資源簡(jiǎn)介

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程
重點(diǎn)題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
重點(diǎn)題型三：利用拋物線的定義解決軌跡問題
重點(diǎn)題型四：與拋物線定義有關(guān)的最大(小)值問題
重點(diǎn)題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用
第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：拋物線的定義
1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（其中定點(diǎn)不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2、拋物線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).
知識(shí)點(diǎn)二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：
方程 （） （） （） （）
圖形
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線
特別說明：
1、要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其對(duì)應(yīng)拋物線的形狀(焦點(diǎn)位置、開口方向等).拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,有一個(gè)一次項(xiàng)和一個(gè)二次項(xiàng),二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)為;若一次項(xiàng)的字母是,則焦點(diǎn)就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在軸的負(fù)半軸上(開口向左);若一次項(xiàng)的字母是,則焦點(diǎn)就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在軸的負(fù)半軸上(開口向下).
2、焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)方程下一次項(xiàng)系數(shù)的 .
3、準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
4、（1）通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.
（2）拋物線（）上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也稱為拋物線的焦半徑.
1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）到直線與到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．圓 C．拋物線 D．直線
2．（2022·湖南衡陽·高二期末）拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2022·海南華僑中學(xué)高二期中）過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建泉州·高二期末）已知拋物線上有一點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的距離為3，則___________.
5．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)F的直線l與其交與A、B兩點(diǎn)，，其準(zhǔn)線方程為___________．
重點(diǎn)題型一：根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
例題2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo).
(1)準(zhǔn)線方程為；(2)準(zhǔn)線方程為；(3)準(zhǔn)線方程為．
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(1)；(2)；(3)；(4)．
重點(diǎn)題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件分別求拋物線的方程：
(1)準(zhǔn)線方程為；(2)經(jīng)過點(diǎn)．
例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫圖：
(1)準(zhǔn)線方程為；
(2)焦點(diǎn)在軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6；
(3)對(duì)稱軸是軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2；
(4)對(duì)稱軸是軸，經(jīng)過點(diǎn)．
同類題型歸類練
1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高二期末（文））求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1），焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
2．（2022·河南許昌·高二期末（理））（１）求焦點(diǎn)在 x軸上,虛軸長(zhǎng)為12，離心率為 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
重點(diǎn)題型三：利用拋物線的定義解決軌跡問題
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是
A．兩條相交直線 B．拋物線 C．雙曲線 D．橢圓
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_____________．
同類題型歸類練
1．（2022·上海普陀·二模）已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)到的距離等于，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．直線
2．（2022·新疆·哈密市第一中學(xué)高二期末（理））點(diǎn)到點(diǎn) 的距離比它到直線的距離小2，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇·高二）與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是______．
重點(diǎn)題型四：與拋物線定義有關(guān)的最大(小)值問題
典型例題
例題1．（2022·河北石家莊·二模）已知，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向軸作垂線，垂足記為點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2022·全國(guó)·高二期中）已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線:為，則的最小值為
A．3 B．4 C． D．
例題3．（2022·江西贛州·高二期中（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在圓上，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
例題4．（2022·廣西柳州·二模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
同類題型歸類練
1．（2022·河北·深州長(zhǎng)江中學(xué)高二期末）已知拋物線，P是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022·北京市第一六一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南郴州·高二期末）已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________．
4．（2022·廣西南寧·高二期末（理））已知拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，P為拋物線上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
5．（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，則|MA|+|MF|的最小值為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
重點(diǎn)題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用
典型例題
例題2．（2022·江蘇·高二）如圖，一拋物線型拱橋的拱頂離水面高4米，水面寬度米．現(xiàn)有一船只運(yùn)送一堆由小貨箱碼成的長(zhǎng)方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過，已知長(zhǎng)方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面與水面持平．
(1)問船只能否順利通過該橋？
(2)已知每加一層貨箱，船只吃水深度增加1cm；每減一層貨箱，船只吃水深度減少1cm．若每層小貨箱高3cm，且貨物與橋壁需上下留2cm間隙方可通過，問船只需增加或減少幾層貨箱可恰好能從橋下中央通過？
例題2．（2021·安徽宿州·高二期中）某市為慶祝建黨100周年，舉辦城市發(fā)展巡展活動(dòng)，巡展的車隊(duì)要經(jīng)過一個(gè)隧道，隧道橫斷面由一段拋物線及一個(gè)矩形的三邊組成，尺寸如圖（單位：）.
(1)以隧道橫斷面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求該段拋物線所在拋物線的方程；
(2)若車隊(duì)空車時(shí)能通過此隧道，現(xiàn)裝載一集裝箱，箱寬，車與集裝箱總高，此車能否安全通過隧道？請(qǐng)說明理由.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）如圖，汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)F處.已知燈口直徑是，燈深，求燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)O的距離.
2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2m時(shí)，水面寬4m．若水面下降1m，求水面寬度（精確到0.01m）．
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，吊車梁的魚腹部分AOB是一段拋物線，寬7m，高0.7m，求這條拋物線的方程．
1．（2022·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2022·福建·莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值為（ ）
A．6 B．2 C．5 D．8
3．（2022·新疆·三模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線與y軸交于點(diǎn)M，且，則點(diǎn)P到直線l的距離為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））拋物線上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離最小值為___________.
5．（2022·上海徐匯·三模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九卷“勾股”講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，其中直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”，設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，直線是該拋物線的準(zhǔn)線，過拋物線上一點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，射線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若的“勾”，“股”，則拋物線方程為___________.
3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（精講）
目錄
第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）
第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點(diǎn)題型一：根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程
重點(diǎn)題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
重點(diǎn)題型三：利用拋物線的定義解決軌跡問題
重點(diǎn)題型四：與拋物線定義有關(guān)的最大(小)值問題
重點(diǎn)題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用
第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)
知識(shí)點(diǎn)一：拋物線的定義
1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（其中定點(diǎn)不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2、拋物線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).
知識(shí)點(diǎn)二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：
方程 （） （） （） （）
圖形
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線
特別說明：
1、要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其對(duì)應(yīng)拋物線的形狀(焦點(diǎn)位置、開口方向等).拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,有一個(gè)一次項(xiàng)和一個(gè)二次項(xiàng),二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)為;若一次項(xiàng)的字母是,則焦點(diǎn)就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在軸的負(fù)半軸上(開口向左);若一次項(xiàng)的字母是,則焦點(diǎn)就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在軸的負(fù)半軸上(開口向下).
2、焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)方程下一次項(xiàng)系數(shù)的 .
3、準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
4、（1）通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.
（2）拋物線（）上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也稱為拋物線的焦半徑.
1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）到直線與到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．圓 C．拋物線 D．直線
【答案】C
動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線：的距離相等，
所以的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
故選：C．
2．（2022·湖南衡陽·高二期末）拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
解：拋物線，即，則，所以，
所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.
故選：C
3．（2022·海南華僑中學(xué)高二期中）過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：依題意設(shè)拋物線方程為，因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，
所以，解得，所以拋物線方程為；
故選：C
4．（2022·福建泉州·高二期末）已知拋物線上有一點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的距離為3，則___________.
【答案】2
由題意可得：準(zhǔn)線為，故，則
故答案為：2．
5．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)F的直線l與其交與A、B兩點(diǎn)，，其準(zhǔn)線方程為___________．
【答案】
設(shè)線段AB中點(diǎn)為D，則F為線段BD中點(diǎn)，過A、B、D、F分別向拋物線準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、、、，，
由梯形中位線得，，
∴準(zhǔn)線方程為
故答案為：．
重點(diǎn)題型一：根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；
(2)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；
(3)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；
(4)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.
(1)由題設(shè)，，則，
而焦點(diǎn)為，即為，準(zhǔn)線方程為，即為.
(2)由題設(shè)，，則，
而焦點(diǎn)為，即為，準(zhǔn)線方程為，即為.
(3)由題設(shè)，，則，
而焦點(diǎn)為，即為，準(zhǔn)線方程為，即為.
(4)由題設(shè)，，故，則，
而焦點(diǎn)為，即為，準(zhǔn)線方程為，即為.
例題2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為
(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為
(3)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為
(4)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為
(1)拋物線開口向右，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
(2)拋物線開口向下，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
(3)拋物線開口向左，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
(4)拋物線開口向上，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
同類題型歸類練
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo).
(1)準(zhǔn)線方程為；(2)準(zhǔn)線方程為；(3)準(zhǔn)線方程為．
【答案】(1)拋物線方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)拋物線方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為
(3)拋物線方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為
(1)由題意設(shè)拋物線的方程為，
因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，
所以，得，
所以拋物線方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
(2)由題意設(shè)拋物線方程為，
因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，
所以，得，
所以拋物線方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
(3)由題意設(shè)拋物線方程為，
因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，
所以，得，
所以拋物線方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：；
(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：；
(3)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：；
(4)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：．
(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：；
(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：；
(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：；
(4)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：．
重點(diǎn)題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
典型例題
例題1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件分別求拋物線的方程：
(1)準(zhǔn)線方程為；(2)經(jīng)過點(diǎn)．
【答案】(1)(2)y2＝－x或x2＝9y.
(1)由題意得焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，所以設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)．因?yàn)椋詐＝，故拋物線的方程為.
(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)其方程為y2＝－2px(p>0)，代入點(diǎn)(－3， 1)得p＝，此時(shí)方程為y2＝－x；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)，設(shè)其方程為x2＝2py(p>0)，代入點(diǎn)(－3， 1)得p＝，此時(shí)方程為x2＝9y.
綜上，所求拋物線的方程為y2＝－x或x2＝9y.
例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫圖：
(1)準(zhǔn)線方程為；
(2)焦點(diǎn)在軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6；
(3)對(duì)稱軸是軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2；
(4)對(duì)稱軸是軸，經(jīng)過點(diǎn)．
(1)解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，
所以，p=3，
所以拋物線的方程是；其圖象如下：
(2)因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6，
所以，
所以拋物線的方程是或；其圖象如下：
(3)因?yàn)閷?duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2
所以，p=4，
所以拋物線的方程是或；其圖象如下：
(4)因?yàn)閷?duì)稱軸是y軸，
設(shè)拋物線方程為，
因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，
所以，解得，
所以拋物線的方程是，其圖象如下：
同類題型歸類練
1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高二期末（文））求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1），焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）；（2）或．
（1）解：由題意，設(shè)方程為（，），
，，
，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（2）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2，
，
∴當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
2．（2022·河南許昌·高二期末（理））（１）求焦點(diǎn)在 x軸上,虛軸長(zhǎng)為12，離心率為 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
【答案】（1）；（2）或.
焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為=1（a>0,b>0）．
由題意，得　解得b=6,
解得，
所以焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的方程為．
（2）由于點(diǎn)P在第三象限，所以拋物線方程可設(shè)為：或（p>0）
當(dāng)方程為，將點(diǎn)代入得16=4p，即p=4,拋物線方程為：；
當(dāng)方程為，將點(diǎn)代入得4=8p，即p=,拋物線方程為：；
重點(diǎn)題型三：利用拋物線的定義解決軌跡問題
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是
A．兩條相交直線 B．拋物線 C．雙曲線 D．橢圓
【答案】B
試題分析：表示的幾何意義是點(diǎn)到的距離,表示的幾何意義為點(diǎn)到直線的距離,因?yàn)閮烧呦嗟?可推斷的軌跡為拋物線,故選B.
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
∵點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，
∴點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，
∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，則點(diǎn)的軌跡方程是.
故選：D.
例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_____________．
【答案】
設(shè)直線，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)椋?br/>所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為．
故答案為：
同類題型歸類練
1．（2022·上海普陀·二模）已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)到的距離等于，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．直線
【答案】C
由拋物線的定義（平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線）可知，點(diǎn)的軌跡是拋物線.
故選：C
2．（2022·新疆·哈密市第一中學(xué)高二期末（理））點(diǎn)到點(diǎn) 的距離比它到直線的距離小2，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離少2，
所以將直線左移2個(gè)單位，得到直線，即，
可得點(diǎn)到直線的距離等于它到點(diǎn)的距離，
根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線方程為，可得，得，
所以拋物線的方程為，即為點(diǎn)的軌跡方程.
故選：B．
3．（2022·江蘇·高二）與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是______．
【答案】
解：由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，且為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線，
設(shè)拋物線的方程為，
可知，解得，
所以該拋物線方程是，
故答案為：
重點(diǎn)題型四：與拋物線定義有關(guān)的最大(小)值問題
典型例題
例題1．（2022·河北石家莊·二模）已知，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向軸作垂線，垂足記為點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由拋物線知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為
過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，如圖，
由拋物線定義知，
當(dāng)F,P,M三點(diǎn)共線時(shí),最小為，
故選：A
例題2．（2022·全國(guó)·高二期中）已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線:為，則的最小值為
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
解：拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，
所以過焦點(diǎn)作直線的垂線，
則該點(diǎn)到直線的距離為最小值，如圖所示；
由，直線，所以，故選A.
例題3．（2022·江西贛州·高二期中（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在圓上，則的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
如圖，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，
當(dāng)垂直于拋物線的準(zhǔn)線時(shí)，最小，
此時(shí)線段與圓的交點(diǎn)為，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，，
半徑為，所以的最小值為.
故選：C
例題4．（2022·廣西柳州·二模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】D
取的中點(diǎn)為，過分別作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于，連接.點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由定義可知，，，所以（當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），即的最小值為.
故選：D
同類題型歸類練
1．（2022·河北·深州長(zhǎng)江中學(xué)高二期末）已知拋物線，P是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
由拋物線，化為，得到，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，
過點(diǎn)P作，垂足為M，則．
，又，
當(dāng)A，P，M共線時(shí)，取最小值7，
故選：C．
2．（2022·北京市第一六一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依題意可知焦點(diǎn)F(0，)，準(zhǔn)線為y＝－，延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于H點(diǎn)
則|PF|＝|PH|，|PM|＝|PH|－，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，即求|PF|＋|PA|的最小值．
因?yàn)閨PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝ ＝10.
所以|PM|＋|PA|≥10－＝.故選B.
3．（2022·湖南郴州·高二期末）已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________．
【答案】3
由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
如圖所示，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，
過焦點(diǎn)F作直線：的垂線，此時(shí)取得最小值，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，
即的最小值為3.
4．（2022·廣西南寧·高二期末（理））已知拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，P為拋物線上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得．
記拋物線的準(zhǔn)線為l，作于，作于，則由拋物線的定義得，當(dāng)且僅當(dāng)P為BA與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．
故選：A.
5．（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，則|MA|+|MF|的最小值為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，
由拋物線的定義可知|MF|＝|MH|，
則問題轉(zhuǎn)化為|MA|+|MH|的最小值，
結(jié)合圖形可得當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，A，H共線時(shí)|MA|+|MH|最小，
其最小值為.
故選：B．
重點(diǎn)題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用
典型例題
例題2．（2022·江蘇·高二）如圖，一拋物線型拱橋的拱頂離水面高4米，水面寬度米．現(xiàn)有一船只運(yùn)送一堆由小貨箱碼成的長(zhǎng)方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過，已知長(zhǎng)方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面與水面持平．
(1)問船只能否順利通過該橋？
(2)已知每加一層貨箱，船只吃水深度增加1cm；每減一層貨箱，船只吃水深度減少1cm．若每層小貨箱高3cm，且貨物與橋壁需上下留2cm間隙方可通過，問船只需增加或減少幾層貨箱可恰好能從橋下中央通過？
【答案】(1)貨箱能順利通過該橋；
(2)需要增加26層可恰好能從橋下中央通過.
(1)以O(shè)為原點(diǎn)，過O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
設(shè)拋物線方程為x2＝my，根據(jù)題意知點(diǎn)B（5，﹣4）在拋物線上；
∴25＝﹣4m；∴；∴；
可設(shè)C（3，﹣4），過C作AB的垂線，交拋物線于D（3，y0），
則；∴；
∵；∴貨箱能順利通過該橋．
(2)由題（1）知，貨物超出高度為，
每增加一層，則船體連貨物高度整體上升，
由貨物與橋壁需留下2cm間隙．則需要增加層數(shù)為層，
答：船只能順利通過該橋，可以增加26層可恰好能從中央通過．
例題2．（2021·安徽宿州·高二期中）某市為慶祝建黨100周年，舉辦城市發(fā)展巡展活動(dòng)，巡展的車隊(duì)要經(jīng)過一個(gè)隧道，隧道橫斷面由一段拋物線及一個(gè)矩形的三邊組成，尺寸如圖（單位：）.
(1)以隧道橫斷面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求該段拋物線所在拋物線的方程；
(2)若車隊(duì)空車時(shí)能通過此隧道，現(xiàn)裝載一集裝箱，箱寬，車與集裝箱總高，此車能否安全通過隧道？請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)；
(2)不能，理由見解析.
(1)由題設(shè)，可設(shè)拋物線方程為，由圖知：，，
所以，則，故拋物線所在拋物線的方程.
(2)由題設(shè)，令，要使裝載集裝箱的車能安全通過隧道，則，
由（1）并將點(diǎn)代入可得：，故.
所以此車不能安全通過隧道.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）如圖，汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)F處.已知燈口直徑是，燈深，求燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)O的距離.
【答案】
以軸為x軸，反射鏡的頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖，由題可知，設(shè)拋物線方程為
則有，得，
所以燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)O的距離為.
2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2m時(shí)，水面寬4m．若水面下降1m，求水面寬度（精確到0.01m）．
【答案】4.90m
建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
設(shè)拋物線的方程為：，
由題意知：點(diǎn)在拋物線上，
所以，解得，
所以拋物線方程為，
當(dāng)水面下降1m時(shí)拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3，
代入，得，
解得，
此時(shí)水面的寬度為.
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，吊車梁的魚腹部分AOB是一段拋物線，寬7m，高0.7m，求這條拋物線的方程．
【答案】.
根據(jù)題意，設(shè)該拋物線的方程為，將點(diǎn)代入可得，于是該拋物線的方程為.
1．（2022·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
由題意得，，則，
即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
2．（2022·福建·莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值為（ ）
A．6 B．2 C．5 D．8
【答案】A
拋物線的焦點(diǎn)為，
圓，即
所以，圓心為，半徑，
F到圓C上點(diǎn)的距離的最大值為.
故選：A.
3．（2022·新疆·三模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線與y軸交于點(diǎn)M，且，則點(diǎn)P到直線l的距離為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
解：由拋物線，可知，即（為坐標(biāo)原點(diǎn)），
過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，
因?yàn)?，即?br/>由，可知，
所以，
所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．
故選：C．
4．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））拋物線上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離最小值為___________.
【答案】
設(shè)，則，
因?yàn)椋?br/>所以
，當(dāng)時(shí)取得最小值4，
故答案為：4
5．（2022·上海徐匯·三模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九卷“勾股”講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，其中直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”，設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，直線是該拋物線的準(zhǔn)線，過拋物線上一點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，射線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若的“勾”，“股”，則拋物線方程為___________.
【答案】
解：當(dāng)拋物線開口向右時(shí)，如圖所示：
因?yàn)椋?br/>所以，
由拋物線的定義得，
所以是等邊三角形，
所以，
所以拋物線的方程是，
同理，當(dāng)拋物線開口向左時(shí)，拋物線方程為：，
綜上：拋物線的方程為：，
故答案為：

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