資源簡介

8.6空間直線、平面的垂直
本節課知識點目錄：
異面直線所成的角；
直線與直線垂直。
直線和平面垂直的判定定理
直線和平面垂直的性質定理
線面垂直的計算：線面角與距離
二面角及二面角的平面角求法
平面與平面垂直的判定定理。
平面與平面垂直的性質定理
聯考、模考題選
一、異面直線所成的角
1.定義：平面內兩條直線相交形成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角)；規定兩直線平行時夾角為0°，垂直時夾角為90°.
2范圍：兩條直線夾角α的取值范圍是0°≤α≤90°.
3.定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
4.兩條異面直線所成角α的取值范圍：0°<α≤90°.
【典型例題】
【例1】已知兩異面直線a，b所成的角為17°，過空間一點P作直線l，使得l與a，b的夾角均為9°，那么這樣的直線l有_______條．
【例2】如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【例3】如圖，在四面體ABCD中，E，F分別是AC與BD的中點，若CD=2AB=4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
【例4】如圖，在矩形中，，為邊的中點，現將繞直線翻轉至處，若為線段的中點，則異面直線與所成角的正切值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【例5】在正方體各個表面的對角線中，與所成角為的有
A．4條 B．6條 C．8條 D．10條
【例6】如圖所示，空間四邊形中，兩條對邊，分別是另外兩條對邊上的點，且，則異面直線和所成角的大小為___________.
【例7】如圖所示，在正三角形中，分別為各邊的中點，分別為的中點.將沿折成三棱錐以后，與所成角的度數為
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.若空間中四條不同的直線，，，滿足，，，則下面結論正確的是（ ）
A． B．
C．，既不垂直也不平行 D．，的位置關系不確定
2.已知正三棱柱中，，，點為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，在三棱錐中，，且，E，F分別是棱，的中點，則EF和AC所成的角等于
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.如圖，已知三棱柱的各條棱長都相等，且底面，是側棱的中點，則異面直線和所成的角為(　　)
A． B． C． D．
5.設P是直線外一定點，過點P且與成30°角的異面直線(　　)
A．有無數條 B．有兩條 C．至多有兩條 D．有一條
二、直線與直線垂直
【典型例題】
【例1】在正方體中，與垂直的直線是（ ）
A．AB B．CD C． D．
【例2】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（ ）
A．2條 B．4條
C．6條 D．8條
【例3】平行四邊形中，，將三角形沿著翻折至三角形，則下列直線中有可能與直線垂直的是（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【例4】如圖所示，在正方體中，下列直線與垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【例5】如圖，正方體中，
①與平行；
②與垂直；
③與垂直．
以上三個命題中，正確命題的序號是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③
【例6】如圖所示，在正方形中，點，分別為邊，的中點，將沿所在直線進行翻折，將沿所在直線進行翻折，在翻折的過程中，
①點與點在某一位置可能重合；②點與點的最大距離為；
③直線與直線可能垂直； ④直線與直線可能垂直.
以上說法正確的個數為
A．0 B．1 C．2 D．3
【例7】空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一定是　(　　)
A．空間四邊形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【例8】如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關系是
A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
【對點實戰】
1.在正方體ABCD -A1B1C1D1中，與直線AA1垂直的棱有（　　）條．
A．2 B．4
C．6 D．8
2.如圖，在長方體中，，M、N分別是、的中點.則直線與是（ ）
A．相互垂直的相交直線
B．相互垂直的異面直線
C．相互不垂直的異面直線
D．夾角為60°的異面直線
3.．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論，正確的是（ ）
A．AB⊥EF
B．AB與CM所成的角為60°
C．EF與MN是異面直線
D．MNCD
4.設a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能
第11課時 課后 直線與直線垂直
5.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點，則在所有的棱中與直線CD和AA1都垂直的直線有______．
三、直線和平面垂直判定定理
定義 如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法 l⊥α
有關概念 直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫做垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
文字語言 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
圖形語言
【典型例題】
【例1】在長方體的各條棱所在直線中與直線垂直的直線有（ ）條．
A．2 B．4條 C．6條 D．8條
【例2】．已知直線m，b，c和平面α，下列條件中，能使m⊥α的是（ ）
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
【例3】如圖，在矩形中，，，為邊的中點，沿將折起，在折起的過程中，下列結論能成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【例4】．已知平面、和直線m、l，要使“若，，，則”正確，則須添加條件（ ）
A． B．
C．l與相交但不垂直 D．l與m為異面直線
【例5】一條直線垂直于一個平面內的下列各種情況：
①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊.
其中能保證該直線與平面垂直的是
A．①③ B．② C．②④ D．①②③
【對點實戰】
1.以下哪個條件能判斷直線l與平面垂直（ ）
A．直線l與平面內無數條直線垂直
B．直線l與平面內兩條平行直線垂直
C．直線l與平面內兩條直線垂直
D．直線1與平面內兩條相交直線垂直
2.如圖所示的正方形中，分別是，的中點，現沿，，把這個正方形折成一個四面體，使，，重合為點，則有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
3.已知是三條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列條件中能得出直線平面的是
A．，其中 B．
C． D．
四、直線和平面垂直性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言 a∥b
圖形語言
【典型例題】
【例1】已知正方體中，點分別是線段上的動點，觀察直線與，與，得出下列結論：
①對于任意給定的點，存在點，使得；
②對于任意給定的點，存在點，使得；
③對于任意給定的點，存在點，使得；
④對于任意給定的點，存在點，使得；
其中正確的結論是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【例2】在空間中，下列命題正確的是（ ）
A．垂直于同一平面的兩個平面平行
B．垂直于同一平面的兩條直線平行
C．平行于同一直線的兩個平面平行
D．平行于同一條直線的一條直線和一個平面平行
廣西玉林市育才中學2020-2021學年高二3月月考數學（文）試題
【例3】在三棱錐中，平面，垂足為，且，則點一定是的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【例4】直三棱柱中，側棱長為2，，，D是的中點，F是上的動點，，交于點E．要使，則線段的長為（ ）
A． B．1 C． D．2
【例5】知平面，直線m，n滿足，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【例6】如圖，在直三棱柱中，，，是的中一點，點在上，記，若平面，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．1
【例7】正方體棱長為3，點E在邊BC上，且滿足BE＝2EC，動點M在正方體表面上運動，并且總保持，則動點M的軌跡的周長為__.
【對點實戰】
1.若直線平面，直線平面，則直線a與直線b的位置關系為（ ）
A．異面 B．相交 C．平行 D．平行或異面
2.在正方體ABCD A1B1C1D1中，直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1，則（ ）
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B與l異面但不垂直
D．B1B與l相交但不垂直
3.如圖，直三棱柱ABC一中，側棱長為2，，，D是的中點，F是上的動點，，DF交于點E，要使平面，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
4.已知，是兩個不同的平面，l，m，n是三條不同的直線，下列一定能得到的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，，
5.如圖，是的斜邊，平面，連接，，作于D，連接，則圖中共有直角三角形（ ）
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
6.已知是空間中的三條直線，其中直線在平面上，則“且”是“平面”的( )
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
五、線面垂直計算：線面角與距離
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA
斜足 斜線和平面的交點，如圖中點A
射影 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO 規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0°
取值范圍 設直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°
求直線與平面所成角的關鍵是尋找過直線上一點與平面垂直的垂線、垂足與斜足的連線即為直線在平面內的射影，直線與直線在平面內射影所成的角即為線面角．
【典型例題】
【例1】如圖，已知正方形和正方形所在平面成60°的二面角，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）．
A． B． C． D．
【例2】在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，點E為PA的中點，，，，則點B到平面PCD的距離為（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知是球的球面上的四點，為球的直徑，球的表面積為，且，，則直線與平面所成角的正弦值是___________.
【例4】如圖，四面體中，，，兩兩垂直， ，點是的中點，若直線與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為
A． B． C． D．
【例5】如圖，在正方體中，，點P在平面內，，則點P到距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．3
【例6】在四棱錐中，AD＝2，，，且，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例7】已知三棱錐的所有頂點都在表面積為64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是邊BC上一動點，則直線SM與平面ABC所成的最大角的正切值為（ ）
A．3 B． C． D．
【對點實戰】
1.三棱柱，側棱底面，底面是邊長為2的等邊三角形，點E是的中點，則E到平面的距離為（ ）
A． B．1 C． D．
2.在正方體中，與平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
3.已知長方體的一條對角線與平面和平面所成的角都是，則直線與平面ABCD所成的角是__________．
4.已知正方體的棱長為1，E為線段上的點，過點E作垂直于的平面截正方體，則截面圖形的周長為______.
5.在長方體中，，，，點到平面的距離為_______．
6.PA、PB、PC是從點P出發的三條射線，其中，，則PC與平面PAB所成角的余弦值為____________．
六、二面角及二面角的平面角求法
1．定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形．
2．相關概念：
(1)這條直線叫做二面角的棱；
(2)兩個半平面叫做二面角的面．
3．畫法：
　　　　
4．記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5．二面角的平面角：
(1)若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
求二面角的平面角的大小的步驟
【典型例題】
【例1】．如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(不同于，)，且，則二面角的平面角為（ ）
A． B． C． D．
【例2】如圖，在直三棱柱中，底面三角形是等邊三角形，且，，則二面角的大小為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【例3】如圖，已知梯形，．，沿著對角線折疊使得點B，點C的距離為，此時二面角的平面角為（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知四面體的每個頂點都在球O（О為球心）的球面上，為等邊三角形，，，且，則二面角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【例5】如圖，在正四棱臺中，記直線與CD所成角為，直線與平面ABCD所成角為，二面角所成角為，則下列關系正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例6】如圖所示，已知△，是的中點，沿直線將△翻折成△，所成二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
【例7】正方體中，點，分別為棱，上的點（不包含端點），設二面角的平面角為，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【對點實戰】
1.已知三棱錐D -ABC的三個側面與底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，則二面角D-BC-A的余弦值為（ ）
A． B． C．0 D．－
2.如圖，銳二面角α-l-β的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，則銳二面角α-l-β的平面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3.已知三棱錐的體積為3，且滿足，，兩兩垂直，二面角為，則面積的最小值為（ ）
A．6 B． C．9 D．
4.已知四面體ABCD中，△ABD和△BDC是等邊三角形，二面角A﹣BD﹣C為直二面角.若AB＝，則四面體ABCD外接球的表面積為 __________________.
5.在60°二面角的一個面內有一個點，若它到二面角的棱的距離是10，則該點到另一個面的距離是______.
上海市寶山中學2021-2022學年高二上學期10月月考數學試題
七、平面與平面垂直的判定定理
1．平面與平面垂直的定義
(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2)畫法：
(3)記作：α⊥β.
2．平面與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
符號語言 l⊥α，l β α⊥β
圖形語言
【典型例題】
【例1】設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若m⊥α，n β，m⊥n，則α⊥β
B．若m∥α，m∥n，則n∥α
C．若m∥n，n⊥β，m α，則α⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β
【例2】．如圖，在正方體的六個面中，與底面垂直的面有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【例3】已知三棱錐A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB
【例4】經過平面外一點和平面內一點與平面垂直的平面有（ ）
A．0個 B．1個 C．無數個 D．1個或無數個
【例5】如圖所示，在四棱錐中，底面，且底面為菱形，是上的一個動點，若要使得平面平面，則應補充的一個條件可以是
A． B． C． D．是棱的中點
【例6】一個三棱錐的四個面中最多有______對面面垂直.
【例7】已知是邊長為的正方形，點在平面外，側棱，，則該幾何體的5個面中，互相垂直的面有______對
【對點實戰】
1.若平面平面，平面平面，則（ ）
A． B． C．與相交但不垂直 D．以上都有可能
2.已知l⊥α，則過l與α垂直的平面(　　)
A．有1個 B．有2個
C．有無數個 D．不存在
3.如圖，是一個四棱錐，平面BCDE，且四邊形BCDE為矩形，則圖中互相垂直的平面共有（ ）
A．4組 B．5組 C．6組 D．7組
4.如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列命題中正確的有___________(寫出全部正確命題的序號).
①平面平面；
②平面平面；
③平面平面，且平面平面；
④平面平面，且平面平面.
5.在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足___________時，平面MBD⊥平面PCD.
八、平面與平面垂直的性質定理
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
圖形語言
【典型例題】
【例1】已知，，是三個不同的平面，是一條直線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，，則
【例2】如圖所示，在斜三棱柱中，，且，過作平面，垂足為，則點在（ ）
A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．內部
【例3】設，，為三個不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列說法錯誤的是（ ）．
A．若，，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，，，則
【例4】已知梯形，，，為中點，將沿折起，使點移至點，若平面平面，則（ ）
A． B． C． D．
【例5】在中，是斜邊的高線，現將沿折起，使平面平面，則折疊后的長度為（ ）
A．2 B． C． D．3
【例6】在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【例7】如圖，棱長為2的正方體，是四邊形內異于，的動點，平面平面.則點的軌跡的長度為______.
【對點實戰】
1.已知l，m是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
2.如圖，在斜三棱柱中中，，，點為上的一個動點，則點在底面ABC上的射影必在（ ）
A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．內部
3.如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAD⊥平面PDC
C．AB⊥PD
D．平面PAD⊥平面PBC
4.三棱錐中，為邊長為3的等邊三角形，，，且面面，則三棱錐的外接球的體積為___________.
5.如圖，在三棱錐P ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC=3，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為___________．
九、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】如圖，將矩形紙片折起一角落得到，記二面角的大小為，直線，與平面所成角分別為，，則（ ）．
A． B．
C． D．
【例2】如圖，等腰直角中，，點為平面外一動點，滿足，，給出下列四個結論：
①存在點，使得平面平面；
②存在點，使得平面平面；
③設的面積為，則的取值范圍是；
④設二面角的大小為，則的取值范圍是.
其中正確結論是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【例3】已知正三棱柱的各棱長都是4，點是棱的中點，動點在側棱上，且不與點重合，設二面角的大小為，則的最小值為_________.
8.6空間直線、平面的垂直
本節課知識點目錄：
異面直線所成的角；
直線與直線垂直。
直線和平面垂直的判定定理
直線和平面垂直的性質定理
線面垂直的計算：線面角與距離
二面角及二面角的平面角求法
平面與平面垂直的判定定理。
平面與平面垂直的性質定理
聯考、模考題選
一、異面直線所成的角
1.定義：平面內兩條直線相交形成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角)；規定兩直線平行時夾角為0°，垂直時夾角為90°.
2范圍：兩條直線夾角α的取值范圍是0°≤α≤90°.
3.定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
4.兩條異面直線所成角α的取值范圍：0°<α≤90°.
【典型例題】
【例1】已知兩異面直線a，b所成的角為17°，過空間一點P作直線l，使得l與a，b的夾角均為9°，那么這樣的直線l有_______條．
【答案】2
【分析】結合異面直線成角作出圖形分析即可求出結果.
【詳解】可將a，b通過平移相交于點P，如圖所示，
則，則的角平分線與直線a，b所成的角均為，的角平分線與直線a，b所成的角均為，因為，所以與直線a，b所成的角均為9°的直線l有且只有2條（直線），
故答案為：2.
【例2】如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【分析】先平移線段，再解三角形即可.
【詳解】取AD的中點P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN或其補角即異面直線AC與BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5．故選：C.
【例3】如圖，在四面體ABCD中，E，F分別是AC與BD的中點，若CD=2AB=4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
【答案】D
【分析】設G為AD的中點，連接GF，GE，由三角形中位線定理可得，，則∠GFE即為EF與CD所成的角，結合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函數即可得到答案.
【詳解】解：設G為AD的中點，連接GF，GE.則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線.
∴ ，且，，且，則EF與CD所成角的度數等于EF與GE所成角的度數.又EF⊥ AB，∴ EF⊥ GF.則△GEF為直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
∴ 在直角△GEF中，∴ ∠GEF=30°.故選：D.
【例4】如圖，在矩形中，，為邊的中點，現將繞直線翻轉至處，若為線段的中點，則異面直線與所成角的正切值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
取的中點，利用中位線可證且，利用矩形，可知且，從而證得，則異面直線與所成角可轉化為直線與所成角 (或其補角)，在直角可求得所成角的正切值.
【詳解】如圖，取的中點，連接為線段的中點，，且.又矩形中，為邊的中點，，且.
，且，四邊形為平行四邊形，，
(或其補角)是異面直線與所成角．
在直角中，，異面直線與所成角的正切值為.故選：A.
【例5】在正方體各個表面的對角線中，與所成角為的有
A．4條 B．6條 C．8條 D．10條
【答案】C
【分析】首先確定與共面的面對角線中成角的共有條，再通過平行關系確定異面的面對角線中也有條，共條.
【詳解】
以為一邊的面對角線構成的等邊三角形如上圖為：和
可知與夾角為的面對角線有：
根據平行關系可知也與成角
可知滿足題意的面對角線共有條.本題正確選項：
【例6】如圖所示，空間四邊形中，兩條對邊，分別是另外兩條對邊上的點，且，則異面直線和所成角的大小為___________.
【答案】
作，由平行線分線段成比例可確定，則所求角為或其補角；根據長度關系可求得，由此可得結果.
【詳解】如圖，過點作，交于點，連接
則 異面直線和所成角即為或其補角
在中，，，又
異面直線和所成角的大小為故答案為：
【例7】如圖所示，在正三角形中，分別為各邊的中點，分別為的中點.將沿折成三棱錐以后，與所成角的度數為
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，I、J分別為BE、DE的中點，則IJ∥側棱AD，故GH與IJ所成角與側棱AD與GH所成的角相等；AD為折成三棱錐的側棱，因為∠AHG=60°，故GH與IJ所成角的度數為60°，
故選:B．
【對點實戰】
1.若空間中四條不同的直線，，，滿足，，，則下面結論正確的是（ ）
A． B．
C．，既不垂直也不平行 D．，的位置關系不確定
【答案】D
【分析】在長方體中舉例說明，可能的位置關系，由排除法可得正確選項.
【詳解】
如圖：在長方體中，記為，為，為，滿足題中條件，，
若為，滿足，此時；
若為，滿足，此時與相交；
若為，滿足，此時與異面垂直；
若為，滿足，此時與相交垂直；
因此，的位置關系不確定，所以選項ABC都不正確，
故選：D.
2.已知正三棱柱中，，，點為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中點，連接，把異面直線與所成角轉化為直線與所成角，設，在中，利用余弦定理，即可求解.
【詳解】如圖所示，取的中點，連接，因為點為的中點，可得，
所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設，
在正中，由，可得，在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理可得.
故選：A.
3.如圖，在三棱錐中，，且，E，F分別是棱，的中點，則EF和AC所成的角等于
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】取BC的中點G，連接FG、EG，則為EF與AC所成的角．解．
【詳解】如圖所示，取BC的中點G，連接FG，EG．，F分別是CD，AB的中點，
，，且，．為EF與AC所成的角．
又，．又，，，
為等腰直角三角形，，即EF與AC所成的角為45°．故選：B．
4.如圖，已知三棱柱的各條棱長都相等，且底面，是側棱的中點，則異面直線和所成的角為(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意設棱長為a，補正三棱柱ABC-A2B2C2，構造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，從而求解．
【詳解】設棱長為a，補正三棱柱ABC-A2B2C2（如圖）．
平移AB1至A2B，連接A2M，∠MBA2即為AB1與BM所成的角，
在△A2BM中，
．故選A．
5.設P是直線外一定點，過點P且與成30°角的異面直線(　　)
A．有無數條 B．有兩條 C．至多有兩條 D．有一條
【答案】A
【分析】利用模型圓錐即可得到答案.
【詳解】過點P且與成30°角的異面直線有無數條，并且異面直線在以P為頂點的圓錐的側面上.
故選A
二、直線與直線垂直
【典型例題】
【例1】在正方體中，與垂直的直線是（ ）
A．AB B．CD C． D．
【答案】C
【分析】證明平面,從而得到，可得答案.
【詳解】連結, 則為直線與所成角,
在直角三角形中，為銳角，所以與不垂直，選項D不正確.
為直線與所成角,在直角三角形中，為銳角，所以與不垂直
由，所以與不垂直，故選項A,B不正確.在正方體中,
平面，且平面,所以由,所以平面’
平面,所以故選: C.
【例2】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（ ）
A．2條 B．4條
C．6條 D．8條
【答案】D
【分析】根據線線之間的垂直關系判斷即可.
【詳解】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．
故選：D.
【例3】平行四邊形中，，將三角形沿著翻折至三角形，則下列直線中有可能與直線垂直的是（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【答案】AB
【分析】結合特殊的平行四邊形對選項進行分析，從而確定正確選項.
【詳解】A選項，若，如下圖所示，
當平面與平面垂直時，兩個平面的交線為，且，
則平面，所以，A選項正確.
B選項，當時，在翻折過程中，可以取從到的范圍，
而，即直線與直線所成角為，所以存在，B選項正確.
C選項，由于，所以為銳角，為銳角，所以C選項錯誤.
D選項，由于，則，所以為銳角，所以D選項錯誤.
故選：AB
【例4】如圖所示，在正方體中，下列直線與垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行關系可確定的垂線即為的垂線，由此可確定結果.
【詳解】四邊形為正方形 故選：
【例5】如圖，正方體中，
①與平行；
②與垂直；
③與垂直．
以上三個命題中，正確命題的序號是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③
【答案】C
【分析】根據線面平行、線面垂直的判定與性質，即可得到正確答案．
【詳解】解：對于①，在正方體中，由圖可知與異面，故①不正確．
對于②，因為，不垂直，所以與不垂直，故②不正確．
對于③，在正方體中，平面，又∵平面，∴與垂直.故③正確．
故選：C．
【例6】如圖所示，在正方形中，點，分別為邊，的中點，將沿所在直線進行翻折，將沿所在直線進行翻折，在翻折的過程中，
①點與點在某一位置可能重合；②點與點的最大距離為；
③直線與直線可能垂直； ④直線與直線可能垂直.
以上說法正確的個數為
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
將沿所在直線進行翻折，將沿所在直線進行翻折，在翻折的過程中，A,C的運動軌跡分別是圓；AB,AF是以BF為旋轉軸的圓錐型側面；CE,CD是以DE為旋轉軸的圓錐型側面.
【詳解】由題意，在翻折的過程中，A,C的運動軌跡分別是兩個平行的圓，所以不能重合，故①不正確；
點與點的最大距離為正方形的對角線,故②正確；
由于△ABF和△CDE全等，把△CDE平移使得DC和AB重合，如圖，
△ABF繞BF旋轉形成兩個公用底面的圓錐，AB,CD是稍大的圓錐的母線，由于∠ABF小于45°，所以AB,CD的最大夾角為銳角，所以不可能垂直，故③不正確；
同理可知，由于∠AFB大于45°，所以AF,BE的最大夾角為鈍角，所以可能垂直，故④正確.
故選:C.
【例7】空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一定是　(　　)
A．空間四邊形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【答案】B
【詳解】如圖，空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別AB,BC,CD,DA的中點，則有且．同理且,所以且．所以四邊形EFGH為平行四邊形，
又，所以．所以四邊形EFGH為矩形．選B．
【例8】如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關系是
A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
【答案】C
【分析】由題意結合線面垂直的判定定理和線面垂直的定義即可確定MA與BD的位置關系.
【詳解】∵BD是菱形ABCD的一條對角線，菱形對角線互相垂直，∴AC⊥BD.∵MC⊥平面ABCD，
∴MC⊥BD，∵MC和AC相交于點C，∴BD⊥平面ACM，∵MA 平面AMC，
∴MA⊥BD.又∵MA與BD是異面直線，∴MA與BD的位置關系是垂直但不相交.故選C.
【對點實戰】
1.在正方體ABCD -A1B1C1D1中，與直線AA1垂直的棱有（　　）條．
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】D
【分析】由正方體ABCD -A1B1C1D1的圖象結合線線垂直的定義即可求解結果．
【詳解】在正方體ABCD -A1B1C1D1中，與AA1垂直的棱為A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8條．故選：D．
2.如圖，在長方體中，，M、N分別是、的中點.則直線與是（ ）
A．相互垂直的相交直線
B．相互垂直的異面直線
C．相互不垂直的異面直線
D．夾角為60°的異面直線
【答案】B
【分析】連接，可證直線與為異面直線，并可求其所成的角.
【詳解】設，連接，
因為平面，平面，，
故直線與異面直線.
在矩形中，因為為所在棱的中點，故，
而，故，
故四邊形為平行四邊形，故，
所以或其補角為異面直線與所成的角，在中，，
故，故，故選：B
3.．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論，正確的是（ ）
A．AB⊥EF
B．AB與CM所成的角為60°
C．EF與MN是異面直線
D．MNCD
【答案】AC
【分析】由題可先畫出正方體,再利用空間中判斷線線夾角的一般方法逐個選項判斷即可.
【詳解】還原正方體,以正方形為底面有
對選項A,因為∥,且有,故A正確.
對選項B,因為∥,所以B錯誤.
對選項C,由圖可得顯然正確.
對選項D,,故D錯誤.
故選：AC
4.設a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b（ ）
A．平行 B．相交 C．異面 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】【詳解】如下圖，若，則和相交；
若，則和異面；
若，則和平行；
所以空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面．
故選：D.
5.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點，則在所有的棱中與直線CD和AA1都垂直的直線有______．
【答案】AB，A1B1
【分析】根據線線垂直的定義或判定來判斷即可.
【詳解】由正三棱柱的性質可知與直線CD和AA1都垂直的直線有AB，A1B1．
故答案為：AB，A1B1.
三、直線和平面垂直判定定理
定義 如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法 l⊥α
有關概念 直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫做垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
文字語言 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
圖形語言
【典型例題】
【例1】在長方體的各條棱所在直線中與直線垂直的直線有（ ）條．
A．2 B．4條 C．6條 D．8條
【答案】D
【分析】根據線線之間的垂直關系判斷即可.
【詳解】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．故選：D.
【例2】．已知直線m，b，c和平面α，下列條件中，能使m⊥α的是（ ）
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
【答案】D
【分析】根據線面垂直的性質定理及判定定理一一判斷可得；
【詳解】解：對于A：m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，則與可能平行或，故A錯誤；
對于B：m⊥b，b∥α，則與可能平行或相交或，故B錯誤；
對于C：m∩b＝A，b⊥α，則與可能平行或相交或，故C錯誤；
對于D：由線線平行及線面垂直的判定知選項D正確．
故選：D
【例3】如圖，在矩形中，，，為邊的中點，沿將折起，在折起的過程中，下列結論能成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】B
【分析】用線面垂直的判定定理對四個選項逐一結合條件分析即可.
【詳解】因為在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E為DC邊的中點，
則在折起過程中，D點在平面BCE上的射影的軌跡為為O1O2(如圖)．
因為折起過程中，DE與AC所成角不能為直角，所以DE不垂直于平面ACD，故A錯；
因為AD⊥ED，并且在折起過程中，當點D的射影位于O點時，有AD⊥BD，所以在折起過程中AD⊥平面BED能成立，故B正確；
折起過程中，BD與AC所成的角不能為直角，所以BD不垂直于平面ACD，故C錯；
只有D點射影位于O2位置，即平面AED與平面AEB重合時，才有BE⊥CD，所以折起過程中CD不垂直于平面BED，故D錯.
故選：B.
【例4】．已知平面、和直線m、l，要使“若，，，則”正確，則須添加條件（ ）
A． B．
C．l與相交但不垂直 D．l與m為異面直線
【答案】B
【分析】由面面垂直的性質證明線面垂直，即可知所需添加的條件.
【詳解】根據面面垂直的性質，知：，，，，則有.故選：B.
【例5】一條直線垂直于一個平面內的下列各種情況：
①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊.
其中能保證該直線與平面垂直的是
A．①③ B．② C．②④ D．①②③
【答案】A
【分析】根據線面垂直的判定定理，只要能證明和兩條交線垂直，即可證明線面垂直．
【詳解】解：因為三角形的任意兩邊是相交的，所以①可以證明線面垂直．
因為梯形的上下兩邊是平行的，此時不相交，所以②不一定能保證線面垂直．
因為圓的任意兩條直徑必相交，所以③可以證明線面垂直．
若直線垂直于正六邊形的兩個對邊，此時兩個對邊是平行的，所以④不一定能保證線面垂直．
綜上所述，正確的條件是：①③．
故選：A．
【對點實戰】
1.以下哪個條件能判斷直線l與平面垂直（ ）
A．直線l與平面內無數條直線垂直
B．直線l與平面內兩條平行直線垂直
C．直線l與平面內兩條直線垂直
D．直線1與平面內兩條相交直線垂直
【答案】D
由直線與平面垂直的判定定理可得答案.
【詳解】對于A、 B、 C，直線l與平面內無數條直線垂直、l與平面內兩條平行直線垂直、直線l與平面內兩條直線垂直，都不符合條件，
如下圖
平面，且，，不垂直平面，
如果直線l與平面內的兩條相交直線都垂直，那么平面，故D正確.
故選：D.
2.如圖所示的正方形中，分別是，的中點，現沿，，把這個正方形折成一個四面體，使，，重合為點，則有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】A
根據正方形的特點，可得，，然后根據線面垂直的判定定理，可得結果.
【詳解】由題意：，，，平面
所以平面正確，D不正確；.又若平面，則，由平面圖形可知顯然不成立；
同理平面不正確；故選：A
3.已知是三條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列條件中能得出直線平面的是
A．，其中 B．
C． D．
【答案】D
對四個選項逐一分析，排除錯誤選項，由此得出正確選項.
【詳解】A中缺少條件“與相交”；B中，當時，與可能平行，可能相交，也可能；C中，與可能平行，可能相交，也可能.對于D選項，兩條平行直線中有一條垂直于一個平面，則另一條也垂直這個平面，D選項正確.故選D.
四、直線和平面垂直性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言 a∥b
圖形語言
【典型例題】
【例1】已知正方體中，點分別是線段上的動點，觀察直線與，與，得出下列結論：
①對于任意給定的點，存在點，使得；
②對于任意給定的點，存在點，使得；
③對于任意給定的點，存在點，使得；
④對于任意給定的點，存在點，使得；
其中正確的結論是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】A
【分析】根據直線與直線，直線與平面的位置關系，結合正方體的性質，分別分析選項，利用排除法可得結論.
【詳解】對于①，當點與重合時，,，且，
∴平面，
∵對于任意給定的點，都有平面，
所以對于任意給定的點，存在點，使得，故①正確．
對于②，只有平面，即平面時，才能滿足對于任意給定的點，存在點，使得，∵過點與平面垂直的直線只有一條，而，故②錯誤．
對于③，只有垂直于在平面中的射影時，，故③正確．
對于④，只有平面時，④才正確，因為過點的平面的垂線與無交點，故④錯誤．
綜上，正確的結論是①③，
故選：A．
【例2】在空間中，下列命題正確的是（ ）
A．垂直于同一平面的兩個平面平行
B．垂直于同一平面的兩條直線平行
C．平行于同一直線的兩個平面平行
D．平行于同一條直線的一條直線和一個平面平行
廣西玉林市育才中學2020-2021學年高二3月月考數學（文）試題
【答案】B
【分析】利用空間線線、線面、面面位置關系判定與性質定理即可判斷出正誤．
【詳解】A.垂直于同一平面的兩個平面不一定平行，可能相交，因此不正確；
B.垂直于同一平面的兩條直線平行，正確；
C.平行于同一直線的兩個平面平行，不正確，兩個平面可能相交；
D.平行于同一條直線的一條直線和一個平面平行，不正確，直線可能在平面內．
故選：B．
【例3】在三棱錐中，平面，垂足為，且，則點一定是的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】根據題意，結合勾股定理，求得，即可求得答案.
【詳解】如圖所示，分別連接，
因為平面，可得
又因為，利用勾股定理，可得，
所以點一定是的外心.故選: B.
【例4】直三棱柱中，側棱長為2，，，D是的中點，F是上的動點，，交于點E．要使，則線段的長為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】先證明，再求出，中, 勾股定理求出，再利用面積相等求出的長.
【詳解】 ，平面， ，
由已知可得 ，設 斜邊上的高為,則，
對三角形使用等面積法得 ，,
所以由中位線定理知，在中, ，
對使用等面積法得 ，解得 ，故選：B.
【例5】知平面，直線m，n滿足，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
根據線面垂直的性質定理，即可得答案.
【詳解】由直線m，n滿足，，則時，m與可垂直，可不垂直，
當，且，根據線面垂直的性質定理，可以得到，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
【例6】如圖，在直三棱柱中，，，是的中一點，點在上，記，若平面，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】易得平面，得到，作交于點，得到平面，通過計算確定的位置即可得到答案.
【詳解】∵，，∴平面，故，
作交于點，此時平面，在矩形中，，
所以四邊形是正方形，所以，所以，又為的中點，
所以為的中點，即，所以.故選：D.
【例7】正方體棱長為3，點E在邊BC上，且滿足BE＝2EC，動點M在正方體表面上運動，并且總保持，則動點M的軌跡的周長為__.
【答案】
【分析】根據題意，需找到一個與直線垂直的面，然后作平面∥平面，則直線垂直面上任意一條直線，即可確定動點的軌跡即為的三條邊，最終可得出結果．
【詳解】如圖：
連接，四邊形為正方形，．又正方體中，面，面．，又因為BD∩=D，BD，平面，
面，．同理可證平面，即得．，．
面．過點作∥交于點，再過點作交于點．
很明顯，平面∥平面．平面．只在平面上運動才能保持，
又動點在正方體表面，動點的軌跡即為的三條邊．在中，，
．動點的軌跡的周長為．
故答案為：．
【對點實戰】
1.若直線平面，直線平面，則直線a與直線b的位置關系為（ ）
A．異面 B．相交 C．平行 D．平行或異面
【答案】C
利用線面垂直的性質定理進行判斷.
【詳解】由于垂直于同一平面的兩直線平行，故當直線平面，直線平面時，直線與直線平行.
故選：C.
2.在正方體ABCD A1B1C1D1中，直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1，則（ ）
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B與l異面但不垂直
D．B1B與l相交但不垂直
【答案】B
【分析】根據兩條直線同時垂直于同一平面，則兩直線平行的定理，直接選擇正確選項即可
【詳解】
因為B1B⊥平面A1C1，又因為l⊥平面A1C1，所以，l∥B1B．故選：B
3.如圖，直三棱柱ABC一中，側棱長為2，，，D是的中點，F是上的動點，，DF交于點E，要使平面，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據線面垂直的判定定理，結合銳角的三角函數定義進行求解即可.
【詳解】因為，，所以，，
因此，因為D是的中點，
所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面，
而平面，所以，因為，
平面，所以平面，而平面，
因此，在直角三角形中，，
當時，即，
此時，而，即，
即，而，平面，
因此平面，此時，故選：C
4.已知，是兩個不同的平面，l，m，n是三條不同的直線，下列一定能得到的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，，
【答案】A
【分析】根據線面垂直的定義和空間直線垂直平行的性質即可判定A正確，舉反例可判定BCD錯誤.
【詳解】A. 若，則直線與平面內的所有直線都垂直，又，∴與平面內的所有直線都垂直，根據線面垂直的定義可得，故A正確；
B.若，設過的平面與交于，則根據線面平行的性質定理可得，在平面內，作直線,則，而此時在平面內，故B錯誤；
C. 若，設，在平面內作直線，則，由線面平行的判定定理可得，而此時在平面內，故C錯誤；
D.若，，，，當平行時，與平面可平行，可在內，也可斜交，也可垂直，故D錯誤.
故選：A.
5.如圖，是的斜邊，平面，連接，，作于D，連接，則圖中共有直角三角形（ ）
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
【答案】C
【分析】由線面垂直的性質定理得線線垂直，通過證明平面，得，這樣可得直角三角形的總個數．
【詳解】平面，則與平面內所有直線都垂直，其中有三個直角三角形，
，中有兩個直角三角形，
又，平面，所以平面，平面，所以，直角三角形中有三個直角三角形，
共8個直角三角形．
故選：C．
6.已知是空間中的三條直線，其中直線在平面上，則“且”是“平面”的( )
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
【答案】B
【分析】“且”與“平面”中，一個做題設，一個做結論構建互逆的兩個命題，再判斷其真假即得.
【詳解】命題p：若“且”，則“平面”， 命題q：若“平面”，則，“且”，
命題p的條件真時，若a//b，l可能與平面平行、斜交、垂直相交、還有可能在面內，即結論不一定成立，即p是假命題；
命題q的條件真時，由線面垂直的定義知，其結論必真，即q是真命題，
所以“且”是“平面”的必要非充分條件.
故選：B
五、線面垂直計算：線面角與距離
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA
斜足 斜線和平面的交點，如圖中點A
射影 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO 規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0°
取值范圍 設直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°
求直線與平面所成角的關鍵是尋找過直線上一點與平面垂直的垂線、垂足與斜足的連線即為直線在平面內的射影，直線與直線在平面內射影所成的角即為線面角．
【典型例題】
【例1】如圖，已知正方形和正方形所在平面成60°的二面角，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
由題意得，，可知為平面和平面所成的二面角，即，利用線面垂直判定定理得平面，取中點M，連接DM，利用線面垂直判定定理知平面，即為直線與平面所成角，在直角中，利用正弦可求得結果.
【詳解】由題意得，平面平面，且，
為平面和平面所成的二面角，即，則為等邊三角形，設
又，可知平面
取中點M，連接DM，則，又平面，則
又，可知平面，為直線與平面所成角，
在直角中，，
故選：C
【例2】在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，點E為PA的中點，，，，則點B到平面PCD的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】為中點，連接，易得為平行四邊形，進而可知B到平面PCD的距離即為到平面PCD的距離，再由線面垂直的性質確定線線垂直，在直角三角形中應用勾股定理求相關線段長，即可得△為直角三角形，最后應用等體積法求點面距即可.
【詳解】若為中點，連接，又E為PA的中點，
所以，，又，，則且，
所以為平行四邊形，即，又面，面，
所以面，故B到平面PCD的距離，即為到平面PCD的距離，
由底面ABCD，面ABCD，即，，，
又，即，，則面，面，即，
而，，，，易知：，
在△中；在△中；在△中；
綜上，，故，
又， 則.
所以B到平面PCD的距離為.。故選：D
【例3】已知是球的球面上的四點，為球的直徑，球的表面積為，且，，則直線與平面所成角的正弦值是___________.
【答案】##
【分析】取AC中點，延長至E，使，根據給定條件證明平面ABC，經推理計算作答.
【詳解】依題意，是中點，取AC中點，延長至E，使，連接，如圖，
則有，且四邊形是平行四邊形，，
因，則是平面截球O所得截面小圓的圓心，于是得平面，平面，
因此，是直線與平面所成角，
由球的表面積為得球半徑，而，則，而，
從而得，，中，，，
所以直線與平面所成角的正弦值是.故答案為：
【例4】如圖，四面體中，，，兩兩垂直， ，點是的中點，若直線與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，面ABE,過B作BF，證明BF 面ACD, 為直線與平面所成角，BF即為到平面的距離，利用三角形等面積即可求解.
【詳解】由題知AB面BCD, ABCD,又BC=BD，點是的中點， BECD,
且BE= 又，CD面ABE,
過B作BF于E，則CDBF,又AECD=E, BF 面ACD, 為直線與平面所成角，BF即為到平面的距離.
,解得BA=4 , ,利用 等面積知 .故選D.
【例5】如圖，在正方體中，，點P在平面內，，則點P到距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
可求出的軌跡為的內切圓，再將的軌跡投影到面上，恰好為的內切圓，上的切點與對應的點即為到距離最短的點.
【詳解】
①先簡要說明：面如下。因為四邊形為正方形，故
又面，有。故面，故。同理有，故面
②再簡要說明：面面如下。，故面。，故面
故面面。
③設面。面。。，三棱錐為正三棱錐，為的內心。由等體積法可知
故。。。的內切圓的半徑
的軌跡是面上以為圓心，為半徑的圓，記為。恰好為的內切圓.
又面面，全等于， 面。故也為正的內心
將圓投影到平面上，且圓心為，記為圓，故是的內切三角形
上的切點與上對應的點即為到距離最短的點.
故則點P到距離的最小值等于
【例6】在四棱錐中，AD＝2，，，且，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取AD中點O，可得平面PCO，設PO=t，過O作交PF于H，說明A到平面PBD的距離；設直線PA與平面PBD所成角的大小為，可得
，然后利用基本不等式求解即可.
【詳解】取AD中點O，連接PO、BO、CO，設CO與BD交于F，連接PF，在等腰梯形ABCD中，由且BO=BC=CD=OD，故四邊形DOCB為菱形，所以，又PB=PD，且F為BD的中點，
所以，又，所以平面PCO，過O作交PF于H，由平面PCO，
故，又，所以平面PBD，設PO=t，，故，又AD=2OD，
故點A到平面PBD的距離，設直線PA與平面PBD所成角的大小為，則
當且僅當即時取等號，
故直線PA與平面PBD所成角的正弦值的最大值為，故選：C
【例7】已知三棱錐的所有頂點都在表面積為64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是邊BC上一動點，則直線SM與平面ABC所成的最大角的正切值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據三棱錐外接球的表面積以及三棱錐的幾何特點，求得的長，再根據線面角的定義，求得其正切值的表達式，求其最大值即可.
【詳解】根據題意，將三棱錐放入直三棱柱，則兩者外接球相同，
且取底面的外心為，連接，且取其中點為，連接如下所示：
因為三棱錐外接球的表面積為，設外接球半徑為，則，解得；
對直三棱柱，其外接球球心在的中點處，也即，
故在中，因為，設外接圓半徑為，
則，解得；
在中，因為，且，故可得，即，
再由正弦定理可得，則，又為銳角，故；
則，即是以為頂角的等腰三角形；
因為平面，故與平面的夾角即為，則，
又的最小值即為邊上的高線，設其長度為，則.
故當最大時，為，即直線SM與平面ABC所成的最大角的正切值為.故選：B.
【對點實戰】
1.三棱柱，側棱底面，底面是邊長為2的等邊三角形，點E是的中點，則E到平面的距離為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】先根據等邊三角形求出，再根據幾何性質求出EH可得解.
【詳解】解：由題意得：取中點平面，故E到平面的距離
故選：A
2.在正方體中，與平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據平面ABCD，得到是與平面所成的角求解,
【詳解】如圖所示：因為平面ABCD，所以AC為在平面上的射影，
所以是與平面所成的角設棱長，則，
所以，故選：C
3.已知長方體的一條對角線與平面和平面所成的角都是，則直線與平面ABCD所成的角是__________．
【答案】##
【分析】由線面角的定義知，進而求得，進而得解.
【詳解】由長方體的性質知，
分別為在平面，平面，平面ABCD內的射影，
則，，分別為與平面，平面，平面ABCD所成的角,
即，則又因為
所以，又，所以故答案為：
4.已知正方體的棱長為1，E為線段上的點，過點E作垂直于的平面截正方體，則截面圖形的周長為______.
【答案】
【分析】由題可得平面，故截面與平面平行或在平面內，然后分類討論，作出截面計算周長即得.
【詳解】由正方體的性質可得，AC⊥BD，AC⊥，，
∴AC⊥平面，平面，∴AC⊥，同理，又，
∴平面，故截面與平面平行或在平面內，
當點E與或重合時，截面為正或正，周長為；
一般地，設，則，∴，，
∴，同理可得：，，
故截面圖形的周長為定值.故答案為：.
5.在長方體中，，，，點到平面的距離為_______．
【答案】
【分析】利用等體積法由即可求解.
【詳解】如圖， 設點到平面的距離為，，
．．,
，，
，．故答案為：．
6.PA、PB、PC是從點P出發的三條射線，其中，，則PC與平面PAB所成角的余弦值為____________．
【答案】
【分析】過上一點作平面，則就是直線與平面所成的角，說明點在的平分線上，通過直角三角形、，求出直線與平面所成角的余弦值．
【詳解】過上一點作平面，如圖，則就是直線與平面所成的角．因為，所以點在的平分線上，即．過點作，，
因為平面，則，．設，．
在直角中，，，則．
在直角中，，．則．
即直線與平面所成角的余弦值是．故答案為：
六、二面角及二面角的平面角求法
1．定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形．
2．相關概念：
(1)這條直線叫做二面角的棱；
(2)兩個半平面叫做二面角的面．
3．畫法：
　　　　
4．記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5．二面角的平面角：
(1)若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
求二面角的平面角的大小的步驟
【典型例題】
【例1】．如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(不同于，)，且，則二面角的平面角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由圓的性質知：，根據線面垂直的判定得到面，即，結合二面角定義可確定二面角的平面角.
【詳解】∵是圓上一點(不同于，)，是圓的直徑，
∴，，，即面，而面，
∴，又面面，，
∴由二面角的定義：為二面角的平面角.
故選：C
【例2】如圖，在直三棱柱中，底面三角形是等邊三角形，且，，則二面角的大小為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】首先取的中點，連接，，根據題意得到為二面角平面角，再計算其大小即可.
【詳解】取的中點，連接，，如圖所示：
由題知： ，又因為為的中點，
所以，且。又因為，所以為二面角平面角.
因為，為銳角，所以.故選：B
【例3】如圖，已知梯形，．，沿著對角線折疊使得點B，點C的距離為，此時二面角的平面角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先分別過作，垂直，交于，根據梯形為等腰梯形得到，從而得到，即可用勾股逆定理證明，根據，即可得到，從而得到平面，即平面平面，從而得到二面角的平面角為.
【詳解】分別過作，垂直，交于，如圖所示：
因為，，所以梯形為等腰梯形，
則，.在中，，，則.所以，
則，即.沿著對角線折疊使得點B，點C的距離為，如圖所示：
在中，，，則，即.
所以平面.又因為平面，所以平面平面，
即二面角的平面角為.故選：D
【例4】已知四面體的每個頂點都在球O（О為球心）的球面上，為等邊三角形，，，且，則二面角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若為中點，連接，利用線面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面面，結合已知條件有△為等腰直角三角形，進而可確定四面體外接球球心的位置，若為中點，連接，易知即為二面角的平面角，即可求其正切值.
【詳解】若為中點，連接，由為等邊三角形，則，又，且，
∴面，又面，即，
由題設，，，而，
∴，即，又，面，
∴面，而面，則面面，
由上可得：，則，故△為等腰直角三角形，
∴綜上，四面體的球心為△的中心，即靠近的三等分點，
若為中點，連接，易知：即為二面角的平面角，
由上、且，面，可得面，
又面，則，即，∴，而，
∴.故選：A.
【例5】如圖，在正四棱臺中，記直線與CD所成角為，直線與平面ABCD所成角為，二面角所成角為，則下列關系正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】連接AC，過作，垂足為O，可得平面ABCD，則，在平面ABCD中，過O作，連接，可得為二面角的平面角，等于，，求解直角三角形結合正弦函數與正切函數的單調性得答案.
【詳解】如圖，連接AC，過作，垂足為O，則由正四棱臺的結構特征，可得平面ABCD，則，在平面ABCD中，過O作，連接，
由三垂線定理可得，，則為二面角的平面角，等于，
又，在與中，，，
∵，∴，而，均為銳角，∴；
在與中，，，∵，∴，而，均為銳角，∴.
又，，且，，∴，
而，均為銳角，∴.結合選項可得：，.故選：C.
【例6】如圖所示，已知△，是的中點，沿直線將△翻折成△，所成二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過作垂足為，過作垂足為，將平移到處，連接、，易知為二面角的平面角，，設，，，進而求、、，在中應用余弦定理并結合三角函數的性質判斷與的大小關系.
【詳解】過作垂足為，過作垂足為，將平移到處，連接、，則為二面角的平面角，即，
又，即，故，易知，則，
設，，，則，
在△中，，
在中，，，
在中，，，
∵平面，則平面，則，，，
在中：，∴（當且僅當時等號成立），∴.。故選：B.
【例7】正方體中，點，分別為棱，上的點（不包含端點），設二面角的平面角為，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件結合二面角的相關計算探求得，再利用列式計算即得.
【詳解】在正方體中，平面，平面，則，過A作，連A1O，有平面AOA1，如圖，
于是得，則為二面角的平面角，即，，而，
因此，，又AO是點A到直線EF距離最小值，則有點O與點E重合，即，
因點，分別為正方形ABCD的邊，上除端點外的點，從而得，
則有，令正方體棱長為1，則，
因，于是得，當且僅當，即E為BC中點時取“=”，此時有，
所以的取值范圍為.故選：C
【對點實戰】
1.已知三棱錐D -ABC的三個側面與底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，則二面角D-BC-A的余弦值為（ ）
A． B． C．0 D．－
【答案】C
【分析】取BC的中點E，連接AE，DE，由AB＝AC＝BD＝DC＝，則DE⊥BC，AE⊥BC，從而∠AED為二面角A -BC -D的平面角求解．
【詳解】如圖，由題可知AB＝AC＝BD＝DC＝，AD＝BC＝2，取BC的中點E，連接AE，DE，則DE⊥BC，AE⊥BC，∴∠AED為二面角A -BC -D的平面角．在DAE中，AD＝2，AE＝DE＝，
由于AE2＋DE2＝2＋2＝4＝AD2，∴∠AED＝90°，∴其余弦值為0．故選：C
2.如圖，銳二面角α-l-β的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，則銳二面角α-l-β的平面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點B作BE∥AC，且BE＝AC，連接DE，CE，由BE⊥AB，BD⊥AB，可得∠DBE是二面角α-l-β的平面角，AB⊥平面DBE，則CE⊥DE，即可求得DE的長度，從而可得答案.
【詳解】解：過點B作BE∥AC，且BE＝AC，連接DE，CE，因為AC⊥AB，所以BE⊥AB，
因為BD⊥AB，BD∩BE＝B，所以∠DBE是二面角α-l-β的平面角，且AB⊥平面DBE，所以AB⊥DE，所以CE⊥DE，因為AB＝4，CD＝8，所以DE＝＝＝4，
所以cos∠DBE＝＝＝.故選：B.
3.已知三棱錐的體積為3，且滿足，，兩兩垂直，二面角為，則面積的最小值為（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】令PA=a，PB=b，PC=c，借助二面角大小把a用b，c表示出，再結合體積可得b，c的關系式，最后用等體積法將面積用b，c表示即可得解.
【詳解】令PA=a，PB=b，PC=c，因，，兩兩垂直，則平面，，過P作PD⊥BC于D，于是平面，連PD，AD⊥BC，如圖：
從而有平面APD⊥平面ABC，且是二面角的平面角，即，，
過P作PO⊥AD于O，平面APD平面ABC=AD，則PO⊥平面ABC，且，
中，，得，即，
三棱錐的體積，
即，有，當且僅當b=c時取“=”，
又三棱錐的體積，
從而有，由且得，，
所以當，時，面積取最小值6故選：A
4.已知四面體ABCD中，△ABD和△BDC是等邊三角形，二面角A﹣BD﹣C為直二面角.若AB＝，則四面體ABCD外接球的表面積為 __________________.
【答案】
【分析】設為的中心，O為四面體的外接球的球心，過O作，然后在中，由求解.
【詳解】如圖所示：設為的中心，O為四面體的外接球的球心，
則平面．設M為線段的中點，外接球的半徑為R，
連接，過O作于點G，易知G為的中心，則，
因為，故，在中，，
故，則．所以外接球的表面積為，故答案為：.
5.在60°二面角的一個面內有一個點，若它到二面角的棱的距離是10，則該點到另一個面的距離是______.
上海市寶山中學2021-2022學年高二上學期10月月考數學試題
【答案】
【分析】畫出圖形，是它到另一個面的距離，它到棱的距離，得出為二面角的平面角，在中求解即可 .
【詳解】 如圖所示，為二面角的一個面內有一點，
是它到另一個面的距離，是它到棱的距離為10， 又 ∴ 面 得出 所以 為二面角 的平面角，
在中， 故答案為：
七、平面與平面垂直的判定定理
1．平面與平面垂直的定義
(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2)畫法：
(3)記作：α⊥β.
2．平面與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
符號語言 l⊥α，l β α⊥β
圖形語言
【典型例題】
【例1】設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若m⊥α，n β，m⊥n，則α⊥β
B．若m∥α，m∥n，則n∥α
C．若m∥n，n⊥β，m α，則α⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β
【答案】C
【分析】分別根據面面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理判斷選項即可.
【詳解】m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，
對于,若m⊥α，n β，m⊥n，則與平行或相交，故錯誤；
對于,若m∥α，m∥n，則n∥α 或，故錯誤；
對于,若m∥n，n⊥β，m α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正確；
對于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則或與相交或∥，故錯誤.
故選：.
【例2】．如圖，在正方體的六個面中，與底面垂直的面有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
根據正方體的結構特征，可直接得出結果.
【詳解】因為正方體中，側棱都和底面垂直，因此側面都垂直于底面；
故在正方體的六個面中，與底面垂直的面有個，分別為四個側面.
故選：D.
【例3】已知三棱錐A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB
【答案】B
【分析】由于，所以平面，故平面平面.
【詳解】畫出圖象如下圖所示，由于，所以平面，而平面，所以平面平面.故選B.
【例4】經過平面外一點和平面內一點與平面垂直的平面有（ ）
A．0個 B．1個 C．無數個 D．1個或無數個
【答案】D
【分析】討論平面外一點和平面內一點連線，與平面垂直和不垂直兩種情況.
【詳解】（1）設平面為平面，點為平面外一點，點為平面內一點，
此時，直線垂直底面，過直線的平面有無數多個與底面垂直；
（2）設平面為平面，點為平面外一點，點為平面內一點，
此時，直線與底面不垂直，過直線的平面，只有平面垂直底面.
綜上，過平面外一點和平面內一點與平面垂直的平面有1個或無數個故選：D.
【例5】如圖所示，在四棱錐中，底面，且底面為菱形，是上的一個動點，若要使得平面平面，則應補充的一個條件可以是
A． B． C． D．是棱的中點
【答案】B
【詳解】
因為四邊形是菱形，，又平面，，又平面，即有，故要使平面平面，只需或.
故選：B
【例6】一個三棱錐的四個面中最多有______對面面垂直.
【答案】3
【分析】如圖，證明一個三棱錐的四個面中最多有3對面面垂直即可.
【詳解】
如圖，，
因為平面,
所以平面,又因為平面,
所以平面平面；
同理平面平面；平面平面.
假設平面平面, 又平面平面，平面平面,
所以平面,,顯然不成立，故答案為：3
【例7】已知是邊長為的正方形，點在平面外，側棱，，則該幾何體的5個面中，互相垂直的面有______對
【答案】5
【分析】先找出直線平面的垂線，然后一一列出互相垂直的平面即可
【詳解】因為是邊長為的正方形，，，所以，
所以，所以，因為，所以平面，
因為平面,平面，所以平面平面，平面平面，
因為，平面，平面平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面，同理可得平面，則平面平面，
平面，則平面平面，所以互相垂直的面有5對，
故答案為：5
【對點實戰】
1.若平面平面，平面平面，則（ ）
A． B． C．與相交但不垂直 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】以正方體為模型可得D正確.
【詳解】在正方體中，相鄰兩側面都與底面垂直；相對的兩側面都與底面垂直；一側面和一對角面都與底面垂直，故選D.
2.已知l⊥α，則過l與α垂直的平面(　　)
A．有1個 B．有2個
C．有無數個 D．不存在
【答案】C
【分析】由面面垂直的判定定理可得答案.
【詳解】已知l⊥α，由面面垂直的判定定理可得過l與α垂直的平面有無數個.故選C.
3.如圖，是一個四棱錐，平面BCDE，且四邊形BCDE為矩形，則圖中互相垂直的平面共有（ ）
A．4組 B．5組 C．6組 D．7組
【答案】C
【分析】由平面BCDE，結合面面垂直的判定定理可得平面平面，平面平面，平面平面，而由四邊形BCDE為矩形，平面BCDE，結合面面垂直的判定可得平面平面，平面平面，平面平面，從而可得結論
【詳解】因為平面，平面，平面，平面，
所以平面平面，平面平面，平面平面，
又因為四邊形為矩形，所以平面平面平面，
同理可得平面平面.平面平面
故圖中互相垂直的平面共有6組.
故選：C.
4.如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列命題中正確的有___________(寫出全部正確命題的序號).
①平面平面；
②平面平面；
③平面平面，且平面平面；
④平面平面，且平面平面.
【答案】③
【分析】由等腰三角形三線合一的性質可得，，再由線面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面，平面平面
【詳解】因為，且是的中點，所以，
同理有，
因為，平面.
所以平面.
因為在平面內，所以平面平面.
又由于平面，所以平面平面，
故答案為：③.
5.在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足___________時，平面MBD⊥平面PCD.
【答案】BM⊥PC(或DM⊥PC)
【分析】由題設易證△PDC≌△PBC，利用面面垂直的性質，要使平面MBD⊥平面PCD，只需PC⊥平面MBD，即可確定M滿足的條件.
【詳解】∵△PAB≌△PAD，∴PB=PD，易知△PDC≌△PBC，
當BM⊥PC時，則有DM⊥PC，又BM∩DM =M，故，此時PC⊥平面MBD，PC平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.故答案為：BM⊥PC(或DM⊥PC).
八、平面與平面垂直的性質定理
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
圖形語言
【典型例題】
【例1】已知，，是三個不同的平面，是一條直線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，，則
【答案】A
【分析】利用面面垂直的性質，線面的位置關系，面面的位置關系，結合幾何模型即可判斷.
【詳解】對于A，在平面內取一點P，在平面內過P分別作平面與，與的交線的垂線a,b，
則由面面垂直的性質定理可得，又，
∴，由線面垂直的判定定理可得，故A正確；
對于B，若，，則與位置關系不確定，可能與平行、相交或在內，故B錯誤；
對于C，若，，則與相交或平行，故C錯誤；
對于D，如圖平面，且，，，
顯然與不垂直，故D錯誤.故選：A.
【例2】如圖所示，在斜三棱柱中，，且，過作平面，垂足為，則點在（ ）
A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．內部
【答案】B
【分析】先通過線線垂直證明面，進而可得面面，由面面垂直的性質定理可得要過作平面，只需過作即可，則答案可求.
【詳解】連接，，，且，面，又面ABC
面面，面面，要過作平面，則只需過作即可，
故點在直線上。故選：B.
【例3】設，，為三個不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列說法錯誤的是（ ）．
A．若，，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，，，則
【答案】B
【分析】利用線面垂直、面面垂直的性質可判定選項A；根據面面的位置關系可判斷選項B；利用面面垂直的判定定理科判斷選項C；利用面面垂直的性質定理可判斷選項D，即可得正確選項.
【詳解】對于選項A：若，，，可得，證明如下：
如圖，過點作，與分別交于點，直線確定的平面與的交線交于點，連接，
因為，，所以，因為，所以，即，
同理可得，又因為，所以，即，
所以四邊形是矩形，所以，所以，又因為，所以，
故選項A正確；
對于選項B：若，，則與相交或平行，故選項B不正確，
對于選項C：若，，由面面垂直的判定定理可得，故選項C正確；
對于選項D：若，，，，由面面垂直的性質定理可得，故選項D正確，
故選：B.
【例4】已知梯形，，，為中點，將沿折起，使點移至點，若平面平面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
先利用題中條件得到，， 為邊長均為1的全等的正三角形，再根據平面平面，得出為等腰直角三角形，即可求出.
【詳解】解：由，，
可知：，， 為邊長均為1的全等的正三角形，如圖所示
中點，連， ，又平面平面，
平面平面，平面，又平面，，
即為等腰直角三角形，，.故選：D.
【例5】在中，是斜邊的高線，現將沿折起，使平面平面，則折疊后的長度為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】由題意畫出平面圖及其翻折后的立體圖，利用面面垂直的性質可得面，由線面垂直的性質有，進而在直角三角形中應用勾股定理求.
【詳解】由題設，可得如下平面圖及其翻折后的立體圖，，
∴，，又面面，面面，，面，
∴面，而面，故，
∴在中，.
故選：C.
【例6】在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據其到其他頂點的距離也是半徑，列出方程求解即可.
【詳解】如圖，設外接圓的圓心為，連接，，，連接.
由題意可得，且，.因為平面平面，且，所以平面，且.設為三棱錐外接球的球心，連接，，，過作，垂足為，則外接球的半徑滿足，即，解得，
從而，故三棱錐外接球的表面積為.故選：B.
【例7】如圖，棱長為2的正方體，是四邊形內異于，的動點，平面平面.則點的軌跡的長度為______.
【答案】
【分析】根據已知條件，求得點的軌跡對應的曲線類型，再求其長度即可.
【詳解】因為平面，面，故，
又因為平面平面，故要滿足題意，只需即可.
又點在平面內，故點的軌跡是平面內，以為直徑的半圓（不包含）.
又正方體棱長為2，故該半圓的半徑為1，故其軌跡長度為.故答案為：.
【對點實戰】
1.已知l，m是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系分析選項A,C,D，由平面與平面垂直的判定定理判定選項D.
【詳解】選項A. 由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.
選項B. 由，，則，故正確.
選項C. 由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.
選項D. 由,,則可能相交，可能平行，故不正確.
故選：B
2.如圖，在斜三棱柱中中，，，點為上的一個動點，則點在底面ABC上的射影必在（ ）
A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．內部
【答案】A
【分析】由題意易得平面，再由平面，證得平面平面即可.
【詳解】，；又，且，
平面；又平面，平面平面，在平面上的射影必在兩平面的交線上．又，所以點在底面ABC上的射影必在兩平面的交線上．故選：A．
3.如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAD⊥平面PDC
C．AB⊥PD
D．平面PAD⊥平面PBC
【答案】D
【分析】根據平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，易得AB⊥平面PAD．然后逐項判斷.
【詳解】∵平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，∴AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．
∴AB⊥PD．又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．故A，C正確．
同理可證平面PAD⊥平面PDC．故B正確．D顯然不正確．故選：D
4.三棱錐中，為邊長為3的等邊三角形，，，且面面，則三棱錐的外接球的體積為___________.
【答案】
【分析】根據面面垂直的性質定理得出DC⊥平面ABC，進而找到三角形ABC的外心O1與三角形BCD的外心O2，然后過O1作平面ABC的垂線，過O2作平面BCD的垂線，兩條垂線的交點即為外接球心，最后解出答案.
【詳解】如圖，因為平面ACD⊥平面ABC，且交于BC，而DC⊥BC，所以DC⊥平面ABC，
取正三角形ABC的外心（也為重心）O1，過O1引平面ABC的垂線，
取直角三角形BCD的外心O1，則O1為BD中點，過O2引平面BCD的垂線，設兩條垂線交于O，則O為三棱錐的A-BCD的外接球心.
取BC中點D，連接AO1,OO2,O2D,O1D，因為分別為的中點，所以∥DC，且，所以平面ABC，因為平面ABC，所以∥.
易知三點共線，且AD⊥BC，又因為平面ACD⊥平面ABC，且交于BC，所以AD⊥平面BCD，而OO2⊥平面BCD，所以O1D∥OO2，于是四邊形是矩形，且.
連接，在正三角形ABC中，其邊長為3，所以，
由勾股定理：外接球半徑，所以外接球體積.
故答案為：.
5.如圖，在三棱錐P ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC=3，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為___________．
【答案】
【分析】根據面面垂直的性質定理得出PC⊥平面ABC，進而得到PC⊥CM，然后運用勾股定理得到答案.
【詳解】∵平面PAC⊥平面ABC且交于AC，又PC⊥AC，∴PC⊥平面ABC，而CM平面ABC，
∴PC⊥CM，∴，∴當CM最小時，PM最小.
如圖，∵△ABC是邊長為4的正三角形，∴當CM⊥AB時CM最小，此時M為AB中點，易得.
∴PM的最小值為.故答案為：.
九、聯賽、聯考與自主招生題選
【例1】如圖，將矩形紙片折起一角落得到，記二面角的大小為，直線，與平面所成角分別為，，則（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】如圖，過作平面，垂足為，過作，垂足為，可證，利用三角變換公式可證，從而可得正確的選項.
【詳解】
如圖，過作平面，垂足為，過作，垂足為，
設，因為平面，平面，故，
而，故平面，而平面，
所以，故，又，.
在直角三角形中，，同理，故，同理，故，故，整理得到，
故，
整理得到即，
若，由 可得即，
但，故，即，矛盾，
故.故A正確，B錯誤.
由可得，
而均為銳角，故，，故CD錯誤.
故選：A.
【例2】如圖，等腰直角中，，點為平面外一動點，滿足，，給出下列四個結論：
①存在點，使得平面平面；
②存在點，使得平面平面；
③設的面積為，則的取值范圍是；
④設二面角的大小為，則的取值范圍是.
其中正確結論是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
①當時，結合條件，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判斷；②取AP的中點M，根據，得到，利用反證法判斷；③由AP=4，AC=2，得到，由點P在平面上的極限位置判斷；④根據，由點在平面內時 ，當點運動時，設點A到平面的距離為h，根據，由判斷.
【詳解】如圖所示：
①當時，又，所以平面ABC，所以，又，所以平面PBC，又平面PAC，所以平面平面，故正確；
②取AP的中點M，連接BM，CM，因為，所以，假設平面平面，則平面PAC，則，而BM=BC=2，，不成立，故錯誤；
③因為AP=4，AC=2，所以，當點P在平面上，且C，P在A，B的異側 ，當C，P在A，B的同側時，A，C，P共線， ，因為點為平面外，則的取值范圍是，故錯誤；
④因為，當點在平面內時 ，當點運動時，設點A到平面的距離為h，因為，則，所以，所以的取值范圍是，故正確.
故選：B
【例3】已知正三棱柱的各棱長都是4，點是棱的中點，動點在側棱上，且不與點重合，設二面角的大小為，則的最小值為_________.
【答案】
【分析】過作于，利用直棱柱性質知⊥側面， 連接，過作于，連接，根據三垂線定理得，且，設，在直角中，求出；在直角中，求出，進而可得的最小值．
【詳解】（Ⅰ）過作于，連接，由直棱柱的性質可知，底面⊥側面，∴⊥側面
連接，過作于，連接，根據三垂線定理得
∴是二面角的平面角即
設，則，在直角中，，在直角中，
故，又，∴故當時，達到最小值，此時與重合
故答案為：

展開更多......

收起↑