資源簡介

3.2.1雙曲線及其標準方程（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：雙曲線定義的應用
重點題型二：求雙曲線的標準方程
重點題型三：雙曲線標準方程的應用
重點題型四：雙曲線的實際生活應用
重點題型五：軌跡方程
重點題型六：雙曲線中的焦點三角形問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：雙曲線的定義
1、定義:一般地,我們把平面內與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.
這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
2、集合語言表達式
雙曲線就是下列點的集合:.
3、說明
若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.
(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;
(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.
知識點二：雙曲線的標準方程
焦點位置 焦點在軸上 焦點在軸上
標準方程 （） （）
圖象
焦點坐標 ， ，
的關系
兩種雙曲線 ， （）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標也不同.
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）在雙曲線標準方程中，，且．( )
（2）方程表示焦點在y軸上的雙曲線．( )
（3）方程表示雙曲線．( )
2．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的焦距為( )
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線的，則該雙曲線的標準方程為( )
A． B．
C．或 D．或
4．（2022·全國·高二課時練習）若動點P到點的距離之差的絕對值為2，則點P的軌跡是( )
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．兩條射線 D．一條射線
5．（2022·全國·高二課時練習）設P是雙曲線在第一象限內的任意一點，若是雙曲線左、右兩個焦點，則等于( )
A．10 B．8 C．5 D．4
重點題型一：雙曲線定義的應用
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點與，的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·浙江·高三專題練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為（，0），（3，0），為雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高二課時練習）已知平面內兩定點，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是___________.
重點題型二：求雙曲線的標準方程
典型例題
例題1．（2022·四川省資陽中學高二期末（理））已知雙曲線過三點，，中的兩點，則的方程為___________.
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)，，焦點在軸上；
(2)，，焦點在軸上；
(3)，一個焦點為；
(4)，．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)，，焦點在x軸上；
(2)焦點為，，且；
(3)，．
2．（2022·全國·高二專題練習）在下列條件下求雙曲線標準方程
（1）經過兩點；
（2），經過點，焦點在軸上.
重點題型三：雙曲線標準方程的理解和應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）雙曲線過焦點的弦，、兩點在同一支上且長為，另一焦點為，則的周長為（ ）．
A． B． C． D．
例題2．（2022·河南南陽·高二期末（文））已知動圓過定點，并且與定圓外切，則動圓的圓心的軌跡是（ ）
A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．雙曲線的一支
例題3．（2022·寧夏六盤山高級中學高二階段練習（理））已知動點滿足，則動點的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線
C．雙曲線的左支 D．雙曲線的右支
例題4．（2022·陜西渭南·高一期末）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內兩定點，，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海金山·二模）“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2022·湖南·高二期末）雙曲線上一點P與它的一個焦點的距離等于1，那么點P與另一個焦點的距離等于（ ）
A．9 B．17
C．18 D．34
4．（2022·福建·廈門雙十中學高二階段練習）已知點為雙曲線的左焦點，過原點的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點．若，則______．
5．（2022·廣東·高三階段練習）“k<2”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．（2022·青海·模擬預測（理））已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
重點題型四：雙曲線的實際生活應用
典型例題
例題1．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學校高二階段練習）相距1400m的，兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線
例題2．（2022·遼寧遼陽·二模）如圖，已知，兩地相距600m，在地聽到炮彈爆炸聲比在地早1s，且聲速為340m/s..以線段的中點為坐標原點，的方向為軸的正方向建立平面直角坐標系，則炮彈爆炸點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·北京·高三專題練習）如圖1，北京2022年冬奧會比賽場地之一首鋼滑雪大跳臺與電力廠的冷卻塔交相輝映，實現了它與老工業遺址的有效融合.如圖2，冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面.它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為.在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖3所示的平面直角坐標系，設，，，，則雙曲線的方程近似為（ ）
（參考數據：，，）
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·四川·石室中學模擬預測（理））從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構成，現一光線從左焦點發出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則的長軸長與的實軸長之比為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川廣元·高二期末（理））三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數學家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個問題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個三等分點，以A為左焦點，B，C為頂點作雙曲線T．設雙曲線T與弧的交點為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．（2022·福建省福州第一中學高二期末）圓錐曲線有良好的光學性質，光線從橢圓的一個焦點發出，被橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點（如左圖）；光線從雙曲線的一個焦點發出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1: + = 1和雙曲線C2: - =1在y軸右側的一部分（實線）圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發，經過點F2，然后在曲線E內多次反射，反射點依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，則光線從P0到P4所經過的路程為 _________ .
4．（2022·江蘇·高二）設聲速是a（），在相距10a（）的A B兩哨所，聽到一炮彈的爆炸聲，爆炸聲的時間相差6，已知聲強與距離的平方成反比.試建立適當的坐標系.
(1)求點P所在曲線的方程；
5．（2022·全國·高二課時練習）相距的A，B兩個觀察站都聽到了一聲巨響，且在A處聽到的時間比在B處聽到的時間早．已知當時的聲速是，發出巨響的點與A，B都在水平面上，求發出巨響的點所在曲線的方程．
重點題型五：軌跡方程
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知動圓過定點，且與圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程.
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）在中，，，直線，的斜率之積為求頂點的軌跡方程．
例題3．（2022·河南·高二階段練習（理））已知圓：和圓：，動圓同時與圓及圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程（ ）
A． B．
C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）與圓及圓都外切的圓P的圓心在（ ）
A．一個橢圓上 B．一個圓上
C．一條射線上 D．雙曲線的一支上
2．（2022·河南洛陽·高二期末（文））在平面直角坐標系中，已知的頂點，，其內切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（多選）（2022·吉林·長春市實驗中學高二期末）若，，動點滿足，當和時，點軌跡（ ）
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．一條直線
4．（2022·浙江·溫州中學高二期末）在一張紙上有一圓，定點，折疊紙片上的某一點恰好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設折痕與直線的交點.
(1)證明：為定值，并求出點的軌跡的軌跡方程；
重點題型六：雙曲線中的焦點三角形問題
典型例題
例題1．（2022·全國·模擬預測（文））設，是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（ ）
A．24 B． C． D．30
例題2．（2022·全國·高三專題練習（理））已知，分別是雙曲線的左右焦點，點為的左頂點，動點在上，當時，，且，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·四川·射洪中學高二階段練習（文））已知P是雙曲線上的點，，是其焦點，雙曲線的離心率是，且，若的面積為9，則的值為__________.
例題4．（2022·河南·夏邑第一高級中學高二階段練習（理））已知雙曲線的離心率，左 右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的左 右兩支分別交于兩點，若，則__________.
同類題型歸類練
1．（2022·四川成都·三模（理））設，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當時，面積為（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·河南·高三階段練習（理））已知雙曲線C：的離心率為3，焦點分別為，，點A在雙曲線C上．若的周長為14a，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南洛陽·三模（文））設，，滿足，且，則的面積為（ ）
A．3 B． C．9 D．
4．（2022·云南保山·模擬預測（理））已知是離心率等于的雙曲線的左右焦點，過焦點的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，若的周長20，則等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
5．（2022·江蘇·高二）已知為雙曲線：的兩個焦點，，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．
6．（2022·全國·高二課時練習）過雙曲線的左焦點作一條直線l交雙曲線左支于P Q兩點，若，是雙曲線的右焦點，則的周長是___________.
1．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于6，那么點P到另一個焦點的距離為（ ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
2．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（文））數學家華羅曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，”事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，例如，與相關的代數問題，可以轉化為點A（x，y）與點B（a，b）之間的距離的幾何問題，結合上述觀點，可得方程的解是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·陜西榆林·一模（理））江西景德鎮青花瓷始創于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知，分別是雙曲線C：的左、右兩個焦點，點M在雙曲線的右支上，且，則（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（2022·江西九江·三模（理））雙曲線的左右焦點分別為，，為圓與該雙曲線的一個公共點，則的面積為（ ）
A． B． C． D．1
3.2.1雙曲線及其標準方程（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：雙曲線定義的應用
重點題型二：求雙曲線的標準方程
重點題型三：雙曲線標準方程的應用
重點題型四：雙曲線的實際生活應用
重點題型五：軌跡方程
重點題型六：雙曲線中的焦點三角形問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：雙曲線的定義
1、定義:一般地,我們把平面內與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.
這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
2、集合語言表達式
雙曲線就是下列點的集合:.
3、說明
若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.
(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;
(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.
知識點二：雙曲線的標準方程
焦點位置 焦點在軸上 焦點在軸上
標準方程 （） （）
圖象
焦點坐標 ， ，
的關系
兩種雙曲線 ， （）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標也不同.
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）在雙曲線標準方程中，，且．( )
（2）方程表示焦點在y軸上的雙曲線．( )
（3）方程表示雙曲線．( )
【答案】 × × √
（1）a，b可以相等，錯誤；
（2）表示焦點在x軸上的雙曲線，錯誤；
（3）該方程為雙曲線的一般式，正確.
2．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的焦距為( )
A． B． C． D．
【答案】D
由題可知，所以焦距為
故選：D
3．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線的，則該雙曲線的標準方程為( )
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
由題可知：，所以雙曲線的方程為：或
故選：C
4．（2022·全國·高二課時練習）若動點P到點的距離之差的絕對值為2，則點P的軌跡是( )
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．兩條射線 D．一條射線
【答案】C
由題可知：兩定點之間的距離為2，所以可知點P的軌跡是兩條射線
故選：C
5．（2022·全國·高二課時練習）設P是雙曲線在第一象限內的任意一點，若是雙曲線左、右兩個焦點，則等于( )
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】A
根據雙曲線的定義且P在第一象限，所以|PF1| |PF2|=2a=10
故選：A
重點題型一：雙曲線定義的應用
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點與，的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題意，，則，結合條件可知，雙曲線的標準方程為.
故選：C.
同類題型歸類練
1．（2022·浙江·高三專題練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為（，0），（3，0），為雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：由雙曲線的定義可得，，即，，且焦點在軸上，所以雙曲線的方程為：．
故選：A．
2．（2022·全國·高二課時練習）已知平面內兩定點，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是___________.
【答案】
由題意知：，，故M的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，
設雙曲線方程為，由可得，故點M的軌跡方程是.
故答案為：.
重點題型二：求雙曲線的標準方程
典型例題
例題1．（2022·四川省資陽中學高二期末（理））已知雙曲線過三點，，中的兩點，則的方程為___________.
【答案】
根據雙曲線的對稱性可知，
點，在雙曲線圖像上，將其代入雙曲線方程，
所以解得
所以雙曲線C：，
故答案為：.
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)，，焦點在軸上；
(2)，，焦點在軸上；
(3)，一個焦點為；
(4)，．
【答案】(1)(2)(3)(4)或
(1)因為，，焦點在x軸上，故雙曲線方程為；
(2)因為，，焦點在y軸上，則，故雙曲線方程為；
(3)因為，一個焦點為；則，得
故雙曲線方程為；
(4)因為，，所以
當焦點在x軸上時，雙曲線方程為；
當焦點在y軸上時，雙曲線方程為．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)，，焦點在x軸上；
(2)焦點為，，且；
(3)，．
【答案】(1)(2)(3)或
(1)，
雙曲線的焦點在軸上，
所以雙曲線的標準方程為
(2)，
雙曲線的焦點在軸上，
所以雙曲線的標準方程為
(3)當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的標準方程為，
當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的標準方程為.
2．（2022·全國·高二專題練習）在下列條件下求雙曲線標準方程
（1）經過兩點；
（2），經過點，焦點在軸上.
【答案】（1）;（2）
（1）由于雙曲線過點，故且焦點在軸上，設方程為，代入得，解得，故雙曲線的方程為.（2）由于雙曲線焦點在軸上，故設雙曲線方程為.將點代入雙曲線方程得，解得，故雙曲線的方程為.
重點題型三：雙曲線標準方程的理解和應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）雙曲線過焦點的弦，、兩點在同一支上且長為，另一焦點為，則的周長為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
由雙曲線的定義得：①，②，
兩式相加得：，
即，
所以，
故的周長為.
故選：C
例題2．（2022·河南南陽·高二期末（文））已知動圓過定點，并且與定圓外切，則動圓的圓心的軌跡是（ ）
A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．雙曲線的一支
【答案】D
圓的圓心為，半徑為，
依題意可知，
結合雙曲線的定義可知，的軌跡為雙曲線的一支.
故選：D
例題3．（2022·寧夏六盤山高級中學高二階段練習（理））已知動點滿足，則動點的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線
C．雙曲線的左支 D．雙曲線的右支
【答案】D
表示：
動點到兩定點，的距離之差等于2，
而，由雙曲線的定義，知動點的軌跡是雙曲線的右支．
故選：D
例題4．（2022·陜西渭南·高一期末）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因為方程表示雙曲線，
所以，解得，
故選：A
同類題型歸類練
1．（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內兩定點，，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：由題意，因為，
所以由雙曲線的定義知，當時，動點的軌跡為雙曲線，
故選：C.
2．（2022·上海金山·二模）“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
當，則且或且，此時方程表示的曲線一定為雙曲線；則充分性成立；
若方程表示的曲線為雙曲線，則，則必要性成立，
故選：.
3．（2022·湖南·高二期末）雙曲線上一點P與它的一個焦點的距離等于1，那么點P與另一個焦點的距離等于（ ）
A．9 B．17
C．18 D．34
【答案】B
由，得，
設點P與雙曲線另一個焦點的距離為，由定義，得，
故選：B.
4．（2022·福建·廈門雙十中學高二階段練習）已知點為雙曲線的左焦點，過原點的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點．若，則______．
【答案】7
由雙曲線的對稱性，可知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，
由，可知點在雙曲線的左支，如下圖所示：
由雙曲線定義有，又，所以.
故答案為：
5．（2022·廣東·高三階段練習）“k<2”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
∵方程為雙曲線，∴，
∴或，∴“”是“方程為雙曲線”的充分不必要條件，
故選：A.
6．（2022·青海·模擬預測（理））已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
由方程表示雙曲線，可得，解得或，
則為或的充分不必要條件，
故選：B.
重點題型四：雙曲線的實際生活應用
典型例題
例題1．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學校高二階段練習）相距1400m的，兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線
【答案】D
設炮彈爆炸點為P，則，故炮彈爆炸點的軌跡是雙曲線.
故選：D.
例題2．（2022·遼寧遼陽·二模）如圖，已知，兩地相距600m，在地聽到炮彈爆炸聲比在地早1s，且聲速為340m/s..以線段的中點為坐標原點，的方向為軸的正方向建立平面直角坐標系，則炮彈爆炸點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
設炮彈爆炸點的坐標為，則，
所以的軌跡是以，為焦點，實軸長為340的雙曲線的左支.
因為，所以，又，
所以，，
故炮彈爆炸點的軌跡方程為.
故選：B.
例題3．（2022·北京·高三專題練習）如圖1，北京2022年冬奧會比賽場地之一首鋼滑雪大跳臺與電力廠的冷卻塔交相輝映，實現了它與老工業遺址的有效融合.如圖2，冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面.它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為.在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖3所示的平面直角坐標系，設，，，，則雙曲線的方程近似為（ ）
（參考數據：，，）
A． B． C． D．
【答案】A
解：根據題意，設雙曲線的標準方程為，
因為，，，，
所以，設，
則點在雙曲線上，
所以，，
因為，，
所以，，
所以，解得，
所以.
故雙曲線的方程近似為.
故選：A
同類題型歸類練
1．（2022·四川·石室中學模擬預測（理））從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構成，現一光線從左焦點發出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則的長軸長與的實軸長之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，
兩式相減得 ，
所以 的周長為 ，
在圖②中，的周長為，
因為光速相同，且 ，
所以 ，即 ，
所以，
即的長軸長與的實軸長之比為，
故選：D
2．（2022·四川廣元·高二期末（理））三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數學家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個問題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個三等分點，以A為左焦點，B，C為頂點作雙曲線T．設雙曲線T與弧的交點為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
由題知
所以雙曲線的方程為
又由題設的方程為,所以,即
設AB的中點為,則
由.所以,即圓的半徑為2
故選：C
3．（2022·福建省福州第一中學高二期末）圓錐曲線有良好的光學性質，光線從橢圓的一個焦點發出，被橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點（如左圖）；光線從雙曲線的一個焦點發出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1: + = 1和雙曲線C2: - =1在y軸右側的一部分（實線）圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發，經過點F2，然后在曲線E內多次反射，反射點依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，則光線從P0到P4所經過的路程為 _________ .
【答案】
橢圓；雙曲線，
雙曲線和橢圓的焦點重合.
根據雙曲線的定義有，
所以①，②，
根據橢圓的定義由，
所以路程
.
故答案為：
4．（2022·江蘇·高二）設聲速是a（），在相距10a（）的A B兩哨所，聽到一炮彈的爆炸聲，爆炸聲的時間相差6，已知聲強與距離的平方成反比.試建立適當的坐標系.
(1)求點P所在曲線的方程；
【答案】(1)；(2).
(1)以A B所在直線為x軸，AB的中點為原點，建立平面直角坐標系，
設 ，則點滿足，
故點在以為焦點的雙曲線上，設其方程為，
則，解得，
故點P所在曲線的方程為；
5．（2022·全國·高二課時練習）相距的A，B兩個觀察站都聽到了一聲巨響，且在A處聽到的時間比在B處聽到的時間早．已知當時的聲速是，發出巨響的點與A，B都在水平面上，求發出巨響的點所在曲線的方程．
【答案】
解：依題意設點在點左側，以的中點為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，設巨響點為，由題意知，，，所以點在以、為焦點的雙曲線的左支上，其中、，所以，又，所以，所以巨響的點所在曲線的方程為
重點題型五：軌跡方程
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知動圓過定點，且與圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程.
【答案】
整理可得：圓，圓的圓心，半徑；
圓與圓相外切，，
動圓圓心的軌跡是以為焦點的雙曲線的左半支，
，，，，
動圓圓心的軌跡方程為：.
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）在中，，，直線，的斜率之積為求頂點的軌跡方程．
【答案】．
設A(x，y)，則，
根據題意有，
化簡得
∴頂點A的軌跡方程為．
例題3．（2022·河南·高二階段練習（理））已知圓：和圓：，動圓同時與圓及圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
,則
根據雙曲線定義知的軌跡為的左半支
故選：A
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）與圓及圓都外切的圓P的圓心在（ ）
A．一個橢圓上 B．一個圓上
C．一條射線上 D．雙曲線的一支上
【答案】D
設圓的半徑為，
又圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑為，
根據題意可得：，
則，
根據雙曲線定義可知，其表示焦點為的雙曲線的一支.
故選：D.
2．（2022·河南洛陽·高二期末（文））在平面直角坐標系中，已知的頂點，，其內切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：如圖設與圓的切點分別為、、，
則有，，，
所以．
根據雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（右頂點除外），
即、，又，所以，
所以方程為．
故選：A．
3．（多選）（2022·吉林·長春市實驗中學高二期末）若，，動點滿足，當和時，點軌跡（ ）
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．一條直線
【答案】BC
當時，，故軌跡為雙曲線的右支；
當時，，故軌跡為射線；
故選：BC.
4．（2022·浙江·溫州中學高二期末）在一張紙上有一圓，定點，折疊紙片上的某一點恰好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設折痕與直線的交點.
(1)證明：為定值，并求出點的軌跡的軌跡方程；
【答案】(1)證明見解析，
證明：如圖，由點與關于對稱，
則，
且
由雙曲線定義知，點的軌跡為以為焦點，實軸長為6的雙曲線，
設雙曲線方程為：
所以雙曲線方程為
重點題型六：雙曲線中的焦點三角形問題
典型例題
例題1．（2022·全國·模擬預測（文））設，是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（ ）
A．24 B． C． D．30
【答案】A
由，可得
又是是雙曲線上的一點，則，
則，，又
則，則
則的面積等于
故選：A
例題2．（2022·全國·高三專題練習（理））已知，分別是雙曲線的左右焦點，點為的左頂點，動點在上，當時，，且，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由題意得：
，
又
又
在直角三角形中，由勾股定理得
于是，解得：
故可知：（舍去）或
又由可知：
所以C的方程為
故選：D
例題3．（2022·四川·射洪中學高二階段練習（文））已知P是雙曲線上的點，，是其焦點，雙曲線的離心率是，且，若的面積為9，則的值為__________.
【答案】
解：如圖所示，
不妨設點在雙曲線的右支上．設，．
則，，，
即，所以，又，所以．
又，
，解得，所以．
．
故答案為：．
例題4．（2022·河南·夏邑第一高級中學高二階段練習（理））已知雙曲線的離心率，左 右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的左 右兩支分別交于兩點，若，則__________.
【答案】
由已知得，且，解得，
又雙曲線的離心率，所以，即.
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·四川成都·三模（理））設，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當時，面積為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
∵雙曲線，
∴，又點P在雙曲線C的右支上，，
所以，，即，
又，
∴面積為.
故選：B.
2．（2022·河南·高三階段練習（理））已知雙曲線C：的離心率為3，焦點分別為，，點A在雙曲線C上．若的周長為14a，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：不妨令在雙曲線右支，
依題意可得，，，
解得，，又，
由余弦定理
即，解得，
所以，
所以的面積．
故選：C．
3．（2022·河南洛陽·三模（文））設，，滿足，且，則的面積為（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】A
解：依題意，，
所以，
又，即，
所以，
所以；
故選：A
4．（2022·云南保山·模擬預測（理））已知是離心率等于的雙曲線的左右焦點，過焦點的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，若的周長20，則等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
解：設雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為，則，．
因為離心率，則，所以，，
由雙曲線的定義知，，，則，
所以的周長，，
故選：D．
5．（2022·江蘇·高二）已知為雙曲線：的兩個焦點，，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．
【答案】8
由題意得，，
由雙曲線的對稱性以及可知，四邊形為矩形，
所以，解得，
所以四邊形的面積為．
故答案為：．
6．（2022·全國·高二課時練習）過雙曲線的左焦點作一條直線l交雙曲線左支于P Q兩點，若，是雙曲線的右焦點，則的周長是___________.
【答案】12
根據題意，作圖如下：
由雙曲線定義可知：，，
故，
故的周長為.
故答案為：12.
1．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于6，那么點P到另一個焦點的距離為（ ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
【答案】D
因為雙曲線，
所以，則，
因為點P到它的一個焦點的距離等于6，
設點P到另一個焦點的距離為，
所以，解得或
故選：D.
2．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（文））數學家華羅曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，”事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，例如，與相關的代數問題，可以轉化為點A（x，y）與點B（a，b）之間的距離的幾何問題，結合上述觀點，可得方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
由可得
4
表示點（x，1）到定點（-3，0）和（3，0）的距離之差等于4，
由雙曲線的定義可知，點（x，1）在以（-3，0）和（3，0）為焦點，
的雙曲線的右支上，所以，所以雙曲線方程為，
令可得，因為，所以，
即方程的解是，
故選：C.
3．（2022·陜西榆林·一模（理））江西景德鎮青花瓷始創于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永.現有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由題意可知該雙曲線的焦點在x軸上，實軸長為4，點在該雙曲線上．
設該雙曲線的方程為，
則解得，，
故該雙曲線的標準方程是．
故選：D.
4．（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知，分別是雙曲線C：的左、右兩個焦點，點M在雙曲線的右支上，且，則（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
由，分別是雙曲線C：的左、右兩個焦點，可得：.
由雙曲線的定義可得：，而，解得：.
由余弦定理得：
所以90°.
故選：D
5．（2022·江西九江·三模（理））雙曲線的左右焦點分別為，，為圓與該雙曲線的一個公共點，則的面積為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
由雙曲線方程知，，
恰好為圓的直徑，所以，如圖所示：
由雙曲線定義知，，
∴，
∴，
故選：A.

展開更多......

收起↑