資源簡介

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：由雙曲線的方程求幾何性質
重點題型二：根據雙曲線幾何性質求其標準方程
重點題型三：雙曲線的漸近線問題
重點題型四：雙曲線的離心率問題
重點題型五：直線與雙曲線的位置關系
重點題型六：弦長
重點題型七：中點弦和點差法
重點題型八：雙曲線的定點、定值、最值問題
重點題型九：雙曲線中的向量問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：雙曲線的簡單幾何性質
標準方程 （） （）
圖形
性質 范圍 或 或
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點坐標 ， ,
漸近線
離心率 ，，
a，b，c間的關系
知識點二：等軸雙曲線
（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線
①； ②離心率； ③兩漸近線互相垂直，分別為；
④等軸雙曲線的方程，；
知識點三：直線與雙曲線的位置關系
1、代數法：設直線，雙曲線聯立解得：
（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；
，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；
（2）時，
存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若，
時，，直線與雙曲線相交于兩點；
時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；
時，直線與雙曲線有一個交點；相切
不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；
直線與雙曲線相交于兩點；
知識點四：弦長公式
1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設直線與橢圓交于，兩點，則
為直線斜率
2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.
知識點五：雙曲線與漸近線的關系
1、若雙曲線方程為漸近線方程：
2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：
3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，
4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）
知識點六：雙曲線中點弦的斜率公式
設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有
證明：設，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因為是弦的中點，
所以： ， 所以
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊．( )
（2）以為漸近線的雙曲線有2條．( )
（3）雙曲線的離心率（其中）．( )
2．（2022·全國·高二課時練習）中心在原點，實軸長為10，虛軸長為6的雙曲線的標準方程是( )
A． B．或
C． D．或
3．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的漸近線方程為( )
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的頂點坐標是( )
A． B． C． D．
重點題型一：由雙曲線的方程求幾何性質
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）求雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標、離心率以及漸近方程．
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）求下列雙曲線的實軸長、虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、離心率及漸近線方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）寫出雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標、漸近線方程．
2．（2022·陜西·西北農林科技大學附中高二期末（理））已知雙曲線
（1）若，求雙曲線的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；
（2）若雙曲線的離心率為，求實數的取值范圍．
重點題型二：根據雙曲線幾何性質求其標準方程
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）分別求滿足下列條件的曲線方程
(1)以橢圓的短軸頂點為焦點，且離心率為的橢圓方程；
(2)過點，且漸近線方程為的雙曲線的標準方程．
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)實軸長為6，漸近線方程為；
(2)焦距為20，漸近線方程為．
同類題型歸類練
1．（2022·內蒙古·赤峰二中高二期末（文））求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．
(1)焦點在x軸上，實軸長為4，實半軸長是虛半軸長的2倍；
(2)焦點在y軸上，漸近線方程為，焦距長為．
2．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)焦點在x軸上，，離心率為；
(2)焦點的坐標為，，漸近線方程為；
(3)虛軸長為12，離心率為；
(4)離心率，且經過點．
重點題型三：雙曲線的漸近線問題
典型例題
例題1．（2022·廣東潮州·高二期末）已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·北京市十一學校高二期末）橢圓：與雙曲線：的離心率之積為1，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
例題3．（2022·全國·模擬預測）已知，分別是雙曲線C：的左右焦點，雙曲線的右支上一點滿足，為坐標原點，直線與該雙曲線的左支交于點，且，則雙曲線的漸近線方程為______．
同類題型歸類練
1．（2022·河南·信陽高中高二期末（理））已知焦距為4的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陜西渭南·高一期末）中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為_______.
3．（2022·四川南充·高二期末（文））若雙曲線的漸近線與圓相切，則______．
重點題型四：雙曲線的離心率問題
典型例題
例題1．（2022·貴州銅仁·高二期末（文））點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·江西·高三階段練習（文））已知雙曲線的一個焦點坐標為，當取最小值時，的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
例題3．（2022·安徽·安慶市第二中學高二期末）已知雙曲線：的右焦點為，為右支上一點，與 軸切于點 與 軸交于點 ，，，則的離心率為_____________.
例題4．（2022·云南普洱·高二期末）已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
例題5．（2022·天津市西青區楊柳青第一中學高二期末）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線離心率倒數之和的最大值為（ ）
A． B． C． D．
同類題型歸類練
1．（2022·江西·高三階段練習（理））已知雙曲線的一個焦點坐標為，當取最小值時，C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2022·山東青島·二模）設O為坐標原點，拋物線與雙曲線有共同的焦點F，過F與x軸垂直的直線交于A，B兩點，與在第一象限內的交點為M，若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·鄂州市教學研究室高二期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線C有一個交點P，設的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．2
4．（2022·全國·高二專題練習）已知是雙曲線的左右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．
重點題型五：直線與雙曲線的位置關系
典型例題
例題1．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））直線與雙曲線沒有公共點，則斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2022·陜西·西北工業大學附屬中學高二階段練習（文））直線與雙曲線的交點個數是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
例題3．（2022·四川·仁壽一中高二期中（理））若直線與雙曲線始終只有一個公共點，則取值范圍是_____________.
例題4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））設直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點，，則的取值范圍為___________.
同類題型歸類練
1．（2022·陜西·西安中學高二期末（文））已知雙曲線方程為，過點的直線與雙曲線只有一個公共點，則符合題意的直線的條數共有（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
2．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線（）的右焦點為，直線與雙曲線只有1個交點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高二專題練習）直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍為_____.
4．（2022·上海市建平中學高二階段練習）若直線與雙曲線僅有一個公共點，則k的取值是_________
重點題型六：弦長
典型例題
例題1．（2022·湖北·武漢市第十九中學高二期末）已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.
(1)求的方程，并說明是什么曲線；
(2)若直線和曲線相交于，兩點，求.
例題2．（2022·甘肅蘭州·高二期末（文））已知雙曲線及直線．
（1）若與有兩個不同的交點，求實數的取值范圍．
（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標為，求線段的長．
例題3．（2022·貴州黔西·高二期末（理））已知雙曲線的焦點在軸上，對稱中心為坐標原點，焦距為，且過點．
（1）求的方程；
（2）若斜率為2的直線與交于，兩點．且，求．
同類題型歸類練
1．（2022·四川自貢·高二期末（文））設 分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.
(1)雙曲線C的方程；
(2)若直線l：與雙曲線C相交于A B兩點，求.
2．（2022·全國·高三專題練習）過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線.
(1)求證：與雙曲線有兩個不同的交點；
(2)求線段的中點的坐標和.
3．（2022·四川·自貢成外高級中學有限公司高二階段練習（文））已知雙曲線的漸近線方程為，且過點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長．
重點題型七：中點弦和點差法
典型例題
例題1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學高二期末（理））已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線交于，兩點，且點恰好是弦的中點，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線被直線截得的弦，弦的中點為,則直線的斜率為（ ）
A．1 B． C． D．2
例題3．（2022·江蘇揚州·高二開學考試）已知雙曲線，過作直線與雙曲線交于A、兩點，且為弦的中點，則直線的方程為________________.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線，過點且被點平分的弦所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高二課時練習）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是______．
3．（2022·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程為___________.
重點題型八：雙曲線的定點、定值、最值問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點在雙曲線上．當和斜率存在時，求證：為定值．
例題2．（2022·湖南·周南中學高二期末）已知，為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知點，是雙曲線上異于的兩點，直線，與軸分別相交于，兩點，若，證明：直線過定點．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點在雙曲線上．當、斜率存在時，求證：為定值．
2．（2022·云南昆明·高二期末）已知直線與雙曲線C：交于A，B兩點，F是C的左焦點，且，.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若P，Q是雙曲線C上的兩點，M是C的右頂點，且直線MP與MQ的斜率之積為，證明直線PQ恒過定點，并求出該定點的坐標.
重點題型九：雙曲線中的向量問題
典型例題
例題1．（2022·遼寧朝陽·高二期末）在平面直角坐標系中，為坐標原點.動點與定點的距離和它到定直線的距離的比為常數2，動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過點的直線交曲線于兩點，若，求直線的方程.
例題2．（2022·上海普陀·二模）設，分別是雙曲線的左、右兩焦點，過點的直線（）與的右支交于，兩點，過點，且它的虛軸的端點與焦點的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)當時，求實數的值；
(3)設點關于坐標原點的對稱點為，當時，求面積的值.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·淮陰中學高二期中）已知雙曲線C的方程為，離心率為，右頂點為(2，0)
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過的直線與雙曲線C的一支交于兩點，求的取值范圍．
2．（2022·山西·高一期中）已知雙曲線，過點的直線l與該雙曲線兩支分別交于M，N兩點，設，．
(1)若，點O為坐標原點，當時，求的值；
(2)設直線l與y軸交于點E，，，證明：為定值．
1．（2022·全國·高考真題（理））若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．
2．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是_________．
3．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．
4．（2022·全國·高考真題（文））記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值______________．
3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：由雙曲線的方程求幾何性質
重點題型二：根據雙曲線幾何性質求其標準方程
重點題型三：雙曲線的漸近線問題
重點題型四：雙曲線的離心率問題
重點題型五：直線與雙曲線的位置關系
重點題型六：弦長
重點題型七：中點弦和點差法
重點題型八：雙曲線的定點、定值、最值問題
重點題型九：雙曲線中的向量問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：雙曲線的簡單幾何性質
標準方程 （） （）
圖形
性質 范圍 或 或
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點坐標 ， ,
漸近線
離心率 ，，
a，b，c間的關系
知識點二：等軸雙曲線
（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線
①； ②離心率； ③兩漸近線互相垂直，分別為；
④等軸雙曲線的方程，；
知識點三：直線與雙曲線的位置關系
1、代數法：設直線，雙曲線聯立解得：
（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；
，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；
（2）時，
存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若，
時，，直線與雙曲線相交于兩點；
時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；
時，直線與雙曲線有一個交點；相切
不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；
直線與雙曲線相交于兩點；
知識點四：弦長公式
1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設直線與橢圓交于，兩點，則
為直線斜率
2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.
知識點五：雙曲線與漸近線的關系
1、若雙曲線方程為漸近線方程：
2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：
3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，
4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）
知識點六：雙曲線中點弦的斜率公式
設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有
證明：設，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因為是弦的中點，
所以： ， 所以
1．（2022·全國·高二課時練習）判斷正誤
（1）雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊．( )
（2）以為漸近線的雙曲線有2條．( )
（3）雙曲線的離心率（其中）．( )
【答案】 √ × ×
（1）雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊，正確；
（2）以為漸近線的雙曲線方程為，故有無數條，錯誤；
（3）雙曲線的離心率，錯誤.
2．（2022·全國·高二課時練習）中心在原點，實軸長為10，虛軸長為6的雙曲線的標準方程是( )
A． B．或
C． D．或
【答案】B
由題可知：，所以雙曲線的方程為 或
故選：B
3．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的漸近線方程為( )
A． B． C． D．
【答案】A
由題可知：該雙曲線的方程為
故選：A
4．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的頂點坐標是( )
A． B． C． D．
【答案】B
由題可知，該雙曲線焦點在x軸上，所以頂點坐標為( 4,0),(4,0)
故選：B
重點題型一：由雙曲線的方程求幾何性質
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）求雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標、離心率以及漸近方程．
【答案】實軸長：18，虛軸長為6，焦點坐標，離心率：，漸近線方程為：．
解：雙曲線方程是，
雙曲線標準方程為：，
，，，
實軸長：18，虛軸長：6，
焦點坐標，離心率：，漸近線方程為：．
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）求下列雙曲線的實軸長、虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、離心率及漸近線方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析
(1)解：將雙曲線化為標準方程，
則焦點在軸上，且，
即，
所以實軸長為，
虛軸長為，
頂點坐標為，
焦點坐標為，
離心率為，
漸近線方程為；
(2)解：將雙曲線化為標準方程，
則焦點在軸上，且，
即，
所以實軸長為，
虛軸長為，
頂點坐標為，
焦點坐標為，
離心率為，
漸近線方程為；
(3)解：將雙曲線化為標準方程，
則焦點在軸上，且，
即，
所以實軸長為，
虛軸長為，
頂點坐標為，
焦點坐標為，
離心率為，
漸近線方程為；
(4)解：由雙曲線，
得焦點在軸上，且，
即，
所以實軸長為，
虛軸長為，
頂點坐標為，
焦點坐標為，
離心率為，
漸近線方程為
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高二課時練習）寫出雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標、漸近線方程．
【答案】答案見解析.
由題設，，
所以實軸長，虛軸長，焦點坐標，漸近線方程為.
2．（2022·陜西·西北農林科技大學附中高二期末（理））已知雙曲線
（1）若，求雙曲線的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；
（2）若雙曲線的離心率為，求實數的取值范圍．
【答案】（1）焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為；（2）.
（1）當時，
雙曲線方程化為，
所以，，，
所以焦點坐標為，，頂點坐標為，，
漸近線方程為.
（2）因為，
所以，
解得，
所以實數的取值范圍是．
重點題型二：根據雙曲線幾何性質求其標準方程
典型例題
例題1．（2022·全國·高一）分別求滿足下列條件的曲線方程
(1)以橢圓的短軸頂點為焦點，且離心率為的橢圓方程；
(2)過點，且漸近線方程為的雙曲線的標準方程．
【答案】(1)(2)
(1)的短軸頂點為(0，－3)，(0，3)，
∴所求橢圓的焦點在y軸上，且c＝3．
又，∴a＝6．∴．
∴所求橢圓方程為．
(2)根據雙曲線漸近線方程為，可設雙曲線的方程，
把代入得m＝1．所以雙曲線的方程為．
例題2．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)實軸長為6，漸近線方程為；
(2)焦距為20，漸近線方程為．
【答案】(1)或；(2)或.
(1)由條件可知，，，
當焦點在軸時，，解得：，，
此時雙曲線的標準方程是
當焦點在軸時，，解得：，，
此時雙曲線的標準方程是
綜上，雙曲線的標準方程是或；
(2)當焦點在 軸時，
，解得：，
此時雙曲線的標準方程是，
當焦點在軸時，
，解得：，
此時雙曲線的標準方程是，
綜上，雙曲線的標準方程是或.
同類題型歸類練
1．（2022·內蒙古·赤峰二中高二期末（文））求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．
(1)焦點在x軸上，實軸長為4，實半軸長是虛半軸長的2倍；
(2)焦點在y軸上，漸近線方程為，焦距長為．
【答案】(1)(2)
（1）由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：．
（2）由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：．
2．（2022·江蘇·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)焦點在x軸上，，離心率為；
(2)焦點的坐標為，，漸近線方程為；
(3)虛軸長為12，離心率為；
(4)離心率，且經過點．
【答案】(1)(2)(3)或(4)
(1)由條件設所求雙曲線的方程為
則，則
所以
所以雙曲線的方程為
(2)由題意雙曲線的焦點在x軸上，且，設所求雙曲線的方程為
則雙曲線的漸近線方程為：，又漸近線方程為
所以，且，解得
所以雙曲線的方程為
(3)由題意則
由條件，又，即
解得
當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的方程為
當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的方程為
(4)由，即，所以
所以雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線的方程為
將點代入可得
所以雙曲線的方程為
重點題型三：雙曲線的漸近線問題
典型例題
例題1．（2022·廣東潮州·高二期末）已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由可知， ，且雙曲線焦點位于x軸上
故該雙曲線的漸近線方程為 ，
故選：C
例題2．（2022·北京市十一學校高二期末）橢圓：與雙曲線：的離心率之積為1，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
因為橢圓：與雙曲線：的離心率之積為1，
所以有，
因此雙曲線的兩條漸近線方程為：，
所以雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為，，
故選：D
例題3．（2022·全國·模擬預測）已知，分別是雙曲線C：的左右焦點，雙曲線的右支上一點滿足，為坐標原點，直線與該雙曲線的左支交于點，且，則雙曲線的漸近線方程為______．
【答案】
設，則，．由雙曲線的定義知，，，∴，．又，∴．在中，有，∴①．在中，有，∴②，由②化簡可得，將其代入①中，得，即，
∴雙曲線的漸近線方程為．
故答案為：．
同類題型歸類練
1．（2022·河南·信陽高中高二期末（理））已知焦距為4的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由已知焦距為4，所以 ，，又雙曲線方程的漸近線方程為：，而直線的斜率，且直線與一條漸近線垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以雙曲線方程為：
故選：C.
2．（2022·陜西渭南·高一期末）中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為_______.
【答案】
由題意可知，則，解得
則它的漸近線方程為
故答案為：
3．（2022·四川南充·高二期末（文））若雙曲線的漸近線與圓相切，則______．
【答案】
解：雙曲線的漸近線：，
圓的圓心與半徑，
雙曲線的漸近線與圓相切，
，解得或（舍去）．
故答案為：．
重點題型四：雙曲線的離心率問題
典型例題
例題1．（2022·貴州銅仁·高二期末（文））點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，解得，故
故選：A
例題2．（2022·江西·高三階段練習（文））已知雙曲線的一個焦點坐標為，當取最小值時，的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
而且,所以，
所以，當且僅當，即時等號成立，所以，，又，所以，
故選:D．
例題3．（2022·安徽·安慶市第二中學高二期末）已知雙曲線：的右焦點為，為右支上一點，與 軸切于點 與 軸交于點 ，，，則的離心率為_____________.
【答案】
不妨設點 P 在 x 軸的上方，因為軸，
將代入，得，
因為，，
則有，且為等邊三角形，
所以，即，
所以，又，
所以.
故答案為：.
例題4．（2022·云南普洱·高二期末）已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因為，由雙曲線的定義可得，
所以，；
因為,由余弦定理可得，
整理可得，
所以，即.
故選：B
例題5．（2022·天津市西青區楊柳青第一中學高二期末）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線離心率倒數之和的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
設橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸為，半焦距為，
由橢圓和雙曲線的定義可知，設，，，
橢圓和雙曲線的離心率分別為，，
因是它們的一個公共點，且，則由余弦定理可得：
……①
在橢圓中，由定義知，①式化簡為：……②
在雙曲線中，由定義知，①式化簡為：……③
由②③兩式消去得：，等式兩邊同除得，
即，
由柯西不等式得，
.
故選：
同類題型歸類練
1．（2022·江西·高三階段練習（理））已知雙曲線的一個焦點坐標為，當取最小值時，C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
由可得，所以，
故可得，所以，
當且僅當，即時等號成立，所以，，又，
所以，
故選：B．
2．（2022·山東青島·二模）設O為坐標原點，拋物線與雙曲線有共同的焦點F，過F與x軸垂直的直線交于A，B兩點，與在第一象限內的交點為M，若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因為拋物線的焦點，
由題可知，，即拋物線方程為，
令代入拋物線方程，可得，
代入雙曲線方程，可得，
可設，，，
由有
兩邊平方相減可得， ，
由有：，又
即，由有：
由，解得.故A，B，D錯誤.
故選：C.
3．（2022·湖北·鄂州市教學研究室高二期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線C有一個交點P，設的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．2
【答案】C
依題意，，令，，則有，
由得：，即有，
而，所以.
故選：C
4．（2022·全國·高二專題練習）已知是雙曲線的左右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．
【答案】
，是雙曲線的左右焦點，以圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，
則焦點到漸近線的距離：，
所以，
，
，
可得，
即：，可得，
所以，
所以，又，
所以雙曲線的離心率的取值范圍是：．
故答案為：．
重點題型五：直線與雙曲線的位置關系
典型例題
例題1．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））直線與雙曲線沒有公共點，則斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：聯立直線和雙曲線：，消去得，
當，即時，此時方程為，解得，此時直線與雙曲線有且只有一個交點；
當，此時，
解得或，所以時直線與雙曲線無交點；
故選：A
例題2．（2022·陜西·西北工業大學附屬中學高二階段練習（文））直線與雙曲線的交點個數是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】A
解：雙曲線的漸近線方程為：，因為直線與雙曲線的一條漸近線平行，
在軸上的截距為3，所以直線與雙曲線的交點個數是：1．
故選：A．
例題3．（2022·四川·仁壽一中高二期中（理））若直線與雙曲線始終只有一個公共點，則取值范圍是_____________.
【答案】
由，消可得，當或，解得或，
故答案為：
例題4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））設直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點，，則的取值范圍為___________.
【答案】
聯立消去y：，，
得到，又直線不與漸近線平行，
所以.
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·陜西·西安中學高二期末（文））已知雙曲線方程為，過點的直線與雙曲線只有一個公共點，則符合題意的直線的條數共有（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
【答案】A
解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點為.
①直線與雙曲線只有一個公共點；
②過點平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點；
③設過的切線方程為與雙曲線聯立，
可得，
由，即，解得，直線的條數為1.
綜上可得，直線的條數為4.
故選：A,.
2．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線（）的右焦點為，直線與雙曲線只有1個交點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
雙曲線的漸近線方程為，
直線經過焦點，當時，只有直線與漸近線平行，與雙曲線有1個交點，可得，同理可得，當時，，故．
故選：C．
3．（2022·全國·高二專題練習）直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍為_____.
【答案】
由題意，雙曲線的漸近線方程為：，
因為直線過原點且與雙曲線沒有交點，
故需滿足，
故答案為：
4．（2022·上海市建平中學高二階段練習）若直線與雙曲線僅有一個公共點，則k的取值是_________
【答案】
解：由直線與雙曲線聯立得：
，
當時，，方程只有一個解；
當時，，
解得，
故答案為：
重點題型六：弦長
典型例題
例題1．（2022·湖北·武漢市第十九中學高二期末）已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.
(1)求的方程，并說明是什么曲線；
(2)若直線和曲線相交于，兩點，求.
【答案】(1)，曲線是一個雙曲線，除去左右頂點(2)
(1)解：設，則的斜率分別為，，
由已知得，
化簡得，
即曲線C的方程為，
曲線是一個雙曲線，除去左右頂點.
(2)解：聯立消去整理得，
設，，則，
.
例題2．（2022·甘肅蘭州·高二期末（文））已知雙曲線及直線．
（1）若與有兩個不同的交點，求實數的取值范圍．
（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標為，求線段的長．
【答案】（1）且；（2）．
（1）聯立y=2可得．
∵與有兩個不同的交點，
．
且，
且．
（2）設，．
由（1）可知，．
又中點的橫坐標為．
，
，
或．
又由（1）可知，為與有兩個不同交點時，．
．
．
例題3．（2022·貴州黔西·高二期末（理））已知雙曲線的焦點在軸上，對稱中心為坐標原點，焦距為，且過點．
（1）求的方程；
（2）若斜率為2的直線與交于，兩點．且，求．
【答案】（1） ；（2）．
（1）由已知，設焦點坐標為，則，
又，解得，
故雙曲線的方程為：；
（2）設直線，與雙曲線的方程聯立可得：
設，則，，
，
，，解得，
因此．
同類題型歸類練
1．（2022·四川自貢·高二期末（文））設 分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.
(1)雙曲線C的方程；
(2)若直線l：與雙曲線C相交于A B兩點，求.
【答案】(1)(2)
（1）解：拋物線的焦點為，所以，即，，又點，，是等腰直角三角形的三個頂點，所以，即，又，所以，所以雙曲線方程為.
（2）解：依題意設，，由消去整理得，由，所以，，所以.
2．（2022·全國·高三專題練習）過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線.
(1)求證：與雙曲線有兩個不同的交點；
(2)求線段的中點的坐標和.
【答案】(1)證明見解析(2)，
(1)由雙曲線方程知：，則，
由得：，則，
與雙曲線有兩個不同的交點.
(2)設，，
由（1）得：，，；
；
.
3．（2022·四川·自貢成外高級中學有限公司高二階段練習（文））已知雙曲線的漸近線方程為，且過點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長．
【答案】(1)；(2).
（1）由雙曲線方程知：漸近線斜率，又漸近線方程為，；雙曲線過點，；由得：，雙曲線的方程為：；
（2）由（1）得：雙曲線的焦點坐標為；若直線過雙曲線的左焦點，則，由得：；設，，則，；由雙曲線對稱性可知：當過雙曲線右焦點時，；綜上所述：.
重點題型七：中點弦和點差法
典型例題
例題1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學高二期末（理））已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線交于，兩點，且點恰好是弦的中點，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由已知得，又，，可得.
則雙曲線C的方程為.設，，
則兩式相減得，
即.
又因為點P恰好是弦的中點，所以，，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
經檢驗滿足題意
故選：C
例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線被直線截得的弦，弦的中點為,則直線的斜率為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
解：設交點坐標分別為，，，，則，，，
兩式相減可得，即，所以，即直線的斜率為；
故選：A．
例題3．（2022·江蘇揚州·高二開學考試）已知雙曲線，過作直線與雙曲線交于A、兩點，且為弦的中點，則直線的方程為________________.
【答案】
設，則，
∵A、B在雙曲線上，∴，
①－②得：，
即
即，
∴：，即，
由，∵，故與雙曲線有兩個交點滿足題意，
故l方程為：.
故答案為：.
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線，過點且被點平分的弦所在的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：設，故，
兩式做差得：，
所以，
又因為，
所以，
故弦所在的直線方程為，即：.
聯立方程得：，
，故滿足條件.
故選：A.
2．（2022·全國·高二課時練習）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是______．
【答案】(或).
設直線為，與雙曲線交點為，
聯立雙曲線可得：，則，即或，
所以，故，則弦中點為，
所以弦的中點的軌跡方程為(或).
故答案為：(或)
3．（2022·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程為___________.
【答案】
過點的直線與該雙曲線交于，兩點，
設，，，，
，
兩式相減可得：，
因為為的中點，
，，
，
則，
所以直線的方程為，即為．
故答案為：
重點題型八：雙曲線的定點、定值、最值問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點在雙曲線上．當和斜率存在時，求證：為定值．
【答案】證明見解析
設，，則，可得，，
點和點P在雙曲線上，則有，
兩式作差得，
可得，即．
例題2．（2022·湖南·周南中學高二期末）已知，為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知點，是雙曲線上異于的兩點，直線，與軸分別相交于，兩點，若，證明：直線過定點．
【答案】(1)(2)證明見解析
（1）設雙曲線C的方程為（），由題意知，因為，所以解得∴雙曲線C的方程為
（2）設直線AB的方程為，，由，整理得，則，，得，直線PA方程為令，則M（0，），同理N（0，）.由，可得，∴0，0，∴，∴，∴，∴∴，∴當時，此時直線AB方程為恒過定點，顯然不可能∴，直線AB方程為恒過定點
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習）已知是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點在雙曲線上．當、斜率存在時，求證：為定值．
【答案】證明見解析
設，，則，，，
點A和點P在橢圓上，則有，
作差得，
，即．
2．（2022·云南昆明·高二期末）已知直線與雙曲線C：交于A，B兩點，F是C的左焦點，且，.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若P，Q是雙曲線C上的兩點，M是C的右頂點，且直線MP與MQ的斜率之積為，證明直線PQ恒過定點，并求出該定點的坐標.
【答案】(1)(2)證明見解析，直線PQ恒過定點（-2，0）
(1)因為，所以，，
設雙曲線C的焦距為2c，由雙曲線的對稱性知
設雙曲線C的右焦點為F'，則，得，
則，故雙曲線C的方程為.
(2)由已知得，設直線MP與MQ的斜率分別為，，
①當直線PQ不垂直于x軸時：
設直線PQ的斜率為k，PQ的方程為，，，
由得，當時，
，，
那么
，得，符合題意.
所以直線PQ的方程為，恒過定點（-2，0）.
②當直線PQ垂直于x軸時：
設，因為P是C上的點，所以，
則，解得，
故直線PQ過點（-2，0）.
綜上，直線PQ恒過定點（-2，0）.
重點題型九：雙曲線中的向量問題
典型例題
例題1．（2022·遼寧朝陽·高二期末）在平面直角坐標系中，為坐標原點.動點與定點的距離和它到定直線的距離的比為常數2，動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過點的直線交曲線于兩點，若，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
(1)設點，由題意得，
式子左右同時平方，并化簡得，.
所以曲線的方程為.
(2)當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時直線與曲線的交點坐標為.
所以與不垂直，即，不符合題意.
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
聯立，得
由和，得.
，
因為，所以.
所以，
解得
所以直線的方程為，
即或.
例題2．（2022·上海普陀·二模）設，分別是雙曲線的左、右兩焦點，過點的直線（）與的右支交于，兩點，過點，且它的虛軸的端點與焦點的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)當時，求實數的值；
(3)設點關于坐標原點的對稱點為，當時，求面積的值.
【答案】(1)；(2)；(3).
(1)由過點，且它的虛軸的端點與焦點的距離為，
所以，即，
則所求的雙曲線的方程為.
(2)因為直線過點，所以，
由得：等腰三角形底邊上的高的大小為，
又到直線的距離等于等腰三角形底邊上的高，則，
即，則.
(3)設，，
由得：，
則，，又，即，
則，，即，則，
又關于坐標原點的對稱點為，
則.
則所求的面積為.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·淮陰中學高二期中）已知雙曲線C的方程為，離心率為，右頂點為(2，0)
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過的直線與雙曲線C的一支交于兩點，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)解：根據題意，由離心率，又，所以，
又右頂點為，即，故雙曲線的標準方程為．
(2)解：設直線的方程為，設、，
則由，消去整理得到，
∵直線與雙曲線一支交于、兩點，，解得．
因此
，
∵，故，
故．
2．（2022·山西·高一期中）已知雙曲線，過點的直線l與該雙曲線兩支分別交于M，N兩點，設，．
(1)若，點O為坐標原點，當時，求的值；
(2)設直線l與y軸交于點E，，，證明：為定值．
【答案】(1)(2)證明見解析
(1)解：當時，雙曲線，
顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為，
與C聯立得，
所以，，
由，
可得，所以，
所以．
(2)證明：由題意可知直線l的斜率必存在，設直線l的方程為，則．
由，得，
所以，，，．
又點M在雙曲線C上，所以，
化簡得，
同理．
故，是方程的兩根，則，為定值．
1．（2022·全國·高考真題（理））若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．
【答案】
解：雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）．
故答案為：．
2．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是_________．
【答案】
過且斜率為的直線，漸近線，
聯立，得，由，得
而點在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.
故答案為：．
3．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．
【答案】
解：對于雙曲線，所以，即雙曲線的標準方程為，
則，，又雙曲線的漸近線方程為，
所以，即，解得；
故答案為：
4．（2022·全國·高考真題（文））記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值______________．
【答案】2（滿足皆可）
解：，所以C的漸近線方程為,
結合漸近線的特點，只需，即，
可滿足條件“直線與C無公共點”
所以，
又因為，所以，
故答案為：2（滿足皆可）

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