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第二章 直線和圓的方程 章末總結(jié)（精講）
目錄
第一部分：知識(shí)框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：直線方程
重點(diǎn)題型二：兩直線的平行與垂直
重點(diǎn)題型三：兩直線的交點(diǎn)與距離問題
重點(diǎn)題型四：圓的方程
重點(diǎn)題型五：直線與圓的位置關(guān)系
重點(diǎn)題型六：切線和切線長問題
重點(diǎn)題型七：弦長問題
重點(diǎn)題型八：圓與圓的位置關(guān)系
重點(diǎn)題型九：兩圓公共線方程和公共弦長
重點(diǎn)題型十：與圓有關(guān)的最值問題
重點(diǎn)題型十一：軌跡方程
第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法
方程思想
函數(shù)思想
數(shù)形結(jié)合思想
分類討論思想
轉(zhuǎn)化與化歸思想
重點(diǎn)題型一：直線方程
1．（2022·北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）已知三個(gè)頂點(diǎn)是.
(1)求邊中線所在直線方程；
(2)求邊上的高線所在方程；
(3)求的重心的坐標(biāo).
2．（2022·四川達(dá)州·高一期末（理））已知直線l經(jīng)過點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)在直線l上，求直線l的方程；
(2)若直線l與直線垂直，求直線l的方程．
3．（2022·江蘇·高二）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為、、，試求：
(1)邊上的高所在的直線方程；
(2)的面積．
4．（2022·陜西·西安高新第三中學(xué)高一期中）根據(jù)下列條件，分別寫出直線的方程：
(1)過點(diǎn)，且在y軸上的截距為6；
(2)過點(diǎn)，且在x軸上的截距為3．
重點(diǎn)題型二：兩直線的平行與垂直
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，，分別求實(shí)數(shù)的值，使得：
(1)；(2)．
2．（2022·江蘇·高二）已知直線，．請從以下三個(gè)條件中選出兩個(gè)求實(shí)數(shù)，的值．
(1)；(2)；(3)．
3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)m為實(shí)數(shù)，已知兩條直線，.當(dāng)m為何值時(shí)，與：
(1)相交？(2)平行？
4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，直線，且，求m的值．
重點(diǎn)題型三：兩直線的交點(diǎn)與距離問題
1．（2022·江蘇·高二）已知直線：（）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．
2．（2022·全國·高二期中）直線：上的一點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離相等，試求點(diǎn)坐標(biāo)．
3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求過與的交點(diǎn)且與直線平行的直線方程．
4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線l過點(diǎn)且到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，求直線l的方程．
5．（2022·江蘇·高二）兩平行直線，分別過，.
(1)，之間的距離為5，求兩直線方程；
(2)若，之間的距離為d，求d的取值范圍.
重點(diǎn)題型四：圓的方程
1．（2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，.
(1)求線段的垂直平分線方程；
(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求滿足下列條件的圓的方程，并畫出圖形：
(1)經(jīng)過點(diǎn)和，圓心在x軸上；
(2)經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，圓心為點(diǎn)；
(3)經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上；
(4)經(jīng)過，，三點(diǎn)．
3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求圓的方程：
(1)圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上；
(2)圓經(jīng)過，，三點(diǎn).
4．（2022·吉林·撫松縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，．
(1)求經(jīng)過兩邊AB和AC的中點(diǎn)的直線的方程；
(2)求的外接圓方程．
重點(diǎn)題型五：直線與圓的位置關(guān)系
1．（2022·浙江·溫州中學(xué)高二期末）已知直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇鹽城·高二期末）已知直線與圓相切，則實(shí)數(shù)a的值為_________．
3．（2022·貴州·遵義四中高二期末）已知直線l：x -y+2=0，一個(gè)圓的圓心C在x軸正半軸上，且該圓與直線l和y軸均相切．
(1)求該圓的方程；
(2)若直線x+ my -1=0與圓C交于 A、B兩點(diǎn)，且|AB|=，求m的值．
4．（2022·廣東深圳·高二期末）已知圓C：的半徑為1．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長．
5．（2022·重慶復(fù)旦中學(xué)高二開學(xué)考試）已知圓經(jīng)過，，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線：與圓無公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
重點(diǎn)題型六：切線和切線長問題
1．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測）過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（ ）
A． B． C． D．或
2．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津河北·高二期末）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長為______．
5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）從點(diǎn)引圓的切線，則切線長是__________．
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求通過圓上的一點(diǎn)所作該圓的切線方程．
7．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高二階段練習(xí)（理））已知圓的圓心在第一象限內(nèi)，圓關(guān)于直線對稱，與軸相切，被直線截得的弦長為.
(1)求圓的方程；
(2)若點(diǎn)，求過點(diǎn)的圓的切線方程.
重點(diǎn)題型七：弦長問題
1．（2022·天津紅橋·高二學(xué)業(yè)考試）已知圓：，直線：.
(1)求圓的圓心及半徑；
(2)求直線被圓截得的弦的長度.
2．（2022·江蘇·高二）已知三點(diǎn)在圓C上，直線，
(1)求圓C的方程;
(2)判斷直線與圓C的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓C截得的弦長．
3．（2022·上海市復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知圓C：，其中．
(1)已知圓C與圓：外切，求m的值；
(2)如果直線與C相交所得的弦長為，求m的值．
4．（2022·遼寧·高三期中）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求線段的垂直平分線方程；
(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(3)若過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
5．（2022·江蘇南通·高二期末）已知圓，點(diǎn).
(1)若，半徑為的圓過點(diǎn)，且與圓相外切，求圓的方程；
(2)若過點(diǎn)的兩條直線被圓截得的弦長均為，且與軸分別交于點(diǎn)、，，求.
重點(diǎn)題型八：圓與圓的位置關(guān)系
1．（2022·福建福州·高二期末）圓與圓的位置關(guān)系為 （ ）
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離
2．（2022·四川雅安·高二期末（理））圓：與圓：的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切 B．外切
C．相交 D．外離
3．（2022·江蘇·高二）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓關(guān)于直線對稱，則圓與圓的位置關(guān)系為______．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：和：恰好有三條公切線，則的取值范圍是___________.
5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在圓上，則圓與圓的位置關(guān)系是______．
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，則4a2＋b2＝________．
重點(diǎn)題型九：兩圓公共線方程和公共弦長
1．（2022·重慶復(fù)旦中學(xué)高二開學(xué)考試）圓與圓的公共弦所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）已知圓：和圓：，則（ ）
A．公共弦長為 B．公共弦長為
C．公切線長 D．公切線長
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓與圓公共弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）若圓與圓相交，且公共弦長為，則__________.
5．（2022·天津·靜海一中高二期末）若圓C：與圓D2的公共弦長為，則圓D的半徑為___________.
6．（2022·天津河西·二模）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，則________．
7．（2022·天津河?xùn)|·二模）圓與圓的公共弦長為________．
重點(diǎn)題型十：與圓有關(guān)的最值問題
1．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知圓過點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的最大值為（ ）
A．100 B．25 C．50 D．
3．（2021·安徽滁州·高二期中）已知，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q在圓C：上，則的最小值是______．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：與圓：的公共弦所在直線恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)Р在直線上（，），則mn的最大值是__________.
5．（2022·江蘇·高二）已知圓：與：相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求公共弦AB所在的直線方程；
(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程；
(3)求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．
6．（2022·江蘇·高二）已知圓，點(diǎn)分別在軸和圓上.
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系；
(2)求的最小值.
7．（2022·廣東揭陽·高二期末）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B；
(1)求直線AB的方程；
(2)若M為圓上的一點(diǎn)，求面積的最大值．
重點(diǎn)題型十一：軌跡方程
1．（2022·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記的軌跡為曲線．
(1)求的方程，并說明是什么曲線；
2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，直線l滿足___________（從①l過點(diǎn)，②l斜率為2，兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.
3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）等腰三角形的頂點(diǎn)是，底邊一個(gè)端點(diǎn)是，求另一個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程，試說明它的軌跡是什么？
4．（2022·四川·南部縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知圓的圓心在直線上，且過和兩點(diǎn).
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.
方程思想
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一直線經(jīng)過點(diǎn)，并且與點(diǎn)和的距離相等，求此直線的方程．
2．（2022·湖北·高二期末）已知圓C：，直線l恒過點(diǎn)
(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；
(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且時(shí)，求l的方程.
3．（2022·江蘇·高二）已知直線：（）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．
4．（2022·全國·高二期中）直線：上的一點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離相等，試求點(diǎn)坐標(biāo)．
函數(shù)思想
1．（2022·廣東韶關(guān)·高二期末）已知圓：，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線-1），動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為______，若的對稱中心為與交于兩點(diǎn)，則的方程為面積的最大值為______．
數(shù)形結(jié)合思想
1．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北省鹽山中學(xué)高二期中）已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
分類討論思想
1．（2022·江蘇·高二）已知圓C的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切，直線過點(diǎn)．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與圓C相切，求直線的方程．
(3)若直線被圓C所截得的弦長為，求直線的方程．
2．（2021·福建·晉江市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知過點(diǎn)且斜率為的直線與圓交于、兩點(diǎn).
(1)求斜率的取值范圍；
(2)過作圓的切線，求切線方程.
3．（2022·四川·成都實(shí)外高二階段練習(xí)（理））已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，-1），和直線x+y=1相切，且圓心在直線y=-2x上.
(1)求圓C的方程；
(2)已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程
轉(zhuǎn)化與化歸思想
1．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·高二）已知實(shí)數(shù)a，b滿足4a-2b+3=0，則的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2022·全國·高二）設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B．4 C． D．8
4．（2022·上海虹口·高二期末）已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．
第二章 直線和圓的方程 章末總結(jié)（精講）
目錄
第一部分：知識(shí)框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：直線方程
重點(diǎn)題型二：兩直線的平行與垂直
重點(diǎn)題型三：兩直線的交點(diǎn)與距離問題
重點(diǎn)題型四：圓的方程
重點(diǎn)題型五：直線與圓的位置關(guān)系
重點(diǎn)題型六：切線和切線長問題
重點(diǎn)題型七：弦長問題
重點(diǎn)題型八：圓與圓的位置關(guān)系
重點(diǎn)題型九：兩圓公共線方程和公共弦長
重點(diǎn)題型十：與圓有關(guān)的最值問題
重點(diǎn)題型十一：軌跡方程
第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法
方程思想
函數(shù)思想
數(shù)形結(jié)合思想
分類討論思想
轉(zhuǎn)化與化歸思想
重點(diǎn)題型一：直線方程
1．（2022·北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）已知三個(gè)頂點(diǎn)是.
(1)求邊中線所在直線方程；
(2)求邊上的高線所在方程；
(3)求的重心的坐標(biāo).
【答案】(1)(2)(3)
(1)線段的中點(diǎn)，即,
因此直線的橫縱截距均為2，其方程為：，
即.
所以邊中線所在直線方程為.
(2)直線的斜率：，所以所求直線的斜率：，
又該直線過點(diǎn)，
所以邊上的高線所在方程為：，即.
(3)方法一：由重心坐標(biāo)公式，的重心，
即.
方法二：線段的中點(diǎn)，即.
因此，直線的方程為：，
即，
故邊中線所在直線方程為.
由方程組，解得，
所以的重心坐標(biāo).
2．（2022·四川達(dá)州·高一期末（理））已知直線l經(jīng)過點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)在直線l上，求直線l的方程；
(2)若直線l與直線垂直，求直線l的方程．
【答案】(1)(2)
(1)直線l經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，直線l的斜率k＝3，
直線l的方程為（或）；
(2)因?yàn)橹本€l與直線垂直，設(shè)直線l的方程為，
因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以，解得．
所以直線l的方程為
3．（2022·江蘇·高二）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為、、，試求：
(1)邊上的高所在的直線方程；
(2)的面積．
【答案】(1)(2)24
(1)因?yàn)椋瑒t邊上的高的斜率為3，又經(jīng)過A點(diǎn)，故方程為，化簡得．
(2)，直線方程為，整理得，
則到的距離為，則的面積為.
4．（2022·陜西·西安高新第三中學(xué)高一期中）根據(jù)下列條件，分別寫出直線的方程：
(1)過點(diǎn)，且在y軸上的截距為6；
(2)過點(diǎn)，且在x軸上的截距為3．
【答案】(1)(2)
(1)由題意可知，直線的斜率存在且過點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為：，
又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，即，解得，則直線的方程為：，
故所求直線方程為：.
(2)由題意可知，直線的斜不為且過點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為：，
又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，即，解得，則直線的方程為：，
故所求直線方程為：.
重點(diǎn)題型二：兩直線的平行與垂直
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，，分別求實(shí)數(shù)的值，使得：
(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)
(1)由得：，解得：或.
(2)由得：，解得：.
2．（2022·江蘇·高二）已知直線，．請從以下三個(gè)條件中選出兩個(gè)求實(shí)數(shù)，的值．
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)選(1)和(2)，；
(2)選(1)和(3)，或；
(3)選(2)和(3)，a、b無解.
(1)若選條件(1)和(2)，和，
由，得，即，
當(dāng)時(shí)，，，與不垂直，
當(dāng)時(shí)，，，與不垂直；
故且，得，
又，，
所以，解得，則；
(2)若選條件(1)和(3)，和，
由，得，
當(dāng)時(shí)，，，與不平行；
當(dāng)時(shí)，，，與不平行；
故且，則，解得或，
故或，
即或；
(3)若選條件(2)和(3)，和，
根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系，
可得和不可能同時(shí)成立，
此時(shí)無解.
3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)m為實(shí)數(shù)，已知兩條直線，.當(dāng)m為何值時(shí)，與：
(1)相交？(2)平行？
【答案】(1)且；(2).
(1)若兩直線相交，則，即且.
(2)若兩直線平行，則，即或.
當(dāng)時(shí)，，，滿足題設(shè)；
當(dāng)時(shí)，，，即兩線重合，不合題設(shè)；
所以.
4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，直線，且，求m的值．
【答案】6或-1
因?yàn)橹本€與直線垂直，
所以，
即，解得或.
重點(diǎn)題型三：兩直線的交點(diǎn)與距離問題
1．（2022·江蘇·高二）已知直線：（）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】證明見解析，
證明：原方程整理為，則由得
所以點(diǎn)坐標(biāo)為．
2．（2022·全國·高二期中）直線：上的一點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離相等，試求點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】
易得在的垂直平分線上，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則的垂直平分線斜率為，
則方程為，即，由解得所以點(diǎn)坐標(biāo)為．
3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求過與的交點(diǎn)且與直線平行的直線方程．
【答案】.
由，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)所求直線為，把代入所設(shè)方程中，得
，故而所求直線方程為．
4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線l過點(diǎn)且到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，求直線l的方程．
【答案】或
解法1：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即．
由題意知，即，∴，
∴直線l的方程為，即．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，也符合題意．
解法2：當(dāng)時(shí)，，直線l的方程為，即．
當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為，∴直線l的方程為．
故所求直線l的方程為或．
5．（2022·江蘇·高二）兩平行直線，分別過，.
(1)，之間的距離為5，求兩直線方程；
(2)若，之間的距離為d，求d的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
(1)當(dāng)，斜率不存在時(shí)，易知，，之間的距離為1，不合題意；
當(dāng)，斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則，化為一般式得，，由，之間的距離為5，可得，
解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
故兩直線方程為或.
(2)
如圖：當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到和垂直時(shí)，，之間的距離d最大為，當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到和重合時(shí)，距離為0，
又兩平行直線，不重合，故.
重點(diǎn)題型四：圓的方程
1．（2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，.
(1)求線段的垂直平分線方程；
(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1)(2)
(1)解：由點(diǎn)，，可得的中點(diǎn)為，且，
由圓的性質(zhì)得，所以，可得，
所以線段的垂直平分線的方程是，即.
(2)解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，
由圓的性質(zhì)，可得圓心在直線上，所以，即圓心，
又由，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求滿足下列條件的圓的方程，并畫出圖形：
(1)經(jīng)過點(diǎn)和，圓心在x軸上；
(2)經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，圓心為點(diǎn)；
(3)經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上；
(4)經(jīng)過，，三點(diǎn)．
【答案】(1)，圖形見解析；
(2)，圖形見解析；
(3)，圖形見解析；
(4)，圖形見解析.
(1)圓心在x軸上，設(shè)圓的方程為：，
將點(diǎn)代入圓的方程，
得，解得，
所以圓的方程為：，其圖形如下：
(2)圓心為點(diǎn)，設(shè)圓的方程為：，
由，解得，
即直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)閳A過交點(diǎn)，所以，解得，
所以圓的方程為：，其圖形如下：
(3)設(shè)圓的方程為：，
圓心坐標(biāo)為，在直線上，所以①，
又圓過點(diǎn)，
所以②，③，
聯(lián)立①②③，得，
所以圓的方程為：，其圖形如下：
(4)設(shè)圓的方程為：，
因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，
則，解得，
所以圓的方程為：，
即，其圖形如下：
3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求圓的方程：
(1)圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上；
(2)圓經(jīng)過，，三點(diǎn).
【答案】(1)(2)
(1)的中點(diǎn)為，直線的斜率為，
線段的中垂線方程為，即．
聯(lián)立方程組，解得，，即所求圓的圓心，
圓的半徑，
圓的方程為．
(2)設(shè)圓的方程為，
圓過點(diǎn)，，，
解得，，，
圓的方程為．
4．（2022·吉林·撫松縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，．
(1)求經(jīng)過兩邊AB和AC的中點(diǎn)的直線的方程；
(2)求的外接圓方程．
【答案】(1)(2)
(1)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的斜率，將代入得直線方程為：，即
(2)設(shè)圓的一般方程為，將三點(diǎn)代入得：
解得： ，所以圓方程為：，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：
重點(diǎn)題型五：直線與圓的位置關(guān)系
1．（2022·浙江·溫州中學(xué)高二期末）已知直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以圓心到直線的距離，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B.
2．（2022·江蘇鹽城·高二期末）已知直線與圓相切，則實(shí)數(shù)a的值為_________．
【答案】
解：由題可得圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以圓心到直線的距離，
即，解得.
故答案為：.
3．（2022·貴州·遵義四中高二期末）已知直線l：x -y+2=0，一個(gè)圓的圓心C在x軸正半軸上，且該圓與直線l和y軸均相切．
(1)求該圓的方程；
(2)若直線x+ my -1=0與圓C交于 A、B兩點(diǎn)，且|AB|=，求m的值．
【答案】(1)(2)0
(1)設(shè)圓心為，，
則由題意得：，
解得：或（舍去），
故該圓的方程為
(2)圓心到直線的距離為，
由垂徑定理得：，
解得：
4．（2022·廣東深圳·高二期末）已知圓C：的半徑為1．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長．
【答案】(1)；(2)直線l與圓C相交，.
(1)將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：
．
因?yàn)閳AC的半徑為1，所以，得．
(2)由（1）知圓C的圓心為，半徑為1．
設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，
所以直線l與圓C相交，設(shè)其交點(diǎn)為A，B，則，即．
5．（2022·重慶復(fù)旦中學(xué)高二開學(xué)考試）已知圓經(jīng)過，，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線：與圓無公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(1)∵圓心C在直線，
∴可設(shè)圓心坐標(biāo)為，
∵圓C經(jīng)過，，
∴即，解得
∴圓心坐標(biāo)為，半徑
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)∵圓心C到直線l的距離且直線l圓C無公共點(diǎn)，
∴即，解得，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為；
綜上，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，.
重點(diǎn)題型六：切線和切線長問題
1．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測）過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
由圓心為，半徑為，
斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，則，可得，
所以，即，
斜率不存在時(shí)，顯然不與圓相切；
綜上，切線方程為.
故選：C
2．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
看作圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的直線的斜率的相反數(shù).
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的直線與上半圓相切時(shí)，切線斜率最小，
設(shè)切線方程為，所以圓心到切線的距離等于半徑，故，解得 故當(dāng)時(shí)，切線斜率最小，此時(shí)最大，最大值為，
故選：C
3．（2022·天津河北·高二期末）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，不與圓相切，
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即
所以，解得或
所以切線的方程為或
故選：C
4．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長為______．
【答案】2
將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，則圓心，半徑1，
如圖，設(shè)，，切線長．
故答案為：2
5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）從點(diǎn)引圓的切線，則切線長是__________．
【答案】
因?yàn)閳A的方程為，所以圓心，半徑，
所以，所以切線長，故答案為．
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求通過圓上的一點(diǎn)所作該圓的切線方程．
【答案】
因?yàn)閳A的圓心為，
所以，則過點(diǎn)的切線斜率為，
所以在點(diǎn)處圓的切線方程為，
即.
7．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高二階段練習(xí)（理））已知圓的圓心在第一象限內(nèi)，圓關(guān)于直線對稱，與軸相切，被直線截得的弦長為.
(1)求圓的方程；
(2)若點(diǎn)，求過點(diǎn)的圓的切線方程.
【答案】(1)(2)或
(1)由題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
圓關(guān)于直線對稱，
圓與軸相切：…①
點(diǎn)到的距離為：，
圓被直線截得的弦長為，，
結(jié)合①有：，，
又，，，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足題意
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則方程為.
又圓C的圓心為，半徑，
由 ，
解得.
所以直線方程為，即
即 直線的方程為或.
重點(diǎn)題型七：弦長問題
1．（2022·天津紅橋·高二學(xué)業(yè)考試）已知圓：，直線：.
(1)求圓的圓心及半徑；
(2)求直線被圓截得的弦的長度.
【答案】(1)， (2)
(1)解：圓：整理得，
圓心，半徑為；
(2)解：圓心到直線：的距離，
所以弦的長度.
2．（2022·江蘇·高二）已知三點(diǎn)在圓C上，直線，
(1)求圓C的方程;
(2)判斷直線與圓C的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓C截得的弦長．
【答案】(1)
(2)直線與圓C相交，弦長為
(1)設(shè)圓C的方程為:，
由題意得:，
消去F得: ，解得: ，
∴ F=-4，
∴圓C的方程為:.
(2)由（1）知: 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:，圓心，半徑;
點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓C相交，
故直線被圓C截得的弦長為
3．（2022·上海市復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知圓C：，其中．
(1)已知圓C與圓：外切，求m的值；
(2)如果直線與C相交所得的弦長為，求m的值．
【答案】(1)；(2).
(1)解：由圓，可得，
則圓心，半徑，
由圓，可得圓心，半徑，
因?yàn)閮蓤A外切，
則，
解得．
(2)解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．
圓心到直線的距離，
又直線與圓相交所得的弦長為，
，解得．
的值為．
4．（2022·遼寧·高三期中）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求線段的垂直平分線方程；
(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(3)若過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
【答案】(1)(2)(3)或
(1)設(shè)的中點(diǎn)為，則．
由圓的性質(zhì)，得，所以，得.
所以線段的垂直平分線的方程是.
(2)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，
由（1）得直線的方程為，
由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡得，
所以圓心，，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(3)由（1）設(shè)為中點(diǎn)，則，得，
圓心到直線的距離，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程，此時(shí)，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程，即，
由題意得，解得；
故直線的方程為，
即；
綜上直線的方程為或.
5．（2022·江蘇南通·高二期末）已知圓，點(diǎn).
(1)若，半徑為的圓過點(diǎn)，且與圓相外切，求圓的方程；
(2)若過點(diǎn)的兩條直線被圓截得的弦長均為，且與軸分別交于點(diǎn)、，，求.
【答案】(1)或(2)
(1)解：設(shè)圓心，圓的圓心為，
由題意可得，解得或，
因此，圓的方程為或.
(2)解：若過點(diǎn)的直線斜率不存在，則該直線的方程為，
圓心到直線的距離為，不合乎題意.
設(shè)過點(diǎn)且斜率存在的直線的方程為，即，
由題意可得，整理可得，
設(shè)直線、的斜率分別為、，
則、為關(guān)于的二次方程的兩根，
，
由韋達(dá)定理可得，，
在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)
在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，
所以，，解得.
重點(diǎn)題型八：圓與圓的位置關(guān)系
1．（2022·福建福州·高二期末）圓與圓的位置關(guān)系為 （ ）
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離
【答案】C
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
兩圓的圓心距為 ，即圓心距等于兩圓半徑之和，
故兩圓外切，
故選：C.
2．（2022·四川雅安·高二期末（理））圓：與圓：的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切 B．外切
C．相交 D．外離
【答案】A
圓：的圓心，，
圓：的圓心，，
則，
所以圓與圓內(nèi)切.
故選：A
3．（2022·江蘇·高二）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓關(guān)于直線對稱，則圓與圓的位置關(guān)系為______．
【答案】相交
由圓的方程知其圓心，半徑；
由圓的方程知其圓心，半徑；
圓關(guān)于直線對稱，
直線過圓心，即，解得：，
圓心，；
兩圓圓心距，則，
又，，，即，
圓與圓相交.
故答案為：相交.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：和：恰好有三條公切線，則的取值范圍是___________.
【答案】
由題意，：的方程可化為，
故是以圓心為，半徑為2的圓；
因?yàn)閳A和圓恰好有三條公切線，所以圓和圓相外切，
又因?yàn)閳A：，所以圓的圓心為，半徑為1，
從而，化簡得，，
即為上一點(diǎn)，
不妨令
由兩點(diǎn)間距離公式可知，可表示為上一點(diǎn)到的距離，
因?yàn)槭且詧A心為，半徑為3的圓，
所以圓心到的距離為，
故的最大值為，最小值為，
從而，
因?yàn)椋?br/>所以，即的取值范圍是.
故答案為：.
5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在圓上，則圓與圓的位置關(guān)系是______．
【答案】外切
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，
所以．
圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
則圓心距，所以兩圓外切．
故答案為：外切
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，則4a2＋b2＝________．
【答案】1
圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圓C2：x2＋(y－b)2＝1，
|C1C2|＝.
因?yàn)閮蓤A只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，
所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.
故答案為：1．
重點(diǎn)題型九：兩圓公共線方程和公共弦長
1．（2022·重慶復(fù)旦中學(xué)高二開學(xué)考試）圓與圓的公共弦所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
圓的圓心為，半徑為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
因?yàn)椋瑒t，
所以，圓與圓相交，
將兩圓方程作差得，即.
因此，兩圓的相交弦所在直線的方程為.
故選：A.
2．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）已知圓：和圓：，則（ ）
A．公共弦長為 B．公共弦長為
C．公切線長 D．公切線長
【答案】B
因?yàn)閳A的圓心為，半徑；對圓，其圓心為，半徑，
圓心距，又，故兩圓相交，設(shè)交于兩點(diǎn).
故所在直線方程為：，
整理得：，故到直線的距離，
故.
故選：B.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓與圓公共弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
將兩圓的方程相減得到兩個(gè)圓公共弦所在直線方程為
故選：D.
4．（2022·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）若圓與圓相交，且公共弦長為，則__________.
【答案】
圓與圓的方程相減即為公共弦所在直線方程：
，
圓圓心(0，0)到公共弦距離d＝，
則公共弦長度為，解得a＝．
故答案為：．
5．（2022·天津·靜海一中高二期末）若圓C：與圓D2的公共弦長為，則圓D的半徑為___________.
【答案】
根據(jù)得公共弦方程為：.
因?yàn)楣蚕议L為，所以直線過圓的圓心.
所以，解得.
故答案為：
6．（2022·天津河西·二模）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，則________．
【答案】
將和兩式相減：
得過兩點(diǎn)的直線方程： ，
則圓心到的距離為，
所以 ，
故答案為：
7．（2022·天津河?xùn)|·二模）圓與圓的公共弦長為________．
【答案】
兩圓方程相減得，即，
原點(diǎn)到此直線距離為，圓半徑為，
所以所求公共弦長為．
故答案為：．
重點(diǎn)題型十：與圓有關(guān)的最值問題
1．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
圓即為：，
其圓心為（3，4），半徑為1，
設(shè)AB的中點(diǎn)為M，
因?yàn)辄c(diǎn)，，
所以M（0，0），
以AB為直徑的圓的方程為：，
，
若圓上存在點(diǎn)，使得，
則圓C與圓M有公共點(diǎn)，即，
解得，
所以實(shí)數(shù)的最大值是6.
故選：C
2．（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知圓過點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的最大值為（ ）
A．100 B．25 C．50 D．
【答案】D
設(shè)圓的方程為，將代入可得，
，解得.
故圓的一般方程為，即，
故的面積.
面積的最大值為.
故選：.
3．（2021·安徽滁州·高二期中）已知，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q在圓C：上，則的最小值是______．
【答案】8
因?yàn)閳AC：，故圓C是以為圓心，半徑的圓，
則圓心到直線的距離 ，故直線和圓相離，
點(diǎn)A坐標(biāo)滿足，A在圓外，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
故，解得，故，
則 ,
連接交圓C于Q，交直線于P,
由對稱性可知:,
當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，取等號，
故答案為：8
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：與圓：的公共弦所在直線恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)Р在直線上（，），則mn的最大值是__________.
【答案】##0.25
由圓與圓，
將兩圓的方程相減可得，
即公共弦所在的直線方程為，
又可變形為，
令，即，
則公共弦所在的直線恒過定點(diǎn)，即，
又點(diǎn)P在直線上，則，
則，
即mn的最大值為.
故答案為：.
5．（2022·江蘇·高二）已知圓：與：相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求公共弦AB所在的直線方程；
(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程；
(3)求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．
【答案】(1)x－2y＋4＝0
(2)
(3)
(1)將兩圓方程相減得x－2y＋4＝0，此即為所求直線方程．
(2)設(shè)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程為（為常數(shù)），
則圓心坐標(biāo)為；又圓心在直線y＝－x上，故，
解得，故所求方程為．
(3)由題意可知以線段AB為直徑的圓面積最小．兩圓心所在直線方程為2x＋y＋3＝0，
與直線AB方程聯(lián)立得所求圓心坐標(biāo)為，由弦長公式可知所求圓的半徑為．
故面積最小的圓的方程為．
6．（2022·江蘇·高二）已知圓，點(diǎn)分別在軸和圓上.
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系；
(2)求的最小值.
【答案】(1)外離；(2)﹒
(1)圓的圓心為(1，2)，半徑為1，圓的圓心為(3，4)，半徑為，
∵，∴兩圓外離；
(2)，
作(1，2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，
則當(dāng)、P、三點(diǎn)共線時(shí)，所求最小值為．
7．（2022·廣東揭陽·高二期末）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B；
(1)求直線AB的方程；
(2)若M為圓上的一點(diǎn)，求面積的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，
則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，
以為圓心，為直徑的圓的方程為，
由，得①，
由，得②，
①②得：．
直線的方程為；
(2)圓心 到直線的距離為
故圓上的點(diǎn)M到直線的距離的最大值為 ，
而 ,
故面積的最大值為 .
重點(diǎn)題型十一：軌跡方程
1．（2022·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記的軌跡為曲線．
(1)求的方程，并說明是什么曲線；
【答案】(1)曲線的方程為，是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓
設(shè)，
，
因?yàn)椋?br/>所以，
化簡得：．
所以曲線的方程為，
是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓．
2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，直線l滿足___________（從①l過點(diǎn)，②l斜率為2，兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.
【答案】條件選擇見解析，答案見解析.
選擇條件①，設(shè)點(diǎn)，令定點(diǎn)為P，
因直線l過點(diǎn)P，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l不過圓心C(0,0)時(shí)，則，有，
當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，圓心C是弦AB中點(diǎn)，此時(shí)，等式成立，
因此有，而，于是得，即，
由解得，，而直線與圓相切的切點(diǎn)在圓C內(nèi)，
由點(diǎn)M在圓C內(nèi)，得且，
所以AB中點(diǎn)M的軌跡方程是：(且).
選擇條件②，設(shè)點(diǎn)，
因l斜率為2，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l不過圓心C時(shí)，則，
則M的軌跡是過圓心且垂直于l的直線在圓C內(nèi)的部分（除點(diǎn)C外），
當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，圓心C是弦AB中點(diǎn)，即點(diǎn)C在點(diǎn)M的軌跡上，
因此，M的軌跡是過圓心且垂直于l的直線在圓C內(nèi)的部分，而過圓心且垂直于l的直線為，
由解得或，而點(diǎn)M在圓C內(nèi)，則有，
所以AB中點(diǎn)M的軌跡方程是：.
3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）等腰三角形的頂點(diǎn)是，底邊一個(gè)端點(diǎn)是，求另一個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程，試說明它的軌跡是什么？
【答案】（點(diǎn)和除外）；
點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓除去和兩點(diǎn)．
設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為，依題意，得，
由兩點(diǎn)間距離公式，得,
化簡，得，
因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)不共線，而的方程為，
聯(lián)立或，
故點(diǎn)C的軌跡方程為（點(diǎn)和除外）,
點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓除去和兩點(diǎn)．
4．（2022·四川·南部縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知圓的圓心在直線上，且過和兩點(diǎn).
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
(1)設(shè)圓心，則，
即，解得：，
，又圓心，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)為弦中點(diǎn)，，即，
設(shè)，則，，
，
即點(diǎn)的軌跡方程為：.
方程思想
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一直線經(jīng)過點(diǎn)，并且與點(diǎn)和的距離相等，求此直線的方程．
【答案】或
假設(shè)所求直線的斜率存在，則可設(shè)其方程為，即．
由題設(shè)有：，即，解得，則直線方程．
又所求直線的斜率不存在時(shí)，方程為，適合題意．∴所求直線的方程為或．
2．（2022·湖北·高二期末）已知圓C：，直線l恒過點(diǎn)
(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；
(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且時(shí)，求l的方程.
【答案】(1)或
(2)或
(1)由題意可知，圓C的圓心為，半徑，
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即l的方程為時(shí)，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線l的方程為，
化為一般式：，若直線l與圓相切，
則，即，解得，
：，即l：，
綜上，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，直線l的方程為或；
(2)由題意可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，
直線l的方程為，即，
設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，
由垂徑定理可得，，即，
整理得，，解得或，
則直線l的方程為或
3．（2022·江蘇·高二）已知直線：（）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】證明見解析，
證明：原方程整理為，則由得
所以點(diǎn)坐標(biāo)為．
4．（2022·全國·高二期中）直線：上的一點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離相等，試求點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】
易得在的垂直平分線上，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則的垂直平分線斜率為，
則方程為，即，由解得所以點(diǎn)坐標(biāo)為．
函數(shù)思想
1．（2022·廣東韶關(guān)·高二期末）已知圓：，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其圓心,半徑.
過點(diǎn)P引圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B,如圖：
在△PAC中,有，即，變形可得：.
設(shè)，則.
所以當(dāng)?shù)闹导磝最小時(shí)，的值最大，此時(shí)最小.
而的最小值為點(diǎn)C到直線的距離，即，
所以.
故選：B
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線-1），動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為______，若的對稱中心為與交于兩點(diǎn)，則的方程為面積的最大值為______．
【答案】
設(shè)，由題意得，
化簡得的方程為，；
直線的方程可化為，由
解得， 所以直線過定點(diǎn)，
又 ，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部；
作直線，垂足為，
設(shè)，易求，所以，
所以，
所以，
所以當(dāng)，即時(shí)，；
故答案為：， .
數(shù)形結(jié)合思想
1．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
看作圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的直線的斜率的相反數(shù).
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的直線與上半圓相切時(shí)，切線斜率最小，
設(shè)切線方程為，所以圓心到切線的距離等于半徑，故，解得 故當(dāng)時(shí)，切線斜率最小，此時(shí)最大，最大值為，
故選：C
2．（2021·河北省鹽山中學(xué)高二期中）已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
∵圓的方程為，
過點(diǎn)作圓的切線方程，設(shè)切線方程為，即.
則，解得：.
則的取值范圍為.
故選：C.
3．（2019·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】A
表示圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.
由圖可知，當(dāng)過的直線與圓相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最值；
設(shè)過且與圓相切的直線方程為，即，
因此，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得：
，解得.
所以.
故選A
分類討論思想
1．（2022·江蘇·高二）已知圓C的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切，直線過點(diǎn)．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與圓C相切，求直線的方程．
(3)若直線被圓C所截得的弦長為，求直線的方程．
【答案】(1)(2)，或(3)或
(1)圓心到直線的距離，
所以圓的半徑為，
所以；
(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，圓心到直線的距離為，不相切．
直線斜率存在，設(shè)直線，
由，得所以切線方程為，或．
(3)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，直線被圓所截得的弦長為，符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，
由，解得：，
故的方程是，即，
綜上所述，直線的方程為或
2．（2021·福建·晉江市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知過點(diǎn)且斜率為的直線與圓交于、兩點(diǎn).
(1)求斜率的取值范圍；
(2)過作圓的切線，求切線方程.
【答案】(1)(2)或
(1)直線的方程為：即，
由得圓心，半徑．直線與圓相交得，
即，解得，所以斜率的取值范圍為.
(2)當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)切線為，圓心，
圓心到直線距離，因?yàn)椋源藭r(shí)直線與圓相切；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為：，直線與圓相切，
則圓心到直線距離，所以，解得，
所以切線方程為，
綜上所述滿足條件的切線方程為：或.
3．（2022·四川·成都實(shí)外高二階段練習(xí)（理））已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，-1），和直線x+y=1相切，且圓心在直線y=-2x上.
(1)求圓C的方程；
(2)已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程
【答案】(1)；(2)x=0 或 3x+4y=0.
(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a，－2a)，
則＝.
化簡，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，
半徑r＝|AC|＝＝.
故圓C的方程為.
(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=0，此時(shí)直線l被圓C截得的弦長為2，滿足條件.
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y=kx，
由題意得，解得，
∴直線l的方程為，即3x+4y=0.
綜上所述，直線l的方程為 x=0 或 3x+4y = 0.
轉(zhuǎn)化與化歸思想
1．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
看作圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的直線的斜率的相反數(shù).
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的直線與上半圓相切時(shí)，切線斜率最小，
設(shè)切線方程為，所以圓心到切線的距離等于半徑，故，解得 故當(dāng)時(shí)，切線斜率最小，此時(shí)最大，最大值為，
故選：C
2．（2022·全國·高二）已知實(shí)數(shù)a，b滿足4a-2b+3=0，則的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
實(shí)數(shù)a，b滿足4a-2b+3=0，則的幾何意義是直線上的點(diǎn)到A（2，-2）與B（1，1）距離之和的最小值，
設(shè)B（1，1）關(guān)于4a-2b+3=0的對稱點(diǎn)為B′（x，y），
可得，解得x=-1，y=2，B′（-1，2）
所以的最小值為：．
故選：B．
3．（2022·全國·高二）設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
，
所以表示直線上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，
所以最小值為.
故選：C.
4．（2022·上海虹口·高二期末）已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．
【答案】2
可以理解為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
又∵點(diǎn)在直線上，
∴的最小值等于點(diǎn)到直線的距離，
且.
故答案為：.

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