資源簡介

曲線運動
一、知識體系
一、曲線運動
1、曲線運動中的速度方向：沿曲線的切線方向
2、物體做曲線運動的條件：合外力方向跟它的速度方向不在一直線上
說明：合外力與速度的夾角為銳角，速率增大，合外力與速度的夾角為鈍角，速率減小。
3、曲線運動性質：變速運動
說明：1.合外力是恒力時，物體做勻變速的曲線運動，比如拋體運動；
2.合外力是變力時，物體做變加速的曲線運動。（變力指大小、方向任意變即可）。
二、運動的合成和分解
1、合運動與分運動的關系
①運動的獨立性 一個物體同時參與幾個運動，其中的任一運動都不會因其他運動的存在而有所改變，而合運動（即物體的實際運動）則是這些相對獨立運動的疊加，這就是運動的獨立性原理?；蚍Q為運動的疊加原理。
②運動的等時性 一個物體同時參與幾個分運動，合運動與各分運動同時發生、同時進行、同時結束，即經歷的時間相同，這就是運動的等時性原理。
③運動的等效性 合運動是由各分運動共同產生的總運動效果，合運動與各分運動總的運動效果可以互相替代。因此，在對一個運動進行分解時，首先要看這個運動產生了哪幾個運動效果。
2、運動的合成與分解的運算法則
運動和合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解。由于它們都是矢量，因此合成與分解都遵守平行四邊行定則。
在對一個具體的運動進行合成或分解時，應注意：
①兩個分運動必須是同一質點在同一時間內相對于同一參考系的運動；
②兩個分運動在同一直線上時，同向相加，反向相減。
③兩個分運動不在同一直線上時，按照平行四邊形定則合成。
三、特殊的曲線運動
（一）平拋運動
水平方向的勻速直線運動，豎直方向的自由落體運動，是一種勻變速曲線運動。
速度公式： 位移公式：
說明：四個有用推論
(1)　運動時間　　 只由豎直高度決定，即
（2）落地速度
平拋運動在任何時刻的瞬時速度均與水平初速度構成直角矢量三角形。
（3）角度關系
①平拋運動中以拋出點O為坐標原點的坐標系中任一點P（x，y）的速度方向與水平方向的夾角為，則，或速度夾角的正切等于位移夾角正切的2倍。②其速度的反向延長線交于x軸的處。
（4）平拋運動在豎直方向上做自由落體運動，故在連續相等的時間T內有：，△。
（二）勻速圓周運動：
1、勻速圓周運動的定義：
2、勻速圓周運動的描述：
線速度（v）：（m/s），方向：哪一點的速度方向，即哪一點沿圓弧的切線
角速度（ω）：（rad/s）
說明：同軸轉動角速度相等，齒輪（皮帶）傳動線速度相等。
周期（T）：運動一周所用時間
轉速
頻率（f）：1秒內轉過的圈數
3、向心力和向心加速度：
（1）向心力：勻速圓周運動：合外力指向圓心，其值為：，叫做向心力。變速圓周運動：半徑方向的合外力提供向心力
（2）向心加速度：，方向指向圓心，描述質點運動方向改變的快慢。
4.離心運動和近心運動
（三）豎直平面內圓周運動：
繩、槽、桿、管、環、拱　筒
繩、槽、筒：恰好達到最高點速度為，繩子和槽的力為零
桿、管、環：恰好達到最高點速度為0；當速度時，支持力向下；當速度時，支持力向上。
拱：最高點的最大速度為，大于等于此速度時，會脫離拱，做平拋運動。
二、題型體系
第一類典型題：常見運動的合成與分解
A、小船渡河問題：水流速度、船相對水的速度（船在靜水中的速度）、船的合速（船對地岸的速度，方向為船的航向）、渡河時間、航程、最短渡河時間、最短航程。
解題戰術：如右圖所示，若用v1表示水速，v2表示船速，則：
①過河時間僅由v2的垂直于岸的分量v⊥決定，即，與v1無關，所以當v2⊥岸時，過河所用時間最短，最短時間為。
②過河路程由實際運動軌跡的方向決定：當v1＜v2時，最短路程為d；當v1＞v2時，最短路程為（如右圖所示）。
戰術演示： 降落傘在勻速下降過程中遇到水平方向吹來的風，若風速越大，則降落傘
（A）下落的時間越短 （B）下落的時間越長
（C）落地時速度越小 （D）落地時速度越大
熱身實戰：
1、在抗洪搶險中，戰士駕駛摩托艇救人，假設江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰士救人的地點A離岸邊最近處O的距離為d，如戰士想在最短時間內將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離O點的距離為：（ ）
A. B. 0 C. D.
2、船以5m/s垂直河岸的速度渡河，水流的速度為3m/s，若河的寬度為100m，試分析和計算：
（1）船能否垂直達到對岸；
（2）船需要多少時間才能達到對岸；
（3）船登陸的地點離船出發點的距離是多少？
（4）設此船仍是這個速率，但是若此船要垂直達到對岸的話，船頭需要向上游偏過一個角度，求sin和時間t.
3、船在400米寬的河中橫渡，河水流速是4m/s，船在靜水中的航速是2m/s，試求：
（1）要使船到達對岸的時間最短，船頭應指向何處？最短時間是多少？
（2）要使船航程最短，船頭應指向何處？最短航程為多少
B、“關聯速度”問題：
繩、桿等有長度的物體，在運動過程中，其兩端點的速度通常是不一樣的，但兩端點的速度是有聯系的。稱之為“關聯速度”，關聯速度的關系——沿繩（或桿）方向的速度分量大小相等。
4.如右圖所示，在一光滑水平面上放一個物體，人通過細繩跨過高處的定滑輪拉物體，使物體在水平面上運動，人以大小不變的速度v運動.當繩子與水平方向成θ角時，物體前進的瞬時速度是多大？
5.如右圖所示，A、B兩車通過細繩跨接在定滑輪兩側，并分別置于光滑水平面上，若A車以速度v0向右勻速運動，當繩與水平面的夾角分別為α和β時，B車的速度是多少？
6．在地面上勻速直線運動的汽車，通過定滑輪用繩子吊起一個物體，若汽車和被吊起物體在同一時刻的速度分別為v1和v2，v1=v,求
(1).兩繩夾角為θ時，物體上升的速度？
(2).若汽車做勻速直線運動過程中，物體是加速上升還是減速上升？
(3).繩子對物體拉力F與物體所受重力mg的大小關系如何？
第一類典型題答案：
1．C
2解:(1)不能 (2) t=20s (3) s=112m (4) 0.6 25s
3、解：（1）船頭垂直指向河岸 t=200s （2）船頭指向上游300，最小位移為800m。
4.錯解分析：弄不清合運動與分運動概念，將繩子收縮的速度分解，從而得出錯解v物=v1=vcosθ.
正解：
解法1:應用合運動與分運動的關系
繩子牽引物體的運動中，物體實際在水平面上運動，這個運動就是合運動，所以物體在水平面上運動的速度v物是合速度，將v物進行分解.其中:v=v物cosθ，使繩子收縮.v⊥=v物sinθ,使繩子繞定滑輪上的A點轉動.
所以v物=
5.VBCosα= v0Cosβ。
6. (1).V2=vsinθ (2).加速上升， (3).F＞mg
第二類典型題：斜面上的平拋。
解題戰術：當給角度關系或垂直條件時用速度公式。一般可以先求時間，然后求位移和末速度，運動途中距離斜面最高點或者沿斜面的末速度，還有末速度和斜面的夾角。
戰術演示：如圖所示的斜面，傾角為，斜面頂端一個小球以水平速度向左拋出，最終落到斜面上。求（1）飛行時間？（2）落點和出發點的距離？（3）飛行過程中小球和斜面的最遠距離？（4）證明末速度和斜面的夾角是定值。（5）求末速度沿斜面的分量？
(
A
B
)熱身實戰：
1、如圖所示，由A點以水平速度V0拋出小球，落在傾角為的斜面上的B點時，速度方向與斜面垂直，不計空氣阻力，則此時速度大小VB=
飛行時間t=
2.一水平拋出的小球落到一傾角為的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如右圖中虛線所示。小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比為
A． B．
C． D．
3、將一個物體又水平速度V0拋向一個傾角為α的斜面，物體與斜面碰撞時的交角β。求：
①飛行時間。
②到達斜面時的速度。
4、如圖所示，一物體自傾角為的固定斜面頂端水平拋出后落在斜面上，物體與斜面接觸時速度與水平方向的夾角滿足（ ）
A.tan＝sin B.tan＝cos
C.tan＝tan D.tan＝2tan
5、如圖所示，兩個傾角分別為30。、45。 的光滑斜面放在同一水平面上，兩斜面間距大于小球的直徑，斜面高度相等。有三個完全相同的小球a、b、c,開始均靜止于斜面同一高度處，其中小球b小球在兩斜面之間。若同時釋放a、b、c小球到達該水平面的時間分別為t1、t2、t3。若同時沿水平方向拋出，初速度方向如圖所示，到達該水平面的時間分別為t1’、t2’、t3’.下列關于時間的關系正確的是（ ）。
A．t1﹥t3﹥t2 Ｂ. t1= t1’ t2= t2’ t3= t3’
C. t1’﹥ t3’ ﹥t2’ D. t1﹤t1’ t2﹤t2’ t3﹤t3’
6. 平拋一物體，當拋出1秒后，速度方向與水平成450角，落地時速度與水平成600角，求：
①初速度？②落地速度？③開始拋出距地面的高度？④水平射程？
7.排球場總長為18米，設球網高度為2米，運動員站在離網3米的線上正對網前跳起將球水平擊出（球在飛行過程中所受空氣阻力不計）
(1)設擊球點的高度為2.5m，球被水平擊出時的速度在什么范圍才能使球既不觸網又不出界？
(2)若擊球點在3米線正上方的高度等于某個值，那么無論水平擊球的速度多大，球不是觸網就是越界，試求這個高度？
第二類典型題答案：
1、V0 /sin、V0/gtan
2解：以拋出點和落地點連線為對角線畫出矩形ABCD，可以證明末速度vt的反向延長線必然交AB于其中點O，由圖中可知BC∶BO=2∶，由相似形可知vt∶v0=∶
本題也能用解析法求解。列出豎直分運動和水平分運動的方程，注意到傾角和下落高度和射程的關系，有：
同樣可求得vt∶v0=∶
3、V0tan（ -）/g V/cos（ -）
４.Ｄ 5. 略
6、10m/s 20m/s 15 m 10 m 7.略。
第三類典型題：平拋實驗和平拋運動的應用。
解題戰術：一般給于一段軌跡，給出水平距離相等L的三個點，給出相鄰點垂直距離h1和h2?？梢郧蟪跛俣龋虚g點的速度，還有初位置。見到平拋運動就是列兩個方向的方程。
戰術演示：
1、一個同學在《研究平拋物體的運動》實驗中，只畫出了如圖9所示的一部分曲線，于是他在曲線上取水平距離相等的三點A、B、C，量得 = 0.2m。又量出它們之間的豎直距離分別為h1 = 0.1m，h2 = 0.2m，利用這些數據，可求得：
（1）物體拋出時的初速度為 m/s；
（2）物體經過B時豎直分速度為 m/s；
（3）拋出點在A點上方高度為 m處。
2、某同學做平拋運動實驗時，在白紙上只畫出了表示豎直向下方向的 Y軸和平拋物體運動軌跡的后一部分，而且漏標了拋出點的位置， 如圖所示.這位同學希望據此圖能測出物體的初速度，請你給他出出主意：
（1） 簡要說明據此圖測定該物初速度的方法________.
（2） 需要增加的測量工具有_____________.
（3） 用測量出的物理量表示測量的結果：v0=______
3、如圖所示，為一平拋物體運動的閃光照片示意圖，照片與實際大小相比縮小10倍.對照片中小球位置進行測量得：1與4閃光點豎直距離為1.5 cm，4與7閃光點豎直距離為2.5 cm，各閃光點之間水平距離均為0.5 cm.則
(1)小球拋出時的速度大小為多少
(2)驗證小球拋出點是否在閃光點1處，若不在，則拋出點距閃光點1的實際水平距離和豎直距離分別為多少 (空氣阻力不計，g＝10 m/s2)
4．平拋小球的閃光照片如圖，已知方格邊長a和閃光照相的頻閃間隔T，求：v0、g、vc。
〖變型〗條件同上，若A的坐標為（0，0），求出拋物點O的坐標。
5．在交通事故中，測定碰撞瞬間汽車的速度，對于事故責任的認定具有重要的作用。《中國汽車駕駛員》雜志曾給出一個計算碰撞瞬間車輛速度的公式：，式中是被水平拋出的散落在事故現場路面上的兩物體沿公路方向的水平距離，h1，h2分別是散落物在車上時的離地高度，只要用米尺測量出事故現場的，h1，h2，三個量，根據上述公式就能夠計算出碰撞瞬間車輛的速度，不計空氣阻力，g取9.8m/s2，則下列敘述正確的有（ ）
A. A，B落地時間相同　　　　　　　
B. A，B落地時間差與車輛速度無關
C. A，B落地時間差與車輛速度成正比　
D. A，B落地時間差與車輛速度乘積等于
6. A、B兩小球同時從距地面高為h=15m處的同一點拋出，初速度大小均為v0=10m/s．A球豎直向下拋出，B球水平拋出，空氣阻力不計，重力加速度取g=l0m／s2．求：
(1)A球經多長時間落地 (2)A球落地時，A、B兩球間的距離是多少
(
A
h
v
0
θ
)7.如圖所示，一高度為h=0.2m的水平面在A點處與一傾角為θ=30°的斜面連接，一小球以v0=5m/s的速度在平面上向右運動．求小球從A點運動到地面所需的時間（平面與斜面均光滑，取g=10m/s2）．某同學對此題的解法為：小球沿斜面運動，則2，由此可求得落地時間t．問：你同意上述解法嗎？若同意，求出所需時間；若不同意則說明理由并求出你認為正確的結果．
8．如圖所示.一足夠長的固定斜面與水平面的夾角為 370 ，物體 A以初速度v1 從斜面頂端水平拋出，物體 B 在斜面上距頂端 L＝15m 處同時以速度 v2 沿斜面向下勻速運動，經歷時間t物體A和物體B在斜面上相遇，則下列各組速度和時間中滿足條件的是（sin37。＝0.6，cos37。＝0.8，g＝10 m/s 2 ） （ ）
（A）v1＝16 m/s，v2＝15 m/s，t＝3s.
（B）v1＝16 m/s，v2＝16 m/s，t＝2s.
（C）v1＝20 m/s，v2＝20 m/s，t＝3s.
（D）v1＝20m/s，v2＝16 m/s，t＝2s.
9．拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動．現討論乒乓球發球問題，設球臺長2L、網高h，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻力．(設重力加速度為g)
(1)若球在球臺邊緣O點正上方高度為h1處以速度，水平發出，落在球臺的P1點(如圖實線所示)，求P1點距O點的距離x1。(2)若球在O點正上方以速度水平發出，恰好在最高點時越過球網落在球臺的P2(如圖虛線所示)，求的大小．(3)若球在O正上方水平發出后，球經反彈恰好越過球網且剛好落在對方球臺邊緣P3，求發球點距O點的高度h3．
10．滑雪者從A點由靜止沿斜面滑下，沿一平臺后水平飛離B點，地面上緊靠平臺有一個水平臺階，空間幾何尺度如圖所示，斜面、平臺與滑雪板之間的動摩擦因數為μ.假設滑雪者由斜面底端進入平臺后立即沿水平方向運動，且速度大小不變.求：
（1）滑雪者離開B點時的速度大小；
（2）滑雪者從B點開始做平拋運動的水平距離s.
第三類典型題答案：
1、答： 2 1.5 0.0125
2、答： （l） 畫出三條兩兩之間等距離 （△x）的與 Y軸平行的豎線，分別與軌跡曲線交于A、B、C三點，過這三點各作一條垂直于Y軸的線.測量A、B之間的豎直距離y1和A、C之聞的豎直距離y2,根據以上數據可算出初速.　
（2） 刻度尺　　　　
(3)　　
3、解： (1)設1~4之間時間為T，
豎直方向有：(2.5-1.5)×10-2×10 m＝gT2
所以T = 0.1 s （3分）
水平方向:0.5×10-2×3×10 m＝v0T
所以v0=1.5 m/s
(2)設物體在1點的豎直分速度為v1y
1~4豎直方向：1.5×10-2×10 m=v1yT+gT2
解得v1y=1 m/s
因v1y≠0，所以1點不是拋出點
設拋出點為O點，距1水平位移為x m，豎直位移為y m，有:
水平方向 x=v0t
豎直方向：
解得t= 0.1 s x=0.15 m=15 cm y=0.05 m=5 cm
即拋出點距1點水平位移為15 cm，豎直位移為5 cm.
4解：水平方向：豎直方向：，∴
先求C點的水平分速度vx和豎直分速度vy，再求合速度vC：
，，∴
〖變型〗解：
思路：求出拋物點O到A點的時間即可。由vC知：vCy=gtC，而，解得。故，則拋出點O的坐標為（-v0tA，-）。
5．BD
6．解：（1）A球做豎直下拋運動：將、代入，可得：
（2）B球做平拋運動： 將、代入，可得：　
此時A球與B球的距離為： 將、、代入，得：
7.解：不同意。小球應在A點離開平面做平拋運動，而不是沿斜面下滑。正確做法為：落地點與A點的水平距離 ①
斜面底寬 ②
小球離開A點后不會落到斜面，因此落地時間即為平拋運動時間。
∴ ③
8.C
9．解：⑴設發球時飛行時間為，根據平拋運動有 ① ② 解得 ③
⑵設發球高度為，飛行時間為，同理有
④ ⑤ 且 ⑥
⑦ 得 ⑧
⑶如圖所示，發球高度為，飛行時間為，同理得
⑨ ⑩ 且
設球從恰好越過球網到最高點的時間為t，水平距離為s，有
由幾何關系知 聯立解得
10．解：（1）設滑雪者質量為m，斜面與水平面夾角為，滑雪者滑行過程中克服摩擦力做功
?、?br/>由動能定理 ②
離開B點時的速度 ③
（2）設滑雪者離開B點后落在臺階上，可解得
④此時必須滿足 ⑤，當 ⑥時，
滑雪者直接落到地面上， 可解得 ⑦
第四類典型題：勻速圓周運動的應用
解題戰術：運用物體在圓周軌跡徑向力合力為向心力列方程。極限情況出現在某些力突變時。
戰術演示：
1.如圖所示，一個內壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，兩個質量相同的小球A和B緊貼著內壁分別在圖中所示的水平面內做勻速圓周運動，則
A.球A的線速度一定大于球B的線速度
B.球A的角速度一定小于球B的角速度
C.球A的運動周期一定小于球B的運動周期
D.球A對筒壁的壓力一定大于球B對筒壁的壓力
2．如圖所示的粗糙桿繞豎直軸旋轉，桿和軸夾角為，桿上穿一個小球，摩擦系數為，小球到支點的距離為L，求為了使小球和桿的相對位置不改變，軸旋轉的角速度取值范圍？
熱身實戰：
1．（1）為了響應國家的“節能減排”號召，某同學采用了一個家用汽車的節能方法.在符合安全行駛要求的情況下，通過減少汽車后備箱中放置的不常用物品和控制加油量等措施，使汽車負載減少.假設汽車以72 km/h的速度勻速行駛時，負載改變前、后汽車受到的阻力分別為2 000 N和1950 N，請計算該方法使汽車發動機輸出功率減少了多少？
（2）有一種叫“飛椅”的游樂項目，示意圖如圖14所示，長為L的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑為r的水平轉盤邊緣，轉盤可繞穿過其中心的豎直軸轉動.當轉盤以角速度ω勻速轉動時，鋼繩與轉軸在同一豎直平面內，與豎直方向的夾角為θ,不計鋼繩的重力，求轉盤轉動的角速度ω與夾角θ的關系.
2.用一根細線一端系一小球（可視為質點），另一端固定在一光滑錐頂上，如圖（1）所示，設小球在水平面內作勻速圓周運動的角速度為ω，線的張力為T，則T隨ω2變化的圖象是圖（2）中的
3．如圖所示，用細繩一端系著的質量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉盤上，細繩另一端通過轉盤中心的光滑小孔O吊著質量為m=0.3kg的小球B，A的重心到O點的距離為0.2m。若A與轉盤間的最大靜摩擦力為f=2N，為使小球B保持靜止，求轉盤繞中心O旋轉的角速度ω的取值范圍。（取g=10m/s2）
4．如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉圓臺上，它們由相同材料制成，A的質量為2m，B、C的質量各為m。如果OA=OB=R，OC=2R，則當圓臺旋轉時（設A、B、C都沒有滑動），下述結論中正確的是：
C物向心加速度最大 　　　　　
B物靜摩擦力最小
C． 當圓臺旋轉轉速增加時，C比B先開始滑動
D． 當圓臺旋轉轉速增加時，A比B先開始滑動
5． 如圖所示水平轉盤上放有質量為m的物快，當物塊到轉軸的距離為r時,若物塊始終相對轉盤靜止，物塊和轉盤間最大靜摩擦力是正壓力的倍，求轉盤轉動的最大角速度是多大？
拓展：如o點與物塊連接一細線，求當①1=時，細線的拉力T ②2=時，細線的拉力T
(
r
)
6.如圖所示的粗糙平面繞豎直軸旋轉，平板的摩擦系數為，板上放質量為m1和m2的物塊，用長為L的細線相連，m1距離軸為r，已知，此時物塊恰好和平板無相對運動，求此時的繩子拉力？軸旋轉的角速度？
參考答案：
1.答案：（1）解析：，由得
① ② 故
（2）解析：設轉盤轉動角速度時，夾角θ夾角θ
座椅到中心軸的距離： ① 對座椅分析有： ②
聯立兩式 得
2.C
3.解：要使B靜止，A必須相對于轉盤靜止——具有與轉盤相同的角速度．A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成。角速度取最大值時，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時，A有向心運動的趨勢，靜摩擦力背離圓心O。
對于B，T=mg　　　　對于A，
解得； ； 故2.9rAd/s≤ω≤6.5rAd/s。
4. 答案：ABC
5．解： = 拓展:T1 =0 T=
第六類典型題：豎直面內的圓周運動（繩連接與桿連接模型）
解題戰術：凡是做圓周運動物體對它進行受力分析之后，按沿半徑方向和垂直于半徑方向分解以后，沿半徑方向的力叫做向心力，因為做圓周運動，所以必然滿足向心力公式。以上這句話在高考的圓周運動問題涉及的比較簡單，只需要高中生記住豎直面內的圓周運動兩個特殊的位置（因為高考只會考這兩個位置）：一個是豎直最高點，一個是豎直最低點，而在這兩點合外力又必然只是沿半徑方向的，所以不用分解，這樣，上面說的話就成了，合外力一定指向圓心或者說合外力即向心力。之后是分清楚是繩的模型，還是桿的模型。最后是根據模型的特點，列相對應方程。
戰術演練：
1.如圖所示，小球由細線AB、AC拉住靜止，AB保持水平，AC與豎直方向成α角，此時AC對球的拉力為T1.現將AB線燒斷，小球開始擺動，當小球返同原處時，AC對小球拉力為T2，則T1與T2之比為( ).
(A)1:1 (B)1:cos2α (C)cos2α:1 (D)sin2α:cos2α
熱身實戰：
1．質量為m的小球在豎直面內的光滑圓形軌道內側做圓周運動，通過最高點且剛好不脫離軌道時的速度為v，則當小球通過與圓心等高的A點時，對軌道內側的壓力大小為（ ）
A.mg B.2mg
C.3mg D.4mg
２. AB是豎直平面內的四分之一圓弧軌道，在下端B與水平直軌道相切，如圖所示。一小球自A點起由靜止開始沿軌道下滑。已知圓軌道半徑為R，小球的質量為m，不計各處摩擦。求（1）小球運動到B點時的動能；（2）小球下滑到距水平軌道的高度為0.5R時速度的大小和方向；（3）小球經過圓弧軌道的B點和水平軌道的C點時，所受軌道支持力NB、NC各是多大？
3．如圖所示，豎直放置的光滑圓環上套有一質量為m的小球，小球經過最高點時的速度為，其中R為圓環的半徑，g為重力加速度．求：
⑴小球經過圓環最高點時受到圓環的彈力的大小和方向；
(
O
m
R
)⑵小球經過圓環最低點時對圓環的彈力大小和方向．
４.如圖，質量為M的支架放在水平地面上，兩側有光滑螺栓限制，使支架不能在水平方向運動，一長為L的輕質線系住一個質量為m的小球，系于支架上的O點。
（1）當線與水平面平行且繃直（如圖位置）無初速度釋放，球到達最低點時，支架對地面的壓力是多大？（2）若球在豎直面內作圓周運動，使球到達最高點時，支架對地面恰好無壓力，此時球的速度多大？
5.如圖所示，位于豎直平面上的1/4圓弧光滑軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，上端A距地面高度為H，質量為m的小球從A點由靜止釋放，最后落在水平地面上C點處，不計空氣阻力，求：
(1)小球運動到軌道上的B點時，對軌道的壓力多大
(2)小球落地點C與B點水平距離s是多少
6.如圖所示在方向豎直向下的勻強電場中，一個帶負電q，質量為m且重力大于所受電場力的小球，從光滑的斜面軌道的點A由靜止下滑，若小球恰能通過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點B而作圓周運動，問點A的高度h至少應為多少？
第六類典型題答案：
1.C
2．（1）根據機械能守恒
（2）根據機械能守恒 　　　　 小球速度大小　　
速度方向沿圓弧的切線向下，與豎直方向成30°
（3）根據牛頓運動定律及機械能守恒，在B點
解得： 在C點：
3．解：⑴小球經過圓環最高點時受到豎直向下的重力mg和圓環的彈力N的作用，根據牛頓第二定律，有：
解得小球受到圓環的彈力的大小為：
方向豎直向上．
⑵小球由最高點運動到最低點的過程，機械能定恒：
將代入解得小球經過圓環最低點時的速率為： 設在圓環最低點時圓環對小球的彈力為，根據牛頓第二定律得：
解得：
根據牛頓第三定律可知，小球在圓環最低點時對圓環的彈力為．方向豎直向下．
４.解：（1）mgL=mv12, v1=,
球在最低點時，應用牛頓第二定律，得：T1－mg=m
T1=mg+m=mg+)2=3mg,　　支架：N1=Mg+T1’=(M+3m)g　　　　　　　
（2）支架：N2=0，T2=Mg. 　對球在最高點應用牛頓第二定律，得：mg+T2=m,　　　　　　　　　∴v2==　　
5.解析：(1)小球由A→B過程中，根據機械能守恒定律有：
mgR＝ 　
小球在B點時，根據向心力公式有；
根據牛頓第三定律，小球對軌道的壓力大小等于軌道對小球的支持力，為3mg
(2)小球由B→C過程，
水平方向有：s=vB·t 豎直方向有： 解得 　　　
2.5R
物理跟蹤考試試題1（必修二曲線運動）
1．如圖所示，甲、乙兩船在同一條河流中同時開始渡河，河寬為L，河水流速為u，劃船速度均為v，出發時兩船相距2L，甲、乙船頭均與岸邊成60°角，且乙船恰好能直達正對岸的A點，則下列判斷正確的是（ ）
A．甲船比乙船先到達對岸 B．兩船可能在未到達對岸前相遇
C．甲船在A點左側靠岸 D．甲船也在A點靠岸
(
60
°
60
°
甲
乙
A
)
2．甲、乙、丙三小球分別位于如圖所示的豎直平面內，甲、乙在同一條豎直線上，甲、丙在同一條水平線上，水平面上的P點在丙的正下方，在同一時刻甲、乙、丙開始運動，甲以水平初速度v0做平拋運動，乙以水平速度v0沿光滑水平面向右做勻速直線運動，丙做自由落體運動．則( )．
A．若甲、乙、丙三球同時相遇，則一定發生在P點
B．若甲、丙兩球在空中相遇，此時乙球一定在P點
C．若只有甲、乙兩球在水平面上相遇，此時丙球還未著地
D．無論初速度v0大小如何，甲、乙、丙三球一定會同時在P點相遇
3．如圖所示，從傾角為θ的斜面上某點先后將同一個小球以不同的初速度水平拋出，小球均落在斜面上．當拋出的速度為v1時，小球到達斜面時速度方向與斜面夾角為α1；當拋出的速度為v2時，小球到達斜面時速度方向與斜面的夾角為α2，下列說法中正確的是( )．
A．當v1>v2時，α1>α2
B．當v1>v2時，α1<α2
C．無論v1、v2關系如何，α1=α2
D．以上說法均不對
4．物體做平拋運動時，它的速度的方向和水平方向間的夾角α的正切tgα隨時間t變化的圖像是圖1中的 （ ）
(
O
y
x
A
P(x,y)
V
)5．如圖1所示是物體做平拋運動的x-y圖象,物體從O點拋出,x、y分別為其水平和豎直位移,在物體運動的過程中,經某一點P(x,y)時,其速度的反向延長線交于x軸上的A點,則OA的長為 （ ）
A．x B．0.5x
C．0.3x D．不能確定
圖1
6．柯受良駕駛汽車飛越黃河，汽車從最高點開始到落地為止這一過程可以看作平拋運動。記者從側面用照相機通過多次曝光，拍攝到汽車在經過最高點以后的三幅運動照片如圖3所示。相鄰兩次曝光時間間隔相等，已知汽車長度為L，則 （ ）
A．從左邊一幅照片可推算出汽車的水平分速度大小
B．從左邊一幅照片可推算出汽車曾經達到的最大高度
C．從中間一幅照片可推算出汽車的水平分速度大小和汽車曾經達到的最大高度
D．根據實驗測得的數據，從下邊任一幅照片可推算出汽車的水平分速度大小
7．從高H處以水平速度v1平拋一個小球1，同時從地面以速度V2豎直向上拋出一個小球2，兩小球在空中相遇則：( )
A．從拋出到相遇所用時間為
B．從拋出到相遇所用時間為
C．拋出時兩球的水平距離是
D．相遇時小球2上升高度是
8．有一小船正在渡河，如圖所示，在離對岸30 m時，其下游40 m處有一危險水域．假若水流速度為5 m/s，為了使小船在危險水域之前到達對岸，那么，小船從現在起相對于靜水的最小速度應是_______．
9．傾角為θ=45°，高為1.8m的斜面如圖所示，在其頂點水平拋出一石子，它剛好落在這個斜面底端的B點，則石子拋出后，經______s，石子的速度方向剛好與斜面平行。
10．物體從高處被水平拋出后，第3s末的速度方向與水平方向成45°角，那么平拋物體運動的初速度為______m/s，第4s末的速度大小為______m/s。（取g=10m/s2，設 4s末仍在空中）
11．如下圖所示為一小球做平拋運動的頻閃照片的一部分，圖中背景是邊長為5cm的小方格，A．B．C是攝下的三個小球位置，則閃光的時間間隔為__________。小球拋出的初速度為___________。小球經過B點的豎直分速度為___________。（g取10m/s2）
12．如圖所示，A、B以相同的速率v下降，C以速率vx上升，繩與豎直方向夾角α已知，則vx=_____v
13. 如圖3，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車沿斜面升高。則：當滑輪右側的繩與豎直方向成角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度vˊ為多少？
14．小船在寬度為200 m、水流速度為2 m/s的河中駛向對岸，已知小船在靜水中的速度為4 m/s，兩岸是平行的，求：
（1）若小船的船頭始終正指對岸航行時，它將在何時何處到達對岸？
（2）若要使小船的船頭到達正對岸，小船應如何行駛？要用多長時間？
（3）若小船航向跟上游河岸成30°角，它將行駛多長時間，在何處到達對岸？
15．如圖9—25所示，一個小球從樓梯頂部以υ0=2m/s的水平速度拋出，所有樓梯臺階高0.2m，寬0.25m，
問小球從樓梯頂部滾下后首先撞到哪一級臺階上？
16．將物體由h高處以初速度V0水平拋出,因受跟V0同方向的風力使物體具有大小為a的水平方向的加速度。求: (1)物體的水平射程；(2)物體落地時的速度。
17.如圖所示，M和N是兩塊相互平行的光滑豎直彈性板．兩板之間的距離為L，高度為H．現從M板的頂端O以垂直板面的水平速度V0拋出一個小球．小球在飛行中與N板和M板，分別在A點和B點相碰，并最終在兩板間的中點C處落地．求：
(1)小球拋出的速度v0與L和H之間滿足的關系；
(2)OA、AB、BC在豎直方向上距離之比．
物理跟蹤考試試題1（必修二曲線運動）
部分題目參考答案
4、B 5．B 6.AC 7.BCD
12．Vx=v/ COSα15．3級
16.解：(1)小球的運動可分解為兩個分運動,水平方向的初速為v0的勻速直線運動,豎直方向的自由落體運動,
　　　　　
　　　　　則小球水平方向的射程
　　　　　
　　　
　　　豎直分速vy=gt
　　　　
17.　 (1)分析可知運動的全過程中，小球始終保持其水平速度大小v0不變．設運動全過程飛行時間為t，水平全程長度為S，則
又　　　　　　　　　　　　　　　　 S＝2.5L，
(2)取小球由B到C為一個時間間隔Δt．小球從O拋出到C點落地共經過5個Δt．在此5個Δt中下落高度之比為：1∶3∶5∶7∶9．
由于tOA包括第1個Δt和第2個Δt；tAB包括第3個Δt和第4個Δt，故三段豎直距離之比為
hOA∶hAB∶hBC＝(1＋3)∶(5＋7)∶9＝4∶12∶9．
物理跟蹤考試試題2（必修二曲線運動）
1.甲、乙兩人從距地面h高處拋出兩個小球,甲球的落地點距拋出點的水平距離是乙的2倍,不計空氣阻力,為了使乙球的落地點與甲球相同,則乙拋出點的高度可能為（ ）
A．2h B.h C.4h D.3h
2.如圖所示.一足夠長的固定斜面與水平面的夾角為370，物體A以初速度V1從斜面頂端水平拋出，物體B
在斜面上距頂端L＝15m處同時以速度V2沿斜面向下勻速運動，經歷時間t物體A和物體B在斜面上相遇，
則下列各組速度和時間中滿足條件的是（sin37O＝0.6，cos370＝0.8，g＝10 m/s2）
A.V1＝16 m/s，V2＝15 m/s，t＝3s.　　
B.V1＝16 m/s，V2＝16 m/s，t＝2s.
C.V1＝20 m/s，V2＝20 m/s，t＝3s.　　
D.V1＝20m/s，V2＝16 m/s， t＝2s.
3.圖1為一皮帶傳動裝置，右輪半徑為r，a為它邊緣上一點；左側是一輪軸，大輪半徑為4r，小輪半徑為2r，b點在小輪上，到小輪中心的距離為r。c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上。若傳動過程中皮帶不打滑，則（ ）
A．a點和b點的線速度大小相等
(B)a點和b點的角速度大小相等
(C)a點和c點的線速度大小相等
(D)a點和d點的向心加速度大小相等
圖1
4．如圖5—9，細桿的一端與一小球相連，可繞過O點的水平軸自由轉動.現給小球一初速度，使它做圓周
運動，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點和最高點，則桿對球的作用力可能是
A.a處為拉力，b處為拉力
B.a處為拉力，b處為推力
C.a處為推力，b處為拉力
D.a處為推力，b處為推力
5．小球m位于半徑為R的半圓球頂端，給m一水平初速v時，m對球頂壓力恰為零，則 ( )
A．m將立即離開球面作平拋運動
B．v的值應為
C．m落地時的水平位移為
D．m落地時速度方向與地面成450角
6．如圖，兩根長度相同的細繩，連接著相同的兩個小球，讓它們在光滑的水平面上做勻速圓周運動，其中心為O，兩段繩子在同一直線，此時，兩段繩子受到的拉力之比為（ ）
A 1:1 B 2:1 C 3:2 D 3:1
7．一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內轉動，圓盤半徑為R，甲、乙物體質量分別為M和m（M＞m）。它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的μ倍，兩物體用一根長為l的輕繩連在一起，如圖若將甲物體放在轉軸的位置上，甲、乙之間連線剛好沿半徑方向被拉直，要使兩物與轉盤間不發生相對滑動，則轉盤旋轉角速度的最大值不得超過（兩個物體均看作質點）（ ）
8．如下圖所示，在豎直平面內有一半徑為R的光滑圓形軌道，一質量為m的小球穿在圓形軌道上做圓周運動，到達最高點C時的速率是：v0＝，則下列論述正確的是（ ）
A.此小球的最大速率是v0
B.小球到達C點時對軌道的壓力是mg
C.小球在任一直徑的兩端點上的動能之和相等
D.小球沿圓軌道繞行一周所用時間小于π
9．如圖12所示, 在內壁光滑的平底試管內放一個質量為1g的小球, 試管的開口端加蓋與水平軸O連接. 試管底與O相距5cm, 試管在轉軸帶動下沿豎直平面做勻速圓周運動. 求：(1) 轉軸的角速度達到多大時, 試管底所受壓力的最大值等于最小值的3倍.(2) 轉軸的角速度滿足什么條件時,會出現小球與試管底脫離接觸的情況 g取10m/s.
10.小球A用不可伸長的輕繩懸于O點，在O點的正下方有一固定的釘子B，OB=d，初始時小球A與O同水平面無初速釋放，繩長為，為使球能繞B點做圓周運動，試求d的取值范圍？
11．如圖，一內壁光滑的環形細圓管，位于豎直平面內，環的半徑為R（比細管的半徑大得多）。在圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點）。A球的質量為m1，B球的質量為m2。它們沿環形圓管順時針運動，經過最低點的速度都為V0，設A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2、R、V0應滿足的關系是什么？
12. 鐵路轉變處的彎道半徑r是根據地形決定的，彎道處要求外軌比內軌高，其內外軌高度差h的設計不僅與r有關，還取決于火車在彎道上行駛的速率。下表中是鐵路設計人員技術手冊中彎道半徑r及與之相對應的軌道的高度差h。
彎道半徑r（m） 660 330 220 165 132 110
內外軌高度差h（m） 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
（1）根據表中數據，試導出h與r關系的表達式，并求出當r＝440 m時，h的設計值。
（2）鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內外軌道均不向車輪施加側面壓力，又已知我國鐵路內外軌的距離設計值為L＝1.435 m，結合表中數據，求出我國火車的轉彎速率v（路軌傾角很小時，正弦值按正切值處理）；
（3）隨著人的生活節奏加快，對交通運輸的快捷提出了更高的要求，為了提高運輸能力，國家對鐵路不斷進行提速，這就要求鐵路轉彎速率也需提高，請根據上述計算原理和上表分析提速時應采取怎樣的有效措施？

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