相切問題
例題1．（2022·上海徐匯·高二期末）已知圓和圓內(nèi)切，則的值為___________．
【答案】##3.5
解：圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
所以兩圓的圓心距，
又因為兩圓內(nèi)切，有，
解得.
故答案為：.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓與圓，若圓與圓相外切，則實數(shù)＝________.
【答案】或##2或-5
由題意，圓與圓，
則且，
因為圓與圓相外切時，可得，即，
整理得，解得或.
故答案為：或.
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓:與圓：
相內(nèi)切， 則 的最小值為__________．
【答案】##0.5
由圓C1與圓C2內(nèi)切，得，即.又由基本不等式，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）半徑為6的圓與x軸相切，且與圓內(nèi)切，則此圓的方程為______
【答案】或
由題意，半徑為6的圓與x軸相切，設(shè)所求圓的圓心為，且，
因為圓與圓內(nèi)切，可得，
解得，所以圓的方程為或.
故答案為：或.
2．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓與圓外切，則實數(shù)a的值為___________.
【答案】
化圓為：，
則圓心坐標(biāo)為，半徑為2.
由題意圓:與圓:外切，
則，
解得，
故答案為：0
3．（2022·江蘇鹽城·高二期末）已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，則ab的最大值為_____________．
【答案】
由兩圓外切可得圓心(a，－2)，(－b，－2)之間的距離等于兩圓半徑之和，
即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，即ab的最大值是．
故答案為：
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求以為圓心，且與圓相外切的圓C的方程．
【答案】
解：由題知的圓心為，，
因為以為圓心，且與圓相外切，設(shè)圓C的半徑為，
所以 ，即，
所以，
所以圓C的方程為
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓與圓外切，求實數(shù)a的值．
【答案】
由已知，，標(biāo)準(zhǔn)方程是，，，
兩圓外切，則，
∴．
重點題型三：兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長
角度1：求公共弦方程
典型例題
例題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在直線方程______．
【答案】
圓，即，圓，即，
作差得：，即公共弦所在直線方程為，
故答案為：.
例題2．（2022·全國·高二）已知圓，圓的圓心在軸上，且與的公共弦所在直線的方程為，則圓的方程為___________.
【答案】
設(shè)圓的圓心為，半徑為，
則圓的方程為，即，
因為圓，
所以與的公共弦所在直線的方程為，
即，
因為與的公共弦所在直線的方程為，
所以，解得，，
故圓的方程為，
故答案為：.
角度2：兩圓公共弦長
典型例題
例題1．（2022·天津河北·二模）圓和圓的公共弦的長為___________．
【答案】
解：由圓①，即，所以圓心，半徑；
又圓②，
①②得，即公共弦方程為，
圓心到直線的距離,
所以公共弦長為；
故答案為：
例題2．（2022·天津市第四十七中學(xué)高三開學(xué)考試）若圓與圓()的公共弦長為，則＝________.
【答案】1
將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為.
圓的圓心為，半徑為.
到直線的距離為：
，解得.
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·河北·張家口市宣化第一中學(xué)高二期末）若圓和圓的公共弦所在的直線方程為，則______．
【答案】
由題設(shè)，兩圓方程相減可得：，即為公共弦，
∴，可得，
∴.
故答案為：.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則兩圓公共弦所在的直線方程是____________．
【答案】x－2y＋4＝0
兩圓的方程相減得：x－2y＋4＝0．
故答案為：x－2y＋4＝0
3．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學(xué)高二開學(xué)考試）已知圓與相交，它們公共弦所在直線的方程是________．
【答案】
圓的一般方程為，
用圓的方程減去圓的方程得兩圓公共弦所在直線的方程是，即．
故答案為：.
4．（2022·廣東汕頭·高二階段練習(xí)）圓與的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
已知圓，圓，
兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：：，
而圓心到直線的距離為，
圓的半徑為，所以，所以.
故選：D.
5．（2022·山東威海·三模）圓與圓的公共弦長為______．
【答案】
設(shè)圓：與圓：交于，兩點
把兩圓方程相減，化簡得
即：
圓心到直線的距離，又
而，所以
故答案為：
6．（2022·四川省廣安代市中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2x＋2ay－6＝0( )的公共弦長為，則a＝________.
【答案】0
將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為 .
圓的圓心為，半徑為.
由公共弦長為，則圓心到公共弦的距離為
到直線的距離為：解得 .
故答案為：0
7．（2022·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測（理））已知圓與圓（t，m，）相交于P，Q兩點（點M與點N在直線PQ兩側(cè)），且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題意，得圓的圓心為、半徑為；
圓的圓心為、半徑為；
連接、、，則、、，
因為，所以；
則；
所以，
即關(guān)于的方程有實根，
則，
即，即，
所以的最大值為.
故選：C.
重點題型四：圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
角度1：圓的公切線條數(shù)
典型例題
例題1．（2022·陜西·西安中學(xué)一模（理））在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與圓：，則兩圓的公切線的條數(shù)是（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
【答案】A
圓：的圓心，半徑，
圓：的圓心，半徑，
，顯然，即圓與圓外離，
所以兩圓的公切線的條數(shù)是4.
故選：A
例題2．（2022·四川宜賓·高二期末（理））若圓與圓有且僅有一條公切線，則（ ）
A．－23 B．－3 C．－12 D．－13
【答案】A
因為圓，圓心為，半徑為；
圓可化為，圓心為，半徑，
又圓與圓有且僅有一條公切線，
所以兩圓內(nèi)切，
因此，即，
解得.
故選：A.
角度2：圓的公切線方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．
【答案】或或
圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當(dāng)切線為l時，因為，所以，設(shè)方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當(dāng)切線為n時，易知切線方程為，
故答案為：或或.
角度3：圓的公切線長
典型例題
例題1．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，：，及點和.
(1)求圓和圓公切線段的長度；
【答案】(1)或
圓：，即，，
圓：，即，，，
圓心距為，故兩圓外離，共有4條公切線段，兩兩長度相同，
當(dāng)兩圓在公切線同側(cè)時：.
當(dāng)兩圓在公切線異側(cè)時：.
綜上所述，公切線段長為或.
角度4：與圓有關(guān)的最值問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓和圓，分別是圓上的動點，為軸上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，
∴若與關(guān)于x軸對稱，則，即，
由圖易知，當(dāng)三點共線時取得最小值，
∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，
∴.
故選：D.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點是圓上的任一點，圓是過點且半徑為1的動圓，點是圓上的任一點，則長度的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
由題可知點的軌跡方程是，
即得點是圓上的動點，
又由題知點是圓上的動點，
如圖可得則.
故選：B.
同類題型歸類練
1．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測（理））圓與圓的公切線條數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑長為.
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑長為.
圓心距為，由于，即，
所以，兩圓相交，公切線的條數(shù)為.
故選：B.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圓與圓恰有2條公切線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為圓與圓恰有2條公切線，所以
解得
故選：B．
3．（2022·廣東廣州·高二期末）寫出與圓和圓都相切的一條切線方程___________.
【答案】或或
圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，
圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，
易得切線的方程為，
因為，且，所以，設(shè)，即，
則到的距離，解得（舍去）或，所以，
可知和關(guān)于對稱，聯(lián)立，解得在上，
在上任取一點，設(shè)其關(guān)于的對稱點為，
則，解得，
則，所以直線，即，
綜上，切線方程為或或.
故答案為：或或.
4．（2021·安徽·池州市第一中學(xué)高二期中）已知圓，
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系，并求它們的公切線之長；
【答案】(1)圓相交，公切線之長為；
由圓可得，半徑，
由圓可得，半徑，
，
所以，所以圓相交.
設(shè)直線分別與圓切于，，連接，
在直角梯形中，，
所以，即它們的公切線之長為；
5．（2022·陜西·無高一階段練習(xí)）若，分別為圓：與圓：上的動點，為直線上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．6 C．9 D．12
【答案】C
易得圓圓心為半徑為2，圓圓心為半徑為1，設(shè)圓圓心半徑為1，與關(guān)于直線對稱，
則，解得，如圖所示，要使最小，
則.
故選：C.
6．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））過圓上的點P作圓的切線，切點為Q，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
分別設(shè)圓，圓的圓心為，，根據(jù)題意可知，，
所以，因為PQ與相切于點Q，
由幾何關(guān)系可知，
所以當(dāng)最小時，有最小值，
所以當(dāng)P在線段上時，最小，此時，
所以的最小值為.
故選：B．
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）若圓與單位圓恰有三條公切線，則實數(shù)a的值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
由題，兩圓恰有三條公切線，說明兩圓為外切關(guān)系（兩條外公切線，一條內(nèi)公切線），因此圓心距，結(jié)合解得．
故選：C.
2．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知直線，過直線l上的動點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則點到直線的距離最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
設(shè)點P的坐標(biāo)為，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，
所以為直徑的圓的方程為.
與方程作差可得直線的方程為，整理為.
可得直線過定點M，由幾何法可得點Q到直線的距離最大值為.
故選：C
3．（多選）（2022·全國·模擬預(yù)測）已知點在圓上，點，，則（ ）
A．點到直線的距離最大值為
B．滿足的點有3個
C．過點作圓的兩切線，切點分別為 ，則直線的方程為
D．的最小值是
【答案】ACD
對A，，則圓心到直線的距離，所以點P到該直線距離的最大值為．A正確；
對B，設(shè)點，則，且，由題意，
兩圓的圓心距為，半徑和與半徑差分別為，于是，即兩圓相交，滿足這樣條件的點P有2個．B錯誤；
對C，設(shè)，則直線MB，NB分別為，因為點B在兩條直線上，所以，于是都滿足直線方程，即直線MN的方程為．C正確；
對D，即求的最小值，設(shè)存在定點，使得點在圓上任意移動時均有，設(shè)，則有，化簡得，∵，
則有，即，∴，則，
所以，所以D正確．
故選：ACD．
4．（2022·天津二中模擬預(yù)測）已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長_________．
【答案】
由題可知：
，即
且
由兩圓向外切可知，解得
所以
到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為
則直線被圓所截的弦長為
故答案為：
5．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（理））已知在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在直線上．
(1)若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；
(2)若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】(1)或(2)
(1)解：聯(lián)立，解得，即圓心，所以，圓的方程為.
若切線的斜率不存在，則切線的方程為，此時直線與圓相離，不合乎題意；
所以，切線的斜率存在，設(shè)所求切線的方程為，即，
由題意可得，整理可得，解得或.
故所求切線方程為或，即或.
(2)解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，
設(shè)點，由可得，
整理可得，
由題意可知，圓與圓有公共點，所以，，
即，解得.
所以，圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

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