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第三章 圓錐曲線的方程 章末總結(jié)（精講）
目錄
第一部分：知識(shí)框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：圓錐曲線的定義
重點(diǎn)題型二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
重點(diǎn)題型三：圓錐曲線的幾何性質(zhì)
重點(diǎn)題型四：橢圓、拋物線中的離心率問題
重點(diǎn)題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
重點(diǎn)題型六：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題
重點(diǎn)題型七：圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題
重點(diǎn)題型八：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題
重點(diǎn)題型九：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題
重點(diǎn)題型十：圓錐曲線中的定值問題
重點(diǎn)題型十一：圓錐曲線中的定直線問題
重點(diǎn)題型十二：圓錐曲線中的向量問題
重點(diǎn)題型一：圓錐曲線的定義
1．設(shè)為定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段
2．若橢圓上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
4．已知A（0，－4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，當(dāng)a＝3和4時(shí)，點(diǎn)P軌跡分別為（　?。?br/>A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和兩條射線
C．雙曲線一支和一條直線 D．雙曲線一支和一條射線
5．動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．兩條射線 D．一條射線
6．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡應(yīng)為（ ）
A．橢圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．圓
7．雙曲線上一點(diǎn)與它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于___________.
重點(diǎn)題型二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為8，離心率為2，則該雙曲線的方程為（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．已知拋物線y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（x0，2），若點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為3，則該拋物線的方程為（ ）
A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x
二、解答題
4．求以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，2）和B（，）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
5．（1）求以（-4，0），（4，0）為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）已知雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10，雙曲線的漸近線方程為，求雙曲線的方程．
6．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在軸上，虛軸長(zhǎng)為，離心率為；
(2)頂點(diǎn)間的距離為，漸近線方程為．
7．根據(jù)下列條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，焦點(diǎn)在x軸上；
(2)經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．
8．回答下列各題.
(1)求經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求經(jīng)過點(diǎn)，且與有相同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
9．求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：
(1)過點(diǎn)；
(2)焦點(diǎn)在直線上.
重點(diǎn)題型三：圓錐曲線的幾何性質(zhì)
1．線段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，｜PM｜的最小值是（ ）
A．5 B． C．2 D．
2．過雙曲線的右支上的一點(diǎn)P分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（ ）
A．4 B． C．6 D．
4．已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為___________.
5．已知為橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為_________．
6．已知橢圓，點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為____.
7．雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為___________.
8．已知圓C: ，點(diǎn)在拋物線T：上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)引直線，與圓C相切，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為__________.
9．已知拋物線上距離點(diǎn)最近的點(diǎn)恰好是其頂點(diǎn)，則的取值范圍是_____________.
10．拋物線E：與圓M：交于A，B兩點(diǎn)，圓心，點(diǎn)P為劣弧上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于y軸的直線PN交拋物線于點(diǎn)N，則的周長(zhǎng)的取值范圍是______.
重點(diǎn)題型四：橢圓、拋物線中的離心率問題
1．已知橢圓，焦距為，以點(diǎn)O為圓心，b為半徑作圓O，若過點(diǎn)作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．設(shè)分別為橢圓的左 右焦點(diǎn)，若在直線（c為半焦距）上存在點(diǎn)P，使的長(zhǎng)度恰好為橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．已知橢圓，點(diǎn)C在橢圓上，以C為圓心的圓與y軸相切于橢圓的上焦點(diǎn)，若圓C與x軸相交于M，N兩點(diǎn)，且為直角三角形，則橢圓的離心率為（）
A． B． C． D．
4．圓上有四個(gè)點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則雙曲線E的離心率的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為， ，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn).點(diǎn)滿足，且，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C．2 D．
6．（多選）設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足，則曲線C的離心率可以是（ ）
A． B． C． D．2
7．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為______．
8．設(shè)雙曲線的焦距長(zhǎng)為，直線過點(diǎn)、兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為___________.
9．已知斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則雙曲線C的離心率為___________.
重點(diǎn)題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1．已知橢圓，直線，那么直線與橢圓位置關(guān)系（　?。?br/>A．相交 B．相離 C．相切 D．不確定
2．若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．過點(diǎn)的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線的條數(shù)是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是___________．
6．若直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_______
7．直線與焦點(diǎn)在軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，求的取值范圍．
8．已知雙曲線及直線.若直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
重點(diǎn)題型六：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題
1．已知雙曲線方程，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．直線與雙曲線的同一支相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
4．直線l交雙曲線 于A、B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的值為
A． B． C． D．
6．已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，則直線斜率是______________
7．已知拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的公共點(diǎn)是，則直線的斜率__________．
8．已知雙曲線方程為，求以為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程.
重點(diǎn)題型七：圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題
1．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知橢圓x2+4y2＝16，直線l過點(diǎn)其左焦點(diǎn)F1，且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若直線l的斜率是1，則弦長(zhǎng)|AB|＝__．
3．設(shè)橢圓過點(diǎn)，離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)且斜率為的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)度．
4．給定橢圓，稱圓為橢圓E的“伴隨圓”．已知橢圓E中，離心率為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，與其“伴隨圓”交于C、D兩點(diǎn)，．
①請(qǐng)將用含有k的關(guān)系式表示（不需給出k的范圍）；
②求弦長(zhǎng)的最大值．
5．已知雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，離心率，虛軸長(zhǎng)為.
(1)求的方程；
(2)過右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于 兩點(diǎn)，求.
6．直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于，求弦的長(zhǎng)．
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．
8．已知雙曲線：的一條漸近線的傾斜角為，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求．
重點(diǎn)題型八：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題
1．已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)M與N作平行直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值．
2．已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓C的方程：
(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為F，直線DF與x軸相交于點(diǎn)G，求的面積的取值范圍.
3．已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)在第二象限，，求△的面積．
4．已知P是圓O：上一動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
(2)若A是橢圓E的右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F且斜率為的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，求△AMN的面積.
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)雙曲線C1以橢圓C2：1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C2的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)．
(1)求C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過（0，1）的直線l與C1的右支相切，且與C2交于點(diǎn)M，N，求 OMN的面積．
6．已知雙曲線的一條漸近線方程是，焦距為4.
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線過雙曲線的右焦點(diǎn)與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.
7．已知拋物線C： 的焦點(diǎn)為F，并且經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過原點(diǎn)O作傾斜角為 的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，求 的面積．
8．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)F與拋物線E：的焦點(diǎn)相同，曲線C的離心率為，為E上一點(diǎn)且．
(1)求曲線C和曲線E的方程；
(2)若直線l：交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，1交y軸于點(diǎn)R．求三角形POQ面積的最大值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
9．已知直線是拋物線的準(zhǔn)線，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是上一點(diǎn)，過作，垂足為，已知.
(1)求的方程；
(2)直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，若，求的面積.
10．已知拋物線E：（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若過焦點(diǎn)F的動(dòng)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作拋物線的切線、，且、的交點(diǎn)為Q，、與y軸的交點(diǎn)分別為M、N．求面積的取值范圍．
重點(diǎn)題型九：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題
1．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，左頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為．
(1)求橢圓的方程
(2)設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求證：經(jīng)過定點(diǎn)．
2．已知橢圓：的焦距為，圓：經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓與圓的方程；
(2)若直線：與橢圓C交于點(diǎn)A，B，其中，問：是否為定值 若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．
3．已知點(diǎn)，點(diǎn)P是圓B：上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線BP交于點(diǎn)Q．
(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程C；
(2)過點(diǎn)A的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)E在x軸上且使得對(duì)任意直線l，OE都平分．求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
4．已知離心率為的雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)、在軸上，雙曲線的右支上一點(diǎn)使且的面積為1．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線：與雙曲線相交于、兩點(diǎn)（、不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過雙曲線的右頂點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
5．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓M：(x+4)2+y2＝1上點(diǎn)的距離的最大值為1．
(1)求p；
(2)已知直線l：y＝kx+4與C相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作平行于y軸的直線BD交直線l'：y＝﹣4于點(diǎn)D．問：直線AD是否過y軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，試說明理由．
6．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若拋物線C上一點(diǎn)P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；
(3)若不過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：直線l過定點(diǎn)．
重點(diǎn)題型十：圓錐曲線中的定值問題
1．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值；若不存在，試說明理由.
2．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：直線，的斜率之積為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)的軌跡為．直線過拋物線的焦點(diǎn)且與相交于不同的兩點(diǎn)，．在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得的值為定值？若存在，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
3．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為.動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與軸交于點(diǎn)，的面積分別為，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
4．已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)T(2，0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線MA斜率為，直線NB斜率為，求證：為定值．
5．已知雙曲線的漸近線方程為：，且過點(diǎn)
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）過右焦點(diǎn)且斜率不為的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，求
6．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離．
(1)求C的方程；
(2)點(diǎn)、在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
7．已知曲線E上的點(diǎn)到的距離比它到直線的距離小1.
(1)求曲線E的方程；
(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)F，與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB，PC的斜率分別為，，，求證：為定值，并求出該定值.
重點(diǎn)題型十一：圓錐曲線中的定直線問題
1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的離心率，且過點(diǎn)，A，B分別是C的左、右頂點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)已知過點(diǎn)的直線交C于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），試證直線MA與直線NB的交點(diǎn)在定直線上．
2．已知橢圓的左 右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)）在橢圓上，直線與的斜率之積為，且橢圓的焦距為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線與橢圓交于，（其橫坐標(biāo)）兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，試問點(diǎn)是否在定直線上？若在，請(qǐng)給予證明，并求出定直線方程；若不在，請(qǐng)說明理由.
3．已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn).
（1）若，求直線的方程；
（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.
4．如圖所示，P（在函數(shù)的左邊）與Q（在函數(shù)的右邊）分別為函數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為該拋物線的焦點(diǎn)．
（1）若P的坐標(biāo)為（-2，t），連接PF交拋物線另一點(diǎn)于H點(diǎn)，求H點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）記PQ直線為m，其在y軸上的截距為6，過P作拋物線的切線，交拋物線的準(zhǔn)線于M點(diǎn)，連接QF，若QF恰好經(jīng)過M點(diǎn)，求直線m的方程．
5．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，直線的斜率為.
（1）求拋物線的方程；
（2）在線段上取點(diǎn)，滿足，，證明：點(diǎn)總在定直線上.
6．已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離為3，過拋物線外一動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且切點(diǎn)弦恒過點(diǎn).
（1）求和；
（2）求證：動(dòng)點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng).
重點(diǎn)題型十二：圓錐曲線中的向量問題
1．已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A作傾斜角為的直線與C相交于A，B，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓的離心率e；
(2)若，過點(diǎn)F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．
①求的值；
②點(diǎn)M滿足，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，若，求的值．
2．設(shè)，，分別為橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，到直線的距離為．
(1)求橢圓的焦距；
(2)如果，求橢圓的方程．
3．已知橢圓的焦距為為C上不同的三點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與的斜率之積為．
(1)求C的方程；
(2)已知直線過點(diǎn)，與C交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．
4．已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過的直線與雙曲線交于不同兩點(diǎn)、.
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的取值范圍（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
5．已知雙曲線C的方程為（），離心率為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
6．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)F與拋物線E：的焦點(diǎn)相同，曲線C的離心率為，為E上一點(diǎn)且.
(1)求曲線C和曲線E的方程；
(2)若直線l：交曲線C于P Q兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)R.
（i）求三角形POQ面積的最大值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（ii）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
7．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn)．
第三章 圓錐曲線的方程 章末總結(jié)（精講）
目錄
第一部分：知識(shí)框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：圓錐曲線的定義
重點(diǎn)題型二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
重點(diǎn)題型三：圓錐曲線的幾何性質(zhì)
重點(diǎn)題型四：橢圓、拋物線中的離心率問題
重點(diǎn)題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
重點(diǎn)題型六：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題
重點(diǎn)題型七：圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題
重點(diǎn)題型八：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題
重點(diǎn)題型九：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題
重點(diǎn)題型十：圓錐曲線中的定值問題
重點(diǎn)題型十一：圓錐曲線中的定直線問題
重點(diǎn)題型十二：圓錐曲線中的向量問題
重點(diǎn)題型一：圓錐曲線的定義
1．設(shè)為定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段
【答案】D
因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段，
故選：D
2．若橢圓上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
由橢圓方程知：.根據(jù)橢圓的定義有.
因?yàn)椋?br/>所以.
故選：D
3．若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.
故選：A
4．已知A（0，－4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，當(dāng)a＝3和4時(shí)，點(diǎn)P軌跡分別為（　?。?br/>A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和兩條射線
C．雙曲線一支和一條直線 D．雙曲線一支和一條射線
【答案】D
∵A(0,－4)，B（0，4），
∴|AB|＝8，
又|PA|－|PB|＝2a，
∴當(dāng)a＝3時(shí)，|PA|－|PB|＝6＜8，由雙曲線定義可得點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的上支；
當(dāng)a＝4時(shí)，|PA|－|PB|＝8，
∴點(diǎn)P的軌跡為y軸上的以點(diǎn)B為端點(diǎn)的方向向上的射線；
故選：D．
5．動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．兩條射線 D．一條射線
【答案】D
由已知，，所以點(diǎn)的軌跡是一條以為端點(diǎn)向軸正方向的射線.
故選：D.
6．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡應(yīng)為（ ）
A．橢圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．圓
【答案】B
動(dòng)點(diǎn)滿足，
可知：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線距離相等，
其中定點(diǎn)不在定直線上.因此P點(diǎn)的軌跡應(yīng)為拋物線.
故選：B.
7．雙曲線上一點(diǎn)與它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于___________.
【答案】17
由雙曲線的方程可得實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，故.
因?yàn)辄c(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，而，
故點(diǎn)與該焦點(diǎn)同在軸的上方或下方，
故點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，
故答案為：.
重點(diǎn)題型二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為8，離心率為2，則該雙曲線的方程為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
由題意可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)殡p曲線的焦距為8，則2c＝8，所以c＝4，
又雙曲線的離心率為，
所以a＝2，則，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B．
2．若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題意拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故 ，
拋物線方程即，
故 ，
故選：C
3．已知拋物線y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（x0，2），若點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為3，則該拋物線的方程為（ ）
A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x
【答案】D
∵拋物線y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（x0，2），
∴，可得.
又點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為3，
∴，解得p＝2或p＝4.
則該拋物線的方程為 y2＝4 x或 y2 ＝ 8x.
故選：D.
二、解答題
4．求以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，2）和B（，）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】.
令橢圓方程為，
所以，可得，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
5．（1）求以（-4，0），（4，0）為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）已知雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10，雙曲線的漸近線方程為，求雙曲線的方程．
【答案】【小問1】
【小問2】
（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
又橢圓過點(diǎn)，將x=3，y=代入方程得，
解得λ=11或(舍去).
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)焦距為2c，
∴，解得，
∴該雙曲線的方程為．
6．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在軸上，虛軸長(zhǎng)為，離心率為；
(2)頂點(diǎn)間的距離為，漸近線方程為．
【答案】(1)
(2)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的方程為；焦點(diǎn)在軸上雙曲線的方程為
(1)解：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為1，
因?yàn)樘撦S長(zhǎng)為，離心率為，可得，解得，
所以雙曲線的方程為．
(2)解：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為1，
因?yàn)轫旤c(diǎn)間的距離為，漸近線方程為，
可得，解得，所以雙曲線的方程為；
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在 軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為1，
因?yàn)轫旤c(diǎn)間的距離為，漸近線方程為，
可得，解得，所以雙曲線的方程為.
7．根據(jù)下列條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，焦點(diǎn)在x軸上；
(2)經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．
【答案】(1)；(2).
(1)因雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，則設(shè)所求雙曲線的方程為，
而雙曲線過點(diǎn)，則有，解得，
所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)所求雙曲線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則設(shè)所求雙曲線的方程為，
而此雙曲線過點(diǎn)，于是有，解得或（舍去），
所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
8．回答下列各題.
(1)求經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求經(jīng)過點(diǎn)，且與有相同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1)或(2)
(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，
所以經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸或軸的負(fù)半軸，
當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸時(shí)，設(shè)拋物線的方程為，
將點(diǎn)代入得，解得，
所以拋物線的方程為，
當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸時(shí)，設(shè)拋物線的方程為，
將點(diǎn)代入得，解得，
所以拋物線的方程為，
綜上所述，經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；
(2)解：橢圓的焦點(diǎn)為，
可設(shè)所求橢圓方程為，
將點(diǎn)代入得：
，
整理得，解得或（舍去），
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
9．求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：
(1)過點(diǎn)；
(2)焦點(diǎn)在直線上.
【答案】(1)拋物線方程或，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是， .
(2)拋物線的方程為或，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.
(1)設(shè)所求的拋物線方程為或，
因?yàn)檫^點(diǎn)，所以或，所以或.
所以所求的拋物線方程為或，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是或.
(2)令得，令得，
所以拋物線的焦點(diǎn)為或.當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，，
所以，此時(shí)拋物線方程；焦點(diǎn)為時(shí)，，
所以，此時(shí)拋物線方程為.
所以所求的拋物線的方程為或，
對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.
重點(diǎn)題型三：圓錐曲線的幾何性質(zhì)
1．線段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，｜PM｜的最小值是（ ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】B
若以為原點(diǎn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
由，則，若，
故軌跡是以為焦點(diǎn)，焦距為4，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，且軌跡方程為，
所以|PM|的最小值是.
故選：B
2．過雙曲線的右支上的一點(diǎn)P分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，
．
故選：B
3．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
由雙曲線的對(duì)稱性可得點(diǎn)Q在雙曲線的左支上，且，
由可知，，
∴.
故選：C.
4．已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為___________.
【答案】##
不妨設(shè)點(diǎn)為，，則，則
設(shè)圓的圓心為，則坐標(biāo)為
則的最小值，即為的最小值與圓的半徑之差.
又
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；
故.
故答案為：.
5．已知為橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為_________．
【答案】[1,3]
由題意，，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以的范圍?
故答案為：.
6．已知橢圓，點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為____.
【答案】
設(shè)點(diǎn)，則，可得，其中，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.
故答案為：.
7．雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為___________.
【答案】2
設(shè)，則，即，
于是得，而，則當(dāng)時(shí)，，
所以雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為2.
故答案為：2
8．已知圓C: ，點(diǎn)在拋物線T：上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)引直線，與圓C相切，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為__________.
【答案】
如圖，連接CP，CQ，CM，依題意，，而，
而，則CM垂直平分線段PQ，于是得四邊形MPCQ的面積為面積的2倍，
從而得，即，
設(shè)點(diǎn)，而，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取“=”，，
因此得，即，得，
所以的取值范圍為.
故答案為：
9．已知拋物線上距離點(diǎn)最近的點(diǎn)恰好是其頂點(diǎn)，則的取值范圍是_____________.
【答案】
設(shè)點(diǎn)P（x，y）為拋物線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P離點(diǎn)A（0，a）的距離的平方為
|AP|2=x2+（y﹣a）2
=x2+y2﹣2ay+a2，
∵x2=2y，
∴|AP|2=2y+y2﹣2ay+a2（y≥0）
=y2+2（1﹣a）y+a2（y≥0），
∴對(duì)稱軸為a﹣1，
∵離點(diǎn)A（0，a）最近的點(diǎn)恰好是頂點(diǎn)，
∴a﹣1≤0解得a≤1，
又a＞0，
∴0＜a≤1，
故答案為：．
10．拋物線E：與圓M：交于A，B兩點(diǎn)，圓心，點(diǎn)P為劣弧上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于y軸的直線PN交拋物線于點(diǎn)N，則的周長(zhǎng)的取值范圍是______.
【答案】
如圖，可得圓心也是拋物線的焦點(diǎn)，PN交拋物線的準(zhǔn)線于H，
根據(jù)拋物線的定義，可得，故的周長(zhǎng)，
由，解得，
∵，且 ∴PH的取值范圍為，∴，
∴的周長(zhǎng)的取值范圍為.
故答案為：.
重點(diǎn)題型四：橢圓、拋物線中的離心率問題
1．已知橢圓，焦距為，以點(diǎn)O為圓心，b為半徑作圓O，若過點(diǎn)作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由題意，可得，，，
故，
在直角中，由，可得，
故，整理得，
所以，即，
所以，可得，解得.
即橢圓的離心率為.
故選：B.
2．設(shè)分別為橢圓的左 右焦點(diǎn)，若在直線（c為半焦距）上存在點(diǎn)P，使的長(zhǎng)度恰好為橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
如圖所示，橢圓，可得焦距，
因?yàn)樵谥本€上存在點(diǎn)P，使的長(zhǎng)度恰好為橢圓的焦距，
可得，即，可得，即，解得
又因?yàn)闄E圓的離心率，所以.
故選：B.
3．已知橢圓，點(diǎn)C在橢圓上，以C為圓心的圓與y軸相切于橢圓的上焦點(diǎn)，若圓C與x軸相交于M，N兩點(diǎn)，且為直角三角形，則橢圓的離心率為（）
A． B． C． D．
【答案】C
不妨設(shè)在第一象限，以C為圓心的圓與y軸相切于橢圓的上焦點(diǎn)，則，又在橢圓上，則，所以圓M的半徑，因?yàn)闉橹苯侨切?，，即，化?jiǎn)可得，即，解得．
故選：C．
4．圓上有四個(gè)點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則雙曲線E的離心率的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
雙曲線的一條漸近線為，圓，圓心，半徑為5，
因?yàn)閳AC上有四個(gè)點(diǎn)到的距離為2，
所以圓心到的距離，即，
而，所以，即．
故選：C
5．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為， ，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn).點(diǎn)滿足，且，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
因，則點(diǎn)是線段中點(diǎn)，由得，即AM垂直平分，
則有，，而，則，
又，令雙曲線的半焦距為c，在中，，，
由余弦定理得：，即，
化簡(jiǎn)得，
所以雙曲線的離心率是.
故選：C
6．（多選）設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足，則曲線C的離心率可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】AC
若曲線是橢圓則其離心率為；
若曲線是雙曲線則其離心率為；
故選：AC
7．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為______．
【答案】
設(shè)，，所以，，，
所以，，．
，則，即，解得，
由，即，所以，，則，解得．
因此，該橢圓的離心率為.
故答案為：.
8．設(shè)雙曲線的焦距長(zhǎng)為，直線過點(diǎn)、兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為___________.
【答案】
直線的方程為，即，
則原點(diǎn)到直線的距離為，
所以，，所以，，
解得或（舍去），所以.
故答案：.
9．已知斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則雙曲線C的離心率為___________.
【答案】
設(shè)，，，則，
兩式相減得，所以.
因?yàn)椋?，所?
因?yàn)?，?br/>所以，，故.
故答案為：．
重點(diǎn)題型五：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1．已知橢圓，直線，那么直線與橢圓位置關(guān)系（　?。?br/>A．相交 B．相離 C．相切 D．不確定
【答案】A
由，則，
則直線，恒過定點(diǎn)，
由，則點(diǎn)，在橢圓1內(nèi)部，
∴直線與橢圓相交．
故選：A
2．若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
根據(jù)曲線，得到，解得：；，
畫出曲線的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：
當(dāng)直線在直線的位置時(shí)，直線與橢圓相切，故只有一個(gè)交點(diǎn)，
把直線代入橢圓方程得：，得到，
即，化簡(jiǎn)得：，解得或(舍去)，
則時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)直線在直線位置時(shí)，直線與曲線剛好有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，
當(dāng)直線在直線位置時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
綜上，滿足題意得的范圍是或．
故選：D．
3．過點(diǎn)的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線的條數(shù)是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
當(dāng)不存在時(shí)，直線不滿足條件；
設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立可得 ，
即 ，
當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，方程無解，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，方程只有一解，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，
即
解得：或（舍去），
綜上可知，滿足條件的有或，共2條直線.
故選：B
4．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)方程的兩根為，
因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，
則滿足，解得，
又由，解得,
所以的取值范圍是.
故選：D.
5．關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是___________．
【答案】
表示過點(diǎn)的直線，
兩邊平方并化簡(jiǎn)得，
所以表示橢圓的上半部分.
，
由兩邊平方得，
，
令，
或（舍去）.
所以的取值范圍是.
故答案為：
6．若直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_______
【答案】
因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上的橢圓，
所以
因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且直線與橢圓總有公共點(diǎn)，
所以點(diǎn)P在橢圓上或在橢圓的內(nèi)部，
即
解得，
綜上，
故答案為：
7．直線與焦點(diǎn)在軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】
由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故
由，得，
則對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立．
因?yàn)?，所以?duì)恒成立，
故，即．
又因?yàn)?，所以?br/>8．已知雙曲線及直線.若直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】
聯(lián)立，得，
由題意，知，
解得，且.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
重點(diǎn)題型六：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題
1．已知雙曲線方程，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)、，則，
由已知得，兩式作差得，
所以，，即直線的斜率為，
故直線的斜率為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意
故選：B.
2．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
依題意，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)這條弦的兩個(gè)端點(diǎn)，
由得：，又，
于是得弦AB所在直線斜率，方程為：，即，
所以這條弦所在的直線方程是.
故選：B
3．直線與雙曲線的同一支相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
設(shè)、，線段的中點(diǎn)，
由已知，兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式做差可得，
點(diǎn)在直線上，所以，代入上式可得，
故直線的斜率為.
故選：D.
4．直線l交雙曲線 于A、B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
設(shè)，，因點(diǎn)A，B在雙曲線 上，
則，，兩式相減得：，
因P為AB中點(diǎn)，則，，于是得＝1，即直線l的斜率為1，
此時(shí)，直線l的方程為：，
由消去y并整理得：，，
即直線l與雙曲線 交于兩點(diǎn)，
所以直線l的斜率為1.
故選：D
5．已知點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的值為
A． B． C． D．
【答案】C
設(shè) 則 ，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得
兩式相減可得， 則直線的斜率
直線的方程為 即
聯(lián)立方程可得
故選C．
6．已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，則直線斜率是______________
【答案】
設(shè)的坐標(biāo)分別為 ，
則 ，
將兩式相減得：，
整理得：，
根據(jù)點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，可知 ，
，即直線斜率是 ，
故答案為：
7．已知拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的公共點(diǎn)是，則直線的斜率__________．
【答案】
設(shè)，因?yàn)椋?br/>以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的公共點(diǎn)是，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
故答案為：.
8．已知雙曲線方程為，求以為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程.
【答案】
設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)為，，則，，
根據(jù)對(duì)稱性知，由，在雙曲線上，則有，，
兩式相減得，，
過點(diǎn)且斜率的直線方程為，即，
由消去y并整理得：，，
從而得直線與雙曲線相交，
所以以為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程為.
重點(diǎn)題型七：圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題
1．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：
設(shè)，則，所以，解得，
則，.
弦長(zhǎng)|MN|.
故選：D.
2．已知橢圓x2+4y2＝16，直線l過點(diǎn)其左焦點(diǎn)F1，且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若直線l的斜率是1，則弦長(zhǎng)|AB|＝__．
【答案】##
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，其中a＝4，b＝2，
則c2，，
又由直線的斜率為1，則直線的方程為
與橢圓的方程聯(lián)立可得：
弦長(zhǎng)|AB|；
故答案為：
3．設(shè)橢圓過點(diǎn)，離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)且斜率為的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)度．
【答案】(1)(2)
(1)解：將點(diǎn)代入橢圓的方程得，所以．
又由，得，即，所以．
所以橢圓C的方程為．
(2)解：過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，
設(shè)直線與的交點(diǎn)為，，
聯(lián)立方程，消去得，
得，．
由弦長(zhǎng)公式
4．給定橢圓，稱圓為橢圓E的“伴隨圓”．已知橢圓E中，離心率為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，與其“伴隨圓”交于C、D兩點(diǎn)，．
①請(qǐng)將用含有k的關(guān)系式表示（不需給出k的范圍）；
②求弦長(zhǎng)的最大值．
【答案】(1)(2)；
(1)由題可知，，，又，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
(2)①由（1）可求“伴隨圓”為：，因?yàn)椋詧A心到直線距離為，由圓心到直線距離公式得，解得；
②聯(lián)立直線與橢圓方程，得，由得，由得，，設(shè)，則，
由弦長(zhǎng)公式可得：
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故
5．已知雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，離心率，虛軸長(zhǎng)為.
(1)求的方程；
(2)過右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于 兩點(diǎn)，求.
【答案】(1)；(2).
(1)由題意可得：，解得：，所以雙曲線的方程為.
(2)由（1）知：，所以，可得直線的方程為：，
設(shè)，，由可得：，
所以， ，
所以
，
所以弦長(zhǎng).
6．直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于，求弦的長(zhǎng)．
【答案】
直線代入拋物線，整理可得，
設(shè)，，由AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
所以4得：k＝-1或2，
當(dāng)k＝-1時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不合題意，
當(dāng)k＝2時(shí)，|AB|．
綜上，弦的長(zhǎng)為.
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．
【答案】(1)(2)
(1)解：在拋物線上，且，，則，
故拋物線的方程為；
(2)解：聯(lián)立，可得．
設(shè)，，，，則，，
．
8．已知雙曲線：的一條漸近線的傾斜角為，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求．
【答案】(1)(2)
(1)由雙曲線：的一條漸近線的傾斜角為，
，
又拋物線：的焦點(diǎn)為，則，
由已知可得：，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線l的斜率為1，直線l的方程為，
設(shè)，，
由得：，，
．
重點(diǎn)題型八：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題
1．已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)M與N作平行直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值．
【答案】(1)(2)6
(1)由題意可得，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即曲線C的方程為：；
(2)由題意可設(shè)的方程為，
聯(lián)立方程得，
設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，
所以
，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得，與的距離即為點(diǎn)M到直線的距離，為，
所以四邊形ABDE面積為，令得，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABDE面積取得最大值為6．
2．已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓C的方程：
(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為F，直線DF與x軸相交于點(diǎn)G，求的面積的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(1)解：由已知得，∴橢圓C的方程為
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，
∴，解得
∴橢圓C的方程為
(2)解：由題意知，直線的斜率存在且不為0，
設(shè)直線的方程為，，，
由，消去得，
∴，，，
∵為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
∴，直線的方程為，
即
令，則
∴，
∴的面積
，
令，則，
∴，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
∴，
∴的面積的取值范圍是
3．已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)在第二象限，，求△的面積．
【答案】(1)(2)
(1)解:∵橢圓的兩焦點(diǎn)分別為、，
∴設(shè)橢圓的方程為，，
，
．，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)解：在△中，由余弦定理得，
即，
，
，
．
4．已知P是圓O：上一動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
(2)若A是橢圓E的右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F且斜率為的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，求△AMN的面積.
【答案】(1)(2)
(1)設(shè)，，，
因?yàn)?br/>所以
從而，代入得
即為所求.
(2)由，得，
所以，,
所以過且斜率為的直線的方程為，
聯(lián)立消去x，得，
顯然，設(shè)，，
則，
∴，
∵A是橢圓E的右頂點(diǎn)，
∴，
∴△AMN的面積.
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)雙曲線C1以橢圓C2：1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C2的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)．
(1)求C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過（0，1）的直線l與C1的右支相切，且與C2交于點(diǎn)M，N，求 OMN的面積．
【答案】(1)(2)
(1)解：由題意得雙曲線a＝1，c＝2，
則b ＝c ﹣a ＝3，
所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
(2)設(shè)過（0，1）的直線l的方程為y＝kx+1，
聯(lián)立，可得（3﹣k ）x ﹣2kx﹣4＝0，
因?yàn)橹本€與雙曲線相切，
所以Δ＝4k +16（3﹣k ）＝0，
解得k＝±2，
因?yàn)橹本€l與雙曲線右支相切，
所以l方程為：y＝﹣2x+1，
聯(lián)立，可得19x ﹣16x﹣8＝0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2，x1x2，
則|MN||x1﹣x2| ，
又原點(diǎn)O到直線l的距離d，
所以 OMN的面積Sd |MN|．
6．已知雙曲線的一條漸近線方程是，焦距為4.
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線過雙曲線的右焦點(diǎn)與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(1)解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程是，
所以，即
因?yàn)榻咕酁?，所以，即
因?yàn)椋?br/>所以，
所以雙曲線的方程為
(2)解：由題知雙曲線的右焦點(diǎn)為，
故設(shè)直線的方程為，
則聯(lián)立方程得，
設(shè)，，
所以，
因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，
所以，即且，
所以，解得：且
因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
點(diǎn)到直線的方程為距離為，
所以面積為，
令，則，
所以，
因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞減函數(shù)，
所以，
所以.
所以面積的取值范圍為
7．已知拋物線C： 的焦點(diǎn)為F，并且經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過原點(diǎn)O作傾斜角為 的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，求 的面積．
【答案】(1)(2)2
(1)把點(diǎn)A（1，﹣2）代入拋物線C：，可得 ，
解得p＝2，所以拋物線C的方程為C： ；
(2)拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），過原點(diǎn)O作傾斜角為的直線l方程為y=x，
聯(lián)立，解得或．
不妨設(shè)M（0，0），N（4，4）．
則△FMN的面積為 ，
所以所求△FMN的面積為2．
8．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)F與拋物線E：的焦點(diǎn)相同，曲線C的離心率為，為E上一點(diǎn)且．
(1)求曲線C和曲線E的方程；
(2)若直線l：交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，1交y軸于點(diǎn)R．求三角形POQ面積的最大值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
【答案】(1)C：，E：(2)
(1)，橢圓C：
又，橢圓C：拋物線E：．
(2)設(shè)，
聯(lián)立
由，且，
，
原點(diǎn)O到直線l距離，
，
令，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積最大為．
9．已知直線是拋物線的準(zhǔn)線，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是上一點(diǎn)，過作，垂足為，已知.
(1)求的方程；
(2)直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，若，求的面積.
【答案】(1)(2)
(1)由題可知準(zhǔn)線的方程為.
因?yàn)?，所?
又，所以，
故的方程為.
(2)由（1）可知.
因?yàn)?，所以直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立方程組整理得，
則，故.
點(diǎn)到直線的距離，
則的面積.
10．已知拋物線E：（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若過焦點(diǎn)F的動(dòng)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作拋物線的切線、，且、的交點(diǎn)為Q，、與y軸的交點(diǎn)分別為M、N．求面積的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2，由拋物線的定義知
解得
(2)由上問可知，拋物線方程E：
設(shè)，，（，），
設(shè)l：，聯(lián)立，得，
判別式，故R
，
設(shè)：
聯(lián)立方程組，消x得，
所以
所以
則：，即，令，得，
同理：，，
聯(lián)立，得交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，
∴
∴面積的取值范圍是．
重點(diǎn)題型九：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題
1．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，左頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為．
(1)求橢圓的方程
(2)設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求證：經(jīng)過定點(diǎn)．
【答案】(1)(2)證明見解析
(1)解：依題意、，又，解得，，
所以橢圓方程為，離心率；
(2)解：由（1）可知，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立方程得，消去整理得，
設(shè)，，所以，；
因?yàn)橹本€和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，所以；
即
所以，
即，
所以，即，所以或，
當(dāng)時(shí)，直線：，恒過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€不過A點(diǎn)，所以舍去；
當(dāng)時(shí)，直線：，恒過定點(diǎn)；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，，，
則，且，
解得或（舍去）；
綜上可得直線恒過定點(diǎn).
2．已知橢圓：的焦距為，圓：經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓與圓的方程；
(2)若直線：與橢圓C交于點(diǎn)A，B，其中，問：是否為定值 若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．
【答案】(1)橢圓C：，圓O：(2)為定值，且該定值為0
(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c，
根據(jù)題意得
又∵經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
解得
∴橢圓C的方程為，圓O的方程為.
(2)設(shè)聯(lián)立l與橢圓方程，
化簡(jiǎn)整理得
則
∵
∴
綜上所述，為定值，且該定值為0.
3．已知點(diǎn)，點(diǎn)P是圓B：上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線BP交于點(diǎn)Q．
(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程C；
(2)過點(diǎn)A的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)E在x軸上且使得對(duì)任意直線l，OE都平分．求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】(1)(2)
(1)由題意知，，所以，
由橢圓定義知點(diǎn)Q的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓C：，其中，，即，，則，所以點(diǎn)Q的軌跡方程C為．
(2)設(shè)，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，恒成立，
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，因?yàn)镺E都平分，即，所以，
設(shè)，，直線l的斜率為，則直線l的方程為，
又，，
所以，
又，，所以，
即，
聯(lián)立方程組消去y，得，，
所以，，代入上式可得，即點(diǎn)．
4．已知離心率為的雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)、在軸上，雙曲線的右支上一點(diǎn)使且的面積為1．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線：與雙曲線相交于、兩點(diǎn)（、不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過雙曲線的右頂點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；(2)證明見解析，.
(1)由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知得：解得，
∵且的面積為1，
∴，，
∴
∴，，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)證明：設(shè)，，聯(lián)立與雙曲線
得，
，
即，
則，
又，
∵以為直徑的圓過雙曲線的右頂點(diǎn)
∴，即，
∴，
∴，
化簡(jiǎn)，得，即
∴，，且均滿足，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
直線過定點(diǎn)，與已知矛盾．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)，
所以直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．
5．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓M：(x+4)2+y2＝1上點(diǎn)的距離的最大值為1．
(1)求p；
(2)已知直線l：y＝kx+4與C相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作平行于y軸的直線BD交直線l'：y＝﹣4于點(diǎn)D．問：直線AD是否過y軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，試說明理由．
【答案】(1)p＝2(2)直線AD恒過y軸上的一定點(diǎn)(0，0)
(1)由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(0，)，
圓M：(x+4)2+y2＝1可得圓心M(﹣4，0)，半徑r＝1，
F到圓M的最大距離為：|FM|+r1，
由題意可得11，p＞0，
解得：p＝2；
(2)由(1)得拋物線的方程為：x2＝4y，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立，整理可得：x2﹣4kx﹣16＝0，
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣16，
由題意可得D(x2，﹣4)，
所以直線AD的方程為：y+4(x﹣x2)x，
令x＝0，可得y0，
所以直線AD恒過y軸上的一定點(diǎn)(0，0)．
6．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若拋物線C上一點(diǎn)P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；
(3)若不過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：直線l過定點(diǎn)．
【答案】(1)y2＝8x(2)（2，4）或（2，-4）(3)證明見解析
(1)（1）拋物線的焦點(diǎn)F為，雙曲線的漸近線方程為，
即，則，
解得p＝4，
故拋物線的方程為y2＝8x，
(2)設(shè)P（x0，y0），由拋物線的定義可知，即，
解得x0＝2，
將x0＝2代入方程y2＝8x，
得y0＝±4，
即P的坐標(biāo)為（2， 4）或（2，-4）．
(3)由題意知直線l不能與x軸平行，
故方程可設(shè)為x＝my+n（n≠0），
與拋物線聯(lián)立得，消去x得y2﹣8my﹣8n＝0，
設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），
則y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，
由OA⊥OB，所以，所以x1x2+y1y2＝0，又，
所以，即，
亦即﹣8n（1）＝0，又n≠0，
解得n＝8，
所以直線方程為x＝my+8，易得直線l過定點(diǎn)（8，0）．
重點(diǎn)題型十：圓錐曲線中的定值問題
1．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值；若不存在，試說明理由.
【答案】(1)
(2)存在點(diǎn)，使得為定值.
(1)設(shè)，易得，直線的斜率為，直線的斜率為，
則，
整理得，則曲線E方程為；
(2)當(dāng)直線的斜率為不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn)
聯(lián)立方程組，消可得，
設(shè)，，
可得，，
所以
.
要使上式為定值，則，解得，
此時(shí)
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，，此時(shí)，也符合.
所以，存在點(diǎn)，使得為定值.
2．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：直線，的斜率之積為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)的軌跡為．直線過拋物線的焦點(diǎn)且與相交于不同的兩點(diǎn)，．在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得的值為定值？若存在，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)1；
(2)存在一個(gè)定點(diǎn).
(1)設(shè) ，因?yàn)橹本€，的斜率之積為．
所以，整理得方程為1 .
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為1.
(2)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，
代入橢圓方程，得，
設(shè)，則，，
，
故
，
令，則,
所以，解得m，此時(shí)；
當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，的方程為，
代入橢圓方程解得，所以；
綜上所述：在軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得為定值．
3．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為.動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與軸交于點(diǎn)，的面積分別為，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)為定值，定值為1
(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由橢圓的對(duì)稱性，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為也在橢圓上，再由點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為可得，即，
又橢圓的離心率，所以，
可得，
所以橢圓的方程為：；
(2)解：為定值，且定值為1，
證明如下：設(shè) ，則，
聯(lián)立，整理可得：，
則，
直線的方程為：，
令，可得
；
所以當(dāng)變化時(shí)直線與軸交于定點(diǎn)，
所以，
即為定值，且定值為.
4．已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)T(2，0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線MA斜率為，直線NB斜率為，求證：為定值．
【答案】(1)；(2)見解析.
(1)虛軸長(zhǎng)為4，，即，
直線為雙曲線的一條漸近線，
，，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)由題意知，，，
由題可知，直線l斜率不能為零，故可設(shè)直線的方程為，
設(shè)，，，
聯(lián)立，得，
，，
，
直線的斜率，直線的斜率，
，為定值．
5．已知雙曲線的漸近線方程為：，且過點(diǎn)
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）過右焦點(diǎn)且斜率不為的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，求
【答案】（1）；（2）
（1）由題意可得： 解得：，所以
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2），所以，
設(shè)直線：，，，
由 可得：，
所以，，
，
所以.
6．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離．
(1)求C的方程；
(2)點(diǎn)、在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
【答案】(1)(2)證明見解析
(1)解：由拋物線定義，得，由題意得，，解得
所以拋物線的方程為．
(2)證明：①直線斜率不存在時(shí)，
可設(shè)，，
，
，，
又，，
，解得，
，為垂足，
，
故存在定點(diǎn)，使得為定值，
②直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，解得，
設(shè)，，，，則，，
因?yàn)?，所以?br/>得，
所以，
得，即，
當(dāng)時(shí)，過定點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，
所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，
故當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，定值．
7．已知曲線E上的點(diǎn)到的距離比它到直線的距離小1.
(1)求曲線E的方程；
(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)F，與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB，PC的斜率分別為，，，求證：為定值，并求出該定值.
【答案】(1)；(2)證明見解析，.
(1)由題設(shè)，令曲線E上的點(diǎn)為，則，
當(dāng)時(shí)，，整理得且，滿足前提；
當(dāng)時(shí)，，整理得且，不滿足前提；
所以曲線E的方程為.
(2)由題設(shè)，直線l的斜率必存在且不為0，設(shè)，則，
聯(lián)立，整理可得：，則，，
所以，
又，，且，，，
則，故為定值.
重點(diǎn)題型十一：圓錐曲線中的定直線問題
1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的離心率，且過點(diǎn)，A，B分別是C的左、右頂點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)已知過點(diǎn)的直線交C于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），試證直線MA與直線NB的交點(diǎn)在定直線上．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
(1)由題意知，
，化簡(jiǎn)得，
解得，故橢圓的方程為；
(2)設(shè)過點(diǎn)G的直線方程為，
，消去x，得，
，設(shè)，
則，所以
又，得，
所以直線AM的方程為，
直線BN的方程為，兩式相除，
得，即，
又，
即，解得，
即直線AM與BN的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
所以直線AM與BN的交點(diǎn)在定直線上.
2．已知橢圓的左 右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)）在橢圓上，直線與的斜率之積為，且橢圓的焦距為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線與橢圓交于，（其橫坐標(biāo)）兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，試問點(diǎn)是否在定直線上？若在，請(qǐng)給予證明，并求出定直線方程；若不在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，證明見解析，點(diǎn)在定直線
(1)由題意可得，，設(shè)，
則，，所以.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，
則.
因?yàn)椋?，所以，?br/>故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)，，
聯(lián)立，整理得，
則，.
由（1）可知，，
則直線的方程為，直線的方程為，
從而，即，
解得：.
故點(diǎn)在定直線上.
3．已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn).
（1）若，求直線的方程；
（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.
【答案】（1）或；（2）證明見解析.
解：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，把直線與雙曲線
聯(lián)立方程組，，可得，
則，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直線的方程為或．
（2）直線的方程為，直線的方程為，
直線與的交點(diǎn)為，故，即，
進(jìn)而得到，又，
故，解得
故點(diǎn)在定直線上．
4．如圖所示，P（在函數(shù)的左邊）與Q（在函數(shù)的右邊）分別為函數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為該拋物線的焦點(diǎn)．
（1）若P的坐標(biāo)為（-2，t），連接PF交拋物線另一點(diǎn)于H點(diǎn)，求H點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）記PQ直線為m，其在y軸上的截距為6，過P作拋物線的切線，交拋物線的準(zhǔn)線于M點(diǎn)，連接QF，若QF恰好經(jīng)過M點(diǎn)，求直線m的方程．
【答案】（1）（2，1）；（2）．
（1）∵P位于拋物線上，故P的坐標(biāo)為（-2，1）-
又∵F為拋物線的焦點(diǎn)，得2p=4，解得故F：（0，1）
則過PF的直線為y=1
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，則H點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）-
（2）由（1）可知，拋物線的準(zhǔn)線方程應(yīng)當(dāng)為y=-1
令P：）；Q：
設(shè)過PQ的直線m為，將其代入拋物線
得，故
因?yàn)镻為切點(diǎn)，故其切線方程為,根據(jù)化簡(jiǎn)得
當(dāng)y=-1時(shí)，得，得
故M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-1）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為
則MQ直線方程為，其過點(diǎn)（0，1），
故有，化簡(jiǎn)得
得，化簡(jiǎn)得
得，故，（舍）
故解得4k=2，得k=，直線m的方程為
5．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，直線的斜率為.
（1）求拋物線的方程；
（2）在線段上取點(diǎn)，滿足，，證明：點(diǎn)總在定直線上.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
（1）由題意，得，則，解得，
故拋物線的方程為.
（2）證明：設(shè)，，，
直線的方程為.
由得，
，.
由，，得，，
故，化簡(jiǎn)得.
又，故，
化簡(jiǎn)得，
即，則或.
當(dāng)點(diǎn)在定直線上時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題意不符.
故點(diǎn)在定直線上.
6．已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離為3，過拋物線外一動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且切點(diǎn)弦恒過點(diǎn).
（1）求和；
（2）求證：動(dòng)點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng).
【答案】（1），.（2）證明見解析
（1）由題意得
拋物線方程為，∴，
（2）首先推導(dǎo)拋物線切線方程的一般性：設(shè)拋物線上的一點(diǎn)為，由，所以拋物線過點(diǎn)的切線的斜率為，切線方程為，化簡(jiǎn)得.
設(shè)
∴拋物線的切線的方程：
拋物線的切線的方程：
∵均經(jīng)過，∴
故直線即過，也過
故方程：
∵它恒過，∴，∴它在上運(yùn)動(dòng).
重點(diǎn)題型十二：圓錐曲線中的向量問題
1．已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A作傾斜角為的直線與C相交于A，B，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓的離心率e；
(2)若，過點(diǎn)F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．
①求的值；
②點(diǎn)M滿足，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，若，求的值．
【答案】(1)(2)①；②.
(1)解：由題意得：，
所以，代入橢圓方程得，即，
所以橢圓的離心率是；
(2)①由（1）知：b=1, ，則橢圓方程為：，
設(shè)直線方程為：，
與橢圓方程聯(lián)立，消去x得，
設(shè)，
則，
則，
，
所以；
②設(shè)，因?yàn)椋裕?br/>則，
因?yàn)椋?br/>所以，則，
因?yàn)镻，Q，N在橢圓上，
所以，
則，
即，
由①知，
所以，解得.
2．設(shè)，，分別為橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，到直線的距離為．
(1)求橢圓的焦距；
(2)如果，求橢圓的方程．
【答案】(1)(2)
(1)解：因?yàn)橹本€的傾斜角為且過點(diǎn)，
所以直線的方程為，
到直線的距離為，
，解得，
橢圓的焦距.
(2)由（1）可得，設(shè)，，
聯(lián)立，整理可得
，
解得①，②，
因?yàn)?，即，所以③?br/>由①③得，④，
將④代入②得，整理得⑤，
因?yàn)?，所以，代入⑤得?br/>因?yàn)?，所以?br/>故橢圓的方程為.
3．已知橢圓的焦距為為C上不同的三點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與的斜率之積為．
(1)求C的方程；
(2)已知直線過點(diǎn)，與C交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
(1)設(shè)，則，為C上的三點(diǎn)，，直線與的斜率之積為，，，化簡(jiǎn)整理得，由，，所以橢圓C的方程為.
(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，.
設(shè)，則，
， .
綜上，.
的取值范圍為.
4．已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過的直線與雙曲線交于不同兩點(diǎn)、.
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的取值范圍（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
【答案】(1)；(2)或.
(1)解：雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為
∵雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
∴， ，∵ ∴，
∴雙曲線的方程為.
(2)解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)過的直線的方程為，
與雙曲線方程聯(lián)立可得消去可得
①，不符合題意，舍去；
②時(shí)，得.
設(shè)，，則，
∴
∴.
∵，, ∴，
∴或 ∴或
∴或.
5．已知雙曲線C的方程為（），離心率為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
(1)根據(jù)題意，由離心率為，知雙曲線是等軸雙曲線，所以
，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
則由消去，得到，
∵直線與雙曲線交于M N兩點(diǎn)，，解得.
設(shè)，則有，，
因此，
∵，∴且，故或，
故；
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，易知，，故.
綜上所述，所求的取值范圍是.
6．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)F與拋物線E：的焦點(diǎn)相同，曲線C的離心率為，為E上一點(diǎn)且.
(1)求曲線C和曲線E的方程；
(2)若直線l：交曲線C于P Q兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)R.
（i）求三角形POQ面積的最大值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（ii）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，(2)（i）；（ii）
(1)，橢圓C：
又，橢圓C：，拋物線E：.
(2)（i）設(shè)，
聯(lián)立
由，且，
，
原點(diǎn)O到直線l距離，
，
令，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積最大為.
（ii），，，
，，
又，，（）
.
7．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn)．
【答案】(1)(2)證明見解析
(1)∵拋物線過點(diǎn)，
．．
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．
(2)設(shè)，，
由得，
，．
，
．
，
或．
，
舍去．
，滿足．
∴直線的方程為．
∴直線必經(jīng)過定點(diǎn)．

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