資源簡介

湖南省普通高中學業水平考試要點解讀
數 學
湖南省普通高中學業水平考試大綱專家組編寫
二○○九年二月
目 錄
數學1
第一章 集合與函數概念………………………………………
第二章 基本初等函數（I）……………………………………
第三章 函數的應用………………………………………………………
數學1檢測卷………………………………………………………
數學2
第一章 簡單幾何體………………………………………………………
第二章 點、直線、平面之間的位置關系………………………………
第三章 直線與方程……………………………………………………
第四章 圓與方程………………………………………………………
數學2檢測卷………………………………………………………
數學3
第一章 算法初步………………………………………………………
第二章 統計 ……………………………………………
第三章 概率 …………………………………………………
數學3檢測卷………………………………………………………
數學4
第一章 三角函數………………………………………………………
第二章 平面向量………………………………………………………
第三章 三角恒等變換………………………………………………………
數學4檢測卷………………………………………………………
數學5
第一章 解三角形………………………………………………………
第二章 數列……………………………………………………
第三章 不等式………………………………………………………
數學5檢測卷………………………………………………………
學業水平考試數學檢測卷（一）………………………………………………………
學業水平考試數學檢測卷（二）………………………………………………………
數學1：
第一章 集合與函數概念
★學習目標
節 次
學 習 目 標
集合
知道集合的含義，了解集合之間的包含與相等的含義，知道全集與空集的含義，理解兩個集合的并集與交集的含義及運算，理解補集的含義及求法，理解用Venn圖表示集合的關系及運算，
函數及其表示
知道映射的概念，了解函數的概念，理解求簡單函數的定義域和值域，理解函數的表示法，了解簡單的分段函數及應用。
函數的基本性質
理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義，理解奇偶性的含義，利用函數的圖象理解和探究函數的性質。
★要點解讀
本章主干知識：集合、子集、并集、交集、補集，函數的概念及表示法，函數的定義域和值域，函數的單調性、奇偶性和最值。
1．集合
集合是指定的某些對象的全體。集合中元素的特性有: 確定性（集合中的元素應該是確定的，不能模棱兩可）、互異性（集合中的元素應該是互不相同的）、無序性（集合中元素的排列是無序的）.元素和集合的關系是屬于不屬于關系.表示集合的方法要掌握字母表示法、列舉法、描述法及Venn圖法。根據元素個數的多少集合可分為：有限集，無限集。
2．集合間的基本關系及基本運算
關系或運算
自然語言
符號語言
圖形語言
集合A中任意一個元素都是集合B中的元素。
A∩B
由所有屬于集合A且屬于集合B的所有元素所組成的集合
A∪B
由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合。
已知全集U, 集合AU，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫作A相對于U的補集。
。
3．函數及其表示
（1）函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數。
（2）函數的三要素是：定義域、值域和對應關系。
（3）函數的表示：解析法、列表法、圖象法。
4．函數的基本性質
（1）函數的最值：函數最大（小）首先應該是某一個函數值，即存在，使得；函數最大（小）應該是所有函數值中最大（小）的，即對于任意的，都有．
（2）函數的單調性：如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1（3）函數的奇偶性是函數的整體性質，函數具有奇偶性的一個必要條件是定義域關于原點對稱．偶函數的圖象關于軸對稱，奇函數的圖象關于原點對稱．
5．要注意區分一些容易混淆的符號
（1）與的區別：表示元素與集合之間的關系；表示集合與集合之間的關系．
（2）a與{a}的區別：a表示一個元素，{a}而表示只有一個元素a的集合．
（3）{0}與Φ的區別：是含有一個元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能寫成Φ={0}，Φ{0}．
★學法指導
1．弄清元素的特征，從元素的分析上尋找解題的突破口
【方法點撥】集合中的元素具有“三性”：確定性、互異性和無序性，集合的關系、集合的運算等都是從元素的角度予以定義的。因此，求解集合問題時，應抓住元素的特征進行分析。【案例剖析】已知A＝{x| x≤3,x∈R}，a=, b=, 則（ ）
（A）a∈A且bA （B）aA且b∈A
（C）a∈A且b∈A （D）aA且bA
【解析】由于3=,所以a∈A，
又3=，所以bA，故選A.
【點評】：本題屬于“知道”層次，能準確識別或再認集合中的元素；這類集合問題，元素的確定性是解決問題的入手點。
2．準確理解集合的相關概念，從集合的相關概念上尋找解題的突破口【方法點撥】概念抽象、符號術語多是集合單元的一個顯著特點，交集、并集、補集的概念及子集、真子集、集合相等的定義等等。準確理解這些概念是求解集合問題的依據和突破口。
【案例剖析】 已知（ ）
A．{1,2} B. {2,4} C. {2} D. {4}
【解析】：對于選項A：{1,2}?C，選項B：{2,4}?B，選項D：{4}?B，只有C符合要求，故選C。
【點評】：（1）本題屬于“了解”層次，考查考生的辨別、比較能力；（2）本題解答的關鍵是分析選項的元素特征，把握集合與集合的關系，運用子集的定義來直接判斷。 　
3、正確掌握集合運算的內涵，從集合運算的轉化上尋找解題的突破口
【方法點撥】明確AB=B、AB=B、AB與AB=的含義，根據問題的需要，可以轉化為等價的關系式：、．A、B有公共元素與A、B沒有公共元素
【案例剖析】設A={－4，0}，B=}，
　　（1）若AB=B，求 的值；
　　（2）若AB，求 的取值范圍．
【解析】：（1）因為AB=B，所以，又A={－4，0}，而B至多只有兩個根，因此應有A=B，故。
（2）由于，AB至少含有元素－4，因此不論 取何值AB，故。
【點評】：本題屬于“理解”層次，解答這類問題的關鍵是集合運算關系的轉化．
4．多角度審視函數概念，從函數的本質上尋找解題突破口
【方法點撥】體會用集合與對應的觀點來理解函數概念，明確函數表達式可以是解析式，圖象，也可以是表格，了解構成函數的三要素，會求簡單函數的定義域和值域。
【案例剖析】求下列函數的定義域：
（1） （2）
【解析】：（1）對于，要求且，即；對于，要求，即，它等價于，即，再取兩個函數定義域的公共部分，得所求函數定義域為：.
（2）兩個分段區間是和，取它們的并集得所求函數的定義域為.
【點評】：本題屬于“理解”層次，考查考生對所學過的內容能進行理性分析；本題的第（1）問：函數是由與的和構成的，應先分別求出各表達式的定義域，再取公共部分；第（2）是個分段函數，先確定函數在各段上自變量的取值范圍，再取并集.
5．正確畫圖、準確識圖、合理利用圖形建立函數關系
【方法點撥】一方面，通過畫圖、識圖、用圖可以研究函數的解析式及其性質；另一方面，函數的解析式及其性質可以通過圖象反映出來。
【案例剖析】如圖，已知底角為的等腰梯形，底邊長為7,腰長為，當一條垂直于底邊（垂足為）的直線從左至右移動（與梯形有公共點）時，直線把梯形分成兩部分，令，試寫出左邊部分的面積與的函數。
【解析】：過點分別作，，垂足分別是，。因為是等腰梯形，底角為，，所以，又，所以。
⑴當點在上時，即時，；
⑵當點在上時，即時，
⑶當點在上時，即時，
=。
所以，函數解析式為
【點評】：本題屬于“理解”中簡單應用層次，考查考生能運用所學過的知識分析生產實踐中的數學問題；本題解題的關鍵是就直線所在的位置分類討論左邊部分的圖形特征，然后根據圖形形狀求出面積。
6．以函數問題為主線，探究和發現數學規律
【方法點撥】數學規律的探索，既要會觀察分析已有規律，又要不斷發現和完善規律。費
【案例剖析】探究函數f（x）=x＋,x∈（0，+∞）的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下：
x
…
0.5
1
1.5
1.7
1.9
2
2.1
2.2
2.3
3
4
5
7
…
y
…
8.5
5
4.17
4.05
4.005
4
4.005
4.02
4.04
4.3
5
5.8
7.57
…
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
（1）根據上表分析函數f（x）=x＋（x＞0）在何區間上單調遞增；當x為何值時？y有最小值.
（2）證明：函數f（x）=x＋（x＞0）在區間（0,2）上遞減.
（3）思考：函數f（x）=x＋（x＜0）有最值嗎？如果有,那么它是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果,不需證明）
【解析】（1）函數f（x）=x＋（x＞0）在區間（2,＋∞）上遞增.
當x=2時,y最小=4。
（2）任取x1,x2∈（0, 2）且 x1＜x2于是,
f（x1）－f（x2）=（x＋）－（x2＋） = ①
∵ x, x∈（0, 2） 且 x＜x ∴ x－x ＜0；xx－4＜0； xx＞0
∴①式＞0　即f（x）－f（x）＞0，f（x）＞f（x）
∴f（x）在區間（0, 2）遞減.
（3）f（x）在（－∞，0）∪（0, ∞）為奇函數.圖象關于原點對稱.
故當x=－2時,有最大值－4。
【點評】：（1）本題屬于“理解”中簡單應用層次，主要考查考生能運用所學知識進行簡單探究的能力；（2）本題解題的關鍵是合理分析已給的各種數據，并由此發現和探究函數性質。
★階梯練習；
A級
1．已知全集,，則( )
A. B. C. D.
2．圖中陰影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
3．函數的定義域為（ ）
A．[1，2)∪(2，+∞） B．(1，+∞） C．[1，2) D．[1，+∞)
4．函數f(x)= ，則=（ ）
A. 1 B .2 C. 3 D.4
5. 下列五個關系式①{0}= ②=0 ③ {} ④0 ⑤{0}
其中正確的是
6.函數的定義域是 ；
7．已知全集U=R，集合，求：
（1） （2），
8．已知A＝｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，且BA，求實數a組成的集合。
B級
9．函數在區間 上的最小值是（ ）
A . 1 B. 3 C. －2 D. 5
10．下列說法錯誤的是（ ）
A.是偶函數 B. 偶函數的圖象關于y軸成軸對稱
C. 是奇函數 D. 奇函數的圖象關于原點成中心對稱
11．已知函數在區間上的最大值是4，則= 。
12．已知函數.
（1）證明在上是減函數;（2）當時，求的最大值和最小值.
13. 某廠準備投資100萬生產A，B兩種新產品，據測算，投產后的年收益，A產品是總投入的，B產品則是總投入開平方后的2倍．問應該怎樣分配投入數，使兩種產品的年總收益最大？
C 級
14．若函數，則=
15．已知是奇函數，又f(1)=2，f(2)<3, 求a,b,c的值
第二章 基本初等函數（I）
★學習目標
節 次
學 習 目 標
指數函數
了解有理指數冪的含義、冪的運算。理解指數函數的概念、圖象及其意義、指數函數的單調性與特殊點，了解指數函數模型的應用。
對數函數
理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；了解對數函數的概念、圖象、單調性與特殊點，知道指數函數與對數函數互為反函數，
冪函數
了解冪函數的概念；結合函數y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的圖像，了解它們的變化情況。
★要點解讀
本章主干知識：指數的概念與運算，指數函數、圖象及其性質，對數的概念與運算，對數函數、圖象及其性質，冪函數的概念
1．指數函數：（1）有理指數冪的含義及其運算性質：
①；②；③。
（2）函數叫做指數函數。
指數函數的圖象和性質
0 < a < 1
a > 1
圖 象
性
質
定義域
R
值域
(0 , +∞)
定點
過定點（0，1），即x = 0時，y = 1
（1）a > 1，當x > 0時，y > 1；當x < 0時，0 < y < 1。
（2）0 < a < 1，當x > 0時，0 < y < 1；當x < 0時，y > 1。
單調性
在R上是減函數
在R上是增函數
對稱性
和關于y軸對稱
2．對數函數
（1）對數的運算性質：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：
①； ②；
③。
（2）換底公式：
(3)對數函數的圖象和性質
0 < a < 1
a > 1
圖
象
定義域
(0 , +∞)
值域
R
性
質
（1）過定點（1，0），即x = 1時，y = 0
（2）在R上是減函數
（2）在R上是增函數
（3）同正異負，即0 < a < 1 , 0 < x < 1或a > 1 , x > 1時，log a x > 0；
0 < a < 1 , x > 1或a > 1 , 0 < x < 1時，log a x < 0。
3．冪函數
函數叫做冪函數（只考慮的圖象）。
★學法指導
1．弄清根式和分數指數冪的意義，掌握從指數轉化上處理指數問題
【方法點撥】類比整數指數冪的運算性質理解分數指數冪的運算，根式一般先轉化成分數指數冪，然后再利用有理指數冪的運算性質進行運算；
【案例剖析】化簡下列各式（）

【解析】
【點評】：（1）本題屬于“了解”層次，主要考查考生對有理指數冪的含義、冪的運算的識記了解情況；（2）解答這類問題的關鍵是先把根式轉化成分數指數冪的最簡形式，然后做冪的運算。
2．理解對數的概念及其運算性質，會利用對數運算性質化簡、計算及求值
【方法點撥】一方面，要理解對數的概念和運算性質，理解對數式和指數式的互化，另一方面，計算、化簡及求值首先尋找同底轉化，當不同底時，要靈活運用換底公式處理。
【案例剖析】計算：
lg14－2lg+lg7－lg18 ⑵ ２25＋３64 （3），．
【解析】：（1）lg14-2lg+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2)
=lg2+lg7－2lg7+2lg3+lg7－2lg3－lg2=0
（2）２25＋３64＝２＋３＝２×２＋３×６＝22
（3）=
【點評】：（1）本題屬于“理解”層次，要理解對數運算的基本公式，熟練掌握化簡求值的常見技能；（2) 注意式與式之間的聯系，對數式要化到最簡形式.
3．理解指（對）數函數的概念與性質，從函數表達式的特征上尋找解題途徑。
【方法點撥】能根據指（對）數函數表達式有意義和單調性求定義域和值域。解題時特別注意對數的真數大于零。
【案例剖析】求下列函數的定義域、值域：
（1） （2） （3）
【解析】：（1） ， ∴ ， 原函數的定義域是，
令， 則，
∴得，
所以，原函數的值域是：．
（2） ∴ 原函數的定義域是，
令 則， 在是增函數 ∴，
所以，原函數的值域是．
（3）．由于函數定義域是R
，故函數的值域是
【點評】：（1）本題屬于“了解”層次，主要考查考生對函數定義域和值域掌握情況；（2）求函數的定義域的主要依據是：分式的分母不等于零；偶次方根的被開方數不小于零；對數式的真數必須大于零；指數、對數式的底必須大于零且不等于1。求函數的值域的常用方法有：配方法、換元法、均值不等式法及單調性法等.
4．掌握指（對）數函數單調性的應用
【方法點撥】利用指（對）數函數的單調性可以比較函數值或自變量值的大小，求某些函數的值或最值，解不等式。有些含字母參數的問題，要對參數范圍進行討論。
【案例剖析】已知f（x）=loga（a－ax）
（1）當0＜a ＜1時，求f（x）的定義域；
（2）判斷f（2）是否大于零，并說明理由。
【解析】： （1）為使函數有意義，需滿足a－ax＞0，即ax＜a，
∵0＜a ＜1，∴x＞1，故定義域為（1，+∞）。
（2）f（2）=loga（a－a2），loga1=0，
又1-（a－a2）= a2- a+1=（，
（a－a2）＜1，
當0＜a ＜1時，f（2）＞0
當a＞0 時，f（2）＜0。
【點評】：本題主要考查對數函數的單調性，解題時，指（對）數函數的底數對單調性的影響要了解透徹。
5．掌握有關指（對）數函數奇偶性的判定
【方法點撥】對于和指（對）數函數有關的函數的奇偶性的判定，首先看函數定義域是否關于原點對稱,然后尋找與的關系,并由此判斷函數的奇偶性.
【案例剖析】判斷下列函數的奇偶性：
（1）f(x)= （a＞0且a≠1） （2）f(x)= lg（－1）
【解析】：（1）f(x)定義域為：，
∵f(-x)= === f(x)， 故f(x)為偶函數。
（2）
∵f（－x）=
∴f（x）是奇函數，
【點評】：判定和指（對）數函數有關的函數的奇偶性，關鍵是由的解析式向目標的解析式轉化，解題要明確目標和方向。
★階梯練習
A級
1．指數函數y=ax的圖像經過點（2，16）則a的值是 （ ）
A． B． C．2 D．4
2．下列函數是冪函數的是（ ）
Ａ、 B、 C、 D、
3．計算（ ）
A. B. C. D.3
4．在區間上不是增函數的是 ( )
A. B. C. D.
5．函數的定義域是 ．
6．若lg2＝a，lg3＝b，則log512＝________．
7．計算：

8．設函數, 求滿足=的x的值．

B級
9．方程的解為 （ ）
A、5或-2 B、5 C、-2 D、無解
10．已知函數的值為
11．函數在定義域內是減函數，則的取值范圍是
12．已知，是一次函數，并且點在函數的圖象上，點在函數的圖象上，求的解析式．
13．畫出函數的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3x－１｜＝k無解？有一解？有兩解？
C 級
14．函數在上的最大值與最小值之和為，則的值為 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
15．已知定義域為的函數是奇函數。
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）判斷函數的單調性;
（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．
第三章 函數的應用
★學習目標
節 次
學 習 目 標
函數與方程
知道函數的零點與方程根的聯系，理解用二分法求方程的近似解
函數的模型及其應用
理解常見的函數模型及其應用
★要點解讀
本章主干知識是：零點與方程根，用二分法求方程的近似解，函數的模型及其應用
1．函數與方程
（1）方程的根與函數的零點：如果函數在區間 [a , b] 上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么，函數在區間 (a , b) 內有零點，即存在，使得，這個c也就是方程的根。
（2）二分法：二分法主要應用在求函數的變號零點當中，牢記二分法的基本計算步驟，即基本思路為：任取兩點x1和x2，判斷（x1，x2）區間內有無一個實根，如果f（x1）和f（x2）符號相反，說明（x1，x2）之間有一個實根，取（x1，x2）的中點x，檢查f（x）與f（x1）是否同符號，如果不同號，說明實根在（x，x1）區間，這樣就已經將尋找根的范圍減少了一半了．然后用同樣的辦法再進一步縮小范圍，直到區間相當小為止．
2．函數的模型及其應用
（1）幾類不同增長的函數模型
利用計算工具，比較指數函數、對數函數以及冪函數增長差異；結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。
(2) 函數模型及其應用
建立函數模型解決實際問題的一般步驟：①收集數據；②畫散點圖，選擇函數模型；③待定系數法求函數模型；④檢驗是否符合實際，如果不符合實際，則改用其它函數模型，重復②至④步；如果符合實際，則可用這個函數模型來解釋或解決實際問題．
解函數實際應用問題的關鍵：耐心讀題，理解題意，分析題中所包含的數量關系（包括等量關系和不等關系）．
★學法指導
1．函數零點的求法
【方法點撥】對于一些比較簡單的方程，我們可以通過因式分解、公式等方法求函數的零點，對于不能用公式解決的方程，我們可以把這些方程與函數聯系起來，并利用函數的圖象和性質找出零點，從而求出方程的根。
【案例剖析】求函數y＝x3－2x2－x＋2的零點．
【解析】：對求簡單的三次函數的零點：一般原則是進行分解因式，再轉化為求方程的根將零點求出．y＝x3－2x2－x＋2＝（x－2）（x－1）（x＋1），令y＝0可求得已知函數的零點為－1、1、2．
【點評】：本題主要考查考生對函數零點概念的理解，函數零點與方程的關系．
2．二分法求方程近似解
【方法點撥】對于在區間，上連續不斷，且滿足·的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值．
【案例剖析】借助計算器或計算機，用二分法求方程在區間（1，2）內的近似解（精確到0.1）。
【解析】：原方程即，令，用計算器或計算機作出函數、的對應值表（如下表）和圖象（如下圖）。
-2
-1
0
1
2
2.5820
3.0530
2.7918
1.0794
-4.6974
　　觀察圖或上表可知，說明這個函數在區間（1，2）內有零點。
　　取區間（1，2）的中點，用計算器可得。因為，所以。
　　再取（1，1.5）的中點，用計算器可算得。因為，所以。
　　同理，可得，。
　　由于|1.3125-1.25|＝0.0625＜0.1，此時區間的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.3，所以原方程精確到0.1的近似值為1.3。
【點評】：一般地，對于不能用公式法求根的方程f（x）＝0來說，我們用二分法求出方程的近似解．
3．利用給定函數模型解決實際問題
【方法點撥】這類問題是指在問題中明確了函數關系式，我們需要根據函數關系式來處理實際問題，有時關系式中帶有需確定的參數，這些參數需要根據問題的內容或性質來確定之后，才能使問題本身獲解．
【案例剖析】有甲乙兩種產品，生產這兩種產品所能獲得的利潤依次是P和Q萬元，它們與投入資金x（萬元）的關系為：,,今投入3萬元資金生產甲、乙兩種產品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種產品的資金投入分別應為多少？最大利潤是多少？
【解析】： 設投入甲產品資金為x萬元（，投入乙產品資金為(3－x)萬元，總利潤為y萬元．則
=
當時，
答：對甲、乙產品各投資為1.5萬元，獲最大利潤為萬元。
【點評】：本題是給定函數求二次函數最值的應用問題，解答這類的問題關鍵是通過配方求二次函數的最值。
4．建立確定的函數模型解決實際問題
【方法點撥】通過觀察圖表，判斷問題適用的函數模型，借助計算器或計算機對數據進行處理，利用待定系數法得出具體的函數解析式，再利用得到的函數模型解決相應的問題。
【案例剖析】2008年5月12日，四川汶川地區發生里氏8.0級特大地震．在隨后的幾天中，地震專家對汶川地區發生的余震進行了監測，記錄的部分數據如下表：
強度（J）
1.6
3.2
4.5
6.4
震級（里氏）
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震強度是指地震時釋放的能量
(1)畫出震級（）隨地震強度（）變化的散點圖；
（2）根據散點圖，從下列函數中選取選取一個函數描述震級（）隨地震強度（）變化關系：，
（3）四川汶川地區發生里氏8.0級特大地震時釋放的能量是多少？（取）
【解析】：（1）散點圖如下圖：
（2）根據散點圖，宜選擇函數。
（3）根據已知，得解得：

當時， （J）
【點評】：函數模型的選擇一方面要分析題中的實際意義，另一方面，要考慮函數的本身特點。
★階梯練習
A級
1．函數f(x)=2x+7的零點為 （ ）
A、7 B、 C、 D、-7
2．方程的一個實數解的存在區間為 （ ）
A、（0，1） B、（0.5，1.5） C、（-2，1） D、（2，3）
3．設,用二分法求方程內近似解的過程中得則方程的根落在區間（ ）
A B C D 不能確定
4．某人騎自行車沿直線勻速旅行，先前進了a千米，休息了一段時間，又沿原路返回b千米（b5．方程的實數解的個數為________________。
6．某輪船在航行中每小時所耗去的燃料費與該船航行速度的立方成正比，且比例系數為a，其余費用與船的航行速度無關，約為每小時b元，若該船以速度v千米/時航行，航行每千米耗去的總費用為 y （元），則y與v的函數解析式為________．
7．已知函數的圖象是連續不斷的，有如下的，對應值表：
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
函數在哪幾個區間內有零點？為什么？
8．一個體戶有一種貨，如果月初售出可獲利100元，再將本利都存入銀行，已知銀行月息為2．4%，如果月末售出可獲利120元，但要付保管費5元，問這種貨是月初售出好，還是月末售出好？

B級
9．函數在區間（1，2）內的函數值為（ ）
A、大于等于0 B、等于0 C、大于0 D、小于0
10．有一塊長為20厘米,寬為12厘米的矩形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子。則盒子的容積V與x的函數關系式是 。
11．老師今年用7200元買一臺筆記本。電子技術的飛速發展，計算機成本不斷降低，每隔一年計算機的價格降低三分之一。三年后老師這臺筆記本還值
12．證明：函數在區間（2，3）上至少有一個零點。
13．有一片樹林現有木材儲蓄量為7100 cm3，要力爭使木材儲蓄量20年后翻兩番，即達到28400 cm3．（1）求平均每年木材儲蓄量的增長率．（2）如果平均每年增長率為8%，幾年可以翻兩番？
C 級
14．若方程有兩個實數解，則的取值范圍是（ ）
A B C D
15．某工廠今年1月、2月、3月生產某種產品的數量分別是1萬件、1.2 萬件、1.3 萬件，為了估測以后每個月的產量，以這三個月的產品數量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量與月份x的關系，模擬函數可以選用二次函數或函數（其中為常數）已知4月份該產品的產量為1.37萬件， 請問用以上哪個函數作為模擬函數較好，并說明理由
數學1模塊檢測
本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分。時量120分鐘。滿分100分。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設集合，則（ ）
A、 B、 C、 D、
2．下列計算正確的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．下列函數在其定義域內為增函數的是 （ ）
A． B． C． D．
4．函數的值域是（ ）

5．已知集合，則下列式子表示正確的有 （ ）
① ② ③ ④
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．已知的圖象恒過（1，1）點，則的圖象恒過( )
A．（－3，1） B．（5，1） C．（1，－3） D．（1，5）
7．以下四個命題中不正確的是（ ）
A．是奇函數； B. 是偶函數；
C.是非奇非偶函數； D.是奇函數
8．四個數：，，，中最小的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．已知a>1,函數y＝ax與y＝loga（-x）的圖像可能是（ ）
A B C D
10．今有一組實驗數據如下：
T
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
Y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，其中最接近的一個是：
A． B. C. D.
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。
11．式子 值是____________．
12．若函數對一切實數都有，則實數的取值范圍是 .
13．函數的 零點個數為______________ .
14．我國的人口約13億，如果今后能將人口數平均增長率控制在1%，那么經過x年后我國人口數為y億，則y與x的關系式為_____。
15．以下五個函數中：①，②，③，④，⑤，冪函數的是 （填寫符合的序號）
三、解答題：本大題共5小題，共40分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16．(本小題滿分6分)
設全集U為R,已知A={x|15},求（1）AB (2)AB (3)(CUA)(CUB)
17．(本小題滿分8分)
(1) 求函數的定義域；
（2）計算：
18．(本小題滿分8分) 一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關系如右圖：
（1）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際意義；
（2）假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數S和時間t的函數解析式.
19．(本小題滿分8分) 已知函數（為常數，且），滿足有唯一解
(1)求函數的解析式 (2)的值。
20．(本小題滿分10分) 已知函數。
（1）求證：不論為何實數總是為增函數；
（2）確定的值，使為奇函數；
（3）當為奇函數時，求的值域。
數學2：
第一章 空間幾何體
★學習目標
節次
學 習 目 標
空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖
了解柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，理解簡單空間圖形的三視圖的畫法及三視圖的識別, 理解斜二測法畫空間圖形的直觀圖,了解用平行投影與中心投影畫空間圖形的視圖與直觀圖。
空間幾何體的表面積和體積
了解柱、錐、臺、球的表面積和體積的計算公式，會求簡單組合體的表面積和體積。
★要點解讀
本章主干知識 常見幾何體及其簡單組合體的結構特征；平行投影、中心投影和幾何體的視圖、直觀圖，斜二測法，柱、錐、臺、球的表面積和體積公式。
1．棱柱、棱錐、棱（圓）臺的本質特征
⑴棱柱：①有兩個互相平行的面（即底面平行且全等），②其余各面（即側面）每相鄰兩個面的公共邊都互相平行（即側棱都平行且相等）。
⑵棱錐：①有一個面（即底面）是多邊形，②其余各面（即側面）是有一個公共頂點的三角形。
⑶棱臺：①每條側棱延長后交于同一點，②兩底面是平行且相似的多邊形。
⑷圓臺：①平行于底面的截面都是圓，②過軸的截面都是全等的等腰梯形，③母線長都相等，每條母線延長后都與軸交于同一點。
2．中心投影、平行投影及空間幾何體的三視圖、直觀圖
⑴一點發出的光照射下形成的投影叫中心投影。
⑵平行光線照射下形成的投影叫平行投影，投影線正對著投影面時，叫正投影，否則叫斜投影。
⑶平行投影下的正投影包括斜二測法和三視圖。三視圖的正視圖、左視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線即正投影（被遮擋的輪廓線要畫虛線）。
3．棱柱、棱錐、棱臺的展開圖與表面積
直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面展開圖分別是
若干個小矩形拼成的一個大矩形，
若干個全等的等腰三角形，
若干個全等的等腰梯形

4．圓柱、圓錐、圓臺的展開圖、表面積和體積的計算公式

⑴ S圓錐表=πr（r+l）← S圓臺表=π（r上2+r下2+r上l+ r下l） → S圓柱表=2πr（r+l）

⑵ V圓錐 = πr2 h ← V圓臺=π（r上2+ r下2+ r上r下）h → V圓柱=πr2h
⑶ 球面無法展開鋪平,用無限逼近法得: S球=4πR2 ， V球 = πR3
★學法指導
1、抓幾何體的本質特征
【方法點撥】從掌握柱、錐、臺、球的本質結構特征入手進行分析，才能作出正確判斷。
【案例剖析】下列命題中正確命題的個數（ ）
⑴有兩個面平行，其余各個面都是平面四邊形的幾何體叫棱柱
⑵有兩個面平行，其余各個面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
⑶有兩個面平行，其余各個面都是梯形的幾何體叫棱臺
⑷用一個平面去截棱錐，棱錐的底面和截面之間的部分叫棱臺
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【解析】由以下圖象可知⑴⑵⑶⑷均不正確,故選D答案.

【點評】：本題屬于“知道”層次，考查識別幾何體，要從本質特征入手。
2．正確認識三視圖，尋找斜高和高是計算出單個幾何體表面面積與體積的關鍵
【方法點撥】正確地轉換三視圖與直觀圖，找出棱長與斜高、高的位置及長度關系是關鍵。
【案例剖析】 一個幾何體的三視圖如圖所示，尺寸單位：cm ，試畫出該幾何體的直觀圖，并求出其側面積和體積。
【解析】：由三視圖得該幾何體的直觀圖
如右下圖，是一個正四棱錐。
底面正方形邊長AB=4
斜高PE=PF=
∴高PO==
∴側面積S=4××4×=8（cm2）
體積 V=×42×=（cm3）
【點評】：本題屬于“綜合運用”層次，要防止將視圖中的看作側棱PA、PB的長。
3． 組合體的表面積及體積
【方法點撥】計算組合體的表面積和體積時，⑴分析清楚由哪幾個幾何體構成，⑵是否空心：內外表面積及體積的加減問題，⑶內外接與切的問題，⑷多個球的組合，先以各個球心連成多面體進行考察，再轉化。
【案例剖析】如圖1，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°
AD∥BC，AD=2，AB=3，BC=6，把直角梯形ABCD繞
底邊AD旋轉一周得到一個旋轉體，
求：⑴旋轉體的表面積，⑵旋轉體的體積。
【解析】：⑴如圖2，旋轉體的表面積有內外部分，
S表＝π×32＋2π×3×6＋π×3×5
＝60π（平方單位）
⑵旋轉體的體積V＝π×32×6－π×32×4＝42π（立方單位）
【點評】：本題屬于“綜合運用”層次，依題意畫出旋轉體，分清內外空心部分即可。
★階梯練習
A級
1.一個正方體內有一個內切球,作出正方體的對角面,所得截面圖形是 ( )

2．不共線的四點可以確定平面的個數可能為 （ ）
A． 1或2個 B．2或3個　 　C．3或4個　 　D．1或4個
3.如圖, 過球的一條半徑OP的中點O1 ，作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的面積與球的表面面積之比為 ( )
A. 3：16 B. 9：16 C. 3：8 D. 9：32

4. 右上圖，水平放置的三角形的直觀圖，D＇是A＇B＇邊上的一點且D＇A＇= A＇B＇，A＇B＇∥Y＇軸, C＇D＇∥X＇軸，那么C＇A＇、C＇B＇、C＇D＇三條線段對應原圖形中的線段CA、CB、CD中 （ ）
A．最長的是CA，最短的是CB B．最長的是CB，最短的是CA
C．最長的是CB，最短的是CD D．最長的是CA，最短的是CD
5．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長AB=6的正三角形，側棱AA1=10，且側棱AA1與底面的兩邊AB、AC均成60°的夾角，則這個三棱柱的側面面積等于（ ）
A．90 B. 60+60 C. 45+60 D. 120
6.如圖，正四面體ABCD的棱長為6，P、Q分別是AC的中點、AD的三分之一點，則截面BPQ分正四面體上下兩部分的體積之比等于
7.如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水。若放入一個半徑為r的實心鋼球，水面升高的高度為r，則 R：r等于
8．已知正三棱錐的底面邊長為a，高為a，則正三棱錐的側面面積等于（用a的式子表示）

B級
9． 若長方體的一條對角線與長、寬所成的角分別是45°、60°，且長方體的高為3，則該長方體的表面面積是 （ ）
A. 18+36 B. 18+36 C. 36+36 D. 9+36
10．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BD=a，則三棱錐D—ABC的體積為（ ）
A． B． C． D．
11．正四棱臺上下底面面積分別為16和81，有一平行于底面的截面面積為36，則截面截得棱臺的高上下兩段的比為（ ）
A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶4
12．正六棱臺的兩底邊長分別為1cm，2cm，高是1cm，它的側面積等于
13．長方體木頭ABCD－A1B1C1D1，AB=BC=4，BB1=3，過A、B1、D1三點的平面將長方體切割去一個角，求剩下的幾何體的表面積.

C 級
14．有一個幾何體由8個面圍成，每一個面都是正三角形，并且有四個頂點A，B，C，D在同一個平面內，ABCD是邊長為30cm的正方形.說明這個幾何體的結構特征，畫出其直觀圖和三視圖，并求出它的表面積和體積.
15．已知一個圓錐的高為6cm，母線長為10cm。求：
⑴圓錐的體積； ⑵圓錐的內切球的體積； ⑶圓錐的外接球的表面積。
　
第二章 點、直線、平面之間的位置關系
★學習目標
節次
學 習 目 標
空間點、直線、平面間的位置關系
了解空間點、線、面的位置關系的四個公理和一個定理。
直線、平面平行的判定與性質
理解線線平行、線面平行、面面平行的判定與性質，運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。
直線、平面垂直的判定與性質
理解線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定與性質，運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。
空間角、距離的概念和簡單計算
理解空間角的概念，會進行簡單計算。
★要點解讀
本章主干知識 空間中點、直線、平面之間的位置關系，“線線、線面、面面的平行與垂直”的判定與性質，空間角的概念和簡單計算。
1．平面
平面的性質：公理1的作用“直線在平面上的依據”、公理2的作用“確定一個平面的依據，用其證明點、線共面”、公理3的作用“判定兩個平面相交的依據，用其證明點在直線上——兩平面的公共點一定在交線上”。
2．空間兩直線的位置關系和異面直線的概念與畫法
空間中兩條直線有三種位置關系：相交、平行、異面。
相交的兩條直線與平行的兩條直線都是共面的，異面直線“不同在任何一個平面內”的不共面性，指這兩條直線永遠不具備確定平面的條件，因此，常用平面襯托法畫兩條異面直線，圖1；
在兩個平面內的兩條直線可能是“相交直線、平行直線、異面直線”三種位置關系。圖2
3．空間直線和平面的位置關系
直線與平面相交、直線在平面內、直線與平面平行
直線在平面外——直線和平面相交或平行，記作aα包括a∩α=A和a∥α
4．空間平面與平面的位置關系
⑴平面與平面平行、平面與平面相交
⑵如果平面α∥βα內任意直線a∥β，即面面平行線面平行。但任意直線aα、bβ
不都有a∥b，即“面面平行線線平行”是指平面α、β與第三個平面γ的兩條交線平行
5．關于平行、垂直及異面直線所成的角
⑴定理“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補”說明平移不改變角的大小，只改變角的頂點的位置。所以求異面直線所成的角，要先平移找角，后求角。
⑵若直線a∥b，b∥c a∥c（公理4）。
⑶垂直于同一個平面的所有直線（即平面的垂線）互相平行；
⑷垂直于同一條直線的所有平面（即直線的垂面）互相平行；
注意：
⑴若直線l∥平面α，則l與α內任意直線都平行嗎？
只與α內哪樣的直線平行呢？ 圖3
⑵若直線l⊥平面α，則l與α內任意直線都垂直嗎？
b一定與α內任意直線都垂直！圖4

★學法指導
1. 關于符號語言、文字語言和圖形語言的轉換，以及平面向空間的轉換
【方法點撥】注意結合長方體中直線與平面的各種可能位置關系來考慮問題。
【案例剖析】已知直線a、b和平面α，下面推論錯誤的是（ ）
A．若 B.若
C.若 D. 若
【解析】結合長方體中的線面位置關系進行思辨，將符號語言轉換成空間位置關系，答案選D。
【點評】：本題屬于“理解”層次，要能準確將符號語言轉換得空間位置關系。
2．截面問題
【方法點撥】截面是用平面將幾何體完全切割開后所得的平面圖形（頂點是切割面與棱的交點、邊是切割面與表面的交線）。先定形狀——邊是否平行（垂直），圖是否對稱，再計算邊長（角度）等。
【案例剖析】已知正三棱柱的棱長都是a， 過底面一邊和上、下底面中心連線的中點作截面，求此截面的面積.
【解析】如圖，∵上下底面平行 ∴截面與上下底面的交線互相平行 即 B1C1∥MN
又正三棱柱有對稱性B1M=C1N ∴經過B1C1和O1O的中點G的截面B1C1NM是一個等腰梯形
∵OG是△EDD1的中位線 ∴ED=2OD=2×a=a
∴等腰梯形B1C1NM的高ED1==a
又∵AE：AD=（a-a）：a= ∴ MN=BC=a
∴截面B1C1NM的面積S=（a+a）a=a2
【點評】：本題屬于“理解”層次，“先判斷并論證截面圖的形狀，再計算”是解這類題的基本步驟。
3．平行與垂直問題的相互轉化及證明
【方法點撥】平行公理和“線線平行、線面平行、面面平行” 的判定與性質是證明平行問題的主要依據；“線線垂直、線面垂直、面面垂直” 的判定與性質是證明垂直問題的主要依據。
【案例剖析】如圖，已知在四棱錐P—ABCD中，
底面ABCD是平行四邊形，點E、F在PC上，
且PE：EF：FC=1：1：1，問在PB上是否存在
一點M，使平面AEM∥平面BFD，并請說明理由。
【解析】要平面AEM∥平面BFD，先看能否找到
一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，
由已知得 PE=EF=FCE是PF的中點，在PB上
取M為PB的中點時可知 EM就是△PBF的中位線
EM∥FB ⑴ 又連接AC交BD于O點，∵ABCD是平行四邊形 ∴點O是AC的中點
∴OF是△ACE的中位線OF∥AE　　⑵
而EM、AE是平面AEM內的兩條相交直線，OF、FB是平面BFD內的兩條相交直線
由⑴⑵可得 EM∥平面BFD，AE∥平面BFD ∴ 平面AEM∥平面BFD， 故存在點M就是PB的中點。
【點評】：本題屬于“理解”層次，證明平行問題經常用到中位線的平行性、平行四邊形對邊平行等，然后采用“線線平行、線面平行、面面平行”進行相互轉化與證明。
4. 求空間角和平面圖形翻折成空間圖形的問題
【方法點撥】三類空間角的幾何求法：先一邊作一邊論證平行或垂直，作出角后指出某某角為所求的角，再連線成三角形計算求角。翻折問題：抓住折疊前與折疊后的圖形中“長度和角度特別是直角”的不變量進行分析。
【案例剖析】如圖，已知矩形ABCD中，AB=4a ，BC=3a ，沿對角線BD將Rt△ABD折起，使點A到A1點，且A1點在平面BCD上的射影剛好落在邊CD上。
⑴求證：BC⊥A1D， ⑵求證：平面A1BC⊥平面A1BD，⑶求二面角A1—BD—C的正弦值。

【解析】⑴∵ ABCD是矩形 ∴BC⊥CD 已知A1點在平面BCD上的射影O剛好落在邊CD上
即A1O⊥平面BCD，而BC平面BCD A1O⊥BC
∴ BC垂直于平面A1CD內的兩條相交直線CD、A1O BC⊥平面A1CD BC⊥A1D
⑵由上得 A1D⊥BC 又由已知得 ∠BAD=∠BA1D=90° A1D⊥A1B
∴A1D垂直于平面A1BC內的兩條相交直線BC、A1B A1D⊥平面A1BC
又A1D平面A1 BD 平面A1BC⊥平面A1BD
⑶過O作OE⊥BD于E點 連接A1E，∵A1O⊥平面BCDA1O⊥BDBD⊥平面A1OE
BD⊥A1E， ∴∠A1EO是二面角A1—BD—C的平面角
∵在Rt△BA1D中，A1E=a ，在Rt△CA1D中，A1O=a
∴ 在Rt△A1EO中，sin∠A1EO = =
【點評】：本題屬于“綜合運用”層次。線線角的關鍵是平行找角；線面角的關鍵是找射影時指出垂線的垂足落在哪個三角形的邊上，才能去解對應的三角形；二面角的關鍵是作出平面角。
★階梯練習
A級
1．一條直線和平面所成角為θ，那么θ的取值范圍是（ ）
A、[0o，90o] B、（0o，90o） C、[0o，180o] D、[0o，180o)
2．若直線上有兩個點在平面外，正確結論是（ ）
A、直線在平面內 B、直線在平面外
C、直線上所有點都在平面外 D、直線與平面相交
3．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點，則正方體的過P、Q、R的截面圖形的面積是 （ ）
A. B.
C. D.
4．直線l與平面(內的兩條直線都垂直，則直線l與平面(的位置關系是 （ ）
A、平行 B、垂直 C、在平面(內 D、無法確定
5．不同直線和不同平面，給出下列命題
① 若 ② 若
③ 若 ④ 若
其中假命題有（ ）
A、0個 B、1個 C、2個 D、3個
6．正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,則點A到△A1BD所在平面的距離=（ ）
A、1 B、 C、 D、
7．如果△ABC的三個頂點到平面的距離相等且不為零，那么△ABC的(　 )
A、三邊均與平行 B、三邊中至少有一邊與平行
C、三邊中至多有一邊與平行 D、三邊中至多有兩邊與平行
8．正三棱錐中相對的兩條棱所成的角= 。
B級
9．已知直線a，如果直線b同時滿足下列二個條件：
①直線b與a是異面直線；②b與a所成的角為定值θ。
那么這樣的直線b有（ ）
A、1條 B、2條 C、3條 D、無數條
10．已知a和b是兩條異面直線，下列結論正確的是 ( 　)
A、過不在a 、b上的任意一點，可作一個平面與a 、b都平行
B、過不在a 、b上的任意一點，可作一條直線與a 、b都相交
C、過不在a 、b上的任意一點，可作一條直線與a 、b都平行
D、過a有且只有一個平面與b平行
11．已知一條與平面(相交的線段，長度為10cm，兩端點到平面(的距離分別是2cm，3cm，這條線段與平面(所成角是 .
12．空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.
①若AC=BD，則四邊形EFGH的形狀是 ；
②若則四邊形EFGH的形狀是 ．
13．過直線l外一點A作直線l的垂線有 條；過A點作直線l的垂面有 個；過A點作直線l的平行線有 條；過A點作直線l的平行平面有 個。
C 級
14．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，如圖，P在AB上，Q在B1C1上，且AP＝B1Q，N是PQ的中點，M是正方形ABB1A1的中心．求證：⑴MN∥平面B1D1；⑵MN∥A1C1．

15．已知矩形ABCD的邊長AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE為棱將矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：
⑴點C′到平面ABED的距離； ⑵二面角C′—AB—C的正切值； ⑶點C′到邊AD的距離．



第三章 直線與方程
★學習目標
節次
學 習 目 標
直線的傾斜角及斜率，兩直線平行與垂直的判定與性質
了解直線的傾斜角及斜率的概念, 理解過兩點的直線的斜率公式, 會判斷兩直線的平行與垂直。
直線方程
理解直線方程的三種形式, 兩直線交點坐標的求法。
兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、兩平行線間的距離
理解兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、兩平行線間的距離。
★要點解讀
本章主干知識 直線的傾斜角和斜率，過兩點的直線的斜率公式．直線方程，兩條直線位置關系及平行與垂直的判定.兩點間距離公式，點到直線的距離公式，兩條平行線間的距離.
1. 直線的傾斜角和直線的斜率
⑴坐標平面內的直線都有傾斜角，且一條直線的傾斜角是唯一的，傾斜角的范圍為[0°，180°）；
直線的斜率有存在和不存在兩種：當直線的傾斜角θ≠90°時，存在斜率k＝tanθ，
當直線的傾斜角θ＝90°時，不存在斜率。
⑵經過兩個定點 P1(x1,y1) , P2(x2,y2) 的直線：
若x1≠x2，則直線P1P2 的斜率存在，k=tanθ=
若x1＝x2，則直線P1P2的斜率不存在，其傾斜角為900。
2．直線方程的適用范圍
⑴一般式Ax+By+C=0 (A、B不同時為0)：對坐標平面內的任何直線都適用 。
⑵點斜式Y- Y0=k（X- X0）、斜截式Y=kX+b 不能表示無斜率（垂直于x 軸）的直線.
⑶兩點式=不能表示平行或重合于兩坐標軸的直線.
⑷截距式+=1不能表示平行或重合于兩坐標軸的直線及過原點的直線

3．兩條直線“平行或垂直”的判定
直線l1∥l2 或重合傾斜角α1=α2有斜率時k1=k2 ，或都無斜率；
直線l1∥l2 有斜率時k1=k2且y軸上的截距不同，或都無斜率且x軸上的截距不同；
直線l1⊥l2 有斜率時k1×k2=-1，或一條有斜率k1=0另一條無斜率。
若 且若A1、A2、B1、B2都不為零。
①l1//l2； ②l1l2 A1A2+B1B2=0；
③l1與l2相交； ④l1與l2重合；
4．對稱問題及中點公式
⑴若兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）關于直線l：y=kx+b對稱：
①P1P2中點在l上：=k+b ， ②P1P2⊥l：×k=-1
⑵若兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）關于點M（x0，y0）對稱：M是P1P2的中點（也叫中心）
x0= ，y0=
5．兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距離公式│P1P2│=
兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中點坐標公式M（，）
6．點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式d1=
平行直線Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距離公式d2=
★學法指導
求直線的斜率和傾斜角的方法
【方法點撥】求斜率：①已知直線上兩點，由k=求出；②已知傾斜角θ，由k=tanθ求出；③已知直線方程，將方程化成斜截式y=kx+b，則x項的系數就是斜率k。也可能無斜率。
求傾斜角的方法：先求斜率k，再由k= tanθ求出傾斜角θ.要注意討論，無斜率則θ=90°。
【案例剖析】在下列敘述中：
①一條直線的傾斜角為θ，則它的斜率k= tanθ；
②若直線的斜率k=-1，則它傾斜角為135°；
③經過A（-1，0），B（-1，3）兩點的直線的傾斜角為90°；
④過點P（2，-3）、傾斜角為135°的直線方程為x-y-5=0；
⑤直線y=1的傾斜角為45°。
以上所有正確命題的序號是
【解析】①當θ=90°時無斜率k，故錯誤； ②與③正確；④k=tan135°=-1，故錯誤；
⑤其實斜率k=0，則傾斜角為0°，故錯誤。 答案：②③
【點評】：本題屬于“理解”層次，會多途徑求直線的斜率和傾斜角。
斜率、截距存在與否、為0與否等需要分類討論
【方法點撥】依據條件設直線方程時，要注意討論存在性，再依次求解。
【案例剖析】求經過兩條直線x+3y-10=0和x-2y=0的交點，且到原點的距離為4的直線方程。
【解析】錯解 由方程組， 解得兩直線交點的坐標為A（4，2）
設所求直線方程為y-2=k(x-4) 即 kx-y-4k+2=0
則原點到該直線的距離d==4
得（2k-1）2=4(k2+1) ∴k=-
∴所求直線方程為y-2=-(x-4) 即 3x+4y-20=0
正解一: 同上兩條直線交點的坐標為A（4，2）
當斜率存在時，設所求的直線方程為y-2=k(x-4) 同上得直線方程為3x+4y-20=0
當斜率不存在時，過交點A（4，2）的直線方程為x-4=0
∴所求直線方程為3x+4y-20=0 和 x-4=0
正解二: 過兩條直線交點的直線系方程可設為x+3y-10 + m(x-2y)=0
即(1+m)x+(3-2m)y-10=0
則原點到該直線的距離d==4
去分母,兩邊平方,整理得 4m2-8m+3=0 ∴m=或
∴所求直線方程為3x+4y-20=0 和 x-4=0
【點評】：本題屬于“理解”層次，對直線的可能位置作出分析后需要分類討論時，必須分情況考慮，防止漏解.
3、“數形結合”的思想
【方法點撥】數形結合就是把“數、式子”變形后和圖形中的“角、斜率、距離”等相聯系，使式子具有一定的幾何意義，這樣數形結合進行思辨往往更直觀、更簡捷。
【案例析】已知實數x、y滿足y= ，求：
⑴的取值范圍 ； ⑵的最大值和最小值。
【解析】⑴將實數x、y滿足y=變形為：（x-1）2+y2=1，且0≤y≤1，可把（x、y）看作是上半圓上的動點A ，且分式可看作是兩點A（x、y）、B（1、-1）連線的斜率k
如圖，點A在半圓上移動時，可得=k的范圍：-∞＜k≤kBO 或 kBC≤k＜+∞
即-∞＜k≤-1 或 1 ≤k＜+∞
∴的取值范圍為（-∞，-1][1，+∞）
⑵∵==│AP│
看作兩點A（x、y）、p(-2，1) 之間的距離
則最大距離為│CP│=，最小距離為-1
∴最大值為，最小值為-1
【點評】：本題屬于“綜合應用”層次，抓住式子的幾何意義進行轉化，也是解代數問題的重要方法之一。
4. 兩條直線平行和垂直的討論
【方法點撥】當直線方程中的系數含有字母時，關于兩條直線“平行與垂直”的討論方法
方法一 分有斜率和無斜率兩種情況進行討論，見要點3。
方法二 若無分式或分母不含字母系數，由直線方程的一般式直接求解：
直線l1∥l2A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0 , 直線l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
【案例剖析】已知兩條直線l1: (m+3n-1)x+(m-1)y-2m+2=0，l2: (m-3n+2)x+(m+1)y-m+1=0，分別求下列條件下的m，n的值。 ⑴直線l1⊥l2 ，且直線l1經過點（0，-1）； ⑵直線l1∥l2 ，且坐標原點到這兩條直線的距離相等。
【解析】⑴∵直線方程中不含分母，直接得
直線l1⊥l2即 (m+3n-1)(m-3n+2)+ (m-1)(m+1)=0
且直線l1經過點（0，-1）得 (m+3n-1)×0+(m-1)×（-1）-2m+2=0
∴ m=1 , n=1 或 m=1 , n= 0
⑵直線l1∥l2 得(m+3n-1)(m+1)- (m-3n+2)(m-1)=0 ①
且 (m+3n-1)（-m+1）- (m-3n+2)（-2m+2）≠0 ②
∵坐標原點到這兩條直線的距離相等
當m=1時l1無斜率，l2有斜率；當m=-1時l2無斜率，l1有斜率，兩直線不能平行；
當m≠1時l1、l2有斜率 , 又要平行，則l1、l2 在y軸上的截距相反：
-2= 得 m=- 代入①得n=
又代入②檢驗知，m=-，n= 使②成立 ∴ m=-，n=為所求。
【點評】：本題屬于“理解”層次，判定兩條直線的平行與垂直，主要是考慮兩直線斜率的關系，但要討論無斜率的情況，也有避免分情況討論的，如方法二即是。
5. 對稱的應用
【方法點撥】⑴在直線上求一點P,使P到兩定點的距離之和最小；⑵在直線上求一點P,使P到兩定點的距離之差最大；⑶光線反射問題。以上問題都要應用對稱的知識來解。
【案例剖析】已知點P在直線l:x-y=0上，兩點A（-2，1），B（1，2），
⑴ 求使|PA|+|PB|取得最小值的點P的坐標； ⑵ 求使|PA|-|PB|取得最大值的點P的坐標
【解析】⑴如圖，∵A、B兩點在直線l的同側，點A（-2，1）關于直線l:x-y=0對稱的點A′坐標為（1，-2），則連線A′B與直線l:x-y=0的交點P1（1，1）
由對稱性知，直線l:x-y=0上的任意點P都有|PA|=|PA′|
由于三角形中兩邊之和大于第三邊，如圖可知，對稱軸l:x-y=0上的任意點P都有
|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=4
∴點P為P1（1，1）點時使|PA|+|PB|取得最小值4。
⑵ 連接AB延長交直線l于點P2（，），
由于三角形中兩邊之差小于第三邊，如圖可知，
直線l:x-y=0上的任意點P都有|PA|-|PB|≤|AB|=
∴點P為P2（，）點時使|PA|-|PB|取得最大值。
【點評】：本題屬于“理解”層次，對稱的應用很廣泛，而求對稱點是關鍵。
6. 求直線方程
【方法點撥】求直線方程的常見方法有：
⑴ 先找經過的點、截距、斜率，代入某種直線方程 ；
⑵ 或先設某種形式的方程（如點斜式、斜截式等），再由已知求系數——待定系數法。
【案例剖析】在直角三角形中，已知直角頂點A（1，1），一條直角邊所在直線的方程為x-y=0，斜邊的中點為D(4,2)，求其它兩邊所在直線的方程。
【解析】∵已知一條直角邊所在直線的方程為x-y=0， ∴另一直角邊斜率為-1，且經過直角頂點A（1，1），得其所在的直線方程為y-1=- (x-1)
⑴若斜邊所在的直線無斜率，又已知斜邊的中點為D(4,2)，則其所在的直線方程為x=4，
∴斜邊所在直線的方程為x=4，與兩直角邊所在直線的方程聯立
得交點B（4，4），C（4，-2），這時與已知點D(4,2)是斜邊BC的中點相矛盾！
⑵若斜邊所在的直線有斜率，設斜邊的直線方程為y-2=k(x-4)，與兩直角邊的直線方程聯立，
得交點即頂點: B(，) ，C(，)
∵斜邊BC中點為D(4,2)，由中點公式得+=8 及+ =4 解得k=3
∴斜邊所在的直線方程為y-2=3(x-4) ， 即 3x-y-10=0
∴其它兩邊即斜邊的直線方程為3x-y-10=0 和另一直角邊的直線方程為x+y-2=0
【點評】：本題屬于“理解”層次，先設某種形式的直線方程，再聯立其它方程來求解，是解析法的一種重要手段。
★階梯練習
A級
1. 過點P(2, 3)與Q(1, 5)的直線PQ的傾斜角的正切值為（ ）
A、2 , B、–2 , C、, D、–
2. 若直線l1: ax+2y–1=0與直線l2: x+(a–1)y+a2=0平行，則a=（ ）
A、–1 B、2 C、–1或2 D、0或1
3. 若直線的斜率為-2，則其傾斜角的正弦值為（ ）
A、 B、± C、 D、-
4. 已知直線1：3x＋4y=6和2：3x-4y=-6，則直線1和2的傾斜角的關系是（ ）
A、互補 B、互余 C、相等 D、互為相反數
5. 如圖，直線l1, l2, l3的斜率分別為k1, k2, k3，則成立的是 （ ）
A、k1C、k36. 經過點P(x0, y0)且與直線Ax+By+C=0垂直的直線方程是（ ）
A、B(x–x0)–A(y–y0)=0 B、B(x–x0)–A(y–y0)+C=0
C、B(x+x0)–A(y+y0)=0 D、B(x+x0)–A(y+y0)+C=0
7. k是直線l的斜率，θ是直線l的傾斜角，若30°≤θ<120°，則k的取值范圍是（ ）
A、-≤k≤ B、≤k≤1 C、k＜-或k≥ D、k≥
8. 若直線過點P(0,2)，且在x軸上的截距是2,則該直線的傾斜角是 .
9. 已知直線l1和l2關于直線y=x對稱，若直線l1的斜率為，則直線l2的斜率為 ，傾斜角為 .
B級
10. 原點在直線上的射影為點P(－2，3),則直線的方程是（ ）
A、x＋2y=0 B、2x＋3y＋13=0
C、x－2y＋5=0 D、2x－3y＋13=0
11. 若點(4，a)到直線4x-3y=1的距離不大于3，則a的取值范圍是（ ）
A、 B、(0，10) C、 D、(-∞，0((10，＋∞)
12. 已知三點A（1，-1），B（4，P），C（P，0）共線，則P=_________.
13. 若直線l的傾斜角是連接P(3, –5), Q(0, –9)兩點的直線的傾斜角的2倍，則直線l的斜率為 .
C 級
14. 已知M(2, –3), N(–3,–2)，直線l過點P(1, 1)，且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是 .
15. 若兩平行直線3x–2y–1=0和6x+ay+c=0之間的距離是，求的值.
第四章 圓與方程
★學習目標
節次
學 習 目 標
圓的方程
理解圓的標準方程和一般方程。
直線與圓、圓與圓的位置關系
理解直線與圓以及圓與圓的位置關系，直線和圓的方程的簡單應用。
空間直角坐標系，兩點間的距離公式
理解坐標法，知道空間直角坐標系的概念，用空間直角坐標系刻畫點的位置，空間兩點間的距離公式。
★要點解讀
本章主干知識 圓的標準方程和一般方程，直線與圓、圓與圓的位置關系，直線和圓的方程的簡單應用。坐標法和空間直角坐標系刻畫點的位置，兩點間的距離公式。
1. 確定圓的三要素：圓心坐標a、b和半徑r；一般方程中D、E、F且D2+E2-4F＞0。
2. 直線與圓的位置關系的判定 圓心到直線的距離——圓心距
⑴若 ⑵若 ⑶若
△法利用直線與圓的方程聯立方程組來判斷和求解。
3. 經過一點M（x0，y0）作圓（x-a）2+（y-b）2=r2的切線
⑴點M在圓上時，切線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）= r2
⑵點M在圓外時，有2條切線、2個切點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），方程（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）= r2不是切線方程，而是經過2個切點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直線方程。
4. 直線被圓所截得的弦長公式
│AB│=2（垂徑分弦定理）
==
5. 圓與圓的位置關系
設兩個大小不等的圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，圓心距︱O1O2︱=d .則共有五種位置關系如下：
d＞r1+r2 外離； d= r1+r2 外切；
︱r1-r2︱＜d＜r1+r2 相交； d=︱r1-r2︱內切；
0≤d＜︱r1-r2︱內含；
若大小相同的兩個圓，則只有外離、外切、相交、重合四種位置關系。
6. 空間直角坐標系，兩點之間的距離公式
⑴ xoy平面上的點的坐標的特征A（x，y，0）：豎坐標z=0
xoz平面上的點的坐標的特征B（x，0，z）：縱坐標y=0
yoz平面上的點的坐標的特征C（0，y，z）：橫坐標x=0
x軸上的點的坐標的特征D（x，0，0）：縱、豎坐標y=z=0
y軸上的點的坐標的特征E（0，y，0）：橫、豎坐標x=z=0
z軸上的點的坐標的特征E（0，0，z）：橫、縱坐標x=y=0
⑵│P1P2│=
★學法指導
求圓的方程
【方法點撥】三種方法求圓的方程：
⑴若圓過已知的兩點或三點，可設圓的一般方程；⑵若與圓心、半徑有關，可設圓的標準方程；
⑶圓的直徑式方程（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0 。
【案例剖析】已知圓心為C的圓經過兩點A（1，1）和B（2，-2），且圓心C在直線l：x-y+1=0上，求圓C的方程.
【解析】方法一 ∵圓心C與A、B兩點的距離相等，
則C在線段AB的垂直平分線y+=（x-）上
∵圓心在直線l：x-y+1=0上，
聯立方程x-y+1=0 和y+=（x-）
得圓心C（-3， -2）
則 半徑r===5 ∴ 所求圓的方程為（x+3）2+（y+2）2 =25
方法二∵圓過A、B兩點，設圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0 圓心C的坐標為（-， -）
由已知得 ∴D= 6 ，E= 4，F= -12
∴ 所求圓的方程為x2+y2+6x+4y-12=0
【點評】：本題屬于“理解”層次，設圓的方程用待定系數法求a、b、r或D、E、F是主要方法。
關于圓的切線
【方法點撥】判定直線與圓相切的方法：聯立方程由△=0，或圓心距d=r, 或要點3的結論。
【案例剖析】經過點P(2，1) 引圓x2+y2=4的切線，求：⑴切線方程，⑵切線長。
【解析】⑴ ∵將點P(2，1)代入圓方程右邊得x2+y2=5＞4，∴點P(2，1)在圓外，可引兩條切線
設切線方程為y－1=k(x－2) 即：kx－y－2k＋1=0
∵圓心(0,0)到切線的距離是2 解得k=－
∴切線方程為 即：3x+4y－10=0
另一條切線方程為x=2 （無斜率） ∴所求切線方程為3x+4y－10=0和x=2
⑵切線長===1
【點評】：本題屬于“理解”層次，圓外一點P（x0,y0）向圓引的兩條切線，切線長=。
3. 關于直線與圓的位置關系及利用圓的性質求弦長和最值問題
【方法點撥】判定直線與圓的位置關系主要用“△法和圓心距d—半徑r法” 兩種方法，另外，“直線經過圓內一點也是判定直線與圓相交”的一種重要方法。
【案例剖析】已知直線l：kx-y-3k=0；圓M：x2+y2-8x-2y+9=0， (1)求證：直線l與圓M必相交； (2)當圓M截直線l所得弦最長時，求k的值； ⑶當圓M截直線l所得弦最短時，求k的值。
【解析】(1)證明：方法一∵圓的方程化為（x-4）2+（y-1）2=8 得 圓心C(4,1) 半徑r=2
則圓心C到直線l的距離d==＜r
(-2k≤k2+1，2k≤k2+1 恒成立，則 -1≤≤1 恒成立) ∴直線l與圓M必相交.
方法二直線方程化為l：y=k(x-3)，對任意k，可知直線l總過定點P(3,0)，
把P點代入圓方程右邊得（3-4）2+（0-1）2=2＜8，可知定點P (3,0)在圓內
∴直線l與圓M必相交.
(2) ∵直線l過圓內定點P (3,0)，要圓M截直線l所得弦最長，由弦長公式│AB│=2知
半徑r=2為定值，當d最小時，弦長│AB│最長，
∴d=0即直線l過圓心C(4,1)，弦長│AB│=2r ∴k==1
⑶∵直線l過圓內定點P (3,0)，要圓M截直線l所得弦最短，由弦長公式│AB│=2知
半徑r=2為定值，當d最大時，弦長│AB│最短，
∴d=│PC│=最大時，弦長│AB│最短=2，此時PC⊥l，由(2)知 kPC=1
∴k=-1時，圓M截直線l所得弦最短。
【點評】：本題屬于“理解”層次，掌握通性通法，利用圓的性質解出相關問題。
4. 圓與圓的位置關系、兩個圓的公共弦所在的直線方程
【方法點撥】(1)判定圓與圓的位置關系主要用“聯立方程組法和圓心距d法”兩種方法，另外，“一個圓經過另一個圓內的一點也是判定兩圓相交”的一種重要方法；
(2)兩個相交圓O1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0 , O2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共弦所在直線的方程是：（D2-D1）x +（E2-E1）y+F2-F1=0(由兩圓的方程相減得到)
【案例剖析】已知兩圓O1: x2+y2+2x-4y-11=0 , O2: x2+y2-2x+2y+1=0. (1)判定兩圓的位置關系, (2)若相交,求公共弦長.
【解析】(1)將圓的方程化為(x+1)2+(y-2)2=16 , (x-1)2+(y+1)2=1.則得圓心O1 (-1,2), O2 (1,-1) ,半徑r1=4 , r2=1, 圓心距|O1O2| ==＜5 =4+1= r1+ r2 又|O1O2| =＞3= r1- r2 ∴兩圓相交.
(2)由上知兩圓相交 ∴兩圓的方程相減得 2x-3y-6=0 就是兩圓相交的公共弦所在直線的方程
方法一∵聯立方程2x-3y-6=0 和x2+y2-2x+2y+1=0 得交點的坐標
A（，），B（，）
∴公共弦長│AB│==
方法二∵2x-3y-6=0就是兩圓相交的公共弦所在直線的方程
則圓心O2 (1,-1)到公共弦所在直線的距離d=
∴公共弦長│AB│=2
【點評】：本題屬于“理解”層次，用方程組或圓心距來判定兩個圓的位置關系是兩種重要方法。
5．求空間點的坐標
【方法點撥】找點的坐標的方法：(1)該點到yoz平面、zox平面、xoy平面的距離(找垂線段)及正負方向，(2)該點若為兩已知點的中點，用中點公式求其坐標。
點P（x，y，z）關于坐標平面xoy對稱的點P1（x，y，-z）
點P（x，y，z）關于坐標平面yoz對稱的點P2（-x，y，z）
點P（x，y，z）關于坐標平面zox對稱的點P3（x，-y，z）
點P（x，y，z）關于x軸對稱的點P4（x，-y，-z）
點P（x，y，z）關于y軸對稱的點P5（-x，y，-z）
點P（x，y，z）關于z軸對稱的點P6（-x，-y，z）
【案例剖析】 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB=a、C1C=2a，E、F分別為AB、B1C1的中點。
⑴建立空間直角坐標系，寫出A、B、C、A1、B1、C1、E、F各點的坐標。
⑵求出EF的距離。
【解析】方法一 圖1 (1)正三棱柱ABC—A1B1C1中，∵底面△ABC是正三角形，側棱A1 A⊥底面
∴ 以AB的中點E點為坐標系的原點, 取A1B1邊的中點D，則ED⊥AB，EC⊥AB，分別以EC、EB、ED為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系。則八個點的坐標分別是
E(0，0，0) ，A(0，-a，0) ，B(0，a，0) ， C（a，0，0），
A1(0，-a，2a)，B1 (0，a，2a)， C1（a，0，2a），F(a，a，2a)
(2)EF的距離=a

方法二 圖2 ，以A點為坐標系的原點, 分別以AB、A A1為y軸、z軸，建立空間直角坐標系。
(1) 八個點的坐標分別是 A(0，0，0) ，B(0，a，0) ， C（a，a，0），A1(0，0，2a)，
B1 (0，a，2a)， C1（a，a，2a），E(0，a，0) ，F(a，a，2a)
(2) EF的距離=a
【點評】：本題屬于“知道”層次，①建立空間直角坐標系——依據幾何體的特征，尋找三條兩兩垂直的直線或二條垂直，再作第三條與它們都垂直，可比喻為找長方體房間的一個墻角。②“點的坐標x、y、z”分別是點到yoz平面、zox平面、xoy平面的垂線段即“長、寬、高”。故可利用“等長、等寬、等高”來找對應點的坐標。
★階梯練習
A級
1、兩圓x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的連心線方程是（ ）
A、x+y+3=0 B、2x-y-5=0 C、3x-y-9=0 D、4x-3y+7=0
2、到原點的距離等于4的動點的軌跡方程是（ ）
A、x+y=4 B、 x+y=16
C、x+y=2 D、
3、以（1,1）和（2,-2）為一條直徑的兩個端點的圓的方程為（　）
A、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－＝0 B、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0
C、ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0 D、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－＝0
4、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圓，則ａ的取值范圍是（　）
A、ａ＜－2或ａ＞ B、－＜ａ＜2 C、－2＜ａ＜ D、－2＜ａ＜0
5、已知圓的方程是，則點P（1，2）滿足( )
A、是圓心 B、在圓上 C、在圓內 D、在圓外
6、如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)所表示的曲線關于y=x對稱，成立的是（ ）
A、D=E B、D=F C、E=F D、D=E=F
7、如果直線l將圓平分，且直線l不通過第四象限，那么直線l的斜率的取值范圍是（ ）
A、[0，2] B、[0，1] C、 D、
8、點P（x0，y0，z0）關于y軸的對稱點的坐標為 。
B級
9、若直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切，則m=（ ）
A、0或2 B、2 C、 D、無解
10、方程y=－表示的曲線是( )
A、一條射線 B、一個圓 C、兩條射線 D、半個圓
11、已知x2+y2+4x－2y-4=0，則x2+y2的最大值為( )
A、3+ B、3- C、 D、
12、圓x+y－4x+2y－5=0，與直線x+2y－5=0相交于P、P兩點，則=__ __。
13、若方程x+y+Dx+Ey+F=0表示以（2，－4）為圓心，4為半徑的圓，則F=___ __

C 級
14、直線L過點(-5,-10)，且在圓x＋y=25上截得的弦長為5,求直線L的方程.
15、已知方程表示一個圓。
⑴求t的取值范圍；
⑵求該圓半徑r的最大值及此時圓的標準方程
數學2檢測
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．
1．已知點P(-2，3)，則點P關于原點對稱的點的坐標（ ）
A、（-2，-3） B、（2，3） C、（2，-3） D、（-3，2）
2．已知點A（0，6），B（-8，0），原點到直線AB的距離=（ ）
A． B． C． D．
3．以下四個正方體中,P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則P、Q、R、S四點共面的圖是（ ）

4. 已知直線l經過第一、二、四象限，傾斜角為θ，y軸上截距為b，則正確的是（ ）
A. bsinθ﹤0 B. bcosθ﹤0 C. bsinθ≤0 D. bcosθ≤0
5．直線3x-2y=4的斜截式方程是( )
A、y=x-2 B、y=x+2 C、 D、
6．空間中三個不同的平面把空間分成的區域可能有 ( ) 個
A 4或6 B 6或7 C 7或8 D 以上都有可能
7.在正四面體P—ABC中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論中不成立的是( )
A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面ABC D. 平面PAE⊥平面ABC
8．若直線kx-y=k-2與直線ky-x=k的交點位于第二象限，則k的取值范圍是（ ）
A. (-1,1) B. (-∞,-1) ∪(1,+ ∞)
C. (-1,0) D. (-∞, 0) ∪(1,+ ∞)
9．關于直線a、b與平面α、β，有下列四個命題：
①若a∥α，b∥β且α∥β，則a∥b ②若a⊥α，b⊥β且α⊥β,則a⊥b
③若a⊥α，b∥β且α∥β，則a⊥b ④若a∥α，b⊥β且α⊥β,則a∥b
其中真命題的序號是( )
A、①② B、②③ C、③④ D、④①
10．光線從點P（-3，3）射到Y軸上，經Y軸反射后經過點Q（-1，-5），則光線從P到Q走過的路程為( )
A.10 B.5+ C.4 D.2
二、填空題（每小題4分，共20分）
11.用數學符號語言將“直線l既經過平面α內的一點A，也經過平面α外的一點B”記作
.
12． 已知空間直角坐標系中，A是x軸上的一點，點B（-1，1，0），且∣AB∣=，則點A的坐標是 .
13．給出下列四個命題：
① 過點M (–1, 2)的直線方程表示為y–2=k(x+1)；
② 過點M (–1, 2)且在x軸、y軸上截距相等的的直線方程是x+y–1=0；
③ 過點M(–1, 2)且與直線l: Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直線方程是B(x+1)-A(y–2)=0；
④ 若點M(–1, 2)不在直線l: Ax+By+C=0(AB≠0)上，則過點M且與l平行的直線方程是
A(x+1)+B(y–2)=0；
以上命題中，真命題的序號是 。
14． 已知實數x、y滿足x2+y2=1，則 的最大值為 ，最小值為 。
15． 圓(x+1) 2+ (y+1) 2=16上的點到直線3x-4y-2=0的距離的最大值為 ，最小值為 。
三、解答題： (共40分)
16. （8分） 已知兩條直線l1: x–2y+4=0和l2: 3x+y–2=0的交點是P，求：
⑴點P到直線a：3x–4y+5=0的距離； ⑵經過點P，且與直線b：2x–4y-3=0垂直的直線方程。
17．（8分）如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，O是底面ABCD的中心，E是C1C的中點。⑴求異面直線OE與BC所成角的余弦值； ⑵求直線OE與平面BCC1B1所成角的正切值； ⑶求證：對角面AA1C1C與對角面BB1D1D垂直。

18．（8分）已知直線l：y=x+2，一個圓的圓心C在x軸上且該圓與y軸相切，該圓經過點A（-1，2）。 求：⑴圓C的方程； ⑵直線l被圓截得的弦長。
19．（8分）一個正三棱錐P—ABC的三視圖如圖所示，尺寸單位：cm .
求⑴正三棱錐P—ABC的表面積； ⑵正三棱錐P—ABC的體積。

20.（8分）已知圓C：x2+y2-8y+12=0和直線：mx+y+2m=0.
(1) 當m為何值時，直線與圓C相切；
(2) 當直線與圓C相交于A、B兩點，且時，求直線的方程。
數學3：
第一章 算法初步
★學習目標
節 次
學 習 目 標
算法與程序框圖
知道算法的思想和含義，理解程序框圖的三種基本邏輯結構。
基本算法語句
了解條件語句、循環語句，理解輸入語句、輸出語句、賦值語句
算法案例
知道輾轉相除法、更相減損術、秦久韶算法與進位制
★要點解讀
本章主干知識：算法的含義、程序框圖、基本算法語句，輾轉相除法、更相減損術、秦久韶算法、與進位制。
1．算法的含義
在數學中，算法通常是指按照一定規則解決某一類問題的明確和有限的步驟．算法的特點：有限性（一個算法的步驟是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.）、確定性（算法的每一步驟和次序應當是確定的）、有效性(算法的每一步驟都必須是有效的)。
2. 程序框、流程線的名稱與功能
圖形符號
名稱
功能


起止框（終端框）
表示一個算法的起始和結束
輸入輸出框
表示一個算法輸入和輸出的信息
處理框（執行框）
賦值、計算
判斷框
判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”.
流程線
連接程序框
連接點
連接程序框圖的兩部分
3．算法的基本邏輯結構和基本算法語句
（1）、三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構
（2）、基本算法語句：輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句
（3）、循環語句分WHILE型語句和UNTIL型語句，設計循環語句程序時要注意：①循環語句中的變量一般需要進行一定的初始化操作；②循環語句在循環的過程中需要有“結束”的機會；③循環的過程中變量的變化規律。
4．算法案例
學習輾轉相除法與更相減損術、秦久韶算法、進位制時，必須了解其歷史背景，理解解題原理，掌握解題步驟.
★學法指導
1．規范基本語句一般格式
【方法點撥】輸入語句中提示內容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。輸出語句顯示算法的輸出結果功能，輸出語句輸出常量、變量或表達式的值或字符。賦值語句將表達式所代表的值賦給變量，賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數據、常量和算式。
【案例分析】 判斷下列給出的語句是否正確，將錯誤的語句改正過來？
（1）、INPUT （2）、INPUT （3）、PRINT
（4）、 （5）、 （6）、
【解析】：（1）、錯，變量之間應該用“，”隔開，而不是”；”
（2）、錯，INPUT后面只能是變量，不能是表達式，應改為：INPUT
（3）、錯，PRINT語句不能用賦值號“=”，應改為：PRINT
（4）、錯，賦值號左邊只能是變量，右邊是一個常數或表達式，本題顯然將左右互換了，應改為
（5）、錯，不能給一個表達式賦值
（6）、錯，一個賦值語句只能給
一個變量賦值應改為：
【點評】：本題屬于“理解”層次，輸入語句、輸出語句、賦
值語句都有一般格式，任何細微錯誤都會導致整個程序無法運行。
2．理解流程圖所表達的含義
【方法點撥】：理解流程圖所表達的含義，一方面，給出程序
框圖能指出功能，另一方面，根據框圖能得到輸出的結果。
【案例分析】 閱讀圖①的程序框圖，若輸入的n是100，
則輸出的變量s和T的值依次是_____、　　
【解析】：由程序框圖知，S=100+98+96+……+2=2550
T=99+97+95+……+1=2500 圖①
【點評】：本題屬于“理解”層次，關鍵點在于理解流程圖所蘊含的實際意義。
3、掌握循環語句的功能
【方法點撥】兩種循環語句中判斷和循環的順序，以及變量的初始值和控制循環的條件是決定結果的關鍵點.
【案例分析】某位同學用WHILE型語句和UNTIL型語句分別設計了一個求的值的程序，程序如下：
WHILE型 UNTIL型

試判斷是否正確？
【解析】：在WHILE型程序里面i=1 、sum=1，控制循環的條件為i<=100，按此算法最后得到的結果應為，所以應將sum=1改為sum=0；
在UNTIL型程序里面i=1 、sum=0，控制循環的條件為i>=100，按此算法最后得到的結果應為，應將i>=100改為i>100.
【點評】：本題屬于“理解”層次，循環語句一定要注意檢驗起始和末尾。
4．注重算法的實踐應用
【方法點撥】用算法處理應用問題的基本思路是：分析實際問題－－建立數學模型－－寫算法步驟－－畫程序框圖－－編制算法程序。體現算法“逐漸精確”的過程，這是算法解決實際問題的步驟。
【案例分析】2006年1月份開始實施的《個人所得稅法》規定：全月總收入不超過1600元的免征個人工資、薪金所得稅，超過1600元部分需征稅，設全月總收入金額為x元，前三級稅率如下表所示：
級數
全月應納稅金額x-1600
稅率
1
不超過500元部分
5%
2
超過500元至2000元部分
10%
3
超過2000元至5000元部分
15%
……
……
……
當月工資薪金所得不超過3600元，計算個人所得稅的一個算法框圖如右圖，則輸出①輸出②分別為（ ）
A． B．
C． D．
【解析】：由題意知 ①得到的答案為
②得到的答案處為 所以選D
【點評】：本題屬于“理解”層次，考查條件結構的簡單應用，解答的關鍵點是根據程序框圖寫出分段函數的解析式。
★階梯練習
A級
1．下列不能看成算法的是（ ）
A 從長沙到北京旅游，先坐火車，再坐飛機抵達
B 做紅燒肉的菜譜
C 方程x2-1=0有兩個實根
D求1+2+3+4+5的值，先計算1+2=3,再由于3+3=6，6+4=10，10+5=15，最終結果為15
2. 將兩個數a=8,b=17交換,使a=17,b=8,下面語句正確一組是 ( )
A. B. C. D.
3 用二分法求方程的近似根的算法中要用到的算法結構（ ）
A 順序結構 B 條件結構 C 循環結構 D 以上都用
4. 右邊為一個求20個數的平均數的程序,
在橫線上應填充的是 ( )
A. i>20 B. i<20
C. i>=20 D. i<=20
5. 將389 化成四進位制數的末位是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
6. 用秦九韶算法計算多項式
當時的值時,需要做乘法和加法的次數分別是：　　、　　次
7. 執行程序語句A=20, A=-A+10, 最后A的值為　　
8. 用輾轉相除法求80和36的最大公約數，并用更相減損術檢驗所得結果。
B級
9．下圖程序運行后輸出的結果為 ( )
A. 50 B. 5 C. 25 D. 0
10. 三個數72,120,168 的最大公約數是
11.圖中程序運行后輸出的結果為_______
12． 把求的程序補充完整。 13. 設計一個計算1+2+3+…+100的值的算法

C 級
14.用秦九韶算法計算多項式在時的值時，求 的值。
i=1
s=1
n=0
Do s<=560
s=s+i
i=i+1
n=n+1
WEND
PRINT n+1
END
15.求滿足1+2+3+4+……+n>560的最小自然數n。
畫出執行該問題的程序框圖；
以下是解決該問題的一個程序，但有幾處錯誤，找出錯誤并在右邊改正。
第二章 統計
★學習目標
節 次
學 習 目 標
隨機抽樣
了解隨機抽樣的必要性和重要性；理解用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本； 了解分層抽樣和系統抽樣方法。
用樣本估計總體
理解列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖.了解樣本數據標準差的意義和作用；了解合理選取樣本、從樣本數據中提取基本的數字特征，并能做出合理的解釋；理解用樣本的頻率分布估計總體分布、用樣本的數字特征估計總體的數字特征；理解隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的基本思想的實際應用。
變量間的相關關系
了解散點圖的作法；了解利用散點圖直觀認識變量之間的相關關系；知道最小二乘法； 了解根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程.
★要點解讀
本章主干知識：簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣；樣本頻率分布估計總體分布；樣本數字特征估計總體數字特征；散點圖和線性回歸方程，變量間的相關關系。
1．三種抽樣的聯系與區別
抽樣分為簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣，其中簡單隨機抽樣分為抽簽法、隨機數法，三者抽樣的區別與聯系是：
（1）聯系：簡單隨機抽樣和系統抽樣都是一種等概率抽樣；分層抽樣時，在每一層內進行抽樣時可根據具體情況，采用簡單隨機抽樣或系統抽樣
（2）區別：一般當總體個數較多時，常采用系統抽樣，當總體由差異明顯的幾部分組成時，常用分層抽樣，一般地，實現簡單隨機抽樣。
2．樣本頻率分布估計總體分布、樣本數字特征估計總體數字特征
（1）樣本頻率分布估計總體分布包括頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖。
（2）樣本數字特征估計總體數字特征包括平均數，中位數、眾數、方差和標準差。
3．變量間的相關關系
現實世界中兩個變量的關系中更多的是相關關系而不是確定性關系，現在廣泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散點到直線在垂直方向上的距離的平方和最小的直線，用這個方法，對的求解最簡單。
★學法指導
1．明確各種抽樣的特點
【方法點撥】簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣中，個數不多時一般用簡單隨機抽樣，一般當總體個數較多時，常采用系統抽樣，當總體由差異明顯的幾個部分組成時，常用分層抽樣，
【案例分析】　某高中共有900人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級400人，現采用分層抽樣抽取容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取的人數分別為（ ）
A、15, 5, 25 B、15, 15, 15
C、 10, 5, 30 D、15, 10, 20
【解析】：　因為300：200：400=3：2：4，于是將45分成3：2：4的三部分。設三部分各抽取的個體數分別為3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故抽取的人數分別為15，10，20，故選D。
【點評】：本題屬“了解”層次，三種抽樣方法有其適應的不同范圍，解題時應充分理解題意，合理使用抽樣方法．

2．頻率分布直方圖與條形圖的理解與應用
【方法點撥】頻率分布直方圖非常直觀地表明了樣本數據的分布情況，利用各小長方形的面積=頻率；各小長方形的面積之和=1即可。
【案例分析】如圖③，從參加環保知識競賽的學生中抽出名，將其成績（均為整數）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：

圖③
（1）這一組的頻數、頻率分別

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