資源簡介

2.4.2圓的一般方程（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：圓的一般方程的理解
重點題型二：求圓的一般方程
重點題型三：圓的一般方程與標準方程轉化
重點題型四：點與圓的位置關系
重點題型五：求動點的軌跡方程
重點題型六：關于點或直線對稱的圓
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：圓的一般方程
對于方程（為常數），當時，方程叫做圓的一般方程.
①當時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
②當時，方程表示一個點
③當時，方程不表示任何圖形
說明：圓的一般式方程特點：①和前系數相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.
知識點二：圓的一般方程與圓的標準方程的特點
圓的標準方程 圓的一般方程
方程 （）
圓心
半徑
知識點三：在圓的一般方程中，判斷點與圓的位置關系
已知點和圓的一般式方程：（），
則點與圓的位置關系：
①點在外
②點在上
③點在內
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）圓的一般方程可以化為圓的標準方程．( )
（2）二元二次方程一定是某個圓的方程．( )
（3）方程表示圓．( )
2．（2022·全國·高二課時練習）若圓的直徑為3，則m的值為_________．
3．（2022·全國·高二課時練習）圓的圓心坐標是( )
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高二課時練習）已知方程表示圓，則k的取值范圍是( )
A． B． C． D．
重點題型一：圓的一般方程的理解
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）設甲：實數；乙：方程是圓，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例題2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學校高二期中）已知圓方程的圓心為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·江蘇省蘇州實驗中學高二階段練習）已知實數滿足，則的最大值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·北京平谷·高二期末）已知實數，滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知圓關于直線對稱，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．（2022·貴州·畢節市第一中學高二階段練習（文））若方程表示圓，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
重點題型二：求圓的一般方程
典型例題
例題1．（2022·安徽·南陵中學高二階段練習）已知圓經過點，，.
(1)求圓的方程；
例題2．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學高一階段練習）已知三個頂點坐標分別為：，直線經過點．
(1)求外接圓的方程；
(2)若直線與相切，求直線的方程；
同類題型歸類練
1．（2022·天津天津·高二期末）已知圓C經過，，三點，并且與y軸交于P，Q兩點，求線段PQ的長度.
2．（2022·江蘇·高二課時練習）已知的頂點為，，，求的外接圓的方程．
3．（2022·江蘇·高二課時練習）求過三點，，的圓的方程．
4．（2022·江蘇·高二課時練習）已知圓過三點，，，求圓的方程．
重點題型三：圓的一般方程與標準方程轉化
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）圓的圓心和半徑分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
例題2．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一期末）若方程表示圓，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·吉林·撫松縣第一中學高二階段練習）圓的圓心坐標及半徑分別為（ ）
A．與5 B．與5
C．與 D．與
同類題型歸類練
1．（2022·安徽省亳州市第一中學高二期末）已知實數滿足方程，則的最大值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（2022·全國·高二課時練習）已知圓，它的半徑是___________.
3．（2022·廣西·鹿寨縣鹿寨中學高二階段練習（文））圓的圓心到直線的距離為2，則______________.
4．（2022·全國·高二課時練習）已知方程表示圓，則實數的取值范圍是________.
重點題型四：點與圓的位置關系
典型例題
例題1．（2022·四川省內江市第六中學高二開學考試（理））點在圓的內部，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）若圓：過坐標原點，則實數的值為（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．或
例題3．（2022·遼寧丹東·一模）“”是“點在圓外”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）已知點A（1，2）在圓C：外，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知點在圓的外部（不含邊界），則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西宜春·高三期末（理））已知點是圓C:外一點，則m的取值范圍為___________.
重點題型五：求動點的軌跡方程
典型例題
例題．（2022·全國·高二課時練習）阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點，，動點P滿足，則點的軌跡方程是___________．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知圓上一定點，為圓上的動點，則線段中點的軌跡方程為______________．
例題3．（2022·全國·高三專題練習）直線與圓相交于，兩點，為圓心，當變化時，求弦的中點的軌跡方程．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習（理））若點C到的距離之比為，則點C到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽滁州·二模（文））已知A，B為圓上的兩個動點，P為弦的中點，若，則點P的軌跡方程為（）
A． B．
C． D．
3．（2022·廣東茂名·高三階段練習）已知圓C：，點是圓上的動點，與圓相切，且，則點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·吉林省實驗中學高二期末）動點M在圓上移動，則M與定點連線的中點P的軌跡方程為___________.
5．（2022·浙江·高三專題練習）已知點，P為圓上的動點，則線段AP中點的軌跡方程為___________.
6．（2022·上海·高三專題練習）自圓上點引此圓的弦，則弦的中點的軌跡方程為______．
7．（2022·江蘇·高二）已知圓過三個點.
(1)求圓的方程；
(2)過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，求線段的中點的軌跡.
重點題型六：關于點或直線對稱的圓
典型例題
例題1．（2022·內蒙古呼和浩特·一模（理））已知圓關于直線為大于0的常數對稱，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
例題2．（2022·江蘇·高二）求圓關于點對稱的圓的方程為___________.
例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知是圓上一動點，關于軸的對稱點為，關于直線的對稱點為，則的取值范圍是___________.
同類題型歸類練
1．（2022·河北·高三期中）若圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
2．（2022·全國·高三專題練習）若直線始終平分圓，則（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
3．（2022·江蘇·高三專題練習）若直線ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則＋的最小值為（ ）
A．1 B．5
C．4 D．3＋2
4．（2022·廣東清遠·高二期末）圓：關于直線：對稱的圓的標準方程為_____________.
1．（2022·北京·一模）已知直線是圓的一條對稱軸，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·內蒙古赤峰·模擬預測（文））若點在圓：的外部，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陜西西安·二模（理））已知，方程表示圓，則圓心坐標是______．
4．（2022·江蘇·常州高級中學模擬預測）過點作圓的切線有兩條，則的取值范圍是________
5．（2022·天津·模擬預測）圓的圓心到直線的距離為，則__________．
2.4.2圓的一般方程（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：圓的一般方程的理解
重點題型二：求圓的一般方程
重點題型三：圓的一般方程與標準方程轉化
重點題型四：點與圓的位置關系
重點題型五：求動點的軌跡方程
重點題型六：關于點或直線對稱的圓
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：圓的一般方程
對于方程（為常數），當時，方程叫做圓的一般方程.
①當時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
②當時，方程表示一個點
③當時，方程不表示任何圖形
說明：圓的一般式方程特點：①和前系數相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.
知識點二：圓的一般方程與圓的標準方程的特點
圓的標準方程 圓的一般方程
方程 （）
圓心
半徑
知識點三：在圓的一般方程中，判斷點與圓的位置關系
已知點和圓的一般式方程：（），
則點與圓的位置關系：
①點在外
②點在上
③點在內
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）圓的一般方程可以化為圓的標準方程．( )
（2）二元二次方程一定是某個圓的方程．( )
（3）方程表示圓．( )
【答案】 √ × √
（1）圓的一般方程可以通過配方法轉化為標準形式，正確；
（2）滿足，表示的才是圓，錯誤；
（3）方程，即，由于，所以表示的是圓，正確.
2．（2022·全國·高二課時練習）若圓的直徑為3，則m的值為_________．
【答案】
該圓的標準方程為
所以由題可知：
故答案為：
3．（2022·全國·高二課時練習）圓的圓心坐標是( )
A． B． C． D．
【答案】D
該圓標準形式為，所以圓心為
故選：D
4．（2022·全國·高二課時練習）已知方程表示圓，則k的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】A
由題可知：
故選：A
重點題型一：圓的一般方程的理解
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）設甲：實數；乙：方程是圓，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
若方程表示圓，則，解得：；
∵，，，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B.
例題2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學校高二期中）已知圓方程的圓心為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因為，即，
所以圓心坐標為；
故選：C
例題3．（2022·江蘇省蘇州實驗中學高二階段練習）已知實數滿足，則的最大值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
可化為：，
所以，解得：，
即的最大值是4.
故選：D
同類題型歸類練
1．（2022·北京平谷·高二期末）已知實數，滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由可化為，所以，解得，因此的最小值是．
故選：A．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知圓關于直線對稱，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
解：由題得圓心的坐標為，
因為已知圓關于直線對稱，
所以.
故選：C
3．（2022·貴州·畢節市第一中學高二階段練習（文））若方程表示圓，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
依題意，
即，
解得或，
所以的取值范圍是.
故選：C
重點題型二：求圓的一般方程
典型例題
例題1．（2022·安徽·南陵中學高二階段練習）已知圓經過點，，.
(1)求圓的方程；
【答案】(1)；(2)
(1)設圓的一般方程為，把三個點代入得
，得
所以圓的方程為
即.
例題2．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學高一階段練習）已知三個頂點坐標分別為：，直線經過點．
(1)求外接圓的方程；
(2)若直線與相切，求直線的方程；
【答案】(1)；
(2)或.
(1)設⊙M的方程為，
則由題意可得：，解得，
故所求圓方程為，即.
(2)當直線斜率不存在時，的方程為，顯然不滿足題意；
當直線斜率存在時，設直線的方程為，
由直線與圓相切，可得圓心到直線的距離等于2，
即，解得或，
故所求直線方程為或.
同類題型歸類練
1．（2022·天津天津·高二期末）已知圓C經過，，三點，并且與y軸交于P，Q兩點，求線段PQ的長度.
【答案】
解：設圓的方程為，則，
，，，
，即,
令，可得，解得、，所以、，或、，
，
2．（2022·江蘇·高二課時練習）已知的頂點為，，，求的外接圓的方程．
【答案】
設△ABC的外接圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A、B、C三點在圓上，將三點的坐標代入圓的方程，
得，解得，
∴△ABC的外接圓的一般方程為x2＋y2－4x-2y－20＝0.
3．（2022·江蘇·高二課時練習）求過三點，，的圓的方程．
【答案】
設圓的方程為經過，
所以，解得：，
所以圓的方程為.
4．（2022·江蘇·高二課時練習）已知圓過三點，，，求圓的方程．
【答案】
設圓的一般方程為
則 ，
解得,
∴所求圓的方程為．
重點題型三：圓的一般方程與標準方程轉化
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二）圓的圓心和半徑分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
先化為標準方程可得，故圓心為，半徑為.
故選：D.
例題2．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一期末）若方程表示圓，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
方程化為標準式得
，則.
故選：D.
例題3．（2022·吉林·撫松縣第一中學高二階段練習）圓的圓心坐標及半徑分別為（ ）
A．與5 B．與5
C．與 D．與
【答案】D
已知圓，可化為，故圓心坐標為，半徑為.
故選：D.
同類題型歸類練
1．（2022·安徽省亳州市第一中學高二期末）已知實數滿足方程，則的最大值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
將方程變形為，則圓心坐標為，半徑，
則圓上的點的橫坐標的范圍為：
則x的最大值是
故選：D.
2．（2022·全國·高二課時練習）已知圓，它的半徑是___________.
【答案】
由，則半徑為
故答案為：
3．（2022·廣西·鹿寨縣鹿寨中學高二階段練習（文））圓的圓心到直線的距離為2，則______________.
【答案】##0.75
將
化為，
所以該圓的圓心為，
因為圓心到直線的距離為2，
所以，解得.
故答案為：.
4．（2022·全國·高二課時練習）已知方程表示圓，則實數的取值范圍是________.
【答案】
方程可化為：
，
因為方程表示圓，
所以 ，
解得 ，
故答案為：
重點題型四：點與圓的位置關系
典型例題
例題1．（2022·四川省內江市第六中學高二開學考試（理））點在圓的內部，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為 ，所以 ，由于點 在圓 內
所以，所以，所以
故選：B
例題2．（2022·全國·高三專題練習）若圓：過坐標原點，則實數的值為（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．或
【答案】A
因圓過原點，于是得，解得：或，
當時，原方程為，它是一個點，不是圓，當時，原方程為，它是以為圓心，為半徑的圓，
所以實數的值為1.
故選：A
例題3．（2022·遼寧丹東·一模）“”是“點在圓外”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
將化為標準方程，得
當點在圓外時，有，解得
∴“”是“點”在圓外”的必要不充分條件.
故選：B.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）已知點A（1，2）在圓C：外，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由題意，表示圓
故，即或
點A（1，2）在圓C：外
故，即
故實數m的取值范圍為或
即
故選：A
2．（2022·全國·高三專題練習）已知點在圓的外部（不含邊界），則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
圓，即，圓心，半徑，
因為點在圓的外部，
所以點到圓心的距離大于半徑，
即，解得，
故選：B.
3．（2022·江西宜春·高三期末（理））已知點是圓C:外一點，則m的取值范圍為___________.
【答案】
由題設，圓的標準方程為，又在圓外，
所以，解得.
故答案為：.
重點題型五：求動點的軌跡方程
典型例題
例題．（2022·全國·高二課時練習）阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點，，動點P滿足，則點的軌跡方程是___________．
【答案】
設，即，整理得：即．
故答案為：．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知圓上一定點，為圓上的動點，則線段中點的軌跡方程為______________．
【答案】
設線段中點的坐標為，且點，
又由，可得，解得，
又由，可得，即.
故答案為：.
例題3．（2022·全國·高三專題練習）直線與圓相交于，兩點，為圓心，當變化時，求弦的中點的軌跡方程．
【答案】
設，易知直線恒過定點，再由，得，∴，整理得．
∵點M應在圓內且不在x軸上，∴所求的軌跡為圓內的部分且不在x軸上．
解方程組得兩曲線交點的橫坐標為，故所求軌跡方程為．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習（理））若點C到的距離之比為，則點C到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
設，則，即，化簡得，
所以點的軌跡為以為圓心，的圓，
則圓心到直線的距離，
所以點C到直線的距離的最小值為；
故選：A.
2．（2022·安徽滁州·二模（文））已知A，B為圓上的兩個動點，P為弦的中點，若，則點P的軌跡方程為（）
A． B．
C． D．
【答案】B
圓即,半徑
因為,所以
又是的中點,所以
所以點的軌跡方程為
故選：B
3．（2022·廣東茂名·高三階段練習）已知圓C：，點是圓上的動點，與圓相切，且，則點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：因為圓C：，所以圓心，半徑，因為點是圓上的動點，所以，又與圓相切，且，則，設，則，即，所以點的軌跡方程為；
故選：B
4．（2022·吉林省實驗中學高二期末）動點M在圓上移動，則M與定點連線的中點P的軌跡方程為___________.
【答案】##
設，中點，則，即，
因為在圓上，代入得．
故答案為：.
5．（2022·浙江·高三專題練習）已知點，P為圓上的動點，則線段AP中點的軌跡方程為___________.
【答案】.
設AP的中點為，，所以，而，所以，即AP中點的軌跡方程為：.
故答案為：.
6．（2022·上海·高三專題練習）自圓上點引此圓的弦，則弦的中點的軌跡方程為______．
【答案】.
解：設中點為,
由中點坐標公式可知,B點坐標為．
點在圓上,．
故線段中點的軌跡方程為．不包括A點,
則弦的中點的軌跡方程為
故答案為：．
7．（2022·江蘇·高二）已知圓過三個點.
(1)求圓的方程；
(2)過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，求線段的中點的軌跡.
【答案】(1)
(2)
(1)解：設圓的方程為，
因為圓過三個點，
可得，解得，
所以圓的方程為，即.
(2)解：因為為線段的中點，且，所以在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的方程為，
聯立方程組，解得或，
所以點的軌跡方程為.
重點題型六：關于點或直線對稱的圓
典型例題
例題1．（2022·內蒙古呼和浩特·一模（理））已知圓關于直線為大于0的常數對稱，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
解：因為圓的圓心為，且圓關于直線為大于0的常數對稱，
所以直線過圓心，
所以，又，
所以即當取最大值為，
故選：A.
例題2．（2022·江蘇·高二）求圓關于點對稱的圓的方程為___________.
【答案】
圓化為標準方程為：.所以，半徑.
故圓關于點對稱的圓的半徑5，圓心設為D.
由中點坐標公式求得: ,
所以對稱圓的方程為：.
故答案為：
例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知是圓上一動點，關于軸的對稱點為，關于直線的對稱點為，則的取值范圍是___________.
【答案】
解：由題知：圓，圓心為，半徑，
設，則，所以，
而，所以，
所以的取值范圍是，
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·河北·高三期中）若圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
由題可知圓的圓心為，若圓上存在兩點關于對稱，則說明直線過圓心，即，即，變形可得
故
當且僅當，即時取得等號，故最小值為4.
故選：B
2．（2022·全國·高三專題練習）若直線始終平分圓，則（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【答案】A
解：由得圓心，因為直線平分圓，所以直線必過圓心，則，則．
故選：A.
3．（2022·江蘇·高三專題練習）若直線ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則＋的最小值為（ ）
A．1 B．5
C．4 D．3＋2
【答案】D
由題意知圓心C(2,1)在直線ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
當且僅當＝，即b＝2－，a＝－1時，等號成立．
∴＋的最小值為3＋2.
故選：D
4．（2022·廣東清遠·高二期末）圓：關于直線：對稱的圓的標準方程為_____________.
【答案】.
解：由圓：得其標準方程為，圓心的坐標為，半徑.
設圓心關于直線的對稱點為，則，解得 ，
所以所求圓的方程為.
故答案為：.
1．（2022·北京·一模）已知直線是圓的一條對稱軸，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
由于直線l是圓的對稱軸，所以圓的圓心必定在直線l上，
將圓的一般方程轉變為標準方程： ，
圓心為 ，將圓心坐標代入直線l的方程得 ，
， ，
函數是開口向下，以 為對稱軸的拋物線，
所以 ，
故選：A.
2．（2022·內蒙古赤峰·模擬預測（文））若點在圓：的外部，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為點在圓：的外部，
所以，
解得，
又方程表示圓，
所以，
解得，
故實數a的取值范圍為．
故選：C
3．（2022·陜西西安·二模（理））已知，方程表示圓，則圓心坐標是______．
【答案】
方程表示圓，
所以，解得或，
當時，方程，配方可得，所得圓的圓心坐標為；
當時，方程，即，此時，方程不表示圓．
綜上所述，圓心坐標是．
故答案為：．
4．（2022·江蘇·常州高級中學模擬預測）過點作圓的切線有兩條，則的取值范圍是________
【答案】
表示一個圓，
，
又由過點作圓的切線有兩條，得：P在圓外，
所以，解得：或.
綜上所述：.
所以的取值范圍是.
故答案為: .
5．（2022·天津·模擬預測）圓的圓心到直線的距離為，則__________．
【答案】
詳解：的標準方程為，
則圓心為，圓心到直線的距離為
，解得，故答案為0.

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