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3.1.2橢圓的簡單幾何性質（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：根據橢圓的標準方程研究其幾何性質
重點題型二：根據橢圓的幾何性質求其標準方程
重點題型三：求橢圓的離心率的值(或取值范圍)
角度1：求橢圓的離心率
角度2：求橢圓的離心率的取值范圍
重點題型四：直線與橢圓的位置關系
重點題型五：弦長
重點題型六：中點弦和點差法
重點題型七：橢圓的定點、定值、最值問題
重點題型八：橢圓中的向量問題
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：橢圓的簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程 （） （）
范圍 ， ，
頂點 ，， ，
軸長 短軸長＝，長軸長＝
焦點
焦距
對稱性 對稱軸：軸、軸　對稱中心：原點
離心率 ，
知識點二：橢圓的簡單幾何性質
離心率：橢圓焦距與長軸長之比：. （）
當越接近1時，越接近，橢圓越扁；
當越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；
當且僅當時，圖形為圓，方程為
知識點三：常用結論
1、與橢圓共焦點的橢圓方程可設為：
2、有相同離心率：（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）
3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
知識點四：直線與橢圓的位置關系
1、直線與橢圓的位置關系
將直線的方程與橢圓的方程聯立成方程組，消元轉化為關于或的一元二次方程，其判別式為.
①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；
②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；
③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．
2、直線與橢圓的相交弦
直線與橢圓問題（韋達定理的運用）
（1）弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：
弦長
弦長
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
；
（2）結論1：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點坐標為，則的斜率為
運用點差法求的斜率，設，；、都在橢圓上，
兩式相減得：，
即 ，故
結論2：弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：
（3）.已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，
．求：的面積（用、、表示）．
設，由橢圓的對稱性，不妨設，由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由橢圓定義知： ②，則得
故
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）橢圓的長軸長等于a．( )
（2）橢圓上的點到焦點的距離的最小值為．( )
（3）橢圓的離心率e越小，橢圓越圓．( )
（4）若一個矩形的四個頂點都在橢圓上，則這四個頂點關于橢圓的中心對稱．( )
2．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）過橢圓外一點只能作一條直線與橢圓相切．( )
（2）直線與橢圓不一定相交．( )
（3）過點的直線有且僅有一條與橢圓相切．( )
（4）直線與橢圓只有一個交點直線與橢圓相切．( )
3．（2022·全國·高二課時練習）橢圓的長軸長、短軸長、離心率依次是( )
A．5，3，0.8 B．10，6，0.8 C．5，3，0.6 D．10，6，0.6
4．（2022·全國·高二課時練習）設是橢圓上任意一點，則m的取值范圍是_________．
5．（2022·全國·高二課時練習）直線與橢圓的位置關系是( )
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
6．（2022·全國·高二課時練習）橢圓的兩個焦點為，過的直線交橢圓于A，B兩點．若，則的值為( )
A．10 B．12 C．16 D．18
重點題型一：根據橢圓的標準方程研究其幾何性質
典型例題
例題1．（2022·全國·高二專題練習）求下列橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標：
(1)；
(2)．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、焦點和頂點坐標，并以矩形為參照畫出橢圓的圖形：
(1)；
(2).
重點題型二：根據橢圓的幾何性質求其標準方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）根據下列條件求橢圓的標準方程：
(1)焦點在軸上，長軸長等于20，離心率等于；
(2)焦點在軸上，長軸長是短軸長的3倍，且橢圓經過點；
(3)在軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為8.
同類題型歸類練
1．（2022·四川省資中縣球溪高級中學高二階段練習（文））（1）求焦點在x軸上，長軸長為6，焦距為4的橢圓標準方程；
（2）求離心率，焦點在x軸，且經過點的雙曲線標準方程.
2．（2022·四川省資中縣球溪高級中學高二階段練習（理））（1）求焦點在x軸上，長軸長為6，焦距為4的橢圓標準方程；
（2）求離心率，經過點的雙曲線標準方程．
重點題型三：求橢圓的離心率的值(或取值范圍)
角度1：求橢圓的離心率
典型例題
例題1．（2022·云南紅河·高二期末）已知點，分別是橢圓的右、上頂點，點為橢圓上一點向軸作垂線，垂足恰好為左焦點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·貴州黔西·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·江西九江·三模（理））油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術節.活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當陽光與地面夾角為60時，在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
例題4．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓：1的左、右焦點為為坐標原點為橢圓上一點．與軸交于一點則橢圓的離心率為___．
同類題型歸類練
1．（2022·江西上饒·高二期末（理））已知是橢圓的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川省內江市第六中學高二階段練習（文））黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數．已知焦點在軸上的橢圓的焦距與長軸長的比值恰好是黃金分割數，則實數的值為（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2022·全國·高二專題練習）若雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·貴州遵義·高二期末（理））橢圓C：左右焦點分別為，，P為C上除左右端點外一點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南新鄉·高二期末（理））畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓：的蒙日圓方程為，，分別為橢圓的左、右焦點.離心率為，為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為36，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．
角度2：求橢圓的離心率的取值范圍
典型例題
例題1．（2022·四川省內江市第六中學高二階段練習（文））已知點、為橢圓的長軸頂點，為橢圓上一點，若直線，的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·北京市十一學校高二期末）已知橢圓C：（）的左 右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相交，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．.
例題3．（2022·全國·高二專題練習）橢圓的左、右焦點分別是 ，斜率為的直線過左焦點且交于兩點，且的內切圓的周長是，若橢圓的離心率為，則線段的長度的取值范圍是_________
例題4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
例題5．（2022·浙江寧波·二模）已知點A是橢圓：的左頂點，過點A且斜率為的直線與橢圓交于另一點（點在第一象限）.以原點為圓心，為半徑的圓在點處的切線與軸交于點.若，則橢圓離心率的取值范圍是___________.
同類題型歸類練
1．（2022·重慶一中高一期末）已知A，B為橢圓E的左，右焦點，點M在E上，為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2022·河南開封·高二期末（文））已知，是橢圓C：的左、右焦點，O為坐標原點，點M是C上點（不在坐標軸上），點N是的中點，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））已知點F為橢圓的左焦點，O為坐標原點，過橢圓的右頂點作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍為____________．
4．（2022·全國·高二專題練習）設是橢圓的離心率，若，則的取值范圍是_________.
5．（2022·全國·高三專題練習）設、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．
重點題型四：直線與橢圓的位置關系
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）直線與橢圓的交點個數為（ ）．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
例題2．（2021·全國·高二課時練習）直線：，橢圓，則直線和橢圓的位置關系是__．
例題3．（2021·全國·高二專題練習）若直線與焦點在軸的橢圓恒有兩個公共點，則實數的范圍_____．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）若直線與圓沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點的個數為（ ）
A．0或1 B．2 C．1 D．0
2．（2022·江蘇·高二）若直線和圓沒有公共點，則過點的直線與橢圓的公共點個數為（ ）
A．0 B．1
C．2 D．需根據a，b的取值來確定
3．（2022·重慶·西南大學附中高二階段練習）直線：與橢圓的位置關系是____________.
重點題型五：弦長
典型例題
例題1．（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學高二期中）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點，則等于（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）過橢圓的左焦點作傾斜角的直線，直線與橢圓交于，兩點，則______．
例題3．（2022·全國·高二專題練習）橢圓的左、右焦點分別是 ，斜率為的直線過左焦點且交于兩點，且的內切圓的周長是，若橢圓的離心率為，則線段的長度的取值范圍是_________
同類題型歸類練
1．（2021·甘肅省民樂縣第一中學高二期中（理））已知斜率為1的直線過橢圓的右焦點，交橢圓于兩點，則弦的長為（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全國·高二專題練習）已知斜率為的直線過橢圓的右焦點交橢圓于、兩點，則弦的長為______________.
3．（2021·全國·高二單元測試）過雙曲線C：（）的一個焦點和C兩支都相交的直線l與橢圓相交于點A，B，若C的離心率為，則的取值范圍是______.
4．（2023·全國·高三專題練習）已知斜率為的直線經過橢圓的右焦點，與橢圓相交于，兩點，則弦的長為__________．
重點題型六：中點弦和點差法
典型例題
例題1．（2021·全國·高二課時練習）已知雙曲線方程，則以為中點的弦所在直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高三專題練習）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．
例題4．（2021·黑龍江·大慶中學高二期中）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點且線段的中點為，則直線的斜率為________.
同類題型歸類練
1．（2022·四川南充·高二期末（文））過橢圓：右焦點的直線：交于，兩點，為的中點，且的斜率為，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南·永州市第一中學高二階段練習）已知橢圓的一個頂點為，直線與橢圓交于兩點，若的左焦點為的重心，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江蘇常州·高二期末）將上各點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB中點坐標為M（1，），那么直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海市行知中學高二期中）已知直線交橢圓于兩點，且線段的中點為，則直線的斜率為______.
5．（2021·江西·九江一中高二期中）過點作橢圓的一條弦，使此弦被點平分，則此弦所在的直線方程為__________．
重點題型七：橢圓的定點、定值、最值問題
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）如圖，過原點的直線交橢圓于，兩點，其中點在第一象限，過點作軸的垂線，垂足為，連接并延長，交橢圓于另一點，求證：為定值．
例題2．（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于，兩點，與橢圓相交于，兩點．
(1)求直線的斜率的取值范圍；
(2)若線段，的中點分別為，，證明直線經過一個定點，并求出此定點的坐標．
例題3．（2022·湖南·模擬預測）已知橢圓：的左、右頂點分別為，，右焦點為點，點是橢圓上一動點，面積的最大值為2，當軸時，.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與直線交于點，過點作軸的垂線，交直線于點.求證：為定值.
例題4．（2022·廣東·清遠市博愛學校高二階段練習）已知橢圓M的短軸長為，焦點坐標分別為和.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)斜率為的直線與橢圓交于 兩點，若線段的中點為，為坐標原點，且直線的斜率存在，試判斷與的乘積是否為定值，若是請求出，若不是請說明理由.
同類題型歸類練
1．（2022·上海市進才中學高二階段練習）已知橢圓的左右頂點分別為，點在橢圓上，過橢圓的右焦點作與軸垂直的直線與橢圓相交于兩點，且四邊形的面積為6.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)點是橢圓上異于的一點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；
(3)軸上有一點，直線過點且與橢圓相交于兩點，若的值與的取值無關，求直線的斜率.
2．（2022·四川·寧南中學高二階段練習（文））已知橢圓的一個頂點為，離心率為.
(1)求橢圓的方程
(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點A，B，與軸交于點E，線段AB的中點為P，直線過點E且垂直于（其中O為原點），證明直線過定點.
3．（2022·四川涼山·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，上頂點，M、N為橢圓上異于點P且關于原點對稱的兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)求證為定值．
4．（2022·江西·高三階段練習（理））已知，為橢圓：的左、右焦點，過點且垂直于軸的直線被截得的弦長為3，過點的直線交于，兩點.
(1)求的方程；
(2)若直線的斜率不為0，過，作直線的垂線，垂足分別是，，設與交于點，直線與軸交于點，求證：為定值.
重點題型八：橢圓中的向量問題
典型例題
例題1．（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學高二期中）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設直線經過點，且與橢圓交于，兩點，若，求直線的方程．
例題2．（2022·江西上饒·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為2.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線交橢圓于兩點，交軸于點，設，試判斷是否為定值？請說明理由.
同類題型歸類練
1．（2021·陜西·銅川市第一中學高二階段練習（理））已知橢圓：的焦距為，圓：經過點.
(1)求橢圓與圓的方程；
(2)若直線：與橢圓C交于點A，B，其中，問：是否為定值 若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．
2．（2022·黑龍江·哈九中模擬預測（文））已知曲線C上動點到定點與定直線的距離之比為常數．
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)以曲線C的上頂點T為圓心作半徑為的圓，設圓T與曲線C交于點M與點N，求的最小值，并求此時圓T的方程．
3．（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預測（理））已知A，B分別為橢圓C：的上、下頂點，F為C的右焦點，，點P（2，－1）在C上，且點P關于x軸的對稱點為Q．
(1)求C的方程；
(2)設O為坐標原點，M，N是C上兩動點，其中M在第四象限內且在點P的右側，PQ平分∠MPN，求證．
1．（2022·全國·高三專題練習（理））德國著名的天文學家開普勒說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.“黃金三角形”有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的“黃金三角形”被認為是最美的三角形，它是一個頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為的等腰三角形).已知一個“黃金橢圓”的左焦點，右頂點，上頂點構成直角三角形，其離心率為.例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金中，.根據這些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，“嫦娥四號”衛星沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點變軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：①；②；③；④.其中正確的是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
3．（2022·全國·高三專題練習）第24屆冬季奧林匹克運動會，將在2022年2月4日在中華人民共和國北京市和張家口市聯合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京成為奧運史上第一個舉辦夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．同時中國也成為第一個實現奧運“全滿貫”（先后舉辦奧運會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據規劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4．（多選）（2022·全國·高三專題練習）某顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點（離地面最近的點）距地面千米，遠地點（離地面最遠的點）距地面千米，并且三點在同一直線上，地球半徑約為千米，設該橢圈的長軸長、短軸長、焦距分別為，則
A． B． C．D．
5．（2022·四川·宜賓市敘州區第二中學校三模（理））在平面上給定相異兩點A,B，設P點在同一平面上且滿足，當λ＞0且λ≠1時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故我們稱這個圓為阿波羅斯圓，現有橢圓,A,B為橢圓的長軸端點，C,D為橢圓的短軸端點，動點P滿足，△PAB面積最大值為 ,△PCD面積最小值為，則橢圓離心率為______．
1．（2022·全國·高考真題（理））橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．
4．（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；
(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．
5．（2022·北京·高考真題）已知橢圓：的一個頂點為，焦距為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．
3.1.2橢圓的簡單幾何性質（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：根據橢圓的標準方程研究其幾何性質
重點題型二：根據橢圓的幾何性質求其標準方程
重點題型三：求橢圓的離心率的值(或取值范圍)
角度1：求橢圓的離心率
角度2：求橢圓的離心率的取值范圍
重點題型四：直線與橢圓的位置關系
重點題型五：弦長
重點題型六：中點弦和點差法
重點題型七：橢圓的定點、定值、最值問題
重點題型八：橢圓中的向量問題
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：橢圓的簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程 （） （）
范圍 ， ，
頂點 ，， ，
軸長 短軸長＝，長軸長＝
焦點
焦距
對稱性 對稱軸：軸、軸　對稱中心：原點
離心率 ，
知識點二：橢圓的簡單幾何性質
離心率：橢圓焦距與長軸長之比：. （）
當越接近1時，越接近，橢圓越扁；
當越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；
當且僅當時，圖形為圓，方程為
知識點三：常用結論
1、與橢圓共焦點的橢圓方程可設為：
2、有相同離心率：（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）
3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
知識點四：直線與橢圓的位置關系
1、直線與橢圓的位置關系
將直線的方程與橢圓的方程聯立成方程組，消元轉化為關于或的一元二次方程，其判別式為.
①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；
②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；
③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．
2、直線與橢圓的相交弦
直線與橢圓問題（韋達定理的運用）
（1）弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：
弦長
弦長
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
；
（2）結論1：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點坐標為，則的斜率為
運用點差法求的斜率，設，；、都在橢圓上，
兩式相減得：，
即 ，故
結論2：弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：
（3）.已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，
．求：的面積（用、、表示）．
設，由橢圓的對稱性，不妨設，由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由橢圓定義知： ②，則得
故
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）橢圓的長軸長等于a．( )
（2）橢圓上的點到焦點的距離的最小值為．( )
（3）橢圓的離心率e越小，橢圓越圓．( )
（4）若一個矩形的四個頂點都在橢圓上，則這四個頂點關于橢圓的中心對稱．( )
【答案】 × √ √ √
（1）長軸長為，故錯誤；
（2）橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，正確；
（3）橢圓的離心率e越小，橢圓越圓，正確；
（4）若一個矩形的四個頂點都在橢圓上，則這四個頂點關于橢圓的中心對稱，正確.
2．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）過橢圓外一點只能作一條直線與橢圓相切．( )
（2）直線與橢圓不一定相交．( )
（3）過點的直線有且僅有一條與橢圓相切．( )
（4）直線與橢圓只有一個交點直線與橢圓相切．( )
【答案】 錯誤 錯誤 正確 正確
（1）過橢圓外一點可以作兩條直線與橢圓相切，故錯誤；
（2）直線與橢圓一定相交，故錯誤；
（3）點是橢圓的一個頂點，所以過點的直線有且僅有一條與橢圓相切，故正確；
（4）直線與橢圓只有一個交點直線與橢圓相切，故正確.
3．（2022·全國·高二課時練習）橢圓的長軸長、短軸長、離心率依次是( )
A．5，3，0.8 B．10，6，0.8 C．5，3，0.6 D．10，6，0.6
【答案】B
由題可知：橢圓，則
所以長軸長、短軸長、離心率依次是10，6，0.8
故選：B
4．（2022·全國·高二課時練習）設是橢圓上任意一點，則m的取值范圍是_________．
【答案】
由題可知：
5．（2022·全國·高二課時練習）直線與橢圓的位置關系是( )
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【答案】C
聯立，則
所以直線與橢圓相交
故選：C
6．（2022·全國·高二課時練習）橢圓的兩個焦點為，過的直線交橢圓于A，B兩點．若，則的值為( )
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】B
由題可知：|AF1|+|BF1| +|AB|=4a=20，所以|AF1|+|BF1| =12
故選：B
重點題型一：根據橢圓的標準方程研究其幾何性質
典型例題
例題1．（2022·全國·高二專題練習）求下列橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標：
(1)；
(2)．
【答案】(1)長軸長為6，短軸長為2，離心率為，焦點坐標為與，頂點坐標為，，，
(2)長軸長為，短軸長為4，離心率為，焦點坐標為，頂點坐標為.
【解析】
(1)整理為：，焦點在x軸上，則，，，所以長軸長為，短軸長為，離心率，焦點為與，頂點坐標為，，，
(2)，整理為：，焦點在y軸上，則
，，所以，長軸長為，短軸長為，離心率，焦點為，頂點坐標為
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、焦點和頂點坐標，并以矩形為參照畫出橢圓的圖形：
(1)；
(2).
【答案】(1)答案見解析，作圖見解析
(2)答案見解析，作圖見解析
(1)解：橢圓的標準方程為，，，，
該橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，
焦點坐標為、，頂點坐標為、、、，
作出橢圓的圖象如下圖所示：
(2)解：橢圓的標準方程為，則，，，
該橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，
焦點坐標為、，頂點坐標為、、、，
作出橢圓的圖象如下圖所示：
重點題型二：根據橢圓的幾何性質求其標準方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）根據下列條件求橢圓的標準方程：
(1)焦點在軸上，長軸長等于20，離心率等于；
(2)焦點在軸上，長軸長是短軸長的3倍，且橢圓經過點；
(3)在軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為8.
【答案】(1)(2)(3)
(1)由題意知2a＝20，e＝，
所以a＝10，c＝8，從而b＝6.
又因為焦點在x軸上，
所以橢圓的標準方程為；
(2)由題意知焦點在y軸上，所以b＝3.
又因為長軸長是短軸長的3倍，所以a＝9，
從而橢圓的標準方程為；
(3)設橢圓的標準方程為(a>b>0)，短軸的兩頂點分別為A1，A2，
則△A1FA2為等腰直角三角形，
所以b＝c＝4，從而a2＝b2＋c2＝32，
故所求橢圓的標準方程為.
同類題型歸類練
1．（2022·四川省資中縣球溪高級中學高二階段練習（文））（1）求焦點在x軸上，長軸長為6，焦距為4的橢圓標準方程；
（2）求離心率，焦點在x軸，且經過點的雙曲線標準方程.
【答案】（1）；（2）.
（1）設橢圓的標準方程為.
由題意知：；.
.
所以橢圓的標準方程為.
（2）設雙曲線的標準方程為.則
所以雙曲線的標準方程為.
2．（2022·四川省資中縣球溪高級中學高二階段練習（理））（1）求焦點在x軸上，長軸長為6，焦距為4的橢圓標準方程；
（2）求離心率，經過點的雙曲線標準方程．
【答案】（1）；（2）
（1）由題意得，故，橢圓標準方程為
（2）①若雙曲線焦點在x軸上，設其方程為，由題意，而
故，由解得，故雙曲線標準方程為
②若雙曲線焦點在軸上，設其方程為，同理，此時將代入后方程無解
綜上，雙曲線標準方程為
重點題型三：求橢圓的離心率的值(或取值范圍)
角度1：求橢圓的離心率
典型例題
例題1．（2022·云南紅河·高二期末）已知點，分別是橢圓的右、上頂點，點為橢圓上一點向軸作垂線，垂足恰好為左焦點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由已知得：，，
所以，
由得：
所以
所以
由得：
所以
故選：C
例題2．（2022·貴州黔西·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因為橢圓的離心率為，
所以，解得，
則橢圓的離心率.
故選：C.
例題3．（2022·江西九江·三模（理））油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術節.活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當陽光與地面夾角為60 時，在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，由圖可知，橢圓的短半軸長，在中，由正弦定理得，解得，則
故選：D.
例題4．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓：1的左、右焦點為為坐標原點為橢圓上一點．與軸交于一點則橢圓的離心率為___．
【答案】##
因為，所以∠
設，．
如圖所示，由題意：，|，
可得．則，，．
可得，，
．
，化為：．
故答案為：．
同類題型歸類練
1．（2022·江西上饒·高二期末（理））已知是橢圓的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
在橢圓中，由橢圓的定義可得，
因為，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的離心率.
故選：C
2．（2022·四川省內江市第六中學高二階段練習（文））黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數．已知焦點在軸上的橢圓的焦距與長軸長的比值恰好是黃金分割數，則實數的值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
焦點在軸上的橢圓中，，，
所以．
由題意得，即，即，
解得．
故選：A．
3．（2022·全國·高二專題練習）若雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
設雙曲線、橢圓的焦距分別為、，離心率分別為、，
則，可得，
所以，橢圓的焦點在軸上，則.
故選：C.
4．（2022·貴州遵義·高二期末（理））橢圓C：左右焦點分別為，，P為C上除左右端點外一點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：如圖在中，
，即①
，即②
且，
故①+②得：，即.
所以 ，代入到中，整理得：
，故兩邊除以得：
解得：或，又，所以.
即橢圓C的離心率為.
故選：D.
5．（2022·河南新鄉·高二期末（理））畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓：的蒙日圓方程為，，分別為橢圓的左、右焦點.離心率為，為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為36，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為橢圓的離心率，所以.
因為，所以，
所以橢圓的蒙日圓的半徑為.
因為，所以為蒙日圓的直徑，
所以，所以.
因為，當時，等號成立，
所以面積的最大值為：.
由面積的最大值為36，得，得，進而有，，
故橢圓的長軸長為.
故選：B
角度2：求橢圓的離心率的取值范圍
典型例題
例題1．（2022·四川省內江市第六中學高二階段練習（文））已知點、為橢圓的長軸頂點，為橢圓上一點，若直線，的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由題得：，所以
故選：A．
例題2．（2022·北京市十一學校高二期末）已知橢圓C：（）的左 右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相交，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．.
【答案】B
由題設，以線段為直徑的圓為，與直線相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故選：B
例題3．（2022·全國·高二專題練習）橢圓的左、右焦點分別是 ，斜率為的直線過左焦點且交于兩點，且的內切圓的周長是，若橢圓的離心率為，則線段的長度的取值范圍是_________
【答案】
如圖示，由橢圓定義可得 ,
則的周長為4a,設，
設內切圓半徑為，的內切圓的周長是，
故 ，
由題意得 ，
得，由于，故，
所以由可得，
故答案為：
例題4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
【答案】
由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由橢圓的幾何性質，知，
所以且，
所以且，
即且，
結合，可解得．
故答案為：.
例題5．（2022·浙江寧波·二模）已知點A是橢圓：的左頂點，過點A且斜率為的直線與橢圓交于另一點（點在第一象限）.以原點為圓心，為半徑的圓在點處的切線與軸交于點.若，則橢圓離心率的取值范圍是___________.
【答案】
要使，只要，只要，
即只要.
∵直線方程為：，
聯立 ，
得，即（*）
注意到為方程（*）的一個根，故，
所以點，可得，
由于 ,故，
令，得，
即
所以離心率的取值范圍是，
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·重慶一中高一期末）已知A，B為橢圓E的左，右焦點，點M在E上，為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
解：依題意設橢圓方程為，
①若為等腰三角形的頂角，則在橢圓的上（下）頂點，如下圖所示：
則，所以，則，
又，所以，所以；
②若（或）為等腰三角形的頂角，不妨取為頂角，如下圖所示：
即，，又，
所以，
由余弦定理，
即，
即，
所以，解得或（舍去）
綜上可得或.
故選：D．
2．（2022·河南開封·高二期末（文））已知，是橢圓C：的左、右焦點，O為坐標原點，點M是C上點（不在坐標軸上），點N是的中點，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因為是的中點，是的中點，所以，
因為平分，所以，
因為，所以，，由（或），得橢圓的離心率，又，所以橢圓的離心率的取值范圍是．
故選：A．
3．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））已知點F為橢圓的左焦點，O為坐標原點，過橢圓的右頂點作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍為____________．
【答案】
設，其中，右頂點為，由，則，，
又由，有，
又由，有，當且僅當時取等，
整理為，可得，解得．
故答案為：.
4．（2022·全國·高二專題練習）設是橢圓的離心率，若，則的取值范圍是_________.
【答案】
解：當時，，所以，
所以.
當時，，所以，
所以.
所以的取值范圍是.
故答案為：
5．（2022·全國·高三專題練習）設、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．
【答案】
設點，易知，，則，
故點的軌跡為圓，由題意可知，圓與橢圓相交，
由圖可知，即，可得，又因為，故．
故答案為：．
重點題型四：直線與橢圓的位置關系
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）直線與橢圓的交點個數為（ ）．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
由題意，橢圓，可得，
則橢圓的右頂點為，上頂點為，
又由直線恰好過點，所以直線與橢圓有且僅有2個公共點.
故選：C.
例題2．（2021·全國·高二課時練習）直線：，橢圓，則直線和橢圓的位置關系是__．
【答案】相離
解：直線：，橢圓，聯立可得，
，方程組無實數解，即直線與橢圓無交點，故直線和橢圓相離．
故答案為：相離
例題3．（2021·全國·高二專題練習）若直線與焦點在軸的橢圓恒有兩個公共點，則實數的范圍_____．
【答案】
直線恒過定點，要保證直線與橢圓有兩個公共點，定點需在橢圓內，∴，又∵橢圓的焦點在軸上，∴．
故答案為：(2，4)﹒
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）若直線與圓沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點的個數為（ ）
A．0或1 B．2 C．1 D．0
【答案】B
由題意，得，故點在以原點為圓心，2為半徑的圓內，即在橢圓內部，過點的直線與該橢圓必有2個交點．
故選：B
2．（2022·江蘇·高二）若直線和圓沒有公共點，則過點的直線與橢圓的公共點個數為（ ）
A．0 B．1
C．2 D．需根據a，b的取值來確定
【答案】C
因為直線和圓沒有公共點，
所以原點到直線的距離，即，
所以點是在以原點為圓心，為半徑的圓內的點，
又因為橢圓，可得，
所以圓內切于橢圓，所以點在橢圓的內部，
所以過點的一條直線與橢圓的公共點的個數為.
故選：C.
3．（2022·重慶·西南大學附中高二階段練習）直線：與橢圓的位置關系是____________.
【答案】相交
由已知直線過定點，在橢圓內部（為橢圓的右焦點，橢圓中），所以直線與橢圓相交．
故答案為：相交．
重點題型五：弦長
典型例題
例題1．（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學高二期中）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
設直線AB方程為，聯立橢圓方程
整理可得：，設，
則，，根據弦長公式有：
=．故B，C，D錯誤.
故選：A.
例題2．（2022·全國·高三專題練習）過橢圓的左焦點作傾斜角的直線，直線與橢圓交于，兩點，則______．
【答案】##
∵橢圓方程為，∴焦點分別為，，
∵直線AB過左焦點的傾斜角為60°，∴直線AB的方程為，將AB方程與橢圓方程聯立消去y，得．設，，可得，，
∴，因此，．
故答案為:．
例題3．（2022·全國·高二專題練習）橢圓的左、右焦點分別是 ，斜率為的直線過左焦點且交于兩點，且的內切圓的周長是，若橢圓的離心率為，則線段的長度的取值范圍是_________
【答案】
如圖示，由橢圓定義可得 ,
則的周長為4a,設，
設內切圓半徑為，的內切圓的周長是，
故 ，
由題意得 ，
得，由于，故，
所以由可得，
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2021·甘肅省民樂縣第一中學高二期中（理））已知斜率為1的直線過橢圓的右焦點，交橢圓于兩點，則弦的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由橢圓得，，所以，
所以右焦點坐標為，則直線的方程為，
設，
聯立，消y得，，
則，
所以.
即弦長為.
故選：C.
2．（2021·全國·高二專題練習）已知斜率為的直線過橢圓的右焦點交橢圓于、兩點，則弦的長為______________.
【答案】##
橢圓的右焦點為，直線的方程為，
聯立得，，
設點、，由韋達定理可得，，
.
故答案為：.
3．（2021·全國·高二單元測試）過雙曲線C：（）的一個焦點和C兩支都相交的直線l與橢圓相交于點A，B，若C的離心率為，則的取值范圍是______.
【答案】
雙曲線C：的實半軸長為2，虛半軸長為b（），
由C的離心率為，
得，
即.
∴.
橢圓方程為，如圖：
不妨取雙曲線的左焦點，
由圖可知，直線l截橢圓所得弦長的最大值為4；
設過的直線方程為，
聯立，
可得.①
由，
解得.可知當時，直線與橢圓相切；
要使直線與雙曲線C兩支都相交，則；
而當時，
①化為；
設，，
則，.
∴，
∴的取值范圍是.
故答案為：.
4．（2023·全國·高三專題練習）已知斜率為的直線經過橢圓的右焦點，與橢圓相交于，兩點，則弦的長為__________．
【答案】
由題意知橢圓的右焦點的坐標為,直線的方程為,
聯立,消去,得,
設,,得,,
則
故答案為：
重點題型六：中點弦和點差法
典型例題
例題1．（2021·全國·高二課時練習）已知雙曲線方程，則以為中點的弦所在直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
設直線交雙曲線于點、，則，
由已知得，兩式作差得，
所以，，即直線的斜率為，
故直線的斜率為，即.經檢驗滿足題意
故選：B.
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
設點，依題意，，
相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，
又為線段的中點，則，，因此有，即，
所以橢圓的離心率.
故選：A
例題3．（2022·全國·高三專題練習）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．
【答案】
設斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，
設中點坐標為，則，
所以，兩式相減可得，
，即，
由于在橢圓內部，由得，
所以時，即直線與橢圓相切，
此時由解得或，
所以，
所求得軌跡方程為．
故答案為：．
例題4．（2021·黑龍江·大慶中學高二期中）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點且線段的中點為，則直線的斜率為________.
【答案】
解：由題意可得，整理可得，
設，則，
兩式相減可得，
的中點為，，
則直線斜率.
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·四川南充·高二期末（文））過橢圓：右焦點的直線：交于，兩點，為的中點，且的斜率為，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
依題意，焦點，即橢圓C的半焦距，設，，
則有，兩式相減得：，
而，且，即有，
又直線的斜率，因此有，而，解得，經驗證符合題意，
所以橢圓的方程為.
故選：A
2．（2022·湖南·永州市第一中學高二階段練習）已知橢圓的一個頂點為，直線與橢圓交于兩點，若的左焦點為的重心，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：設，，，，橢圓的左焦點為，
點，且橢圓左焦點恰為的重心，
，
，①
，，
兩式相減得：
將①代入得：，即直線的斜率為，
直線 過中點，
直線的方程為
所以直線的方程為.
故選：B
3．（2022·江蘇常州·高二期末）將上各點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB中點坐標為M（1，），那么直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
設點為曲線C上任一點，其在上對應在的點為，則
，得，
所以，
所以曲線C的方程為，
設，則
，
兩方程相減整理得，
因為AB中點坐標為M（1，），
所以，即，
所以，
所以，
所以直線l的方程為，即，
故選：A
4．（2022·上海市行知中學高二期中）已知直線交橢圓于兩點，且線段的中點為，則直線的斜率為______.
【答案】##
由題意，設，因為的中點為，所以.
又.
于是，即所求直線的斜率為.
故答案為：.
5．（2021·江西·九江一中高二期中）過點作橢圓的一條弦，使此弦被點平分，則此弦所在的直線方程為__________．
【答案】
解：設弦所在的直線與橢圓相交于、兩點，由于點為弦的中點，則，得，
由題意得，兩式相減得，
所以，直線的斜率為，
所以，弦所在的直線方程為，即．
故答案為：.
重點題型七：橢圓的定點、定值、最值問題
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）如圖，過原點的直線交橢圓于，兩點，其中點在第一象限，過點作軸的垂線，垂足為，連接并延長，交橢圓于另一點，求證：為定值．
【答案】證明見解析
證明　設P(x1，y1)，B(x2，y2)，則A(－x1，－y1)，C(x1，0)，
可得kAB·kPB＝·
－.
又kAC＝，kPA＝，所以kPA＝2kAC，從而kPA·kPB＝－1，為定值．
例題2．（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于，兩點，與橢圓相交于，兩點．
(1)求直線的斜率的取值范圍；
(2)若線段，的中點分別為，，證明直線經過一個定點，并求出此定點的坐標．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；定點.
(1)根據題意直線，的斜率均存在且不為0
直線，分別為，，
聯立得，
由得，則或，
同理，則，
所以k的取值范圍為．
(2)設，，由（1）得，
所以，則，
所以，則，
同理，
則直線的方程為，
化簡整理得
因此直線經過一個定點．
例題3．（2022·湖南·模擬預測）已知橢圓：的左、右頂點分別為，，右焦點為點，點是橢圓上一動點，面積的最大值為2，當軸時，.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與直線交于點，過點作軸的垂線，交直線于點.求證：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(1)設橢圓的半焦距為，，
將代入得，
所以，
因為點是橢圓上一動點，所以，
所以面積，
由，求得，
所以橢圓的方程為：.
(2)由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，
聯立，
整理可得，
因為直線與橢圓相切，
所以，得，
因為橢圓的右焦點為，將代入直線得，所以，
所以，
將代入直線可得，所以，
所以，
，將代入上式，
得，所以為定值.
例題4．（2022·廣東·清遠市博愛學校高二階段練習）已知橢圓M的短軸長為，焦點坐標分別為和.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)斜率為的直線與橢圓交于 兩點，若線段的中點為，為坐標原點，且直線的斜率存在，試判斷與的乘積是否為定值，若是請求出，若不是請說明理由.
【答案】(1)；
(2).
(1)由題可設橢圓的方程為，
則，
∴
∴橢圓M的標準方程為；
(2)設，，，，則，，，
兩式相減得，
∴，
而弦的中點，則有，
所以，即k與kOP的乘積為定值.
同類題型歸類練
1．（2022·上海市進才中學高二階段練習）已知橢圓的左右頂點分別為，點在橢圓上，過橢圓的右焦點作與軸垂直的直線與橢圓相交于兩點，且四邊形的面積為6.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)點是橢圓上異于的一點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；
(3)軸上有一點，直線過點且與橢圓相交于兩點，若的值與的取值無關，求直線的斜率.
【答案】(1)(2)(3)
(1)由題意，知，把代入橢圓方程有，，
，，
點在橢圓上，，，
則橢圓的標準方程為；
(2)由題意知，，
設，，則，
則；
(3)由題意知斜率存在，設直線的方程為，
聯立方程有，
△
設，，，，，，
．
要使的值與的取值無關，則，
，
則直線的斜率為．
2．（2022·四川·寧南中學高二階段練習（文））已知橢圓的一個頂點為，離心率為.
(1)求橢圓的方程
(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點A，B，與軸交于點E，線段AB的中點為P，直線過點E且垂直于（其中O為原點），證明直線過定點.
【答案】(1)；(2)證明見解析.
(1)依題意，，
∴，
又，，
∴，∴
∴橢圓的標準方程為.
(2)由（1）知右焦點坐標為，設直線方程為，，，
由得，，
∴，
∴，，
∴直線的斜率
∴直線的斜率，令得點坐標為，
∴直線的方程為，即
∴直線恒過定點.
3．（2022·四川涼山·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，上頂點，M、N為橢圓上異于點P且關于原點對稱的兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)求證為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(1)由題意知，，
根據得：，故：橢圓C的標準方程為．
(2)依據題意可設，，則，．
因此，又因為在橢圓C上，滿足，
即，所以：，得證．
4．（2022·江西·高三階段練習（理））已知，為橢圓：的左、右焦點，過點且垂直于軸的直線被截得的弦長為3，過點的直線交于，兩點.
(1)求的方程；
(2)若直線的斜率不為0，過，作直線的垂線，垂足分別是，，設與交于點，直線與軸交于點，求證：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(1)解：因為過且垂直于軸的直線被截得的弦長為3，
所以，①
因為的右焦點為，所以，②
聯立①②可得，，
所以的方程為.
(2)證明：當直線的斜率不存在時，易知，，，
所以.
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
聯立與，
得，
設，，
則，，恒成立，
由題可知，，
則的方程為，①
的方程為，②
②－①得，
因為，所以
，
所以
，
所以，所以的橫坐標為，
又，，所以為垂直平分線上一點，所以.
綜上，.
重點題型八：橢圓中的向量問題
典型例題
例題1．（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學高二期中）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設直線經過點，且與橢圓交于，兩點，若，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或．
(1)解：設橢圓的標準方程為，
拋物線的焦點為，
依題意，解得．
∴橢圓的標準方程為．
(2)解：由題意得直線的斜率存在，設直線方程為，
則由，消去整理得，且．
設，，∴，
由得，
∴消去得，解得 ，，
所以直線的方程為，即或．
例題2．（2022·江西上饒·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為2.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線交橢圓于兩點，交軸于點，設，試判斷是否為定值？請說明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由見解析
(1)由題可得,，又，
所以，
所以橢圓的標準方程為.
(2)由題可得直線斜率存在，由（1）知設直線的方程為，則,消去，整理得：，
設，則，，
又，則，由可得，所以.
同理可得，.
所以
所以，為定值.
同類題型歸類練
1．（2021·陜西·銅川市第一中學高二階段練習（理））已知橢圓：的焦距為，圓：經過點.
(1)求橢圓與圓的方程；
(2)若直線：與橢圓C交于點A，B，其中，問：是否為定值 若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．
【答案】(1)橢圓C：，圓O：
(2)為定值，且該定值為0
(1)設橢圓C的半焦距為c，
根據題意得
又∵經過點，
∴，
解得
∴橢圓C的方程為，圓O的方程為.
(2)設聯立l與橢圓方程，
化簡整理得
則
∵
∴
綜上所述，為定值，且該定值為0.
2．（2022·黑龍江·哈九中模擬預測（文））已知曲線C上動點到定點與定直線的距離之比為常數．
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)以曲線C的上頂點T為圓心作半徑為的圓，設圓T與曲線C交于點M與點N，求的最小值，并求此時圓T的方程．
【答案】(1)
(2)最小值為，
(1)動點到定點與定直線的距離之比為常數
∴；化簡整理得：
(2)點與點關于軸對稱，設，，不妨設．
由于點在橢圓上，所以．
由已知，則，，
∴
由于，故當時，取得最小值為．
此時，
故圓T的方程為．
3．（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預測（理））已知A，B分別為橢圓C：的上、下頂點，F為C的右焦點，，點P（2，－1）在C上，且點P關于x軸的對稱點為Q．
(1)求C的方程；
(2)設O為坐標原點，M，N是C上兩動點，其中M在第四象限內且在點P的右側，PQ平分∠MPN，求證．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(1)解：由題意可知，A（0，b），B（0，－b），F（c，0），
則，，
由得．①
由題意可知點P（2，－1）在C上，
所以，②
又，③
由①②③得，，
故C的方程為．
(2)證明：如圖所示：
由（1）可知軸，
因為PQ平分∠MPN，
所以直線PM，PN關于直線對稱，
所以，
易知直線PM的斜率存在，且不為0，
設直線PM的斜率為k，則直線PN的斜率為－k，
則直線PM的方程為，
即，
直線PN的方程為，
．
聯立，整理得，
設，則，所以，
同理設，則．
所以直線MN的斜率為，
．
又知OP的斜率為，
所以，所以，
故．
1．（2022·全國·高三專題練習（理））德國著名的天文學家開普勒說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.“黃金三角形”有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的“黃金三角形”被認為是最美的三角形，它是一個頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為的等腰三角形).已知一個“黃金橢圓”的左焦點，右頂點，上頂點構成直角三角形，其離心率為.例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金中，.根據這些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解析，，.
因為是頂角為的等腰三角形，所以，則，，而，所以.
故選：C
2．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，“嫦娥四號”衛星沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點變軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：①；②；③；④.其中正確的是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【答案】C
由，，得，故①符合題意；
由圖可知，，，故②不符合題意；
，，
，，
，故④不符合題意，③符合題意.
故選:C．
3．（2022·全國·高三專題練習）第24屆冬季奧林匹克運動會，將在2022年2月4日在中華人民共和國北京市和張家口市聯合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京成為奧運史上第一個舉辦夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市．同時中國也成為第一個實現奧運“全滿貫”（先后舉辦奧運會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據規劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
若內層橢圓方程為，由離心率相同，可設外層橢圓方程為，
∴，設切線為，切線為，
∴，整理得，由知：
，整理得，
同理，，可得，
∴，即，故.
故選：B.
4．（多選）（2022·全國·高三專題練習）某顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點（離地面最近的點）距地面千米，遠地點（離地面最遠的點）距地面千米，并且三點在同一直線上，地球半徑約為千米，設該橢圈的長軸長、短軸長、焦距分別為，則
A． B． C．D．
【答案】ABD
因為地球的中心是橢圓的一個焦點，
并且根據圖象可得 ，（*）
，故A正確；
，故B正確；
（*）兩式相加，可得，故C不正確；
由（*）可得 ，兩式相乘可得
，
，故D正確.
故選ABD
5．（2022·四川·宜賓市敘州區第二中學校三模（理））在平面上給定相異兩點A,B，設P點在同一平面上且滿足，當λ＞0且λ≠1時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故我們稱這個圓為阿波羅斯圓，現有橢圓,A,B為橢圓的長軸端點，C,D為橢圓的短軸端點，動點P滿足，△PAB面積最大值為 ,△PCD面積最小值為，則橢圓離心率為______．
【答案】
依題意，設，依題意的,，兩邊平方化簡得，故圓心為，半徑.所以的最大面積為，解得，的最小面積為，解得.故橢圓離心率為.
1．（2022·全國·高考真題（理））橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：，
設，則，
則，
故，
又，則，
所以，即，
所以橢圓的離心率.
故選：A.
2．（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因為離心率，解得，，
分別為C的左右頂點，則，
B為上頂點，所以.
所以，因為
所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為.
故選：B.
3．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．
【答案】13
∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
故答案為：13.
4．（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．
(1)求E的方程；
(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．
【答案】(1)
(2)
（1）解：設橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.
（2），所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設.聯立得，可得，，且聯立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點
5．（2022·北京·高考真題）已知橢圓：的一個頂點為，焦距為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．
【答案】(1)
(2)
（1）解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；
（2）解：依題意過點的直線為，設、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得

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