資源簡介

2.1.2兩條直線平行和垂直的判斷（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：兩直線平行關(guān)系的判定
重點題型二：兩直線平行關(guān)系的應(yīng)用
重點題型三：兩直線垂直的判定及應(yīng)用
重點題型四：直線平行、垂直的綜合應(yīng)用
知識點一：兩條直線平行
對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有.
對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點
(1)成立的前提條件是：
①兩條直線的斜率都存在；
②與不重合．
(2)當兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.
(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：
或，斜率都不存在.
知識點二：兩條直線垂直
如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直，即.
對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點
(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.
(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．
(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：
或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．
1．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．( )
2．若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行．( )
3．若l1∥l2，則k1＝k2．( )
4．判斷正誤
（1）若兩條不重合的直線的傾斜角相等，則這兩條直線必定平行．( )
（2）若兩條直線平行，則這兩條直線的傾斜角一定相等．( )
5．已知直線的斜率，直線的斜率，則與( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情況
重點題型一：兩直線平行關(guān)系的判定
典型例題
例題1．判斷下列不同的直線與是否平行.
（1）的斜率為2，經(jīng)過，兩點；
（2）經(jīng)過，兩點，平行于x軸，但不經(jīng)過，兩點；
（3）經(jīng)過，兩點，經(jīng)過，兩點．
例題2．已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點，，則直線與的位置關(guān)系是______．
同類題型歸類練
1．“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
2．分別根據(jù)下列各點的坐標，判斷各組中直線AB與CD是否平行：
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，，，．
3．根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行.
（1）經(jīng)過點，，經(jīng)過點，；
（2）的傾斜角為60°，經(jīng)過點，；
（3）平行于軸，經(jīng)過點，.
重點題型二：兩直線平行關(guān)系的應(yīng)用
典型例題
例題1．若過點，的直線與過點，的直線平行，則的值為（ ）
A．-1 B．- C．2 D．
例題2．若過點和點的直線與過點和點的直線平行，則的值是______.
同類題型歸類練
1．已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為，則頂點D的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．已知直線經(jīng)過兩點 ，直線經(jīng)過兩點 ，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，，且直線與平行，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
重點題型三：兩直線垂直的判定及應(yīng)用
典型例題
例題1．已知的點，，．判斷的形狀；
例題2．判斷下列各小題中的每對直線是否垂直
(1)的斜率為，經(jīng)過點，
(2)的傾斜角為，經(jīng)過點，
(3)經(jīng)過點，，經(jīng)過點，
同類題型歸類練
1．已知l1⊥l2，直線l1的傾斜角為45°，則直線l2的傾斜角為（ ）
A．45° B．135° C．－45° D．120°
2．下列命題錯誤的是（ ）
A．斜率互為負倒數(shù)的兩條直線一定互相垂直
B．互相垂直的兩條直線的斜率一定互為負倒數(shù)
C．兩條平行直線的傾斜角相等
D．傾斜角相等的兩條直線平行或重合
3．已知直線與過點，的直線垂直，則直線的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．判斷下列各對直線平行還是垂直：
(1)經(jīng)過兩點A（2，3），B（﹣1，0）的直線l1，與經(jīng)過點P（1，0）且斜率為1的直線l2；
(2)經(jīng)過兩點C（3，1），D（﹣2，0）的直線l3，與經(jīng)過點M（1，﹣4）且斜率為﹣5的直線l4.
重點題型四：直線平行、垂直的綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．下列命題：①若兩條不重合的直線的斜率相等，則它們平行；②若兩直線平行，則它們的斜率相等；③若兩直線的斜率之積為，則它們垂直；④若兩直線垂直，則它們的斜率之積為.其中正確的為
A．①②③④ B．①③ C．②④ D．以上全錯
例題2．已知的頂點，，其垂心為，則其頂點的坐標為
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．順次連接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所構(gòu)成的圖形是（ ）
A．平行四邊形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不對
2．在平面直角坐標系中，四邊形的頂點按逆時針順序依次是，，，，其中，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．
3．已知點，，，，試判定四邊形ABCD的形狀．
2.1.2兩條直線平行和垂直的判斷（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：兩直線平行關(guān)系的判定
重點題型二：兩直線平行關(guān)系的應(yīng)用
重點題型三：兩直線垂直的判定及應(yīng)用
重點題型四：直線平行、垂直的綜合應(yīng)用
知識點一：兩條直線平行
對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有.
對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點
(1)成立的前提條件是：
①兩條直線的斜率都存在；
②與不重合．
(2)當兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.
(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：
或，斜率都不存在.
知識點二：兩條直線垂直
如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直，即.
對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點
(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.
(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．
(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：
或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．
1．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．( )
【答案】錯誤
2．若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行．( )
【答案】正確
3．若l1∥l2，則k1＝k2．( )
【答案】錯誤
4．判斷正誤
（1）若兩條不重合的直線的傾斜角相等，則這兩條直線必定平行．( )
（2）若兩條直線平行，則這兩條直線的傾斜角一定相等．( )
【答案】 √ √
（1）兩條不重合的直線的傾斜角相等，可知兩條直線平行，正確；
（2）兩條直線平行，則這兩條直線的傾斜角一定相等.
5．已知直線的斜率，直線的斜率，則與( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情況
【答案】B
根據(jù)斜率乘積為-1，可知兩條直線垂直
故選：B
重點題型一：兩直線平行關(guān)系的判定
典型例題
例題1．判斷下列不同的直線與是否平行.
（1）的斜率為2，經(jīng)過，兩點；
（2）經(jīng)過，兩點，平行于x軸，但不經(jīng)過，兩點；
（3）經(jīng)過，兩點，經(jīng)過，兩點．
【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.
（1）經(jīng)過，兩點，則，
則，可得兩直線平行.
（2）經(jīng)過，兩點，可得平行于x軸，
平行于x軸，但不經(jīng)過P，Q兩點，所以；
（3）經(jīng)過，兩點，，
經(jīng)過，兩點，則，
所以.
例題2．已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點，，則直線與的位置關(guān)系是______．
【答案】平行或重合
，，
，但直線在y軸上的截距不確定，
直線與的位置關(guān)系是平行或重合．
故答案為：平行或重合．
同類題型歸類練
1．“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】B
充分性：直線與平行，但是和都沒有斜率，即當和都垂直于軸時，與仍然平行，但是，此時不滿足直線與的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直線與的斜率相等，則必有直線與平行，故必要性成立；
綜上，“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的必要非充分條件.
故選：B
2．分別根據(jù)下列各點的坐標，判斷各組中直線AB與CD是否平行：
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，，，．
【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行
(1)，，，不共線，因此與平行．
(2)，，又兩直線不重合，直線與平行，
(3)直線，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；
(4),，直線與不平行，
3．根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行.
（1）經(jīng)過點，，經(jīng)過點，；
（2）的傾斜角為60°，經(jīng)過點，；
（3）平行于軸，經(jīng)過點，.
【答案】（1）；（2）或與重合；（3）.
（1）由題意，知直線的斜率，
直線的斜率.
因為，且，，，四點不共線，所以.
（2）由題意，知直線的斜率，
直線的斜率，所以，
所以或與重合.
（3）由題意，知是軸，所以.
重點題型二：兩直線平行關(guān)系的應(yīng)用
典型例題
例題1．若過點，的直線與過點，的直線平行，則的值為（ ）
A．-1 B．- C．2 D．
【答案】B
由題意知：，解得.
故選：B.
例題2．若過點和點的直線與過點和點的直線平行，則的值是______.
【答案】
由kPQ＝kMN，即＝，得.
經(jīng)檢驗知，符合題意.
故答案為：
同類題型歸類練
1．已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為，則頂點D的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
設(shè)頂點D的坐標為，由題意得，則有，所以解得
所以頂點D的坐標為．
故選：A
2．已知直線經(jīng)過兩點 ，直線經(jīng)過兩點 ，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題意，直線經(jīng)過兩點 ，可得直線的斜率為，
直線經(jīng)過兩點 ，可得直線的斜率為
因為，可得，解得.
故選：D.
3．已知，，，，且直線與平行，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
【答案】D
當直線與的斜率不存在，即時，直線AB的方程為：，直線CD的方程為：，顯然，滿足題意.
②當直線與的斜率存在，即時，直線AB的斜率，直線CD的斜率
要使直線與平行，須，即，解得：或（舍）
當時，直線AB的方程為：，直線CD的方程為：，顯然，滿足題意.故.
綜上所述，或.
故選：D.
重點題型三：兩直線垂直的判定及應(yīng)用
典型例題
例題1．已知的點，，．判斷的形狀；
【答案】是等腰直角三角形；（2）.
，，，
，，．
設(shè)F為BC的中點，則，．
由于，，
是等腰直角三角形；
例題2．判斷下列各小題中的每對直線是否垂直
(1)的斜率為，經(jīng)過點，
(2)的傾斜角為，經(jīng)過點，
(3)經(jīng)過點，，經(jīng)過點，
【答案】(1)垂直(2)不垂直(3)垂直
(1)∵l2經(jīng)過點A（1，1），B（0，），∴l(xiāng)2的斜率為，
又∵l1的斜率為，且，∴l(xiāng)1與l2垂直.
(2)∵l1的傾斜角為45°，∴l(xiāng)1的斜率為，∵l2經(jīng)過點P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6），∴l(xiāng)2的斜率為，而，∴l(xiāng)1與l2不垂直.
(3)∵l1經(jīng)過點M（1，0），N（4，﹣5），∴l(xiāng)1的斜率為，
∵l2經(jīng)過點R（﹣6，0），S（﹣1，3），∴l(xiāng)2的斜率為，又∵，
∴l(xiāng)1與l2垂直.
同類題型歸類練
1．已知l1⊥l2，直線l1的傾斜角為45°，則直線l2的傾斜角為（ ）
A．45° B．135° C．－45° D．120°
【答案】B
由l1⊥l2及k1＝tan 45°＝1，知l2的斜率k2＝－1，∴l(xiāng)2的傾斜角為135°.
故選：B.
2．下列命題錯誤的是（ ）
A．斜率互為負倒數(shù)的兩條直線一定互相垂直
B．互相垂直的兩條直線的斜率一定互為負倒數(shù)
C．兩條平行直線的傾斜角相等
D．傾斜角相等的兩條直線平行或重合
【答案】B
對于A，若兩條直線的斜率互為負倒數(shù)，則它們的斜率之積為-1，故這兩條直線一定互相垂直，故A正確；
對于B，若兩條垂直的直線中一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，則這兩條直線的斜率不互為負倒數(shù)，故B錯誤；
對于C，若兩條直線平行，則它們的傾斜角一定相等，故C正確；
對于D，傾斜角相等的兩條直線一定平行或重合，故D正確.
故選：B.
3．已知直線與過點，的直線垂直，則直線的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：設(shè)直線與直線的斜率分別為，
直線過點，直線的斜率，
由得，，
直線的傾斜角滿足.
故選：C.
4．判斷下列各對直線平行還是垂直：
(1)經(jīng)過兩點A（2，3），B（﹣1，0）的直線l1，與經(jīng)過點P（1，0）且斜率為1的直線l2；
(2)經(jīng)過兩點C（3，1），D（﹣2，0）的直線l3，與經(jīng)過點M（1，﹣4）且斜率為﹣5的直線l4.
【答案】(1)平行(2)垂直
(1)由題意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直線l1，l2不重合，所以兩直線平行；
(2)由題意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1 k2＝﹣1，故兩直線垂直.
重點題型四：直線平行、垂直的綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．下列命題：①若兩條不重合的直線的斜率相等，則它們平行；②若兩直線平行，則它們的斜率相等；③若兩直線的斜率之積為，則它們垂直；④若兩直線垂直，則它們的斜率之積為.其中正確的為
A．①②③④ B．①③ C．②④ D．以上全錯
【答案】B
當直線斜率都存在且兩直線不重合時
若，則；若，則，可知①③正確
當兩條直線均與軸垂直時，兩直線平行，但斜率不存在，可知②錯誤
當兩條直線一條與軸垂直，一條與軸垂直時，兩直線垂直，但與軸垂直的直線斜率不存在，可知④錯誤本題正確選項：
例題2．已知的頂點，，其垂心為，則其頂點的坐標為
A． B． C． D．
【答案】A
為的垂心 ，
又，
直線斜率存在且，
設(shè)，則，解得：
本題正確選項：
同類題型歸類練
1．順次連接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所構(gòu)成的圖形是（ ）
A．平行四邊形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不對
【答案】B
，，則，
所以,與不平行，
因此
故構(gòu)成的圖形為直角梯形.
故選：B.
2．在平面直角坐標系中，四邊形的頂點按逆時針順序依次是，，，，其中，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．
【答案】四邊形是矩形，證明見解析
四邊形是矩形．證明如下：
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，
所以，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形．
又，
所以，所以四邊形是矩形．
又，，
令，即，無解，
所以與不垂直，故四邊形是矩形．
3．已知點，，，，試判定四邊形ABCD的形狀．
【答案】直角梯形
由斜率公式可得：
，
與BC不平行
又，
，
故四邊形ABCD是直角梯形．

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