資源簡介

3.3.2拋物線的簡單幾何性質（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：拋物線的簡單性質
重點題型二：直線與拋物線的位置關系
重點題型三：拋物線的中點弦和點差法
重點題型四：拋物線的弦長、焦點弦問題
重點題型五：拋物線的定值、定點、定直線問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：拋物線的簡單幾何性質
標準方程 （） （） （） （）
圖形
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 軸 軸 軸 軸
焦點坐標
準線方程
頂點坐標
離心率
通徑長
知識點二：直線與拋物線的位置關系
設直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯立整理成關于的方程
(1)若,當時,直線與拋物線相交,有兩個交點;
當時,直線與拋物線相切,有一個切點;
當時,直線與拋物線相離,沒有公共點.
(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
知識點三：直線和拋物線
1、拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為.
2、拋物線的焦點弦
過拋物線（）的焦點的一條直線與它交于兩點，，則
①，；②；③.
說明：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）
（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；
（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；
（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；
（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.
1．（2022·江蘇連云港·高二期末）拋物線 的焦點坐標是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陜西渭南·高一期末）設圓C與圓外切，與直線相切，則圓C的圓心的軌跡為（ ）
A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓
3．（2022·陜西安康·高二期末（文））已知拋物線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．（2022·寧夏·吳忠中學高二期中（文））已知過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，則_______.
5．（2022·全國·高二課時練習）若拋物線上一點M到x軸的距離等于12，則點M到此拋物線的焦點的距離為______．
6．（2022·全國·高二課時練習）過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長為______．
重點題型一：拋物線的簡單性質
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）對拋物線，下列描述正確的是（ ）
A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為
C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為
例題2．（2022·全國·高二課時練習）在同一平面直角坐標系中畫出下列拋物線.
（1）；（2）；（3）．
同類題型歸類練
1．（2022·浙江·高二期末）下列命題中正確的是（ ）
A．拋物線 的焦點坐標為 ．
B．拋物線 的準線方程為 x = 1．
C．拋物線 的圖象關于 x 軸對稱．
D．拋物線 的圖象關于 y 軸對稱．
2．（2022·安徽蚌埠·高二期末）拋物線的準線方程是，則實數___________.
重點題型二：直線與拋物線的位置關系
典型例題
例題1．（2022·陜西渭南·高一期末）已知拋物線與直線有且僅有一個交點，則（ ）
A．4 B．2 C．0或4 D．8
例題2．（多選）（2022·全國·高三專題練習）已知直線與拋物線相切，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2022·全國·高二課時練習）過點且與拋物線只有一個公共點的直線的條數為______條．
例題4．（2022·全國·高二課時練習）求過定點且與拋物線只有一個公共點的直線方程.
例題5．（2022·全國·高二課時練習）①直線過點，②直線與拋物線只有一個公共點，③直線過拋物線的焦點，從中選擇兩個條件求直線的方程.
同類題型歸類練
1．（2022·上海徐匯·高二期末）已知直線l過點，且與拋物線有且只有一個公共點，則符合要求的直線l的條數為（ ）條
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·河南·封丘一中高二期末（文））過點作拋物線的切線，則切點的橫坐標為______．
3．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線，若過點的直線l與拋物線恒有公共點，則p的值可以是______．（寫出一個符合題意的答案即可）
4．（2022·全國·高二期末）已知拋物線，的焦點為，若過點的直線與拋物線有且只有一個交點，求直線的方程．
重點題型三：拋物線的中點弦和點差法
典型例題
例題1．（2022·河南安陽·高二期末（理））已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，兩點，若點是線段的中點，則直線的斜率為（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
例題2．（2022·云南·一模（文））經過拋物線：的焦點作直線與拋物線相交于 兩點.若，則線段的中點的縱坐標為（ ）
A． B．3 C． D．4
例題3．（2022·全國·高三專題練習）若、是拋物線上的不同兩點，弦（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點，則弦中點的橫坐標為___________.
例題4．（2022·全國·高三專題練習）過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，若的中點的縱坐標為2，則等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
同類題型歸類練
1．（2022·河南新鄉·高二期末（文））已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點，若弦的中點為，則直線l的斜率為（ ）
A． B．3 C． D．－3
2．（2022·全國·三模（文））已知拋物線，直線與拋物線交于、兩點，線段的中點為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江西·高三階段練習（理））已知拋物線C：與直線l交于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標為3，則l的傾斜角為_____.
4．（2022·全國·高二課時練習）若直線與拋物線相交所得的弦被點平分，則直線的方程為______．
重點題型四：拋物線的弦長、焦點弦問題
典型例題
例題1．（2022·甘肅·張掖市第二中學高二期末（文））已知拋物線的對稱軸是軸，點在曲線上.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過拋物線焦點的傾斜角為直線與拋物線交于、兩點，求線段 的長度.
例題2．（2022·江蘇·海門中學高二期末）已知拋物線的焦點為，經過點的直線與拋物線交于兩點，其中點在第一象限；
(1)若直線的斜率為，求的值；
(2)求線段的長度的最小值．
例題3．（2022·重慶八中高二期末）已知動圓過點，且與直線：相切．
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）若過點且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點，求線段的長度．
例題4．（2022·甘肅白銀·高二期末（文））已知拋物線：上一點到焦點的距離為2．
(1)求實數的值；
(2)若直線過的焦點，與拋物線交于，兩點，且，求直線的方程．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇省鎮江第一中學高二期末）已知拋物線的焦點是，斜率為的直線l經過F且與拋物線相交于A、B兩點．
(1)求該拋物線的標準方程和準線方程；
(2)求線段AB的長．
2．（2022·四川涼山·高二期末（理））已知拋物線，其通徑為4.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過拋物線焦點F作傾斜角為的直線l，使得直線l與拋物線交于P Q兩點，且滿足弦長，求直線l的傾斜角的取值范圍.
3．（2022·全國·高二）已知拋物線C：的焦點為F，若點在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P為y軸上一點，過點F的直線l交C于A，B兩點，若是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，求線段AB的長．
4．（2022·內蒙古赤峰·高二期末）已知動圓過定點，且與直線相切，圓心的軌跡為．
(1)求動點的軌跡方程；
(2)已知直線交軌跡于兩點，，且中點的縱坐標為，則的最大值為多少？
5．（2022·安徽·高二開學考試）已知直線與拋物線.
(1)若直線與拋物線相切，求實數的值；
(2)若直線與拋物線相交于、兩點，且，求直線的方程.
重點題型五：拋物線的定值、定點、定直線問題
典型例題
例題1．（2022·陜西·榆林市第十中學高二期末（文））已知點在拋物線上.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點的直線交拋物線于，兩點，設直線，的斜率分別為，，O為坐標原點，求證：為定值.
例題2．（2022·湖南·高二階段練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，當時，為坐標原點）是等邊三角形.
(1)求拋物線的方程.
(2)延長交拋物線于點，試問直線是否恒過點？若是，求出點的坐標；若不是，請說明理由.
例題3．（2022·四川·棠湖中學高二階段練習（理））已知曲線：，點為直線上的動點，過點作的兩條切線，切點分別為，.
(1)若點的坐標為，求這兩條切線的方程；
(2)證明：直線過定點.
例題4．（2022·河南·一模（文））如圖，已知拋物線的焦點為，四點都在拋物線上，直線與直線相交于點，且直線過定點．
(1)求和的值；
(2)證明：①為定值；
②直線斜率為定值，并求出該定值．
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）已知點與點的距離比它到直線的距離小，若記點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)若直線與曲線相交于兩點，且．求證直線過定點，并求出該定點的坐標．
2．（2022·陜西咸陽·二模（文））已知拋物線，過焦點F作x軸的垂線與拋物線C相交于M、N兩點，.
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)若A、B兩點在拋物線C上，且，求證：直線的垂直平分線l恒過定點.
3．（2022·上海市虹口高級中學高二期末）已知拋物線的焦點為F，，過F作直線l交拋物線C于，兩點.
(1)若直線l的斜率為1，求線段AB的中點坐標；
(2)設直線PA，PB的斜率分別為，，求證：是定值.
4．（2022·四川遂寧·高二期末（文））在平面直角坐標系xOy中，已知點，點P到點F的距離比點P到x軸的距離大2，記P的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)A、B是C上的兩點，直線OA、OB的斜率分別為 且，求證直線過定點．
5．（2022·江西·景德鎮一中高二期末（理））已知拋物線C：的焦點為F，以拋物線上一動點M為圓心的圓經過點F，若圓M的面積最小值為.
(1)求p的值；
(2)當點M的橫坐標為1且位于第一象限時，過M作拋物線的兩條弦MA，MB，且滿足證明：直線AB的斜率為定值．
6．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l與拋物線交于A，B兩點．
(1)若直線l的斜率為-1，且經過拋物線C的焦點，求線段AB的長；
(2)若點O為坐標原點，且，求證：直線l過定點．
1．（多選）（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
2．（2022·上海市光明中學模擬預測）設拋物線為的焦點，過的直線交于兩點．若且，則拋物線的方程為____________．
3．（2022·青海·海東市第一中學模擬預測（理））已知拋物線C：（p>0）的焦點為F，過點F且斜率為1的直線與拋物線C相交于A，B兩點，與拋物線C的準線交于點E，若，則p＝________.
4．（2022·四川廣安·模擬預測（文））已知拋物線，點在拋物線C上，過點M作拋物線C的切線，交x軸于點P，點O為坐標原點．
(1)求P點的坐標；
(2)點E的坐標為，經過點的直線交拋物線于A，B兩點，交線段OM于點Q，記EA，EB，EQ的斜率分別為，，，是否存在常數使得．若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
5．（2022·全國·高考真題（理））設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．
(1)求C的方程；
(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．
6．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））已知直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點且與拋物線C相切的兩條直線相交于點D，當直線軸時，．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)求的最小值．
3.3.2拋物線的簡單幾何性質（精講）
目錄
第一部分：思維導圖（總覽全局）
第二部分：知識點精準記憶
第三部分：課前自我評估測試
第四部分：典 型 例 題 剖 析
重點題型一：拋物線的簡單性質
重點題型二：直線與拋物線的位置關系
重點題型三：拋物線的中點弦和點差法
重點題型四：拋物線的弦長、焦點弦問題
重點題型五：拋物線的定值、定點、定直線問題
第五部分：高考（模擬）題體驗
知識點一：拋物線的簡單幾何性質
標準方程 （） （） （） （）
圖形
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 軸 軸 軸 軸
焦點坐標
準線方程
頂點坐標
離心率
通徑長
知識點二：直線與拋物線的位置關系
設直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯立整理成關于的方程
(1)若,當時,直線與拋物線相交,有兩個交點;
當時,直線與拋物線相切,有一個切點;
當時,直線與拋物線相離,沒有公共點.
(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
知識點三：直線和拋物線
1、拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為.
2、拋物線的焦點弦
過拋物線（）的焦點的一條直線與它交于兩點，，則
①，；②；③.
說明：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）
（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；
（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；
（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；
（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.
1．（2022·江蘇連云港·高二期末）拋物線 的焦點坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
拋物線 的方程化為標準方程為： ，
故 ，則焦點坐標為 ，
故選：D.
2．（2022·陜西渭南·高一期末）設圓C與圓外切，與直線相切，則圓C的圓心的軌跡為（ ）
A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓
【答案】A
設的坐標為，圓的半徑為圓的圓心為，
圓與圓外切，與直線相切
，到直線的距離
，即動點到定點的距離等于到定直線的距離
由拋物線的定義知：的軌跡為拋物線.
故選：A
3．（2022·陜西安康·高二期末（文））已知拋物線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
由對稱性易得A，B橫坐標相等且大于0，聯立得，解得，
則，將代入可得，則.
故選：C.
4．（2022·寧夏·吳忠中學高二期中（文））已知過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，則_______.
【答案】10
根據拋物線的定義可得，所以.
故答案為：10.
5．（2022·全國·高二課時練習）若拋物線上一點M到x軸的距離等于12，則點M到此拋物線的焦點的距離為______．
【答案】13
依題意可知點M的縱坐標，代入拋物
線方程求得，拋物線的準線為，
根據拋物線的定義可知點M與焦點F間的距離
故答案為：13
6．（2022·全國·高二課時練習）過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長為______．
【答案】##0.5
該拋物線標準方程為，焦點坐標為，
對稱軸為y軸，過焦點且垂直于對稱軸的直線為，代入方程中，
得，所以過的焦點且垂直于對稱軸的弦長為
故答案為：
重點題型一：拋物線的簡單性質
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）對拋物線，下列描述正確的是（ ）
A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為
C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為
【答案】A
由題知，該拋物線的標準方程為，
則該拋物線開口向上，焦點坐標為.
故選：A.
例題2．（2022·全國·高二課時練習）在同一平面直角坐標系中畫出下列拋物線.
（1）；（2）；（3）．
通過觀察這些圖形，說明拋物線開口的大小與方程中x的系數有怎樣的關系．
在同一平面直角坐標系內做出拋物線，如圖，
通過圖象可以看出來，當x的系數為正數且越大時，拋物線的開口向右且開口越大.
同類題型歸類練
1．（2022·浙江·高二期末）下列命題中正確的是（ ）
A．拋物線 的焦點坐標為 ．
B．拋物線 的準線方程為 x = 1．
C．拋物線 的圖象關于 x 軸對稱．
D．拋物線 的圖象關于 y 軸對稱．
【答案】C
拋物線 的焦點坐標為 ，故A錯誤；
拋物線 的準線方程為，故B錯誤；
拋物線 的圖象關于 x 軸對稱，故C正確，D錯誤；
故選：C.
2．（2022·安徽蚌埠·高二期末）拋物線的準線方程是，則實數___________.
【答案】##
拋物線化為標準方程：，
其準線方程是，而
所以 ，即 ，
故答案為：
重點題型二：直線與拋物線的位置關系
典型例題
例題1．（2022·陜西渭南·高一期末）已知拋物線與直線有且僅有一個交點，則（ ）
A．4 B．2 C．0或4 D．8
【答案】C
聯立得：，
當時，交點為，滿足題意；
當時，由，解得，
綜上可知： 或，
故選：C
例題2．（多選）（2022·全國·高三專題練習）已知直線與拋物線相切，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
聯立可得，由題意可得，解得.
故選：BC.
例題3．（2022·全國·高二課時練習）過點且與拋物線只有一個公共點的直線的條數為______條．
【答案】3
當過點的直線與軸平行時，此時直線與拋物線只有一個公共點；
當過點的直線與軸垂直時，此時直線與拋物線只有一個公共點；
當過點的直線與坐標軸不平行時，設直線的方程為，
聯立方程組，可得，
令，解得，即直線的方程為，
此時直線與拋物線只有一個公共點，
綜上可得：與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有3條.
故答案為：3.
例題4．（2022·全國·高二課時練習）求過定點且與拋物線只有一個公共點的直線方程.
【答案】或或
當所求直線的斜率不存在時，此時直線方程為，與拋物線只有一個公共點；
當所求直線的斜率存在時，設直線方程為
由得出
，解得
故所求直線方程為或或
例題5．（2022·全國·高二課時練習）①直線過點，②直線與拋物線只有一個公共點，③直線過拋物線的焦點，從中選擇兩個條件求直線的方程.
【答案】見解析.
選①②
若直線無斜率，則直線方程為，此時與拋物線只有一個公共點，符合要求.
若直線有斜率，則設直線方程為，聯立直線與拋物線方程得:消元得，
因為與拋物線只有一個公共點，所以，解得，
直線方程為或，
故方程有或或，
選②③
拋物線的焦點為,
若直線無斜率，則直線方程為，此時與拋物線只有一個公共點，符合要求.
若直線有斜率，則設直線方程為，聯立直線與拋物線方程得:消元得，因為與拋物線只有一個公共點，所以，無解，此時不存在.
選①③
拋物線的焦點為,直線過點
直線方程為
同類題型歸類練
1．（2022·上海徐匯·高二期末）已知直線l過點，且與拋物線有且只有一個公共點，則符合要求的直線l的條數為（ ）條
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
當直線平行于軸（即拋物線的）時，直線與拋物線只有一個公共點，
直線與拋物線的軸不平行時，由于在拋物線的外部（與焦點在不同區域），因此過點有的拋物線的切線有兩條．
綜上，符合要求的直線有3條．
故選：D．
2．（2022·河南·封丘一中高二期末（文））過點作拋物線的切線，則切點的橫坐標為______．
【答案】3
設切線方程為，與拋物線方程聯立可得，由，解得或代入得．
故答案為：3
3．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線，若過點的直線l與拋物線恒有公共點，則p的值可以是______．（寫出一個符合題意的答案即可）
【答案】（答案不唯一，不小于2的實數均正確）
解：若點在拋物線的內部或在拋物線上，則過點的直線l與拋物線恒有公共點，
所以當x=1時，，解得，
故答案為：（答案不唯一，不小于2的實數均正確）.
4．（2022·全國·高二期末）已知拋物線，的焦點為，若過點的直線與拋物線有且只有一個交點，求直線的方程．
【答案】或或
由題設，則，故拋物線，
當直線斜率不存在時為，與拋物線只有一個交點；
當直線斜率存在時，若斜率為0，則直線為，與拋物線只有一個交點；
令直線為，代入拋物線整理得：，
所以，可得，故直線為.
綜上，直線的方程為或或.
重點題型三：拋物線的中點弦和點差法
典型例題
例題1．（2022·河南安陽·高二期末（理））已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，兩點，若點是線段的中點，則直線的斜率為（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
設，，∵是AB的中點，∴，
由，相減得，
所以直線的斜率，
故選：B．
例題2．（2022·云南·一模（文））經過拋物線：的焦點作直線與拋物線相交于 兩點.若，則線段的中點的縱坐標為（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
由題可得拋物線標準方程為，設，因為直線過拋物線焦點，所以，所以，中點，所以中點縱坐標為3，
故選：C
例題3．（2022·全國·高三專題練習）若、是拋物線上的不同兩點，弦（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點，則弦中點的橫坐標為___________.
【答案】
設點、的坐標分別是、，則，，
兩式相減得，因，即有，
設直線的斜率是，弦的中點是，則，
從而的垂直平分線的方程為，
又點在直線上，所以，而，解得，
弦中點的橫坐標為2.
故答案為：2
例題4．（2022·全國·高三專題練習）過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，若的中點的縱坐標為2，則等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
拋物線的焦點坐標F(1,0),準線方程,
設AB的中點為M,過A,B,M作準線l的垂線，垂足分別為C,D,N,則MN為梯形ABDC的中位線，,
∵直線AB過拋物線的焦點F,∴可設直線AB的方程為：(m為常數),
代入拋物線的方程消去x并整理得：,
設A,B的縱坐標分別為,線段AB中點,
則,,
∴直線AB的方程為,,
，
故選：C.
同類題型歸類練
1．（2022·河南新鄉·高二期末（文））已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點，若弦的中點為，則直線l的斜率為（ ）
A． B．3 C． D．－3
【答案】C
解：設，，則，所以，整理得．
因為弦的中點為，所以，即直線的斜率為．
故選：C
2．（2022·全國·三模（文））已知拋物線，直線與拋物線交于、兩點，線段的中點為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
設點、，則，
若直線軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，則直線的斜率存在，
由已知，兩式作差可得，
所以，直線的斜率為，
因此，直線的方程為，即.
故選：A.
3．（2022·江西·高三階段練習（理））已知拋物線C：與直線l交于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標為3，則l的傾斜角為_____.
【答案】##
設，，則，，
兩式相減可得，
則，
故的斜率為1，則的傾斜角為.
故答案為：
4．（2022·全國·高二課時練習）若直線與拋物線相交所得的弦被點平分，則直線的方程為______．
【答案】
設點、，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意.
所以，直線的斜率存在，由已知可得，
因為點、都在拋物線上，則，兩式作差得，
所以，直線的斜率為，
因此，直線的方程為，即.
故答案為：.
重點題型四：拋物線的弦長、焦點弦問題
典型例題
例題1．（2022·甘肅·張掖市第二中學高二期末（文））已知拋物線的對稱軸是軸，點在曲線上.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過拋物線焦點的傾斜角為直線與拋物線交于、兩點，求線段 的長度.
【答案】(1)(2)16
(1)由題意知拋物線C的對稱軸是y軸，點在曲線C上，
所以拋物線開口向上，設拋物線的標準方程為：，
代入點的坐標得：，解得
則拋物線的標準方程為：.
(2)焦點，則直線的方程是，設，，
由得，，
所以，則，故.
例題2．（2022·江蘇·海門中學高二期末）已知拋物線的焦點為，經過點的直線與拋物線交于兩點，其中點在第一象限；
(1)若直線的斜率為，求的值；
(2)求線段的長度的最小值．
【答案】(1)3；(2)12.
(1)設，
拋物線的焦點為，直線l經過點F且斜率，
直線l的方程為，
將直線l方程與拋物線消去y可得，
點A是第一象限內的交點，
解方程得，∴.
(2)設，由題知直線l斜率不為0，故設直線l的方程為：，
代入拋物線C的方程化簡得，，
∵＞0，∴，
∴，當且僅當m＝0時取等號，
∴AB長度最小值為12.
例題3．（2022·重慶八中高二期末）已知動圓過點，且與直線：相切．
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）若過點且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點，求線段的長度．
【答案】（1）；（2）.
解：（1）圓過點，且與直線相切
點到直線的距離等于
由拋物線定義可知點的軌跡是以為焦點、以為準線的拋物線，
依題意，設點的軌跡方程為，則，解得，
所以，動圓圓心的軌跡方程是．
（2）依題意可知直線，設
聯立，得，則，
所以，線段的長度為．
例題4．（2022·甘肅白銀·高二期末（文））已知拋物線：上一點到焦點的距離為2．
(1)求實數的值；
(2)若直線過的焦點，與拋物線交于，兩點，且，求直線的方程．
【答案】(1)2(2)或．
(1)拋物線焦點為，準線方程為，
因為點到焦點F距離為2，所以，解得．
(2)拋物線C的焦點坐標為，
當斜率不存在時，可得不滿足題意，
當斜率存在時，設直線l的方程為．
聯立方程，得，
顯然，設，，則，
所以，解得
所以直線l的方程為或
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇省鎮江第一中學高二期末）已知拋物線的焦點是，斜率為的直線l經過F且與拋物線相交于A、B兩點．
(1)求該拋物線的標準方程和準線方程；
(2)求線段AB的長．
【答案】(1)拋物線的方程為，其準線方程為，(2)
(1)解：由焦點，得，解得．
所以拋物線的方程為，其準線方程為，
(2)解：設，，，．
直線的方程為．
與拋物線方程聯立，得，
消去，整理得，
由拋物線的定義可知，．
所以線段的長為．
2．（2022·四川涼山·高二期末（理））已知拋物線，其通徑為4.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過拋物線焦點F作傾斜角為的直線l，使得直線l與拋物線交于P Q兩點，且滿足弦長，求直線l的傾斜角的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
(1)解：由題意知拋物線通徑為，即，
所以，拋物線的標準方程為.
(2)解：由（1）知：拋物線焦點，
①當時，顯然不滿足，
②當時，設直線l方程為，
聯立得，
，則，.
所以，即，
故直線l的傾斜角的取值范圍為.
3．（2022·全國·高二）已知拋物線C：的焦點為F，若點在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P為y軸上一點，過點F的直線l交C于A，B兩點，若是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，求線段AB的長．
【答案】(1)(2)
(1)由點在上，得，解得，
由拋物線的定義及，得，解得或，
結合，得，
故拋物線的方程為．
(2)顯然，直線不與軸重合，設直線的方程為，
由消去并整理，得，
，直線與一定有兩個交點，
設，，則，
設中點為，則，，
即，
線段的中垂線方程為，
令，得，即，
所以，
又，
由，得，解得，
所以．
4．（2022·內蒙古赤峰·高二期末）已知動圓過定點，且與直線相切，圓心的軌跡為．
(1)求動點的軌跡方程；
(2)已知直線交軌跡于兩點，，且中點的縱坐標為，則的最大值為多少？
【答案】(1)(2)
(1)由題設點到點的距離等于它到的距離，
點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
所求軌跡的方程為；
(2)由題意易知直線的斜率存在，
設中點為，直線的方程為，
聯立直線與拋物線，得，，
且，，
又中點為，即，，
故恒成立，
，，
所以，
當時，取最大值為.
5．（2022·安徽·高二開學考試）已知直線與拋物線.
(1)若直線與拋物線相切，求實數的值；
(2)若直線與拋物線相交于、兩點，且，求直線的方程.
【答案】(1)(2)
(1)解：聯立，可得，則，可得.
(2)解：設點、，則，可得，
由韋達定理可得，，
由弦長公式可得，解得.
因此，直線的方程為.
重點題型五：拋物線的定值、定點、定直線問題
典型例題
例題1．（2022·陜西·榆林市第十中學高二期末（文））已知點在拋物線上.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點的直線交拋物線于，兩點，設直線，的斜率分別為，，O為坐標原點，求證：為定值.
【答案】(1)(2)證明見解析
（1）∵點在拋物線C上，∴，解得，∴拋物線C的方程為.
（2）證明：設直線，，，聯立，消去y可得，，由韋達定理有，，∴，即得證.
例題2．（2022·湖南·高二階段練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，當時，為坐標原點）是等邊三角形.
(1)求拋物線的方程.
(2)延長交拋物線于點，試問直線是否恒過點？若是，求出點的坐標；若不是，請說明理由.
【答案】(1)(2)是，
（1）由題意可得，則，解得.故拋物線的方程為.
（2）由（1）可知，設.因為三點共線，所以，即，即，整理得.因為，所以.由題意可知直線的斜率不為0，設直線的方程為.聯立整理得，則.因為關于軸對稱，所以，則，解得.故直線的方程為，即直線恒過點.
例題3．（2022·四川·棠湖中學高二階段練習（理））已知曲線：，點為直線上的動點，過點作的兩條切線，切點分別為，.
(1)若點的坐標為，求這兩條切線的方程；
(2)證明：直線過定點.
【答案】(1)，(2)證明見解析
(1)設切點為，
∵，∴曲線在點處的切線的斜率
∴切線的方程為：
又切線過點，∴，
解得或，故切線的方程為：或.
(2)設，則.
由于，所以切線的斜率為，故.
整理得
設，同理可得.
故直線的方程為.
所以直線過定點.
例題4．（2022·河南·一模（文））如圖，已知拋物線的焦點為，四點都在拋物線上，直線與直線相交于點，且直線過定點．
(1)求和的值；
(2)證明：①為定值；
②直線斜率為定值，并求出該定值．
【答案】(1)，；(2)①證明見解析；②證明見解析，定值為1.
(1)因為焦點，顯然直線的斜率不為零，故設直線方程為，
與聯立可得，
又直線與拋物線交于兩點，又，
故，同理可得：．
(2)①因為直線過定點，且斜率存在，故設直線方程為，
代入中得，又直線交拋物線于兩點，
故當時，時，由韋達定理可得：
，所以．
②直線的斜率為，
由（1）知，．
所以．
故直線的斜率為定值，且定值為.
同類題型歸類練
1．（2022·江蘇·高二）已知點與點的距離比它到直線的距離小，若記點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)若直線與曲線相交于兩點，且．求證直線過定點，并求出該定點的坐標．
【答案】(1)(2)證明見解析，定點為
（1）點與點的距離比它到直線的距離小，點與點的距離和點到直線的距離相等，由拋物線定義知：點軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，即曲線的方程為：.
（2）設，，，由得：，則，即；，，，；，，即；當時，，恒過定點.
2．（2022·陜西咸陽·二模（文））已知拋物線，過焦點F作x軸的垂線與拋物線C相交于M、N兩點，.
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)若A、B兩點在拋物線C上，且，求證：直線的垂直平分線l恒過定點.
【答案】(1)(2)證明見解析
（1）因為過焦點且與軸垂直，故，故，解得：，從而拋物線C的方程為.
（2）設線段中點為，，，由題知，直線的垂直平分線斜率存在，設為k，則：，，.若直線不與x軸垂直，由得，，即，則直線l斜率為，從而直線l的方程為，整理得：恒過點.若直線與x軸垂直，則l為直線，顯然也滿足恒過點.綜上所述，直線l恒過點.
3．（2022·上海市虹口高級中學高二期末）已知拋物線的焦點為F，，過F作直線l交拋物線C于，兩點.
(1)若直線l的斜率為1，求線段AB的中點坐標；
(2)設直線PA，PB的斜率分別為，，求證：是定值.
【答案】(1)(2)詳見解析.
（1）根據題意點，而直線的斜率為1，所以的方程為，聯立拋物線方程，根據韋達定理有，點均在直線上，所以，所以中點坐標為即.
（2）根據題意直線與拋物線有兩個交點，所以直線的斜率不可能為0，設直線方程為，聯立拋物線方程有，據韋達定理有，所以為定值0.
4．（2022·四川遂寧·高二期末（文））在平面直角坐標系xOy中，已知點，點P到點F的距離比點P到x軸的距離大2，記P的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)A、B是C上的兩點，直線OA、OB的斜率分別為 且，求證直線過定點．
【答案】(1)或；(2)證明見解析.
(1)設C上任意一點P的坐標為，則有：，
當時，有；
當時，有，
所以C的方程為或；
(2)由題意知直線AB的斜率存在，設AB的直線方程為，，
聯立方程，整理得，
所以，且，
又由，即，
由,
解得，
故直線的方程為，
所以直線恒過定點.
5．（2022·江西·景德鎮一中高二期末（理））已知拋物線C：的焦點為F，以拋物線上一動點M為圓心的圓經過點F，若圓M的面積最小值為.
(1)求p的值；
(2)當點M的橫坐標為1且位于第一象限時，過M作拋物線的兩條弦MA，MB，且滿足證明：直線AB的斜率為定值．
【答案】(1)2(2)證明見解析.
(1)設，有，而點，則，
因，因此，而圓M面積最小值為，即，則有，
所以p的值是2.
(2)由（1）知，拋物線，則有，而，即有軸，
因過M作拋物線的兩條弦MA，MB，有，則直線MA，MB傾斜角互補，即直線MA，MB斜率和為0，
設點，直線的斜率，直線的斜率，
因此有，整理得：，
所以直線的斜率是定值.
6．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l與拋物線交于A，B兩點．
(1)若直線l的斜率為-1，且經過拋物線C的焦點，求線段AB的長；
(2)若點O為坐標原點，且，求證：直線l過定點．
【答案】(1)8(2)證明見解析
(1)拋物線為，
∴焦點坐標為，直線AB斜率為，則直線AB方程為：，
設，，由得：，可得，
由拋物線定義可得，
∴．
(2)設直線AB方程為：，設，，
∵，∴，∴，
由得：，
∴；；∴，解得或，
當時，直線AB過原點，不滿足題意；當時，直線AB過點．
故當時，直線AB過定點．
1．（多選）（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
【答案】ACD
對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯立拋物線方程得，
設，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
2．（2022·上海市光明中學模擬預測）設拋物線為的焦點，過的直線交于兩點．若且，則拋物線的方程為____________．
【答案】
解：，
因為，
所以軸，
則為線段的中點，
令，則，
所以，解得，
所以拋物線的方程為.
故答案為：.
3．（2022·青海·海東市第一中學模擬預測（理））已知拋物線C：（p>0）的焦點為F，過點F且斜率為1的直線與拋物線C相交于A，B兩點，與拋物線C的準線交于點E，若，則p＝________.
【答案】2
過點F且斜率為1的直線方程為，
聯立拋物線C的方程，得，
所以，
又因為令中，則，又因為，
所以，又因為，所以，解得p＝2.
故答案為：2.
4．（2022·四川廣安·模擬預測（文））已知拋物線，點在拋物線C上，過點M作拋物線C的切線，交x軸于點P，點O為坐標原點．
(1)求P點的坐標；
(2)點E的坐標為，經過點的直線交拋物線于A，B兩點，交線段OM于點Q，記EA，EB，EQ的斜率分別為，，，是否存在常數使得．若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)存在；
(1)因為在拋物線C上，所以，所以
所以拋物線C的方程為，即，則，
所以切線的斜率為，
所以過點M的切線方程為，即
聯立，解得P點的坐標為
(2)由題意可知過點的直線的斜率存在，設為，線段所在的直線為，
聯立，解得Q點坐標為，
所以
設，，聯立，得，
所以，．
則
所以，即存在滿足條件．
5．（2022·全國·高考真題（理））設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．
(1)求C的方程；
(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．
【答案】(1)；(2).
（1）拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；
（2）設，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.
6．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））已知直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點且與拋物線C相切的兩條直線相交于點D，當直線軸時，．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)求的最小值．
【答案】(1)(2)
(1)當直線軸時，，代入解得，∴，得，∴拋物線C的標準方程為；
(2)設．聯立得．∴①，
∵直線恒過點，且與拋物線有兩個交點，點在拋物線上，∴，
當直線和直線斜率存在時，設直線，聯立∴，，
∴，∴，同理，設直線，則，聯立∴
由①可知，∴，即，∴點D在直線上．
當直線或直線斜率不存在時，即直線l過原點時，，過原點的切線方程為，易知另外一點為，
過點的切線方程設為，聯立，得，
，解得，即切線方程．此時交點D的坐標為，在直線上，
故的最小值為原點到直線的距離，即．

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