資源簡介

10.1.1-----10.1.2隨機事件樣本空間與事件運算
本節課知識點目錄：
樣本空間及其求法。
隨機事件與必然事件。
隨機事件的含義
互斥事件和對立事件
事件的運算
一、樣本空間及其求法
定義 字母表示
樣本點 我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點 用ω表示樣本點
樣本空間 全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間 用Ω表示樣本空間
有限樣本空間 如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
【典型例題】
【例1】將2個1和1個0隨機排成一排，則這個試驗的樣本空間__________.
【例2】為了豐富高一學生的課外生活，某校要組建數學、計算機、航空模型、繪畫4個興趣小組，小明要隨機選報其中的2個，則該試驗中樣本點的個數為（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
【例3】集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，從A，B中各任意取一個數，構成一個兩位數，則所有樣本點的個數為（ ）
A．8 B．9 C．12 D．11
【例4】同時擲兩枚大小相同的骰子，用（x，y）表示結果，記事件A為“所得點數之和小于5”，則事件A包含的樣本點數是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例5】在一個袋子中裝有分別標注1，2，3，4，5的五個小球，這些小球除標注的數字外完全相同，現從中隨機取出2個小球，則取出小球標注的數字之差的絕對值為2或4的事件包含的樣本點個數為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例6】袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個，現在有放回地隨機摸3次，每次摸取一個，觀察摸出球的顏色，則此隨機試驗的樣本點個數為 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例7】一個家庭生兩個小孩，所有的樣本點有（ ）
A．（男，女），（男，男），（女，女）
B．（男，女），（女，男）
C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D．（男，男），（女，女）
【對點實戰】
1.從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”包含的樣本點數為（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2.一個家庭中先后有兩個小孩，則他(她)們的性別情況可能為（ ）
A．男女、男男、女女 B．男女、女男
C．男男、男女、女男、女女 D．男男、女女
3.某校高一年級要組建數學、計算機、航空模型三個興趣小組，某學生只選報其中的2個，則樣本點共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4.袋中有5只球，其中有3只紅球，編號為1，2，3，有2只黃球，編號為4，5.現從中任意取一只球，試驗A：觀察顏色；試驗B：觀察號碼.
試驗A的樣本空間為_______________________.
試驗B的樣本空間為_______________________.
5.從含有件次品的件產品中任取件，觀察其中次品數，其樣本空間為______．
6.同時拋三枚均勻的硬幣，則樣本點的總個數和恰有2個正面朝上的樣本點個數分別為________.
二、隨機事件與必然事件
隨機 事件 我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件，隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生
必然 事件 Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以Ω總會發生，我們稱Ω為必然事件
不可能事件 空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生．我們稱 為不可能事件
【典型例題】
【例1】下列是周期現象的為（ ）
①閏年每四年一次；
②某交通路口的紅綠燈每30秒轉換一次；
③某超市每天的營業額；
④某地每年6月份的平均降雨量．
A．①②④ B．③④ C．①② D．①②③
【例2】下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數a，b都不為0，但；④某地區明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④
【例3】下列事件中，隨機事件的個數為（ ）
①三角形內角和為；②三角形中大邊對大角，大角對大邊；③三角形中兩個內角和小于90°；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【例4】下面的事件：
①袋中有2個紅球，4個白球，從中任取3個球，至少取到1個白球；
②某人買彩票中獎；
③非零實系數一次方程必有一實根；
④明天會下雨．
其中是必然事件的有（ ）
A．① B．④ C．① ③ D．① ④
【例5】下列事件中，是隨機事件的是（ ）
①射擊運動員某次比賽第一槍擊中9環
②投擲2顆質地均勻的骰子，點數之和為14
③13個人中至少有2個人的生日在同一個月
④拋擲一枚質地均勻的硬幣，字朝上
A．①③ B．③④ C．①④ D．②③
【例6】下列事件中，屬于不確定的事件是（ ）
A．常溫下，錫會融化； B．水蒸氣遇冷能夠凝結；
C．上海龍華古寺是一座千年古塔； D．電話鈴聲一響就被接聽
【例7】下列試驗能構成事件的是（ ）
A．擲一次硬幣 B．標準大氣壓下，水燒至
C．從100件產品中任取3件 D．某人投籃5次，恰有3次投中
【例8】班里有18個男生，15個女生，其中一名女生叫小麗，從中任意抽取a人打掃衛生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范圍；
(2)女生小麗被抽到是隨機事件，求a的取值范圍．
【對點實戰】
1.下列成語描述的事件是隨機事件的是（ ）
A．守株待兔 B．水中撈月
C．水漲船高 D．瓜熟蒂落
2.下列事件為確定事件的有（ ）
（1）在一標準大氣壓下，的水結冰
（2）邊長為，的長方形面積為ab
（3）拋一個硬幣，落地后正面朝上
（4）平時的百分制考試中，小白的考試成績為105分．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3.下列事件中，不可能事件是（ ）
A．三角形內角和為
B．三角形中大邊對大角，小邊對小角
C．銳角三角形中兩個內角和等于
D．三角形中任意兩邊之和大于第三邊
4.在200件產品中，192有件一級品，8件二級品，則下列事件：
①在這200件產品中任意選出9件，全部是一級品；
②在這200件產品中任意選出9件，全部是二級品；
③在這200件產品中任意選出9件，不全是一級品；
④在這200件產品中任意選出9件，至少一件是一級品．
其中的隨機事件有（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．①②
5.已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（ ）
A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件
B．事件“都是藍色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一張藍色卡片”是必然事件
D．事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件
6.拋擲一枚骰子和一枚硬幣，寫出樣本空間.
三、隨機事件的含義
【典型例題】
【例1】如圖，一個電路中有，，三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效，元件處于正常狀態記為“1”，處于失效狀態記為“0”，把每個元件是否處于正常狀態看成隨機現象，記表示，，的狀態，，，，指出下列隨機事件的含義．
(1)事件；
(2)事件；
(3)事件．
【例2】先后拋擲兩枚質地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數分別為x， y，則事件“朝上的面的點數x， y滿足log2xy＝1”包含的樣本點有_______________．
【例3】班里有18個男生，15個女生，其中一名女生叫小麗，從中任意抽取a人打掃衛生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范圍；
(2)女生小麗被抽到是隨機事件，求a的取值范圍．
【例4】一袋中裝有10個紅球，8個白球，7個黑球，現在把球隨機地一個一個摸出來，為了保證在第k次或第k次之前一定能摸出紅球，則k的最小值為（ ）
A．10 B．15 C．16 D．17
【例5】已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1]，給出事件A：f(x)≥a.
（1）當A為必然事件時，求a的取值范圍；
（2）當A為不可能事件時，求a的取值范圍.
【例6】做試驗“從一個裝有標號為1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取兩次小球，每次取一個，構成有序數對(x，y)，x為第一次取到的小球上的數字，y為第二次取到的小球上的數字”.
（1）求這個試驗樣本點的個數；
（2）寫出“第一次取出的小球上的數字是2”這一事件.
【例7】樹形圖（TreeDiagram）是一種有層次地枚舉各種可能情況的可視化方法.樹形圖有助于我們直觀地探求某些樣本空間.例如，考察有兩個孩子的家庭，記“從中任意抽取一個家庭，兩個孩子是一男一女”為事件A.我們畫出如圖所示的樹形圖，可知樣本空間{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，事件{（男，女），（女，男）}.
試用樹形圖的方法分析下列習題
一只不透明的口袋內裝有大小相同的3個球，且分別標有1，2，3三個號碼.記“從袋中不放回地抽取2個球，第一個球的號碼是1”為事件A，“從袋中不放回地抽取2個球，第二個球的號碼是2”為事件B.試分別寫出，A，B及AB所包含的樣本點.
【對點實戰】
1.指出下列試驗的樣本空間和樣本點個數：
（1）從裝有大小相同但顏色不同的a，b，c，d這4個球的袋中，任取1個球；
（2）從裝有大小相同但顏色不同的a，b，c，d這4個球的袋中，任取2個球.
2.在試驗E：“連續拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數”中，指出下列隨機事件的含義：
(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；
(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}．
3.柜子里有3雙不同的鞋，隨機抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標為奇數表示左腳，下標為偶數表示右腳．指出下列隨機事件的含義．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
4.如圖，從正方形ABCD的四個頂點及其中心O這5個點中，任取兩點觀察取點的情況，設事件M為“這兩點的距離不大于該正方形的邊長”，試用樣本點表示事件M.
5.試驗E：甲、乙兩人玩出拳游戲(石頭、剪刀、布)，觀察甲、乙出拳的情況．
設事件A表示隨機事件“甲乙平局”；
事件B表示隨機事件“甲贏得游戲”；
事件C表示隨機事件“乙不輸”．
試用集合表示事件A，B，C.
四、互斥事件和對立事件
定義 符號 圖示
互斥事件 一般地，如果事件A與事件B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝ ，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
對立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為 A∪B＝Ω且A∩B＝
【典型例題】
【例1】某人打靶時連續射擊兩次，下列事件與事件“至多一次中靶”互為對立的是（ ）
A．至少一次中靶 B．兩次都中靶
C．只有一次中靶 D．兩次都沒有中靶
【例2】抽查10件產品，設A={至多有1件次品}，則事件A的對立事件是（ ）
A．{至多有2件正品} B．{至多有1件次品}
C．{至少有1件正品} D．{至少有2件次品}
【例3】某人在打靶中，連續射擊3次，至多有一次中靶的互斥不對立事件是（ ）
A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶
C．恰有兩次中靶 D．至少兩次中靶
【例4】從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（ ）
A．至少有一個白球與都是紅球 B．恰好有一個白球與都是紅球
C．至少有一個白球與都是白球 D．至少有一個白球與至少一個紅球
【例5】從裝有5個紅球、5個白球的袋中任意取出3個球，判斷下列每對事件是不是互斥事件，是不是對立事件．
(1)“取出3個紅球”與“取出3個球中至少有1個白球”；
(2)“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”；
(3)“取出3個紅球”與“取出的球中至少有1個紅球”．
【例6】某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”．判斷下列事件是不是互斥事件，如果是，判斷它們是不是對立事件．
（1）A與C；（2）B與E；（3）B與D；（4）B與C；（5）C與E.
【例7】從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字中任取兩個數，分別有下列事件：
①恰有一個是奇數和恰有一個是偶數；
②至少有一個是奇數和兩個數都是奇數；
③至少有一個是奇數和兩個數都是偶數；
④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數.
其中，為互斥事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
【例8】一個口袋中裝有個白球和個黑球，下列事件中，是獨立事件的是（ ）
A．第一次摸出的是白球與第一次摸出的是黑球
B．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
D．一次摸兩個球，共摸兩次，第一次摸出顏色相同的球與第一次摸出顏色不同的球
【對點實戰】
1.某小組有3名男生和2名女生，從中選取2名學生參加演講比賽，下列事件中互斥而不對立的事件為（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．恰有1名男生和恰有2名女生
C．至少有1名男生和全是男生 D．至少有1名男生和全是女生
2.許洋說：“本周我至少做完三套練習題．”設許洋所說的事件為A，則A的對立事件為（ ）
A．至多做完三套練習題 B．至多做完兩套練習題
C．至多做完四套練習題 D．至少做完兩套練習題
3.從1，2，3，…，7這7個數中任取兩個數，其中：
①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；
②至少有一個是奇數和兩個都是奇數；
③至少有一個是奇數和兩個都是偶數；
④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數.
上述事件中，是對立事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
4.從40張撲克牌(紅桃 黑桃 方塊 梅花，點數從1~10各1張)中，任取一張.
（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”.
判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由.
5.某連鎖火鍋城開業之際，為吸引更多的消費者，開展抽獎活動，前20位顧客可參加如下活動：搖動如圖所示的游戲轉盤(上面扇形的圓心角都相等)，顧客可以免費獲得按照指針所指區域的數字10倍金額的店內菜品或飲品，最高120元，每人只能參加一次這個活動．記事件A：“獲得不多于30元菜品或飲品”．
（1）求事件A包含的基本事件；
（2）寫出事件A的對立事件，以及一個事件A的互斥事件．
6.用紅、黃、藍三種不同的顏色給大小相同的三個圓隨機涂色，每個圓只涂一種顏色.設事件“三個圓的顏色全不相同”，事件“三個圓的顏色不全相同”，事件“其中兩個圓的顏色相同”，事件“三個圓的顏色全相同”.
（1）寫出試驗的樣本空間.
（2）用集合的形式表示事件.
（3）事件與事件有什么關系？事件和的交事件與事件有什么關系？并說明理由.
五、事件的運算
定義 符號 圖示
包含關系 一般地，若事件A發生，則事件B一定發生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
相等關系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，則稱事件A與事件B相等 A＝B
并事件 (或和事件) 一般地，事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或積事件) 一般地，事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B (或AB)
【典型例題】
【例1】拋擲3枚質地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，與事件“至少有1個白球”相等的事件是（ ）
A．全是紅球 B．至少有1個紅球
C．至多有1個紅球 D．1個紅球，1個白球
【例3】某產品分為甲、乙、丙三級，其中甲級為正品，乙、丙兩級均屬次品．從等級分別為甲、乙、丙的三件產品中任取一件，抽到甲、乙、丙三級產品分別為事件A， B， C，則抽得次品為（ ）
A．A B．
C． D．
【例4】如圖是某班級50名學生訂閱數學、語文、英語學習資料的情況，其中A表示訂閱數學學習資料的學生，B表示訂閱語文學習資料的學生，C表示訂閱英語學習資料的學生．
(1)從這個班任意選擇一名學生，用自然語言描述1，4，5，8各區域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少訂閱一種學習資料；
②恰好訂閱一種學習資料；
③沒有訂閱任何學習資料.
【例5】生產某種產品需要2道工序，設事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“產品合格”，“產品不合格”．
【例6】.拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.
(1)試判斷事件A與事件B，C，E的關系；
(2)試求AD，B+C所包含的樣本點，并判斷AD與B+C的關系.
【例7】擲一枚骰子，下列事件：A=“出現奇數點”，B=“出現偶數點”，C=“點數小于3”，D=“點數大于2”，E=“點數是3倍數”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）A∪B，B+C；
（3）記為事件H的對立事件，求.
【例8】設A，B，C表示三個隨機事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.
（1）三個事件都發生；
（2）三個事件至少有一個發生；
（3）A發生，B，C不發生；
（4）A，B都發生，C不發生；
（5）A，B至少有一個發生，C不發生；
（6）A，B，C中恰好有兩個發生.
【對點實戰】
1.拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：“向上的點數為”，其中，“向上的點數為偶數”，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C．與互斥 D．與對立
2.打靶次，事件表示“擊中發”，其中、、、.那么表示（ ）
A．全部擊中 B．至少擊中發
C．至少擊中發 D．以上均不正確
3.如果事件A，B互斥，那么（ ）
A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件
C．與一定互斥 D．與一定不互斥
4.電路如圖所示.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關Ⅰ閉合”“開關Ⅱ閉合”“開關Ⅲ閉合”，則A＝____________.(用B，C，D間的運算關系式表示)
5.一批產品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產品中任意抽取5件，現給出以下四個事件:事件A:恰有一件次品.事件B:至少有兩件次品.事件C:至少有一件次品.事件D:至多有一件次品.并給出以下結論:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正確結論的序號是__________.
6.拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數，若事件，事件，求事件，.
7.把標號為1，2，3，4的四張卡片分發給甲、乙、丙、丁四個人，每人1張，事件A表示隨機事件“甲分得1號卡片”，事件B表示隨機事件“乙分得1號卡片”.
（1）分別指什么事件？
（2）事件A與事件B是否為互斥事件？若是互斥事件，則是否互為對立事件？若不是對立事件，請分別說出事件A、事件B的對立事件.
10.1.1-----10.1-2隨機事件樣本空間與事件運算
本節課知識點目錄：
樣本空間及其求法。
隨機事件與必然事件。
隨機事件的含義
互斥事件和對立事件
事件的運算
一、樣本空間及其求法
定義 字母表示
樣本點 我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點 用ω表示樣本點
樣本空間 全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間 用Ω表示樣本空間
有限樣本空間 如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
【典型例題】
【例1】將2個1和1個0隨機排成一排，則這個試驗的樣本空間__________.
【答案】
【分析】根據樣本空間的定義進行求解即可.
【詳解】將2個1和1個0隨機排成一排，這個試驗的樣本空間，
故答案為：
【例2】為了豐富高一學生的課外生活，某校要組建數學、計算機、航空模型、繪畫4個興趣小組，小明要隨機選報其中的2個，則該試驗中樣本點的個數為（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【分析】用列舉法一一表示出該試驗中樣本點，從而求出該試驗中樣本點的個數
【詳解】由題意，得樣本點為（數學，計算機），（數學，航空模型），（數學，繪畫），（計算機，航空模型），（計算機，繪畫），（航空模型，繪畫），共6個，
故選：C．
【例3】集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，從A，B中各任意取一個數，構成一個兩位數，則所有樣本點的個數為（ ）
A．8 B．9 C．12 D．11
【答案】D
【分析】寫出所有樣本點即可求解.
【詳解】根據題意，所有樣本點為：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11個，
故選：D
【例4】同時擲兩枚大小相同的骰子，用（x，y）表示結果，記事件A為“所得點數之和小于5”，則事件A包含的樣本點數是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根據基本事件概念即可求解.
【詳解】因為事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，
共包含6個樣本點.
故選：D.
【例5】在一個袋子中裝有分別標注1，2，3，4，5的五個小球，這些小球除標注的數字外完全相同，現從中隨機取出2個小球，則取出小球標注的數字之差的絕對值為2或4的事件包含的樣本點個數為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由題意一一列舉數字之差的絕對值為2或4的事件即可得出結果.
【詳解】從5個小球中任取2個，
其中數字之差的絕對值為2或4的事件包含
(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)4個樣本點，
故選：B.
【例6】袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個，現在有放回地隨機摸3次，每次摸取一個，觀察摸出球的顏色，則此隨機試驗的樣本點個數為 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】由題意一一列舉出基本事件即可得出選項.
【詳解】因為是有放回地隨機摸3次，
所以隨機試驗的樣本空間為Ω={(紅，紅，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(紅，黑，黑)，
(黑，紅，紅)，(黑，紅，黑)，(黑，黑，紅)，(黑，黑，黑)}.共8個.
故選：D
【例7】一個家庭生兩個小孩，所有的樣本點有（ ）
A．（男，女），（男，男），（女，女）
B．（男，女），（女，男）
C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D．（男，男），（女，女）
【答案】C
【分析】把所有的情況一一列出即可求解.
【詳解】把第一個孩子的性別寫在前面，第一個孩子的性別寫在后面，
則所有的樣本點是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），
故選：C.
【對點實戰】
1.從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”包含的樣本點數為（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】列出2個數的和大于4的樣本點即可求解．
【詳解】從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，
則試驗的樣本空間為Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4) }.
其中“這2個數的和大于4”包含的樣本點有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4個．
故選：C.
2.一個家庭中先后有兩個小孩，則他(她)們的性別情況可能為（ ）
A．男女、男男、女女 B．男女、女男
C．男男、男女、女男、女女 D．男男、女女
【答案】C
【分析】由題意一一列舉基本事件即可得出選項.
【詳解】用列舉法可知，性別情況有男男、男女、女男、女女，共4種可能.
故選：C
3.某校高一年級要組建數學、計算機、航空模型三個興趣小組，某學生只選報其中的2個，則樣本點共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據基本事件的概念一一列舉即可得出選項.
【詳解】解析：該生選報的所有可能情況是：數學和計算機、數學和航空模型、
計算機和航空模型，所以樣本點有3個.
故選：C
4.袋中有5只球，其中有3只紅球，編號為1，2，3，有2只黃球，編號為4，5.現從中任意取一只球，試驗A：觀察顏色；試驗B：觀察號碼.
試驗A的樣本空間為_______________________.
試驗B的樣本空間為_______________________.
【答案】 紅，黃
【分析】由樣本空間的定義即可求解.
【詳解】解：由題意，試驗A的樣本空間為紅，黃；試驗B的樣本空間為.
故答案為：紅，黃；.
5.從含有件次品的件產品中任取件，觀察其中次品數，其樣本空間為______．
【答案】
【分析】分析取出的件產品的次品個數即可求解.
【詳解】由分析可知取出的件產品的次品個數為，，，，，
所以樣本空間為，
故答案為：.
6.同時拋三枚均勻的硬幣，則樣本點的總個數和恰有2個正面朝上的樣本點個數分別為________.
【答案】8，3
【分析】利用列舉法計數可得．
【詳解】同時拋三枚均勻的硬幣的可能的不同結果有：
正正正，正正反，正反正，反正正，
反反正，反正反，正反反，反反反，
樣本點的總個數為8，
恰好有2個正面朝上的樣本點為正正反、正反正、反正正，
共3個.
故答案為8，3.
二、隨機事件與必然事件
隨機 事件 我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件，隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生
必然 事件 Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以Ω總會發生，我們稱Ω為必然事件
不可能事件 空集 不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生．我們稱 為不可能事件
【典型例題】
【例1】下列是周期現象的為（ ）
①閏年每四年一次；
②某交通路口的紅綠燈每30秒轉換一次；
③某超市每天的營業額；
④某地每年6月份的平均降雨量．
A．①②④ B．③④ C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】根據周期現象的概念即可判斷.
【詳解】①②是周期現象；③是隨機的，不是周期現象；④是隨機的，不是周期現象.
故選：C.
【例2】下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數a，b都不為0，但；④某地區明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④
【答案】A
【分析】利用隨機事件的定義逐一分析給定的各個事件即可判斷作答.
【詳解】拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，即①是隨機事件；
因三角形三條高線一定交于一點，則②是必然事件；
因實數a，b都不為0，則，于是得③是不可能事件；
某地區明年7月的降雨量是一種預測，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機事件，
所以在給定的4個事件中，①④是隨機事件.
故選：A
【例3】下列事件中，隨機事件的個數為（ ）
①三角形內角和為；②三角形中大邊對大角，大角對大邊；③三角形中兩個內角和小于90°；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】根據隨機事件和必然事件的定義判斷即可求解.
【詳解】①三角形內角和為是必然事件，
②三角形中大邊對大角，大角對大邊是必然事件，
③三角形中兩個內角和可能小于，可能等于，可能大于，是隨機事件，
④三角形中任意兩邊的和大于第三邊是必然事件，
所以隨機事件的個數為，
故選：A.
【例4】下面的事件：
①袋中有2個紅球，4個白球，從中任取3個球，至少取到1個白球；
②某人買彩票中獎；
③非零實系數一次方程必有一實根；
④明天會下雨．
其中是必然事件的有（ ）
A．① B．④ C．① ③ D．① ④
【答案】C
【分析】根據必然事件的知識確定正確選項.
【詳解】①，因為紅球只有個，所以從中任取3個球，至少取到1個白球，是必然事件.
②，中獎不是必然事件.
③，非零實系數一次方程必有一實根，是必然事件.
④，明天會下雨，不是必然事件.
所以必然事件的是① ③.
故選：C
【例5】下列事件中，是隨機事件的是（ ）
①射擊運動員某次比賽第一槍擊中9環
②投擲2顆質地均勻的骰子，點數之和為14
③13個人中至少有2個人的生日在同一個月
④拋擲一枚質地均勻的硬幣，字朝上
A．①③ B．③④ C．①④ D．②③
【答案】C
【分析】由隨機事件，不可能事件，必然事件的定義判斷即可.
【詳解】解：根據題意，①④為隨機事件，②為不可能事件，③為必然事件.
所以隨機事件的①④
故選：C
【例6】下列事件中，屬于不確定的事件是（ ）
A．常溫下，錫會融化； B．水蒸氣遇冷能夠凝結；
C．上海龍華古寺是一座千年古塔； D．電話鈴聲一響就被接聽
【答案】D
【分析】根據不可能事件、隨機事件、必然事件的定義直接判斷.
【詳解】對于A：“常溫下，錫會融化”是不可能事件.故A錯誤 ；
對于B：“水蒸氣遇冷能夠凝結”是必然事件. 故B錯誤 ；
對于C：“上海龍華古寺是一座千年古塔”是必然事件. 故C錯誤 ；
對于D：電話鈴聲一響后有可能被接聽，也有可能不被接聽，故“電話鈴聲一響就被接聽”是隨機事件.
故選：D
【例7】下列試驗能構成事件的是（ ）
A．擲一次硬幣 B．標準大氣壓下，水燒至
C．從100件產品中任取3件 D．某人投籃5次，恰有3次投中
【答案】D
【分析】根據事件可以分為必然事件、隨機事件和不可能事件即可判斷.
【詳解】解：所謂事件，實際上就是在一定條件下所出現的某種結果．在一定條件下必然發生的事件，叫做必然事件．在一定條件下不可能發生的事件，叫做不可能事件．隨機事件在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件．
，，三個選項不能劃分為三種事件的其中一個，
故選：D．
【例8】班里有18個男生，15個女生，其中一名女生叫小麗，從中任意抽取a人打掃衛生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范圍；
(2)女生小麗被抽到是隨機事件，求a的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根據必然事件的定義得解；
（2）根據隨機事件的定義得解.
(1)
解：班里有18個男生，15個女生，從中任意抽取a人打掃衛生，女生被抽到是必然事件，
所以.
(2)
解：班里有18個男生，15個女生，從中任意抽取a人打掃衛生，女生小麗被抽到是隨機事件，
所以，.
【對點實戰】
1.下列成語描述的事件是隨機事件的是（ ）
A．守株待兔 B．水中撈月
C．水漲船高 D．瓜熟蒂落
【答案】A
【分析】根據不可能事件、隨機事件、必然事件的定義求解
【詳解】由不可能事件、隨機事件、必然事件的定義知：
守株待兔是隨機事件，水中撈月是不可能事件，水漲船高、瓜熟蒂落是必然事件．
故選：A．
2.下列事件為確定事件的有（ ）
（1）在一標準大氣壓下，的水結冰
（2）邊長為，的長方形面積為ab
（3）拋一個硬幣，落地后正面朝上
（4）平時的百分制考試中，小白的考試成績為105分．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】根據不可能事件、必然事件、隨機事件的概念進行逐一判斷即可得到答案.
【詳解】（1）在一標準大氣壓下，的水結冰，這是不可能發生的事件，故是不可能事件．
（2）邊長為，的長方形面積為，這是必然發生的事件，故是必然事件
（3）拋一個硬幣，落地后正面朝上，這件事可能發生，也可能不發生，屬于隨機事件．
（4）平時的百分制考試中，小白的考試成績為105分，這是不可能發生的事件，故是不可能事件．
故選:A．
3.下列事件中，不可能事件是（ ）
A．三角形內角和為
B．三角形中大邊對大角，小邊對小角
C．銳角三角形中兩個內角和等于
D．三角形中任意兩邊之和大于第三邊
【答案】C
【分析】根據三角形的相關性質可判斷事件.
【詳解】由三角形性質可知、、為必然事件；
由三角形內角和定理知兩個內角和等于的三角形為直角三角形是不可能的，
所以為不可能事件．
故選：C
4.在200件產品中，192有件一級品，8件二級品，則下列事件：
①在這200件產品中任意選出9件，全部是一級品；
②在這200件產品中任意選出9件，全部是二級品；
③在這200件產品中任意選出9件，不全是一級品；
④在這200件產品中任意選出9件，至少一件是一級品．
其中的隨機事件有（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．①②
【答案】A
【分析】按照隨機事件、必然事件、不可能事件的定義一一判斷.
【詳解】由于在200件產品中，192有件一級品，8件二級品，
則①“在這200件產品中任意選出9件，全部是一級品”，這件事可能發生，也可能不發生，故是隨機事件．
②“在這200件產品中任意選出9件，全部是二級品”，這件事根本不可能發生，故是不可能事件．
③“在這200件產品中任意選出9件，不全是一級品”，這件事可能發生，也可能不發生，故是隨機事件．
④“在這200件產品中任意選出9件，其中不是一級品的件數小于100”，是一定要發生的事件，故是必然事件
故選：A．
5.已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（ ）
A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件
B．事件“都是藍色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一張藍色卡片”是必然事件
D．事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件
【答案】C
【分析】根據隨機事件、必然事件、不可能事件的定義判斷.
【詳解】袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，
在A中，事件“都是紅色卡片”是隨機事件，故A正確；
在B中，事件“都是藍色卡片”是不可能事件，故B正確；
在C中，事件“至少有一張藍色卡片”是隨機事件，故C錯誤；
在D中，事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件，故D正確．
故選：C．
6.拋擲一枚骰子和一枚硬幣，寫出樣本空間.
【答案】見解析.
【分析】給拋擲一枚骰子的結果編號，給拋擲一枚硬幣的結果編號，寫出所有的可能組合即可.
【詳解】設表示拋擲骰子所得點數為，表示拋擲硬幣反面朝上，表示拋擲硬幣正面朝上，則分別表示“拋擲骰子所得點數為且拋擲硬幣反面朝上”與“拋擲骰子所得點數為且拋擲硬幣正面朝上".
則樣本空間,
三、隨機事件的含義
【典型例題】
【例1】如圖，一個電路中有，，三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效，元件處于正常狀態記為“1”，處于失效狀態記為“0”，把每個元件是否處于正常狀態看成隨機現象，記表示，，的狀態，，，，指出下列隨機事件的含義．
(1)事件；
(2)事件；
(3)事件．
【答案】(1)三個電器元件中恰好有兩個電器元件處于正常狀態
(2)這個電路是通路
(3)這個電路是斷路
【分析】根據元件處于正常狀態記為“1”，處于失效狀態記為“0”結合電路的特征求解.
(1)
解：觀察事件中所含的樣本點，，，
知每個樣本點中都有兩個1，一個0，
故事件的含義為三個電器元件中恰好有兩個電器元件處于正常狀態．
(2)
觀察事件中所含的樣本點，，，
知每個樣本點中第一個數均為1，第二個數和第三個數中至少有一個為1，
故事件的含義為這個電路是通路．
(3)
觀察事件P中所含的樣本點，，，，，
知這五個樣本點可劃分為兩類：
第一類：，，，，這四個樣本點中第1個數均為0；
第二類：，該樣本點中第一個數為1，第二個數和第三個數均為0．
這兩類樣本點包含了這個電路是斷路的所有情況．
故事件P的含義為這個電路是斷路．
【例2】先后拋擲兩枚質地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數分別為x， y，則事件“朝上的面的點數x， y滿足log2xy＝1”包含的樣本點有_______________．
【答案】(1，2)，(2，4)，(3，6)．
【分析】利用列舉法求解.
【詳解】先后拋擲兩枚質地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數分別為x， y，
則事件“朝上的面的點數x， y滿足log2xy＝1”包含的樣本點有(1，2)，(2，4)，(3，6)．
故答案為：(1，2)，(2，4)，(3，6)．
【例3】班里有18個男生，15個女生，其中一名女生叫小麗，從中任意抽取a人打掃衛生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范圍；
(2)女生小麗被抽到是隨機事件，求a的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根據必然事件的定義得解；
（2）根據隨機事件的定義得解.
(1)
解：班里有18個男生，15個女生，從中任意抽取a人打掃衛生，女生被抽到是必然事件，
所以.
(2)
解：班里有18個男生，15個女生，從中任意抽取a人打掃衛生，女生小麗被抽到是隨機事件，
所以，.
【例4】一袋中裝有10個紅球，8個白球，7個黑球，現在把球隨機地一個一個摸出來，為了保證在第k次或第k次之前一定能摸出紅球，則k的最小值為（ ）
A．10 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【分析】為了保證在第k次或第k次之前一定能摸出紅球，就必須要求除紅球以外的其它的總數不超過.
【詳解】為了保證在第k次或第k次之前一定能摸出紅球，
需滿足，
即k的最小值為16.
故選：C
【例5】已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1]，給出事件A：f(x)≥a.
（1）當A為必然事件時，求a的取值范圍；
（2）當A為不可能事件時，求a的取值范圍.
【答案】（1）(－∞，－1]；（2）(3，＋∞).
【分析】根據函數的解析式求得函數的最大值是3，最小值是，
（1）當為必然事件時，即不等式在，上恒成立，故有，由此求得實數的取值范圍．
（2）當為不可能事件時，即不等式在，上無解，故有，由此求得實數的取值范圍．
【詳解】∵ f (x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2，1]
∴ f (x)min＝－1，此時x＝－1.
又f (－2)＝0＜f (1)＝3
∴ f (x)max＝3.
∴ f (x)∈[－1，3]
（1）當A為必然事件時，即f(x)≥a恒成立，故有a≤f(x)min＝－1，即a的取值范圍是(－∞，－1].
（2）當A為不可能事件時，即f(x)≥a一定不成立，故有a＞f(x)max＝3，則a的取值范圍為(3，＋∞).
【例6】做試驗“從一個裝有標號為1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取兩次小球，每次取一個，構成有序數對(x，y)，x為第一次取到的小球上的數字，y為第二次取到的小球上的數字”.
（1）求這個試驗樣本點的個數；
（2）寫出“第一次取出的小球上的數字是2”這一事件.
【答案】（1）12；（2）{(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
【分析】（1）分x=1,2,3,4，分別考慮y的不同情況，即可得到樣本試驗點的個數；
（2）即為x=2時的樣本點的集合，由（1）的分析可得.
【詳解】（1）當x=1時，y=2，3，4；當x=2時，y=1，3，4；同理當x=3，4時，也各有3個不同的有序數對，所以共有12個不同的有序數對.故這個試驗結果樣本點的個數為12.
（2）記“第一次取出的小球上的數字是2”為事件A，則A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
【例7】樹形圖（TreeDiagram）是一種有層次地枚舉各種可能情況的可視化方法.樹形圖有助于我們直觀地探求某些樣本空間.例如，考察有兩個孩子的家庭，記“從中任意抽取一個家庭，兩個孩子是一男一女”為事件A.我們畫出如圖所示的樹形圖，可知樣本空間{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，事件{（男，女），（女，男）}.
試用樹形圖的方法分析下列習題
一只不透明的口袋內裝有大小相同的3個球，且分別標有1，2，3三個號碼.記“從袋中不放回地抽取2個球，第一個球的號碼是1”為事件A，“從袋中不放回地抽取2個球，第二個球的號碼是2”為事件B.試分別寫出，A，B及AB所包含的樣本點.
【答案】=，，，
【分析】利用樹狀圖把情況列出來，再根據樹狀圖寫出，A，B及AB所包含的樣本點.
【詳解】樣本空間=，事件，事件，事件
【對點實戰】
1.指出下列試驗的樣本空間和樣本點個數：
（1）從裝有大小相同但顏色不同的a，b，c，d這4個球的袋中，任取1個球；
（2）從裝有大小相同但顏色不同的a，b，c，d這4個球的袋中，任取2個球.
【答案】（1）4個；（2）6個.
【分析】（1）利用列舉法可得從裝有大小相同但顏色不同的a，b，c，d這4個球的袋中，任取1個球的樣本空間和樣本點個數；
（2）利用列舉法可得從裝有大小相同但顏色不同的a，b，c，d這4個球的袋中，任取2個球的樣本空間和樣本點個數．
【詳解】（1）{a，b，c，d}，共4個樣本點.
（2）若記(a，b)表示一次試驗中取出的球是a和b，則試驗的樣本空間為{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共6個樣本點.
2.在試驗E：“連續拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數”中，指出下列隨機事件的含義：
(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；
(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}．
解　(1)事件A中所含的樣本點中的第二個數為3，根據樣本空間知第二個數為3的樣本點都在事件A中，故事件A的含義為連續拋擲一枚均勻的骰子2次，第二次擲出的點數為3.
(2)事件B中所含的樣本點中兩個數的和均為6，且樣本空間中兩數和為6的樣本點都在事件B中，故事件B的含義為連續拋擲一枚均勻的骰子2次，2次擲出的點數之和為6.
(3)事件C中所含樣本點中兩個數的差的絕對值為2，且樣本空間中兩個數的差的絕對值為2的樣本點都在事件C中，故事件C的含義為連續拋擲一枚均勻的骰子2次，兩次擲出的點數之差的絕對值為2.
3.柜子里有3雙不同的鞋，隨機抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標為奇數表示左腳，下標為偶數表示右腳．指出下列隨機事件的含義．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
解　(1)事件M的含義是“從3雙不同的鞋中隨機抽取2只，取出的2只鞋不成雙”．
(2)事件N的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取出的2只鞋都是左腳的”．
(3)事件P的含義是“從3雙不同的鞋中，隨機抽取2只，取到的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，且不成雙”．
4.如圖，從正方形ABCD的四個頂點及其中心O這5個點中，任取兩點觀察取點的情況，設事件M為“這兩點的距離不大于該正方形的邊長”，試用樣本點表示事件M.
解　M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}．
5.試驗E：甲、乙兩人玩出拳游戲(石頭、剪刀、布)，觀察甲、乙出拳的情況．
設事件A表示隨機事件“甲乙平局”；
事件B表示隨機事件“甲贏得游戲”；
事件C表示隨機事件“乙不輸”．
試用集合表示事件A，B，C.
解　設石頭為w1，剪刀為w2，布為w3，用(i，j)表示游戲的結果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，則樣本空間E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．
因為事件A表示隨機事件“甲乙平局”，
則滿足要求的樣本點共有3個：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}．
事件B表示“甲贏得游戲”，
則滿足要求的樣本點共有3個：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}．
因為事件C表示“乙不輸”，
則滿足要求的樣本點共有6個，
(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}
四、互斥事件和對立事件
定義 符號 圖示
互斥事件 一般地，如果事件A與事件B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝ ，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
對立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為 A∪B＝Ω且A∩B＝
【典型例題】
【例1】某人打靶時連續射擊兩次，下列事件與事件“至多一次中靶”互為對立的是（ ）
A．至少一次中靶 B．兩次都中靶
C．只有一次中靶 D．兩次都沒有中靶
【答案】B
【分析】直接利用對立事件的定義判斷即可.
【詳解】由已知條件得
∵事件“至多一次中靶”包含事件兩次都未中靶和兩次只有一次中靶，
∴事件“至多一次中靶”的對立事件為“兩次都中靶”，
故選：.
【例2】抽查10件產品，設A={至多有1件次品}，則事件A的對立事件是（ ）
A．{至多有2件正品} B．{至多有1件次品}
C．{至少有1件正品} D．{至少有2件次品}
【答案】D
【分析】根據對立事件的定義，結合題意，即可寫出事件的對立事件.
【詳解】因為抽查10件產品，設A={至多有1件次品}，
故事件的對立事件是：{至少有2件次品}.
故選：.
【例3】某人在打靶中，連續射擊3次，至多有一次中靶的互斥不對立事件是（ ）
A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶
C．恰有兩次中靶 D．至少兩次中靶
【答案】C
【分析】結合互斥事件，對立事件的概念逐一判斷選項.
【詳解】解：至多一次中靶包含沒有中靶和恰有一次中靶，A選項，至少一次中靶，包含恰有一次，兩次，三次中靶三種情況，兩者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A錯誤；B選項，三次都不中靶也都包含在兩個事件中，故不是互斥事件，B錯誤；C選項，恰有兩次中靶，與題干事件不可能同時發生，也不對立，屬于互斥不對立事件，C正確；D選項，為對立事件，故D錯誤.
故選：C
【例4】從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（ ）
A．至少有一個白球與都是紅球 B．恰好有一個白球與都是紅球
C．至少有一個白球與都是白球 D．至少有一個白球與至少一個紅球
【答案】B
【分析】列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.
【詳解】解：對于A，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發生，但是對立，故A錯誤；
對于B，事件：“恰好有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發生，但從口袋內任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，
所以兩個事件互斥而不對立，故B正確；
對于C，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是白球”可以同時發生，所以這兩個事件不是互斥的，故C錯誤；
對于D，事件：“至少有一個白球”與事件：“至少一個紅球”可以同時發生，即“一個白球，一個紅球” ，所以這兩個事件不是互斥的，故D錯誤.
故選：B.
【例5】從裝有5個紅球、5個白球的袋中任意取出3個球，判斷下列每對事件是不是互斥事件，是不是對立事件．
(1)“取出3個紅球”與“取出3個球中至少有1個白球”；
(2)“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”；
(3)“取出3個紅球”與“取出的球中至少有1個紅球”．
【答案】(1)是互斥事件，也是對立事件；
(2)是互斥事件，但不是對立事件；
(3)既不是互斥事件，也不是對立事件.
【分析】根據題意，求得從裝有5個紅球、5個白球的袋中任意取出3個球所有的基本事件，再寫出每個事件中包含的基本事件，即可判斷.
(1)
從裝有5個紅球、5個白球的袋中任意取出3個球，從顏色的角度出發，包含如下基本事件：
個白球，個白球個紅球，個白球個紅球，個紅球.
事件“取出3個球中至少有1個白球”，包括：個白球，個白球個紅球，個白球個紅球，
故該事件與“取出3個紅球”是互斥事件，也是對立事件.
(2)
根據（1）中所求，顯然：
“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”是互斥事件，但不是對立事件.
(3)
“取出的球中至少有1個紅球”包括基本事件：個白球個紅球，個白球個紅球，個紅球，
故該事件與“取出3個紅球”不是互斥事件，因為有共同的基本事件：個紅球；
同時，也不是對立事件.
【例6】某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報”，事件C為“至多訂一種報”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報也不訂”．判斷下列事件是不是互斥事件，如果是，判斷它們是不是對立事件．
（1）A與C；（2）B與E；（3）B與D；（4）B與C；（5）C與E.
【答案】答案見解析.
【分析】（1）若只訂甲報，則事件A與事件C有可能同時發生，從而可判斷;
(2)由事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發生的，事件B和事件E必有一個發生，從而可判斷.
(3)若只訂乙報，則事件B與事件D可能同時發生，從而可判斷;
（4）寫出事件B“至少訂一種報”可能結果和事件C“至多訂一種報”的所有可能結果，從而可判斷;
（5）由事件E“一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，從而可判斷;
【詳解】解： （1）由于事件C“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事件A與事件C有可能同時發生，故A與C不是互斥事件．
（2）事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發生的，
故事件B與E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一個發生，故B與E也是對立事件．
（3）事件B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報，即有可能不訂甲報，也就是說事件B發生，事件D也可能發生，故B與D不是互斥事件．
(4)事件B“至少訂一種報”中有3種可能：“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．
事件C“至多訂一種報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．即事件B與事件C可能同時發生，故B與C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時發生，故C與E不是互斥事件．
【例7】從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字中任取兩個數，分別有下列事件：
①恰有一個是奇數和恰有一個是偶數；
②至少有一個是奇數和兩個數都是奇數；
③至少有一個是奇數和兩個數都是偶數；
④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數.
其中，為互斥事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
【答案】C
根據互斥事件的定義，逐一分析四個答案中的兩個事件的關系，可得答案.
【詳解】①恰有一個偶數和恰有一個奇數是相同的事件，故①不是互斥事件；
②至少有一個是奇數包含兩個數都是奇數的情況，故②不是互斥事件；
③至少有一個是奇數和兩個都是偶數不能同時發生，故③是互斥事件；
④至少有一個是奇數和至少有一-個是偶數可以同時發生，故④不是互斥事件.
故選：.
【例8】一個口袋中裝有個白球和個黑球，下列事件中，是獨立事件的是（ ）
A．第一次摸出的是白球與第一次摸出的是黑球
B．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
D．一次摸兩個球，共摸兩次，第一次摸出顏色相同的球與第一次摸出顏色不同的球
【答案】B
【分析】根據獨立事件的定義逐一判斷即可得解.
【詳解】解：對于選項A，第一次摸出的是白球與第一次摸出的是黑球，是互斥事件不是獨立事件；
對于選項B，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，兩者不受影響，是獨立事件；
對于選項C，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影響，不是獨立事件；
對于選項D，一次摸兩個球，共摸兩次，第一次摸出顏色相同的球與第一次摸出顏色不同的球，有影響，不是獨立事件，
故選：B.
【對點實戰】
1.某小組有3名男生和2名女生，從中選取2名學生參加演講比賽，下列事件中互斥而不對立的事件為（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．恰有1名男生和恰有2名女生
C．至少有1名男生和全是男生 D．至少有1名男生和全是女生
【答案】B
【分析】利用互斥事件和對立事件的意義對四個選項逐一判斷作答.
【詳解】對于A， “至少有1名男生”和“至少有1名女生”的事件有共同的事件“一個男生、一個女生”，即選項A中兩個事件不互斥，A不正確；
對于B，“恰有1名男生”和“恰有2名女生”的事件不同時發生，即它們是互斥的，
而“恰有1名男生”的對立事件是“恰有2名男生或者恰有2名女生”，即選項B中兩個事件不對立，B正確；
對于C，“至少有1名男生”的事件包含“全是男生”的事件，即選項C中兩個事件不互斥，C不正確；
對于D，“至少有1名男生”和“全是女生”的事件不同時發生，即它們互斥，而它們又必有一個發生，即它們是對立的，D不正確.
故選：B
2.許洋說：“本周我至少做完三套練習題．”設許洋所說的事件為A，則A的對立事件為（ ）
A．至多做完三套練習題 B．至多做完兩套練習題
C．至多做完四套練習題 D．至少做完兩套練習題
【答案】B
【分析】兩個事件互為對立事件，是指它們的交集為空集，并集為全集. 由對立事件的概念可快速求解.
【詳解】至少做完3套練習題包含做完3，4，5，6，…套練習題，故它的對立事件為做完0，1，2套練習題，即至多做完2套練習題．
故選：B.
3.從1，2，3，…，7這7個數中任取兩個數，其中：
①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；
②至少有一個是奇數和兩個都是奇數；
③至少有一個是奇數和兩個都是偶數；
④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數.
上述事件中，是對立事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
【答案】C
【分析】列舉出從1~7中任取兩個數根據取到數的奇偶性可共有三件事件：“兩個都是奇數”“一奇一偶”“兩個都是偶數”，再由對立事件的定義即可得出選項.
【詳解】解析：③中“至少有一個是奇數”即“兩個奇數或一奇一偶”，
而從1~7中任取兩個數根據取到數的奇偶性可認為共有三件事件：
“兩個都是奇數”“一奇一偶”“兩個都是偶數”，
故“至少有一個是奇數”與“兩個都是偶數”是對立事件，其余都不是對立事件.
故選：C
4.從40張撲克牌(紅桃 黑桃 方塊 梅花，點數從1~10各1張)中，任取一張.
（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”.
判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由.
【答案】（1）是互斥事件，不是對立事件，理由見解析；（2）既是互斥事件，又是對立事件，理由見解析；（3）不是互斥事件，也不是對立事件，理由見解析.
【分析】利用互斥事件和對立事件的定義分別判斷即可
【詳解】解：（1）是互斥事件，不是對立事件.
理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件.同時，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件.
（2）既是互斥事件，又是對立事件.
理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發生，但其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件.
（3）不是互斥事件，也不是對立事件.
理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽得牌點數為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件.
5.某連鎖火鍋城開業之際，為吸引更多的消費者，開展抽獎活動，前20位顧客可參加如下活動：搖動如圖所示的游戲轉盤(上面扇形的圓心角都相等)，顧客可以免費獲得按照指針所指區域的數字10倍金額的店內菜品或飲品，最高120元，每人只能參加一次這個活動．記事件A：“獲得不多于30元菜品或飲品”．
（1）求事件A包含的基本事件；
（2）寫出事件A的對立事件，以及一個事件A的互斥事件．
【答案】（1）{獲得10元菜品或飲品}，{獲得20元菜品或飲品}，{獲得30元菜品或飲品}；（2）事件A的對立事件是＝“獲得多于30元但不多于120元菜品或飲品”，事件A的一個互斥事件為：“獲得40元菜品或飲品”(答案不唯一)．
【分析】（1）金額不多于30元的有10元，20元，30元三種；
（2）除10元，20元，30元三種外的所有可能放在一起，即金額多于30元且不多于120元，其中任何一個或幾個組成的事件都是與事件A互斥．
【詳解】（1）事件A包含的基本事件有：{獲得10元菜品或飲品}，{獲得20元菜品或飲品}，{獲得30元菜品或飲品}；
（2）事件A是獲得不多于30元菜品或飲品，它的對立事件獲得多于30元但不多于120元的菜品或飲品，即＝“獲得多于30元但不多于120元菜品或飲品”，
在獲利的菜品或飲品不多于120元且多于30元中的任何一個都是與事件A互斥，如
事件A的一個互斥事件為：“獲得40元菜品或飲品”．
【點睛】
6.用紅、黃、藍三種不同的顏色給大小相同的三個圓隨機涂色，每個圓只涂一種顏色.設事件“三個圓的顏色全不相同”，事件“三個圓的顏色不全相同”，事件“其中兩個圓的顏色相同”，事件“三個圓的顏色全相同”.
（1）寫出試驗的樣本空間.
（2）用集合的形式表示事件.
（3）事件與事件有什么關系？事件和的交事件與事件有什么關系？并說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）事件包含事件，事件和的交事件與事件互斥.見解析
(1) 由題意可知3個球可能顏色一樣,可能有2個一樣,另1個異色,或者三個球都異色.再分別列出即可.
(2)根據(1)中列舉的基本事件求解即可.
(3)根據(2)中的中基本事件辨析即可.
【詳解】(1)由題意可知3個球可能顏色一樣,可能有2個一樣,另1個異色,或者三個球都異色.則試驗的樣本空間
{（紅,紅,紅）,（黃,黃,黃）,（藍,藍,藍）,（紅,紅,黃）,（紅,紅,藍）,（藍,藍,紅）,（藍,藍,黃）,（黃,黃,紅）,（黃,黃,藍）,（紅,黃,藍）}.
(2){（紅,黃,藍）}
{（紅,紅,黃）,（紅,紅,藍）,（藍,藍,紅）,（藍,藍,黃）,（黃,黃,紅）,（黃,黃,藍）,（紅,黃,藍）}
{（紅,紅,黃）,（紅,紅,藍）,（藍,藍,紅）,（藍,藍,黃）,（黃,黃,紅）,（黃,黃,藍）}.
{（紅,紅,紅）,（黃,黃,黃）,（藍,藍,藍）}.
(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件與事件互斥.
【點睛】
五、事件的運算
定義 符號 圖示
包含關系 一般地，若事件A發生，則事件B一定發生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
相等關系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，則稱事件A與事件B相等 A＝B
并事件 (或和事件) 一般地，事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或積事件) 一般地，事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B (或AB)
【典型例題】
【例1】拋擲3枚質地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】合理設出事件，從而得到事件A，B，C三者的關系.
【詳解】記事件{1枚硬幣正面朝上}，{2枚硬幣正面朝上}，{3枚硬幣正面朝上}，則，，
顯然，，，C不含于A.
故選：D
【例2】從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，與事件“至少有1個白球”相等的事件是（ ）
A．全是紅球 B．至少有1個紅球
C．至多有1個紅球 D．1個紅球，1個白球
【答案】C
【分析】根據題意，寫出事件“至少有1個白球”所包含的基本事件，根據選項即可判斷和選擇.
【詳解】從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，若至少有1個白球，
則其包含的基本事件是：個白球個紅球，個白球；
又至多有1個紅球包含的基本事件也是：個白球個紅球，個白球.
故選：.
【例3】某產品分為甲、乙、丙三級，其中甲級為正品，乙、丙兩級均屬次品．從等級分別為甲、乙、丙的三件產品中任取一件，抽到甲、乙、丙三級產品分別為事件A， B， C，則抽得次品為（ ）
A．A B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據事件的運算逐個判斷即可.
【詳解】事件A為抽到一件正品，故A錯誤.
事件為抽到乙的反面，即抽到正品，故B錯誤.
事件為抽到丙的反面，即抽到正品，故C錯誤.
事件為抽取甲級產品的反面，即抽到次品，故D正確.
故選：D.
【例4】如圖是某班級50名學生訂閱數學、語文、英語學習資料的情況，其中A表示訂閱數學學習資料的學生，B表示訂閱語文學習資料的學生，C表示訂閱英語學習資料的學生．
(1)從這個班任意選擇一名學生，用自然語言描述1，4，5，8各區域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少訂閱一種學習資料；
②恰好訂閱一種學習資料；
③沒有訂閱任何學習資料.
【答案】(1)答案見詳解；
(2)①A+B+C；②；③.
【分析】(1)根據題設條件分別寫出1，4，5，8各區域所代表的事件即可.
(2)將所給事件分別用A，B，C表示出來即可.
(1)
由給定圖形可知，區域1表示該生語文、數學、英語三種學習資料都訂閱；
區域4表示該生只訂閱語文、數學兩種學習資料；
區域5表示該生只訂閱語文學習資料；
區域8表示該生語文、數學、英語三種學習資料都沒有訂閱.
(2)
①至少訂閱一種學習資料的事件即是事件A發生，或者事件B發生，或者事件C發生，
所以至少訂閱一種學習資料的事件為：A+B+C；
②恰好訂閱一種學習資料的事件包含只訂閱數學資料的事件，只訂閱語文資料的
事件，只訂閱英語資料的事件，它們互斥，
所以恰好訂閱一種學習資料的事件為：；
③沒有訂閱任何學習資料的事件是事件、、同時發生，所以這個事件表示為：.
【例5】生產某種產品需要2道工序，設事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“產品合格”，“產品不合格”．
【答案】C=AB；.
【分析】根據給定條件利用事件的運算即可列式作答.
【詳解】要使得產品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A，B同時發生，
所以C=AB；
產品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，
所以，.
【例6】.拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.
(1)試判斷事件A與事件B，C，E的關系；
(2)試求AD，B+C所包含的樣本點，并判斷AD與B+C的關系.
【答案】(1)B A，C A，E A，A=B+C+E
(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，AD=B+C
【分析】（1）寫出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）寫出事件D所包含的基本事件，與事件A進行比較，得到AD所包含的樣本點，再寫出B+C所包含的樣本點，可得到AD與B+C的關系.
(1)
事件A為“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，兩次反面向上”， “兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三個基本事件，所以B A，C A，E A，A=B+C+E
(2)
“至少一次反面向上”為事件D，包含“一次正面向上，兩次反面向上”， “兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三個基本事件，可以看出事件A與事件D有相同的兩個基本事件，即“一次正面向上，兩次反面向上”， “兩次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或兩次正面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，所以AD=B+C
【例7】擲一枚骰子，下列事件：A=“出現奇數點”，B=“出現偶數點”，C=“點數小于3”，D=“點數大于2”，E=“點數是3倍數”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）A∪B，B+C；
（3）記為事件H的對立事件，求.
【答案】（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
【分析】（1）A∩B表示同時發生，BC表示同時發生；
（2）A∪B表示至少有一個事件發生，表示至少有一個事件發生；
（3）表示的對立事件；等價于同時發生；等價于至少有一個事件發生；等價于的對立事件與的對立事件至少有一個事件發生.
【詳解】∵，，，，
∴，，，
∴（1）A∩B=，BC={2}；
（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；
（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
【例8】設A，B，C表示三個隨機事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.
（1）三個事件都發生；
（2）三個事件至少有一個發生；
（3）A發生，B，C不發生；
（4）A，B都發生，C不發生；
（5）A，B至少有一個發生，C不發生；
（6）A，B，C中恰好有兩個發生.
【分析】由互斥事件和對立事件的定義、事件的間的關系求解即可
【詳解】解：（1）三個事件都發生表示為；
（2）三個事件至少有一個發生表示為；
（3）A發生，B，C不發生表示為；
（4）A，B都發生，C不發生表示為；
（5）A，B至少有一個發生，C不發生表示為；
（6）A，B，C中恰好有兩個發生表示為
【對點實戰】
1.拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：“向上的點數為”，其中，“向上的點數為偶數”，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C．與互斥 D．與對立
【答案】C
【分析】對于選項中的事件，分別寫出對應的基本事件構成的集合，依次分析，即可
【詳解】對于A，，，∴，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，與不能同時發生，是互斥事件，故C正確；
對于D，，，與是互斥但不對立事件，故D錯誤；
故選：C
2.打靶次，事件表示“擊中發”，其中、、、.那么表示（ ）
A．全部擊中 B．至少擊中發
C．至少擊中發 D．以上均不正確
【答案】B
【分析】利用并事件的定義可得出結論.
【詳解】所表示的含義是、、這三個事件中至少有一個發生，即可能擊中發、發或發.
故選：B.
3.如果事件A，B互斥，那么（ ）
A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件
C．與一定互斥 D．與一定不互斥
【答案】B
【分析】利用集合法判斷.
【詳解】如圖所示：
因為事件A，B互斥，
所以是必然事件，
故選：B．
4.電路如圖所示.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關Ⅰ閉合”“開關Ⅱ閉合”“開關Ⅲ閉合”，則A＝____________.(用B，C，D間的運算關系式表示)
【答案】(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)
【分析】燈亮必須形狀開關I閉合，開關II和III中至少有一個閉合，由此可得．
【詳解】燈亮必須形狀開關I閉合，開關II和III中至少有一個閉合，
因此．
故答案為：．也可寫成：．
5.一批產品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產品中任意抽取5件，現給出以下四個事件:事件A:恰有一件次品.事件B:至少有兩件次品.事件C:至少有一件次品.事件D:至多有一件次品.并給出以下結論:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正確結論的序號是__________.
【答案】①②
【分析】由并事件與交事件的概念逐個分析判斷即可
【詳解】事件A∪B:至少有一件次品，即事件C，
所以①正確;事件A∩B= ，③不正確;
事件D∪B:至少有兩件次品或至多有一件次品，包括了所有情況，所以②正確;
事件A∩D:恰有一件次品，即事件A，所以④不正確.
故答案為：①②
6.拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數，若事件，事件，求事件，.
【答案】，.
【分析】利用隨機事件的運算，求，.
【詳解】由題設，，.
7.把標號為1，2，3，4的四張卡片分發給甲、乙、丙、丁四個人，每人1張，事件A表示隨機事件“甲分得1號卡片”，事件B表示隨機事件“乙分得1號卡片”.
（1）分別指什么事件？
（2）事件A與事件B是否為互斥事件？若是互斥事件，則是否互為對立事件？若不是對立事件，請分別說出事件A、事件B的對立事件.
【答案】（1）是不可能事件；表示事件甲分得1號卡片或乙分得1號卡片”（2）事件A與事件B是互斥事件，事件A與事件B不是對立事件，事件A的對立事件是指事件“甲未分得1號卡片”，事件B的對立事件是指事件“乙未分得1號卡片”
(1)根據直接理解判斷即可.
(2)分析事件A與事件B中可能出現的情況分別判斷即可.
【詳解】解：（1）根據題意,事件A和事件B不可能同時發生,所以是不可能事件；表示事件甲分得1號卡片或乙分得1號卡片”
（2）由（1）可知事件A和事件B不可能同時發生,所以事件A與事件B是互斥事件,又因為事件A與事件B可以都不發生,如甲分得2號卡片,同時乙分得3號卡片,所以事件A與事件B不是對立事件,事件A的對立事件是指事件“甲未分得1號卡片”,事件B的對立事件是指事件“乙未分得1號卡片”.

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