資源簡介

2.3直線的交點坐標與距離公式（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求相交直線的交點坐標
重點題型二：經過兩條直線交點的直線方程
重點題型三：兩點間距離公式的應用
重點題型四：點到直線的距離
重點題型五：兩條平行直線間的距離
重點題型六：對稱問題
重點題型七：根據對稱性求最值問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：兩條直線的交點坐標
直線：（）和：（）的公共點的坐標與方程組的解一一對應.
與相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；
與平行方程組無解；
與重合方程組有無數個解.
知識點二：兩點間的距離
平面上任意兩點，間的距離公式為
特別地，原點與任一點的距離.
知識點三：點到直線的距離
平面上任意一點到直線：的距離.
知識點四：兩條平行線間的距離
一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.
知識點五：對稱問題
1、點關于點對稱問題(方法：中點坐標公式)
求點關于點的對稱點
由：
2、點關于直線對稱問題（聯立兩個方程）
求點關于直線：的對稱點
①設中點為利用中點坐標公式得，將代入直線：中；
②
整理得：
3、直線關于點對稱問題(求關于點的對稱直線，則）
方法一：在直線上找一點，求點關于點對稱的點，根據，再由點斜式求解；
方法二：由，設出的直線方程，由點到兩直線的距離相等求參數.
方法三：在直線任意一點，求該點關于點對稱的點，則該點在直線上.
4、直線關于直線對稱問題
4.1直線：（）和：（）相交,求關于直線的對稱直線
①求出與的交點
②在上任意取一點(非點），求出關于直線的對稱點
③根據，兩點求出直線
4.2直線：（）和：（）平行,求關于直線的對稱直線
①
②在直線上任取一點，求點關于直線的對稱點，利用點斜式求直線.
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）點到與x軸平行的直線的距離．( )
（2）點到與y軸平行的直線的距離．( )
（3）兩直線與的距離為．( )
2．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）表示的是平面內點到點的距離．( )
（2）平面內兩點間的距離公式與坐標順序有關．( )
3．（2022·全國·高二課時練習）原點到直線的距離為( )
A．1 B． C．2 D．
4．（2022·全國·高二課時練習）已知直線，則之間的距離為( )
A．1 B． C． D．2
5．（2022·全國·高二課時練習）在下列直線中，與直線相交的直線為( )
A． B． C． D．
重點題型一：求相交直線的交點坐標
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）分別判斷下列各對直線的位置關系，如果相交，求出交點坐標：
(1)；
(2)．
例題2．（2022·陜西商洛·高一期末）已知直線：的傾斜角為．
(1)求；
(2)若直線與直線平行，且在軸上的截距為－2，求直線與直線的交點坐標．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷下列各組直線的位置關系，若相交，求出交點坐標：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
2．（2022·江蘇·高二課時練習）設m為實數，已知三條直線，和相交于一點，求m的值．
重點題型二：經過兩條直線交點的直線方程
典型例題
例題1．原點到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例題2．直線經過直線的交點，且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程.
同類題型歸類練
1．已知直線和相交于點P，且P點在直線上．
(1)求點P的坐標和實數a的值；
2．求過直線x+y+1＝0與2x+3y﹣4＝0的交點且斜率為﹣2的直線方程．
3．求經過直線與的交點，且過點的直線方程.
4．直線l經過原點，且經過直線與直線的交點，求直線l的方程．
重點題型三：兩點間距離公式的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知三角形的三個頂點，，，則邊上中線的長為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習（文））設，直線過定點，直線過定點，則=（ ）
A． B． C． D．1
同類題型歸類練
1．（2022·甘肅·高臺縣第一中學高一階段練習）在△ABC中，已知，則BC邊的中線AD的長是
A． B．
C． D．
2．（2022·上海·曹楊二中高二期末）已知三角形OAB頂點，，，則過B點的中線長為______.
重點題型四：點到直線的距離
典型例題
例題1．（2022·四川涼山·三模（理））已知直線，，且，點到直線的距離（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·江蘇·高二）點到直線的距離等于4，則實數___________.
例題3．（2022·江蘇·高二）直線，為直線上動點，則的最小值為___________.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）點到直線和直線的距離相等，則點P的坐標應滿足的是（ ）．
A．或 B．或
C． D．
2．（2022·全國·高二課時練習）若點在直線上，則點P到坐標原點的最小距離為（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2022·海南·海口市瓊山華僑中學高二階段練習）直線與直線交于點，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江蘇·高二）實數x，y滿足，則的最小值為___________.
5．（2022·全國·高二課時練習）若，則的最小值為______．
重點題型五：兩條平行直線間的距離
典型例題
例題1．（2022·廣東·普寧市華僑中學高二階段練習）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（ ）
A．4 B． C． D．
例題2．（2022·全國·高二課時練習）若直線與直線之間的距離不大于，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．或
例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知直線經過點，直線過點，且．
(1)若與之間的距離最大，求最大距離，并求此時兩直線的方程．
(2)若與距離為5，求兩直線的方程；
同類題型歸類練
1．（2022·河北邯鄲·高二期末）已知直線，，若，則與間的距離為（ ）
A． B． C．2或12 D．或
2．（2022·全國·高三專題練習）已知兩平行直線與的距離為，則實數的值是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江·高三專題練習）已知直線：（），：，若，則與間的距離為（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022·貴州·遵義市第五中學高二期中（理））直線 與直線 之間的距離為_________.
5．（2022·江蘇·高二）若直線與直線平行，且它們之間的距離等于，則直線的方程為___________.
6．（2022·全國·高二期中）已知直線與平行，且直線與直線之間的距離為，求m、n的值．
重點題型六：對稱問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，點關于直線的對稱點為（　　）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線方程（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二開學考試）直線關于對稱直線，直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·河北·固安縣第一中學高二階段練習）與直線關于軸對稱的直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·撫松縣第一中學高二階段練習）與直線關于y軸對稱的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陜西榆林·高一期末）點（2，4）關于直線x﹣2y+1＝0對稱的點的坐標為（ ）
A．（4，0） B．（3，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣1）
4．（2022·全國·高二）點關于直線對稱的點坐標為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江蘇·高二）已知入射光線經過點，被直線反射，反射光線經過點，求反射光線所在直線的方程．
6．（2022·陜西西安·高一階段練習）直線與直線關于點對稱，則直線的方程為______.
重點題型七：根據對稱性求最值問題
典型例題
例題1．（2022·安徽·淮南第二中學高二開學考試）已知點在直線上，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·湖北·監利市教學研究室高二期末）已知定點，動點分別在直線和上運動，則的周長取最小值時點的坐標為__________.
例題3．（2022·江蘇·高二）已知、，若是直線上的點，則的最大值為______．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）已知點P是x軸上的任意一點，，，則的最小值為_________.
4．（2022·全國·高二課時練習）已知點 ，點P在x軸上，則的最小值為___________.
3.（2022·全國·高三專題練習）已知點和點，P是直線上的一點，則的最小值是__________．
4．（2022·浙江·效實中學模擬預測）已知平面向量滿足，，，則的最小值為___________.
1．點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．直線關于點對稱的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知兩點到直線的距離相等，則（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
4．已知點與點在直線的兩側，給出以下結論：
①；
②當時，有最小值，無最大值；
③；
④當且時，的取值范圍是.
正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（多選）已知直線l過點，點，到l的距離相等，則l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
2.3直線的交點坐標與距離公式（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求相交直線的交點坐標
重點題型二：經過兩條直線交點的直線方程
重點題型三：兩點間距離公式的應用
重點題型四：點到直線的距離
重點題型五：兩條平行直線間的距離
重點題型六：對稱問題
重點題型七：根據對稱性求最值問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：兩條直線的交點坐標
直線：（）和：（）的公共點的坐標與方程組的解一一對應.
與相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；
與平行方程組無解；
與重合方程組有無數個解.
知識點二：兩點間的距離
平面上任意兩點，間的距離公式為
特別地，原點與任一點的距離.
知識點三：點到直線的距離
平面上任意一點到直線：的距離.
知識點四：兩條平行線間的距離
一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.
知識點五：對稱問題
1、點關于點對稱問題(方法：中點坐標公式)
求點關于點的對稱點
由：
2、點關于直線對稱問題（聯立兩個方程）
求點關于直線：的對稱點
①設中點為利用中點坐標公式得，將代入直線：中；
②
整理得：
3、直線關于點對稱問題(求關于點的對稱直線，則）
方法一：在直線上找一點，求點關于點對稱的點，根據，再由點斜式求解；
方法二：由，設出的直線方程，由點到兩直線的距離相等求參數.
方法三：在直線任意一點，求該點關于點對稱的點，則該點在直線上.
4、直線關于直線對稱問題
4.1直線：（）和：（）相交,求關于直線的對稱直線
①求出與的交點
②在上任意取一點(非點），求出關于直線的對稱點
③根據，兩點求出直線
4.2直線：（）和：（）平行,求關于直線的對稱直線
①
②在直線上任取一點，求點關于直線的對稱點，利用點斜式求直線.
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）點到與x軸平行的直線的距離．( )
（2）點到與y軸平行的直線的距離．( )
（3）兩直線與的距離為．( )
【答案】 × √ √
（1）點到與x軸平行的直線的距離，錯誤；
（2）點到與y軸平行的直線的距離，正確；
（3）知兩條直線平行，所以距離為，正確.
2．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）表示的是平面內點到點的距離．( )
（2）平面內兩點間的距離公式與坐標順序有關．( )
【答案】 √ ×
（1）根據兩點之間距離公式可知正確；
（2）平面內兩點間的距離公式與坐標順序無關，錯誤.
3．（2022·全國·高二課時練習）原點到直線的距離為( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
由題可知：原點到直線的距離為
故選：D
4．（2022·全國·高二課時練習）已知直線，則之間的距離為( )
A．1 B． C． D．2
【答案】B
由題可知：兩條直線平行，所以距離為
故選：B
5．（2022·全國·高二課時練習）在下列直線中，與直線相交的直線為( )
A． B． C． D．
【答案】C
由題可知：ABD選項直線的斜率與已知直線斜率相同，所以不會相交，C項直線與已知直線相交
故選：C
重點題型一：求相交直線的交點坐標
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）分別判斷下列各對直線的位置關系，如果相交，求出交點坐標：
(1)；
(2)．
【答案】(1)相交，交點坐標為
(2)相交，交點坐標為
(1)因為，所以相交，聯立直線方程解得：，故交點坐標為
(2)因為，所以相交，聯立直線方程解得：，故交點坐標為
例題2．（2022·陜西商洛·高一期末）已知直線：的傾斜角為．
(1)求；
(2)若直線與直線平行，且在軸上的截距為－2，求直線與直線的交點坐標．
【答案】(1)-1；(2)(4,2).
(1)因為直線的斜率為，即，故．
(2)依題意，直線的方程為．
將代入，得，故所求交點的(4,2)．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷下列各組直線的位置關系，若相交，求出交點坐標：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)平行(2)相交；(3)相交；
(1)因為，令，，所以；
(2)因為，所以兩直線相交，聯立，解得，所以交點坐標為 ；
(3)因為，所以兩直線相交，聯立，解得，所以交點坐標為 .
2．（2022·江蘇·高二課時練習）設m為實數，已知三條直線，和相交于一點，求m的值．
【答案】
聯立方程組，解得，即交點為，
把點代入直線，可得，解得，
所以的值為.
重點題型二：經過兩條直線交點的直線方程
典型例題
例題1．原點到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為可化為，
所以直線過直線與直線交點，
聯立可得
所以直線過定點，
當時，原點到直線距離最大，最大距離即為，
此時最大值為，
故選：C.
例題2．直線經過直線的交點，且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程.
【答案】或
解：設直線方程為，
化簡得,
直線與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，
直線的斜率為,
或，解得或.
代入并化簡得直線的方程為或.
所以所求的直線方程為或.
同類題型歸類練
1．已知直線和相交于點P，且P點在直線上．
(1)求點P的坐標和實數a的值；
【答案】(1)P(2,1)，a=2.
因為直線和相交于點P，且P點在直線上，所以聯立，解得：P(2,1).
將P的坐標(2,1)代入直線中,可得2a+1-3a+1=0,解得a=2.
2．求過直線x+y+1＝0與2x+3y﹣4＝0的交點且斜率為﹣2的直線方程．
【答案】2x+y+8＝0．
設過直線x+y+1＝0 與 2x+3y﹣4＝0的交點的直線方程為 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，
即 （1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率為 2，
解得 λ，
∴所求的直線方程為 2x+y+8＝0．
3．求經過直線與的交點，且過點的直線方程.
【答案】
解法一：聯立直線方程，解方程組得，
由兩點式得所求直線的方程為，
即.
解法二：易知直線不符合所求方程，設所求直線方程為，
將點的坐標代入，得，
解得，
故所求直線方程為，整理得.
4．直線l經過原點，且經過直線與直線的交點，求直線l的方程．
【答案】
經過直線與直線的交點的直線可設為：
把代入，得：，解得：，
所以，所求的直線方程為：.
重點題型三：兩點間距離公式的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知三角形的三個頂點，，，則邊上中線的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
設邊的中點為.
因為，，所以，，
即，所以，
故選：B.
例題2．（2022·全國·高三專題練習（文））設，直線過定點，直線過定點，則=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
對于，當時，，即過定點，即.
對于，其方程可以寫成，由，
得直線過定點，即.
所以.
故選:A
同類題型歸類練
1．（2022·甘肅·高臺縣第一中學高一階段練習）在△ABC中，已知，則BC邊的中線AD的長是
A． B．
C． D．
【答案】B
由題意知：中點為

本題正確選項：
2．（2022·上海·曹楊二中高二期末）已知三角形OAB頂點，，，則過B點的中線長為______.
【答案】
由中點坐標公式可得中點，則過B點的中線長為.
故答案為：
重點題型四：點到直線的距離
典型例題
例題1．（2022·四川涼山·三模（理））已知直線，，且，點到直線的距離（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由可得，解得，故
故選：D
例題2．（2022·江蘇·高二）點到直線的距離等于4，則實數___________.
【答案】或4
由題意可得：，解得或．
故答案為：或4．
例題3．（2022·江蘇·高二）直線，為直線上動點，則的最小值為___________.
【答案】
可看成是直線上一點到點的距離的平方，當時，距離最小.故點到直線的距離為，所以的最小值為
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）點到直線和直線的距離相等，則點P的坐標應滿足的是（ ）．
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
解：因為點到直線和直線的距離相等，
所以，
化簡得：或，
故選：A
2．（2022·全國·高二課時練習）若點在直線上，則點P到坐標原點的最小距離為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
由題意得：點在直線上，
則點P到坐標原點的最小距離為原點到直線的距離，
即 ，
故選：C
3．（2022·海南·海口市瓊山華僑中學高二階段練習）直線與直線交于點，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
聯立，解得，故,
所以點到直線的距離為，
故選：B.
4．（2022·江蘇·高二）實數x，y滿足，則的最小值為___________.
【答案】##3.2
由題意知：為原點和直線上點的距離的平方，最小即為到直線的距離的平方，又到直線的距離為，
故的最小值為.
故答案為：.
5．（2022·全國·高二課時練習）若，則的最小值為______．
【答案】
依題意，表示定點與直線上的點間距離，
所以的最小值是點到直線的距離.
故答案為：
重點題型五：兩條平行直線間的距離
典型例題
例題1．（2022·廣東·普寧市華僑中學高二階段練習）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
由直線平行可得，解得，則直線方程為，即，則距離是.
故選：D.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）若直線與直線之間的距離不大于，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
直線化為，
則兩直線之間的距離，即，
解得.
所以實數的取值范圍為.
故選：B.
例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知直線經過點，直線過點，且．
(1)若與之間的距離最大，求最大距離，并求此時兩直線的方程．
(2)若與距離為5，求兩直線的方程；
【答案】(1)最大距離為，，
(2)，或，
(1)解：當直線，均與兩點的連線垂直時，與的距離最大，
兩點連線的直線的斜率為，
直線與的斜率均為5，
此時，最大距離為，
，．
(2)解：①若，的斜率都存在，設其斜率為，
由斜截式得的方程，即．
由點斜式得的方程，即．
在直線上取點，則點到直線的距離，
化簡得，，解得，
，，
②若、的斜率都不存在，
則的方程為，的方程為，它們之間的距離為5，滿足條件，
綜上所述，兩條直線的方程為，或，．
同類題型歸類練
1．（2022·河北邯鄲·高二期末）已知直線，，若，則與間的距離為（ ）
A． B． C．2或12 D．或
【答案】D
解：因為直線，由，可得，解得.當時，，，所以與間的距離；當時，，，所以與間的距離，
∴與間的距離為或.
故選：D.
2．（2022·全國·高三專題練習）已知兩平行直線與的距離為，則實數的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：將直線整理得，
所以平行線間的距離公式得直線與的距離為，
解得
故選：D
3．（2022·浙江·高三專題練習）已知直線：（），：，若，則與間的距離為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
由得，解得，
所以直線：，即，
所以與間的距離為，
故選B．
4．（2022·貴州·遵義市第五中學高二期中（理））直線 與直線 之間的距離為_________.
【答案】##
因為直線 與直線平行,
而直線可化為，
故直線 與直線 之間的距離為 ，
故答案為：
5．（2022·江蘇·高二）若直線與直線平行，且它們之間的距離等于，則直線的方程為___________.
【答案】或
設直線，將直線與直線化為一般式可得，，故它們之間的距離為，
解得或，故直線的方程為或.
故答案為：或.
6．（2022·全國·高二期中）已知直線與平行，且直線與直線之間的距離為，求m、n的值．
【答案】；或.
因為直線與平行，
所以，解得，，
又因為直線與直線之間的距離為，
所以，解得或.
綜上，m的值為；n的值為或.
重點題型六：對稱問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，點關于直線的對稱點為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
解：設點(0,4)關于直線x－y+1＝0的對稱點是(a,b),
則，解得：，
故選：D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
設所求直線上任一點為，則其關于點對稱的點為，
因為點在直線上，
所以，化簡得，
所以所求直線方程為，
故選：B
例題3．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二開學考試）直線關于對稱直線，直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
如圖，直線與直線交于點，直線過原點，
因為直線與直線l關于直線對稱，
所以原點關于直線的對稱點為，且直線l過點A、B，
則直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，
即.
故選：C
同類題型歸類練
1．（2022·河北·固安縣第一中學高二階段練習）與直線關于軸對稱的直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
直線的斜率為，與x軸交于點，
直線關于軸對稱的直線的斜率為，并且過點A，
由直線的點斜式方程得：，即，
所以所求直線的方程為：.
故選：D
2．（2022·吉林·撫松縣第一中學高二階段練習）與直線關于y軸對稱的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：直線，即，它與軸的交點為，
它關于軸對稱的直線的斜率為，故要求直線的方程為，即.
故選：C．
3．（2022·陜西榆林·高一期末）點（2，4）關于直線x﹣2y+1＝0對稱的點的坐標為（ ）
A．（4，0） B．（3，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣1）
【答案】A
設對稱點為(s，t)，則 ①，（對稱點與該點的連線垂直于對稱軸）
對稱點與該點所成線段的中點為（，）在直線x﹣2y+1＝0上，
∴﹣2×+1＝0②，
聯立①②解出對稱點為（4，0）.
故選：A.
4．（2022·全國·高二）點關于直線對稱的點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
設點關于直線對稱的點坐標為，
由題意可得：解得：，
所以點關于直線對稱的點坐標為，
故選：A．
5．（2022·江蘇·高二）已知入射光線經過點，被直線反射，反射光線經過點，求反射光線所在直線的方程．
【答案】
解：設點關于直線的對稱點為，則反射光線所在直線過點，
所以，解得，，即，
又反射光線經過點，所以，
所以所求直線的方程為，即．
故答案為：.
6．（2022·陜西西安·高一階段練習）直線與直線關于點對稱，則直線的方程為______.
【答案】
解：由題意可設直線的方程為，
則，解得或舍去，
故直線的方程為．
故答案為：.
重點題型七：根據對稱性求最值問題
典型例題
例題1．（2022·安徽·淮南第二中學高二開學考試）已知點在直線上，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：設點關于直線的對稱點為，
則，解得，
∴，又，
∴.
故選：C.
例題2．（2022·湖北·監利市教學研究室高二期末）已知定點，動點分別在直線和上運動，則的周長取最小值時點的坐標為__________.
【答案】
如圖所示：
定點關于函數的對稱點，關于 軸的對稱點，
當與直線和的交點分別為時，此時的周長取最小值，且最小值為 ．
此時點的坐標滿足，
解得，
即點.
故答案為：.
例題3．（2022·江蘇·高二）已知、，若是直線上的點，則的最大值為______．
【答案】
解：如圖，可得兩點在直線的異側，點關于直線的對稱點為，
則，所以當三點共線時，取得最大值為.
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）已知點P是x軸上的任意一點，，，則的最小值為_________.
【答案】##
如圖，過B點作傾斜角為的一條直線，過點P作于，則，即，
所以，A到直線的距離，
因此的最小值為.
故答案為：
4．（2022·全國·高二課時練習）已知點 ，點P在x軸上，則的最小值為___________.
【答案】
因為關于x軸的對稱點，則 ,所以的最小值為.
故答案為：
3.（2022·全國·高三專題練習）已知點和點，P是直線上的一點，則的最小值是__________．
【答案】3
如圖，可得兩點在直線的同側，設點關于直線的對稱點，
則，
所以的最小值為，
因為，直線為，所以，
所以，
所以的最小值是3
故答案為：3
4．（2022·浙江·效實中學模擬預測）已知平面向量滿足，，，則的最小值為___________.
【答案】
，，，
解得：，即，即，
不妨令，，設，
則，
，，
則的幾何意義為：直線上的點到和的距離之和，即；
作出點關于直線的對稱點，
，（當且僅當三點共線時取等號），
設，則，解得：，
，即的最小值為.
故答案為：.
1．點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
點到直線的距離為，
故選：D.
2．直線關于點對稱的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
設對稱的直線方程上的一點的坐標為，
則其關于點對稱的點的坐標為，
因為點在直線上，
所以即.
故選：D.
3．已知兩點到直線的距離相等，則（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
因為兩點到直線的距離相等，
所以有，或，
故選：D
4．已知點與點在直線的兩側，給出以下結論：
①；
②當時，有最小值，無最大值；
③；
④當且時，的取值范圍是.
正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
將代入有，
而與在的兩側，則，①錯誤；
由上知：且，則在直線上方與y軸右側部分，
所以，故無最值，②錯誤；
由上圖知：在直線左上方，則，③正確；
由過且且，即在直線上方與y軸右側部分，
而表示與連線的斜率，由圖知：，④正確.
故選：B
5．（多選）已知直線l過點，點，到l的距離相等，則l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
當直線的斜率不存在時，直線l的方程為，此時點到直線的距離為5，點到直線的距離為1，此時不成立；
當直線l的斜率存在時，設直線的方程為，即，
∵點到直線的距離相等，
，解得，或，
當時，直線的方程為，整理得，
當時，直線的方程為，整理得
綜上，直線的方程可能為或
故選：BC．

展開更多......

收起↑