資源簡介

2.2直線的方程（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：直線的點斜式方程
重點題型二：直線的斜截式方程
重點題型三：直線的兩點式方程
重點題型四：直線的截距式方程
重點題型五：直線方程的綜合應用
重點題型六：直線一般式方程的應用
重點題型七：將其它形式的方程化為一般式方程
重點題型八：直線的位置關系的應用
重點題型九：過定點的直線系方程
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：直線的點斜式方程
已知條件（使用前提） 直線過點和斜率（已知一點+斜率）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）
1.點斜式方程中的點只要是這條直線上的點,哪一個都可以.
2.當直線與軸平行或重合時,方程可簡寫為.特別地,軸的方程是;當直線與軸平行或重合時,不能應用點斜式方程.此時可將方程寫成.特別地,軸的方程是.
知識點二：直線的斜截式方程
已知條件（使用前提） 直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）
1.直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況.
2.截距是一個實數,它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標,可以為正數、負數和0.當直線過原點時,它在軸上的截距和在軸上的截距都為0.
3.由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在軸上的截距,如直線的斜率,在軸上的截距為.
知識點三：直線的兩點式方程
已知條件（使用前提） 直線上的兩點，（，）（已知兩點）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在且不為0； 當直線沒有斜率()或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程
1.當過兩點,的直線斜率不存在()或斜率為0()時,不能用兩點式方程表示.
2.在記憶和使用兩點式方程時,必須注意坐標的對應關系,即,是同一個點的坐標,是另一個點的坐標.
知識點四：直線的截距式方程
已知條件（使用前提） 直線在軸上的截距為，在軸上的截距為
圖示
點斜式方程形式
適用條件 ，
直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在軸和軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題時非常方便.
知識點五：直線的一般式方程
定義:關于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于,的二元一次方程(其中
,不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.
說明：
1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.
當時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．
當，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．
由上可知，關于、的二元一次方程，它都表示一條直線．
2．在平面直角坐標系中，一個關于、的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數個關于、的一次方程.
3.解題時,如無特殊說明,應把最終結果化為一般式.
知識點六：直線的一般式方程與其它形式方程的互化
知識點七：直線系方程
1．平行直線系方程
把平面內具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為 (其中為參數且≠C)，然后依據題設中另一個條件來確定的值.
2．垂直直線系方程
一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數），然后依據題設中的另一個條件來確定的值.
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）對直線的點斜式方程也可寫成．( )
（2）直線恒過定點．( )
2．（2022·全國·高二課時練習）如圖，直線l的截距式方程是，則( )
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高二課時練習）過點的直線方程是( )
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高二課時練習）直線的斜率與在y軸上的截距分別是( )
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高二課時練習）傾斜角為，在y軸上的截距為的直線方程是( )
A． B． C． D．
重點題型一：直線的點斜式方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）根據下列條件，分別寫出直線的方程：
(1)過點，傾斜角為；
(2)過點，傾斜角為；
(3)過點，傾斜角為；
(4)過點，傾斜角為.
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）過點且斜率為的直線的方程為______．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）經過點，傾斜角為60°的直線的點斜式方程是______．
2．（2022·全國·高二期末）若直線過點A(1，3)，且斜率是直線y＝－4x的斜率的，則該直線的方程為________．
3．（2022·江蘇·高二課時練習）根據下列條件，分別畫出經過點P，且斜率為k的直線：
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，斜率不存在
4．（2022·江蘇·高二課時練習）根據下列條件，分別寫出直線的方程：
(1)經過點，斜率為3；
(2)經過點，斜率為；
(3)經過點，斜率為；
(4)經過點，斜率為0；
重點題型二：直線的斜截式方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）（1）求斜率為2，在軸上的截距為5的直線的方程.
（2）求斜率為2，與軸的交點到原點的距離為5的直線的方程.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知直線與直線在軸上有相同的截距，且的斜率與的斜率互為相反數，則直線的斜截式方程為______．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）若直線l的傾斜角為且在y軸上的截距為，則直線l的斜截式方程為___________.
2．（2022·四川·高二期末）直線在軸上的截距為5，斜率為2，則該直線方程為___________.
3．（2022·全國·高二課時練習）根據下列條件求直線的斜截式方程：
(1)斜率是，截距是；
(2)傾斜角是，截距是．
4．（2022·江蘇·高二課時練習）（1）求傾斜角為，在軸上的截距為的直線的方程；
（2）求傾斜角為，與軸交點到原點的距離為的直線的方程.
重點題型三：直線的兩點式方程（不推薦直接代公式用）
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）求經過下列兩點的直線的方程：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）求經過下列兩點的直線的方程：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
2．（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線分別經過下面兩點，用兩點式方程求直線的方程：
(1)A(3, 1), B(2, －3)；
(2)A(2, 1), B(0, －3)；
(3)A(0, 5), B(4, 0).
重點題型四：直線的截距式方程
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）已知直線經過點，且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍，求該直線的方程．
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）寫出下列圖中各條直線的方程，并化為一般式：
(1)；(2)；
(3)；(4).
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時練習）求過點(3, －4)且在坐標軸上的截距相等的直線方程.
2．（2022·江蘇·高二課時練習）求過點，在x軸和y軸上的截距分別為，且滿足的直線方程.
3．（2022·江蘇·高二課時練習）直線經過點P（-5，-4），且與兩坐標軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程．
4．（2022·全國·高二課時練習）求經過點 ，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.
重點題型五：將其它形式的方程化為一般式方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）求過點且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線的方程．
例題2．（2022·全國·高二課時練習）根據下列條件，求直線的方程：
(1)過點，且截距是；
(2)過點，且在兩坐標軸上的截距和為5．
同類題型歸類練
1．（2022·吉林·長春市第六中學高二階段練習（理））經過點，斜率為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇·高二）直線過點，且在兩坐標軸上截距相等，則直線的一般式方程為___________.
3．（2022·全國·高二課時練習）根據下列條件，寫出直線方程的一般式：
(1)經過點（0，2），且傾斜角為；
(2)經過點（－2，3）和點（－1，0）；
(3)經過點（2，1），在x，y軸上有不為0且相等的截距．
重點題型六：直線一般式方程的應用
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知直線在軸上的截距為3，則該直線在軸上的截距為________．
例題3．（2022·全國·高二課時練習）若，，則直線不通過第______象限．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）如果AB>0且BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經過第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2022·全國·高二單元測試）直線方程為，若直線不過第二象限，則實數m的取值范圍是______．
3．（2022·全國·高三專題練習（文））已知直線，若 ,，則不經過第一象限的概率為________．
重點題型七：直線方程的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）已知直線.
(1)若直線在y軸上的截距為1，求實數的值；
(2)若直線的傾斜角為，求實數的值；
(3)若直線的一個法向量為，求實數的值.
例題2．（2022·四川·德陽五中高一階段練習（理））已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知，，直線恒過點(，1)，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
2．（2022·江蘇·高二）設直線的方程為，若直線 在兩坐標軸上的截距相等，則直線的方程為 ______ ．
3．（2022·重慶市巫山大昌中學校高二期末）直線的傾斜角的取值范圍是______.
重點題型八：直線的位置關系的應用
典型例題
例題1．（2022·陜西西安·高一期末）已知直線，點.
(1)求過點且與平行的直線的方程；
(2)求過點且與垂直的直線的方程.
例題2．（2022·江蘇揚州·高二開學考試）已知直線，直線過點.
(1)若，求直線的方程；
(2)若，求直線的方程.
同類題型歸類練
1．（2022·四川樂山·高一期末）過點且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·貴州·六盤水市第五中學高二期末）直線與直線的位置關系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
3．（2022·湖南岳陽·高二期末）過點且與直線垂直的直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京市十一學校高一階段練習）直線與直線的位置關系是（ ）
A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直
5．（2022·上海市虹口高級中學高二期末）過點且與直線平行的直線方程是______.
6．（2022·全國·高二課時練習）直線的法向量就是的法向量，則實數______．
7．（2022·全國·高二課時練習）若兩直線與平行，則實數a的值為______．
8．（2022·全國·高二課時練習）已知直線.
(1)若直線l在y軸上的截距為1，求實數a的值；
(2)若直線l的傾斜角為，求實數a的值；
(3)若直線l的一個法向量為，求實數a的值.
重點題型九：過定點的直線系方程
典型例題
例題1．（2022·全國·高二單元測試）對于任意、，直線必過定點______．
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）直線可能是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·全國·高二課時練習）已知直線的方程是．對于任意，直線均經過定點，則此定點的坐標為___________.
同類題型歸類練
1．（2022·四川達州·高一期末（理））直線恒過定點（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京市十一學校高一階段練習）不論為何實數，直線恒過一個定點，則這個定點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京市十一學校高一階段練習）已知直線，當變化時，點到直線的距離的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川·鹽亭中學高二開學考試）不論k為何值，直線恒過定點（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·北京工業大學附屬中學三模）已知直線，，若，則實數的值是（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．（2022·福建福建·模擬預測）直線經過第一、二、四象限，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022·河南·模擬預測（理））已知直線經過點，且與直線垂直，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海·模擬預測）直線的單位法向量是__________
5．（2022·上海·復旦附中模擬預測）經過點且法向量為的直線l的一般式方程是______．
2.2直線的方程（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：直線的點斜式方程
重點題型二：直線的斜截式方程
重點題型三：直線的兩點式方程
重點題型四：直線的截距式方程
重點題型五：直線方程的綜合應用
重點題型六：直線一般式方程的應用
重點題型七：將其它形式的方程化為一般式方程
重點題型八：直線的位置關系的應用
重點題型九：過定點的直線系方程
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：直線的點斜式方程
已知條件（使用前提） 直線過點和斜率（已知一點+斜率）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）
1.點斜式方程中的點只要是這條直線上的點,哪一個都可以.
2.當直線與軸平行或重合時,方程可簡寫為.特別地,軸的方程是;當直線與軸平行或重合時,不能應用點斜式方程.此時可將方程寫成.特別地,軸的方程是.
知識點二：直線的斜截式方程
已知條件（使用前提） 直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）
1.直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況.
2.截距是一個實數,它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標,可以為正數、負數和0.當直線過原點時,它在軸上的截距和在軸上的截距都為0.
3.由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在軸上的截距,如直線的斜率,在軸上的截距為.
知識點三：直線的兩點式方程
已知條件（使用前提） 直線上的兩點，（，）（已知兩點）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在且不為0； 當直線沒有斜率()或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程
1.當過兩點,的直線斜率不存在()或斜率為0()時,不能用兩點式方程表示.
2.在記憶和使用兩點式方程時,必須注意坐標的對應關系,即,是同一個點的坐標,是另一個點的坐標.
知識點四：直線的截距式方程
已知條件（使用前提） 直線在軸上的截距為，在軸上的截距為
圖示
點斜式方程形式
適用條件 ，
直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在軸和軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題時非常方便.
知識點五：直線的一般式方程
定義:關于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于,的二元一次方程(其中
,不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.
說明：
1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.
當時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．
當，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．
由上可知，關于、的二元一次方程，它都表示一條直線．
2．在平面直角坐標系中，一個關于、的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數個關于、的一次方程.
3.解題時,如無特殊說明,應把最終結果化為一般式.
知識點六：直線的一般式方程與其它形式方程的互化
知識點七：直線系方程
1．平行直線系方程
把平面內具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為 (其中為參數且≠C)，然后依據題設中另一個條件來確定的值.
2．垂直直線系方程
一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數），然后依據題設中的另一個條件來確定的值.
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）對直線的點斜式方程也可寫成．( )
（2）直線恒過定點．( )
【答案】 × √
（1）點斜式方程前提是斜率存在，故錯誤；
（2）無論k為何值，直線始終過定點( 1,3)
2．（2022·全國·高二課時練習）如圖，直線l的截距式方程是，則( )
A． B． C． D．
【答案】D
根據直線的截距式以及圖象可知：a>0,b<0
故選：D
3．（2022·全國·高二課時練習）過點的直線方程是( )
A． B． C． D．
【答案】D
由題可知：直線方程的兩點式為 ，即
故選：D
4．（2022·全國·高二課時練習）直線的斜率與在y軸上的截距分別是( )
A． B． C． D．
【答案】B
由題可知：直線方程，即，所以斜率為，縱截距為
故選：B
5．（2022·全國·高二課時練習）傾斜角為，在y軸上的截距為的直線方程是( )
A． B． C． D．
【答案】D
根據直線的傾斜角為135° 可知斜率為-1，且知縱截距為-1
所以直線的方程為：y=-x-1
故選：D
重點題型一：直線的點斜式方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）根據下列條件，分別寫出直線的方程：
(1)過點，傾斜角為；
(2)過點，傾斜角為；
(3)過點，傾斜角為；
(4)過點，傾斜角為.
【答案】(1)(2)(3)y=4(4)x=3
(1)斜率，點斜式直線方程為：，即；
(2)斜率，點斜式直線方程為：，即；
(3)由于，點斜式直線方程為：y=4；
(4)由于傾斜角為，斜率不存在，不能表達為點斜式直線方程，直線方程為：x=3；
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）過點且斜率為的直線的方程為______．
【答案】
由直線方程的點斜式可得：
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）經過點，傾斜角為60°的直線的點斜式方程是______．
【答案】
由題知，直線斜率為，
則直線點斜式方程為：
故答案為：
2．（2022·全國·高二期末）若直線過點A(1，3)，且斜率是直線y＝－4x的斜率的，則該直線的方程為________．
【答案】
設所求直線的斜率為k，依題意
又直線經過點A(1，3)，因此所求直線的方程為，即
故答案為：
3．（2022·江蘇·高二課時練習）根據下列條件，分別畫出經過點P，且斜率為k的直線：
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，斜率不存在
【答案】
(1)經過點，且斜率為的直線方程為，圖象如下：
(2)經過點，且斜率為的直線方程為，圖象如下：
(3)經過點，且斜率為的直線方程為，圖象如下：
(4)經過點，且斜率不存在的直線方程為，圖象如下：
4．（2022·江蘇·高二課時練習）根據下列條件，分別寫出直線的方程：
(1)經過點，斜率為3；
(2)經過點，斜率為；
(3)經過點，斜率為；
(4)經過點，斜率為0；
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(1)因為直線過點，斜率為3，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
(2)因為直線過點，斜率為，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
(3)因為直線過點，斜率為-1，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
(4)因為直線過點，斜率為0，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
重點題型二：直線的斜截式方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）（1）求斜率為2，在軸上的截距為5的直線的方程.
（2）求斜率為2，與軸的交點到原點的距離為5的直線的方程.
【答案】（1）y＝2x＋5；（2）y＝2x±5
（1）因為直線斜率為2，在軸上的截距為5，
由直線的斜截式方程可知所求直線的方程為y＝2x＋5.
（2）因為直線與軸的交點到原點的距離為5，所以直線在軸上的截距為，
又直線的斜率為2，由直線的斜截式方程可知所求直線的方程為y＝2x±5.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知直線與直線在軸上有相同的截距，且的斜率與的斜率互為相反數，則直線的斜截式方程為______．
【答案】
由題意知，直線在軸上的截距為，其斜率為，
所以直線在軸上的截距為，其斜率為，
故直線的斜截式方程為．
故答案為：．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）若直線l的傾斜角為且在y軸上的截距為，則直線l的斜截式方程為___________.
【答案】
因為直線l的傾斜角為，所以，又因為直線在y軸上的截距為，
所以直線方程為：.
故答案為：.
2．（2022·四川·高二期末）直線在軸上的截距為5，斜率為2，則該直線方程為___________.
【答案】
直線方程為即，
故答案為：.
3．（2022·全國·高二課時練習）根據下列條件求直線的斜截式方程：
(1)斜率是，截距是；
(2)傾斜角是，截距是．
【答案】(1)或.
(2)或.
(1)由題意，直線的斜率是，截距是，
當直線在軸上的截距為時，直線的斜截式方程為；
當直線在軸上的截距為時，可得直線的方程為，
所以直線的斜截式方程為；
綜上，直線的斜截式方程為或.
(2)由題意，直線傾斜角是，截距是，所以斜率為，
當直線在軸上的截距為時，直線的斜截式方程為；
當直線在軸上的截距為時，可得直線的方程為，
所以直線的斜截式方程為；
綜上，直線的斜截式方程為或.
4．（2022·江蘇·高二課時練習）（1）求傾斜角為，在軸上的截距為的直線的方程；
（2）求傾斜角為，與軸交點到原點的距離為的直線的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【詳解】
（1）直線的斜率為，故直線的方程為；
（2）直線的斜率為，由題意可知直線在軸上的截距為或，
故直線的方程為或.
重點題型三：直線的兩點式方程（不推薦直接代公式用）
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）求經過下列兩點的直線的方程：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)(2)(3)(4)
(1)根據直線方程的兩點式有，即；
(2)根據直線方程的兩點式有，即；
(3)由于點，的橫坐標相同，故過這兩點的直線方程為；
(4)由于點，的縱坐標相同，過這兩點的直線方程為.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）求經過下列兩點的直線的方程：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)(2)(3)
(1)經過點，的直線方程為，即
(2)經過點，的直線方程為，即
(3)經過點，的直線方程為，即
2．（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線分別經過下面兩點，用兩點式方程求直線的方程：
(1)A(3, 1), B(2, －3)；
(2)A(2, 1), B(0, －3)；
(3)A(0, 5), B(4, 0).
【答案】(1)；(2)；(3).
(1)直線的兩點式方程為.
(2)直線的兩點式方程為.
(3)直線的兩點式方程為.
重點題型四：直線的截距式方程
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）已知直線經過點，且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍，求該直線的方程．
【答案】或
若直線經過原點，滿足題意要求，此時直線方程為，整理得.
若直線不經過原點，不妨設直線方程為，又其過點，
故可得，解得，故此時直線方程為，整理得；
綜上所述，所求直線方程為：或.
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）寫出下列圖中各條直線的方程，并化為一般式：
(1)；(2)；
(3)；(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
(1)解：由圖象知：直線過點（-2，0），（0，2），
所以直線方程為：，即，
化為一般式為：；
(2)由圖象知：直線過點（1，0），（0，1），
所以直線方程為：，即，
化為一般式為：；
(3)由圖象知：直線過點（3，0），（0，1），
所以直線方程為：，即；
化為一般式為：；
(4)由圖象知：直線過點（-2，0），（0，-1），
所以直線方程為：，即；
化為一般式為：；
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二課時練習）求過點(3, －4)且在坐標軸上的截距相等的直線方程.
【答案】x＋y＋1＝0或
① 當截距不為0時，設所求直線的方程為，
將點(3, －4)代入得, ，解得a＝－1，
此時所求直線的方程為，即 x＋y＋1＝0
② 當截距為0時，直線過原點(0, 0)，
此時所求直線的方程為，即
綜上，所求直線的方程為x＋y＋1＝0或.
2．（2022·江蘇·高二課時練習）求過點，在x軸和y軸上的截距分別為，且滿足的直線方程.
【答案】或
① 當時，此時直線方程為；　
② 當時，因為，設所求直線方程為，
將點代入直線方程得，解得，此時，
可得直線方程為，
綜上，所求直線方程為或.
3．（2022·江蘇·高二課時練習）直線經過點P（-5，-4），且與兩坐標軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程．
【答案】，或
設所求直線方程為. ∵直線過點P(－5，－4)，
∴，得4a＋5b＝－ab，①
又由已知得|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，②
由①②解得或
∴所求方程為或.
即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
4．（2022·全國·高二課時練習）求經過點 ，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.
【答案】2x-3y=0和x+y-5=0.
若所求直線截距為0,設其方程為y=kx.
依題意將點A的坐標代入可解得k=.
所以此時直線方程為2x-3y=0.
若所求直線截距不為0,則設其截距為a,
則方程的截距式為=1,將點A的坐標代入可解得a=5.
所以此時直線方程為x+y-5=0.
重點題型五：將其它形式的方程化為一般式方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）求過點且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線的方程．
【答案】或或.
設直線在軸、軸上的截距分別為，．
①當，時，設直線的方程為．
∵點)在直線上，∴，
若，則，直線的方程為．
若，則，，直線的方程為．
②當時，直線過原點，且過點，
此時直線的方程為．
綜上，所求直線的方程為或或．
例題2．（2022·全國·高二課時練習）根據下列條件，求直線的方程：
(1)過點，且截距是；
(2)過點，且在兩坐標軸上的截距和為5．
【答案】(1)或；(2).
(1)解：如果橫截距是，則直線過點，
所以直線的方程為即.
所以直線的方程為.
如果是縱截距為，則直線過點，
所以直線的方程為，即.
綜上，直線的方程為或.
(2)解：由題得直線的縱截距為2，
所以直線的方程為，即.
所以所求的直線方程為.
同類題型歸類練
1．（2022·吉林·長春市第六中學高二階段練習（理））經過點，斜率為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由題意得，經過點，斜率為的直線方程為，
即.
故選：C.
2．（2022·江蘇·高二）直線過點，且在兩坐標軸上截距相等，則直線的一般式方程為___________.
【答案】，
顯然直線的斜率存在且不為，設：
令，則；令，則
依題意，
解之得或
當時，：
當時，：
故答案為：，
3．（2022·全國·高二課時練習）根據下列條件，寫出直線方程的一般式：
(1)經過點（0，2），且傾斜角為；
(2)經過點（－2，3）和點（－1，0）；
(3)經過點（2，1），在x，y軸上有不為0且相等的截距．
【答案】(1)(2)(3)
(1)解：因為直線經過點，且傾斜角為，
所以直線的斜率為，
所以直線方程為，
所以直線的一般方程為
(2)解：因為直線經過點和點，
所以直線斜率為，
所以直線方程為，
所以直線的一般式方程為
(3)解：由題設直線方程為，
因為直線過點，
所以，解得
所以直線的一般式方程為
重點題型六：直線一般式方程的應用
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
【答案】D
當時，直線，此時不符合題意，應舍去；
當時，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；
當且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.
由，解得：.
故的值是2或1.
故選：D
例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知直線在軸上的截距為3，則該直線在軸上的截距為________．
【答案】
因為直線在軸上的截距為，即直線過點，
把點代入直線，得，解得，
所以直線的方程為，
令，解得，即直線在軸上的解距.
故答案為：
例題3．（2022·全國·高二課時練習）若，，則直線不通過第______象限．
【答案】三
直線可化為，即
因為，，所以直線的斜率為負，縱截距為正
即直線通過第一、二、四象限，不通過第三象限.
故答案為：三
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）如果AB>0且BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經過第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
因AB>0且BC<0，則直線Ax＋By＋C＝0的斜率，縱截距，
所以直線Ax＋By＋C＝0必過第一、二、四象限，不經過第三象限.
故選：C
2．（2022·全國·高二單元測試）直線方程為，若直線不過第二象限，則實數m的取值范圍是______．
【答案】
不過第二象限,
，解得，
故答案為：
3．（2022·全國·高三專題練習（文））已知直線，若 ,，則不經過第一象限的概率為________．
【答案】
解：直線，若，，
包含的基本事件有，共6種，
不經過第一象限，即不經過第一象限，
，，即，故有兩種基本事件，
滿足不經過第一象限的有：，共2個，
不經過第一象限的概率為．
故答案為：．
重點題型七：直線方程的綜合應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）已知直線.
(1)若直線在y軸上的截距為1，求實數的值；
(2)若直線的傾斜角為，求實數的值；
(3)若直線的一個法向量為，求實數的值.
【答案】(1)1(2)2(3)
(1)由題意可知若直線l在y軸上的截距為1.
則將點代入，可得，
即實數a的值為1；
(2)直線l的傾斜角為，則直線的斜率為 ，
顯然 ，故 ，解得 ；
(3)直線l的一個法向量為，
則直線的一個方向向量為，則直線的斜率為 ，
顯然，故，解得 .
例題2．（2022·四川·德陽五中高一階段練習（理））已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
直線可變為，所以過定點，又因為直線在兩坐標軸上的截距都是正值，可知，
令，所以直線與軸的交點為，
令，所以直線與軸的交點為，
所以，
當且僅當即時取等，所以此時直線為：.
故選：C.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知，，直線恒過點(，1)，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
【答案】B
因直線恒過點(，1)，則有，即，
又，，則，當且僅當，即時取“=”，
由得，
所以當時，取得最小值9.
故選：B
2．（2022·江蘇·高二）設直線的方程為，若直線 在兩坐標軸上的截距相等，則直線的方程為 ______ ．
【答案】或
直線的方程為，即，
令，求得，，可得該直線經過定點．
由于直線在兩坐標軸上的截距相等，若直線過原點，方程為，即．
若直線不過原點，設它的方程為，再把點代入，求得，
故直線的方程為．
綜上可得，直線的方程為或．
故答案為：或
3．（2022·重慶市巫山大昌中學校高二期末）直線的傾斜角的取值范圍是______.
【答案】
可化為：，所以，由于，結合函數在上的圖象，可知．
故答案為：．
重點題型八：直線的位置關系的應用
典型例題
例題1．（2022·陜西西安·高一期末）已知直線，點.
(1)求過點且與平行的直線的方程；
(2)求過點且與垂直的直線的方程.
【答案】(1)(2)
(1)已知直線的斜率為，
設直線的斜率為，
∵與平行，
∴，
∴直線的方程為，
即直線的方程為，
(2)已知直線的斜率為，
設直線的斜率為，
∵與垂直，
∴，
∴，
∴直線的方程為，
即直線的方程為.
例題2．（2022·江蘇揚州·高二開學考試）已知直線，直線過點.
(1)若，求直線的方程；
(2)若，求直線的方程.
【答案】(1)(2)
(1)因為，且，所以直線的斜率為，
又直線過點，
所以直線的方程為，即.
(2)因為，且，
所以直線的斜率為，又直線過點，
所以直線的方程為，即.
同類題型歸類練
1．（2022·四川樂山·高一期末）過點且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
直線的斜率，因為，故的斜率，故直線的方程為，即，
故選：B．
2．（2022·貴州·六盤水市第五中學高二期末）直線與直線的位置關系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】C
直線可化為，
所以直線與直線的位置關系是重合.
故選：C
3．（2022·湖南岳陽·高二期末）過點且與直線垂直的直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由題意可知，設所求直線的方程為，
將點代入直線方程中，得，解得，
所以所求直線的方程為，即.
故選：B.
4．（2022·北京市十一學校高一階段練習）直線與直線的位置關系是（ ）
A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】B
根據題意，化簡得，由于和解析式完全相同，
所以直線與直線重合.
故選：B.
5．（2022·上海市虹口高級中學高二期末）過點且與直線平行的直線方程是______.
【答案】
因為所求直線與直線平行，所以設所求直線方程為
由題可得，即，
所以所求直線方程為.
故答案為：
6．（2022·全國·高二課時練習）直線的法向量就是的法向量，則實數______．
【答案】
直線的法向量就是的法向量
直線與直線平行
解得：
故答案為：.
7．（2022·全國·高二課時練習）若兩直線與平行，則實數a的值為______．
【答案】
由題可知兩直線的斜率存在，故，
由，則它們的斜率相等且縱截距不等，
∴，解得.
故答案為：.
8．（2022·全國·高二課時練習）已知直線.
(1)若直線l在y軸上的截距為1，求實數a的值；
(2)若直線l的傾斜角為，求實數a的值；
(3)若直線l的一個法向量為，求實數a的值.
【答案】(1)1(2)2(3)
(1)由題意可知若直線l在y軸上的截距為1.
則將點代入，可得，
即實數a的值為1；
(2)直線l的傾斜角為，則直線的斜率為 ，
顯然 ，故 ，解得 ；
(3)直線l的一個法向量為，
則直線的一個方向向量為，則直線的斜率為 ，
顯然，故，解得 .
重點題型九：過定點的直線系方程
典型例題
例題1．（2022·全國·高二單元測試）對于任意、，直線必過定點______．
【答案】
由原方程可得對于任意m、成立，
由，解得，
故直線必過定點.
故答案為：
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）直線可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因為，所以A C錯；
當時，，故B對；
故選：B
例題3．（2022·全國·高二課時練習）已知直線的方程是．對于任意，直線均經過定點，則此定點的坐標為___________.
【答案】
∵．
可得，解得．
故答案為：．
同類題型歸類練
1．（2022·四川達州·高一期末（理））直線恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
將變形為：，令且，解得，故直線恒過定點
故選：A
2．（2022·北京市十一學校高一階段練習）不論為何實數，直線恒過一個定點，則這個定點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
直線，即，
令，得，，可得它恒過一個定點.
故答案為：.
3．（2022·北京市十一學校高一階段練習）已知直線，當變化時，點到直線的距離的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題意知直線過定點，且不與軸垂直，
當直線經過點時，，點到直線的距離最小為0，
當過點的直線垂直于x軸時，點到該直線的距離最大,最大值為3，如圖示：
由于的斜率存在，故點到直線的距離小于3，
即點到直線的距離的取值范圍是，
故選：D.
4．（2022·四川·鹽亭中學高二開學考試）不論k為何值，直線恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，可化為，則過定點
故選：B
1．（2022·北京工業大學附屬中學三模）已知直線，，若，則實數的值是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
由題意可知,故，
解得或，經驗證，符合題意，
故選：A
2．（2022·福建福建·模擬預測）直線經過第一、二、四象限，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
因為直線經過第一、二、四象限，則該直線的斜率，可得，
該直線在軸上的截距，可得.
故選：C.
3．（2022·河南·模擬預測（理））已知直線經過點，且與直線垂直，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
直線與直線垂直，設直線的方程為，
直線經過點，，即.
直線的方程為.
故選：C
4．（2022·上海·模擬預測）直線的單位法向量是__________
【答案】，
法向量可以為，此時，
單位法向量即，同理還有
故答案為：，
5．（2022·上海·復旦附中模擬預測）經過點且法向量為的直線l的一般式方程是______．
【答案】
設是直線上任一點，則由得直線方程為，即．
故答案為：．

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