資源簡(jiǎn)介

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
角度1：待定系數(shù)法
角度2：定義法
重點(diǎn)題型二：對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解
重點(diǎn)題型三：橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題
角度1：求焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角或邊長(zhǎng)
角度2：求焦點(diǎn)三角形的面積
角度3：幾何最值問(wèn)題
重點(diǎn)題型四：與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
第五部分：新定義問(wèn)題
第六部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義
1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)，
這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)（,）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（）叫作橢圓的焦距.
說(shuō)明：
若，的軌跡為線段；
若，的軌跡無(wú)圖形
2、定義的集合語(yǔ)言表述
集合.
知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在軸上 焦點(diǎn)在軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 （） （）
圖象
焦點(diǎn)坐標(biāo) ， ，
的關(guān)系
特別說(shuō)明：
1、兩種橢圓，（）的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點(diǎn)是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.
2、給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點(diǎn)位置的方法是:橢圓的焦點(diǎn)在軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大;橢圓的焦點(diǎn)在軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大,這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡(jiǎn)記作:焦點(diǎn)位置看大小,焦點(diǎn)跟著大的跑.
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．( )
（2）到兩定點(diǎn)和的距離之和為3的點(diǎn)M的軌跡為橢圓．( )
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）到兩定點(diǎn)和的距離之和為14的點(diǎn)P的軌跡是( )
A．橢圓 B．線段 C．圓 D．以上都不對(duì)
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A． B． C． D．
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于( )
A．10 B．8 C．5 D．4
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓中，焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．
重點(diǎn)題型一：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
角度1：待定系數(shù)法
典型例題
例題1．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2；
(2)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長(zhǎng)為2．
例題2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別為8和6；
(2)中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長(zhǎng)為4；
(3)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1．
角度2：定義法
典型例題
例題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)始終滿足關(guān)系式，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知兩圓：，：.動(dòng)圓在圓內(nèi)部且和圓相內(nèi)切，和圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知定點(diǎn)、和動(dòng)點(diǎn)．
(1)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：動(dòng)點(diǎn)的軌跡及其方程．
條件①：
條件②：
(2)，求：動(dòng)點(diǎn)的軌跡及其方程．
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是___________．
2．（2022·湖南·高二期末）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_(kāi)__________.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)滿足條件，求點(diǎn)的軌跡的方程.
4．（2022·新疆·哈密市第一中學(xué)高二期末（理））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)；
(2)焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為，P到距它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)，焦點(diǎn)在x軸上；
(2)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上．
重點(diǎn)題型二：對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解
典型例題
例題1．（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．不充分也不必要條件
例題2．（2022·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（文））“”是方程“表示橢圓”的（ ）．
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
例題3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
同類題型歸類練
1．（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測(cè)（文））已知命題p：“”，命題q：“方程表示橢圓”，則p是q的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知a為實(shí)數(shù)，則“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程表示橢圓，求的取值范圍．
重點(diǎn)題型三：橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題
角度1：求焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角或周長(zhǎng)
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．20 B．18 C．16 D．9
例題2．（2022·四川眉山·高二期末（理））直線過(guò)橢圓的中心，交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
例題3．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
角度2：求焦點(diǎn)三角形的面積
典型例題
例題1．（2022·四川內(nèi)江·高二期末（理））已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．9
例題2．（2022·山西呂梁·高二期末）已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且的面積為1，則橢圓的短軸長(zhǎng)為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積為（ ）
A． B． C．4 D．6
角度3：幾何最值問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·山東臨沂·高二期末），分別為橢圓的左 右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知為橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
角度4：其他問(wèn)題
例題1．（2022·上海普陀·二模）設(shè)橢圓的左、右兩焦點(diǎn)分別為，，是上的點(diǎn)，則使得是直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)________.
例題2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為、的橢圓上，若，則的值為_(kāi)_____．
同類題型歸類練
1．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且滿足.若橢圓的離心率為，則的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，離心率互為倒數(shù)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則角的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國(guó)·高二）已知有相同兩焦點(diǎn)，的橢圓和雙曲線，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．隨，的變化而變化
4．（2022·上海虹口·二模）已知橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若是等邊三角形，則的值等于_________.
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若，則這樣的點(diǎn)P有______個(gè)．
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在該橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么的值為_(kāi)_____．
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__________．
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.
9．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)_____.
10．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是其左右焦點(diǎn)，且，則三角形的面積為_(kāi)________
11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，的面積為，且，則橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知 是橢圓：()的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且.若的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)和，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則最大值是（ ）
A． B． C． D．
重點(diǎn)題型四：與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知的周長(zhǎng)為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)圓的圓心為，點(diǎn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為圓周上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·全國(guó)·高二）動(dòng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，則線段中點(diǎn)的軌跡方程是.
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓O：上，的垂直平分線交直線OQ于點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，則m的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C． D．
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，為原點(diǎn)，,點(diǎn)的軌跡方程為
A． B． C． D．
1．（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）在橢圓C：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓：上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.該圖由法國(guó)數(shù)學(xué)家G-Monge（1746-1818）最先發(fā)現(xiàn).若橢圓C的離心率為e，左 右焦點(diǎn)分別為 ，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P和原點(diǎn)作直線l與蒙日?qǐng)A相交于M，N，則（ ）
A． B．1 C． D．以上答案均不正確
2．（2022·重慶市清華中學(xué)校高二階段練習(xí)）阿基米德（公元前287年公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘積．若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的矩形截某圓錐得到橢圓，且與矩形的四邊相切.設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，P是C上一點(diǎn)，，，C的面積為12π，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））設(shè)為橢圓的焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)__．
4．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足，的面積為，直線交橢圓C于另一點(diǎn)Q，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．
9．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，若A B是橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且垂直于x軸，則周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)__________.
3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
角度1：待定系數(shù)法
角度2：定義法
重點(diǎn)題型二：對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解
重點(diǎn)題型三：橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題
角度1：求焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角或邊長(zhǎng)
角度2：求焦點(diǎn)三角形的面積
角度3：幾何最值問(wèn)題
重點(diǎn)題型四：與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
第五部分：新定義問(wèn)題
第六部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義
1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)，
這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)（,）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（）叫作橢圓的焦距.
說(shuō)明：
若，的軌跡為線段；
若，的軌跡無(wú)圖形
2、定義的集合語(yǔ)言表述
集合.
知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在軸上 焦點(diǎn)在軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 （） （）
圖象
焦點(diǎn)坐標(biāo) ， ，
的關(guān)系
特別說(shuō)明：
1、兩種橢圓，（）的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點(diǎn)是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.
2、給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點(diǎn)位置的方法是:橢圓的焦點(diǎn)在軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大;橢圓的焦點(diǎn)在軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大,這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡(jiǎn)記作:焦點(diǎn)位置看大小,焦點(diǎn)跟著大的跑.
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．( )
（2）到兩定點(diǎn)和的距離之和為3的點(diǎn)M的軌跡為橢圓．( )
【答案】 × ×
（1）根據(jù)橢圓的定義可知，錯(cuò)誤；
（2）由于兩定點(diǎn)之間距離為4>3,故點(diǎn)M的軌跡不存在，錯(cuò)誤.
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）到兩定點(diǎn)和的距離之和為14的點(diǎn)P的軌跡是( )
A．橢圓 B．線段 C．圓 D．以上都不對(duì)
【答案】B
由題可知：兩定點(diǎn)之間的距離是14，所以點(diǎn)P的軌跡為線段
故選：B
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A． B． C． D．
【答案】C
由題可知：焦點(diǎn)在y軸上，a=13,b=5,由a2=b2+c2,所以c=12
故選：C
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于( )
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】A
根據(jù)橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a=10
故選：A
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓中，焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．
【答案】
由題可知：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
故答案為：
重點(diǎn)題型一：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
角度1：待定系數(shù)法
典型例題
例題1．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2；
(2)一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長(zhǎng)為2．
【答案】(1)；
(2)．
(1)∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)橢圓的方程為（），
∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，
∴，，
∴，，
∴，
∴橢圓的方程為；
(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長(zhǎng)為2，
設(shè)橢圓的方程為（），
∴，，
∴，
∴橢圓的方程為．
例題2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別為8和6；
(2)中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長(zhǎng)為4；
(3)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
(1)由題意得：，所以，結(jié)合焦點(diǎn)在x軸上，故橢圓方程為；
(2)由題意得：，故，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，故橢圓方程為
(3)由題意得：，，所以，，結(jié)合焦點(diǎn)在x軸上，故橢圓方程為：.
角度2：定義法
典型例題
例題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)始終滿足關(guān)系式，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因動(dòng)點(diǎn)滿足關(guān)系式，
則該等式表示點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為8，而，
即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，于是短半軸長(zhǎng)b有，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.
故選：B
例題2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知兩圓：，：.動(dòng)圓在圓內(nèi)部且和圓相內(nèi)切，和圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為
圓與圓:內(nèi)切，與C2：外切.
所以.
由橢圓的定義，的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為16的橢圓.
則，所以
動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為：
故選：D
例題3．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知定點(diǎn)、和動(dòng)點(diǎn)．
(1)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：動(dòng)點(diǎn)的軌跡及其方程．
條件①：
條件②：
(2)，求：動(dòng)點(diǎn)的軌跡及其方程．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)答案見(jiàn)解析.
(1)選擇條件①：，因?yàn)椋?br/>故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為，
則，，故其方程為：.
即選擇條件①，點(diǎn)的軌跡是橢圓，其方程為；
選擇條件②：，因?yàn)椋?br/>故點(diǎn)的軌跡是線段，其方程為.
(2)因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)不存在，沒(méi)有軌跡和方程；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
由（1）可知，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，其方程為；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)沒(méi)有軌跡和方程；
當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，其方程為；
當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為.
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是___________．
【答案】
解：∵，
故令，，
∴，
∴方程表示的曲線是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
即，，，
∴方程為.
故答案為：.
2．（2022·湖南·高二期末）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_(kāi)__________.
【答案】
圓x2+y2+6x+5＝0的圓心為A（﹣3，0），半徑為2；
圓x2+y2﹣6x﹣91＝0的圓心為B（3，0），半徑為10；
設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為x；
則MA＝2+r，MB＝10﹣r；
于是MA+MB＝12＞AB＝6
所以，動(dòng)圓圓心M的軌跡是以A（﹣3，0），B（3，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12的橢圓．
a＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；
所以M的軌跡方程為
故答案為
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)滿足條件，求點(diǎn)的軌跡的方程.
【答案】.
滿足條件，
∴點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
，，
∴所求點(diǎn)P的軌跡C的方程為.
4．（2022·新疆·哈密市第一中學(xué)高二期末（理））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)；
(2)焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為，P到距它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.
【答案】(1)
(2)
(1)由題意得：，，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以橢圓方程為：；
(2)由題意得：，，所以，，所以橢圓方程為：.
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)，焦點(diǎn)在x軸上；
(2)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上．
【答案】(1)
(2)
(1)若，焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)因?yàn)椋裹c(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
重點(diǎn)題型二：對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解
典型例題
例題1．（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．不充分也不必要條件
【答案】A
若方程表示橢圓，則，，
“”是“方程表示橢圓”的必要條件；
反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，如，或，方程表示圓，
“”不是方程“表示橢圓”的充分條件．
綜上，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．
故選：A．
例題2．（2022·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（文））“”是方程“表示橢圓”的（ ）．
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
當(dāng)方程表示橢圓時(shí)，必有，所以且；
當(dāng)時(shí)，該方程不一定表示橢圓，例如當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)椋硎疽粋€(gè)圓．
即“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．
故選：A．
例題3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】.
當(dāng)時(shí)，顯然方程不表示橢圓，
當(dāng)時(shí)，由，
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，
所以由，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
同類題型歸類練
1．（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測(cè)（文））已知命題p：“”，命題q：“方程表示橢圓”，則p是q的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
若方程表示橢圓，則，解得或，
所以p是q的必要不充分條件，
故選：C
2．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知a為實(shí)數(shù)，則“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
由方程表示的曲線為橢圓，則
，解得且，
所以“”是“且”的充分不必要條件，即
“”是“方程表示的曲線為橢圓”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程表示橢圓，求的取值范圍．
【答案】且
解：因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，則，解得且．
重點(diǎn)題型三：橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題
角度1：求焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角或周長(zhǎng)
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．20 B．18 C．16 D．9
【答案】B
由橢圓方程知，所以，
．
故選：B．
例題2．（2022·四川眉山·高二期末（理））直線過(guò)橢圓的中心，交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
如圖，E，F(xiàn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則四邊形AEBF是平行四邊形，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性
周長(zhǎng)為：
又有：
則有：周長(zhǎng)的最小值為16
故選：B
例題3．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由題意，橢圓方程，可得，
所以焦點(diǎn)，
又由橢圓的定義，可得，因?yàn)椋裕?br/>在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故選:C．
例題4．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
在橢圓中，，，，
由橢圓定義可得，，
由余弦定理可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，的最小值為.
故選：A.
角度2：求焦點(diǎn)三角形的面積
典型例題
例題1．（2022·四川內(nèi)江·高二期末（理））已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
因?yàn)椋?br/>所以，
又
記，則，
②2-①整理得：，所以
故選：A
例題2．（2022·山西呂梁·高二期末）已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且的面積為1，則橢圓的短軸長(zhǎng)為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
設(shè)，，
所以，即，
即，得，短軸長(zhǎng)為.
故選：B
例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積為（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
易知，，所以，，即，
由橢圓的定義，知，又因?yàn)椋?br/>所以，又，
所以為直角三角形，所以.
故選：D.
角度3：幾何最值問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，則
又因?yàn)椋?br/>所以，則
故選：A
例題2．（2022·山東臨沂·高二期末），分別為橢圓的左 右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：由橢圓方程得，
如圖，連接，由于，
所以，
所以，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，
所以
所以
故選：A
例題3．（2022·寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知為橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
【答案】B
解：依題意可知，橢圓的焦點(diǎn)分別是兩圓和的圓心，
根據(jù)定義，兩圓半徑為，
故橢圓上動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)連線時(shí)與圓相交于M，N時(shí)， 最小，
最小值為.
故選：B.
角度4：其他問(wèn)題
例題1．（2022·上海普陀·二模）設(shè)橢圓的左、右兩焦點(diǎn)分別為，，是上的點(diǎn)，則使得是直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)________.
【答案】6
由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)為上下頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，，
所以，故焦點(diǎn)三角形中最大為，故有2個(gè)；
又、對(duì)應(yīng)的直角三角形各有2個(gè)；
綜上，使得是直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè).
故答案為：6
例題2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為、的橢圓上，若，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
在橢圓中，，，則，，
由橢圓的定義可得，
因?yàn)椋瑒t，
所以，.
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且滿足.若橢圓的離心率為，則的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由已知可得，則，，則，
由余弦定理可得.
故選：D.
2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，離心率互為倒數(shù)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則角的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
設(shè)橢圓方程為，
則，解得，
則橢圓方程為，
當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)角最大，
此時(shí)，
因?yàn)椋?br/>故選：D.
3．（2022·全國(guó)·高二）已知有相同兩焦點(diǎn)，的橢圓和雙曲線，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．隨，的變化而變化
【答案】B
根據(jù)橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)都在軸上，不妨設(shè)在第一象限，是左焦點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，
則由橢圓與雙曲線的定義有：，
可得，，即，
因?yàn)閮烧哂泄步裹c(diǎn)，設(shè)半焦距為，則，，
所以，所以，
所以，即，
所以為直角三角形.
故選：B.
4．（2022·上海虹口·二模）已知橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若是等邊三角形，則的值等于_________.
【答案】
因?yàn)槭堑冗吶切危剩赎P(guān)于軸對(duì)稱，故軸.故，，故，又，故，故，即，所以，
故答案為：
5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若，則這樣的點(diǎn)P有______個(gè)．
【答案】2
由題設(shè)，最大時(shí)P在橢圓的上下頂點(diǎn)上，
此時(shí)，又，
所以，故這樣的點(diǎn)P有2個(gè)，恰好為上下頂點(diǎn).
故答案為：2
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在該橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么的值為_(kāi)_____．
【答案】7
由＝1可知，，
所以，
所以F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，
∵線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，且原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
所以，所以軸，
∴可設(shè)P(3，t)，
把P(3，t)代入橢圓＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故答案為：7.
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__________．
【答案】14
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得, 即四邊形為矩形
所以,
由橢圓的定義可得，所以
所以的周長(zhǎng)為：
故答案為：14
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.
【答案】8
由橢圓，得，
由題意可知如圖：
連結(jié)，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，
可得OM為的中位線，
所以，
由橢圓的定義可知，得，
所以的周長(zhǎng)為：.
故答案為：8
9．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】
設(shè)為橢圓右焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，，
所以.
要求的最小值，也就是求的最大值.如圖示：
而當(dāng)，，共線(A在中間)時(shí)，最大，此時(shí)
，所以.
所以的最小值為.
故答案為：
10．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是其左右焦點(diǎn)，且，則三角形的面積為_(kāi)________
【答案】
由橢圓方程知：，，則；
由橢圓定義知：，
由余弦定理得：，
，解得：，
.
故答案為：.
11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，的面積為，且，則橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由題意可得，且，，
解得，，，所以橢圓的方程為，
故選：D．
12．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知 是橢圓：()的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且.若的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依題意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，則，
故選：B.
13．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)和，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：橢圓，所以為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，
則由橢圓定義，
于是.
當(dāng)不在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)， 三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，
而當(dāng)在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有，
在第三象限交點(diǎn)時(shí)有.
顯然當(dāng)在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為
.
故選：A.
重點(diǎn)題型四：與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知的周長(zhǎng)為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由已知可得，，且、、三點(diǎn)不共線，
故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，
由已知可得，得，，則，
因此，點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：D.
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)圓的圓心為，點(diǎn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為圓周上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
為垂直平分線上的一點(diǎn)
點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓 ，
的軌跡方程為
故選：
例題3．（2022·全國(guó)·高二）動(dòng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，則線段中點(diǎn)的軌跡方程是.
A． B． C． D．
【答案】B
解：設(shè)線段中點(diǎn)為P
設(shè)M（x0，y0），D（x0，0），
∵P是的中點(diǎn)，
∴，
又M在圓上，
∴x02+y02＝25，即x2+4y2＝25， ．
∴線段的中點(diǎn)P的軌跡方程是： ．
故選B．
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓O：上，的垂直平分線交直線OQ于點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，則m的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
要使動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，
則必須在圓內(nèi)，即，
故選：D.
2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C． D．
【答案】D
因?yàn)椋裕?br/>所以頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，
所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是 ，
故選：D.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，為原點(diǎn)，,點(diǎn)的軌跡方程為
A． B． C． D．
【答案】A
設(shè)動(dòng)點(diǎn) 坐標(biāo)為 由得：
即
故選A．
1．（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）在橢圓C：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓：上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.該圖由法國(guó)數(shù)學(xué)家G-Monge（1746-1818）最先發(fā)現(xiàn).若橢圓C的離心率為e，左 右焦點(diǎn)分別為 ，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P和原點(diǎn)作直線l與蒙日?qǐng)A相交于M，N，則（ ）
A． B．1 C． D．以上答案均不正確
【答案】B
解：令，
因?yàn)椋瑒t，
所以，
由，
所以①，②
則①②可得，解得，
所以，
故，
故選：B
2．（2022·重慶市清華中學(xué)校高二階段練習(xí)）阿基米德（公元前287年公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘積．若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
可設(shè)橢圓的方程為，
由題意可得：，解得：，
所以橢圓的方程為.
故選：A
3．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的矩形截某圓錐得到橢圓，且與矩形的四邊相切.設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：矩形的四邊與橢圓相切，則矩形的面積為，所以.
只有選項(xiàng)A符合.
故選：A
4．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，P是C上一點(diǎn)，，，C的面積為12π，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由橢圓的定義可知，又，所以，.又，，所以，所以，.又橢圓的面積為12π，所以，解得，，.
故選：C.
1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：C．
2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））設(shè)為橢圓的焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由橢圓的性質(zhì)知：當(dāng)在橢圓左右頂點(diǎn)時(shí)最大，
∴橢圓上存在一點(diǎn)使，只需在橢圓左右頂點(diǎn)時(shí)，
此時(shí)，，即，
又，
∴，解得，又，
∴.
故選：A.
3．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)__．
【答案】9
根據(jù)題意可得：
則點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn)，取橢圓的右焦點(diǎn)
∴，即
∵，即點(diǎn)A在橢圓內(nèi)
，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AF的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：9．
4．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足，的面積為，直線交橢圓C于另一點(diǎn)Q，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．
【答案】
設(shè)橢圓半焦距為，由已知可得為直角三角形，易知，
，整理得①，
設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則，而，
由，可得在橢圓上，
代入橢圓的方程得②．又③，
由①②③可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：.
9．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，若A B是橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且垂直于x軸，則周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)__________.
【答案】12
如圖.設(shè)與x軸相交于點(diǎn)C，橢圓右焦點(diǎn)為，
連接，
所以周長(zhǎng)為
故的周長(zhǎng)的最大值為12，
故答案為：12.

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