資源簡介

9.2-用樣本估計總體-
本節課知識點目錄：
制作頻率分布直方圖
頻率分布直方圖的應用。
折線圖、條形圖、扇形圖及其應用。
百分位數的計算
眾數、中位數、平均數的計算
頻率分布直方圖中的眾數、中位數、平均數
方差、標準差的計算與應用
統計圖表與方差、標準差的綜合應用
、制作頻率分布直方圖
作頻率分布直方圖的步驟
(1)求極差：極差為一組數據中最大值與最小值的差．
(2)決定組距與組數
將數據分組時，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”，組數應力求合適，以使數據的分布規律能較清楚地呈現出來．
(3)將數據分組
(4)列頻率分布表
各小組的頻率＝.
(5)畫頻率分布直方圖
縱軸表示，實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，小長方形的面積＝組距×＝頻率．
【典型例題】
【例1】為考查某校高二男生的體重，隨機抽取44名高二男生，實測體重數據(單位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
將數據進行適當的分組，并畫出相應的頻率分布直方圖．
【例2】從某校高一年級的1002名新生中用簡單隨機抽樣的方法抽取一個容量為100的身高樣本，數據(單位：cm)如下表所示：
168 165 171 167 170 165 170 152 175 174
165 170 168 169 171 166 164 155 164 158
170 155 166 158 155 160 160 164 156 162
160 170 168 164 174 171 165 179 163 172
180 174 173 159 163 172 167 160 164 169
151 168 158 168 176 155 165 165 169 162
177 158 175 165 169 151 163 166 163 167
178 165 158 170 169 159 155 163 153 155
167 163 164 158 168 167 161 162 167 168
161 165 174 156 167 166 162 161 164 166
試作出該樣本的頻率直方圖.
【例3】，9；，11；，10；，5；，4.
【例4】通過抽樣，我們獲得了100位居民某年的月平均用水量（單位：t），如下表：
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6
3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8
3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1
3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3
3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0
2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3
2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4
2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4
2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
試用頻率直方圖分析該地居民月平均用水量的分布情況.
【對點實戰】
1.某校從參加某次知識競賽測試的學生中隨機抽出名學生，將其成績(百分制)(均為整數)分成六段，…后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，求分數在內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖.
2.某校從全體教師中抽取了50位教師參加教育部門組織的知識競賽，根據這50位教師的競賽成績（滿分100分）制作了如圖所示的頻數分布表與部分頻率分布直方圖．
成績/分 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
頻數 2 9 a b 6
求a，b，
補全頻率分布直方圖；
3.生產過程中，測得纖維產品的纖度(表示纖細的一種量)，共有100個數據，將數據分組如下表：
分組 頻數 頻率
4
25
30
29
10
2
合計 100
完成頻率分布表，
畫出頻率分布直方圖；
二、頻率分布直方圖的應用
頻率分布直方圖的性質
①因為小矩形的面積＝組距×＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小．
②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.
③＝樣本容量．
【典型例題】
【例1】為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數為12．
(1)第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？
(2)若次數在110以上(含110次)為達標，則該校全體高一年級學生的達標率是多少？
(3)樣本中不達標的學生人數是多少？
(4)第三組的頻數是多少？
【例2】從某校500名12歲男孩中用簡單隨機抽樣的方法抽取一個容量為120的身高(單位：cm)樣本，具體數據如下表所示：
分組 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142)
人數 5 8 10 22 33
分組 [142,146) [146,150) [150,154)
人數 20 11 6 5
(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率直方圖；(3)畫出頻率折線圖；
(4)估計身高小于134cm的人數占總人數的百分比.
【例3】根據中國銀行的外匯牌價，第一季度的個工作日中，歐元的現匯買入價（歐元的外匯可兌換人民幣）的分組和各組的頻數如下：
，；，；，；，；，；，；，.
(1)列出歐元的現匯買入價的頻率分布表；
(2)估計歐元的現匯買入價在內的頻率；
(3)若歐元的現匯買入價不超過的頻率的為，求.
【例4】某工廠對200個電子元件的使用壽命進行檢查，按照使用壽命（單位：h），可以把這批電子元件分成第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組.由于工作中不慎將部分數據丟失，現有以下部分圖表：
使用 壽命
頻數 30 20
頻率 0.2 0.4
(1)求圖2中A的值；
(2)補全圖2頻率分布直方圖，并求圖2中陰影部分的面積；
(3)為了某次展銷會，用分層抽樣的方法在壽命位于內的產品中抽取5個作為樣本，那么在內應抽取多少個？
【例5】某校為了解高一期末數學考試的情況，從高一的所有學生數學試卷中隨機抽取n份試卷進行成績分析，得到數學成績頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績在的學生人數為6.
（1）求直方圖中的值；
（2）求的值；
（3）試根據樣本估計“該校高一學生期末數學考試成績70”的概率.
【對點實戰】
1.某學校高三年級有400名學生參加某項體育測試，根據男女學生人數比例，使用分層隨機抽樣的方法從中抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：，，…，，整理得到如下頻率分布直方圖；
（1）若該樣本中男生有55人，試估計該學校高三年級女生總人數；
（2）若規定小于60分為“不及格”，從該學校高三年級學生中隨機抽取一人，估計該學生不及格的概率；
2.為了了解某地高中學生的體能狀況，抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖如圖．為提高本地學生的身體素質，教育主管部門要求，每分鐘跳繩不超過120次的學生，需要增加平時體育鍛煉的時間．
（1）求x值；
（2）若該地區有6000名高中學生，估計其中需要增加平時體育鍛煉時間的人數．
3.某校從高一年級學生中隨機抽取名學生作為樣本，將他們的期中考試數學成績（滿分分，成績均為不低于分的整數）分成六組：，，…，后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求圖中實數的值；
（2）若該校高一年級共有學生人，試估計該校高一年級在考試中成績不低于分的人數；
（3）樣本中數學成績在與兩個分數段內的學生人數分別為多少？
4.一研究所為幫助某地脫貧致富，引進一種新的水果進行種植.該研究所隨機抽取了高度在(單位：)的50棵水果進行研究，得到其高度的頻率分布直方圖(如圖所示).
（1）求的值；.
（2）經研究，水果高度在的經濟效益最好，若已知該地種植該水果約為10萬棵，試根據直方圖信息估計高度在的植物數量.
三、折線圖、條形圖、扇形圖及應用
1.條形圖是用一個單位長度表示一定的數量或頻率，根據數量的多少或頻率的大小畫成長短不同的矩形條，條形圖能清楚地表示出每個項目的具體數目或頻率．
2.扇形圖是用整個圓面積表示總數(100%)，用圓內的扇形面積表示各個部分所占總數的百分數．
3.在畫折線圖時，要注意明確橫軸、縱軸的實際含義．
【典型例題】
【例1】郫都是中國農家樂旅游發源地、最美中國生態旅游目的地，是四川省鄉村旅游的先行者，快工作慢生活，構成了安逸郫都最靚麗的風景線.郫都大部分農民都有自己的苗圃，也不斷改進種植花卉苗木的技術．改進后，某種苗木在單位面積上的出苗數量增加了50%，且在同一生長周期內的高度（cm）變化的餅圖如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．80cm以上優質苗木所占比例增加10%
B．改進后，80cm以上優質苗木產量實現了增加80%的目標
C．70cm-80cm的苗木產量沒有變化
D．70cm以下次品苗木產量減少了
【例2】某食品公司為了調查消費者對某款新食品的認可情況，隨機抽取了100位消費者進行食品認可度（共設，，，四個等級）的調查，每位被調查的消費者均對該食品認可度等級進行了評定，調查的結果如下圖（表）：
男性消費者
認可度等級 頻數 頻率
級 18 0.3
級 24 0.4
級
級
(1)求，，的值，并求被調查者中，認可度等級為級的女性消費者人數；
(2)公司計劃按性別采用分層抽樣的方法從認可度等級為級或級的消費者中選取11人派送禮品，分別求被選中的男性消費者人數和女性消費者人數．
【例3】．如圖所示是根據某市月日至月日的最低氣溫（單位：）的情況繪制的折線統計圖，試根據折線統計圖反映的信息，繪制該市月日到日最低氣溫（單位：）的扇形統計圖和條形統計圖.
【例4】小明同學因發熱而住院，下圖是根據護士為他測量的體溫所繪制的體溫折線圖．
根據圖中的信息，回答以下問題：
(1)護士每隔幾小時給小明測量一次體溫？
(2)近三天來，小明的最高體溫、最低體溫分別是多少？
(3)從體溫看，小明的病情是在惡化還是在好轉？
(4)如果連續36小時體溫不超過37.2攝氏度的話，可認為基本康復，那么小明最快什么出院？
【例5】為了豐富校園文化生活，某校計劃在午間校園廣播臺播放“百家講壇”的部分內容．為了了解學生的喜好，抽取若干名學生進行問卷調查(每人只選一項內容)，整理調查結果，繪制統計圖如圖所示．
請根據統計圖提供的信息回答以下問題：
(1)求抽取的學生數；
(2)若該校有3 000名學生，估計喜歡收聽易中天《品三國》的學生人數；
(3)估計該校喜歡收聽劉心武評《紅樓夢》的女學生人數約占全校學生人數的百分比．
【例6】根據以往的成績記錄，甲射擊擊中目標靶的環數的頻率分布情況如圖所示．
(1)求圖中a的值；
(2)求甲命中環數大于7的頻率．
【例7】某手機店根據手機銷售的相關數據繪制了兩幅統計圖．來自該店財務部的數據報告表明，該手機店 月的手機銷售總額一共是萬元.請根據圖①、圖②解答下列問題：

（1）該手機店三月份的銷售額為多少萬元？
（2）該店一月份音樂手機的銷售額為多少萬元
（3）小剛觀察圖②后，認為四月份音樂手機的銷售額比三月份減少了，你同意他的看法嗎 請說明理由．
【對點實戰】
1.200名學生參與研究性學習，每人僅參加1個課題組．其中參加文學類的有33人，參加理化類的有30人，參加數學類的有62人，參加社會科學類的有47人，參加信息類的有28人．
(1)列出學生參加各類課題組的頻率分布表并作出相應的扇形統計圖；
(2)畫出條形統計圖．
2.有140位選手參加高爾夫球賽，他們的成績統計如下：
桿數 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
選手數 1 2 5 3 8 17 20 31 22 21 10
(1)列出頻率分布表；
(2)畫出條形統計圖．
3.下面是從某鎮抽取的50戶家庭一年中12個月的用電量的統計圖表，試根據圖表說明：
(1)一年中這50戶家庭月用電高峰是哪幾個月？用電低谷是哪幾個月？并解釋可能的原因.
(2)有幾個月用電總量為7000度？
4.高一年級期末考試成績各分數段：，，，，的頻率分布如下圖．
（1）計算高一年級所有同學成績的中位數；
（2）若高一年級有1000人，把成績從低到高編號，用系統抽樣的方法從中抽取一個容量為20的樣本，其中一個個體的編號為63，請寫出抽樣在之間的個體的編號．
四、百分位數的計算
1．第p百分位數的定義：
一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．
2．計算一組n個數據的第p百分位數的一般步驟如下：
第1步，按從小到大排列原始數據．
第2步，計算i＝n×p%.
第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數．
3．四分位數
25%,50%,75%這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數，其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數．
【典型例題】
【例1】數據1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位數為（ ）
A．6 B．7 C．6.5 D．6或7
【例2】已知一組數據：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.則這組數據的第25百分位數和第80百分位數分別是（ ）
A．125　128 B．124　128 C．125　129 D．125　128.5
【例3】某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），所得數據都在區間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示.估計棉花纖維的長度的樣本數據的80%分位數是（　　）
A．28 mm B．28.5 mm
C．29 mm D．29.5 mm
【例4】下列關于分位數的說法正確的是 （ ）
A．分位數不是中位數
B．總體數據中的任意一個數小于它的可能性一定是
C．它是四分位數
D．它只適用于總體是離散型的數據
【例5】下表為12名畢業生的起始月薪：
畢業生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
起始月薪 2850 2950 3050 2880 2755 2710 2890 3130 2940 3325 2920 2880
根據表中所給的數據計算75%分位數為（ ）
A．2950 B．3050 C．3130 D．3000
【例6】從800件產品中抽取6件進行質檢，利用隨機數表法抽取樣本時，先將800件產品按001，002，…，800進行編號．如果從隨機數表第8行第8列的數8開始往右讀數（隨機數表第7行至第9行的數如下），則抽取的6件產品的編號的75%分位數是（ ）
……
8442175331 5724550688 77047447672176335025 8392120676
6301637859 1695566711 69105671751286735807 4439523879
3321123429 7864560782 52420744381551001342 9966027954
A．105 B．556 C．671 D．169
【對點實戰】
1.某地區想實行階梯電價，經調查發現，該地區居民用電量信息如下：
分位數 50%分位數 70%分位數 80%分位數 90%分位數
用電量 160 176 215 230
如果要求約70%的居民用電在第一階梯內，約20%的居民用電在第二階梯內，可確定第二階梯電價的用電量范圍為（ ）A． B． C． D．
2.以下數據為參加數學競賽決賽的15人的成績：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，則這15人成績的70%分位數是（ ）
A．86 B．87 C．88 D．89
遼寧省大連市2021-2022學年高一上學期期末數學試題
3.某地一年之內12個月的降水量從小到大分別為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，則該地區的月降水量20%分位數和75%分位數為（ ）
A．51，58 B．51，61 C．52，58 D．52，61
4.某高校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是，樣本數據分組為，，，，．根據頻率分布直方圖，估計這200名學生每周的自習時間數據的第30百分位數為（ ）
A．22 B．21.25 C．22.5 D．25
5.對某種電子元件使用壽命跟蹤調查，所得樣本的頻率分布直方圖如圖.由圖可知，這一批電子元件中壽命的分位數為（ ）
A． B． C．350 D．
五、眾數、中位數、平均數的計算
1．眾數：一組數據中出現次數最多的數．
2．中位數：把一組數據按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在中間位置的數(或中間兩個數的平均數)叫做這組數據的中位數．
3．平均數：如果n個數x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做這n個數的平均數．
【典型例題】
【例1】甲、乙兩組數的數據如下所示，則這兩組的平均數、極差及中位數相同的是（ ）
甲組：5，12，16，21，25，37；
乙組：1，6，14，18，38，39.
A．極差 B．中位數
C．平均數 D．都不相同
【例2】．位參加百米半決賽同學的成績各不相同，按成績取前位進入決賽.如果小劉知道了自己的成績后，要判斷他能否進入決賽.則其他位同學成績的下列數據中，能使他得出結論的是（ ）
A．平均數 B．極差
C．中位數 D．以上都不對
【例3】某校組織全體學生參加了主題為“奮斗百年路，啟航新征程”的知識競賽，隨機抽取了100名學生進行成績統計，發現抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組的取值區間均為左閉右開區間），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法不正確的是（ ）
A．在被抽取的學生中，成績在區間內的學生有10人
B．這100名學生成績的眾數為85
C．估計全校學生成績的平均分數為75
D．這100名學生成績的中位數為
【例4】如圖所示的表格記錄了高三（1）班第一組和第二組各五名學生在一次英語聽力測試訓練中的成績（單位：分），若這兩組數據的中位數均為15，平均值相等，則（ ）
學生成績
第一組 8 12 15 26
第二組 9 14 18 26
A．36 B．6 C．26 D．16
【例5】有4萬個不小于70的兩位數，從中隨機抽取了3000個數據，統計如下：
數據% 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99
個數 800 1300 900
平均數 78.1 85 91.9
請根據表格中的信息，估計這4萬個數據的平均數為（ ）A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97
【例6】已知樣本，，，，的平均數為，樣本，，，的平均數為（），若樣本，，，，，，，的平均數，其中，則n，m的大小關系為（ ）
A． B． C． D．不能確定
【例7】為慶祝中國共產黨成立100周年，甲、乙、丙三個小組進行黨史知識競賽，每個小組各派5位同學參賽，若該組所有同學的得分都不低于7分，則稱該組為“優秀小組”（滿分為10分且得分都是整數），以下為三個小組的成績數據，據此判斷，一定是“優秀小組”的是（ ）
甲：中位數為8，眾數為7
乙：中位數為8，平均數為8.4
丙：平均數為8，方差小于2
A．甲 B．乙 C．丙 D．無法確定
【對點實戰】
1.已知數據：①18，32，，14，8，12；②21，4，7，14，，11；③5，4，6，5，4，3，1，4；④，3，1，0，0，．其中平均數與中位數相等的是數據（ ）
A．① B．② C．③ D．①②③④
2.鄭州地鐵1號線的開通運營，極大方便了市民的出行．某時刻從二七廣場站駛往博學路站的過程中，10個車站上車的人數統計如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．這組數據的平均數，眾數，90%分位數的和為（ ）
A．125 B．135 C．165 D．170
3.．已知一組數據10，30，50，50，60，70，80，其平均數、中位數和眾數的大小關系是（ ）
A．平均數>中位數>眾數 B．平均數<中位數<眾數
C．中位數<眾數<平均數 D．眾數=中位數=平均數
4.已知一組數據為20，30，40，50，50，50，70，80，其平均數、第60百分位數和眾數的大小關系是（ ）
A．平均數＝第60百分位數＞眾數 B．平均數＜第60百分位數＝眾數
C．第60百分位數＝眾數＜平均數 D．平均數＝第60百分位數＝眾數
5.已知數據x1，x2，x3，x4的平均數為4，則數據3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，3x4＋2的平均數為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．14
6.某校組織全體學生參加了主題為“建黨百年，薪火相傳”的知識競賽，隨機抽取了200名學生進行成績統計，發現抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．直方圖中的值為0.004
B．在被抽取的學生中，成績在區間[70，80）的學生數為15人
C．估計全校學生成績的樣本數據的80%分位數約為93分
D．估計全校學生的平均成績為84分
7.已知一組數據10，5，4，2，2，2，，且這組數據的平均數與眾數的和是中位數的2倍，則所有可能的取值為__________．
六、頻率分布直方圖中的眾數、中位數、平均數的計算
1．樣本平均數：可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形面積的乘積之和近似代替．
2．在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應相等．
3．將最高小矩形所在的區間中點作為眾數的估計值．
【典型例題】
【例1】某公司為了解用戶對其產品的滿意程度，從A地區隨機抽取了400名用戶，從B地區隨機抽取了100名用戶，請用戶根據滿意程度對該公司產品評分，該公司將收集到的數據按照分組，繪制成評分頻率分布直方圖如圖：
(1)求B地區用戶對該公司產品的評分不低于60分的人數；
(2)求A地區用戶對該公司產品的評分的眾數、中位數；
(3)根據頻率分布直方圖，假設同組中的每個數據用該組區間的中點值代替，估計A地區抽取的400名用戶對該公司產品的評分的平均值為，B地區抽取的100名用戶對該公司產品的評分的平均值為，以及A，B兩個地區抽取的500名用戶對該公司產品的評分的平均值為，試比較和的大小．（結論不要求證明）
【例2】新冠肺炎疫情期間，某市為了了解本地居民對當地防疫工作的滿意度，從市居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為100分），根據調查數據制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有2200人.
(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調查的總人數；
(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分數的眾數和平均數（精確到0.1）；
(3)設該市居民為50萬人，估計全市居民對當地防疫工作評分在85分以上的人數.
【例3】我國是世界上嚴重缺水的國家之一，為提倡節約用水，我市為了制定合理的節水方案，對家庭用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了2021年 100個家庭的月均用水量（單位：t），將數據按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求全市家庭月均用水量不低于 4t的頻率;
(2)假設同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替，求全市家庭月均用水量平均數的估計值（精確到0.01）;
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位數的估計值（精確到0.01）.
【例4】從某學校隨機抽取100名學生，測得他們的身高（單位：cm），按照區間，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖，如圖所示.
(1)求頻率分布直方圖中x的值；
(2)估計該校學生身高的平均數（每組數據以區間中點值為代表）；
(3)估計該校學生身高的75%分位數.
【例5】治理沙漠離不開優質的樹苗，現從苗圃中隨機地抽測了200株樹苗的高度（單位：cm），得到以下頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中a的值及眾數 中位數；
(2)若樹高185cm及以上是可以移栽的合格樹苗.從樣本中按分層抽樣方法抽取20株樹苗作進一步研究，不合格樹苗 合格樹苗分別應抽取多少株？
【對點實戰】
1.為了了解高二學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數次測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3；第二小組頻數為12.
(1)第二小組的頻率是多少，樣本容量是多少；
(2)若次數在110以上（含110次）為達標，試估計該學校全體高二學生的達標率是多少；
(3)在這次測試中，估計學生跳繩次數的眾數和中位數 平均數各是多少.（結果均保留整數.）
2.對某校高三年級學生參加社區服務的次數進行統計，隨機抽取M名學生，得到這M名學生參加社區服務的次數，根據此數據作出如下頻率分布表和頻率分布直方圖．
分組 頻數 頻率
合計
(1)求出表中，及圖中a的值；
(2)若該校有高三學生人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間內的人數；
(3)估計該校高三學生參加社區服務次數的眾數、中位數及平均數．
3.在技術人員的指導下，某棉花種植基地的棉花產量和質量均有大幅度地提升，已知該棉花種植基地今年產量為，技術人員隨機抽取了棉花，測量其馬克隆值（棉花的馬克隆值是反映棉花纖維細度與成熟度的綜合指標，是棉纖維重要的內在質量指標之一，與棉花價格關系密切），得到如下統計表及不完整的頻率分布直方圖．
馬克隆值
質量/ t 0.04 0.06 0.12 0.16 b a 0.06 0.03 0.01
(1)求表中的值，并補全頻率分布直方圖；
(2)根據頻率分布直方圖，估計樣本的馬克隆值的眾數及中位數；
(3)根據馬克隆值可將棉花分為三個等級，不同等級的棉花價格如下表所示：
馬克隆值 或
級別
價格（萬元/t） 1.6 1.52 1.44
用樣本估計總體，估計該棉花種植基地今年的總產值．
4.某公司為了解員工對食堂的滿意程度，對全體100名員工做了一次問卷調查，要求員工對食堂打分，將最終得分按，，，，，分成6段，并得到如圖所示頻率分布直方圖.
（1）估計這100名員工打分的眾數和中位數（保留一位小數）；
（2）現從，，這三組中用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取11個人，求這組抽取的人數.
七、方差、標準差的計算與應用
1．假設一組數據為x1，x2，…，xn，則這組數據的平均數＝，方差為s2＝(xi－)2，標準差s＝.
2．如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為，則稱S2＝(Yi－)2為總體方差，S＝為總體標準差．
如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝i(Yi－)2.
3．如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數為，則稱s2＝(yi－)2為樣本方差，s＝為樣本標準差．
4．標準差刻畫了數據的離散程度或波動幅度，標準差越大，數據的離散程度越大；標準差越小，數據的離散程度越小．
【典型例題】
【例1】．下列數字特征不能反映樣本數據的分散程度、波動情況的是（ ）
A．極差 B．平均數 C．方差 D．標準差
【例2】甲、乙兩名同學參加了一次籃球比賽的全部7場比賽，平均每場得分都是16分，標準差分別為3.5和4.62，則甲、乙兩名同學在這次籃球比賽中，發揮更穩定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙相同 D．不能確定
【例3】在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數學成績統計如下表：
班級 人數 平均分數 方差
甲 20 2
乙 30 3
其中，則兩個班數學成績的方差為（ ）A．3 B．2
C．2.6 D．2.5
【例4】設樣本數據x1，x2，…，x2 020的方差為4，若yi＝2xi＋4(i＝1，2，…，2 020)，則y1，y2，…，y2 020的方差為（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【例5】某班有n位同學，統計一次數學測驗的平均分與方差．在第一次計算時漏過了一位同學的成績，算得位同學的平均分和方差分別為、，所以只好再算第二次，算得n位同學的平均分和方差分別為、，若已知該漏過了的同學的得分恰好為，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例6】已知某5個數據的平均數為5，方差為3，現加入3、7兩個數，此時這7個數據的平均數為，方差為，則（ ）
A． B． C． D．
【例7】如圖所示是小王與小張二人參加某射擊比賽的預賽的五次測試成績的折線圖，設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例8】在某次測量中得到的樣本數據如下：.若樣本數據恰好是樣本數據都加2后所得數據，則兩樣本的下列數字特征對應相同的是（ ）
A．眾數 B．平均數 C．標準差 D．中位數
【對點實戰】
1.在發生某公共衛生事件期間，有專業機構認為該事件在一段時間內沒有發生大規模群體感染的標志是“連續10日，每天新增疑似病例不超過7人”，過去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據信息如下：
甲地：總體平均數為3，中位數為4；
乙地：總體平均數為1，總體方差大于0；
丙地：總體平均數為2，總體方差為3；
丁地：中位數為2，眾數為3；
則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發生大規模群體感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
2.已知一組數據，，，…，的標準差為2，將這組數據，，，…，中的每個數先同時減去2，再同時乘以3，得到一組新數據，則這組新數據的標準差為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
3.為慶祝中國共產黨成立100周年，深入推進黨史學習教育，某中學黨支部組織學校初、高中兩個學部的黨員參加了全省教育系統的黨史知識競賽活動，其中初中部20名黨員競賽成績的平均分為a，方差為2；高中部50名黨員競賽成績的平均分為b，方差為．若a=b，則該學校全體參賽黨員競賽成績的方差為（ ）
A． B． C． D．
4.若40個數據的平方和為56，平均數為，則這組數據的方差為________
5.設一組樣本數據，，，的方差為0.01，則數據，，，的方差為______．
八、統計圖表與方差、標準差的綜合應用
【典型例題】
【例1】從甲、乙兩名學生中選拔一人參加射擊比賽，現對他們的射擊水平進行測試，兩人在相同條件下各射靶10次，每次命中的環數如下：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．你認為應該選哪名學生參加比賽？為什么？
【例2】從某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻數分布表：
質量指標值分組 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125]
頻數 6 26 38 22 8
(1)根據上表補全所示的頻率分布直方圖；
(2)估計這種產品質量指標值的平均數、方差(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)及中位數(保留一位小數)；
(3)根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規定？
【例3】某學校對高一某班的同學進行了身高（單位：）調查，將得到的數據進行適當分組后（每組為左閉右開區間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求直方圖中的值；
(2)估計全班同學身高的中位數；
(3)估計全班同學身高的平均數及方差．（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）
【例4】在一次高三年級統一考試中，數學試卷有一道滿分為10分的選做題，學生可以從，兩道題目中任選一題作答．某校有900名高三學生參加了本次考試，為了了解該校學生解答該選做題的得分情況，計劃從900名學生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本，為此將900名學生的選做題的成績隨機編號為001，002，，900．
(1)若采用隨機數法抽樣，并按照以下隨機數表，以方框內的數字5為起點，從左向右依次讀數，每次讀取三位隨機數，一行數讀完之后接下一行左端寫出樣本編號的中位數．
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77
59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23
09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 1 29 16 93
58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54
73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42
32 17 55 85 74 94 44 67 16 94 14 65 52 68 75
87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50
15 29 39 39 43
(2)若采用分層隨機抽樣，按照學生選擇題目或題目，將成績分為兩層，且樣本中選擇題目的成績有8個，平均數為7，方差為4；樣本中選擇題目的成績有2個，平均數為8，方差為1．試用樣本估計該校900名學生的選做題得分的平均數與方差．
【例5】為研究男女學生在生活費支出（單位：元）上的差異，某中學在高一年級400名學生（其中男生220人，女生180人）中隨機抽取22名男生與18名女生，統計他們的生活費支出，得到下面的結果：
男生：，；
女生：，；
試根據以上數據估計該校高一學生生活費支出的總體均值、總體方差.
【例6】某電池廠有A，兩條生產線制造同一型號可充電電池．A，生產線的產量比為4：5．現采用分層抽樣的方法從某天兩條生產線上的成品中隨機抽取樣本，并測量產品可充電次數的均值及方差，結果如下：
項目 抽取成品數 樣本均值 樣本方差
A生產線產品 16 215 8
B生產線產品 20 212 13
試根據以上數據計算由36個產品組成的樣本的方差，并估計總體方差．
【例7】某大學為了解學生對兩家餐廳的滿意度情況，從在兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行滿意指數打分（滿意指數是指學生對餐廳滿意度情況的打分，分數設置為分.根據打分結果按，分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中餐廳滿意指數在中有30人.
(1)求餐廳滿意指數頻率分布直方圖中的值；
(2)利用樣本估計總體的思想，估計餐廳滿意指數和餐廳滿意指數的平均數及方差（同一組中的數據用該組區間中點值作代表）；
參考公式：，其中為的平均數，分別為對應的頻率.
(3)如果一名新來同學打算從兩家餐廳中選擇一個用餐，你建議選擇哪個餐廳？說明理由.
9.2-用樣本估計總體-
本節課知識點目錄：
制作頻率分布直方圖
頻率分布直方圖的應用。
折線圖、條形圖、扇形圖及其應用。
百分位數的計算
眾數、中位數、平均數的計算
頻率分布直方圖中的眾數、中位數、平均數
方差、標準差的計算與應用
統計圖表與方差、標準差的綜合應用
、制作頻率分布直方圖
作頻率分布直方圖的步驟
(1)求極差：極差為一組數據中最大值與最小值的差．
(2)決定組距與組數
將數據分組時，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”，組數應力求合適，以使數據的分布規律能較清楚地呈現出來．
(3)將數據分組
(4)列頻率分布表
各小組的頻率＝.
(5)畫頻率分布直方圖
縱軸表示，實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，小長方形的面積＝組距×＝頻率．
【典型例題】
【例1】為考查某校高二男生的體重，隨機抽取44名高二男生，實測體重數據(單位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
將數據進行適當的分組，并畫出相應的頻率分布直方圖．
【答案】見解析
【分析】分析數據的極差，選擇合適的組局，讓組數在5－8組左右為宜，作出頻率分布表，根據頻率分布表作出頻率分布直方圖﹒
【詳解】數據的極差為：69-42=27，所以可以4為組距，將數據分為8組，列表如下：
分組 頻率累計 頻數 頻率
[41.5，45.5) 2 0.045 5
[45.5，49.5) 7 0.159 1
[49.5，53.5) 8 0.181 8
[53.5，57.5) 16 0.363 6
[57.5，61.5) 5 0.113 6
[61.5，65.5) 4 0.090 9
[65.5，69.5) 2 0.045 5
【例2】從某校高一年級的1002名新生中用簡單隨機抽樣的方法抽取一個容量為100的身高樣本，數據(單位：cm)如下表所示：
168 165 171 167 170 165 170 152 175 174
165 170 168 169 171 166 164 155 164 158
170 155 166 158 155 160 160 164 156 162
160 170 168 164 174 171 165 179 163 172
180 174 173 159 163 172 167 160 164 169
151 168 158 168 176 155 165 165 169 162
177 158 175 165 169 151 163 166 163 167
178 165 158 170 169 159 155 163 153 155
167 163 164 158 168 167 161 162 167 168
161 165 174 156 167 166 162 161 164 166
試作出該樣本的頻率直方圖.
【答案】答案見解析
【分析】根據表中數據列出頻率分布表，進而可作出頻率直方圖和頻率折線圖，即求.
【詳解】由上表可知頻率分布表如下：
分　組 頻數 頻率
[150.5,153.5) 4 0.04 0.013
[153.5,156.5) 8 0.08 0.027
[156.5,159.5) 8 0.08 0.027
[159.5,162.5) 11 0.11 0.037
[162.5,165.5) 22 0.22 0.073
[165.5,168.5) 19 0.19 0.063
[168.5,171.5) 14 0.14 0.047
[171.5,174.5) 7 0.07 0.023
[174.5,177.5) 4 0.04 0.013
[177.5,180.5) 3 0.03 0.010
合　計 100 1 0.333
頻率直方圖如圖1所示：
【例3】，9；，11；，10；，5；，4.
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據已知數據可得頻率分布表；
（2）根據頻率分布表即可畫出頻率直方圖
(1)
根據已知數據可得頻率分布表如下：
分組 頻數 頻率
3 0.06
8 0.16
9 0.18
11 0.22
10 0.2
5 0.1
4 0.08
合計 50 1
(2)
頻率分布直方圖如下：
【例4】通過抽樣，我們獲得了100位居民某年的月平均用水量（單位：t），如下表：
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6
3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8
3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1
3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3
3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0
2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3
2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4
2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4
2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
試用頻率直方圖分析該地居民月平均用水量的分布情況.
【答案】答案見解析
【分析】根據數據計算極差確定組距和組數，再得到頻率分布表，畫出頻率分布直方圖，根據直方圖得到答案.
【詳解】計算極差：；將組距取為，則，取組數為；
將數據分為：，
則得到頻率分布表：
分組 頻數 頻率
4 0.04
8 0.08
15 0.15
22 0.22
25 0.25
14 0.14
6 0.06
4 0.04
2 0.02
合計 100 1.00
畫出頻率分布直方圖：
根據頻率分布直方圖：
用水量在的居民最少；
多數居民的用水量在之間；
用水量在的居民最多.
【對點實戰】
1.某校從參加某次知識競賽測試的學生中隨機抽出名學生，將其成績(百分制)(均為整數)分成六段，…后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，求分數在內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖.
【答案】分數在內的頻率為，頻率分布直方圖答案見解析.
【分析】根據頻率分布直方圖小矩形面積為即可求出x，則為矩形的高，進而補出圖形.
【詳解】設分數在內的頻率為，根據頻率分布直方圖，則有：，解得，分數在內的頻率為.
頻率分布直方圖如圖所示：
2.某校從全體教師中抽取了50位教師參加教育部門組織的知識競賽，根據這50位教師的競賽成績（滿分100分）制作了如圖所示的頻數分布表與部分頻率分布直方圖．
成績/分 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
頻數 2 9 a b 6
求a，b，
補全頻率分布直方圖；
【答案】a＝13，b＝20，（2）．表格見解析；
【分析】由頻率、頻數與樣本容量的關系易求得a，b的值，再利用表中數據即可補全頻率分布直方圖；
【詳解】解：（1）由頻率、頻數與樣本容量的關系易求得頻數a＝50×0.026×10＝13，b＝50﹣2﹣9﹣13﹣6＝20，
補全的頻率分布直方圖如下：
3.生產過程中，測得纖維產品的纖度(表示纖細的一種量)，共有100個數據，將數據分組如下表：
分組 頻數 頻率
4
25
30
29
10
2
合計 100
完成頻率分布表，
畫出頻率分布直方圖；
【答案】（答案見解析；
【分析】根據題意，由頻率與頻數的關系，計算可得各組的頻率，進而可以做出頻率分布表，結合分布表，進而可以做出頻率分步直方圖；
【詳解】頻率分布表如下：
分組 頻數 頻率
4
25
30
29
10
合計
頻率分布直方圖如圖所示.
二、頻率分布直方圖的應用
頻率分布直方圖的性質
①因為小矩形的面積＝組距×＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小．
②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.
③＝樣本容量．
【典型例題】
【例1】為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數為12．
(1)第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？
(2)若次數在110以上(含110次)為達標，則該校全體高一年級學生的達標率是多少？
(3)樣本中不達標的學生人數是多少？
(4)第三組的頻數是多少？
【答案】(1)0.08，150；
(2)88%；
(3)18；
(4)51.
【分析】頻率分布直方圖以面積的形式反映數據落在各小組內的頻率大小，所以計算面積之比即為所求小組的頻率.可用此方法計算（1），（2），由公式直接計算可得（1）中樣本容量；根據（2）問中的達標率，可計算不達標率，從而求出不達標人數，可得（3）；單獨計算第三組的頻率，由公式計算頻數，可求出（4）.
(1)
頻率分布直方圖以面積的形式反映數據落在各小組內的頻率大小，因此第二小組的頻率為＝0.08．
所以樣本容量＝＝150.
(2)
由直方圖可估計該校高一年級學生的達標率為×100%＝88%.
(3)
由（1）（2）知達標率為88%，樣本量為150，不達標的學生頻率為1－0.88＝0.12．
所以樣本中不達標的學生人數為150×0.12＝18(人)．
(4)
第三小組的頻率為＝0.34．
又因為樣本量為150，
所以第三組的頻數為150×0.34＝51．
【例2】從某校500名12歲男孩中用簡單隨機抽樣的方法抽取一個容量為120的身高(單位：cm)樣本，具體數據如下表所示：
分組 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142)
人數 5 8 10 22 33
分組 [142,146) [146,150) [150,154)
人數 20 11 6 5
(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率直方圖；(3)畫出頻率折線圖；
(4)估計身高小于134cm的人數占總人數的百分比.
【答案】(1)頻率分布表見解析(2)頻率直方圖見解析(3)頻率折線圖見解析(4)19%
【分析】(1)根據所給數據列出頻率分布表；(2)由頻率分布表畫出頻率分布直方圖；
(3)由頻率分布直方圖畫出頻率分布折線圖(4)由頻率分布表可得身高小于134 cm的學生的頻率；
(1)頻率分布表如下表所示：
分組 頻數 頻率
[122,126) 5 0.04 0.01
[126,130) 8 0.07 0.0175
[130,134) 10 0.08 0.02
[134,138) 22 0.18 0.045
[138,142) 33 0.28 0.07
[142,146) 20 0.17 0.0425
[146,150) 11 0.09 0.0225
[150,154) 6 0.05 0.0125
[154,158) 5 0.04 0.01
合計 120 1 0.25
(2)
(3)
(4)
由頻率分布表可知身高小于134cm的男孩出現的頻率為0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以身高小于134cm的人數約占總人數的19%.
【例3】根據中國銀行的外匯牌價，第一季度的個工作日中，歐元的現匯買入價（歐元的外匯可兌換人民幣）的分組和各組的頻數如下：
，；，；，；，；，；，；，.
(1)列出歐元的現匯買入價的頻率分布表；
(2)估計歐元的現匯買入價在內的頻率；
(3)若歐元的現匯買入價不超過的頻率的為，求.
【答案】(1)頻率分布表見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據題中信息可列出頻率分布表；
（2）根據頻率分布表可計算出歐元的現匯買入價在內的頻率；
（3）分析得出，根據題意列出關于的等式，即可解得的值.
(1)
解：歐元的現匯買入價的頻率分布表如下：
分　　組 頻數 頻率
合　　計
(2)
解：估計歐元的現匯買入價在內的頻率約為.
(3)
解：因為，，
所以，，且有，解得.
【例4】某工廠對200個電子元件的使用壽命進行檢查，按照使用壽命（單位：h），可以把這批電子元件分成第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組.由于工作中不慎將部分數據丟失，現有以下部分圖表：
使用 壽命
頻數 30 20
頻率 0.2 0.4
(1)求圖2中A的值；
(2)補全圖2頻率分布直方圖，并求圖2中陰影部分的面積；
(3)為了某次展銷會，用分層抽樣的方法在壽命位于內的產品中抽取5個作為樣本，那么在內應抽取多少個？
【答案】(1)
(2)頻率分布直方圖答案見解析，陰影部分的面積為
(3)
【分析】（1）根據題意得到，解得答案.
（2）補全表格，畫出頻率分布直方圖并計算面積得到答案.
（3）根據分層抽樣的比例關系得到答案.
(1)
由題意可知，所以.
(2)
使用 壽命
頻數 20 30 40 80 20 10
頻率 0.1 0.15 0.2 0.4 0.1 0.05
補全后的頻率分布直方圖如圖所示，
陰影部分的面積為.
(3)
由分層抽樣的性質，知在內應抽取.
【例5】某校為了解高一期末數學考試的情況，從高一的所有學生數學試卷中隨機抽取n份試卷進行成績分析，得到數學成績頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績在的學生人數為6.
（1）求直方圖中的值；
（2）求的值；
（3）試根據樣本估計“該校高一學生期末數學考試成績70”的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由頻率分布直方圖的高之和為組距分之一，即可得出結果；
（2）根據樣本容量、總體與頻率之間的關系計算即可得出結果；
（3）用總面積1減去左邊2個矩形的面積即可.
【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖的性質得：
，
解得.
（2）∵成績在的學生人數為6，
由頻率分布直方圖得成績在的學生所占頻率為：，
∴.
（3）根據樣本估計“該校高一學生期末數學考試成績70”的概率：
.
【對點實戰】
1.某學校高三年級有400名學生參加某項體育測試，根據男女學生人數比例，使用分層隨機抽樣的方法從中抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：，，…，，整理得到如下頻率分布直方圖；
（1）若該樣本中男生有55人，試估計該學校高三年級女生總人數；
（2）若規定小于60分為“不及格”，從該學校高三年級學生中隨機抽取一人，估計該學生不及格的概率；
【答案】（1）180；（2）該學生不及格的概率約為0.1.
【分析】（1）利用分層抽樣的特點，即按比例抽取，求解即可；（2）由頻率分布直方圖，求出樣本中及格的頻率，進而得到不及格的頻率即不及格概率的估值.
【詳解】（1）樣本的女生人數為：（人）
高三年級中女生人數為：（人）
（2）由直方圖知，樣本中及格的頻率為：
樣本中不及格的頻率為
從高三年級中隨機地抽取一人，該學生不及格的概率約為0.1
2.為了了解某地高中學生的體能狀況，抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖如圖．為提高本地學生的身體素質，教育主管部門要求，每分鐘跳繩不超過120次的學生，需要增加平時體育鍛煉的時間．
（1）求x值；
（2）若該地區有6000名高中學生，估計其中需要增加平時體育鍛煉時間的人數．
【答案】（1）0.019；（2）2700．
【分析】（1）由所有頻率之和為1計算出值；
（2）由頻率分布直方圖求出每分鐘跳繩不超過120次的頻率后可得人數．
【詳解】（1）由題意，解得；
（2）由頻率分布直方圖求出每分鐘跳繩不超過120次的頻率為，
需要增加平時體育鍛煉時間的人數為．
3.某校從高一年級學生中隨機抽取名學生作為樣本，將他們的期中考試數學成績（滿分分，成績均為不低于分的整數）分成六組：，，…，后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求圖中實數的值；
（2）若該校高一年級共有學生人，試估計該校高一年級在考試中成績不低于分的人數；
（3）樣本中數學成績在與兩個分數段內的學生人數分別為多少？
【答案】（1）；（2）人；（3）有2人，有4人.
【分析】（1）由各組的頻率之和為1，列方程求參數a；
（2）將分以上各組頻率加總乘以總人數500，即可求考試中成績不低于分的人數；
（3）將與的頻率乘以樣本容量，即可得與兩個分數段內的學生人數.
【詳解】（1）由題意知：，解得；
（2）由（1）知：成績不低于分的人數為人；
（3）由題設，的人數為人，的人數為人
4.一研究所為幫助某地脫貧致富，引進一種新的水果進行種植.該研究所隨機抽取了高度在(單位：)的50棵水果進行研究，得到其高度的頻率分布直方圖(如圖所示).
（1）求的值；.
（2）經研究，水果高度在的經濟效益最好，若已知該地種植該水果約為10萬棵，試根據直方圖信息估計高度在的植物數量.
【答案】（1）；（2）棵.
【分析】（1）利用小矩形的面積之和等于即可求解.
（2）求出高度落在的植物的頻率，根據頻率與樣本總量即可求解.
【詳解】解：（1），
解得.
（2）高度落在的植物的頻率為，
高度在的植物數量為棵.
三、折線圖、條形圖、扇形圖及應用
1.條形圖是用一個單位長度表示一定的數量或頻率，根據數量的多少或頻率的大小畫成長短不同的矩形條，條形圖能清楚地表示出每個項目的具體數目或頻率．
2.扇形圖是用整個圓面積表示總數(100%)，用圓內的扇形面積表示各個部分所占總數的百分數．
3.在畫折線圖時，要注意明確橫軸、縱軸的實際含義．
【典型例題】
【例1】郫都是中國農家樂旅游發源地、最美中國生態旅游目的地，是四川省鄉村旅游的先行者，快工作慢生活，構成了安逸郫都最靚麗的風景線.郫都大部分農民都有自己的苗圃，也不斷改進種植花卉苗木的技術．改進后，某種苗木在單位面積上的出苗數量增加了50%，且在同一生長周期內的高度（cm）變化的餅圖如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．80cm以上優質苗木所占比例增加10%
B．改進后，80cm以上優質苗木產量實現了增加80%的目標
C．70cm-80cm的苗木產量沒有變化
D．70cm以下次品苗木產量減少了
【答案】B
【分析】設改進前某種苗木在單位面積上的出苗數量為，改進后它的出苗數量為，則單位面積80cm以上的增加量為，70cm-80cm的苗木產量增加，70cm以下次品苗木產量減少了，即可判斷結果．
【詳解】設改進前某種苗木在單位面積上的出苗數量為，改進后它的出苗數量為，
則80cm以上優質苗木所占比例增加了，即故A錯；
80cm以上優質苗木產量實現了增加了，即的目標，故B正確；
單位面積上70cm-80cm的苗木產量增加了，故C錯；
70cm以下次品苗木產量減少了，故D錯
故選：B．
【例2】某食品公司為了調查消費者對某款新食品的認可情況，隨機抽取了100位消費者進行食品認可度（共設，，，四個等級）的調查，每位被調查的消費者均對該食品認可度等級進行了評定，調查的結果如下圖（表）：
男性消費者
認可度等級 頻數 頻率
級 18 0.3
級 24 0.4
級
級
(1)求，，的值，并求被調查者中，認可度等級為級的女性消費者人數；
(2)公司計劃按性別采用分層抽樣的方法從認可度等級為級或級的消費者中選取11人派送禮品，分別求被選中的男性消費者人數和女性消費者人數．
【答案】(1)；；；認可度等級為級的女性消費者人數為14；
(2)被選中的男性消費者人數為7，女性消費者人數為4.
【分析】（1）利用頻率的概念及性質可求，，的值，進而可得女性消費者人數，再結合條件即得；
（2）由題可得認可度等級為級或級的男性消費者及女性消費者人數，再利用分層抽樣的概念即求.
(1)
由表可知，，即．
由題可得男性消費者人數為，
所以，，
被調查者中，女性消費者人數為，
故認可度等級為級的女性消費者人數為.
所以，，，認可度等級為級的女性消費者人數為14；
(2)
由題可知認可度等級為級或級的男性消費者有人，認可度等級為級或級的女性消費者有人，
從中選取11人，則被選中的男性消費者人數為，女性消費者人數為．
【例3】．如圖所示是根據某市月日至月日的最低氣溫（單位：）的情況繪制的折線統計圖，試根據折線統計圖反映的信息，繪制該市月日到日最低氣溫（單位：）的扇形統計圖和條形統計圖.
【答案】答案見解析
【分析】列出該城市月日至月日的最低氣溫表（單位：），可作出扇形統計圖與條形統計圖.
【詳解】該城市月日至月日的最低氣溫（單位：）情況如下表所示：
日期
最低氣溫
其中最低氣溫為的有天，占；最低氣溫為的有天，占；
最低氣溫為的有天，占；最低氣溫為的有天，占；
最低氣溫為的有天，占；最低氣溫為的有天，占.
扇形統計圖如下圖所示：
條形統計圖如下圖所示：
【例4】小明同學因發熱而住院，下圖是根據護士為他測量的體溫所繪制的體溫折線圖．
根據圖中的信息，回答以下問題：
(1)護士每隔幾小時給小明測量一次體溫？
(2)近三天來，小明的最高體溫、最低體溫分別是多少？
(3)從體溫看，小明的病情是在惡化還是在好轉？
(4)如果連續36小時體溫不超過37.2攝氏度的話，可認為基本康復，那么小明最快什么出院？
【答案】(1)每隔6小時給小明測量一次體溫；
(2)最高體溫是39.5攝氏度，最低體溫是36.8攝氏度；
(3)病情在好轉；
(4)最快可以在9月10凌晨6時出院.
【分析】根據折線圖橫軸和縱軸表示的意義可得（1），（2），（3）的結果，由9月8日18時小明的體溫是37攝氏度，且其后體溫未超過37.2攝氏度，可推斷小明最快出院時間為9月8日18時起后推36小時.
(1)
根據橫軸表示的意義，可知護士每隔6小時給小明測量一次體溫．
(2)
從折線統計圖中的最高點和最低點對應的縱軸意義，可知最高體溫是39.5攝氏度，最低體溫是36.8攝氏度．
(3)
從圖中可知小明的體溫已經下降，并趨于穩定，因此病情在好轉．
(4)
9月8日18時小明的體溫是37攝氏度．其后的體溫未超過37.2攝氏度，自9月8日18時起計算，連續36小時后對應的時間為9月10日凌晨6時．因此小明最快可以在9月10凌晨6時出院．
【例5】為了豐富校園文化生活，某校計劃在午間校園廣播臺播放“百家講壇”的部分內容．為了了解學生的喜好，抽取若干名學生進行問卷調查(每人只選一項內容)，整理調查結果，繪制統計圖如圖所示．
請根據統計圖提供的信息回答以下問題：
(1)求抽取的學生數；
(2)若該校有3 000名學生，估計喜歡收聽易中天《品三國》的學生人數；
(3)估計該校喜歡收聽劉心武評《紅樓夢》的女學生人數約占全校學生人數的百分比．
【答案】(1)300
(2)1060
(3)15%
【分析】(1)統計圖中小矩形上方標的為學生人數，將所有人數相加即可；
(2)統計樣本中喜歡收聽易中天《品三國》的人數，算出占樣本總數的比值，用該比值乘以3 000；
(3)統計樣本中喜歡收聽劉心武評《紅樓夢》的女學生人數，用該數據除以300即可﹒
(1)
從統計圖上可以看出，
喜歡收聽于丹析《莊子》的男生有20人，女生有10人；
喜歡收聽《故宮博物院》的男生有30人，女生有15人；
喜歡收聽于丹析《論語》的男生有30人，女生有38人；
喜歡收聽易中天《品三國》的男生有64人，女生有42人；
喜歡收聽劉心武評《紅樓夢》的男生有6人，女生有45人．
所以抽取的學生數為20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．
(2)
喜歡收聽易中天《品三國》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取總人數的比例為，
由于該校有3 000名學生，因此可以估計喜歡收聽易中天《品三國》的學生有×3 000＝1 060(人)．
(3)
該校喜歡收聽劉心武評《紅樓夢》的女學生人數約占全校學生人數的比例為×100%＝15%．
【例6】根據以往的成績記錄，甲射擊擊中目標靶的環數的頻率分布情況如圖所示．
(1)求圖中a的值；
(2)求甲命中環數大于7的頻率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據頻率分布直方圖求解參數即可；
（2）根據頻率直方圖中的數據計算頻率即可得出答案.
(1)
由題圖得，解得
即圖中a的值為0.06.
(2)
環數大于7的頻率為8，9，10環所對頻率的總和
由圖知，8，9，10環對應的頻率分別為0.45，0.29和0.01，
所以環數大于7的頻率為0.45+0.29+0.01=0.75.
【例7】某手機店根據手機銷售的相關數據繪制了兩幅統計圖．來自該店財務部的數據報告表明，該手機店 月的手機銷售總額一共是萬元.請根據圖①、圖②解答下列問題：

（1）該手機店三月份的銷售額為多少萬元？
（2）該店一月份音樂手機的銷售額為多少萬元
（3）小剛觀察圖②后，認為四月份音樂手機的銷售額比三月份減少了，你同意他的看法嗎 請說明理由．
【答案】（1）60萬元；（2）19.55萬元；（3）不同意，理由見解析.
【分析】（1）三月份的銷售額為銷售總額減去1月、2月和4月的銷售額之和；
（2）一月份音樂手機的銷售額為1月份的銷售額乘以23%即可；
（3）通過兩圖求出3、4月份的音樂手機銷售額，然后比較
【詳解】（1）由已知及圖1知，3月份手機銷售額為萬元
（2）由圖1及圖2知，1月份音樂手機銷售額為萬元
（3）由圖1及圖2知，3月份音樂手機銷售額為：萬元
4月份音樂手機銷售額為：萬元
，4月份音樂手機銷售額比3月份音樂手機銷售額增加了，
所以不同意小剛的看法.
【對點實戰】
1.200名學生參與研究性學習，每人僅參加1個課題組．其中參加文學類的有33人，參加理化類的有30人，參加數學類的有62人，參加社會科學類的有47人，參加信息類的有28人．
(1)列出學生參加各類課題組的頻率分布表并作出相應的扇形統計圖；
(2)畫出條形統計圖．
【答案】(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
【分析】（1）根據頻率頻數樣本容量即可求解.
（2）根據（1）中所列數據，然后以課題組為橫軸，頻數為縱軸，畫條形圖即可.
(1)
頻率分布表如下：
分組 頻數 頻率
文學類
理化類
數學類
社會科學類
信息類
扇形統計圖如圖（1）
(2)條形統計圖如圖（2）
2.有140位選手參加高爾夫球賽，他們的成績統計如下：
桿數 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
選手數 1 2 5 3 8 17 20 31 22 21 10
(1)列出頻率分布表；
(2)畫出條形統計圖．
【答案】(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
【分析】（1）根據表中數據求出頻率即可得出列出頻率分布表.
（2）根據條形圖的畫法即可得出答案.
(1)
頻率分布表如下：
桿數 頻數 頻率











總計
(2)
條形統計圖如下：
3.下面是從某鎮抽取的50戶家庭一年中12個月的用電量的統計圖表，試根據圖表說明：
(1)一年中這50戶家庭月用電高峰是哪幾個月？用電低谷是哪幾個月？并解釋可能的原因.
(2)有幾個月用電總量為7000度？
【答案】(1)答案見解析；(2)4
【分析】（1）根據圖1，得到7月和8月份的用電量高峰，1月、3月和12月份的用電低谷；
（2）根據圖表中的數據，即可得到有4個月的用電量為7000度.
(1)
解：根據圖1，可得7月和8月份的用電量高峰，由于天氣氣溫高，大多用戶使用空調降溫，所以用電出現高峰；
其中1月、3月和12月份的用電低谷，由于冬季進行供暖，大多數用戶的用電量下降，造成用電低谷.
(2)
解：根據圖2可知，有4個月的用電量為7000度，分別為5月、6月、9月和11月.
4.高一年級期末考試成績各分數段：，，，，的頻率分布如下圖．
（1）計算高一年級所有同學成績的中位數；
（2）若高一年級有1000人，把成績從低到高編號，用系統抽樣的方法從中抽取一個容量為20的樣本，其中一個個體的編號為63，請寫出抽樣在之間的個體的編號．
【答案】（1）110；（2）413，463，513，563，613，663．
【分析】（1）計算每一段中的數據個數，可得中位數在分數段內從低到高處，即可得到答案；
（2）由題意，兩個相鄰樣本的編號差為，則可得抽樣在分數段之間的個體的編號，即可得到答案；
【詳解】（1）由題圖可知，和分數段內的人數占總人數的40%，故中位數在分數段內從低到高處，故中位數為
（2）由題圖可得分數段內有150人，分數段內有250人，分數段內有300人，
則分數段內的編號是從401到700，由題意，兩個相鄰樣本的編號差為，則抽樣在分數段之間的個體的編號為413，463，513，563，613，663．
四、百分位數的計算
1．第p百分位數的定義：
一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．
2．計算一組n個數據的第p百分位數的一般步驟如下：
第1步，按從小到大排列原始數據．
第2步，計算i＝n×p%.
第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數．
3．四分位數
25%,50%,75%這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數，其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數．
【典型例題】
【例1】數據1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位數為（ ）
A．6 B．7 C．6.5 D．6或7
【答案】B
【分析】根據百分位數的定義即可求解.
【詳解】數據共有9個，，所以分位數為第7個數，即7，
故選：B
【例2】已知一組數據：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.則這組數據的第25百分位數和第80百分位數分別是（ ）
A．125　128 B．124　128 C．125　129 D．125　128.5
【答案】D
【分析】根據百分位數的計算方法即可求解.
【詳解】把這15個數據按從小到大排序，可得121，123，124，125，125，125，125，126，126，127，127，128，129，129，130，由25%×15＝3.75，80%×15＝12，可知數據的第25百分位數為第4項數據為125，第80百分位數為第12項與第13項數據的平均數，即×(128＋129)＝128.5.
故選：D
【例3】某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），所得數據都在區間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示.估計棉花纖維的長度的樣本數據的80%分位數是（　　）
A．28 mm B．28.5 mm
C．29 mm D．29.5 mm
【答案】C
【分析】根據給定的頻率分布直方圖，利用80%分位數的意義計算作答.
【詳解】棉花纖維的長度在25 mm以下的比例為，
在30 mm以下的比例為，因此，80%分位數一定位于內，
因，所以估計棉花纖維的長度的樣本數據的80%分位數是29 mm.
故選：C
【例4】下列關于分位數的說法正確的是 （ ）
A．分位數不是中位數
B．總體數據中的任意一個數小于它的可能性一定是
C．它是四分位數
D．它只適用于總體是離散型的數據
【答案】C
【分析】由百分位數的意義判斷每個選項.
【詳解】由百分位數的意義可知，將一組數據從小到大排序，并計算相應的累計百分位，則某一百分位所對應數據的值就稱為這一百分位的百分位數；分位數是中位數，分位數表示至少有的數據項小于或等于這個值，且至少有的數據項大于或等于這個值，第50百分位數又稱第二個四分位數，所以選項A，B，D錯誤.
故選：C
【例5】下表為12名畢業生的起始月薪：
畢業生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
起始月薪 2850 2950 3050 2880 2755 2710 2890 3130 2940 3325 2920 2880
根據表中所給的數據計算75%分位數為（ ）
A．2950 B．3050 C．3130 D．3000
【答案】D
【分析】根據百分位數的定義計算即可.
【詳解】由小到大排列12個數據為2710，2757,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325；
因為，
所以75%分位數為，
故選：D
【例6】從800件產品中抽取6件進行質檢，利用隨機數表法抽取樣本時，先將800件產品按001，002，…，800進行編號．如果從隨機數表第8行第8列的數8開始往右讀數（隨機數表第7行至第9行的數如下），則抽取的6件產品的編號的75%分位數是（ ）
……
8442175331 5724550688 77047447672176335025 8392120676
6301637859 1695566711 69105671751286735807 4439523879
3321123429 7864560782 52420744381551001342 9966027954
A．105 B．556 C．671 D．169
【答案】C
【分析】由隨機表及編號規則確定抽取的6件產品編號，再從小到大排序，應用百分位數的求法求75%分位數.
【詳解】由題設，依次讀取的編號為，
根據編號規則易知：抽取的6件產品編號為，
所以將它們從小到大排序為，
故，所以75%分位數為.
故選：C
【對點實戰】
1.某地區想實行階梯電價，經調查發現，該地區居民用電量信息如下：
分位數 50%分位數 70%分位數 80%分位數 90%分位數
用電量 160 176 215 230
如果要求約70%的居民用電在第一階梯內，約20%的居民用電在第二階梯內，可確定第二階梯電價的用電量范圍為（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用百分位數的含義結合條件即得.
【詳解】∵約70%的居民用電在第一階梯內，約20%的居民用電在第二階梯內，
∴由表中數據可得，第二階梯電價的用電量范圍為.
故選：C.
2.以下數據為參加數學競賽決賽的15人的成績：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，則這15人成績的70%分位數是（ ）
A．86 B．87 C．88 D．89
遼寧省大連市2021-2022學年高一上學期期末數學試題
【答案】C
【分析】根據百分位數的定義直接得出.
【詳解】因為，所以這15人的70%分位數為第11位數：88.
故選：C.
3.某地一年之內12個月的降水量從小到大分別為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，則該地區的月降水量20%分位數和75%分位數為（ ）
A．51，58 B．51，61 C．52，58 D．52，61
【答案】B
【分析】先把每月的降水量從小到大排列,再根據分位數的定義求解.
【詳解】把每月的降水量從小到大排列為: 46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
,
所以該地區的月降水量的分位數為;
所以該地區的月降水量的分位數為.
故選：B
4.某高校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是，樣本數據分組為，，，，．根據頻率分布直方圖，估計這200名學生每周的自習時間數據的第30百分位數為（ ）
A．22 B．21.25 C．22.5 D．25
【答案】C
【分析】由頻率分布直方圖計算，找出累計頻率值為0.3處對應的自習時間值即可.
【詳解】由頻率分布直方圖可知，區間在對應的頻率為，區間在對應的頻率為，，0.3處對應自習時間值恰為22.5，故這200名學生每周的自習時間數據的第30百分位數為22.5.
故選：C
5.對某種電子元件使用壽命跟蹤調查，所得樣本的頻率分布直方圖如圖.由圖可知，這一批電子元件中壽命的分位數為（ ）
A． B． C．350 D．
【答案】B
【分析】根據頻率分布直方圖判斷分位數位于，設為，再列出方程，由此能求出這一批電子元件中壽命的分位數．
【詳解】解：由頻率分布直方圖得的頻率為：，
的頻率為：，
所以分位數位于之間，
設分位數為則，，解得
由圖可知，這一批電子元件中壽命的分位數為．
故選：B．
五、眾數、中位數、平均數的計算
1．眾數：一組數據中出現次數最多的數．
2．中位數：把一組數據按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在中間位置的數(或中間兩個數的平均數)叫做這組數據的中位數．
3．平均數：如果n個數x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做這n個數的平均數．
【典型例題】
【例1】甲、乙兩組數的數據如下所示，則這兩組的平均數、極差及中位數相同的是（ ）
甲組：5，12，16，21，25，37；
乙組：1，6，14，18，38，39.
A．極差 B．中位數
C．平均數 D．都不相同
【答案】C
【分析】根據已知數據分別求出兩組的平均數、極差及中位數即可判斷.
【詳解】由題中數據可知甲的極差為，乙的極差為，
甲的中位數為，乙的中位數為，
，，
所以甲、乙的平均數相同.
故選：C.
【例2】．位參加百米半決賽同學的成績各不相同，按成績取前位進入決賽.如果小劉知道了自己的成績后，要判斷他能否進入決賽.則其他位同學成績的下列數據中，能使他得出結論的是（ ）
A．平均數 B．極差
C．中位數 D．以上都不對
【答案】C
【分析】根據中位數的定義判斷可得出結論.
【詳解】判斷是不是能進入決賽，只要判斷是不是前名，
所以只要知道其他位同學的成績中是不是有個高于他，
也就是把其他位同學的成績排列后看第個的成績即可，
小劉的成績高于這個成績就能進入決賽，低于這個成績就不能進入決賽，
這個第名的成績就是這位同學成績的中位數.
故選：C.
【例3】某校組織全體學生參加了主題為“奮斗百年路，啟航新征程”的知識競賽，隨機抽取了100名學生進行成績統計，發現抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組的取值區間均為左閉右開區間），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法不正確的是（ ）
A．在被抽取的學生中，成績在區間內的學生有10人
B．這100名學生成績的眾數為85
C．估計全校學生成績的平均分數為75
D．這100名學生成績的中位數為
【答案】C
【分析】A由直方圖求區間上的樣本數量；B由頻率的大小確定眾數的位置；C、D根據頻率直方圖求出平均數、中位數.
【詳解】A：由直方圖知：內的學生有人，正確；
B：由圖知：內的學生頻率最大，則眾數為85，正確；
C：全校學生成績的平均分數為，錯誤；
D：由，則中位數在區間內，令中位數為，則，可得，正確.
故選：C
【例4】如圖所示的表格記錄了高三（1）班第一組和第二組各五名學生在一次英語聽力測試訓練中的成績（單位：分），若這兩組數據的中位數均為15，平均值相等，則（ ）
學生成績
第一組 8 12 15 26
第二組 9 14 18 26
A．36 B．6 C．26 D．16
【答案】A
【分析】根據題意進行數據分析，分別求出x、y，即可求出.
【詳解】因為這兩組數據的中位數均為15，所以.
因為這兩組數據的平均值相等，所以，解得，故.
故選：A.
【例5】有4萬個不小于70的兩位數，從中隨機抽取了3000個數據，統計如下：
數據% 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99
個數 800 1300 900
平均數 78.1 85 91.9
請根據表格中的信息，估計這4萬個數據的平均數為（ ）A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97
【答案】B
【分析】首先求出這3000個數據的平均數，即可得解；
【詳解】解：這3000個數據的平均數為.用樣本平均數估計總體平均數，可知這4萬個數據的平均數約為.
故選：B.
【例6】已知樣本，，，，的平均數為，樣本，，，的平均數為（），若樣本，，，，，，，的平均數，其中，則n，m的大小關系為（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】A
【分析】利用平均數的定義求出與與的關系式，和題干中的對比，可得：，，結合，最終求出結果
【詳解】由題意可得，，
，所以，.又，則
所以，故.
故選：A
【例7】為慶祝中國共產黨成立100周年，甲、乙、丙三個小組進行黨史知識競賽，每個小組各派5位同學參賽，若該組所有同學的得分都不低于7分，則稱該組為“優秀小組”（滿分為10分且得分都是整數），以下為三個小組的成績數據，據此判斷，一定是“優秀小組”的是（ ）
甲：中位數為8，眾數為7
乙：中位數為8，平均數為8.4
丙：平均數為8，方差小于2
A．甲 B．乙 C．丙 D．無法確定
【答案】A
【分析】根據題意，結合“優秀小組”的定義依次分析選項，綜合可得答案.
【詳解】甲：中位數為8，眾數為7，可知甲組的得分依次為：7、7、8、9、10，根據“優秀小組”的概念可知甲組一定是“優秀小組”
當乙組得分依次為：6、8、8、10、10時，中位數為8，平均數為8.4，但乙組不符合“優秀小組”的概念，
當丙組得分依次為：6、8、8、8、10時，丙：平均數為8，方差為，但丙組不符合“優秀小組”的概念.
故選：A.
【對點實戰】
1.已知數據：①18，32，，14，8，12；②21，4，7，14，，11；③5，4，6，5，4，3，1，4；④，3，1，0，0，．其中平均數與中位數相等的是數據（ ）
A．① B．② C．③ D．①②③④
【答案】D
【分析】把所給的四組數據都求出中位數和平均數，求中位數時，要把數據按照從小到大排列，最中間兩個數字的平均數就是中位數，把兩個數字進行比較得到結論.
【詳解】①18，32，，14，8，12；
中位數是，平均數是13，兩個數字相等；
②21，4，7，14，，11；
計算可得中位數是9，平均數是9，兩個數字相等；
③5，4，6，5，4，3，1，4；
中位數是4，平均數是4，兩個數字相等；
④，3，1，0，0，．
中位數是0，平均數是0，兩個數字相等；
綜上可知，①②③④都滿足條件.
故選：D
2.鄭州地鐵1號線的開通運營，極大方便了市民的出行．某時刻從二七廣場站駛往博學路站的過程中，10個車站上車的人數統計如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．這組數據的平均數，眾數，90%分位數的和為（ ）
A．125 B．135 C．165 D．170
【答案】D
【分析】利用公式可求平均數和90%分位數，再求出眾數后可得所求的和.
【詳解】這組數據的平均數為，
而，故90%分位數，
眾數為，故三者之和為，
故選：D.
3.．已知一組數據10，30，50，50，60，70，80，其平均數、中位數和眾數的大小關系是（ ）
A．平均數>中位數>眾數 B．平均數<中位數<眾數
C．中位數<眾數<平均數 D．眾數=中位數=平均數
【答案】D
【分析】根據已知數據求出平均數、中位數和眾數后比較可得．
【詳解】由題意平均數為，中位數是50，眾數是50，
故選：D．
4.已知一組數據為20，30，40，50，50，50，70，80，其平均數、第60百分位數和眾數的大小關系是（ ）
A．平均數＝第60百分位數＞眾數 B．平均數＜第60百分位數＝眾數
C．第60百分位數＝眾數＜平均數 D．平均數＝第60百分位數＝眾數
【答案】B
【分析】從數據為20，30，40，50，50，50，70，80中計算出平均數、第60百分位數和眾數，進行比較即可.
【詳解】解：平均數為，
，第5個數50即為第60百分位數.
又眾數為50，
它們的大小關系是平均數第60百分位數眾數.
故選：B.
5.已知數據x1，x2，x3，x4的平均數為4，則數據3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，3x4＋2的平均數為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．14
【答案】D
【分析】由題意可求得，可解決此題．
【詳解】數據，，，的平均數為4，，
數據，，，的平均數為，
故選：．
6.某校組織全體學生參加了主題為“建黨百年，薪火相傳”的知識競賽，隨機抽取了200名學生進行成績統計，發現抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．直方圖中的值為0.004
B．在被抽取的學生中，成績在區間[70，80）的學生數為15人
C．估計全校學生成績的樣本數據的80%分位數約為93分
D．估計全校學生的平均成績為84分
【答案】D
【分析】由概率總和為1可得，由百分位數定義計算80%分位數，由頻率分布直方圖的頻率計算人數，均值判斷各選項．
【詳解】由得，A錯；
成績在區間[70，80）的頻率為，人數為，B錯；
低于90分的頻率為，設樣本數據的80%分位數約為分，
則，解得，C錯；
平均成績為，D正確．
故選：D．
7.已知一組數據10，5，4，2，2，2，，且這組數據的平均數與眾數的和是中位數的2倍，則所有可能的取值為__________．
【答案】或3或17
求出這組數據的平均數與眾數，分中位數進行討論可得x的取值.
【詳解】由題意可得這組數據的平均數為：，
眾數為2，若，可得，可得；
若，則中位數為x，可得，可得；
若，則中位數為4，可得，可得，
故答案為：或3或17.
六、頻率分布直方圖中的眾數、中位數、平均數的計算
1．樣本平均數：可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形面積的乘積之和近似代替．
2．在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應相等．
3．將最高小矩形所在的區間中點作為眾數的估計值．
【典型例題】
【例1】某公司為了解用戶對其產品的滿意程度，從A地區隨機抽取了400名用戶，從B地區隨機抽取了100名用戶，請用戶根據滿意程度對該公司產品評分，該公司將收集到的數據按照分組，繪制成評分頻率分布直方圖如圖：
(1)求B地區用戶對該公司產品的評分不低于60分的人數；
(2)求A地區用戶對該公司產品的評分的眾數、中位數；
(3)根據頻率分布直方圖，假設同組中的每個數據用該組區間的中點值代替，估計A地區抽取的400名用戶對該公司產品的評分的平均值為，B地區抽取的100名用戶對該公司產品的評分的平均值為，以及A，B兩個地區抽取的500名用戶對該公司產品的評分的平均值為，試比較和的大小．（結論不要求證明）
【答案】(1)50
(2)70,65
(3)
【分析】（1）利用頻率分布直方圖求解；
（2）利用頻率分布直方圖，結合眾數和中位數的定義求解；
（2）利用頻率分布直方圖，結合平均數的公式求解.
(1)
解：由頻率分布直方圖得：
B地區用戶對該公司產品的評分不低于60分的人數為：；
(2)
由頻率分布表得：
A地區用戶對該公司產品的評分的眾數是70，
設中位數為x，則 ，
解得；
(3)
，
，
所以 ，，
則.
【例2】新冠肺炎疫情期間，某市為了了解本地居民對當地防疫工作的滿意度，從市居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為100分），根據調查數據制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有2200人.
(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調查的總人數；
(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分數的眾數和平均數（精確到0.1）；
(3)設該市居民為50萬人，估計全市居民對當地防疫工作評分在85分以上的人數.
【答案】(1)0.025，4000人
(2)眾數為85.0，平均數80.7
(3)212500
【分析】（1）首先根據頻率和為1，求，再根據落在區間的居民有2200人，求調查的總人數；
（2）根據眾數和平均數公式，即可求解；
（3）首先計算評分在85分以上的頻率，再計算人數.
(1)
有頻率分布直方圖知
即，解得
設總共調查了人，則，
解得，即調查的總人數為4000人；
(2)
最高小矩形底邊中點橫坐標即為眾數，可得眾數為，
由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為：0.02 0.04 0.14 0.20 0.35 0.25，
所以設平均數為，
則
(3)
由頻率分布直方圖知評分在85分以上的頻率為
所以估計該市居民評分在85分以上的人數為:
【例3】我國是世界上嚴重缺水的國家之一，為提倡節約用水，我市為了制定合理的節水方案，對家庭用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了2021年 100個家庭的月均用水量（單位：t），將數據按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求全市家庭月均用水量不低于 4t的頻率;
(2)假設同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替，求全市家庭月均用水量平均數的估計值（精確到0.01）;
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位數的估計值（精確到0.01）.
【答案】(1)
(2)4.92 t.
(3)
【分析】（1）通過頻率分布直方圖求得的頻率，由此求得的估計值.
（2）根據由頻率分布直方圖計算平均數的方法，計算出全市家庭月均用水量平均數的估計值.
（3）通過頻率分布直方圖，計算出累計頻率為的位置，從而求得全市家庭月均用水量的75%分位數的估計值.
(1)
由直方圖可知全市家庭月均用水量不低于 4t的頻率為： .
(2)
因為.
因此全市家庭月均用水量的平均數估計值為4.92 t.
(3)
頻率分布直方圖中，用水量低于2 t的頻率為.
用水量低于4 t的頻率為.
用水量低于6 t的頻率為.
用水量低于8 t的頻率為.
故全市家庭月均用水量的75%分位數的估計值為 ，則
則，解得
所以全市家庭月均用水量的75%分位數的估計值為
【例4】從某學校隨機抽取100名學生，測得他們的身高（單位：cm），按照區間，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖，如圖所示.
(1)求頻率分布直方圖中x的值；
(2)估計該校學生身高的平均數（每組數據以區間中點值為代表）；
(3)估計該校學生身高的75%分位數.
【答案】(1)0.06
(2)172.25
(3)176.25
【分析】（1）利用頻率分布直方圖中長方形面積之和為1,易求出x；
（2）直接利用平均數公式求出平均數；
（3）可設該校100名生學身高的75%分位數為x,再利用頻率分布直方圖計算即得
(1)
由頻率分布直方圖可知5×(0.01+0.07+x+0.04+0.02+0.01)=1,解得x=0.06,
(2)
根據頻率分布直方圖，由平均數公式可得：
(3)
的人數占比為5×0.02=10%.
的人數占比為5×00.4=20%.
所以該校100名生學身高的75%分位數落在.
設該校100名生學身高的75%分位數為x，則,解得x=176.25.
故該校100名生學身高的75%分位數為176.25.
【例5】治理沙漠離不開優質的樹苗，現從苗圃中隨機地抽測了200株樹苗的高度（單位：cm），得到以下頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中a的值及眾數 中位數；
(2)若樹高185cm及以上是可以移栽的合格樹苗.從樣本中按分層抽樣方法抽取20株樹苗作進一步研究，不合格樹苗 合格樹苗分別應抽取多少株？
【答案】(1)，眾數為，中位數
(2)7株和13株
【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質及眾數 中位數的求法即得；
（2）利用直方圖及分層抽樣方法即得.
(1)
∵，
∴，眾數為，
設中位數為x，因為，
，
則，
，
∴
故，眾數為，中位數.
(2)
由題可知合格樹苗所占頻率為，不合格樹苗所占頻率為，
不合格的抽取株，合格的抽取株，
故不合格樹苗 合格樹苗分別應抽取7株和13株.
【對點實戰】
1.為了了解高二學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數次測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3；第二小組頻數為12.
(1)第二小組的頻率是多少，樣本容量是多少；
(2)若次數在110以上（含110次）為達標，試估計該學校全體高二學生的達標率是多少；
(3)在這次測試中，估計學生跳繩次數的眾數和中位數 平均數各是多少.（結果均保留整數.）
【答案】(1)0.08,150
(2)
(3)115,121,122
【分析】（1）根據長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數為12，利用頻率公式和樣本容量公式求解；
（2）由長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，根據題意由求解；
（2）根據長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，結合頻率分布直方圖，由眾數，中位數和平均數公式求解.
(1)
解：因為；長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數為12.
所以第二小組的頻率為，樣本容量為；
(2)
高二學生的達標率是；
(3)
由頻率分布直方圖知：學生跳繩次數的眾數為；
從左到右各組的頻數為，
前3組的頻數和為69，后3組的頻數和為81，
所以中位數落在第四小組；
設中位數為，則，
解得；
.
2.對某校高三年級學生參加社區服務的次數進行統計，隨機抽取M名學生，得到這M名學生參加社區服務的次數，根據此數據作出如下頻率分布表和頻率分布直方圖．
分組 頻數 頻率
合計
(1)求出表中，及圖中a的值；
(2)若該校有高三學生人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間內的人數；
(3)估計該校高三學生參加社區服務次數的眾數、中位數及平均數．
【答案】(1)，，
(2)人
(3)眾數：，中位數：，平均數：
【分析】（1）由分組對應的頻數是，頻率是可求出的值，由此可求出和的值；
（2）由該校高三學生有人乘以內的頻率即可求解；
（3）由頻率分布直方圖可直接求出眾數、中位數及平均數.
(1)
由分組對應的頻數是，頻率是，知，所以，
所以，解得，
所以，；
(2)
估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間內的人數為；
(3)
估計該校高三學生參加社區服務次數的眾數是．
因為，
所以估計該校高三學生參加社區服務次數的中位數x滿足：，
解得，所以該校高三學生參加社區服務次數的中位數約為，
由，
所以估計該校高三學生參加社區服務次數的平均數是.
3.在技術人員的指導下，某棉花種植基地的棉花產量和質量均有大幅度地提升，已知該棉花種植基地今年產量為，技術人員隨機抽取了棉花，測量其馬克隆值（棉花的馬克隆值是反映棉花纖維細度與成熟度的綜合指標，是棉纖維重要的內在質量指標之一，與棉花價格關系密切），得到如下統計表及不完整的頻率分布直方圖．
馬克隆值
質量/ t 0.04 0.06 0.12 0.16 b a 0.06 0.03 0.01
(1)求表中的值，并補全頻率分布直方圖；
(2)根據頻率分布直方圖，估計樣本的馬克隆值的眾數及中位數；
(3)根據馬克隆值可將棉花分為三個等級，不同等級的棉花價格如下表所示：
馬克隆值 或
級別
價格（萬元/t） 1.6 1.52 1.44
用樣本估計總體，估計該棉花種植基地今年的總產值．
【答案】(1)，，頻率分布直方圖見解析；
(2)眾數為，中位數為；
(3)萬元.
【分析】（1）由頻率分布直方圖和統計表可計算求得，由此可補全頻率分布直方圖；
（2）由頻率分布直方圖估計眾數和中位數的方法直接求解即可；
（3）計算求得樣本的產值，進而可得今年

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