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第一章 空間向量與立體幾何 章末總結（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：空間向量的概念及運算
重點題型二：利用空間向量證明位置關系
重點題型三：利用空間向量計算距離
重點題型四：利用空間向量求空間角
重點題型一：空間向量的概念及運算
1．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
2．在四面體中，，，，，，用向量，，表示，則等于（ ）
A． B．
C． D．
3．如圖，在三棱錐中，平面，，，點在三棱錐的表面上運動，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，則下列向量中，使能構成空間的一個基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
5．（多選）對空間任意一點和不共線三點，，，能得到，，，四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，若向量，則實數的取值范圍為____．
7．已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足.
（1）判斷，，三個向量是否共面；
（2）若三棱錐為棱長為2正四面體，求.
重點題型二：利用空間向量證明位置關系
1．在四棱錐中，，，，，M是AC的中點,若平面平面BCDE，則下列三個結論：①；②；③中，正確的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．已知正方體是直線上一點，（ ）
A．若，則直線平面
B．若，則直線平面
C．若，則直線平面
D．若，則直線平面
3．如圖正方體中，，，則下列說法不正確的是（ ）
A．時，平面平面
B．時，平面平面
C．面積最大時，
D．面積最小時，
4．已知正方體，是棱的中點，則在棱上存在點，使得（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
5．如圖，正方體中，點，是上的兩個三等分點，點，是上的兩個三等分點，點，，分別為，和的中點，點是上的一個動點，下面結論中正確的是___________.
①與異面且垂直；
②與相交且垂直；
③平面；
④，，，四點共面.
6．在平行六面體中，面面，底面為矩形，，，面為菱形，，是的中點，為的中點，問_______時，面面．
7．如圖在平行六面體中，，.
(1)求證：直線平面；
8．如圖，在長方體中，，，為中點，為中點.求證：平面；
9．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，若M，N分別為棱，的中點，為中點.求證：平面平面
10．已知直三棱柱中，，E，F分別為AC和的中點，D為棱上的點，．
證明：；
重點題型三：利用空間向量計算距離
1．如圖所示，ABCD—EFGH為邊長等于1的正方體，若P點在正方體的內部且滿足，則P點到直線BC的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．在三棱錐中，，，，點是的中點，底面，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，在棱長為1的正方體中，P為的中點，Q為上任意一點，E，F為CD上兩個動點，且EF的長為定值，則點Q到平面PEF的距離（ ）
A．等于 B．和EF的長度有關
C．等于 D．和點Q的位置有關
4．如圖所示的多面體，底面ABCD為長方形，DF⊥平面ABCD，DFCC1BE，AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，則點C到平面AEC1F的距離為（ ）
A． B．
C． D．
5．若正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1到平面ACD1的距離為（　　）
A．1 B．
C． D．
6．在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A． B．
C． D．
7．如圖，已知四邊形是邊長為4的正方形，E，F分別是的中點， 垂直于正方形所在的平面，且，則點B到平面的距離為___________.
8．如圖，在長方體中，，，點在棱上移動．
(1)證明：；
(2)當為的中點時，求點到面的距離．
重點題型四：利用空間向量求空間角
角度1：異面直線所成角
1．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，的中點為，底面，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．三棱錐中，，，則異面直線與所成的角可能是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面，，E為PC的中點，則異面直線PD與BE所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，點是線段上的動點，若線段上存在點，使得異面直線與成30°的角，則線段長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．已知動點P在正方體的對角線(不含端點)上.設，若為鈍角，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線和分別在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上運動，且，若與所成角為60°時，則與側面ADD1A1所成角的大小為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如圖，在正四棱錐中，二面角為60°，E為的中點.已知F為直線上一點，且F與A不重合，若異面直線與所成角為60°，則=_____________.
8．如圖，在長方體中，，，在棱上是否存在一點，使得異面直線與所成角為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．
角度2：線面角
1．在所有棱長都相等的直三棱柱中，、分別為棱、的中點，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在棱長為1的正方體中，為的中點，則直線與平面的夾角為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，在四棱柱中，底面為正方形，側棱底面，，，是側面內的動點，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
5．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，給人民生命財產安全和生產生活造成了嚴重影響.在黨和政府強有力的領導下，全國人民眾志成城，取得了抗擊疫情戰爭的重大勝利，社會生產、生活全面恢復正常.某中學結合抗疫組織學生到一工廠開展勞動實習，加工制作臨時隔離帳篷.將一塊邊長為6m的正方形材料先按如圖1所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形（其），然后，將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個四棱錐型的帳篷（如圖2），該四棱錐底面是正方形，從頂點向底面作垂線，垂足恰好是底面的中心.則直線與平面所成角的正弦值為______.
6．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB＝2，CF＝3．若直線OF與平面BED所成的角為45°，則AE＝________．
7．如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為_____．
8．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，M是棱的中點，且．
(1)求證：平面；
(2)棱上是否存在一點N，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求的值；若不存在，說明理由．
9．在正四棱柱中，，E為的中點.（用向量的方法證明）
(1)求證：平面.（用向量的方法證明）
(2)若F為上的動點，使直線與平面所成角的正弦值是，求BF的長.
10．三棱錐中，三角形為等腰直角三角形，，側面為等邊三角形，.
(1)求證：；
(2)若側棱上有一動點，設，當為何值時，直線與平面所成的角最大？
角度3：二面角
1．已知是各棱長均等于的正三棱柱，是側棱的中點，則平面與平面所成的銳二面角為（ ）
A．45° B．60° C．75° D．30°
2．如圖，在空間直角坐標系中，四棱柱為長方體， ，點為的中點，則二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，四邊形，，，現將沿折起，當二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為
A． B． C． D．
4．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=2BC=2，D為AA1上一點.若二面角B1-DC-C1的大小為30°，則AD的長為____.
5．如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側面都是矩形，E是CD的中點，，若平面與平面所成的銳二面角的大小為，則線段的長度為__________．
6．如圖，平面平面是邊長為4的正三角形，分別為的中點.
(1)求證：；
(2)求平面與平面的夾角的大小.
7．如圖，四棱柱中，側棱底面ABCD，，，，，E為棱的中點．
(1)證明：；
(2)求平面與平面夾角的正弦值；
(3)設點M在線段上，且直線AM與平面所成角的正弦值為，求線段AM的長．
8．如圖，在四棱錐中，側面為等邊三角形，底面為等腰梯形，且
(1)證明：平面平面；
(2)若點在棱上，且二面角的大小為，求的值.
9．如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，與交點為，且，．
（1）證明：平面；
（2）若且，，則在線段上是否存在一點﹐使得二面角的余弦值為，若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．
10．如圖①，在等腰梯形中，，.將沿折起，使得，如圖②.
（1）求證：平面平面.
（2）在線段上是否存在點，使得二面角的平面角的大小為？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.
第一章 空間向量與立體幾何 章末總結（精講）
目錄
第一部分：本章知識框架
第二部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：空間向量的概念及運算
重點題型二：利用空間向量證明位置關系
重點題型三：利用空間向量計算距離
重點題型四：利用空間向量求空間角
重點題型一：空間向量的概念及運算
1．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
因為，，，
選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；
選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；
選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；
選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；
故選：A.
2．在四面體中，，，，，，用向量，，表示，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵，
∴為中點，連接，如下圖，
∴，而，
∴.
故選：B
3．如圖，在三棱錐中，平面，，，點在三棱錐的表面上運動，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如圖，取中點，連接，，，則，又因為平面，平面，平面，所以，，
又，，由勾股定理得：，且在以O為球心，半徑為的球上，故，則的取值范圍是，D正確.
故選：D
4．已知向量，，則下列向量中，使能構成空間的一個基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因為，所以A中的向量不能與，構成基底；
因為，所以B中的向量不能與，構成基底；
對于，設，則，解得，，
所以，故，，為共面向量，所以C中的向量不能與，構成基底；
對于，設，則，此方程組無解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構成基底.
故選：D
5．（多選）對空間任意一點和不共線三點，，，能得到，，，四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
方法一：若，，，四點共面，則存在唯一一組數，使得，
則，
整理可得，
對A，若，則，方程組無解，不能得到，，，四點共面，故A錯誤；
對B，若，則，解得，符合，可以得到，，，四點共面，故B正確；
對C，若，則，解得，符合，可以得到，，，四點共面，故C正確；
對D，若，則，方程組無解，不能得到，，，四點共面，故D錯誤.
故選：BC.
方法二：根據共面定理的推論可得，若，，，四點共面，
則對于空間中任意一點，有，且滿足，
則由選項可得只有BC滿足.
故選：BC.
6．已知，，若向量，則實數的取值范圍為____．
【答案】或
向量，
，
解得：或.
故答案為：或.
7．已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足.
（1）判斷，，三個向量是否共面；
（2）若三棱錐為棱長為2正四面體，求.
【答案】(1) ，，三個向量共面；(2)
(1) ，，，所以，所以，，三個向量共面.
(2) .
又因為三棱錐為棱長為2正四面體，所以、、之間的夾角均為.
所以.
重點題型二：利用空間向量證明位置關系
1．在四棱錐中，，，，，M是AC的中點,若平面平面BCDE，則下列三個結論：①；②；③中，正確的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
如圖：取線段BE的中點H,連接AH,
因為，所以 ,
又平面平面BCDE，平面平面BCDE=BE，平面,
所以平面BCDE，
又，，故,
因此以B為坐標原點，以BE,BC為x,y軸，以過B作AH的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，
則 ,
故 ,所以，故，
所以，故①正確；
,則，
故，即，故②正確；
,,
故，即，故③正確，
故選：D
2．已知正方體是直線上一點，（ ）
A．若，則直線平面
B．若，則直線平面
C．若，則直線平面
D．若，則直線平面
【答案】A
以為坐標原點，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則，
當時，，
，
設平面的一個法向量為，則，可取，
則，從而可知直線平面，故選項A正確，B不正確.
同理可取平面的一個法向量，
若時，
，
所以與不共線，所以直線與平面不垂直，故C不正確；
若時，
，
所以與不共線，所以直線與平面不垂直，故D不正確.
故選：A,
3．如圖正方體中，，，則下列說法不正確的是（ ）
A．時，平面平面
B．時，平面平面
C．面積最大時，
D．面積最小時，
【答案】D
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設，則、、、、、、、，
，，所以，，
，線段的中點為，，
所以，，
設平面的法向量為，
則，取，則.
對于A選項，設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
若平面平面，則，則，解得，A對；
對于B選項，設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
若平面平面，則，即，解得，B對；
對于CD選項，，則，故，
因為.
因為，當時，取最小值，則的面積最小，D錯，
當時，取最大值，則的面積最大，C對.
故選：D.
4．已知正方體，是棱的中點，則在棱上存在點，使得（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
【答案】B
建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，，，設（，
則，，
因為，所以不可能平行，即不可能平行，
又，，因此可以垂直，即與可能垂直．
，，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，
與不可能平行，因此與平面不可能垂直，
，因此與不可能垂直，因此與平面不可能平行，
故選：B．
5．如圖，正方體中，點，是上的兩個三等分點，點，是上的兩個三等分點，點，，分別為，和的中點，點是上的一個動點，下面結論中正確的是___________.
①與異面且垂直；
②與相交且垂直；
③平面；
④，，，四點共面.
【答案】①③④
建立如圖所示空間直角坐標系：
設正方體棱長為3，
①因為,，所以，又矩形EFHG與矩形的中心重合，且過矩形的中心，所以與異面且垂直，故正確；
②因為,，所以，所以與不垂直，故錯誤；
③由，設平面的一個法向量 ，則，即，令，則,同理求得平面EFN的一個法向量，因為，所以平面平面，又因為平面，所以平面，故正確；
④因為，則，所以，則，所以，，，四點共面，故正確，
故答案為：①③④
6．在平行六面體中，面面，底面為矩形，，，面為菱形，，是的中點，為的中點，問_______時，面面．
【答案】
因為四邊形為菱形，，則，
為的中點，，，
由余弦定理可得，，
，
平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、,設點，
設平面的法向量為，，，
由，取，則，，
可得，
設平面的法向量為，，，
由，取，則，，可得，
因為平面平面，則，解得.
因此，當時，平面平面.
故答案為：.
7．如圖在平行六面體中，，.
(1)求證：直線平面；
【答案】(1)證明見解析；
證明：設，，，
則為空間的一個基底，且，，，
因為，，
所以，，
∴，，
∴，又，
∴平面.
8．如圖，在長方體中，，，為中點，為中點.求證：平面；
【答案】(1)證明見解析
解：建立以為原點，為軸，為軸，為軸的坐標系，
設，則，，，，，
所以，，
所以，
所以，，，面，
所以面
9．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，若M，N分別為棱，的中點，為中點.求證：平面平面
【答案】
∵平面
∴，
∵矩形∴
故，，兩兩垂直
以，，所在直線為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標系
，，，，
∴
設平面的法向量為，
∴
設平面的法向量為，
∴
∴∴
∴平面平面
10．已知直三棱柱中，，E，F分別為AC和的中點，D為棱上的點，．
證明：；
【答案】
因為三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以
因為，，所以，又，所以平面．所以BA，BC，兩兩垂直．以B為坐標原點，分別以BA，BC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖．
所以，，，，，，
，．由題設．
因為，，所以，所以．
重點題型三：利用空間向量計算距離
1．如圖所示，ABCD—EFGH為邊長等于1的正方體，若P點在正方體的內部且滿足，則P點到直線BC的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
如圖，以D為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
，
，，
，
所以點P到的距離．
故選：B.
2．在三棱錐中，，，，點是的中點，底面，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
（方法一）如圖，
因為，點是的中點，
所以，
又底面，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
在中，，
所以，則點．
設平面的一個法向量為
則，，即，，
取，得，
所以點到平面的距離．
（方法二）由題意可知在三棱錐中，，，相互垂直，
．
在中，，
所以三角形是正三角形，
所以，
設點到平面的距離為，則，
所以．
故選：A
3．如圖，在棱長為1的正方體中，P為的中點，Q為上任意一點，E，F為CD上兩個動點，且EF的長為定值，則點Q到平面PEF的距離（ ）
A．等于 B．和EF的長度有關
C．等于 D．和點Q的位置有關
【答案】A
取的中點G，連接，則，所以點Q到平面的距離即點Q到平面的距離，與的長度無關，B錯．
又平面，所以點到平面的距離即點Q到平面的距離，即點Q到平面的距離，與點Q的位置無關，D錯．
如圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，則，∴，，，
設是平面的法向量，則由得
令，則，所以是平面的一個法向量．
設點Q到平面的距離為d，則，A對，C錯．
故選：A．
4．如圖所示的多面體，底面ABCD為長方形，DF⊥平面ABCD，DFCC1BE，AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，則點C到平面AEC1F的距離為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
以D為原點，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，
則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.
∴=（-2，4，3），=（0，4，1）.
設為平面AEC1F的法向量，=（x，y，z），
由，得，
令z=1，∴，即=（1，-，1）.
又=（0，0，3），
∴點C到平面AEC1F的距離d=.
故選：D
5．若正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1到平面ACD1的距離為（　　）
A．1 B．
C． D．
【答案】B
因為平面平面，所以A1C1//平面ACD1，
則點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.
建立如圖所示的空間直角坐標系，易知＝(0,0,1)，
由題得平面,
所以平面,所以,同理 ,
因為平面，
所以平面，所以是平面的一個法向量，
所以平面ACD1的一個法向量為＝(1,1,1)，
故所求的距離為.
故選：B
6．在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A． B．
C． D．
【答案】B
建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，
所以，，，
設平面的一個法向量，則，
即，解得，故，
顯然平面平面，
所以平面與平面之間的距離．
7．如圖，已知四邊形是邊長為4的正方形，E，F分別是的中點， 垂直于正方形所在的平面，且，則點B到平面的距離為___________.
【答案】##
因為平面，平面，
所以，
因為，
所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
所以，，
設平面的一個法向量為，則
，令，則，
所以點B到平面的距離為
，
故答案為：
8．如圖，在長方體中，，，點在棱上移動．
(1)證明：；
(2)當為的中點時，求點到面的距離．
【答案】(1)證明見解析(2)
(1)證明：以D為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸，建立如圖的坐標系，
則，0，，，0，，，0，，，0，，
所以，設，，，
所以，，故
；
(2)解：當為的中點時，，1，，，
設平面的法向量是，
，，
由，得 ，
令x=1得，
，1，，
由點到平面的距離公式，得，
點到面的距離是．
重點題型四：利用空間向量求空間角
角度1：異面直線所成角
1．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，的中點為，底面，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
設三棱柱的棱長為，
，為的中點，則，
平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
則點、、，
所以，，.
因此，異面直線與所成角的余弦值為.
故選：D.
2．三棱錐中，，，則異面直線與所成的角可能是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
設.
.
由于，將側面沿展開到平面，
則三點 共線，
又此三棱錐可看成將沿直線翻折而成的，
故不難可得.
設異面直線與所成的角為，
則，即.
故選：B.
3．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面，，E為PC的中點，則異面直線PD與BE所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
以點為坐標原點，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
則，，，，，，
設異面直線與所成角為，則.
故選：B.
4．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，點是線段上的動點，若線段上存在點，使得異面直線與成30°的角，則線段長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
如圖，以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，
則，
設，設，
則，
，
異面直線PQ與AD成的角，
，
，
，
即，解得，
，
可得.
故選：C.
5．已知動點P在正方體的對角線(不含端點)上.設，若為鈍角，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由題設，建立如圖所示的空間直角坐標系，用坐標法計算，利用不是平角，可得為鈍角等價于，即，即可求出實數的取值范圍.
設正方體的棱長為1，
則有
∴，∴設，
∴，
，
由圖知不是平角，∴為鈍角等價于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范圍是
故選：C.
6．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線和分別在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上運動，且，若與所成角為60°時，則與側面ADD1A1所成角的大小為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
以為原點，以為軸，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，如圖所示：
直線分別在上下底面內且互相垂直，設直線的方向向量為,則直線的方向向量可以為,
直線的方向向量為, 側面ADD1A1的法向量,
與b所成角為60°,
即，,
故a與側面ADD1A1所成角的大小為45°.
故選：B.
7．如圖，在正四棱錐中，二面角為60°，E為的中點.已知F為直線上一點，且F與A不重合，若異面直線與所成角為60°，則=_____________.
【答案】11
取的中點G，與的交點為，以O為坐標原點，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，設
因為二面角為60°，所以
則.
設，則
從而
整理得，解得(舍)，
故.
故答案為：
8．如圖，在長方體中，，，在棱上是否存在一點，使得異面直線與所成角為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】存在，點在棱的中點處，理由見解析.
解：存在點使得異面直線與所成角為，理由如下：
以為原點，、、的方向分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，如下圖所示，
設，則、、、，
，，
則，
因為，解得，
所以，當點為棱的中點時，異面直線與所成角為.
角度2：線面角
1．在所有棱長都相等的直三棱柱中，、分別為棱、的中點，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
設正三棱柱的所有邊長均為，取的中點，連接，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，
如下圖所示：
則點、、、、，
，，，
設平面的法向量為，
由，得，取，則，，，
設直線與平面所成角為，
則，則.
故選：C.
2．如圖，在棱長為1的正方體中，為的中點，則直線與平面的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
以點為原點，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，，，，，
∴，，，
設平面的一個法向量，
則，即，
令，則，
所以平面的一個法向量，
∵，
∴，
∴，
∴直線與平面的夾角為.
故選：B.
3．如圖，在四棱柱中，底面為正方形，側棱底面，，，是側面內的動點，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
設，則，
，
,
，
，
的最大值為.
故選：.
4．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
設，，，，，.
，，.
設平面的法向量，
則，令，得，，
故.
因為直線與平面所成角的正切值為，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
即，解得.
所以平面的法向量，
故到平面的距離為.
故選：D
5．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，給人民生命財產安全和生產生活造成了嚴重影響.在黨和政府強有力的領導下，全國人民眾志成城，取得了抗擊疫情戰爭的重大勝利，社會生產、生活全面恢復正常.某中學結合抗疫組織學生到一工廠開展勞動實習，加工制作臨時隔離帳篷.將一塊邊長為6m的正方形材料先按如圖1所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形（其），然后，將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個四棱錐型的帳篷（如圖2），該四棱錐底面是正方形，從頂點向底面作垂線，垂足恰好是底面的中心.則直線與平面所成角的正弦值為______.
【答案】
設與的交點為點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系
，，，.
故.
，
設平面的法向量為.
，
直線與平面的法向量的余弦值為：
則直線與平面所成角的正弦值為.
故答案為：.
6．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB＝2，CF＝3．若直線OF與平面BED所成的角為45°，則AE＝________．
【答案】2
設AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，則△ABC為正三角形，又AB=2，易得OA=1，OB=，
如圖，以O為坐標原點，以OA，OB所在直線分別為x軸、y軸，以過點O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標系．
則，
所以，設平面BED的法向量為，則，令z=1則，，
因為直線OF與平面BED所成角的大小為45°，
所以，
易知a>0，解得：a=2，所以AE＝2．
故答案為：2.
7．如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為_____．
【答案】4
解：以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，則，，，故，，，
設平面的一個法向量為，則，可取，
故，
又直線與平面所成角的正弦值為，
，解得．
故答案為：4．
8．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，M是棱的中點，且．
(1)求證：平面；
(2)棱上是否存在一點N，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析(2)存在，.
(1)因為在中，，所以，
所以．又因為底面底面，所以．
因為平面，所以平面．
(2)如圖以A為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則．
因為M是棱的中點，所似．所以．
設為平面的法向量，
所以，即，所以平面的法向量．
因為N是棱上一點，所以設．
設直線與平面所成角為，因為，所以．
因為平面的法向量．
解得，即，所以．
9．在正四棱柱中，，E為的中點.（用向量的方法證明）
(1)求證：平面.（用向量的方法證明）
(2)若F為上的動點，使直線與平面所成角的正弦值是，求BF的長.
【答案】(1)證明見解析(2)1
(1)由題意可知，以為坐標原點，建立如圖示的空間直角坐標系.
，,,，，，
證明：設平面的法向量，
，，
由，即
取，得，
又，
因為，所以，
所以平面.
(2)設點的坐標為，
，由（1）知，，
設直線與平面所成角為，則
，解得.
所以點F的坐標為，，，
所以的長為.
10．三棱錐中，三角形為等腰直角三角形，，側面為等邊三角形，.
(1)求證：；
(2)若側棱上有一動點，設，當為何值時，直線與平面所成的角最大？
【答案】(1)證明見解析；(2).
(1)證明：取的中點，連接、，
由，則，由，則.
又，故面，又因為平面，故.
(2)解：平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，
過點且垂直于平面的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設，則，，，
又，，
則，，，，
故，，由已知，
則，
，
由（2）知，設平面的法向量為，，
由，得，取，可得，
設直線與平面所成的角為，
，
由，故當時，最大，即直線與平面所成的角最大.
綜上，當時，直線與平面所成的角最大.
角度3：二面角
1．已知是各棱長均等于的正三棱柱，是側棱的中點，則平面與平面所成的銳二面角為（ ）
A．45° B．60° C．75° D．30°
【答案】A
以為原點，以垂直的直線為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，
是各條棱長均等于的正三棱柱，是側棱的中點，
，0，，，，，，，，，
，，，
設平面的法向量，
，
，
又因為平面向量法
．
則平面與平面所成的銳二面角為45°
故選：．
2．如圖，在空間直角坐標系中，四棱柱為長方體， ，點為的中點，則二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
設，則，
因為為的中點，所以，所以 ，
設是平面 的一個法向量，
則，即 ，取，則，
所以平面的一個法向量為，
又因為平面，所以是平面 的一個法向量，
所以，
又因為二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為.
故選：C.
3．如圖，四邊形，，，現將沿折起，當二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為
A． B． C． D．
【答案】C
解：取BD中點O，連結AO，CO，
∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，
∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，
以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，
過點O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），
設二面角A﹣BD﹣C的平面角為θ，則，
連AO、BO，則∠AOC＝θ，A（），
∴，，
設AB、CD的夾角為α，
則cosα，
∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．
∴cos的最大值為．
故選C．
4．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=2BC=2，D為AA1上一點.若二面角B1-DC-C1的大小為30°，則AD的長為____.
【答案】
如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系C-xyz，則C(0，0，0)，B1(0，1，2)，B(0，1，0)，∴=(0，1，2)，=(0，1，0).設AD=a(0≤a≤2)，則點D的坐標為(2，0，a)，=(2，0，a).
設平面B1CD的法向量為=(x，y，z)，則 令z=-1，得=.又平面C1DC的一個法向量為=(0，1，0)，記為，則由，解得a=(負值舍去)，故AD=.
故答案為：.
5．如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側面都是矩形，E是CD的中點，，若平面與平面所成的銳二面角的大小為，則線段的長度為__________．
【答案】1
底面ABCD和側面是矩形，，，
又，平面，
平面，；
又，且，
平面ABCD．
以E為坐標原點，過E作 交于，以 分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則0，，1，，1，，0，．
設，則0，，2，．
設平面的一個法向量為y，，
1，，0，，
由，
令，得；
設平面的一個法向量為，
0，，1，，
由，
令，得．
由平面與平面所成的銳二面角的大小為，
得，解得．
．
故答案為：1
6．如圖，平面平面是邊長為4的正三角形，分別為的中點.
(1)求證：；
(2)求平面與平面的夾角的大小.
【答案】(1)證明見解析(2)
(1)證明：是邊長為4的正三角形，為的中點，
.
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又
故
(2)平面.
分別為的中點，.
又.
兩兩相互垂直，以為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如下圖所示.
，
，
則，
，
易知面的一個法向量為.
設平面的法向量為，
則即得
令，得平面的一個法向量為.
設平面與平面所成銳二面角為，則，
又.
平面與平面的夾角的大小為.
7．如圖，四棱柱中，側棱底面ABCD，，，，，E為棱的中點．
(1)證明：；
(2)求平面與平面夾角的正弦值；
(3)設點M在線段上，且直線AM與平面所成角的正弦值為，求線段AM的長．
【答案】(1)證明見解析(2)(3)
(1)證明：由題意，，，兩兩互相垂直，所以以點為原點建立空間直角坐標系，
則，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，．
則，
因為．
所以；
(2)解：，設平面的法向量為，
則，即，取，則，
由（1）知，又，所以平面，
所以為平面的一個法向量，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值為．
(3)解：，
設，則有，
取為平面的一個法向量，
設為直線與平面所成的角，
則，
所以，解得，
所以，
所以線段的長為．
8．如圖，在四棱錐中，側面為等邊三角形，底面為等腰梯形，且
(1)證明：平面平面；
(2)若點在棱上，且二面角的大小為，求的值.
【答案】(1)證明見解析(2)
(1)設的中點為，連接，
在等邊中，可得，
在等腰梯形中，有
又因為，所以，所以，即，
又因為，所以平面
又因為在平面內，所以平面平面
(2)如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系，
各點坐標依次為：，，
設，平面的一個法向量為，
因為，
由，令，得，
易知平面的法向量為，
由，解得或（舍）.
所以，故.
9．如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，與交點為，且，．
（1）證明：平面；
（2）若且，，則在線段上是否存在一點﹐使得二面角的余弦值為，若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）存在點；為線段上靠近點的三等分點．
（1）四邊形為等腰梯形，，
取的中點，連接，則，
，，
又平面，，平面，
又平面，，
，，平面，平面．
（2）平面，，
以為坐標原點，為軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
設平面的法向量，
，令，解得：，，；
設點，由得：，
解得：，，
設平面的法向量為，
，令，解得：，，
，
若滿足題意的點存在，則，
解得：，，
在線段上，，即，
存在符合題意的點，為線段上靠近點的三等分點.
10．如圖①，在等腰梯形中，，.將沿折起，使得，如圖②.
（1）求證：平面平面.
（2）在線段上是否存在點，使得二面角的平面角的大小為？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點在線段上靠近點的三等分點處.
（1）在等腰梯形中，，，
∴由平面幾何知識易得，
∴在中，.
又，∴.
在題圖②中，∵，，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）在線段上存在點，使得二面角的平面角的大小為.
以為原點，以，所在的直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖.
由平面平面，是頂角為的等腰三角形，知軸與底邊上的中線平行，
又由（1）易得，∴，，，，
∴，.
令，則，
∴.
設平面的一個法向量為，
則，即，
∴，
令，則，∴.
由（1）知，平面的一個法向量為.
要使二面角的平面角的大小為，
則，
解得或（舍去）.
∴在線段上存在點，使得二面角的平面角的大小為，此時點在線段上靠近點的三等分點處.

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