資源簡介

2.4.1圓的標準方程（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求圓的標準方程
重點題型二：點與圓的位置關系
重點題型三：與圓有關的最值問題
重點題型四：與圓有關的對稱問題
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：圓的定義
平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.
如圖，在平面直角坐標系中，的圓心的坐標為, 半徑為, 為圓上任意一點， 可用集合表示為：
知識點二：圓的標準方程
我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標準方程.
知識點三：點與圓的位置關系
判斷點與：位置關系的方法:
（1）幾何法（優先推薦）
設到圓心的距離為，則
①則點在外
②則點在上
③則點在內
（2）代數法
將點帶入：方程內
①點在外
②點在上
③點在內
知識點四：圓上的點到定點的最大、最小距離
設的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內一點；記;
①若點在外，則;
②若點在上，則;
③若點在內，則;
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）方程一定表示圓．( )
（2）圓的圓心坐標是，半徑是4．( )
（3）若圓的標準方程為，則圓的半徑一定是a．( )
2．（2022·全國·高二課時練習）圓的半徑為( )
A．1 B． C．2 D．4
3．（2022·全國·高二課時練習）以為圓心，4為半徑的圓的方程為( )
A． B．
C． D．
4．（2022·全國·高二課時練習）已知圓的方程是，則點滿足( )
A．是圓心 B．在圓上 C．在圓內 D．在圓外
重點題型一：求圓的標準方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）分別根據下列條件，求出圓的方程：
(1)圓心在原點，半徑為6；
(2)圓心為點，半徑為；
(3)過點，圓心為；
(4)過原點，圓心為點．
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線與兩坐標軸分別交于點，，求以線段為直徑的圓的方程．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）求滿足下列條件的圓的標準方程．
(1)圓心在x軸上，半徑為5，且過點；
(2)經過點、，且以線段AB為直徑；
(3)圓心在直線y=-2x上，且與直線y=1-x相切于點；
(4)圓心在直線x-2y-3=0上，且過點，．
2．（2022·江蘇·高二課時練習）（1）已知點，，求以線段AB為直徑的圓的方程；
（2）求圓心在直線上，且過兩點，的圓的方程．
重點題型二：點與圓的位置關系
典型例題
例題1．已知點)在圓的外部，則實數的取值范圍是_____.
例題2．已知點在的內部，則實數的取值范圍為___________.
同類題型歸類練
1．點P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關系為（ ）
A．點在圓外 B．點在圓內 C．點在圓上 D．與m的值有關
2．已知點在圓外，則直線與圓的位置關系是（ ）．
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
3．點在圓上，則實數的值是___________.
4．點是圓上的動點，則的最大值是________.
重點題型三：與圓有關的最值問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知圓過點，，則圓心到原點距離的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知點，分別為圓：，：上的動點，為軸上一點，則的最小值（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高三專題練習）一束光線，從點出發，經軸反射到圓上的最短路徑的長度是（ ）
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·浙江·高三專題練習）已知定直線l的方程為，點Q是直線l上的動點，過點Q作圓的一條切線，是切點，C是圓心，若面積的最小值為，則此時直線l上的動點E與圓C上動點F的距離的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習（理））點為圓上任意一點，直線過定點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川·成都外國語學校高二開學考試（理））已知圓的方程為，直線恒過定點A.若一條光線從點A射出，經直線上一點反射后到達圓上的一點，則的最小值為______.
4．（2022·全國·高三專題練習）已知C為圓：上一動點，點坐標為，點坐標為，則的最小值為_________．
重點題型四：與圓有關的對稱問題
典型例題
例題1．（2022·廣東惠州·高三階段練習）已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（ ）
A． B．9 C．4 D．8
例題2．（2022·江蘇·高二）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
例題3．（2022·全國·模擬預測）已知圓與以原點為圓心的圓關于直線對稱，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）圓：關于直線對稱的圓的方程為（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2022·江蘇·高二）已知從點發出的一束光線，經x軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江蘇·高二）已知圓，圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期末）圓關于直線l：對稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
1．阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他對圓錐曲線有深刻系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來研究與此相關的一個問題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動點M和定點A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
2．公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯（）在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結果：平面內到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓.后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標系中，，，且滿足，則點的運動軌跡方程為____________，點到直線的最小距離為__________.
1．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·福建福州·模擬預測）已知，則外接圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（多選）（2022·重慶·三模）設圓的方程是，其中，，下列說法中正確的是（ ）
A．該圓的圓心為 B．該圓過原點
C．該圓與x軸相交于兩個不同點 D．該圓的半徑為
4．（2022·全國·高考真題（文））設點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．
5．（2022·內蒙古·包鋼一中一模（文））已知實數滿足，，，則的最大值為___________.
2.4.1圓的標準方程（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：求圓的標準方程
重點題型二：點與圓的位置關系
重點題型三：與圓有關的最值問題
重點題型四：與圓有關的對稱問題
第五部分：新定義問題
第六部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：圓的定義
平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.
如圖，在平面直角坐標系中，的圓心的坐標為, 半徑為, 為圓上任意一點， 可用集合表示為：
知識點二：圓的標準方程
我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標準方程.
知識點三：點與圓的位置關系
判斷點與：位置關系的方法:
（1）幾何法（優先推薦）
設到圓心的距離為，則
①則點在外
②則點在上
③則點在內
（2）代數法
將點帶入：方程內
①點在外
②點在上
③點在內
知識點四：圓上的點到定點的最大、最小距離
設的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內一點；記;
①若點在外，則;
②若點在上，則;
③若點在內，則;
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）方程一定表示圓．( )
（2）圓的圓心坐標是，半徑是4．( )
（3）若圓的標準方程為，則圓的半徑一定是a．( )
【答案】 × × ×
（1）當時，表示的是點，錯誤；
（2）該圓的圓心坐標是，半徑是2，錯誤；
（3）半徑為，錯誤.
2．（2022·全國·高二課時練習）圓的半徑為( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
由題可知：該圓的半徑為
故選：B
3．（2022·全國·高二課時練習）以為圓心，4為半徑的圓的方程為( )
A． B．
C． D．
【答案】C
由題可知：該圓的方程為(x 2)2+(y+1)2=16
故選：C
4．（2022·全國·高二課時練習）已知圓的方程是，則點滿足( )
A．是圓心 B．在圓上 C．在圓內 D．在圓外
【答案】C
由題可知：，所以點在圓內
故選：C
重點題型一：求圓的標準方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時練習）分別根據下列條件，求出圓的方程：
(1)圓心在原點，半徑為6；
(2)圓心為點，半徑為；
(3)過點，圓心為；
(4)過原點，圓心為點．
【答案】(1)(2)
(3)(4)
(1)
(2)
(3)由題意得：圓的半徑，故圓的方程為：
(4)由題意得：半徑，所以圓的方程為：
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線與兩坐標軸分別交于點，，求以線段為直徑的圓的方程．
【答案】.
由得，由得，
，，
以為直徑的圓的圓心是，半徑，
以為直徑的圓的方程是．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）求滿足下列條件的圓的標準方程．
(1)圓心在x軸上，半徑為5，且過點；
(2)經過點、，且以線段AB為直徑；
(3)圓心在直線y=-2x上，且與直線y=1-x相切于點；
(4)圓心在直線x-2y-3=0上，且過點，．
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)
(1)設圓的標準方程為．
因為點在圓上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圓的標準方程為或．
(2)設圓的標準方程為，由題意得，；
又因為點在圓上，所以．
所以所求圓的標準方程為．
(3)設圓心為．
因為圓與直線y=1-x相切于點，所以，
解得a=1．所以所求圓的圓心為，半徑．
所以所求圓的方程為．
(4)設點C為圓心，因為點C在直線上，故可設點C的坐標為．
又該圓經過A、B兩點，所以．
所以，解得a=-2，
所以圓心坐標為，半徑．
故所求圓的標準方程為．
2．（2022·江蘇·高二課時練習）（1）已知點，，求以線段AB為直徑的圓的方程；
（2）求圓心在直線上，且過兩點，的圓的方程．
【答案】（1）；（2）.
（1）由題設，中點坐標為，且，
所以以線段AB為直徑的圓的方程為.
（2）由題設，令圓心為，圓的方程為，
又，在圓上，所以，解得，
故圓的方程為.
重點題型二：點與圓的位置關系
典型例題
例題1．已知點)在圓的外部，則實數的取值范圍是_____.
【答案】
由題意，得(1+2)2+(-1)2>m，即m<10.又m>0，故m的取值范圍是(0，10).
故答案為: .
例題2．已知點在的內部，則實數的取值范圍為___________.
【答案】
解：由題意圓心到點的距離小于半徑
即
解得
故答案為：
同類題型歸類練
1．點P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關系為（ ）
A．點在圓外 B．點在圓內 C．點在圓上 D．與m的值有關
【答案】A
將點P(m，3)坐標代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，
有： 恒成立，故點P在圓外，
故選：A.
2．已知點在圓外，則直線與圓的位置關系是（ ）．
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
【答案】B
點在圓外，，
圓心到直線距離，
直線與圓相交.
故選B.
3．點在圓上，則實數的值是___________.
【答案】或
因為點在圓上，
所以，故或，
故答案為：或，
4．點是圓上的動點，則的最大值是________.
【答案】
由，則，當且僅當時等號成立，
∴的最大值是.
故答案為：.
重點題型三：與圓有關的最值問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知圓過點，，則圓心到原點距離的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
由圓過點，，可知圓心在線段的垂直平分線上
又，則
又的中點為，則直線的方程為
圓心到原點距離的最小值即為原點到直線的距離為
故選：B
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知點，分別為圓：，：上的動點，為軸上一點，則的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根據題意，易知，
因為關于x軸的對稱點為，
所以，
因此的最小值為，當且僅當為直線與x的交點時取等號．
故選：B．
例題3．（2022·全國·高三專題練習）一束光線，從點出發，經軸反射到圓上的最短路徑的長度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由圓的方程可得：圓心坐標，半徑，
設點關于軸對稱點為，則，
連接交軸于點，交圓于點，則為所求的最短距離，
證明如下：任取軸上一點，則（當且僅當三點共線時取等號），
，
即最短路徑的長度為.
故選：A.
同類題型歸類練
1．（2022·浙江·高三專題練習）已知定直線l的方程為，點Q是直線l上的動點，過點Q作圓的一條切線，是切點，C是圓心，若面積的最小值為，則此時直線l上的動點E與圓C上動點F的距離的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
解：由題意可得直線l的方程為，
圓C的圓心，半徑為1，
如圖：
，
又，當取最小值時，取最小值，
此時，可得，，
則，解得，
則直線l的方程為，
則直線l上的動點E與圓C上動點F的距離的最小值為．
故選：B．
2．（2022·全國·高三專題練習（理））點為圓上任意一點，直線過定點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
整理直線方程得：，
由得：，，
由圓的方程知圓心，半徑，
.
故選：D.
3．（2022·四川·成都外國語學校高二開學考試（理））已知圓的方程為，直線恒過定點A.若一條光線從點A射出，經直線上一點反射后到達圓上的一點，則的最小值為______.
【答案】6
取，得，得，
設點A關于直線的對稱點為，則
，解得，即
由圖知，當、M、N、C四點共線時取“=”號.
故答案為：6
4．（2022·全國·高三專題練習）已知C為圓：上一動點，點坐標為，點坐標為，則的最小值為_________．
【答案】
設圓：的圓心為，則，半徑，取，
，，，，
（當且僅當三點共線且在線段上時取等號），
，，
即的最小值為.
故答案為：.
重點題型四：與圓有關的對稱問題
典型例題
例題1．（2022·廣東惠州·高三階段練習）已知圓關于直線（，）對稱，則的最小值為（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
圓的圓心為，依題意，點在直線上，
因此，即，
∴，
當且僅當，即時取“=”，
所以的最小值為9.
故選：B.
例題2．（2022·江蘇·高二）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．
故選：A．
例題3．（2022·全國·模擬預測）已知圓與以原點為圓心的圓關于直線對稱，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
由題意，圓，可得圓心坐標為，
以原點為圓心的圓的圓心坐標為，
可得直線的斜率為，且的中點坐標為，
因為圓與以原點為圓心的圓關于直線對稱，
所以，即，
將點代入直線，可得.
故選：A.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）圓：關于直線對稱的圓的方程為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
解：表示以為圓心，以1為半徑的圓．
設關于直線對稱的點為，則有，解得：，，
所以：關于直線對稱的圓的方程為．
故選：A．
2．（2022·江蘇·高二）已知從點發出的一束光線，經x軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
設點的坐標為，圓的圓心坐標為，
設是x軸上一點，因為反射光線恰好平分圓的圓周，
所以反射光線經過點，
由反射的性質可知：，
于是，所以反射光線所在的直線方程為：
，
故選：A
3．（2022·江蘇·高二）已知圓，圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
圓的圓心，半徑為1，
設，則由題意得
，解得即，
所以圓的方程為，
故選：A
4．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期末）圓關于直線l：對稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：圓的圓心為，半徑，設圓心關于直線對稱的點的坐標為，
則，解得，即圓關于直線對稱的圓的圓心為，半徑，
所以對稱圓的方程為；
故選：A
1．阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他對圓錐曲線有深刻系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來研究與此相關的一個問題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動點M和定點A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
①當點M在x軸上時，點M的坐標為(－1，0)或(1，0)．
若點M的坐標為(－1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若點M的坐標為(1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②當點M不在x軸上時，取點K(－2，0)，如圖，
連接OM，MK，因為|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以．
因為∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，則，
所以|MK|＝2|MA|，則2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值為|BK|．
因為B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值為．
故選：C
2．公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯（）在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結果：平面內到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓.后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標系中，，，且滿足，則點的運動軌跡方程為____________，點到直線的最小距離為__________.
【答案】
（1），
化簡為；
（2）點到直線的距離的最小值是圓心到直線的距離減半徑，
即.
故答案為：；.
1．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．
故選：A．
2．（2022·福建福州·模擬預測）已知，則外接圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
設外接圓的方程為
則有，解之得
則外接圓的方程為
故選：D
3．（多選）（2022·重慶·三模）設圓的方程是，其中，，下列說法中正確的是（ ）
A．該圓的圓心為 B．該圓過原點
C．該圓與x軸相交于兩個不同點 D．該圓的半徑為
【答案】BC
由圓的標準方程可知：該圓的圓心坐標為，半徑為，所以選項A、D不正確；
因為，所以該圓過原點，因此選項B正確；
在圓的方程中，令，有
，或，因為，
所以該圓與x軸相交于兩個不同點，因此選項C正確，
故選：BC
4．（2022·全國·高考真題（文））設點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．
【答案】
解：∵點M在直線上，
∴設點M為，又因為點和均在上，
∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
5．（2022·內蒙古·包鋼一中一模（文））已知實數滿足，，，則的最大值為___________.
【答案】
解：設，為坐標原點，則，
由，
可得兩點在圓上，且，則，
所以三角形為等邊三角形，，
的幾何意義為兩點到直線的距離與之和，
記線段的中點分別是，到直線的距離為，
則有，且，
所以，
所以的最大值為，
故答案為：.

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